El Vector de Poyting

EL VECTOR DE POYNTING En la física, el vector de Poynting es la densidad del flujo de energía direccional) de un campo electromagnético. Fue nombrado en honor a su descubridor John Henry Poynting. Oliver Heaviside y NikolayUmov independiente co-descubrió el vector de Poynting. 1. Definición En el trabajo original de Poynting y en muchos libros de texto, generalmente se denota por S o N, y que comúnmente se conoce como Abraham; donde E es el campo eléctrico y el campo magnético H. En ocasiones se utiliza una definición alternativa en términos de campo eléctrico E y la densidad de flujo magnético B. Siempre es posible combinar el campo de desplazamiento D a la densidad de flujo magnético B que es la forma Minkowski del vector de Poynting, o el uso de D y H para construir otros. La elección ha sido motivo de controversia: Pfeifer et al. y resume la larga disputa centenaria entre los partidarios de las formas de Abraham y Minkowski. El vector de Poynting es el caso particular del vector de flujo de energía para la energía electromagnética. Sin embargo, cualquier tipo de energía tiene su dirección de movimiento en el espacio, así como su densidad, entonces los vectores de flujo se pueden establecer para otros tipos de energía también, por ejemplo, en energía mecánica. El vector de PoyntingUmov-descubierto por NikolayUmov en 1874 describe el flujo de energía en un medio elástico y líquido en un punto de vista completamente generalizada. 2. Interpretación El vector de Poynting aparece en el teorema de Poynting, una ley de conservación de la energía,donde Jf es la densidad de corriente de cargas libres i es la densidad de energía electromagnética,donde B es la densidad de flujo magnético, D es el campo de desplazamiento eléctrico. El primer término de la derecha representa la red de flujo de energía electromagnética en un pequeño volumen, mientras que el segundo término representa la porción resta del trabajo realizado por las corrientes eléctricas libres que no están necesariamente transformar en energía electromagnética. En esta definición, las corrientes eléctricas no estás conectado incluyen en este término, y en lugar de contribuir a S y u. Tenga en cuenta que u sólo se puede dar si es lineal, no dispersivo y materiales uniformes están involucrados, es decir, si las relaciones constitutivas se pueden escribir comodonde ε y μ son constantes, llamados permitividad y la permeabilidad, respectivamente, del material. Está prácticamente limita el teorema de Poynting en forma de campos en el vacío. Una generalización de materiales dispersivos es posible bajo ciertas circunstancias en el costo de los términos adicionales y la pérdida de sus claras interpretaciones físicas.

El vector de Poynting se interpreta generalmente como el flujo de energía, pero esto sólo es estrictamente correcto a la radiación electromagnética. El caso más general es descrito por el teorema de Poynting descrito anteriormente, donde se presenta como una divergencia, lo que significa que sólo puedo describir el cambio de la densidad de energía en el espacio, en lugar de flujo. 3. Invariancia la adición de una ola de un campo Como el vector de Poynting se produce sólo en la divergencia Teorema de Poynting como ∇ • S, el vector de Poynting S es arbitraria la medida en que hace girar puede agregar un campo F a S,desde la divergencia del término onda es cero: ∇ • = 0 para un campo arbitrario F. Hacer esto no es común o útil sin embargo, y dará lugar a incoherencias en la descripción relativista del campo electromagnético en términos del tensor de energíamomento. 4. Formulación en términos de campos microscópicos En algunos casos, puede ser más apropiado para definir el vector de Poynting S comodonde μ0 es la constante magnética. Se pueden deducir directamente de las ecuaciones de Maxwell en términos de carga y corriente total y la ley de única fuerza de Lorentz. El formulario correspondiente del teorema de Poynting esdonde J es la densidad de corriente total y la densidad de energía es udonde ε0 es la constante eléctrica. Las dos definiciones alternativas Poynting vector son equivalentes en vacío o metales no magnéticos, donde B = μ0 H. En todos los demás casos, se diferencian en que yu es el correspondiente puramente radiativo desde el término de disipación cubre la corriente total, mientras que la definición en términos de contribuciones de la actual M está ligada entonces a carecer plazo disipación. 5. Disipación resistiva Si un conductor tiene una resistencia significativa, tan cerca de la superficie del conductor, el vector de Poynting sería inclinado hacia arriba y incidir sobre el conductor. Una vez que el vector de Poynting entra en el conductor, que está doblada en una dirección que es casi perpendicular a la superficie. Esto es una consecuencia de la Ley de Snell y en una muy baja velocidad de la luz dentro de un conductor. Consulte la página 402 de Hayt para definir y calcular la velocidad de la luz en un conductor. En el interior del conductor, el vector de Poynting es el flujo de energía del campo electromagnético al cable, la resistencia y la producción de calentamiento por efecto Joule en el cable. Para la deducción que se inicia con la ley de Snell Reitz consulte la página 454.

6. Deducciones Una onda electromagnética plana, E y B son siempre perpendiculares uno al otro en la dirección de propagación. Además, sus amplitudes se relacionan de acuerdo cony su posición y las funciones de tiempo son 7. La presión de radiación La densidad de la cantidad de movimiento del campo electromagnético es de S / c. La presión de radiación ejercida por una onda electromagnética sobre la superficie de un objeto viene dada por:donde la intensidad media en el tiempo anterior. 8. En los campos estáticos Las consideraciones del vector de Poynting en los campos estáticos muestra la naturaleza relativista de las ecuaciones de Maxwell y permite una mejor comprensión de la componente magnética de la fuerza de Lorentz q. Para ilustrar, la figura adjunta se considera, que describe el vector de Poynting de un condensador cilíndrico, que se encuentra en un campo H generación de imán permanente. Aunque sólo hay campos eléctricos y magnéticos estáticos, calcular el vector de Poynting produce un flujo de potencia de las agujas del reloj eléctrico, sin principio ni fin.

Teorema de Poynting Relación entre velocidad d transferencia de energía y las ampliaciones de los campos E y H • Manipulando ecuaciones:

• Si el medio es lineal:

• Entonces:

• Integrando a un volumen V constante en el tiempo:

• Puesto que la potencia disipada es:

Todos los términos de la expresión pueden ser interpretados como potencias (variación de energía en la unidad de tiempo) y teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía: • Sólo depende del campo magnético: Es el incremento por unidad de tiempo de la energía asociada al campo magnético.

• Sólo depende del campo eléctrico: Es el incremento por unidad de tiempo de la energía asociada al campo eléctrico.

• Es un flujo a través de la superficie que limita el volumen: Es la cantidad de energía que sale del volumen por unidad de tiempo en forma electromagnética.

9. Dimensiones del vector pointing  Es una medida de la velocidad de flujo de energía por unidad de tiempo y por unidad de área en el punto donde se calcula dicho vector.  La dirección de tal flujo de energía perpendicular a E y H, en el sentido al producto vectorial de los mismos.

10. Vector de poyntingcomplejo Campos eléctrico y magnético varian armónicamente con el tiempo, el vector de poynting se convierte en una fasor. El valor medio, a la integración del mismo en un periodo Y dividiendo el resultado por dicho periodo.

Energía: Teorema de Poynting. Resumen:

• Esta expresión recibe el nombre de Teorema de Poynting:

Es la densidad volumétrica de energía asociada al campo eléctrico.

Es la densidad volumétrica de energía asociada al campo magnético.

Es la densidad volumétrica de potencia transformada en otro tipo.

Es el vector de Poynting. Su componente en una dirección representa la densidad de flujo de energía electromagnética por unidad de área en esa dirección. Su dirección y sentido coinciden con los del transporte de energía electromagnética.

11. Ejemplo El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuentra lleno de un material óhmico, de permitividad , conductividad σ, y permeabilidad magnética μ. El radio de las placas es b, y la distancia entre ellas es a ( ). La placa superior está permanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tensión V(t). 1. Despreciando los efectos de borde y la inducción electromagnética, halle el campo eléctrico entre las placas y la corriente total que fluye entre ellas. 2. Calcule el campo magnético entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje . 3. Halle el vector de Poynting en el espacio entre las placas, así como su flujo a través de una superficie cilíndrica de radio b y altura a, concéntrica con el sistema. 4. ¿A qué equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En qué caso es nulo? ¿Qué representa este caso? Solución Campo eléctrico y corriente Si despreciamos los efectos de borde y los efectos de la inducción electromagnética, el campo eléctrico en este sistema es análogo al de un condensador de placas planas y paralelas en electrostática

Una vez conocido el campo eléctrico el cálculo de la corriente es inmediato. En este caso tenemos dos densidades de corriente:

Corriente de conducción Verifica la ley de Ohm

Corriente de desplazamiento

Ambas corrientes van en la dirección perpendicular a las placas. Estas expresiones nos permiten comparar la importancia relativa de la corriente de desplazamiento frente a la de conducción en un medio óhmico. Supongamos que V(t) varía sinusoidalmente. Las corrientes serán

La importancia relativa será

Esta cantidad es dependiente de la frecuencia no sólo por que aparece en la expresión, sino porque y σdependen también de ella. Para frecuencias bajas, la corriente de desplazamiento es mucho más pequeña que la de conducción. Por ejemplo, para el agua de mar,

para una frecuencia

resulta

esto es, que la corriente de conducción es veinte millones de veces más grande que la de desplazamiento. Para el agua destilada esta proporción disminuye, pero aun sigue siendo una diezmilésima. Hay que aumentar la frecuencia hasta los megahercios para que sea realmente apreciable. En un medio conductor, como el cobre la corriente de desplazamiento es absolutamente despreciable incluso a muy altas frecuencias. Campo magnético El campo magnético es debido a las dos corrientes anteriores. Por la simetría del sistema, se deduce que debe ser de la forma

Análogamente al caso de un cable cilíndrico o de un condensador sin pérdidas. Si aplicamos la ley de Ampère--Maxwell en medios materiales

a una circunferencia concéntrica con el eje del sistema tenemos por un lado

y, por otro,

En las dos integrales anteriores hemos aplicado que los integrandos son uniformes en el dominio de integración. Igualando los dos miembros resulta, para el campo magnético

Vector de Poynting y flujo de energía Conocidos los campos eléctrico y magnético, el cálculo del vector de Poynting es inmediato

El vector de Poynting apunta en la dirección radial, ortogonal a (que es acimutal).

(que es vertical) y a

Balance energético El flujo de este vector a través de una superficie de radio b concéntrica se descompone en dos integrales sobre las bases, más una sobre la cara lateral. Las de las bases se anulan, por ser el vector de Poynting tangente a la superficie. La integral sobre la cara lateral es

Este resultado puede interpretarse fácilmente. Identificando

Puede escribirse como

Que se lee como que la energía que fluye hacia adentro del sistema equivale a la energía disipada en la resistencia, más la que se almacena en el condensador. Otra forma de leer esta misma ecuación es escribir

Que nos dice que, de lo que disminuye la energía almacenada en el condensador, parte se va por efecto Joule, y parte es emitida hacia el exterior (por radiación). Podemos trazar el circuito equivalente (formado por una resistencia y un condensador en paralelo) e interpretar este flujo como la energía aportada por el generador en un proceso no estacionario. Hay que ser cuidadosos, no obstante, con la visualización del flujo de energía, pues, según el cálculo anterior, ésta no llega al sistema a través del cable, sino que atraviesa las paredes laterales del mismo. El caso en que este flujo es nulo (aparte del caso trivial V = 0) se da cuando

Si se verifica esta relación, la corriente de desplazamiento cancela a la de conducción, se anula el campo magnético y, por consiguiente, el vector de Poynting. En este mismo caso, el potencial debe cumplir

Que corresponde a la descarga del condensador, inicialmente a través de la resistencia. En este caso, toda la energía disipada procede de la energía almacenada y no se precisa un generador externo que aporte o extraiga energía.