Elect Magnet 3

www.zaluu.com www.zaluu.com

Цахилгаан соронзон Лекц 3

www.zaluu.com www.zaluu.com

2. ГАУССЫН ХУУЛЬ Gauss’ law    



2.1. Цахилгаан урсгал 2.2. Гауссын хууль 2.3. Гауссын хуулийг хэрэглэх жишээ 2.4. Цахилгаан статик тэнцвэрт орших дамжуулагч 2.5. Гауссын ба Кулоны хуулийн туршлагын баталгаа

Цахилгаан соронзон

2

www.zaluu.com www.zaluu.com

2.1. Цахилгаан урсгал 













Аливаа гадаргууг нэвтлэн өнг нгө өрөх цахилгаан шугамын тоон хэмжүү хэмжүүр р Жигд цахилгаан оронг үзье А талбайтай тэгш өнц нцө өгт гадаргуу цахилгаан оронд  оршино Нэгж гадаргуугаар гарах шугамын тоо ~E А талбайтай гадаргуугаар гарах шугамын тоо ~EA Энэ үржвэрийг цахилгаан оронгийн урсгал гэнэ: Ф=EA Нэгж нь Нм2/Кл

Цахилгаан соронзон

3

Жигд биш орон 

www.zaluu.com www.zaluu.com

Гадаргуу оронд  биш бол түү түүгээр гээр гарах шугамын тоо цөө цөөрн рнө ө  А гадаргуугийн n нормаль E оронтой q өнц нцө өг үү үүсгэнэ сгэнэ  А гадаргуугаарх урсгал оронд  орших A  Acos q талбайгаар гарах урсгалтай тэнцүү тэнцүү  Ф=EAcosq  q=0 бол урсгал хамгийн их EA  q=90 үед урсгал тэг  Ер Ерө өнхий тохиолдолд орон n жигд биш q  Урсгалыг олохдоо гадаргууг E q DA талбайтай олон жижиг элементэд хуваана Цахилгаан соронзон

4

Гадаргуугийн элемент DAi

www.zaluu.com www.zaluu.com



 

Энэ векторын хэмжээ i-р элементийн талбайтай тэнцүү тэнц үү Чиглэл нь гадаргуугийн гадаад нормальтай давхцана Үүгээр Үү гээр гарах цахилгаан урсгал





Di  Ei D Ai cos q  Ei  D Ai

 

2 векторын скаляр үржвэр Бүх элементийн хувь нэмрийг нийлүү нийлүүлвэл лвэл нийт урсгал олдоно

  lim

D Ai 0

 





i

i





 E  D A   E  dA S

Нийлбэрийг интегралаар солив Гадаргуугийн интеграл аж

Цахилгаан соронзон

5

www.zaluu.com www.zaluu.com

Битүү гадаргуугаарх урсгал    

Энэ ямар гадаргуу вэ? Хө Хөндий, Ж.нь: бө бөмб мбө  өлөг DAi – векторууд өө өөр р өө өөр р чиглэлтэй: D  E  D A ,  элементээр E гадагш гарч урсгал эерэг (q90)  Нийт урсгал нь орох, гарах урсгалуудын нийлбэр   c    E  d A   En dA  2 векторын скаляр үржвэр  En=Ecosq – цахилгаан оронгийн нормаль байгуулагч, скаляр интеграл  Индекс c – closed  Бит Битүү үү гадаргуугаар гарах нийт урсгалыг бодох нь төвөгтэй байж болно МУИС,МТС

Цахилгаан соронзон

6

Жишээ 21.1  

Flux Through a Cube. Consider a uniform electric field E oriented in the x direction. Find the net electric flux through the surface of a cube of edges l oriented as shown in Fig. Assume there is no electric charge inside the cube.







y



www.zaluu.com www.zaluu.com

Кубээр гарах цахилгаан урсгал. x тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн E жигд цахилгаан оронг авч үзье. Зурагт үзүү үүлсний лсний дагуу байрласан, l ирмэгтэй кубын гадаргуугаар гарах нийт цахилгаан урсгалыг ол. Кубын дотор цахилгаан цэнэг байхгү байхгүй гэж үзнэ.

E

z

l

l

x

Цахилгаан соронзон

7

Бодолт

y



dA3 dA6



dA1 





 

E dA4

x

Нийт урсгал нь кубын 6 талаар гарах урсгалуудын нийлбэр 4 талаар гарах урсгал тэг Жишээ нь  ба  талын хувьд EdA, q = 90 90 учир

E  d A  E  dA  cos 90  0

dA2

z dA5

 

xy хавтгайтай  2 талын хувьд адил  ба  талуудын нийт урсгал     c   E  d A   E  d A 1







www.zaluu.com www.zaluu.com

2

 талын хувьд E дотогш, dA гадагшаа, q=180  2  E dA   EA   El E  d A  EdAcos180   1 1 1  талын хувьд   E , dA хоѐул гадагшаа, q=0 2 E  d A  EdAcos0   E dA  EA  El 2 2 2 Нийлбэр урсгал тэг: Фc= -El2+El2=0 Цахилгаан соронзон

8

www.zaluu.com www.zaluu.com

2.2. Гауссын хууль

Эерэг q цэгэн цэнэг r радиустай бө бөмб мбө өлөгийн тө төвд  Бөмб мбө өлгийн гадаргуу дээр хаа сайгү сайгүй E=kq/r2  Оронгийн шугамууд радиусын дагууд, гадаргууд   Гадаргуугийн бү бүх цэгт E вектор  DAi вектор    Иймд E  D Ai  En  D Ai  E  D Ai  Гауссын гадаргуу –ийн тухай  Бөмб мбө өлөг гадаргуугаарх урсгал c    E2 n dA   EdA  E dA  мбө өлгийн талбай  dA  A  4 r -бөмб  Нийт урсгал 1 kq q 2  c  2 ( 4 r )  4 kq. k  . c  r 0 4 0 Гауссын гадаргуугаар гарах нийт урсгал түүний доторх цэнэгтэй пропорциональ ажээ 1 Урсгал r-ээс хамаардаггүйн учир: E  2 ; A  r 2 

Цахилгаан соронзон

r

9

www.zaluu.com www.zaluu.com

Гадаргуугийн хэлбэр, байрлал 

q цэнэгийг хү хүрээлсэн хэд хэдэн битүү битүү гадаргуу • Нэг нь бө бөмб мбө өлөг бусад нь дурын • Аль ч гадаргуугаар гарах шугамын тоо адил







Битүү гадаргуугийн гадна Битүү талд цэгэн цэнэг байв Гадаргуу руу орсон, гарсан шугамын тоо тэнцүү тэнцүү Дотроо цэнэггү цэнэггүй бол нийт цахилгаан урсгал тэг

q +



Аливаа битүү битүү гадаргуугаар гарах урсгал гадаргуугийн хэлбэрээс хамаарахгү хамаарахгүй



Үүнийг ерө Үүнийг ерөнхий тохиолдолд дэлгэрүү дэлгэр үүлж лж болно

 



 Ed A   ( E

Цахилгаан соронзон



1





 E 2  E 3 )d A 10



www.zaluu.com www.zaluu.com

Гауссын хуулийн мөн чанар 



• Орон ямар ч цэнэгээр үү үүснэ снэ • Гауссын хууль оронгийн зөвх вхө өн нэг шинжшинж-урсгалыг илэрхийлнэ

3 гадаргуу тус бү бүрээр гарах урсгал

• S гадаргуу дотроо ганц q1 цэнэгтэй, урсгал q1/0 • S  гадаргуугийн урсгал (q2+q3)/0 • S  гадаргууд урсгал тэг

Аливаа битүү битүү гадаргуугаар гарах нийт урсгал зө зөвх вхө өн дотор нь орших нийт цэнэгийг 0-д хуваасантай тэнцүү тэнц үү::   qin c    Ed A   0 Энэ бол Гауссын хууль





Зарчмын хувьд Гауссын хуулиар ямар ч оронг бодож болно Гэвч хэрэглэгдэх хязгаартай !

Цахилгаан соронзон

11

www.zaluu.com www.zaluu.com 2.3. Гауссын хуулийг хэрэглэх жишээ



Цэнэгийн тү түгэлт дээд зэргийн тэгш хэмтэй байхад хэрэглэнэ • Жишээ нь: бө бөмб мбө өрц рцө өг, урт цилиндр, хавтгай ялтас ...



 

 



Цэнэгийн тү түгэлттэй адилхан тэгш хэмтэй гауссын гадаргууг сонгон авч болно Оронгийн шугам, гадаргуугийн нормальтай давхцаж cos0=1 болоход Интегралын доорх векторуудын үржвэр, скаляруудын үржвэр болж интеграл хялбар бодогдно Гауссын хуулиар оронг бодоход гол асуудал гауссын битүү битүү гадаргууг сонгон авахад авахад оршино Энэ арга тодорхой хэдэн тохиолдолд тохирдог Хамгийн ерө ерөнхий арга нь Кулоны хуулийг хэрэглэх Цахилгаан соронзон

12

Жишээ 21.2



www.zaluu.com www.zaluu.com

Цэгэн цэнэгийн цахилгаан орон. Гауссын хуулийг ашиглан тусгаарлагдсан q цэгэн цэнэгийн цахилгаан оронг бодож олоод энэ үр дү дүнгээс Кулоны хууль гарахыг үзүү үүл. л.  Бодолт: Гауссын гадаргууг сонгон авна Гауссын гадаргуу

r +

• r радиустай, цэгэн цэнэг дээр төвтэй бө бөмб мбө өрц рцө өг



q

dA E



Оронгийн шугамууд радиусын дагуу гадагш, гадаргууд    Цэг бү бүр дээр E  dA dA,, E  d A  EdA   q c    E  d A   EdA 

0

q

2 Тэгш хэмийн улмаас E тогтмол  EdA  E dA  E( 4  r )   0 Эндээс q цэнэгээс r зайнд цахилгаан оронг олвол qq0 q q E  k 2 q0 цэнэгт үйлчлэх хүч F  q0 E  k 2 2 r 4 0 r r Дүгнэлт Цахилгаан соронзон 13



Жишээ 21.3

www.zaluu.com www.zaluu.com

Бөмб мбө өрц рцө өг тэгш хэмтэй цэнэгийн тү түгэлт. а радиустай тусгаарлагч бө бөмб мбө өрц рцө өг r нягттайгаар жигд цэнэглэгдсэн бө бөгөө өөд д эерэг Q нийлбэр цэнэгтэй. (a) Бөмб мбө өрцгийн гадна талд орших, r>a байх цэг дээр цахилгаан оронг бодож ол.



E P

 

+ + + r + + ++ + + + + + a+ + + ++ + + + + +

 

 

Гауссын гадаргуу

Бодолт: Гауссын гадаргууг сонгоно Нэг тө төвтэй r радиустай бө бөмб мбө өлөг r>a байхад Q Ek 2 r Цэгэн цэнэгийн оронтой адил Жигд цэнэглэгдсэн бө бөмб мбө өрцгийн гадна талд орших орон түү түүний ний бүх цэнэг бө бөмб мбө өрцгийн тө төв дээр цугларсан байх цэгэн цэнэгийн оронтой эквивалент ажээ Цахилгаан соронзон

14

www.zaluu.com www.zaluu.com

Бөмбөрцгийн доторх орон 

 

(б) Бөмб мбө өрцгийн дотор талд орших, r