El Teorema de La Divergencia en Tres

 

EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA EN TRES TR ES DI DIME MENS NSIO IONE NES S También conocido como el teorema de Gauss, el teorema de la divergencia es una herramienta para pasar de integrales de superficie a integrales triples. Qué Qu é va vamo moss a co cons nstr trui uir: r:  F( x ,y ,z ) es un campo vectorial de tres dimensiones. 

  V , es algún volumen de tres dimensiones.

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  S es la superficie de V

 

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  El teo teorem rema a de la div diverg ergenci encia a rel relaci aciona ona la div diverg ergenci encia a de F   en el volumen V con el flujo de F hacia afuera de la superficie S.

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  La idea intuitiva es que la divergencia mide el flujo hacia afuera en puntos individuales, mientras que el flujo mide la cantidad de fluido que sale de toda una región. Así que al sumar todos los cachitos de divergencia se obtiene el mismo valor que el flujo.

 

LA SUPERFICIE DEBE SER CERRADA

En lo que sigue, debes pensar en una superficie en el espacio. Pero a d ifverg ere ren nenci cicia a a deso , lodigse amo am o s,lica el ate  osuperfi remrficie a cies des Scer tokradas es,as,el loteoqrueemasig dneificla dive di rgen solo apli ap ca supe cerrad ign a superficies si sin n fr fron onte terras. Por ejemplo, un hemisferio no es una superficie cerrada, tiene un círculo como frontera, por lo que no se puede aplicar el teorema de la divergencia. Sin embargo, si añades un disco en la parte inferior de este hemisferio y consideras al disco y al hemisferio como una sola superficie, ya tienes una superficie cerrada cuyo volumen interior es la mitad de una bola. En este caso ca so,, da dado do un ca camp mpo o ve vect ctor oria ial, l, el te teor orem ema a de la di dive verg rgen enci cia a pu pued ede e utilizarse en esta superficie de dos partes y esta media bola. La razón de esto es que necesitamos ser capaces de hablar del volumen tridimensional   encerrado   por por un una a su supe perf rfic icie ie,, lo qu que e no ti tien ene e ni ning ngún ún sentido para superficies abiertas.

 

Visión global de la corriente hacia afuera: flujo

Cuando un campo vectorial tridimensional F( x ,y ,z ) se considera como la representación de la corriente de un fluido, el flujo de F  a través de una superficie S es una medida de cuánto líquido pasa a través de esa superficie por unidad de tiempo. Se mide con la siguiente integral:

Puedes pensar en esta integral como si separaras la superficie en muchos pedazos minúsculos, donde   d Σ  representa el área de uno de estos cachitos. La letra con el gorrito n^, representa una función que le asigna un vector normal unitario, que apunta hacia afuera, a cada punto de la superficie.

 

Cuando el producto punto F⋅n^ es grande, significa que la corriente del fluido es en la misma dirección que n^, y por lo tanto, el fluido pasa a tr trav avés és deque la en supe su perf icie ie ráp rápid idam amen ente te ese es e pu punt nto. o. positivo Obse Ob serva rva cuando que qu e es esto to significa la rfic integral de flujo se en considera flujo va en la misma dirección del vector normal unitario n^, y negativo cuando fluye en la dirección contraria. Para este artículo, piensa en el caso donde S es una superficie cerrada  ("cerrado" significa que no tiene bordes) que encapsula un vo volu lume men n tr trid idim imen ensi sion onal al V. Si S se or orie ient nta a co con n ve vect ctor ores es no norm rmal ales es unitarios que apuntan hacia afuera, el flujo de F  a través de S mide qué tan rápido el líquido  sale del volumen V. Es como ir a todas las puertas en la frontera de una región y sumar cuánto cuánto fluido sale por cada una y restar cuánto entra por cada una.

 

Visión local del flujo hacia el exterior: divergencia

La divergencia, en cualquier dimensión, mide la tendencia del fluido a alejarse de cada punto en el espacio. Más específicamente, si tomas algún punto en el espacio, ( x 0, 0,y 0, 0,z 0) 0 ) y unos volúmenes minúsculos alrededor eseapunto Vmini laión tasaser aála  aproximadamente que el líquido que  igual fluye aa lo largo lar go del cam campo po vec vector torial ial F   deja dejde a est esta pequeñ peq ueña a reg región será la siguiente expresión:

En otras palabras, la divergencia da la tasa de flujo hacia afuera  por unidad de volumen cerca de un punto. La razón por la que debe multiplicarse por el volumen antes de estimar la tasa real de flujo hacia fuera, es que la divergencia en un punto es un número que no está relacionado con el tamaño del volumen alrededor de ese punto. Pero las tasas del flujo exterior para volúmenes más pequeños serán más pequeñas simplemente por el hecho de que en ellos hay menos líquido que pueda salir. salir.

 

Resumen

El teorema de la divergencia dice que cuando se suman todos los cachitos de flujo hacia el exterior en un volumen mediante una integral triple de la divergencia, se obtiene el flujo total hacia fuera de ese volumen, medido por el flujo a través de su superficie.