ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES Cuestiones y problemas
Juan García Cabrera
Título: Elasticidad y resistencia de materiales. Cuestiones y problemas Autor: © Juan García Cabrera ISBN: 84-8454-499-0 Depósito legal: A-146-2006 Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 33 C/ Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Printed in Spain
Imprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87 C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante) www.gamma.fm
[email protected] Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright
A mi madre y a Cecilia
INDICE
I. CUESTIONES DE ELASTICIDAD................................................ 7 II. CUESTIONES DE RESISTENCIA de MATERIALES................. 17 III. CUESTIONES RELATIVAS a los PROGRAMAS BASADOS en el MÉTODO de los ELEMENTOS FINITOS .......................... 25 IV. PROBLEMAS de ELASTICIDAD................................................ 29 V. PROBLEMAS de RESISTENCIA de MATERIALES...................79
5
I.
I.1
CUESTIONES DE ELASTICIDAD
Diferencia entre límite de proporcionalidad y límite elástico.
El límite de proporcionalidad es el límite superior del valor de la tensión por debajo del cual se cumple que la relación entre tensiones y deformaciones es lineal. Por encima de dicho valor de la tensión, la relación entre tensiones y deformaciones ya no es lineal. El límite elástico es el valor de la tensión que separa dos zonas de comportamiento diferente. Si el cuerpo se encuentra sometido a una tensión menor del límite elástico, cuando se retire la carga el cuerpo recuperará su deformación. Si el cuerpo se encuentra sometido a una tensión mayor del límite elástico, cuando se retire la carga el cuerpo no recuperará toda la deformación inducida por dicha carga. Estos dos límites no tienen por qué coincidir. I.2
Forma geométrica del elipsoide de tensiones de Lamé cuando dos direcciones principales forman un ángulo de 60º ¿Y en el caso de que formen un ángulo de 120º?
Las direcciones principales son siempre perpendiculares entre sí.... Por otra parte, el elipsoide de tensiones de Lamé tiene forma, en general, de... ¡elipsoide!. I.3
En el caso de que dos direcciones principales formen un ángulo de 60º, ¿qué forma tendrá el círculo de Mhor? ¿Y en el caso de que formen un ángulo de 120º?
Al igual que en la cuestión Nº 2, las direcciones principales son siempre perpendiculares entre sí. 7
ELASTICIDAD y RESISTENCIA de MATERIALES – Juan García Cabrera
I.4
¿Qué representa el elipsoide de tensiones de Lamé?
Para un determinado punto del sólido elástico y un determinado estado tensional, el elipsoide de tensiones de Lamé representa los extremos de todos los vectores tensión en dicho punto. Dichos vectores tensión son los obtenidos para cada uno de los infinitos planos con los que se puede “cortar” el sólido elástico, en dicho punto. (Por tanto, el elipsoide de tensiones de Lamé es una superficie en el espacio.) I.5
Diferencias en el tensor de tensiones entre los estados de tensión plana y deformación plana.
El estado de tensión plana se define como aquel en el que y el tensor de tensiones tiene la forma:
y en el caso de deformación plana, sus condiciones son :
y el tensor de tensiones tiene la forma:
8
I. Cuestiones de elasticidad
Por tanto su diferencia (–formal–) estriba en que en el caso de tensión plana la tensión σ z = 0 . I.6
Sean I, II y III las tensiones principales en un determinado punto de un sólido elástico y para un determinado estado tensional. Si I = II = III, ¿qué forma geométrica adopta el círculo de Mhor?
El círculo de Mhor es una representación plana de las componentes intrínsecas (σ y τ ) de los vectores tensión en un punto. El círculo de Mhor será un punto; en concreto, el punto de coordenadas (σI, 0). I.7
Sean I, II y III las tensiones principales en un determinado punto y para un determinado estado tensional en un cuerpo elástico. Si I = II > 0 y III = 0, dibujar el círculo de Mhor.
El dibujo de los círculos de Mhor será el siguiente:
I.8
Sean I, II y III las tensiones principales en un determinado punto y para un determinado estado 9
ELASTICIDAD y RESISTENCIA de MATERIALES – Juan García Cabrera
tensional en un cuerpo elástico. Si II = 0, I = – III, ¿qué forma geométrica adopta el círculo de Mhor?
El dibujo de los círculos de Mhor será el siguiente:
I.9
Sean I, II y III las tensiones principales en un determinado punto de un sólido elástico y para un determinado estado tensional. Si I = II III, ¿qué forma geométrica adopta el elipsoide de tensiones de Lamé?
La ecuación del elipsoide de tensiones de Lamé es: X 2 2 σ I
+
Y 2 2 σ II
+
Z 2 2 σ III
=1
siendo σ I, σ II, y σ III las tensiones principales en dicho punto. Dicha ecuación representa, en general, un elipsoide de radios σ I, σ II, y σ III.
10
I. Cuestiones de elasticidad
En el caso que nos ocupa, (σI = σII ≠ σIII ) la forma geométrica será la de un elipsoide de revolución, cuyo eje de revolución será la dirección principal correspondiente a la tensión principal σIII . I.10
caso:
Sean I, II y III las tensiones principales en un determinado punto de un sólido elástico y para un determinado estado tensional. Si I = II = III, ¿qué forma geométrica adopta el elipsoide de tensiones de Lamé?
La ecuación del elipsoide de tensiones de Lamé será, en este X 2 2 σ I
+
Y 2 2 σ I
+
Z 2 2 σ I
=1
;
por tanto, el elipsoide de tensiones de Lamé será una superficie esférica de radio σ I. I.11
Sean I, II y III las tensiones principales en un determinado punto de un sólido elástico y para un determinado estado tensional. Si I = II = III, ¿qué podemos decir de las direcciones principales?
Nada en particular. Los valores de σI, σII, y σIII son los valores de las tensiones principales, pero el hecho de que su valor sea igual, no implica ninguna característica especialmente significativa para las direcciones principales. I.12
caso:
Sean I, II y III las tensiones principales en un determinado punto y para un determinado estado tensional en un cuerpo elástico. Si II = 0, I = – III, ¿qué forma geométrica adopta el elipsoide de tensiones de Lamé?
La ecuación del elipsoide de tensiones de Lamé será, en este X 2 2 σ I
+
Z 2 2 σ I
=1
.
11
ELASTICIDAD y RESISTENCIA de MATERIALES – Juan García Cabrera
Por tanto, el elipsoide de tensiones de Lamé será una circunferencia de radio σ I situada en el plano Y = 0.
NOTA: obsérvese que es una circunferencia y no un círculo. I.13
Explicar el concepto de deformación longitudinal unitaria.
La deformación longitudinal unitaria es la deformación a lo largo de una dirección recta por unidad de longitud inicial. Si la deformación es 0,2 mm. y la longitud inicial es 10 m., la deformación longitudinal unitaria es I.14
ε
=
0,2
=
10.000
0,00002 = 0,002%
¿Qué representa el invariante lineal del tensor de deformaciones?
El invariante lineal del tensor de deformaciones representa la deformación cúbica unitaria: I 1 = ε x + ε y + ε z = e . Es, por tanto, una deformación volumétrica. I.15
Concepto de módulo de elasticidad.
El módulo de elasticidad (E) es la relación entre la tensión y la deformación longitudinal unitaria.
E =
σ ε
12
I. Cuestiones de elasticidad
En la zona de comportamiento elástico del diagrama tensióndeformación, el módulo de elasticidad representa la tangente del ángulo que forma la recta del diagrama con la horizontal.
I.16
¿Qué significado tiene el coeficiente de Poisson?
El coeficiente de Poisson (µ) relaciona la deformación longitudinal unitaria en la dirección en la que se aplica la fuerza con la deformación longitudinal unitaria en la dirección perpendicular a la que se aplica la fuerza. Si, por ejemplo, la fuerza se aplica en el eje X, µ = I.17
ε y ε x
.
Formulación de la Ley de Hooke Generalizada.
Para los ejes principales:
Para cualquier dirección:
1 ⎧ ε I = (σ I − µ (σ II + σ III )) ⎪ E ⎪⎪ 1 ⎨ ε II = (σ II − µ (σ I + σ III )) E ⎪ ⎪ε III = 1 (σ III − µ (σ I + σ II )) ⎪⎩ E
1 ⎧ (σ x − µ (σ y + σ z )) ε x = ⎪ E ⎪⎪ 1 ⎨ε y = (σ y − µ (σ x + σ z )) E ⎪ ⎪ε = 1 (σ − µ (σ + σ )) x y ⎪⎩ z E z
τ xy ⎧ ⎪γ xy = G ⎪ τ xz ⎪ ⎨γ xz = G ⎪ ⎪γ = τ yz ⎪⎩ yz G
13
