Elect Magnet 4

www.zaluu.com www.zaluu.com

Цахилгаан соронзон Лекц 4

www.zaluu.com www.zaluu.com

3. Цахилгаан потенциал      



3.1. Потенциалын ялгавар ба цахилгаан потенциал 3.2. Жигд цахилгаан оронгийн потенциалын ялгавар 3.3. Цэгэн цэнэгийн цахилгаан потенциал ба потенциал энерги 3.4. Тасралтгү Тасралтгүй тү түгсэн цэнэгийн цахилгаан потенциал 3.5. Цахилгаан потенциалаас E оронг олох 3.6. Цэнэглэгдсэн дамжуулагчийн потенциал 3.7. Цахилгаан статикийг хэрэглэх • Ван Де Граафын генератор • Ксерограф • ... Цахилгаан соронзон

2

www.zaluu.com www.zaluu.com 3.1. Потенциалын ялгавар ба цахилгаан потенциал



 

 







Гравитацын хү хүчний адил Кулоны хү хүч консерватив Потенциал энергийн функцыг хэрэглэж болно q0 турших цэнэг E оронд байв. Оронгийн хү хүч q0E Энэ хү хүч олон хү хүчний нийлбэр хэдий ч консерватив Турших цэнэг маш бага ds зайнд шилжив Цахилгаан хү хүчний хийх  ажил   

dW  F  ds  q0 E  ds Консерватив хү хүчний ажил, потенциал энергийн  өөрчл өө рчлө өлтийг хасахаар авсантай тэнцүү тэнцүү dU  q0 E  ds Турших цэнэг A, B цэгийн хооронд шилжвэл  B   U  U B  U A  q0  E  ds A





Шугаман интеграл юм. Кулоны хү хүч консерватив учир энэ интеграл замынхэлбэрээс хамаарахгүй хамаарахгү  Циркуляцын теорем: E  ds  0



Цахилгаан соронзон

3

www.zaluu.com www.zaluu.com

Потенциалын ялгавар 



    

A ба B цэгийн хоорондох потенциалын ялгавар бол потенциал энергийн өө өөрчл рчлө өлтийг цэнэгт  B   харьцуулсан нь UB U A VB  VA     E  ds A q0 Потенциалын ялгаврыг потенциал энергитэй хутгаж болохгүүй. Энэ хоѐр хоорондоо ~ U=q0V болохг Потенциалын ялгавар нэгж цэнэгт ноогдох энергийн хэмжүү хэмж үүр р Потенциалын ялгавар скаляр, бодоход хялбар Потенциалын ялгавар л утгатай. Нормчлол Хязгааргүүйд орших цэгийн потенциал тэг Хязгаарг  P цэг дээрх потенциал: V   P  E  ds P

 







P ба хязгааргү хязгааргүйд байх цэгийн потенциалын ялгавар Потенциалын нэгж 1В 1В=1 =1Ж Ж/1Кл Электрон вольт: 1эВ 1эВ=1,6 =1,610-19 КлВ=1,610-19 Ж Цахилгаан соронзон

4

www.zaluu.com www.zaluu.com 3.2. Жигд цахилгаан оронгийн потенциалын ялгавар C d

A  

 

 

Жигд цахилгаан оронгийн аливаа 2 цэгийн потенциалын ялгаварыг  олоѐ   Орон y-ийн эсрэг чиглэлтэй E   E j  A  B шилжилт хэвтээ, босоо жижиг хэсгүү хэсг үүдээс дээс тогтсон     Шилжилтийн вектор ds  idx  jdy      E    Тэгвэл E  ds   E j ( idx   jdy )   Edy Учир нь: j  idx  jidx cos 90  0, j  jdy  jj cos0dy  dy A, B хоѐр цэгийнd потенциалын ялгавар d VB  VA   Edy  E  dy VB  VA  Ed 0 0 Е тогтмол учир интегралын өмн мнө ө гарана Жигд цахилгаан оронгийн аливаа 2 цэгийн потенциалын ялгавар зө зөвх вхө өн E оронгийн дагуух d шилжилтээс хамаардаг ажээ Хэвтээ шилжилт ажил хийхгү хийхгүй: E нь шилжилтэнд  Босоо шилжилт л ажил хийнэ Цахилгаан соронзон 5 B



www.zaluu.com www.zaluu.com Ижил потенциалт гадаргуу  

 



  





q0 турших цэнэг E оронгийн A-аас B цэгт шилжихэд потенциал энергийн өө өөрчл рчлө өлт: U  q0 (VB  VA )  q0 Ed q0 эерэг бол U эерэг. Эерэг цэнэг оронгийн эсрэг явбал потенциал энерги нь нэмэгднэ Тайван байсан эерэг цэнэг дээрх оронд доош чиглэн хурдсаж K кинетик энергитэй болно. K=U q0 сөрөг бол U сөрөг болж байдал өмн мнө өхийн эсрэг Сөрөг цэнэг оронгийн эсрэг явбал потенциал энерги нь буурна. Тэр оронгийн эсрэг хурдсан явна Эдгээрээс: Жигд цахилгаан оронд  орших аливаа хавтгай дээрх бү бүх цэг ижилхэн потенциалтай Зургаас VB-VA=VC-VA, иймд VB=VC Потенциал нь адил байх ижил потенциалт гадаргуу Ижил потенциалт гадаргуу дээгүү дээгүүр р цэнэг шилжихэд ажил хийхгү хийхгүй. Учир нь U=q0V байдаг Жигд цахилгаан оронгийн ижил потенциалт гадаргуу нь оронд  бүл хавтгайнууд Цахилгаан соронзон

6

E _ _ + _ + A + B + _ + + _ + + +





Жишээ 22.1

www.zaluu.com www.zaluu.com

12 В зайг зурагт үзүү үүлсний лсний дагуу паралель 2 ялтастай холбожээ. Ялтсуудын хоорондын зай 0,3 м бөгөө өөд д цахилгаан оронг жигд гэж үзнэ. Ялтсуудын дундах d цахилгаан оронг ол. - +  Бодолт: Цахилгаан орон эерэг ялтсаас сө сөрөг ялтсын зү зүг чиглэнэ.  B, A ялтсын потенциалын ялгавар 12 вольт зайн туйлуудын потенциалын ялгавартай тэнцүү тэнцүү Тэнцвэрт орших дамжуулагчийн бү бүх цэг адилхан потенциалтай VB-VA=Ed илэрхийллийг ашиглавал VB  VA 12 B 3 В E   4  10 2 d 0,3  10 м м 

Цахилгаан соронзон

7

+ + + +

_ _ _

E

+ + vA=0 + + A d

_ _ _

vB

_

B

Жишээ 22.2 



www.zaluu.com www.zaluu.com

Протон х тэнхлэгийн эерэг зү зүгт чиглэсэн 8104 В/м цахилгаан оронд тайван байдлаасаа гарчээ. Протон E –ийн зү зүгт 0,5 м зайд шилжив. a) Энэх Энэхүү үү шилжилтийн дү дүнд протоны потенциал яаж өө өөрчл рчлө өгд гдө өхийг ол.

 

d

V  VB  VA   E  ds    Edx 0

 4 В 4   E  dx   Ed    8  10 ( 0,5 м )   4  10 В  0 м  Иймд протоны потенциал хорогдоно б) Протоны потенциал энерги хэр өө өөрчл рчлө өгд гдө өх вэ? U=q0V=eV=(1,610-19Кл Кл)( )(--4104 В)= - 6,410-15 Ж Сөрөг тэмдэг потенциал энерги буурдгийг харуулна Протон хурдассаны улмаас кинетик энергитэй болж потенциал энергээ алдана (энерги хадгалагдах) хадгалагдах) d

 

 

Цахилгаан соронзон

8

Үргэлжлэл 



  

 

www.zaluu.com www.zaluu.com

в) Протон 0,5 м шилжилт хийсний дараа хурд нь ямар болохыг ол. Протонд цахилгаан хү хүчнээс өө өөр р хү хүч үйлчлээг йлчлээгүүй бол энерги хадгалагдах хуулийг хэрэглэж болно K+U=0 Потенциал энергийн хорогдолтой тэнцүү тэнцүү хэмжээгээр кинетик энерги нэмэгднэ Протоны масс mp=1,6710 -27 кг K+U=(1/2 mpv2 - 0) - 6,410-15 Ж = 0 Эндээс v=2,77106 м/с Яг ийм нө нөхц хцө өлд электрон хурдсаж байгаа бол хурд нь гэрлийнхэд дө дөхөж энэ бодлогыг харьцангуйн механикаар тайлбарлана Цахилгаан соронзон

9

www.zaluu.com www.zaluu.com 3.3. Цэгэн цэнэгийн цахилгаан потенциал ба потенциал энерги

Тусгаар цэгэн цэнэг радиал орон үүсгэнэ үү сгэнэ rB  Цэнэг эерэг бол орон гадагш ds q r чиглэнэ dr  A,B цэгийн потенциалын rA q + ялгаврыг олоѐ A  Хялбарыг бодож цэнэгийг координатын эх дээр авъя kq Радиал оронгийн хүчлэг цэнэгээс хү r зайнд Er  2   r Шилжилт ds нь радиал байгуулагчтай dr    Орон радиал учир E  ds -ийг олоход зө зөвх вхө өн dr байгуулагч үүрэгтэй рэгтэй   үү Иймд E  ds  Er ds cos q  Er dr Тэгвэл rB rB dr 1 1 kq  VB  VA  kq    VB  VA    Er dr  kq  2   rA r r  rA  rB rA  B



 







Цахилгаан соронзон

10

www.zaluu.com www.zaluu.com Цэгэн цэнэгийн потенциал

  



1 1 VB  VA  kq     rB rA  A,B цэгийн потенциалын ялгавар зө зөвх вхө өн rA, rB радиал координатаас хамаардаг ажээ rA= цэгт потенциал тэг. V~1/rA учир rA= бол V0 Цэгэн цэнэгийн потенциал түү түүнээс нээс r зайнд V  k q r Эндээс r радиустай бө бөмб мбө өлөг дээр V тогтмол  Тусгаар цэгэн цэнэгийн ижил потенциалт гадаргуу уул цэнэг дээр тө төвтэй бү бүл бө бөмб мбө өлг лгүү үүд д  Цэгэн цэнэгийн системийн потенциалыг суперпозицоор олно +r  Бүлэг цэнэгийн потенциал qi V  k i ri Цахилгаан соронзон

11

Потенциал энерги P  r12

q2

 

q1  

q2

r12



+ r23

+ q1

r13



+ q3 

www.zaluu.com www.zaluu.com

q1 цэнэгийн P цэгт үү үүсгэх сгэх потенциал V1 q2 цэнэгийг -ээс P-д авчрах ажил q2V1 Энэ ажил 2 бөө бөөм м r12 зайд байх системийн потенциал энергитэй тэнцүү тэнцүү q1q2 U  q2V1  k r12 Цэнэгүү Цэнэг үүд д ижил бол U эерэг, ажил эерэг Цэнэгүү Цэнэг үүд д эсрэг бол U сөрөг, ажил сө сөрөг 2-оос дээш цэнэгийн системийн энерги хос тус бү бүрийн энергийн нийлбэр Жишээ нь 3 эерэг цэнэгийн системийн потенциал энерги q2 q3 q1q2 q1q3 k  k U k r12 r13 r23 Физик тайлбар Цахилгаан соронзон

12

Жишээ 22.3 y 

(0,4) P r1

q1 0 



r2

+

_

q2

(3,0)

x

www.zaluu.com www.zaluu.com

5 мкКл цэгэн цэнэг координатын эх дээр орших ба хоѐрдахь -2 мкКл цэгэн цэнэг х тэнхлэг дээр (3;0) м цэгт байрлана. a) Хэрэв хязгааргү хязгааргүйд потенциал тэг гэж үзвэл эдгээр цэнэгийн үү үүсгэх сгэх оронгийн ерө ерөнхий потенциалыг (0;4) м координаттай P цэг дээр ол.

Хоѐр цэгэн цэнэгээс P цэг дээр үү үүсгэх сгэх ерө ерөнхий потенциал  q1 q2  VP  k     r1 r2  r1=4 м, r2=5 м гэдгийг орлуулвал 6 2  10 6  9  5  10 3 VP  9  10    7,65  10 B  5   4 Цахилгаан соронзон

13

Үргэлжлэл y



P + 4 мкКл 4м

5м 

+ 5 мкКл

_

3м

-2 мкКл



x

www.zaluu.com www.zaluu.com

б) 4 мкКл хэмжээтэй гуравдахь цэгэн цэнэгийг хязгааргү хязгааргүйгээс P цэг дээр зөө зөөж ж авчрахад ямар ажил хийх вэ? W=q3VP=(410-6 Кл Кл)(7,65 )(7,65103 B) 1В=1 1В =1Ж Ж/Кл тул W=3,0610-2 Ж в) Зурагт үзүү үүлсний лсний адил байрлалтай байхад гурван цэнэгийн системийн нийт потенциал энергийг ол

 q1q2 q1q3 q2 q3  U k    r13 r23   r12 6 6 6 6 6 6  5  10   2  10 5  10  4  10  2  10  4  10 9  10 9    3 4 5   6,0  10 4 Ж Цахилгаан соронзон

   14

www.zaluu.com www.zaluu.com 3.4. Тасралтгүй түгсэн цэнэгийн цахилгаан потенциал

Үүнийг 2 аргаар бодно Үүнийг  Цэнэгийн тү түгэлт мэдэгдэж байвал q цэгэн цэнэгийн потенциалын V  k r илэрхийллийг ашиглана  dq цэнэгтэй элементийн потенциал dq dV  k r  Нийт потенциал dq V  k r  Интеграл авахдаа -д V тэг гэнэ Потенциалыг бодох хоѐрдох арга    B VB  VA    E  ds илэрхийллийг ашиглах A Гауссын хууль юмуу өө өөр р аргаар E-ийг олно Сонгосон нэг цэг дээр потенциал тэг гэнэ Эдгээр аргыг жишээн дээр үзье 

  

 

Цахилгаан соронзон

15

Жишээ 22.4

dq x a 2



2

a x

  

 

 

P

www.zaluu.com www.zaluu.com

Жигд цэнэглэгдсэн цагирагийн потенциал. а радиустай Q нийт цэнэгтэй жигд цэнэглэгдсэн цагирагийн нийт потенциалыг түү үүний ний тэнхлэг дээрх P цэг дээр тодорхойл. Цагирагийн хавтгай х тэнхлэгтэй 

Бодолт: P цэг цагирагийн тө төвөө өөс с х зайнд оршино Цэнэгийн dq элементээс P цэг хү хүртэлх зай x 2  a 2 dq Тэгвэл V  k dq  k  r  x2  a2 dq элемент бү бүр P цэгээс адилхан зайтай Энэ зайг интегралын өмн мнө ө гаргаж болно k kQ V dq   x2  a2 x2  a2 V-ийн илэрхийлэлд байгаа ганц хувьсагч нь х Манай тохиолдолд y, z тэг учир энэ гайхалтай биш Цахилгаан соронзон

16

www.zaluu.com www.zaluu.com

Үргэлжлэл dq



x2  a2



a x

P

Тэгш хэмээр х тэнхлэг дээр орон ганц Ex байгуулагчтай Иймд цахилгаан оронг Ex= - dV/dx гэж олно 1 dV d 2 2  2 Ex    kQ ( x  a )  dx dx 3

kQ(  1 )( x  a ) 2 2

  

2

2

 2x 

kQx 3

(x a ) 2

2

2

Энэ үр дү дүн шууд интегралчилсантай тохирч байна Цагирагийн тө төв дээр x=0 x=0,, Ex=0 Үүнийг Үү нийг Кулоны хуулиас гаргаж болох уу?

Цахилгаан соронзон

17

Жишээ 22.5

www.zaluu.com www.zaluu.com

Жигд цэнэглэгдсэн дискийн dA потенциал.  а радиустай нэгж талбайд a r ноогдох цэнэг нь s байх жигд r x цэнэглэгдсэн дискийн P потенциалыг түү түүний ний тэнхлэгийн x дагууд ол. dr  Бодолт: Дискийн тө төвөө өөс с х зайнд P цэг авъя  Дискийн хавтгай х тэнхлэгт   Дискийг цагирагуудад хуваана Цагирагийн потенциалыг бид олж чадна. Жишээ 22.4 r радиустай dr өрг ргө өнтэй нэг цагираг авч үзье Цагирагийн талбай dA=2prdr rdr,, цэнэг dq=sdA=s2prdr Энэ цагирагийн P цэгт үү үүсгэх сгэх потенциал kdq ks 2p rdr dV   2 2 r x r 2  x2 

2

 

 

2

Цахилгаан соронзон

18

www.zaluu.com www.zaluu.com

Үргэлжлэл kdq

dV 





r x r 2  x2 P цэгт нийт потенциалыг олохын тулд дискийг бүрд рдүү үүлэгч лэгч бү бүх цагирагийн потенциалыг нийлүү нийлүүлнэ лнэ Үүний Үү ний тулд dV dV--ийг r=0 –ээс r=a хүртэл интегралчилна

V  p ks 

a

0









ks 2p rdr

2

2

2rdr r x 2

 p ks   r  x a

2

0

2

2



1

2

2rdr

Энэ нь undu хэлбэрийн интеграл бөгөө өөд д хариу V=2pks[(x2+a2)1/2 –x] Цахилгаан оронг Жишээ 22.422.4-ийн адил олно   dV x Ex    2p ks  1   2 2 dx x a   Тэнхлэгийн гадна орших цэг дээр V ба E-ийг бодох ихээхэн тө төвөгтэй Цахилгаан соронзон

19

Жишээ 22.6

y P

d

0 



Төгсл гслө өг цэнэгэн утасны потенциал  l урттай саваа x тэнхлэгийн дагууд r орших ба нийт Q цэнэгээр жигд dq цэнэглэгдсэн. Координатын эхээс d x x dx зайнд y тэнхлэг дээр байх P цэгт l цахилгаан потенциалыг ол. Бодолт: dx урттай элемент dq dq= =ldx цэнэгтэй. l=Q/l Энэ элемент P цэгээс r  x2  d 2 зайтай, потенциал нь 

dV  k 



l dx

dq k r

x2  d 2

l

P цэгт нийт потенциал V  k l 0 dx



www.zaluu.com www.zaluu.com





dx

Q l dx k  2 2 l 0 x2  d 2 x d

Энэ нь  x 2  d 2 хэлбэрийн интеграл Иймд kQ  l  l 2  d 2  V ln     l d   Цахилгаан соронзон  ln x  x 2  d 2

20

Жишээ 22.7

+ + + + + R + + + + + + + Q+ + + + + + + r+ + +



C

B



  

  



www.zaluu.com www.zaluu.com

Жигд цэнэглэгдсэн бө бөмб мбө өрцгийн потенциал.. R радиустай тусгаарлагч потенциал цул бө бөмб мбө өрц рцө өг эерэгээр жигд цэнэглэгдсэн бө бөгөө өөд д нийт цэнэг нь Q. a) Бөмб мбө өрцгийн гадна талд r>R байх цэг дээр потенциалыг ол.

Бөмб мбө өрцгийн гадна орон Er=k(Q/r2) Q эерэг бол орон радиусын дагуу гадагшаа   B Гаднах B мэтийн цэг дээр потенцал VB  VA  A E  ds   r r dr Манай тохиолдолд E  ds  Er dr учир VB   Er dr  kQ  2 r Q Эндээс r>R үед VB  k r Энэ үр дү дүн цэгэн цэнэгийнхтэй адил ажээ R=r байхад потенциал тасрах ѐсгү ѐсгүй тул Q V  k бөмб мбө өрцгийн гадаргуу дээрх потенциал C Цахилгаан соронзон

R

21

Үргэлжлэл + + + + + R + + + + + + + Q + + + D+ + + + + + +



C

B



www.zaluu.com www.zaluu.com

б) Цэнэглэгдсэн бө бөмб мбө өрцгийн дотор талд (r