elec5

Chapitre 6 Diagramme de BODE des filtres du premier et second ordre On admet le Théorème de Fourier : toute fonction périodique peut être décomposable en une série de fonctions sinusoïdales. C’est pour cela qu’on s’interesse aux signaux sinusoïdaux appliqués aux systèmes linéaires.

6.1 6.1.1 vs :

Fonction de transfert Définitions

Soit D un quadripole constitué par un système linéaire possédant une entrée ve et une sortie

Puisque on s’interesse aux signaux sinusoidaux , alors on pose : ⊲ ve (t) = V e cos( cos(ωt ωt + ϕe ) =⇒ v e (t) = V e e jωt avec V e = V e e jϕ ⊲ vs (t) = V s cos( cos(ωt ωt + ϕs ) =⇒ v s (t) = V s e jωt avec V s = V e e jϕ On appelle fonction de transfert : H ( jω  jω)) =

V s V s = e j j((ϕ V e V e

s

−ϕe )

e

s

= H e jϕ

V 

avec H  = s le module de la fonction de transfert et  ϕ = ϕs − ϕe son argument(le déphasage de V e la sortie par rapport à l’entrée).

6.1.2

Exemples

 Déterminer la fonction de transfert pour les circuits suivants : ◮

circuit CR :H  =

jRCω 1 + jRCω +  jRCω

57

ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

6.1. FONCTION DE TRANSFERT 1 1 + jRCω

◮

circuit RC :H  =

◮

circuit RLC :H  =

1 2

− LCω + jRCω −LCω circuit RCL :H  = 1 − LCω + jRCω jRCω circuit LCR :H  = 1 − LCω + jRCω

◮

1

2

2

◮

2

6.1.3

Lien entre la fonction de transfert et l’équation différentielle

 Rappelons que en notation complexe multiplier par  ( jω)n c’est dérivé  n fois par rapport au temps et diviser par  ( jω)n c’est intégrer n fois par rapport au temps. Prenons l’exemple du circuit RC : H ( jω) =

V s = V e

⇒ V 

e

= V s + j

ω V  en passant à la notation réelle on a ωc s ve (t) = vs (t) +

1 dvs (t) ωc dt

C’est l’équation différentielle du circuit 

6.1.4

Diagrammes de BODE

En électronique , on couvre en général une large plage de fréquences (10 → 1OOkHz cadre de l’ARQP) ,la representation linéaire est peu pratique et peu utilisé. • Diagramme de Bode : c’est une representation en échelle logarithmique en abscisse. • On définit le gain G en décibels par : GdB

= 20 log H 

On rappelle que H  est sans dimension.  Le diagramme de Bode est le tracé des deux courbes : ◮ GdB = f (log(ω)) :diagramme de Bode pour  H  en décibels ; ◮ ϕ = g(log(ω)) :diagramme de Bode pour la phase.  Remarque- 24 :

1. On trace en général un diagramme de Bode sur un papier «semi-logarithmique» (avec une échelle logarithmique ) 2. On a lim log ω → −∞ : un diagramme de Bode ne «s’arrête pas » à log ω = 0 ω→0

 ⇒

3. Si H  = H 1 × H 2 =

= G1dB + G2dB ϕ = ϕ1 + ϕ2 GdB

On peut sommer les diagrammes de Bode

4.

 

GdB GdB GdB

=0 0

CPGE/Béni Mellal

⇐⇒ H  = 1 ⇐⇒ H < 1 ⇐⇒ H > 1 Page -58/73-

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ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

6.2. FILTRAGE

5.

   

H  = 10 H  = 102

.. .

= 20 dB = 40

⇐⇒ G ⇐⇒ G

H  = 10−1 H  = 10−2

.. .

dB

⇐⇒ G ⇐⇒ G

dB dB

= =

−20 −40

On appelle le décade l’intervalle des pulsations [ω1 , ω2 ] tel que ω2 = 10ω1

◮

6.2 6.2.1

Filtrage Introduction

Un filtre est un système linéaire qui transmet (le plus parfaitement possible ) certaines fréquences et atténue (le plus possible ) les autres.  Il est caractérisé par sa bande passante [ωc1 , ωc2] ou ∆ω = ωc2 − ωc1 avec ωc1 et ωc2 les pulsations de coupure. On définit la bande passante à -3dB par  H (ωc ) =

6.2.2

H max = 2

√

⇒ G(ω ) = G − 3dB c

max

Principaux types de filtres

H o

H 

o

H  √ 2

H 

o

o

√ 

2

ω ω

ωc

ω

c

H o

H o

H  √ 2 o

H  √ 2 o

ω ωc1 ωc1

CPGE/Béni Mellal

ωc2

ωc2

ω

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6.3. FILTRES DU PREMIER ORDRE  Remarque- 25 On pose

H ( jω) =

N (ω) D(ω)

avec deg N (ω)  deg D(ω) (sinon le système est instable) On dit qu’un filtre est d’ordre n si degD(ω) = n

6.3 6.3.1

Filtres du premier ordre Filtre passe-bas du premier ordre

 La forme canonique du filtre passe-bas d’ordre 1 est : H ( jω) =

6.3.1.1

H o

H o = ω 1 + jx 1 + j ωc

L’étude d’un exemple : R 

considérons le circuit (RC) suivant :

Ve 

C 

Vs

i 

◮

En BF :ω(x) → 0 =⇒

1  jCω

→ ∞ (le condensateur se comporte comme un interrupteur 

ouvert) ,donc le courant est nul et par conséquent  vs (t) = ve (t) ◮

En HF :ω(x) → ∞ =⇒

1  jCω

→ 0 (le condensateur se comporte comme un fil) ,donc la

tension entre ses bornes est nulle et par conséquent  vs (t) = 0 On conclut que ce filtre laisse passer les tensions sinusoïdales de faibles fréquences et élimine les tensions de hautes fréquences : C’est un filtre passe-bas

1 1  jCω =  La fonction de transfert s’écrit :H ( jω) = 1 1 + jRCω R+  jCω

 Donc :

ωc = ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

1 RC 

||

H o = 1

Si ω ≫ ωc (x → ∞) =⇒ H ( jω) → 0 (V s → 0) Si ω ≪ ωc (x → 0) =⇒ H ( jω) → H o Le circuit est constitué des composants passifs alors le filtre est passif. Puisque le degré du dénominateur est égal à 1 alors le filtre est passe-bas passif d’ordre

1.

CPGE/Béni Mellal

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6.3. FILTRES DU PREMIER ORDRE 6.3.1.2

Diagramme de Bode pour le gain :

On a H  =

 |

H o

1+(

|

ω 2 ) ωc

=

√1|H +|x o

2

Comportement asymptotique : ⊲

lim G(ω) = lim [20 log10

ω→∞

ω≫ω

c

H o

 |

|

1 + ( ωω )2

| | − 20log ωω

] = 20 log H o

lim G(ω) = Go

ω→∞

⊲

lim G(ω)

ω→0

− 20 log ωω

c

≃ 20 log |H  | = G o

c

c

o

ω

• La courbe représentant le gain G

en fonction de log est une droite de ωc  pente -20dB/décade et qui coupe la droite horizontale G = Go pour  ω = ωc dB

G(dB)

log

ω ωc

 Remarque- 26  :

Pour  ω ≪ ωo =⇒ x → 0 on a H  = H o l’opération « multiplication par une constante» ◮

◮

Pour  ω ≫ ωc =⇒

H o ωc H ( jω) = =  jω

⇒v

s

∈ R =⇒ v (t) = H  v (t) : le circuit réalise s

= H oωc

 

o e

ve dt : c’est un intégrateur 

 Le filtre passe bas d’ordre 1 joue le rôle d’intégrateur en hautes fréquences (pulsations( ω ωc ))

6.3.1.3

≫

Diagramme de Bode pour la phase :

H  • H ( jω) = 1 + j

o ω ω

c

H  ⇒ ϕ(ω) = arg( 1 + j

o

=

ϕ = arg H o

CPGE/Béni Mellal

ω ω

)

c

− arg(1 + j ωω )

Page -61/73-

c

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6.3. FILTRES DU PREMIER ORDRE

 Dans notre exemple H o = 1 =⇒ sin ϕ = ϕ

π , 0 d’où ϕ(ω) = 2

∈ − 

− arctan ωω

− √1 x+ x

2

< 0 et  cos ϕ =

√1 1+ x

2

> 0 donc

√ ◮

 

(1

 Donc si :

• Q < √12 : G • Q > √12 : G

dB

dB

2 2

−x )

+

2

x2 Q2

ne présente pas de maximum (courbe décroissante) présente un maximum en xR =

  − 1

1 ainsi H (xR ) = H o 2Q2

| |

GdB

2Q2

 

4Q2

−1

ωR 20log H o

| | Q=

20log H o

| |−3

√1

log ω

ωo

2 Q>

1 Q< √

√1

2

2

-40 dB/décade

 Remarque- 29 :

CPGE/Béni Mellal

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6.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE

√12

1. En général xR  = 1 =⇒ ωR  = ωo sauf pour  Q =

2. Si Q ≫ 1 alors ωR = ωo ainsi on nomme x1 et x2 > x1 les pôles du dénominateur c’est à dire H o ; ainsi le diagramme asymptotique présente une asymptote (1 + jx 1 )(1 + jx 2 ) intermédiaire entre x1 et x2 à -20 dB/décade

que H  =

En effet si : ◮ ◮ ◮

6.4.1.3

≪ ω =⇒ H  = H  : multiplication par une constante H  ω c’est à dire que v (t) = ω H  v (t) dt :intégrateur  ω ≪ ω ≪ ω =⇒ H  =  jω H  ω ω ≪ ω =⇒ H  = c’est à dire que v (t) = ( v (t) dt) dt : double intégrateur  ( jω) ω

1

1

o

o 1

2

s

o o 2

2

1

  

s

 

o

e

e

Diagramme de Bode pour la phase

On a : H  =

H o

1

−

⇒ ϕ = arg H  − arg(1 − x

x = 2 x + j Q

o

x Q

Pour  H o = 1 alors ϕ = − arg(1 − x2 + j ) =⇒ tan ϕ = −

2

+ j

x ) Q

x Q(1

2

−x )

 Représentation de la phase pour quelques valeurs de Q

ϕ

log x

−π/2

1

Q> √

2

1

Q= √

2

1

Q< √

2

−π

6.4.2

Filtre passe-haut

 La fonction de transfert d’un filtre passe haut d’ordre 2 est de la forme H  =

CPGE/Béni Mellal

−H 

o

x2 1

−x

2

+ j

Page -66/73-

x Q

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6.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE

• En BF x → 0 =⇒ H  → 0 donc v (t) → 0 • En HF x → ∞ =⇒ H  → H  donc v (t) → H  v (t) • deg D( jω)=2 s

o

s

o e

on conclut que le filtre est passe-haut d’ordre 2 6.4.2.1

L’étude d’un exemple

V

V

En utilisant le diviseur de tension en notation complexe on obtient : H  =

1  Avec H o = 1 , Q = R 6.4.2.2

−1 −

 

L et ωo = C 

LCω 2 = LCω 2 + jRCω

1

2

−x

+ j

x Q

1 √LC 

Diagramme de Bode pour le gain

H  = H o

|

Comportement asymptotique : ◮

−

x2

|   − (1

x2 x2 )2 + x2 /Q2

En HF : H  = |H o| =⇒ GdB = Go = 20 log |H o |

|H  |

En BF  H  = 2o =⇒ GdB = Go + 40log x : c’est une droite de pente +40 dB/décade x Cherchons si H  ainsi GdB présente un extremum (maximum), pour cela calculons : ◮

dH  xQ(2Q2 x2 (2Q2 1)) = dx (Q 2 2 Q 2 x 2 + Q 2 x 4 + x 2 )(3/2)

−

−

−

1 H  ne présente pas de maximum (de même pour  GdB ) dH  2 =0= 1 dx Si Q > H  présente un maximum (de même pour en GdB ) xR tel que 2 ωR 2Q  xR = = >1 2 ω 4 Q  2 2 2Q ainsi H (xR ) = Si Q 1 = xR = 1 donc ωo = ωR et H (xR ) = Q H o 2 4Q 1

 √ ⇒  √   −   − Si Q <

CPGE/Béni Mellal

≫ ⇒

| |

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6.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE

 Representation graphique du gain pour quelques valeurs de Q GdB

√

Q > 1/ 2

log x

√ √ Q = 1/ 2

Q < 1/ 2

+40 dB/décade

6.4.2.3

Diagramme de Bode pour la phase

On a :

ϕ = arg( H o x2 )

−

2

− arg(1 − x

+ jx/Q) = arg( H o )

−

− arg(1 − x

2

+ jx/Q)

Pour  H o = 1 alors

ϕ=π

− arg(1 − x

2

⇒ tan(π − ϕ) = − tan ϕ = Q(1 x− x )

+ jx/Q) =

2

 Donc tan ϕ =

x Q(x2

− 1)

 Representation graphique de la phase pour quelques valeurs de Q

CPGE/Béni Mellal

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6.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE ϕ π

√

Q = 0, 2 < 1/ 2

√

Q = 1/ 2

√

Q = 3 > 1/ 2

log x

 Remarque- 30 : ◮ ◮

En HF : H  = H o =⇒ vs (t) = H o ve (t) : multiplication par une constante En BF : H  =

2

−H  x o

=

−

H o ( jω)2 = 2 ωo

⇒

H o d2 ve (t) : la tension de sortie est  vs (t) = 2 ωo dt2

 proportionnelle à la dérivée seconde de la tension d’entrée

6.4.3

Filtre passe-bande

 La fonction de transfert d’un filtre passe-bande d’ordre 2 est : H  = H o

 jx/Q 1

−

H o = x x2 + j 1 + jQ x Q

1 x

−

En BF : H  → 0 =⇒ vs (t) → 0 ◮ En HF : H  → 0 =⇒ vs (t) → 0 On montre (après) que H  présente un maximum , donc c’est un filtre passe-bande du second ordre ◮

6.4.3.1

L’étude d’un exemple

En HF :x → ∞ =⇒ Z L → ∞ donc V s → 0 En BF :x → 0 =⇒ Z c → ∞ donc V s → 0 ◮ Pour  ω = ωo on a V s est maximale ◮  Donc : c’est filtre passif passe bas  L’expression de la fonction de transfert s’écrit : ◮

H  =

On tire que : La pulsation propre ωo = ◮

CPGE/Béni Mellal

1

−

Ve

Vs

jRCω LCω 2 + jRCω

1 √LC 

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6.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE ◮

H o = 1

◮

1 Le facteur de qualité  Q = R

6.4.3.2

 

L C 

Diagramme de Bode pour le gain

On a H  =

H o

  |  |  − 1 x

1 + Q2 x

2

Comportement asymptotique : ◮

En BF : H  =

|H  | x =⇒ G o

BF 

Q

= Go

− 20log(Qω )+20log ω : C’est une droite de pente o

+20 dB/décade ω |H  | En HF : H  = o =⇒ GHF  = Go + 20 log o ◮ Qx

Q

− 20 log ω : C’est une droite de pente

-20 dB/décade Pour  ω = ωo =⇒ H  = |H o | = H max donc GdB (ωo) = 20 log |H o| = Go ◮ L’intersection des deux pentes : GHF  = GBF  =⇒ ω = ωo ◮ ◮

Pour  ω = ωo on a : GHF  (ωo) = GBF  (ωo) = 20 log

 Représentation du diagramme asymptotique

|H  | o

Q

3

GdB

2

20log 1

|H  | o

Q

log x 0

-1

-2

-3

+20 dB/décade

-4 -5

-4

-3

-2

-20 dB/décade -1

0

1

2

3

4

5

 Le diagramme de Bode dépend de la valeur du facteur de qualité  Q , c’est à dire comparer  20 log

|H  | et 20 log |H  | , autrement dit comparer  Q et 1. o

Q

CPGE/Béni Mellal

o

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6.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE  Premier cas Q < 1 :

|H  | > 20 log |H  | , le diagramme de bode est de la forme : o

 Dans ce cas 20log

o

Q

GdB 20log

|H  | o

Q

Go log x -3dB Go x

- 20 dB/décade

+20 dB/décade

Intégrateur

dérivateur

H  H  dv (t) ( jω) =⇒ v (t) = donc dérivateur  • En BF : H  = Qω Qω dt H  1 H  ω =⇒ v (t) = v (t) dt donc intégrateur  • En HF : H  = Qω  jω Q |H  | < 20 log |H  | , le diagramme de bode est de la  Deuxième cas Q > 1 Dans ce cas 20log o

o o

o

s

s

o

o o o

e

 

e

o

 forme :

CPGE/Béni Mellal

Q

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o

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6.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE GdB Go Go-3dB

20log

|H  | o

Q

log x

+ 20 dB/décade

- 20 dB/décade

Integrateur

Dérivateur

6.4.3.3

Diagramme de Bode pour la phase

ϕ = arg H o

− arg[1 + jQ

1 ] x

− x

Pour le filtre passif  H o = 1 donc tan ϕ =

x2

−Q x− 1

ϕ +π/2

log x

1 2

Q> √

1 2

Q= √

1 2

Q< √ −π/2

CPGE/Béni Mellal

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6.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE

6.4.4

Filtre coupe (ou réjecteur) de bande

 La fonction de transfert d’un filtre coupe (réjecteur de) bande du second ordre est de la forme H  = H o

1

−

1 x2 x2 + jx/Q

−

En effet : ◮ ◮ ◮

H (x = 1) = 0 = vs (t) = 0 H (x 0) = H o = vs (t) = H o ve (t) H (x ) = H o = vs (t) = H ove (t)

⇒ ⇒ ⇒

→ →∞

Ce filtre laisse passer toutes les fréquences sauf aux voisinages de x = 1 c’est à dire aux voisinage de la pulsation propre 6.4.4.1

L’étude d’un exemple

• En BF :Z  → ∞ =⇒ i = 0 donc v (t) = v (t) • En BF :Z  → ∞ =⇒ i = 0 donc v (t) = v (t) • Pour  ωω =⇒ v (t) = v (t) c

s

e

L

s

e

o

s

e

C’est un coupe bande  L’expression de la fonction de transfert 

1  jCω H  = = 1 R + jLω +  jCω  jLω +

 Donc : H o = 1 , ωo =

6.4.4.2

1 1  , Q = R LC 

√

1 LCω 2 LCω 2 + jRCω

⇒ H  = 1 − −

 

L et x = ω/ωo C 

Diagramme de Bode pour le gain

On a : 2

|1 − x |

H  = H o

| | (1 − x )

6.4.4.2.1

Comportement asymptotique

2 2

◮

+ x2 /Q2

En BF  x → 0 =⇒ H  = |H o| ainsi GdB = Go

En HF  x → ∞ =⇒ H  = |H o| ainsi GdB = Go  Le gain présente deux asymptotes horizontales confondues Pour  x = 1 =⇒ ω = ωo on a H  = 0+ =⇒ GdB (x = 1) → −∞ ◮ GdB présente une asymptote verticale en x = 1 c’est à dire en pulsation propre ◮

CPGE/Béni Mellal

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6.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE

Représentation graphique du gain pour quelques valeurs de Q

6.4.4.2.2

Q=

√12

√12 1 Q< √ 2

Q>

6.4.4.2.3

La bande passante

2

|H  | =⇒ |1 − x | H  = √ 2 (1 − x ) + x /Q =⇒ 2(1 − x ) = (1 − x ) =⇒ (1 − x ) = x /Q =⇒ 1 − x = ±x/Q o

 

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

+ x2 /Q2

2

2

 La solution de cette équation sont : ω1 x1 = = ω

−

1 1 + 2Q 2

 

1 +4 < 1 Q2

;

1 1 ω2 x2 = =+ + ω 2Q 2

 

1 +4 > 1 Q2

 La largeur de la bande passante ∆x =

CPGE/Béni Mellal

⇒ ∆ω = ωQ

1 = Q

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o

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6.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE 6.4.4.3

Diagramme de Bode pour la phase

On a : H  = H o

1

−

1 x2 = x2 + jx/Q

−

⇒ H  =

H o 1 + j

Q(1

 Donc ϕ = arg H o

Pour un filtre passif  H o = 1 donc : avec : π π ⊲

x 2

−x )

− arg(1 + j Q(1 x− x ) ) 2

tan ϕ =

− Q(1 x− x ) 2

cos φ > 0 =

⇒ ϕ ∈ [− 2 , 2 ] π ⊲ sin ϕ < 0 =⇒ ϕ ∈ [− , 0] pour  x < 1 2 π ⊲ sin ϕ > 0 =⇒ ϕ ∈ [0, ] pour  x > 1 2 • lim ϕ = 0 • lim ϕ = 0 • lim ϕ = − π2 +

−

x→0

x→∞

x→1−

•

lim ϕ = +

x→1+

π 2

On conclut que la phase d’un filtre coupe bande est présente une discontinuité en x = 1 c’est à dire en ωo .  Représentation graphique de la phase pour quelques valeurs de Q π

ϕ

2

1

Q < √  Q

=

2 1

√ 

2 1

Q > √ 

2

-

CPGE/Béni Mellal

π 2

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