El tiempo y espacio de albert

Esta publicación se edita en el marco del convenio entre la ASOCIACIÓN GREMIAL DOCENTE DE LA UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES (AGD-UBA) y EDICIONES COOPERATIVAS

En Adhesión a los 100 años de la Teoría de la Relatividad

Comité Editorial Prof. Carlos Bulcourf Lic. Alejandro García Venturini Dr. Axel Kicillof Act. Alberto Landro C.P. Juan Carlos Seltzer

Rafael Ferraro

El espacio-tiempo de Einstein 2da. Edición

Ediciones Cooperativas es un emprendimiento cooperativo de docentes de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires para difundir sus trabajos e investigaciones. Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de cubierta puede ser reproducida, almacenada o transmitida en manera alguna ni por ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico de grabación o de fotocopia sin permiso previo del Editor. Su infracción está penada por las leyes 11723 y 25446

Ferraro, Rafael El espacio - tiempo de Einstein – 2ª. ed.– Buenos Aires : Ediciones Cooperativas, 2007. 440 p.; 21x17 cm. ISBN 987-1076-90-8 1. Teoría de la relatividad. I. Título CDD 530.11

© 2008 Rafael Ferraro Derechos exclusivos © 2008 Ediciones Cooperativas Tucumán 3227, (1189) Buenos Aires – Argentina  (54 011) 4864 5520 / (15) 4198 5667 http://www.edicionescoop.org.ar

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1º edición, Febrero 2005 2º edición, Abril 2008

Hecho el depósito que establece la ley 11.723

Impreso y encuadernado por: Imprenta Dorrego. Dorrego 1102, Cap. Fed. 2ª. ed. Tirada: 100 ejemplares. Se terminó de imprimir en Abril 2008.

Editorial asoci ada a: IMPRESO EN ARGENTINA – PRINTED IN ARGENTINE

El espacio-tiempo de Einstein

Rafael Ferraro Doctor en Física Universidad de Buenos Aires Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas

CONTENIDOS Prólogo Prólogo a la segunda edición

v ix

1 El espacio y el tiempo antes de Einstein

1

1.1 El espacio y el tiempo absolutos 1.2 Las propiedades geométricas del espacio 1.3 Galileo y las leyes del movimiento 1.4 Cambio de coordenadas entre sistemas en movimiento relativo 1.5 El Principio de inercia 1.6 El Principio de relatividad 1.7 Fenómenos físicos con un sistema de referencia privilegiado 1.8 El electromagnetismo de Maxwell

1 3 6 8 11 12 15 17

2 En busca del éter

21

2.1 Dos modelos para la luz 2.2 Primera determinación de la velocidad de la luz 2.3 La aberración de la luz 2.4 Primer método terrestre para la medición de c 2.5 El éter lumífero 2.6 Búsqueda del movimiento absoluto terrestre: el arrastre del éter 2.7 Experimento de Fizeau 2.8 Experimento de Hoek 2.9 Experimento de Airy 2.10 Experimento de Michelson-Morley 2.11 La contracción de FitzGerald-Lorentz 2.12 El ocaso del éter

21 26 27 32 33 35 39 41 43 44 52 53

3 Espacio y tiempo en Relatividad Especial

57

3.1 Postulados de la Relatividad Especial 3.2 Contracción de longitudes y dilatación de tiempos 3.3 El viaje del muón 3.4 Longitudes transversales al movimiento 3.5 Composición de movimientos 3.6 Interpretación del experimento de Fizeau

57 60 64 65 66 71

i

3.7 Componentes transversales de la velocidad 3.8 La noción de simultaneidad 3.9 Eventos y líneas de universo 3.10 Líneas coordenadas de S’ en el diagrama espacio-temporal de S 3.11 Transformaciones de Lorentz 3.12 Comparación de relojes en distintos sistemas de referencia 3.13 Transformaciones de velocidades y aceleraciones 3.14 “Paradojas”: vestigios de pensamiento clásico 3.15 Efecto Doppler 3.16 Transformación de los rayos de luz 3.17 Transformación de una onda plana 3.18 Propagación de la luz en medios materiales

72 74 77 81 87 94 98 102 109 115 117 122

4 Estructura geométrica del espacio-tiempo

125

4.1 El intervalo 4.2 Hipérbola de calibración 4.3 El cono de luz 4.4 Eventos separados temporalmente 4.5 Paradoja de los gemelos 4.6 Eventos separados espacialmente 4.7 Parámetro de velocidad. Rapidez 4.8 Rotación de Wigner

125 127 130 131 134 138 141 144

5 Transformaciones del campo electromagnético

151

5.1 La onda electromagnética plana 5.2 Transformaciones de E y B 5.3 Transformaciones de las densidades de carga y corriente 5.4 Campo de una carga en movimiento 5.5 Transformaciones de los potenciales 5.6 Campos en medios materiales 5.7 Campos de dipolos en movimiento 5.8 Transformación de la fuerza de Lorentz 5.9 Invariantes del campo electromagnético

151 154 159 164 166 168 170 173 174

6 Energía y cantidad de movimiento

177

6.1 Leyes de conservación 6.2 Energía y cantidad de movimiento de una partícula 6.3 Invariante energía-cantidad de movimiento. Fuerza

177 181 186

6.4 Movimiento de cargas en campos uniformes 6.5 Sistema centro de momento 6.6 Fenómenos derivados de la equivalencia masa-energía 6.7 Centro de inercia 6.8 Colisiones elásticas entre partículas 6.9 Interacción de la radiación electromagnética con la materia

190 194 197 204 206 219

7 Formulación covariante

229

7.1 Cuadritensores 7.2 Métrica 7.3 “Norma” y argumento de un cuadrivector 7.4 Momento angular 7.5 Volumen e hipersuperficies 7.6 Tensor de energía-momento de un medio continuo 7.7 Electromagnetismo 7.8 Transporte de Fermi-Walker

229 238 243 246 250 256 269 276

8 Inercia y gravedad

283

8.1 La crítica al movimiento absoluto 8.2 El Principio de equivalencia 8.3 El campo gravitatorio-inercial 8.4 Geometría riemanniana 8.5 Movimiento de partícula libremente gravitante 8.6 Derivada covariante. Acoplamiento mínimo 8.7 Tensor de Riemann. Ecuaciones de Einstein

283 287 294 300 305 311 319

9 Resultados de la Relatividad General

331

9.1 Solución de Schwarzschild. Agujero negro 9.2 Movimiento inercial en la geometría de Schwarzschild 9.3 Deflexión de la luz en la geometría de Schwarzschild 9.4 Coordenadas de Kruskal-Szekeres 9.5 Modelos cosmológicos 9.6 Evolución del universo 9.7 Soluciones no machianas. Constante cosmológica 9.8 Problemas del modelo estándar de Big-Bang 9.9 Confrontación con los experimentos

331 336 343 346 351 360 372 380 386

iii

Apéndice

393

1. La ecuación de Euler-Lagrange 2. La funcional acción 3. El tensor de energía-momento métrico 4. Transformaciones de gauge y conservación de las fuentes 5. Vectores de Killing y conservación de la energía-momento

393 395 400 402 404

Bibliografía

407

Trabajos citados en el texto

409

Índice alfabético

413

Complementos 1A Ondas mecánicas 1B Ecuaciones de Maxwell 2A El arrastre parcial del éter 2B Franjas localizadas en una cuña de aire 3A Uso de las transformaciones de Lorentz 4A La precesión de Thomas y los espectros atómicos 6A Uso de las leyes de conservación 8A Vectores y covectores 8B Derivada de vectores 8C Coordenadas normales de Riemann 8D Desviación geodésica

16 20 36 50 9293 150 203 304 312 316 320

Biografías Galileo Galilei Isaac Newton James Clerk Maxwell Albert Einstein

7 13 19 63

PRÓLOGO Entre 1994 y 1999 tuve el placer de dictar los cursos de Relatividad Especial y General de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires. Esos cursos estuvieron destinados a estudiantes de la carrera de Licenciatura en Ciencias Físicas, pero es evidente que el interés por la Relatividad se extiende mucho más allá de ese ámbito académico. Por ello este libro, que cosecha aquella experiencia, aspira a ser útil también para estudiantes de disciplinas afines y otros lectores interesados en la obra de Einstein, quienes podrán acceder plenamente a las ideas fundamentales de la Relatividad a partir de los conceptos básicos de la Física. El aprendizaje de la Teoría de la Relatividad exige el abandono de las nociones de espacio y tiempo que utilizamos en nuestra relación cotidiana con el mundo. Estas nociones clásicas de espacio y tiempo están en la base de la Mecánica de Newton, que dominó la Física durante más de dos siglos hasta que entrara en conflicto con el electromagnetismo de Maxwell. Antes de Einstein se creía en distancias e intervalos de tiempo independientes del estado de movimiento del sistema de referencia, y en un espacio inmutable con propiedades euclidianas. Estas presunciones se respaldan firmemente en la experiencia cotidiana, de tal forma que esas nociones clásicas están incorporadas a nuestro pensamiento como “verdaderas”. Existe entonces una natural resistencia en cada uno de nosotros a abandonar las nociones clásicas de espacio y tiempo para sustituirlas por otras de las que no tenemos evidencia en el rango de fenómenos abarcado en la vida diaria. Este estado de cosas puede llevar al estudiante de Relatividad a un tipo de pensamiento viciado por la coexistencia de las nociones viejas y nuevas, que lo induciría a diversas perplejidades y paradojas. El enfoque histórico de este texto procura que el lector recorra el mismo camino seguido por la Física entre los siglos XVII y XX, y reproduzca así el proceso intelectual que condujo a cambiar la manera de concebir el espacio-tiempo. Este recorrido lo pondrá en condiciones de aceptar e incorporar cabalmente las consecuencias del cambio. Los Capítulos 1-7 contienen un curso completo de Relatividad Especial, que puede adaptarse a un curso introductorio mediante una adecuada selección de temas. En este sentido, el libro permite una lectura en varios niveles, pues algunos temas que dificultarían la lectura de los estudiantes menos preparados

v

son presentados como Complementos en cuadros de texto. Los dos primeros Capítulos recorren el camino histórico hacia la Relatividad Especial. El Capítulo 1 comienza con la disputa entre Leibniz y Newton acerca del carácter relacional o absoluto del espacio –una cuestión que será nuevamente considerada al introducir la Relatividad General en el Capítulo 8–, y el papel que juegan las distancias y tiempos absolutos en la Dinámica newtoniana. Las dos teorías mecánicas de la luz –el modelo corpuscular y la teoría ondulatoria del éter lumífero– son desarrolladas en detalle en el Capítulo 2, para abordar las tensiones surgidas en la segunda mitad del siglo XIX entre la teoría del éter electromagnético de Maxwell y el Principio de relatividad. El desafío planteado por los resultados experimentales (Arago, Hoek, Airy, MichelsonMorley, etc.) y los esfuerzos teóricos para resolverlo (Fresnel, Lorentz, Poincaré, etc.) preparan la llegada de la teoría de Einstein. El Capítulo 3 introduce los postulados de la Relatividad Especial y las nociones de espacio y tiempo que de ellos se derivan. El aprendizaje de contracción de longitudes, dilatación de tiempos, transformaciones de Lorentz, composición relativista de movimientos, etc., no precisa más que conocimientos de cinemática elemental. El punto central aquí es la cabal comprensión de la interrelación entre contracción de longitudes y dilatación de tiempos que emerge del postulado de invariancia de la velocidad de la luz (necesario para la validez de las leyes de Maxwell en todo sistema inercial). El Capítulo 3 trata además la transformación de una onda plana y su conexión con los fundamentos de la Mecánica Cuántica. El Capítulo 4 desarrolla las propiedades geométricas del espaciotiempo de Minkowski –invariancia del intervalo, estructura causal, cono de luz, etc. –, junto con algunos tópicos avanzados como la rotación de Wigner. El Capítulo 5 enseña las transformaciones del campo electromagnético y las distribuciones de carga y corriente en el contexto del lenguaje vectorial ordinario. Contiene también los campos de cargas, dipolos y medios continuos en movimiento. El Capítulo 6 está dedicado a la Dinámica relativista, y explica los cambios que debió sufrir la Dinámica newtoniana para que sus leyes se ajusten al Principio de relatividad bajo transformaciones de Lorentz. La reformulación de la Dinámica conduce a la “equivalencia masa-energía” y la rica fenomenología de Física atómica y nuclear relacionada con este tema. El Capítulo 7 presenta el lenguaje cuadritensorial, y prepara los instrumentos básicos que se utilizan en Relatividad General: tensor métrico, volumen e hipersuperficies, tensor de energía-momento de un fluido, formulación covariante del electromagnetismo, transporte de Fermi-Walker, etc. El Capítulo 8 expone la Relatividad General –la teoría relativista del campo gravitatorio-

inercial– apelando a la crítica de Mach a la Mecánica como elemento disparador de las ideas de Einstein. Una vez más, la explicación transita por el camino histórico para enfocarse en el nacimiento de los nuevos conceptos. Se introducen aquí las herramientas matemáticas de la geometría diferencial –derivada covariante, tensor de Riemann, etc.– evitando excesos de complejidad matemática. Se formulan las ecuaciones de Einstein para la geometría del espacio-tiempo, y se estudian sus consecuencias en la aproximación de campo débil para encontrar el punto de contacto entre las teorías de Newton y Einstein. Se analiza la cuestión del número de grados de libertad y las ecuaciones de vínculo, y se ejemplifica en el contexto de las ondas gravitatorias. El Capítulo 9 enseña los aspectos principales de la geometría de agujero negro de Schwarzschild, y aplica la Relatividad General a la Cosmología. La exposición de los modelos cosmológicos isótropos y homogéneos es desarrollada en el marco de los últimos avances de la cosmología observacional. El Capítulo finaliza con una presentación actualizada de los resultados experimentales que confirman la Relatividad General. El Apéndice incluye algunos tópicos especiales, no esenciales en una primera lectura, pero provechosos para los estudiantes avanzados. En suma, los últimos Capítulos son adecuados para un curso introductorio de Relatividad General y Cosmología. Deseo agradecer la hospitalidad del Instituto de Astronomía y Física del Espacio (IAFE), donde estos cursos se realizaron mayormente. En el IAFE nos hemos formado buena parte de los relativistas de Buenos Aires, bajo la guía sabia de Mario Castagnino. Quiero expresar mi gratitud a Gerardo Milesi, Daniel Sforza, Claudio Simeone y Marc Thibeault, quienes contribuyeron en distintas formas a la realización de este libro, ya sea aportando bibliografía, corrigiendo pruebas o mediante comentarios que enriquecieron sus contenidos. Un reconocimiento especial para mi esposa Mónica Landau –que colaboró también en la preparación de esta obra– y mis dos hijos, Damián y Sofía, por su apoyo y su paciencia durante el prolongado tiempo de escritura. R. F. Buenos Aires, enero de 2005.

vii

PRÓLOGO A LA SEGUNDA EDICIÓN Esta edición se produce en oportunidad de la publicación de la obra en lengua inglesa, lo que constituye un doble motivo de satisfacción. En líneas generales esta segunda edición no difiere grandemente de la primera, pues sus capítulos mantienen la estructura original. Sin embargo diversos pasajes fueron ampliados y mejorados. Además se enmendaron las erratas halladas durante la revisión. Esta ocasión es apropiada para agradecer a Rafael González por su generosa y desinteresada disposición para apoyar y difundir esta obra, en consonancia con el impulso que la Asociación Gremial Docente diera a su publicación. R. F. Buenos Aires, septiembre de 2007.

ix

1 El espacio y el tiempo antes de Einstein 1.1 El espacio y el tiempo absolutos Las nociones de espacio y tiempo que dominaron la Física hasta comienzos del siglo XX están fuertemente ligadas al pensamiento de Isaac Newton (16421727). Sin embargo, durante el siglo XVII dos corrientes filosóficas confrontaban acerca de la naturaleza del espacio y el tiempo. Mientras que Newton defendía la idea de espacio y tiempo absolutos, con existencia independiente de los fenómenos físicos, en cambio los relacionistas pensaban que el espacio y el tiempo no eran algo en sí mismo, sino que emergían de las relaciones entre los objetos materiales. El principal exponente de estos últimos era Gottfried W. Leibniz (1646-1716). En su correspondencia con Samuel Clarke (discípulo de Newton), Leibniz sostenía que “...[el espacio] es ese orden que hace que los cuerpos sean situables, y por el cual tienen una situación entre ellos al existir juntos, como el tiempo es ese orden por referencia a su posición sucesiva. Pero si no hubiera criaturas, el espacio y el tiempo no estarían sino en las ideas de Dios...” “...no hay espacio real fuera del universo material...”

relacionismo vs. absolutismo

2

EL ESPACIO–TIEMPO DE EINSTEIN

“...es irrazonable que haya un movimiento distinto al de sus partes [las del universo] cambiando de posición entre ellas; puesto que un movimiento tal no produciría ningún cambio observable, y sería sin objeto... No hay movimiento cuando no hay ningún cambio observable...” La noción newtoniana de espacio absoluto era inadmisible para Leibniz, debido a que serían indiscernibles dos universos cuyos cuerpos ocupasen distintas posiciones “absolutas”, pero idénticas posiciones relativas.

espacio y tiempo absolutos de Newton

Por su parte Newton consideraba que el espacio tiene realidad independientemente de los objetos que residan en él; de manera que aun el espacio vacío sería concebible. En la Física de Newton el espacio y el tiempo son el asiento de los fenómenos físicos, sin que estos produzcan efecto alguno sobre aquellos, pues el espacio permanece siempre igual a sí mismo, y el tiempo discurre uniformemente. En los Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Newton dice que “El tiempo absoluto, verdadero y matemático, sin relación a algo exterior, discurre uniformemente y se llama duración. El tiempo relativo, aparente y vulgar, es esa medida sensible y externa de una parte de duración cualquiera (igual o desigual), tomada del movimiento: tales son las medidas de horas, de días, de meses, etc., que se usan ordinariamente en lugar del tiempo verdadero...” “El espacio absoluto, sin relación a las cosas externas, permanece por su naturaleza siempre similar e inmóvil. El espacio relativo es esa medida o dimensión móvil del espacio absoluto, la cual cae bajo nuestros sentidos por su relación a los cuerpos y que el vulgo confunde con el espacio inmóvil...” “El movimiento absoluto es la traslación de un cuerpo de un lugar absoluto a otro lugar absoluto y el movimiento relativo es la traslación desde un lugar relativo a otro lugar relativo.” I. Newton, Principia (London, 1687), Definiciones (Escolio).

§ 1.5 Cap. 8

La polémica entre relacionistas y absolutistas se acalló en los siglos siguientes, debido al éxito de la ciencia newtoniana. En realidad permaneció en un estado de latencia, pues resurgiría hacia fines del siglo XIX.

1. EL ESPACIO Y EL TIEMPO ANTES DE EINSTEIN

3

1.2 Las propiedades geométricas del espacio La única geometría del espacio conocida en la época de Newton era la geometría de Euclides. Aunque poco se sabe sobre la vida de Euclides –ni siquiera hay certeza de que haya realmente existido–, se cree que enseñó en Alejandría alrededor del año 300 antes de nuestra era. Si bien la geometría euclidiana –la misma geometría que hoy se estudia en la escuela– no es más que un sistema lógico derivado de un conjunto de definiciones, postulados y axiomas, siempre se consideró que describía adecuadamente las propiedades métricas del espacio. Sus axiomas y postulados son completamente intuitivos y naturales. Solamente el comúnmente conocido como 5to. postulado –cuyo contenido equivale a afirmar que por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela– resultó poco natural para muchos matemáticos, quienes se preguntaron si no sería posible construir una geometría diferente sustituyendo ese postulado por algún otro. Se cuenta que Karl Friedrich Gauss (1777-1855), intrigado por esta cuestión, decidió realizar un experimento para averiguar si el 5to. postulado era o no “verdadero”. Una de las consecuencias de ese postulado es que los ángulos interiores de un triángulo suman dos rectos. Entonces Gauss decidió medir los ángulos del triángulo formado por las cimas de los montes Brocken, Hohenhagen e Inselberg, distantes entre sí varias decenas de kilómetros. La suma de las determinaciones experimentales de los ángulos mostró un buen acuerdo con el resultado de la geometría euclidiana, dentro de los márgenes de error del experimento. De esta forma Gauss pudo verificar que el espacio es aproximadamente euclidiano, al menos en regiones similares a la involucrada en su experimento. Si aceptamos que las propiedades geométricas del espacio son las de la geometría euclidiana, entonces podemos valernos de las mismas para construir sistemas de coordenadas cartesianas que nos permitan describir la ubicación de un punto respecto de un cuerpo de referencia. Representaremos el cuerpo de referencia mediante tres planos mutuamente ortogonales. Las coordenadas cartesianas de un punto P resultan de medir las distancias desde P a cada uno de los planos, lo que implica trazar por P la perpendicular (única) a cada plano (Figura 1.1). Las rectas donde los planos se cortan son los ejes cartesianos. Podemos graduar estos ejes y medir las coordenadas cartesianas directamente sobre ellos, tomando como origen de coordenadas el punto O donde los ejes se intersecan (Figura 1.2).

geometría euclidiana

5to.Postulado de Euclides

coordenadas cartesianas

4

EL ESPACIO–TIEMPO DE EINSTEIN

xP

yP P

zP

Figura 1.1. Coordenadas cartesianas (x,y,z) de un punto P.

z

zP P O

yP

y

xP x

Figura 1.2. Coordenadas cartesianas de un punto P medidas sobre los ejes cartesianos.

1. EL ESPACIO Y EL TIEMPO ANTES DE EINSTEIN

5

Si conocemos las coordenadas cartesianas de dos puntos P y Q en un mismo sistema de referencia, podemos calcular la distancia dPQ entre ambos puntos usando el teorema de Pitágoras (Figura 1.3):

d PQ

2

( x P  xQ ) 2  ( y P  y Q ) 2  ( z P  z Q ) 2 .

(1.1)

distancia

z Q

d PQ | zP - zQ | P

x

| yP - yQ |

y

[ (xP  xQ )2 + (yP  yQ )2 ] 1/2

| xP - xQ |

Figura 1.3. Distancia dPQ entre dos puntos P y Q.

Si los puntos P y Q son móviles, sus coordenadas respecto del cuerpo de referencia cambian con el tiempo. En ese caso el cálculo de la distancia requiere una determinación simultánea de las coordenadas de P y Q, y el resultado es una función del tiempo. En la Física anterior a Einstein la distancia era vista como una cantidad invariante (independiente del sistema de referencia). Se consideraba que la distancia era una propiedad del par de posiciones absolutas que ocupan los puntos P y Q en el instante en que dPQ es evaluada. Este supuesto juega un papel fundamental en la transformación de coordenadas entre dos sistemas de referencia que veremos en §1.4.

Cap. 8

6

EL ESPACIO–TIEMPO DE EINSTEIN

1.3 Galileo y las leyes del movimiento Durante los siglos de tradición aristotélica que antecedieron a Galileo Galilei (1564-1642), el movimiento de un cuerpo se asociaba con la acción de una fuerza sobre el mismo. Para decirlo con las palabras del propio Aristóteles: el cuerpo en movimiento se detiene cuando la fuerza que lo empuja deja de actuar. Imaginemos que nos encontramos navegando a bordo de un barco, y que desde lo alto del mástil dejamos caer una piedra. Los aristotélicos dirán que la piedra no caerá al pie del mástil debido a que al soltar la piedra dejamos de comunicarle la fuerza necesaria para que mantenga el mismo estado de movimiento que tiene el barco. Por lo tanto la piedra dejará de acompañar el avance del barco, y caerá hacia atrás del mástil.

Galileo investiga la inercia

Galileo desafió el pensamiento aristotélico al sostener que la piedra sí mantiene el estado de movimiento que tiene antes de ser soltada, y por lo tanto acompañará al barco y caerá al pie del mástil. Aunque Galileo discutió esta cuestión bajo la forma de un “experimento pensado” (el experimento real fue realizado más tarde por Pierre Gassendi en 1641), él había examinado la persistencia del movimiento en su laboratorio, combinando los procedimientos que caracterizan el método científico: el control de la teoría mediante el experimento, y la extrapolación del resultado experimental a las condiciones ideales donde los efectos secundarios no intervengan. Así Galileo estudió la persistencia del movimiento (inercia) mediante el uso de bolitas que arrojaba sobre tablas, notando que, si bien la bolita se detenía debido al rozamiento con la superficie de la tabla y el aire, en condiciones ideales –es decir, eliminado los rozamientos– la bolita persistiría en su movimiento. “Toda velocidad, una vez impartida a un cuerpo, se conservará sin alteración mientras no existan causas externas de aceleración o retardo, condición que se cumple solamente sobre planos horizontales; pues el movimiento de un cuerpo que cae por una pendiente se acelera, mientras que el movimiento hacia arriba se retarda; de esto se infiere que el movimiento sobre un plano horizontal es perpetuo; pues, si la velocidad es uniforme, no puede disminuirse o mermarse y menos aún destruirse.” Galileo, Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos ciencias nuevas (Leiden, 1638). Aunque la observación cruda indicaría que los movimientos siempre se detienen (por efecto de los rozamientos), Galileo se dio cuenta de que lo esencial es que el movimiento persiste.

1. EL ESPACIO Y EL TIEMPO ANTES DE EINSTEIN

7

En el experimento pensado de la piedra y el barco, Galileo nos revela que la persistencia del movimiento implica que el experimento tiene igual resultado tanto si el barco está amarrado como si se halla navegando: en ambos casos la piedra cae al pie del mástil. Si en un experimento real se observa que la piedra cae hacia la popa cuando el barco navega, como sostendrían los aristotélicos, esto no significa que el movimiento no persista sino que el rozamiento con el aire frena el movimiento de la piedra. Igual resultado se obtiene en un barco amarrado cuando sopla viento desde proa (es decir, siempre que el movimiento relativo del aire respecto del barco sea el mismo). En ambos casos este efecto se eliminaría realizando el experimento en una cabina cerrada del barco. Galileo rompe entonces con la idea de que el movimiento necesita de una fuerza. Por otro lado, nos enseña que no es posible detectar el movimiento del barco por medio de un experimento realizado en el interior del mismo: las leyes de la Física sobre el barco navegando son las mismas que se cumplen sobre el barco amarrado. Cotidianamente verificamos esta conclusión en los medios de transporte: la velocidad de un tren no es detectable en su interior (sólo cuando miramos por la ventanilla reconocemos que estamos en movimiento relativo respecto de tierra). En cambio sí son observables las variaciones de la velocidad, ya sean de dirección o de magnitud: cuando el tren toma una curva o salta al atravesar la unión de dos tramos de vía, cuando frena o cuando acelera. Galileo Galilei (1564–1642). Entre 1581 y 1585 cursó estudios incompletos de medicina, filosofía y matemáticas en la Universidad de Pisa, ciudad vecina a su lugar natal. Allí tenía una cátedra de matemáticas en 1592, cuando habría realizado en la torre inclinada el experimento que prueba que el movimiento de caída libre no depende de las propiedades de los cuerpos. En 1609 construyó un telescopio en la Universidad de Padua, con el que descubrió los cráteres de la Luna, los satélites de Júpiter y la conformación de la Vía Láctea. En 1613, siendo Matemático y Filósofo Natural del Duque de Toscana, anunció que la sucesión de las fases de Venus y su relación con el tamaño aparente del planeta favorecían al sistema de Copérnico. Esto le valió que la Inquisición lo acusara de hereje en 1633, obligándolo a abjurar de la idea de que la Tierra se mueve, y condenándolo a arresto domiciliario en su casa de Arcetri (Florencia). Sus últimos trabajos fueron llevados clandestinamente al exterior y publicados en Leiden (Países Bajos), desde donde ejercieron gran influencia. Al antiguo empirismo ingenuo, Galileo opuso el experimento “preparado” de la ciencia actual, que se vale de instrumental ad hoc para interrogar a la naturaleza acerca de la veracidad de una teoría física formulada matemáticamente. Sus investigaciones sobre la inercia y las leyes del movimiento, por medio de péndulos y planos inclinados, abrieron el camino a la obra de Newton. Aunque Galileo no fue el primero en alcanzar esos conocimientos –hacia 575 I. Philoponus había enjuiciado correctamente la opinión de Aristóteles sobre la caída de los cuerpos, la ley del movimiento uniformemente acelerado era conocida desde el siglo XIV, y en 1586 J. de Groot y S. Stevin habían publicado su propia verificación experimental de la ley de caída–, esto en modo alguno es óbice en la consideración de Galileo como padre de la ciencia moderna.

el estado de movimiento no es detectable

§ 1.5 Cap. 8

8

EL ESPACIO–TIEMPO DE EINSTEIN

1.4 Cambio de coordenadas entre sistemas en movimiento relativo La posibilidad de utilizar las leyes de la Física en distintos sistemas de referencia –como el sistema de referencia fijo a tierra o el sistema fijo al barco de la Sección anterior– nos conduce a averiguar cómo se transforman las coordenadas cartesianas de un móvil cuando se cambia el sistema de referencia al que las coordenadas aluden. Consideremos dos sistemas de referencia distintos, que llamaremos S y S’ , con un movimiento relativo de traslación (la orientación relativa de los ejes cartesianos no cambia al transcurrir el tiempo) cuya velocidad relativa V es asimismo constante. Por simplicidad, los sistemas S y S’ serán escogidos coincidentes en t 0, con sus ejes x - x’ en la dirección del movimiento relativo (véase la Figura 1.4). En un instante t cualquiera, la distancia entre los orígenes de coordenadas O y O’ es dOO’ Vt. La transformación de la coordenada cartesiana x de un punto P se obtiene a partir de la Figura 1.5, donde se observa que

d OO '  d O ' P ,

d OP

(1.2)

y de la relación entre distancias y coordenadas cartesianas: dO P {x, dO’ P{x’. Por lo tanto 

V t  x' .

x

y

y’

S

(1.3)

S’ V

O

z

x

O’



x’

z’

Figura 1.4. Sistemas de referencia S y S’ en movimiento relativo.

1. EL ESPACIO Y EL TIEMPO ANTES DE EINSTEIN

d O O’

9

d O’ P x’

O’

P x

O

dOP Figura 1.5. La distancia dOP es la suma de dOOc y dOcP.

Aunque la transformación de coordenadas (1.3) nos parezca completamente evidente y natural, es necesario enfatizar que el resultado (1.3) está estrechamente ligado al carácter invariante que se atribuye a las distancias en la Física Clásica. En principio, la Ec. (1.2) sólo tiene significado cuando todas las distancias involucradas están medidas en el mismo sistema, ya sea en S o en S’. Pero la coordenada x es la distancia dO P medida en S, mientras que la coordenada x’ es la distancia dO’ P medida en S’. Por lo tanto, si la Ec. (1.2) es leída desde el sistema S entonces dO P se reemplaza por x, pero dO’ P no debería sustituirse por x’. Sin embargo, gracias al carácter invariante atribuido a las distancias (las distancias tienen el mismo valor en cualquier sistema de referencia) se vuelve correcto el reemplazo del valor de dO’ P medido en S por la coordenada x’ del punto P.

la transformación de Galileo presupone que las distancias son invariantes





La transformación de coordenadas (1.3) no sería consistente si no fuera por un supuesto adicional: la invariancia de los intervalos de tiempo. Efectivamente, si el tiempo requerido para el desplazamiento dO O’ fuera t medido en S, pero t’ –distinto de t– medido en S’, entonces la Ec.(1.2) analizada desde S’ conduciría a x Vt’+x’, en desacuerdo con la Ec.(1.3). Por lo tanto ambos supuestos acerca de la naturaleza del espacio y el tiempo –esto es, que las distancias y los intervalos de tiempo son invariantes– están fuertemente relacionados y se necesitan mutuamente. 

Si bien las conjeturas clásicas acerca de la naturaleza de distancias y tiempos parecen palmariamente certificadas por nuestra experiencia cotidiana, es necesario remarcar que nuestra experiencia cotidiana se desarrolla en un

distancias invariantes requieren tiempos invariantes

10

EL ESPACIO–TIEMPO DE EINSTEIN

rango de velocidades estrecho, por lo que sería más prudente afirmar que esos supuestos son adecuados para ese rango de velocidades. Las coordenadas y, z son las distancias entre el punto P y dos planos coordenados mutuamente ortogonales que se cortan sobre el eje x (véanse las Figuras 1.1 y 1.2). Los sistemas S y S’ de la Figura 1.4 están igualmente orientados, y sus ejes x - x’ están superpuestos. Por lo tanto, S y S’ comparten los planos coordenados desde donde se miden las coordenadas y, z. Esta característica, unida a la invariancia de las distancias, implica que las coordenadas y, z de un punto son las mismas en ambos sistemas de referencia. En síntesis, las transformaciones de las coordenadas cartesianas de un punto en el instante t son

transformaciones de Galileo

x’

x – Vt

y’ 

y

z’ 

z

(1.4)

que reciben el nombre de transformaciones de Galileo, en homenaje a quien inició el estudio moderno de las leyes del movimiento.1 Estas tres ecuaciones pueden reunirse en una única ecuación vectorial para la transformación del vector posición del punto P, r (x,y,z): r'

r  V t .

(1.5)

Debido a su carácter vectorial, la Ec. (1.5) es válida aun cuando la dirección de V no coincide con la de los ejes x - x’. En efecto, las relaciones vectoriales no son afectadas por rotaciones de los ejes cartesianos. Las transformaciones (1.4) se completan con la invariancia del tiempo:

t’

1

t

El nombre de transformaciones de Galileo fue dado por P. Frank en 1909.

(1.6)

1. EL ESPACIO Y EL TIEMPO ANTES DE EINSTEIN

11

Derivando la Ec. (1.5) respecto de t ( t’ ), y recordando que V no depende de t, obtenemos la transformación de la velocidad u dr/dt, conocida como teorema de adición de velocidades de Galileo:

u' u  V .

(1.7)

Claramente, el valor de la distancia (1.1) entre las posiciones simultáneas de dos puntos P y Q no es modificado por las transformaciones de Galileo. Esta invariancia no debe asombrarnos, pues ya fue supuesta en la construcción de la transformación de coordenadas.

1.5 El Principio de inercia Como se mencionó en §1.3, Galileo consideraba que el rasgo esencial del movimiento es su tendencia a perdurar. Este concepto es elevado por Newton a la categoría de Primera Ley de la Dinámica, conocida como Principio de inercia: “Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, a menos que fuerzas ejercidas sobre él lo obliguen a cambiar ese estado.” I. Newton, Principia (London, 1687), Axiomas. No podría sostenerse que este Principio es un estricto resultado experimental. Por un lado no resulta evidente cómo reconocer si un cuerpo está o no libre de fuerzas. Aun imaginando un único cuerpo en el universo, es indudable que su movimiento no puede ser rectilíneo y uniforme respecto de cualquier sistema de referencia. Es claro, por otra parte, que dado un sistema de referencia en donde un cuerpo se mueva con movimiento rectilíneo y uniforme (es decir, con u constante), entonces el teorema de adición de velocidades (1.7) garantiza que el movimiento también será rectilíneo y uniforme en cualquier otro sistema de referencia que se traslade con velocidad V constante respecto del primero. Por lo tanto si existe un sistema de referencia en donde se cumple el Principio de inercia, habrá entonces toda una familia de sistemas en donde este se verifique. ¿Cuál es esa familia? ¿Qué confiere a esta familia un privilegio respecto del resto de los sistemas?

teorema de adición de velocidades

Cap. 3 § 4.1

12

el espacio absoluto selecciona la familia de sistemas inerciales

EL ESPACIO–TIEMPO DE EINSTEIN

El espacio absoluto es una necesidad en el esquema teórico de Newton, pues de otro modo estas preguntas quedarían sin respuesta; según Newton el Principio de inercia es válido en un sistema en reposo absoluto, y en cualquier otro sistema de referencia que se traslade con velocidad constante respecto del espacio absoluto. Tales sistemas de referencia se denominan sistemas inerciales, y su privilegio frente al resto de los sistemas es conferido por la forma en que se mueven respecto del espacio absoluto. Por lo tanto el espacio absoluto de Newton determina las trayectorias inerciales de los cuerpos, sin recibir por esto ningún efecto, ya que él mismo permanece inmutable. Newton se refiere a los sistemas inerciales y a las determinaciones de posición y velocidad respecto de tales sistemas, cuando habla de espacios relativos y de medidas sensibles (véase la cita al final de §1.1): “...como las partes del espacio no pueden ser vistas o distinguidas unas de otras mediante nuestros sentidos, les aplicamos medidas sensibles...” “Por lo cual usamos lugares y movimientos relativos en vez de absolutos, sin inconveniente alguno en los asuntos comunes, aunque en disquicisiones filosóficas debamos hacer abstracción de nuestros sentidos y considerar las cosas mismas, distinguiéndolas de sus medidas sensibles.” I. Newton, Principia (London, 1687), Definiciones (Escolio).

Cap. 8

En la práctica, un sistema inercial es reconocido no por su estado de movimiento respecto del espacio absoluto, sino por el grado de verificación del Principio de inercia. En realidad esta actitud nos conduce a un círculo vicioso, ya que para realizar una tal certificación deberíamos contar con un cuerpo libre de fuerzas. Pero ¿qué significa y cómo se garantiza que el cuerpo esté libre de fuerzas? Entonces nos contentamos con adoptar como sistemas inerciales a aquellos en donde el Principio de inercia, y las otras leyes fundamentales de la Física se verifican en un grado satisfactorio.

1.6 El Principio de relatividad Ya vimos en §1.3 que la persistencia del movimiento (o inercia) descubierta por Galileo, lleva a la imposibilidad de discernir el estado de movimiento del barco en el experimento pensado del barco y la piedra. En efecto, el resultado del experimento es el mismo ya sea que el barco se encuentre navegando o esté amarrado. Esta conclusión se formaliza en el Principio de relatividad:

1. EL ESPACIO Y EL TIEMPO ANTES DE EINSTEIN

13

En todos los sistemas inerciales se verifican las mismas leyes fundamentales de la Física. Mientras que el espacio absoluto selecciona un conjunto de sistemas de referencia privilegiados –los sistemas inerciales–, el Principio de relatividad nos señala que estos son equivalentes. En consecuencia, un experimentador no puede detectar el estado de movimiento (absoluto) de su laboratorio inercial mediante experimentos realizados en su interior, pues las leyes de la Física son las mismas en ese laboratorio o en cualquier otro que se traslade rectilínea y uniformemente en el espacio absoluto. La equivalencia de los sistemas inerciales exige que las leyes de la Física se comporten apropiadamente ante transformaciones de coordenadas. Así en nuestra primera aproximación al Principio de relatividad, combinamos el Principio de inercia con el teorema de adición de velocidades de Galileo, para afirmar que si el Principio de inercia era válido en un sistema de referencia entonces también lo sería en cualquier otro sistema de referencia que se traslade con velocidad constante respecto del primero. Es bueno enfatizar aquí que

Isaac Newton (1642-1727). Nació huérfano de padre en Woolsthorpe (Lincolnshire). Su madre contrajo nuevo matrimonio cuando Isaac tenía tres años de edad, dejando al niño bajo la tutela de la abuela hasta que volvió a enviudar siete años después. Por sugerencia de su tío, Isaac completó los estudios que le permitieron ingresar al Trinity College de Cambridge en 1661, donde estudió filosofía y matemáticas. La peste de 1665 lo obligó a retornar a la granja de su familia. Allí comenzaron las investigaciones en matemáticas, mecánica, astronomía y óptica que revolucionarían el conocimiento humano. Graduado en 1668, obtuvo la cátedra Lucasiana de matemáticas de la Universidad de Cambridge en 1669. Newton desarrolló el cálculo diferencial e integral, al que llamó método de las fluxiones. En los Principia (1687) –reconocida como la más importante obra científica que se haya escrito– enunció las leyes de la Mecánica y la gravitación, con las que dedujo las órbitas de planetas y cometas, y explicó las mareas. Mediante la matematización y la axiomatización de la Mecánica, le otorgó a esta un carácter racional y deductivo, y posibilitó su control experimental preciso. En Opticks (1704) promovió el modelo corpuscular de la luz, aunque recurrió también al concepto de onda, mostrándose perplejo acerca de la naturaleza de la luz. Descubrió que la luz blanca se descompone en los colores del arco iris. Construyó un telescopio reflector para eludir la aberración cromática de las lentes. Sensible a la crítica y reticente a publicar sus trabajos, entre sus pasiones sobresalen la alquimia y la mística. Después de sufrir su segunda crisis nerviosa, abandonó la investigación en 1693. Luego dirigió la Casa de la Moneda e integró el Parlamento. Desde 1703 hasta su muerte fue presidente de la Royal Society, y como tal encargó un informe a un comité de expertos para dirimir su polémica con Leibniz acerca de la paternidad del cálculo diferencial e integral; Newton mismo se encargó de la redacción apócrifa del informe. No se casó ni tuvo hijos. A pesar de sus diferencias con la Iglesia, fue sepultado en la Abadía de Westminster.

Principio de relatividad

14

EL ESPACIO–TIEMPO DE EINSTEIN

habríamos llegado a idéntica conclusión si la transformación de coordenadas espaciales y temporales hubiese sido cualquier otra transformación lineal. En efecto, en un movimiento rectilíneo uniforme las coordenadas cartesianas son funciones lineales del tiempo, y este tipo de dependencia es preservado por cualquier transformación lineal. En cambio, las otras leyes fundamentales de la Física newtoniana están en una relación más estrecha con las transformaciones de Galileo. En la Mecánica newtoniana, la descripción del comportamiento de un sistema físico se realiza mediante dos tipos de leyes que se complementan: por un lado la Segunda Ley de la Dinámica dice que si una fuerza F actúa sobre una partícula de masa m, entonces la partícula adquiere una aceleración a tal que 2da. Ley de la Dinámica

F

ma.

(1.8)

Dentro del otro tipo de leyes se encuentran las que describen las interacciones entre las partículas, y nos dicen qué valor tiene la fuerza F en la Ec. (1.8). A este otro tipo de leyes pertenece, por ejemplo, la ley de la atracción gravitatoria. Para constatar que estas leyes satisfacen el Principio de relatividad ante transformaciones de Galileo, debemos tener en cuenta que la aceleración a du/dt es un invariante galileano, como resulta de derivar respecto de t ( t’ ) en el teorema de adición de velocidades (1.7) (recordemos que la velocidad V en (1.7) es constante)

a' a .

La relatividad galileana requiere fuerzas que dependen de distancias

(1.9)

De aquí se sigue que para que la Segunda Ley de la Dinámica (1.8) sea válida en cualquier sistema inercial, la fuerza debe ser igualmente invariante (la masa es supuesta invariante). Este será el caso cuando las leyes de las interacciones afirmen que las fuerzas dependen sólo de las distancias entre las partículas interactuantes –como sucede con la interacción gravitatoria–. Entonces la invariancia de las distancias implicará la invariancia de las fuerzas, y el Principio de relatividad galileano será satisfecho.

1. EL ESPACIO Y EL TIEMPO ANTES DE EINSTEIN

15

1.7 Fenómenos físicos con un sistema de referencia privilegiado Las conclusiones de la Sección anterior no impiden que en la Física newtoniana existan fuerzas dependientes de velocidades. Consideremos un cuerpo que se desplaza dentro de un fluido viscoso. La fuerza de rozamiento que el fluido ejerce sobre el cuerpo crece o disminuye según lo haga la velocidad del cuerpo respecto del fluido. En particular, si el cuerpo está en reposo respecto del fluido, entonces la fuerza de rozamiento será nula. Aunque la velocidad no es un invariante galileano (véase la Ec. (1.7)), la velocidad que entra en juego en este ejemplo no es la velocidad relativa a un sistema inercial cualquiera, sino la velocidad relativa al fluido. El fluido se constituye así en un sistema de referencia privilegiado. Está claro que este privilegio no puede considerarse una violación del Principio de relatividad pues el tipo de fenómeno considerado confiere al sistema fijo al fluido un privilegio natural. En otras palabras, aunque la velocidad de un punto P no es un invariante galileano, lo que está en juego en este caso es la velocidad relativa entre dos cuerpos, y esta sí es independiente del sistema de referencia:

u P '  uQ '

u P  uQ .

(1.10)

Otro ejemplo de fenómeno físico que cuenta con un sistema de referencia privilegiado es la propagación de ondas mecánicas. Nuevamente, esto no debe verse como una renuncia al Principio de relatividad, sino que la propagación de ondas mecánicas es un fenómeno que requiere un medio material: las ondas sonoras, por ejemplo, se propagan en aire, en agua, en un sólido, pero no pueden propagarse en el vacío pues una onda mecánica no es otra cosa que la perturbación del propio medio de propagación. Por lo tanto, ese medio privilegia naturalmente a aquel sistema de referencia fijo al mismo. La forma usual de la ecuación de onda que describe la propagación de la perturbación, sólo es válida en un sistema fijo al medio. En particular la velocidad de propagación de la onda aparece escrita en la propia ecuación como una cantidad determinada por las propiedades del medio; esta característica muestra claramente que la ecuación de onda no puede ser válida en cualquier sistema inercial, pues la velocidad no es un invariante galileano.2 2 La ecuación de ondas es una ecuación en derivadas parciales (véase Complemento 1A). Su cambio de forma ante la transformación de Galileo puede ser verificado mediante el reemplazo:

w

wt ' w

wt

wt wt '



wx ' w wt wx '

w wt '

V

w wx '

,

w

wt ' w

wx

wx wt '



wx ' w wx wx '

w wx '

,

fuerzas que dependen de velocidades

w

w

wy

wy '

,

w

w

wz

wz '

ondas mecánicas

16

EL ESPACIO–TIEMPO DE EINSTEIN

Complemento 1A:

Ondas en un fluido perfecto

En ausencia de campo externo, la única fuerza sobre un elemento de fluido perfecto proviene de los gradientes de presión. La Segunda Ley de Newton toma la forma

U

 ’p

du dt

(1A.1)

donde U es la densidad de masa, p es la presión y u es la velocidad en cada punto del fluido y en cada instante. A esta ley deben agregarse la ecuación de continuidad, que expresa la conservación de la masa,

wU  ’˜ ( U u ) wt

(1A.2)

0

y la ecuación de estado que da la relación entre presión y densidad:

p (U)

p

(1A.3)

Para obtener la ecuación de onda deben satisfacerse las condiciones siguientes: 1) la densidad y la presión se apartan poco de sus valores de equilibrio U 0 y p0 p(U 0); esto permite definir una perturbación \(r,t) tal que

U o (1  \ ) ,

U p

po 

| \ |  1

wp ( U  U o )  ... # p o  c 2s U o \ wU U o

(1A.4) (1A.5)

2

donde cs { (wp/wU)¨U 0 es una propiedad del medio con unidades de velocidad al cuadrado. 2) las velocidades son pequeñas (esto supone la adopción del sistema de referencia fijo al medio en equilibrio), y los gradientes de velocidad son también pequeños. La aceleración de un elemento de fluido se aproxima por du

wu

dt

wt





 u˜’ u #

wu wt

(1A.6)

Reemplazando estas aproximaciones en (1A.1) y (1A.2), se obtiene

2 c s ’\ # 

wu wt

w\

,

wt

# ’˜ u

(1A.7a-b)

Tomando divergencia en (1A.7a) y derivando respecto de t en (1A.7b), resultan miembros derechos iguales. Se llega así a la ecuación de onda 1

w

2

2 cs wt 2

2

 2

2

 2

2

2

2

2

\ (r , t )  ’ \ (r , t ) # 0

(1A.8)

donde ’ { w /w x +w /w y +w /wz es el operador Laplaciano. Resolviendo la ecuación de onda se obtiene que la perturbación –una onda de compresión y rarefacción– se propaga en el medio con velocidad cs.

1. EL ESPACIO Y EL TIEMPO ANTES DE EINSTEIN

17

La existencia del sistema naturalmente privilegiado no viola el Principio de relatividad porque la ecuación de onda es aplicable cualquiera fuere el sistema inercial donde el medio material se encuentre en reposo. En verdad la ecuación para las ondas mecánicas no es más que el resultado de realizar aproximaciones válidas en el sistema fijo al medio, a partir de las leyes fundamentales de la Mecánica que claramente satisfacen el Principio de relatividad galileano (véase un ejemplo en el Complemento 1A).

1.8 El electromagnetismo de Maxwell Las leyes que gobiernan el campo electromagnético fueron concebidas por James Clerk Maxwell (1831-1879), luego de las investigaciones sobre la inducción electromagnética realizadas por M. Faraday en 1831. En la teoría del electromagnetismo las fuerzas magnéticas dependen de las velocidades de las cargas que interactúan. Por otro lado, las leyes de Maxwell (1873) pueden ser reescritas, en ausencia de fuentes, como ecuaciones de onda (véase el Complemento 1.B). La teoría prevé que la velocidad de propagación de estas ondas electromagnéticas coincide con el valor medido de la velocidad de la luz, lo que llevó a Maxwell a concluir que la luz es un fenómeno electromagnético. La existencia de fuerzas dependientes de la velocidad y de ecuaciones de onda significa, de acuerdo con lo visto en §1.7, que la única lectura de las leyes de Maxwell consistente con las nociones de espacio y de tiempo vigentes en el siglo XIX, es que el electromagnetismo se trata de un fenómeno mecánico con sede en un medio material. En tal caso las leyes de Maxwell se cumplirían sólo en el sistema fijo a ese medio. El medio material del electromagnetismo fue identificado con el éter de la teoría ondulatoria de la luz, visto el carácter electromagnético de los fenómenos luminosos. El Capítulo 2 estará dedicado a los esfuerzos destinados a detectar el éter o, al menos, el estado de movimiento de un laboratorio respecto del éter. En cambio, en esta Sección mostraremos los absurdos que resultarían si pretendiésemos utilizar las leyes del electromagnetismo en distintos sistemas de referencia, en conjunción con la invariancia de distancias y tiempos aceptada en la Física clásica. Consideremos los dos hilos paralelos de la Figura 1.6. El hilo superior es eléctricamente neutro, pues contiene cargas de ambos tipos en igual cantidad, mientras que el hilo inferior está cargado. En ambos hilos hay corrientes eléctricas del mismo sentido, debidas al movimiento de uno de los tipos de carga. En esta configuración estacionaria de cargas no existe interacción eléctrica entre los hilos, pues una interacción eléctrica requeriría que ambos hilos estén cargados. En cambio sí existe una interacción magnética atractiva que se

18

EL ESPACIO–TIEMPO DE EINSTEIN

_

_

_

_

_

_

+

+

+

+

+

+

+

+

Fmag +

+

+

+

Figura 1.6. Fuerza magnética entre corrientes de igual sentido.

produce como consecuencia de la presencia de corrientes eléctricas de igual sentido. Así lo enseñan las leyes de la electrostática y la magnetostática (es decir, las leyes de Maxwell restringidas al caso en que los campos no dependen del tiempo). Ahora ensayaremos un cambio de sistema de referencia, y pretenderemos aplicar las leyes de Maxwell también en el nuevo sistema de referencia. Al cambiar de sistema usaremos los supuestos acerca de la invariancia de distancias y tiempos que dan sustento a las transformaciones de Galileo. En particular, si las distancias son invariantes podremos asegurar que el hilo superior será eléctricamente neutro en cualquier sistema de referencia.

_

_

_

_

_

_

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Figura 1.7. No hay interacción eléctrica (uno de los hilos carece de carga neta) ni magnética (uno de los hilos carece de corriente).

1. EL ESPACIO Y EL TIEMPO ANTES DE EINSTEIN

19

Si pasamos al sistema que se mueve junto con las cargas positivas, veríamos entonces una configuración como la mostrada en la Figura 1.7. Las mismas leyes de Maxwell nos dicen, en este caso, que no existe entre los hilos interacción alguna: no hay interacción eléctrica pues la habría sólo si ambos hilos estuvieran cargados, y no hay interacción magnética pues esta requiere que ambos hilos porten corrientes. Los resultados obtenidos en cada sistema son incompatibles, ya que la existencia o no de la interacción debe ser un hecho absoluto, independiente del sistema de referencia elegido. El absurdo es consecuencia de haber aplicado las leyes de Maxwell en ambos sistemas, junto con las transformaciones de Galileo. En tanto que las nociones de espacio y tiempo de la Física clásica permanezcan vigentes, resultará inaceptable la utilización de las leyes de Maxwell en distintos sistemas de referencia. Pero en tal caso es imperioso indicar cuál es el sistema de referencia donde las leyes de Maxwell son aplicables. En el Capítulo siguiente recorreremos la historia de la búsqueda de ese sistema privilegiado: el sistema fijo al éter. El fracaso de esa empresa llevará a comprender que las nociones clásicas de espacio y tiempo tendrán que ser modificadas.

James Clerk Maxwell (1831-1879) Nació en Edimburgo pero se crió en una zona rural del sudoeste escocés, donde fue educado por sus padres. A los diez años retornó a su ciudad natal para ingresar a la Academia de Edimburgo. A los 14 años presentó un trabajo sobre óvalos en la Royal Society de Edimburgo. En 1854 se graduó en matemáticas en el Trinity College, donde había ingresado cuatro años antes. Permaneció en Cambridge hasta 1856, cuando expuso su trabajo Sobre las líneas de fuerza de Faraday, explicando la interdependencia entre los campos eléctrico y magnético. Ganó el premio Adams por su demostración de que la estabilidad de los anillos de Saturno sólo resulta posible si los mismos están formados por pequeñas partículas sólidas. En 1860 obtuvo la cátedra de Filosofía Natural en el King’s College de Londres, y allí dedujo la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas; la similitud con el conocido valor de la velocidad de la luz lo llevó a proponer que “la luz consiste en las ondulaciones transversales del mismo medio que es la causa de los fenómenos eléctrico y magnético” (1862). La forma definitiva de su teoría electromagnética apareció en 1873, y fue elaborada luego de que abandonara Londres para regresar a Escocia. En sus últimos años supervisó la edición de los trabajos de Cavendish y la construcción del Laboratorio del mismo nombre. Con Maxwell nace en la Física la idea de campo como una magnitud con entidad propia. Maxwell se dio cuenta de que la corriente que se induce en un circuito en presencia de un campo magnético variable (observada por Faraday en 1831), es producida por un campo eléctrico que existe aún en ausencia del circuito. Un campo magnético variable es fuente de un campo eléctrico, y un campo eléctrico variable es fuente de un campo magnético. También importante es su contribución a la teoría cinética de los gases (1866); utilizando la hipótesis de que el comportamiento de un gas es el resultado del movimiento de moléculas constituyentes, dedujo –a la par que L. Boltzmann– la distribución estadística de velocidades de las moléculas como función de la noción termodinámica de temperatura.

incompatibilidad de las leyes de Maxwell, el principio de relatividad y la transformación de Galileo

Cap. 2 § 3.1-2 § 5.2-3

20

EL ESPACIO–TIEMPO DE EINSTEIN

Complemento 1B:

Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales de primer orden que describen el comportamiento local de los campos eléctrico E (r, t) y magnético B (r, t). Las fuentes de campo son las densidades de carga U (r, t) y de corriente j (r, t). Los valores de las fuentes U y j , junto con condiciones de contorno apropiadas para E y B, determinan la configuración de los campos: 

















’˜B

’uE 

0

U

’˜E

wB

wE ’ u B  P Ho o wt

Ho

(1B.1a-b)

0

wt

Po j

(1B.2a-b)

Tomando la divergencia de la Ec. (1B.2-b) y usando (1B.2-a), se obtiene la ecuación de continuidad que expresa la conservación local de la carga:

wU wt

’˜j

(1B.3)

0

La fuerza que un campo electromagnético ejerce sobre una carga q que se mueve con velocidad u, se llama fuerza de Lorentz y su valor es

q (E  u u B )

F

(1B.4)

En los puntos donde las fuentes se anulan las componentes cartesianas de los campos cumplen ecuaciones de onda como la (1A.8), que pueden obtenerse de (1B.1-b) y (1B.2-b) derivando respecto de t y usando la identidad ’u’uC {’’˜C ’C: 2

Po H o

w E wt

2

2

2

 ’ E

0,

Po H o

w B wt

2

2

 ’ B

0

(1B.5)

/ 

En (1B.5) c { (Po Ho) es una constante con unidades de velocidad (es la velocidad de propagación de la onda) cuyo valor debe ser determinado experimentalmente. Como se aprecia en (1B.2), Po y Ho por separado involucran respectivamente a las unidades de corriente y de carga, que ciertamente son dependientes. Por lo tanto, la elección de una unidad de corriente (o, alternativamente, de carga) resulta equivalente a escoger un valor para Po (o Ho). En el Sistema Internacional se define la unidad de corriente –el Ampère (A)– 7 2 eligiendo Po 4S u 10 NA . Luego Ho puede determinarse con un experimento de tipo 12 1 2 2 2 electrostático, resultando Ho 8,854187817 u 10 N A m s ; entonces c 2,997924580 8 u 10 m/s. A partir de 1983 se adoptó este valor de c por definición, lo que implica dejar de considerar independientes a las unidades de longitud y de tiempo. Nota: En el Sistema Gaussiano el campo magnético es redefinido mediante la sustitución BoB/c, que otorga las mismas unidades a ambos campos. La unidad de carga –el stat-coulomb (u.e.e.)– queda establecida con la elección Ho (4S)–1.

2 En busca del éter 2.1 Dos modelos para la luz En 1704 Isaac Newton publicó Opticks, donde sostenía que la luz es algo que se propaga como partículas eyectadas desde la fuente luminosa. La afirmación se sustentaba en la aparente propagación rectilínea de los rayos luminosos. En el marco de este modelo corpuscular de la luz, Newton trataba de explicar la reflexión y la refracción (el cambio de dirección de un rayo de luz al atravesar la superficie que separa dos medios transparentes), como el resultado de la acción de fuerzas de corto alcance repulsivas y atractivas que actúan sobre los corpúsculos en la vecindad de la superficie. En el caso de la refracción, el rayo se desvía acercándose a la dirección normal (la dirección perpendicular a la superficie que separa ambos medios) cuando los corpúsculos luminosos penetran en un medio ópticamente “más denso”, como lo son el agua o el vidrio respecto del aire. Newton atribuía este fenómeno a la existencia de una fuerza que atrae las partículas de luz hacia el medio más denso, de modo que la componente normal de la velocidad de los corpúsculos se incrementa al ingresar a ese medio. En la refracción, la luz se descompone en colores con distinto grado de desviación (dispersión), lo que hacía necesario suponer que existen partículas luminosas de varios tipos (colores), y que la atracción hacia el medio más denso es diferente para cada tipo de partícula. Pero no todos los fenómenos ópticos conocidos admitían un abordaje tan simple con el modelo corpuscular. Newton no ignoraba que mientras él experimentaba con la descomposición de la luz, F.M. Grimaldi había descubierto que la luz no produce sombras netas –como debería ocurrir si se propagara en línea

el modelo corpuscular

22

EL ESPACIO–TIEMPO DE EINSTEIN

recta– sino que el borde de la sombra se presenta como un conjunto de franjas alternadas claras y oscuras (difracción, 1665). De la misma época es también el descubrimiento de la birrefringencia en la calcita (E. Bartholin, 1669). Newton mismo observó las franjas de interferencia que se obtienen al apoyar una lente plano-convexa sobre una superficie de vidrio (anillos de Newton), que él llamara inflexión. A menudo Newton alternó conceptos del modelo ondulatorio con los del modelo corpuscular en su interpretación de los fenómenos ópticos.

el modelo ondulatorio

Por su parte, en 1678 el holandés Christiaan Huygens (1629-1695) presentaba su Traité de la lumière en la Academie Royale des Sciences de París. Allí Huygens defendía el modelo ondulatorio para la propagación de la luz con estas palabras: ...cuando se considera la extrema rapidez con que la luz se expande desde todas partes, y que cuando las hay que vienen de diferentes lugares, aun completamente opuestos, se atraviesan la una y la otra sin estorbarse, se comprende que cuando vemos un objeto luminoso, no podría ser por el transporte de una materia, que desde este objeto viene hasta nosotros, tal como una bala o una flecha atraviesa el aire: pues seguramente esto repugna excesivamente a estas dos cualidades de la luz, y sobre todo a la última. Es pues de otra manera como se expande, y lo que nos puede conducir a comprenderla es el conocimiento que tenemos de la expansión del sonido en el aire. ...no hay duda de que la luz no llega desde los cuerpos luminosos hasta nosotros más que por algún movimiento impreso a la materia que está entre los dos. ...este movimiento impreso a la materia es sucesivo... y se extiende, así como el del sonido, por superficies y ondas esféricas... Chr. Huygens, Traité de la lumière (Leiden, 1690).

Principio de Huygens

Según Huygens, estas superficies o frentes de onda se propagan en forma tal que todo punto de un frente de onda se comporta como emisor de un nuevo frente de onda (emisor secundario), y los frentes sucesivos se obtienen como la envolvente de estas ondas secundarias (Principio de Huygens). Lo que comúnmente denominamos rayo es la dirección que va desde el emisor secundario hasta el punto donde la onda secundaria es tangente a la envolvente. En la Figura 2.1 se muestra la construcción de Huygens para la propagación en un medio isótropo y homogéneo de una onda emitida por una fuente puntual. La isotropía y homogeneidad del medio implican que la onda se propaga con igual velocidad en todas direcciones y en todos los puntos del medio. De esto resulta que tanto el frente de onda como las ondas secundarias son esféricas. En la

2. EN BUSCA DEL ÉTER

23

Figura 2.1. Construcción de Huygens para la propagación de una onda emitida por una fuente puntual en un medio isótropo y homogéneo.

Figura 2.2a se muestra cómo un frente de onda plano se deforma en un medio no homogéneo (aunque isótropo); las ondas secundarias son aún esféricas, pero tienen distinto radio debido a que la velocidad de propagación no es la misma en distintos puntos. Los rayos se dirigen desde el centro de cada onda secundaria esférica hasta el punto donde la envolvente es tangente a la misma; resultan entonces perpendiculares al frente de onda (en el sistema fijo al medio de propagación). Esta propiedad se pierde cuando el medio no es isótropo. En la Figura 2.2b se muestra la propagación de una onda plana en un medio homogéneo pero anisótropo. En este caso las ondas secundarias no son esféricas, aunque son todas iguales debido a la homogeneidad. El resultado es que el frente de onda se mantiene plano, pero los rayos no son perpendiculares al mismo.

Figura 2.2a. Construcción de Huygens en un medio isótropo no homogéneo.

Figura 2.2b. Construcción de Huygens en un medio homogéneo anisótropo.

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EL ESPACIO–TIEMPO DE EINSTEIN

Veamos ahora cómo son descriptas la reflexión y la refracción en el modelo ondulatorio. En la Figura 2.3 se muestra un frente de onda plano AB incidiendo sobre la superficie AD que separa dos medios transparentes isótropos y homogéneos. Los rayos incidentes forman un ángulo i con la dirección normal (ortogonal) a la superficie que separa ambos medios. Para aplicar la construcción de Huygens a este caso debemos hacer la hipótesis adicional de que los puntos de la superficie AD se convierten en emisores secundarios a medida que son alcanzados por un frente de onda. A menos que la incidencia sea normal, los puntos de un mismo frente incidente no alcanzan simultáneamente la superficie de separación de los dos medios: el primer punto en convertirse en emisor secundario es el punto A. El punto D es alcanzado por el frente incidente luego de transcurrido un tiempo t dBD /c1 (c1 es la velocidad de propagación en el primer medio). Durante ese tiempo la onda secundaria emitida en A se ha propagado hasta un radio c1t en el medio 1, y c2t en el medio 2 (en la Figura 2.3 se ha supuesto c2 < c1); las ondas secundarias emitidas desde los puntos intermedios del segmento AD han desarrollado radios proporcionales a la distancia entre el emisor secundario y D. Las envolventes de las ondas secundarias son nuevamente frentes planos. De la construcción se obtiene que la dirección de los rayos reflejados forma el mismo ángulo de incidencia i con la normal. Con respecto a la onda transmitida al medio 2, vemos que la dirección del rayo se aproxima a la normal cuando c2 < c1; es decir que el modelo ondulatorio requiere que la velocidad de propagación sea menor en los medios más densos. La dispersión resulta de las distintas velocidades de propagación para los diferentes colores. Como el ángulo BAD es igual a i, y el ángulo ADC es igual a r, se obtiene que

i

B

A

D

C r Figura 2.3. Descripción de la reflexión y la refracción de la luz, según el modelo ondulatorio.

2. EN BUSCA DEL ÉTER

sen i sen r

d BD d AC

c1 t c2 t

c1 { n 21 , c2

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(2.1)

ley de Snell

donde n21 es el índice de refracción del medio 2 relativo al medio 1. De esta forma el modelo ondulatorio explica la ley de Snell (1618) para la refracción. En la refracción encontramos la primera discrepancia entre ambos modelos de la luz. Como fue dicho, el modelo corpuscular sostenía que el acercamiento del rayo a la normal se debe a que una fuerza atrae los corpúsculos hacia el medio más denso; pero en tal caso la velocidad de propagación debería aumentar cuando los corpúsculos ingresan a ese medio, contrariamente a lo que resulta del modelo ondulatorio. Hasta comienzos del siglo XIX el modelo corpuscular gozó de mayor aceptación que el modelo ondulatorio, en parte debido a la influencia ejercida por el pensamiento de Newton. Aunque Newton era consciente de las dificultades del modelo corpuscular para explicar las franjas de interferencia, el modelo ondulatorio era relegado debido a su aparente incapacidad para explicar las sombras bien definidas que proyectan los objetos (salvo por el débil efecto de difracción observado por Grimaldi). Por otra parte la construcción de Huygens por sí sola resulta insuficiente para la descripción de la interferencia, en tanto que no contiene los conceptos de amplitud y fase. Para que estos conceptos aparezcan es necesario contar con la ecuación de onda y sus soluciones. La ecuación de onda fue escrita por primera vez en 1746, cuando J. d’Alembert estudiaba la propagación de ondas en una cuerda. En 1802 el inglés Thomas Young (1773-1829) explicó correctamente la interferencia de la luz en el contexto del modelo ondulatorio.1 En 1808 E. Malus descubrió los efectos de la polarización por reflexión mientras observaba el reflejo de una ventana a través de un cristal de calcita. Young sugirió que la observación de Malus podría entenderse si la luz fuera una onda transversal.2 El francés Augustin Jean Fresnel (1788-1827) tomó en cuenta esta idea, y junto con D.F.J. Arago realizó experimentos que confirmaron la hipótesis de Young. Fresnel dio al modelo ondulatorio un tratamiento matemático más acabado, el cual le permitió explicar la sombra definida proyectada por los objetos, luego de calcular los patrones de difracción producidos por distintos tipos de obstáculos. A esa altura 1

En la explicación de la interferencia se hace uso del Principio de superposición (la suma de dos soluciones de la ecuación de onda es también solución), que es consecuencia de que la ecuación de onda es lineal. En el caso de las ondas mecánicas, la linealidad proviene de una aproximación (ver Complemento 1.A). En cambio las leyes de Maxwell son de por sí lineales. 2 El carácter transversal de las ondas electromagnéticas se explica en el Capítulo 5.

El modelo ondulatorio se afianza en el siglo XIX

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el modelo ondulatorio era capaz de describir toda la fenomenología conocida, y no hallaría dificultades sino hasta fines del siglo XIX cuando se descubra el efecto fotoeléctrico y el comportamiento de la radiación de cuerpo negro. No obstante, después de la muerte de Fresnel aún quedaban partidarios del modelo corpuscular. En 1850 J.B.L. Foucault midió entonces la velocidad de propagación de la luz en el agua, encontrando que era menor que en el aire, en total acuerdo con el modelo ondulatorio.

2.2 Primera determinación de la velocidad de la luz Galileo fue el primero en intentar dilucidar si la velocidad de la luz es finita o infinita. Él pensó que la cuestión podía ser resuelta por dos personas alejadas que se enviaran señales luminosas tapando y destapando linternas. Si acuerdan en responder a cada señal inmediatamente después de su recepción, entonces podrían establecer el tiempo que tardan las señales en su camino de ida y vuelta, y calcular luego la velocidad. Galileo relata: “he intentado el experimento sólo a una distancia corta..., por lo cual no he podido determinar con certeza si la aparición de la otra luz era instantánea o no”. En 1676 el astrónomo danés Olaf Römer estaba involucrado en un proyecto de la Academie Royale des Sciences de Paris, investigando eventos celestes que permitieran una determinación precisa de la longitud geográfica, para mejorar la confección de mapas y facilitar la navegación. La idea, propuesta por Galileo, era elaborar una tabla con la hora de París para un evento celeste periódico; la hora solar local del mismo evento observado desde otro lugar, permitiría determinar la longitud del lugar (respecto de París). El evento celeste en estudio era la sucesión de los eclipses de Ío, que de las cuatro grandes lunas de Júpiter –descubiertas por Galileo en 1610 con su rudimentario telescopio– es la más cercana al planeta. Las características de su órbita determinan que, visto desde la Tierra, Ío sea eclipsado por Júpiter cada vez que realiza su recorrido por detrás del planeta. Esto ocurre, en promedio, una vez cada 42,5 horas. Sin embargo era sabido que la sucesión de eclipses se va retrasando cuando la Tierra y Júpiter se alejan, y se va adelantando cuando la Tierra y Júpiter se acercan. Cuando Römer anunció en París que ese comportamiento anómalo podía deberse a que la velocidad de la luz es finita tropezó con una fuerte resistencia; muchos científicos, bajo la influencia de R. Descartes, creían aún que la luz se propagaba instantáneamente. Römer pensó que el retraso era debido a que la luz que viajaba desde Júpiter debía recorrer una distancia más larga. El retraso acumulado desde que la Tierra se encuentra en la posición más próxima a Júpiter hasta cuando se aleja más, totalizaba unos 22 minutos. Esto

2. EN BUSCA DEL ÉTER

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Ío Tierra

Tierra

Ío

Júpiter Júpiter

Figura 2.4a. Júpiter y la Tierra en su máximo acercamiento.

Figura 2.4b. Júpiter y la Tierra seis meses y medio después.

sucede al cabo de algo más de medio año (como Júpiter tarda casi 12 años en recorrer su órbita, la dirección Sol-Júpiter cambia muy poco en medio año) (Figuras 2.4a-b). Según Römer, los 22 minutos debían corresponder al tiempo que demora la luz en recorrer el diámetro de la órbita terrestre. Con una estimación del diámetro de la órbita terrestre de 293.000.000 km, Römer obtuvo 222.000 km/s para la velocidad de la luz. El orden de magnitud del resultado era correcto, pero estaba afectado por grandes errores en las mediciones de tiempos (el retraso real es de 16 minutos y 36 segundos).

2.3 La aberración de la luz Aunque las conclusiones de Römer recibieron inmediatamente el apoyo de Huygens y Newton, la comunidad científica aceptó definitivamente que la luz se propaga con velocidad finita recién después de que en 1729 el astrónomo inglés J. Bradley comunicara su observación del fenómeno de aberración de la luz. Bradley descubrió la aberración mientras intentaba medir la paralaje de la estrella Gamma Draconis, para poner en evidencia el movimiento de la Tierra alrededor del Sol y asestar un golpe definitivo a los anti-copernicanos. La paralaje estelar es el cambio en la dirección de observación de una estrella cuando se la mira desde distintas posiciones de la órbita terrestre. Como resultado del cambio de posición de la Tierra, las sucesivas direcciones de observación de una estrella barren el contorno de una elipse al cabo de un año (véase la Figura 2.5). La observación de esta elipse sería la evidencia del movimiento de la Tierra. El ángulo subtendido por el eje mayor de la elipse es

paralaje estelar