ELASTICITY EN 2D WITH FREEFEM++

Éléments nis : Élasticité en dimension d=2.

Abdelouahab OUKHOUYA 12 juin 2012

Position du problème :

Soit Ω un ouvert régulier de de frontière Γ de classe {1 par morceaux ; soit Γ0 une partie de Γ de mesure supercielle strictement positive et soit Γ1 le complémentaire de Γ0 dans Γ. On considère un solide occupant le domaine Ω.

On note ~u le vecteur de déplacement. Si le solide est soumis à la densité de force f~ (gravité par exemple), à la contrainte normale ~g sur une partie de son bord Γ1 et encastré sur l'autre partie du bord Γ0 , alors le vecteur déplacement satisfait aux équations de l'élasticité linéaire :  P2 ∂ u) + fi = 0 dans Ω  j=1 ∂xj σij (~   P2  u)nj = gi sur Γ1  j=1 σij (~  ~u = 0 sur Γ0

(1)

oú nj désigne la j ième composante de la normale extérieure à Ω ; fi ∈ L2 (Ω), gi ∈ L2 (Γ1 ) avec i=1,2. (σij )1≤i,j≤N est le tenseur donné par (

σij (~u) = λtrace(ε(~u))δij + 2µεij (~u) (λ et µ ∈ IR : coecients de Lamé) ∂u ∂ui εij (~u) = 21 ( ∂x + ∂xji ) (appelé tenseur des déformations) j

2

(2)

0.1.

3

ÉTUDE THÉORIQUE :

0.1

Étude théorique :

Cette section aborde l'approximation par éléments nis de problèmes (1). Le domaine Ω ∈ IR2 représente un milieu déformable, initialement au repos et auquel on applique un chargement extérieur f~ : Ω −→ IR2 . L'objectif est de déterminer ~u : Ω −→ IR2 le champ de déplacement fois que le milieu a atteint l'équilibre. Remarque 0.1.1

1. Le problème (1) à des conditions limites de Van-Neumann, on peut par exemple le traité avec des conditions de Dirichlet. Dans ce cas l'étude est plus simple. 2. Les coecients de Lamé sont des coecients λ et µ qui, pour des raisons physiques, sont contraints par les relations µ > 0 et λ + 32 µ > 0. 3. Dans certaines applications, il est plus pratique d'introduire le module de Young E et le coecient de Poisson ν tels que : E=µ

et ν=

3λ + 2µ . (3) λ+µ

1 λ . (4) 2λ+µ

Soient les espaces L2 (Ω)n et H 1 (Ω)n munis des normes suivantes : k~v k0,Ω

n X 1 =( kvi k20,Ω ) 2 i=1

et

n X 1 k~v k1,Ω = ( kvi k21,Ω ) 2 . i=1

Lemme 0.1.1 (Premier inégalité de Korn)

Soit Ω un ouvert borné et connexe de IRn de frontière assez régulière. Alors : Z X n

1 kεij (~u)k20,Ω dx ≥ k~uk21,Ω 2 Ω i,j=1

∀~u ∈ H01 (Ω)N . (5)

Preuve

On donne l'idée de la démonstration : On suppose dans les données du problème que Γ1 = ∅ 1. On écrit le problème variationnel équivalent au problème (1). 2. on montre que pour tout champ ~u ∈ D(Ω)N , on a Z Ω

3. Puis on conclut.

∂ui ∂uj dx = ∂xj ∂xi

Z Ω

∂ui ∂uj dx ∂xi ∂xj

4 Théorème 0.1.1 (seconde inégalité de Korn)

Soit Ω un ouvert borné et connexe de IRn de frontière assez régulière. Alors il existe une constante C(Ω) > 0 qui dépend de Ω telle que : 1

n

∀~u ∈ H (Ω) ,

C(Ω)k~uk21,Ω

≤

n X

kεij (~u)k20,Ω + k~uk20,Ω . (6)

i,j=1

Preuve

Voir P.A.Raviate et J.M.Thomas. Le théorème simplement que : P précèdent nous dit tout 1 ~u 7−→ ( ni,j=1 kεij (~u)k20,Ω + k~uk20,Ω ) 2 est une norme équivalente à la norme : ~u 7−→ k~uk1,Ω sur H 1 (Ω)n . Soit V = {~u ∈ H 1 (Ω)N / ~u/Γ0 = 0}. On pose < = {~u ∈ H 1 (Ω)n ; εij (~u) = 0} pour toute i, j ∈ {1, · · · , n}. On a

~u ∈ < ⇔ ~u(x) = Ax+b, où A est une matrice carrée d'ordre n antisymétrique et b un vecteur de IRn .

Dans notre cas n = 2 : ~u(x) = (u1 (x), u2 (x)) = (a1 + bx, a2 − bx).

oú a1 ,a2 et b sont des réels. Si l'ouvet Ω est connexe ; alors < = {∃a1 , a2 , b ∈ IR; u1 (x) = a1 + bx, u2 (x) = a2 − bx}

Par suite ~u = 0 ; or on a supposé que Γ0 est mesure supercielle strictement positive donc : V

\

< = {0}.

Donc ~u 7→ (kεij (~u)k20,Ω ) 2 est une norme sur V . 1

De plus par la première inégalité de Korne (5) on a : Z X n

1 kεij (~u)k20,Ω dx ≥ k~uk21,Ω 2 Ω i,j=1

∀~u ∈ V.

Donc ~u 7→ (kεij (~u)k20,Ω ) 2 est équivalente à la norme k.k1,Ω . On na le théorème : 1

0.1.

5

ÉTUDE THÉORIQUE :

Théorème 0.1.2

Soit Ω un ouvert borné et connexe de IRn , de frontière Γ assez régulière. Alors il existe une constante C0 strictement positive telle que : n X

kεij (~u)k20,Ω ≥ C0 k~uk21,Ω

∀~u ∈ V.

(7)

i,j=1

De ce théorème on va montrer la V-ellipticité de la forme linéaire associée à la formulation variationnelle de problème (1). Formulation variationnelle et solution :

On pose a(~u, ~v ) =

2 Z X i,j=1

σij (~u)εij (~v ) dx. (8)

Ω

avec, σij (~u) et εij (~v ) sont donnés dans l'équation (2). Par (2), on a : 2 Z X ∂u1 ∂u2 ∂v1 ∂v2 a(~u, ~v ) = λ ( εij (~u)εij (~v ) dx (9) + )( + ) dx + 2µ ∂x2 ∂x1 ∂x2 Ω ∂x1 i,j=1 Ω

Z

par cette relation on a : a(~u, ~v ) = a(~v , ~u), donc a(., .) est symétrique. De plus d'après le théorème (0.1.2) : il existe C0 > 0, telle que a(~v , ~v ) ≥ 2µC0 k~uk21,Ω

∀~u ∈ V. (10)

Il en découle que a(., .) est V-elliptique. Il est claire que a(., .) est continue sur V 2 . D'autre part on a la forme : Z ~u 7−→

Z (f1 u1 + f2 u2 ) dx +

Ω

(g1 u1 + g2 u2 ) dσ

(11).

Γ1

est une forme linéaire continue sur V . : Vu les hypothèses données donc par le théorème Lax-Milgram du cours : il existe ~v ∈ V unique solution de Conclusion

Z a(~u, ~v ) =

Z (f1 u1 + f2 u2 ) dx +

Ω

(g1 u1 + g2 u2 ) dσ

∀~u ∈ V. (12)

Γ1

Or la forme bilinéaire est symétrique, alors on a la fonction de l'énergie dénie par : Z Z n Z 1X J(~u) = σij (~u)εij (~v ) dx − (f1 u1 + f2 u2 ) dx − (g1 u1 + g2 u2 ) dσ. (13) 2 i,j=1 Ω Ω Γ1

D'après un autre théorème du cours, la solution ~v de (12) est donner par : J(~v ) = min{J(~u); ~u ∈ V }. (14)

6 Régularité de la solution

:

Soit ~v ∈ H 2 (Ω)2 . R P ∂ui dx (15). On a σij = σji , donc : a(~u, ~v ) = 2i,j=1 Ω σij (~v ) ∂x j Si ~u une fonction test (i.e ~u ∈ D(Ω)), alors par (12) et (15) : 2 X ∂ σij (~u) + fi = 0dans ∂xj j=1

Ω, i = 1, 2 (16).

donc la formulation variationnelle (12) devient a(~u, ~v ) = −

2 Z X i,j=1

2

X ∂ ( σij (~v ))ui dx + Ω ∂xj i=1

Z gi ui dσ

∀~u ∈ V. (17)

Γ1

Par la formule de Green on a, 2 Z X i,j=1

2 Z 2 Z X X ∂ui ∂ dx = σij (~v ))ui dx + σij (~v ) ( (σij (~v )ui uj ) dσ. (18) ∂xj ∂x j Ω Ω Γ i,j=1 i,j=1

Par suite (17) s'écrit, 2 Z X i=1

2 X ( σij (~v )uj − gi )ui dσ = 0,

∀~u ∈ V. (19)

Γ1 j=1

Finalement puisque on supposé depuis le début que la solution ~v ∈ H 2 (Ω)2 , alors 2 X

σij (~v )uj = gi

sur Γ1 , i = 1, 2 (20).

j=1

Par suite on a la régularité de la solution faible.

0.2.

7

ÉTUDE PRATIQUE

0.2

Étude pratique

On considère un domaine Ω = ]0, 4[ x ]0, 1[ un ouvert de IR2 . Soit Γi , i = 1, 2, 3, 4 les cotês du rectangle Ω. On introduit un maillage régulier τh et Wh l'espace des fonctions P1 à valeurs vectorielles (dans IR2 ) associée.

Premier cas :

On va chercher à résoudre le problème de l'élasticité linéaire dans une poutre de longueur 4 et de largeur 1, xée à son extrémiste gauche, soumise à des forces f~.

D'aprés la partie théorique l'approximation du problème de l'élasticité linéaire consiste à déterminer :  u~h = [u1h , u2h ]∈ Vh = {[ wh1 , wh2 ∈ Wh : wh1 = 0 et wh2 = 0 sur Γ4 }.

tel que

Z

Z 2µe(uh ) : e(vh ) + λ(Ouh )(Ovh ) dx =

Ω

f.vh dx. (21) Ω

pour tout vh ∈ Vh ;oú e(vh ) est le tenseur linéarisé, 1 e(vh ) = (Ovh + (Ovh )> ) (22). 2

8 Remarque 0.2.1

L'achage de données vectorielles à l'aide de la fonction plot n'est pas idéal. Par contre, FreeFem++ ore la possibilité de visualiser la déformation d'un maillage τh . Dans un premier temps, on dénit le maillage déformé par : real ex=0.05 ;//coecient d'exageration mesh Sh=movemesh(Th,[x+ex*uh1,y+ex*uh2]) ;//on déforme ou déplace le mesh Il sut alors d'acher le maillage déformer Sh .

plot(Sh) ;

Code

:

0.2.

ÉTUDE PRATIQUE

Figures :

9

10

Commentaires :

On peut améliorerai le calcul précédent en travaillant sur un maillage de plus en plus n. Cependant, utiliser un maillage uniforme n'est pas optimal. Il plus intéressant de raner dans les régions oú il se passe réellement quelque chose,dans notre cas c'est les bords de Γ4 , c'est à dire oú le gradient de la solution uh varie rapidement. Pour cela en utilise la fonction adaptmesh, qui permet de raner le maillage en l'adaptant à une fonction spéciée : real erreur=0.001 ; Th=adaptmesh(Th,uh1,uh2,err=erreur) ;

permet d'adapter le maillage avec une précision inversement proportionnelle à l'erreur en fonction de uh . Alors par ce possédé on améliore notre solution comme on le va montrer.

Code :

0.2.

ÉTUDE PRATIQUE

Figures :

11

12

0.2.

ÉTUDE PRATIQUE

13

Deuxième cas :

Cette fois, la poutre xée à son extrémiste gauche et droite.

Ce cas se traite comme le cas précédente ; sauf qu'on ajoute dans la résolution du problème variationnelle, une autre condition limite. Dans ce cas on trouve les singularités au bord de Γ2 et Γ4 .

Codes :

14

0.2.

ÉTUDE PRATIQUE

Figures associées

15

16

0.2.

ÉTUDE PRATIQUE

17