EL WRONSKIANO ejercicios resueltos.docx

ECUACIONES DIFERENCIALES TEMA: EL MÉTODO DEL WRONSKIANO PROF.: JAVIER VIVAR MANRIQUE ALUMNA: VICTORIA GOYZUETA BEDOYA CURSO:

EL WRONSKIANO Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef HoeneWronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones

diferenciales. Ahora bien, para hablar de los usos del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales, tenemos que dar la definición de la dependencia lineal y de la independencia lineal. Independencia y Dependencia Lineal. Sean n funciones

{ f ( x ) , f ( x ) , f ( x ) , f ( x) … f n ( x ) } 1

2

3

4

,definidas en el mismo

( n− 1 ) veces diferenciables. Entonces, el

dominio

D ⊆ R , cuando menos

conjunto

S = {f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , f 3 ( x ) , f 4 ( x ) … f n ( x ) } , se dice linealmente dependiente

en , si existen algunas constantes,

c 1 , c 2 , c3 , c 4 … c n

distintas de cero tal

que n

c f ( x )= c ∑ = i

i

i

1

f 1 ( x ) + c 2 f 2 ( x )+ c3 f 3 ( x ) + c 4 f 4 ( x ) + …+ c n f n ( x ) =0

1

conc 1 ,c 2 , c 3 , c 4 … c n ∈ R !or

el

contrario,

c i ≠ 0 … ( coni = 1,2,3 …,n;n

si ∈Z

) ,

no se

existe dirá

que

ninguna

constante

S

linealmente

es

independiente. efinición" Wronskiano El Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas. El conjunto

( n− 1 )

S = {f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , f 3 ( x ) , f 4 ( x ) … f n ( x ) }

de funciones, cuando menos

veces diferenciables, conforman el Wronskiano,

W ( S )=W ( f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , f 3 ( x ) , f 4 ( x ) ,… f n ( x ) )

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a trav#s del si$uiente determinante"

|

W ( S )=¿

f 1( x ) f 1( x ) … f 1 ( x ) ' ' ' f 1( x ) f 1( x ) … f 1 ( x ) ⋮ ⋮ ⋱⋮ ( n− 1 ) ( n− 1 )

f1

Si

S

W ( S ) ≠ 0 , entonces

S

f1

|

(n −1)

…f1

es linealmente independiente, caso contrario

es linealmente dependiente.

Ejemplo 1: etermine, mediante el Wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes

y 1=cos x ; y 2= se n x ; y 3= 1 %empla&ando valores en

f1 W ( f 1 , f 2 , f 3) f '1

f2 ' f2

f3 ' f2

''

f2

''

f3

| | f1

''

Se tiene

|

cosx senx W ( y 1 , y 2 , y 3) − senx cos x −cos x −senx

|

1 0 0

%esolviendo el determinante de orden '"

|

cosx sen x W ( y 1 , y 2 , y 3) − senx cos x −cos x −senx

|

1 0 0

cos x

sin x

−sin x cos x −cos x −sin x

W ( y 1 , y 2 , y 3)= ( 0 + 0 + sen x )−( −cos x + 0 + 0 ) 2

2

2

2

W ( y 1 , y 2 , y 3)= sen x + cos x =1

|

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(omo W ( y 1 , y 2 , y 3) ≠ 0

entonces, las funciones son linealmente

independientes Ejemplo 2: etermine, mediante el Wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes" 2

y 1= x ; y 2 = x ; y 3= 4 x −3 x

2

%empla&ando valores en

| |

f1 W ( f 1 , f 2 , f 3) f '1

f2

f3

'

f2

f2

''

''

f3

'

f1

f2

x

|

x

1

2x

0

2

''

Se tiene

W ( y 1 , y 2 , y 3)

2

|

2

−3 x 4 −6 x −6

4x

%esolviendo el determinante de orden '"

|

2

0

| |

2

4 x −3 x 4 −6 x −6

x x W ( y 1 , y 2 , y 3) 1 2 x 2

2

x

x 1 2x 0

2

W ( y 1 , y 2 , y 3)= (−12 x + 0 + 8 x −6 x )−( 0 + 8 x −12 x −6 x 2

2

2

2

)

W ( y 1 , y 2 , y 3 )=−12 x + 8 x −6 x −8 x + 12 x + 6 x = 0 2

(omo W ( y 1 , y 2 , y 3 )=0

2

2

2

entonces, las funciones son linealmente dependientes.

EJERCICIOS PROPUESTOS: (Li!o E"#a"ione$ %i&e!en"iale$ ' apli"a"ione$  Ed#a!do E$pino)a Ramo$*

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)bt#n$ase el Wronskiano de las si$uientes funciones indicadas e indique si son *inealmente +ndependientes o *inealmente ependientes" A*

x

−x

x

f 1 = e ; f 2= 2 e ; f 3 = e

%empla&ando valores en

f1 W ( f 1 , f 2 , f 3) f '1

f2 ' f2

f3 ' f2

''

f2

''

f3

| | f1

''

|

x

e W ( f 1 , f 2 , f 3)= e x x e

Se tiene"

2e

x

2e

x

2e

x

−x

|

e −e− x −x e

%esolviendo el determinante de orden '" x

e W ( f 1 , f 2 , f 3)= e x ex

|

−x

2e

x

2e

x

e e −e− x e x

x

2ex

e− x e x

2e

x

2e

x

2 ex

| |

W (f 1 , f 2 , f 3 )= ( 2 e −2 e + 2 e )−( 2 e − 2 e + 2 e ) x

x

x

x

x

x

W ( f 1 , f 2 , f 3 )= 2 e −2 e + 2 e −¿ W ( f 1 , f 2 , f 3)=¿

+*

0

2e

x

x

x

− 2 e x + 2 e x= 0

es decir, las funciones son linealmente dependientes

f 1 =2 ; f 2=cos x ; f 3=cos2 x

%empla&ando valores en

| |

f1 W ( f 1 , f 2 , f 3) f '1

f2

f3

'

f2

f2

''

''

''

f1

x

f2

'

f3

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|

|

2 cos x co s2 x W ( f 1 , f 2 , f 3)= 0 −sen x −2 sen 2 x 0 −cos x −4 cos2 x

Se tiene"

%esolviendo el determinante de orden '"

x 2 cos x os c2 W ( f 1 , f 2 , f 3)= 0 −sen x −2 sen 2 x 0 − cos x − 4 cos2 x

|

W ( f 1 , f 2 , f 3 )=( 8 senx.

cos 2 x

2

cos

x

−sen x −cos x

0

|

0

|

) −( 4 cos x . sen 2 x )

x 2 sen x . cos

¿

W ( f 1 , f 2 , f 3 )=8 sen x ( cos x − sen x )− 4 cos x ¿ 2

2

W (f 1 , f 2 , f 3 )= 8 senx cos x − 8 sen x − 8 sen x cos x 2

3

2

W ( f 1 , f 2 , f 3 )=−8 sen x , las funciones son linealmente independientes 3

C*

−x

2

f 1 =1 ; f 2= e ; f 3= 2 e

x

%empla&ando valores en

| |

f1 W ( f 1 , f 2 , f 3) f '1

f2

f3

f2

'

f2

''

''

f3

f1

f2

'

''

1

−x

e

−x

0

W ( f 1 , f 2 , f 3 )=

Se tiene"

|

0

−ee− x

2e 4

|

−x

e W ( f 1 , f 2 , f 3 )= 0 −e−x −x 0 e

2e

| |

2x

4e

2x

2x

8e

−x

e −x 0 −e −x 0 e 1

2x

e2 x 8e

%esolviendo el determinante de orden '" 1

2x

|

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x

x

W (f 1 , f 2 , f 3 )=−8 e − 4 e =−12 e W ( f 1 , f 2 , f 3 )=¿

x

- -e, las funciones son linealmente independientes

2

f 1 =1 ; f 2= sen x ; f 3=1− cos x

%*

%empla&ando valores en

| |

f1 W ( f 1 , f 2 , f 3) f '1 ''

f1

f2

f3

'

f2

f2

''

f3

'

''

f2

1 2

sen x

¿

−cos x

0 2 se nx . cos x 2 sen x x +¿ 2 co s x 0 2 −2 s en ¿ cos x ¿ ¿ W ( f 1 , f 2 , f 3 )=¿ 1

Se tiene"

%esolviendo el determinante de orden '" 1 2

sen x

¿ ¿

2

sen x 2 senx. cos x 2 2 0 −2 sen x +¿ 2cos x 1 −cos x 0 2 senx. cos x 2 senx 0 x +¿ 2cos x ¿ 2 −2 sen ¿ cos x ¿ ¿ 1 0

W ( f 1 , f 2 , f 3 )=¿ x 2

2

−2 sen x + 2 cos ¿ W ( f , f , f )=cos x ( 2 sen x . cos x ) −se n x ¿ 1

2

3

W ( f 1 , f 2 , f 3 )=2 sen x . cos x + 2 sen x − 2 sen x. cos x 2

3

2

W (f 1 , f 2 , f 3 )= 2 sen x , las funciones son linealmente independientes 3

ECUACIONES DIFERENCIALES TEMA: EL MÉTODO DEL WRONSKIANO PROF.: JAVIER VIVAR MANRIQUE ALUMNA: VICTORIA GOYZUETA BEDOYA CURSO:

2

E*

4

8

f 1 = x ; f 2= x ; f 3 = x

%empla&ando valores en

f1

f2

f3

'

'

'

W ( f 1 , f 2 , f 3) f '1' f '2' f 2'' f1 f2 f 3

| | |

2

x W ( f 1 , f 2 , f 3 )= 2 x

Se tiene"

2

4

x 3 4x 2 12 x

8

|

x 7 8x 6 56 x

%esolviendo el determinante de orden '"

x2 W ( f 1 , f 2 , f 3 )= 2 x

|

2

x4 x 8 x2 x4 3 7 3 4x 8x 2 x 4 x 2 6 2 12 x 56 x 2 12 x

| |

W (f 1 , f 2 , f 3 )=( 224 x + 16 x + 24 x ) −( 8 x + 96 x + 112 x ) 11

11

11

W ( f 1 , f 2 , f 3 )=264 x −216 x =48 x 11

W (f 1 , f 2 , f 3 )= 48 x

11

11

11

11

11

11

, las funciones son linealmente independientes .