EL SISTEMA MÉTRICO Y LA NOTACIÓN CIENTIFICA

EL SISTEMA MÉTRICO Y LA NOTACIÓN CIENTIFICA El sistema métrico, también conocido como el Sistema Internacio I nternacional nal de Unidades (SI), fue desarrollado a finales del siglo XVIII para estandarizar las unidades de medidas en Europa. El sistema métrico es el sistema principal de medida utilizado en gran parte del mundo y en la ciencia. Fue implantado por la Primera Conferencia General de Pesos y Medidas Medidas (París, 1889); se pretendía buscar un sistema de unidades único para todo el mundo y así facilitar el intercambio científico, cultural, comercial, de datos .Hasta entonces cada país, e incluso cada región, tenía su propio sistema de unidades; a menudo, una misma denominación denominación representaba un valor distinto, de un lugar a otro. Un ejemplo es la vara, medida de longitud que equivale a 0,8359 m, si se trata de la vara castellana o a 0,7704 m, si se trata de la vara aragonesa. Hoy es usado en casi todos los países excepto los Estados Unidos y es casi siempre usado en las medidas científicas. El sistema métrico decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de cada unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10. Para simplificar las cosas, objetos muy grandes o pequeños son expresados como múltiplos de 10 de la unidad básica. Por ejemplo, en vez de decir que el río Nilo tiene 6,650,000 metros de largo, podemos decir que tiene 6,650 miles de metros de largo. Esto se haría al añadir el prefijo 'kilo' (que significa 1000) a la unidad básica 'metro' lo cual nos da 6,650 kilómetros para la longitud del río Nilo. Esto es mucho más simple que el sistema de medición americano en el cual tenemos que recordar, pulgadas, pies, millas, y otras unidades de medición. Los prefijos métricos pueden ser usados con cualquier unidad básica. Por ejemplo, mientras un kilometro son 1,000 metros, un kilogramo son 1,000 gramos y un kilolitro son 1,000 litros. Aquí están seis prefijos comúnmente usados en el sistema métrico.

Prefijos Métricos Comunes

Múltiplos de Unidades

kilo

1000

hecto

100

deca

10

-- (base unit)

--

deci

0.1

centi

0.01

milli

0.001

MAGNITUDES BÁSICAS BÁSICAS DEL SI Las unidades básicas del SI son tres: longitud, capacidad y masa

LONGITUD Como unidad de medida de longitud se adoptó el metro, definido como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre, cuyo patrón se reprodujo en una barra de platino iridiado. El original se depositó en París y se hizo una copia para cada uno de los veinte países firmantes del acuerdo.

CAPACIDAD

Como medida de capacidad se adoptó el litro, equivalente a un decímetro cúbico de agua a 4 °C y 1 atm.

MASA Como medida de masa se adoptó el kilogramo, definido a partir de la masa de un litro de agua pura a su densidad máxima (unos 4 °C) y materializado en un kilogramo patrón.

CONVERSIONES MÉTRICAS El sistema métrico es llamado decimal porque se basa sobre múltiplos de 10. Cualquier medida dada en una unidad métrica como por ejemplo, el kilogramo puede ser convertida a otra unidad métrica por ejemplo, el gramo simplemente moviendo el lugar decimal.

Ejemplo Digamos que un amigo le dice que pesa 72,500.0 gramos (159.5 libras). Se puede convertir este peso a kilogramos simplemente moviendo el decimal 3 lugares hacia la izquierda. Lo que nos da como resultado, que el peso de su amigo es 72.5 kilogramos. Puesto que el sistema métrico se basa en múltiplos de 10, la conversión dentro del sistema es simple. Para simplificar, si usted quiere convertir una unidad más pequeña a una unidad más grande (subiendo en el recuadro de arriba), mueva el lugar decimal hacia la izquierda en el número que está convirtiendo. Si quiere convertir una unidad más grande a una unidad más pequeña (bajando en el recuadro de arriba), hay que mover el decimal hacia la derecha. El número de lugares en el que se mueve el decimal corresponde al número de filas que sube o baja en el recuadro a partir de la fila base.

Ejemplos Supongamos que usted se encuentra a 25590 milímetros de un determinado lugar. Dicho de esta forma parecería que se encuentra bastante lejos pero convirtamos ese número en metros. La unidad básica, el metro, está tres filas arriba del milímetro, así que el decimal se debería mover tres lugares hacia la izquierda. Lo que significa que la distancia en metros sería de 25.590 y para transformarla a kilómetros nos movemos una vez más hacia la izquierda una posición con lo cual estamos a 2,5590Km de distancia. Las unidades métricas pueden ser abreviadas para simplificar. Las abreviaciones para las unidades básicas corresponden a la primera letra del nombre de la unidad: m = metro g = gramo y l = litro. Las subunidades pueden ser abreviadas usando la primera letra del prefijo y la primera letra de la unidad básica (todas en minúsculas): mm = milímetro, kg = kilogramo, etc.

TABLA DE CONVERSIONES MÉTRICAS La tabla de conversiones métricas contiene múltiplos y submúltiplos de las principales magnitudes del Sistema Internacional de Unidades (SI), y algunas otras unidades comunes de estas magnitudes:

LONGITUD milímetro, centímetro, decímetro, metro, decámetro, hectómetro, kilómetro, pulgada, pie, yarda, milla, angstrom, micrón

SUPERFICIE milímetro cuadrado, centímetro cuadrado, decímetro cuadrado, metro cuadrado, decámetro cuadrado, hectómetro cuadrado, kilómetro cuadrado

VOLUMEN milímetro cúbico, centímetro cúbico, decímetro cúbico, metro cúbico, decámetro cúbico, hectómetro cúbico, kilómetro cúbico,

MASA miligramo, centigramo, gramo, kilogramo, quintal, tonelada, onza, libra

SISTEMA INGLES El sistema ingles de unidades es un sistema gravitacional de unidades y se basa en el pie, la libra fuerza y el segundo como unidades básicas. Este es el único sistema que se ha usado durante largo tiempo en Inglaterra, Estados Unidos y los países de habla inglesa. El sistema inglés de unidades o sistema imperial, es aún usado ampliamente en los Estados Unidos de América y, cada vez en menor medida, en algunos países con tradición británica. Debido a la intensa relación comercial que tiene nuestros países con los EUA, existen aún muchos productos fabricados con especificaciones en este sistema. Ejemplos de ello son los productos de madera, tornillería, cables conductores y perfiles metálicos. Algunos instrumentos como los medidores de presión para neumáticos de automotores y otros tipos de manómetros frecuentemente emplean escalas en el sistema inglés. Las unidades utilizadas en el sistema ingles para diversas magnitudes son:

CONVERSIONES DEL SISTEMA MÉTRICO AL SISTEMA INGLES MEDIDAS DE LONGITUD

1 metro =

1 centímetro = 1 milímetro = 1 kilómetro =

39,37 3,28083 1,09361 1000 100 10 0,001 0,3937 0,0328083 10 0,01 0,03937 0,001 3 280,83 1 093,61 0,62137 1 000

pulgadas pies yardas milímetros centímetros decímetros kilómetro pulgada pie milímetros metro pulgada metro pies yarda milla metros

in ft yd mm cm dm km in ft mm m in m ft yd mi m

(inch) (feet) (yard) (inch) (feet) (inch) (feet) (yard) (mile) -

MEDIDAS DE PESO 0,03527 0,001

onza kilogramo

oz kg

(ounce) -

000 gramos 2,20462 libras 1 tonelada 2 204,62 libras métrica = 1 000 kilogramos 0,0625 libra 1 onza = 28,35 gramos 16 onzas 1 libra = 453,592 gramos 0,453592 kilogramo

g lb lb kg lb g oz g kg

(pound) (pound) (pound) (ounces) -

1 gramo =

1 kilogramo = 1

CONVERSIONES DEL SISTEMA INGLES AL SISTEMA MÉTRICO

1 pulgada =

1 pie =

1 yarda =

1 milla =

0,833 0,022777 2,54 25,4 12 0,33333 0,3048 30,48 36 3 0,9144

pie ft yarda yd centímetros cm milímetros mm pulgadas in yarda yd metro m centímetros cm pulgadas in pies ft metro m

5 280 1 760 320 8 1 609,35 1,60935

pies yardas rods furlongs metros kilómetros

ft yd m km

(feet) (yard) (inch) (yard) (inch) (feet) (feet) (yard) (1 rod = 5,03 m) (1 furlong = 200m) -

Para realizar las conversiones más complejas es posible utilizar los diversos métodos de conversión de unidades como son:  

Regla de tres Factores de conversión

EXACTITUD DE LAS MEDICIONES Y CIFRAS ERRORES Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS Al escribir o manipular números debemos distinguir los números exactos de los inexactos. Como ejemplo de números exactos, tenemos: Nº enteros o fracciones 1, 2, ... ½,

¾

Ctes. matemáticas π, e, ...

Relaciones 1 kg/1000g

Y los números inexactos que son todos aquellos que expresan el resultado de mediciones experimentales. Un ejemplo muy sencillo que ilustra la naturaleza aproximada de los datos numérico-experimentales es una longitud medida con una regla graduada en milímetros. Supón que mides la longitud de un bolígrafo. El resultado podrías expresarlo de distintos modos como: 14.2 cm ≡ 0.142 m ≡ 142 mm ≡ 0.142* 103 mm Estos resultados tienen tres cifras significativas que son los dígitos considerados correctos en una medida. Quiere esto decir que, independientemente de las unidades que emplees, la regla de mano no resuelve las diezmilésimas o cienmilésimas de metro con lo que un resultado como 142.50 mm no tiene sentido. Pero además, el instrumento (la regla) no es perfecta por lo que toda medición conlleva un error. De hecho, cualquier aparato científico además de una escala o graduación proporciona una estimación del error instrumental. Lo normal es que el error cometido por un instrumento sea menor que la división más pequeña en su escala o graduación (en el caso de la regla de mano, sería un error inferior a 1 mm).

CONVENIO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS Como se mencionó antes, las cifras significativas son las cifras consideradas correctas  en una medida. Pero, ¿cómo de correctas ? La respuesta nos la da el convenio de cifras significativas al asumir que la incertidumbre de un dato experimental expresado con cifras significativas es siempre inferior a una unidad de la última cifra. Un ejemplo numérico sirve para aclarar la aplicación e interpretación de este convenio. En el caso de la longitud medida con la regla, si está de acuerdo con el convenio de cifras significativas, el error asociado sería de ±1 mm. Podríamos entonces escribir el resultado como: 14.2 ± 0.1 cm No obstante, lo más cómodo es omitir el término ± 0.1 y suponer entonces que está implícito en cualquier magnitud expresada con cifras significativas.

PRECISIÓN Y EXACTITUD De acuerdo con lo ya comentado, un buen instrumento científico será aquel cuyas medidas se expresan con muchas cifras significativas, es decir, que tenga una resolución muy alta. Pero éste no es el único criterio para juzgar sobre la calidad de un aparato. Debemos exigir además que las medidas efectuadas por el instrumento sean precisas y exactas. Y es que precisión y exactitud no son sinónimos en un contexto científico-técnico. Así, un aparato es preciso si dada una serie de mediciones sobre una misma muestra e idénticas condiciones ofrece resultados próximos entre sí. Debemos exigir además que el instrumento sea exacto, es decir, que las medidas estén lo más cerca posible del valor verdadero . El siguiente esquema que representa el resultado de una serie de lanzamientos contra una diana, da un significado gráfico a los términos preciso y exacto.

CÁLCULOS CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS Si comprendemos el significado de las cifras significativas podemos identificarlas e interpretarlas. En la práctica, tendremos que operar con las cifras significativas y averiguar el número de dígitos significativos en los resultados de las operaciones. Para identificarlas y operar con cifras significativas, emplearemos una serie de reglas muy simples que introducimos con la ayuda de un ejemplo: Supongamos que deseamos calcular el número de moléculas de agua presentes en un 1mL de agua líquida en su punto de ebullición atmosférico de 100ºC. Los datos de partida serían: Densidad a 100ºC 0.958 g/mL

Pesos atómicos

Constante de Avogadro

16.00 (O), 1.007 (H) g/mol

6.0221367·10−23 mol−1

Planteamos ahora el cálculo como una serie de factores de conversión. Se trata de un cálculo muy sencillo:

¿Cómo identificar a los dígitos significativos? En la anterior serie de factores de conversión debemos distinguir los números exactos que no están no sujetos a determinación experimental de los números inexactos que sí lo están. Ejemplo:

Para los números inexactos o experimentales, determinamos con cuantas cifras significativas están expresados aplicando las siguientes reglas: 

Los ceros a la izquierda no cuentan como cifras significativas ρ= 0.958 g/mL



3 cifras significativas

Los ceros a la derecha sí cuentan como cifras significativas P.at.=16.00 g/mol

4 cifras significativas

La experiencia nos indica que no es fácil aceptar la siguiente desigualdad: 16 ≠ 16.00

Pero debemos darnos cuenta de que es perfectamente correcta si estamos considerando las cifras significativas de cada número. ¿Cuántas

-1?

Resulta obvio que la notación científica en potencias de diez es imprescindible para aplicar bien el convenio de cifras significativas. Y es que si escribiésemos una cifra como 602213670000000000000000000000, además de incómodo, sería incorrecto ya que todos los ceros a la derecha son cifras no significativas que sencillamente desconocemos.

¿Cómo operar con cifras significativas? Una vez que hemos reconocido las cifras significativas en los factores de cálculo es el momento de realizar las operaciones indicadas. Lógicamente, la exactitud del output está limitada por el dato menos exacto que figura en el input. ¿Cómo se transmiten las

cifras significativas a multiplicación/división?

través

de

operaciones

de

adición/sustracción

o

de

Veámoslo en las siguientes reglas:

adición/sustracción 16.00 1.007 1.007 18.014 

18.01

El resultado de una adición/sustracción no puede tener más dígitos significativos a la derecha del punto decimal que el término que menos tenga.

Observemos que no tiene sentido expresar el dígito correspondiente a la milésima en el resultado de sumar los pesos atómicos.

multiplicación/división



El resultado de una multiplicación/división tiene tantas cifras significativas como el factor que menos tenga.

La regla concerniente a la multiplicación/división es fácil de recordar y aplicar. Se puede justificar igualmente con un desarrollo aritmético.

¿Cómo redondear correctamente los resultados numéricos? La aplicación práctica de las anteriores reglas nos fuerza a redondear el resultado de las operaciones de cálculo para que la precisión del resultado final se ajuste al criterio de las cifras significativas. En el ejemplo que estamos desarrollando, sabemos que el resultado final tiene sólo tres cifras significativas. Si realizamos las operaciones con la ayuda de una calculadora, obtendríamos algo como:

Es importante indicar que las cifras de la calculadora no son significativas La anterior advertencia suele ser ignorada por los estudiantes en la resolución de ejercicios y exámenes, pues no es infrecuente encontrarse con resultados numéricos volcados directamente de la pantalla al papel. Debe redondearse el resultado. En este caso será necesario redondear el resultado a tres cifras significativas, hacer uso de la notación científica y, por supuesto, incluir las correspondientes unidades:

Y el problema está resuelto. Con un poco de práctica, la aplicación de las reglas y convenio de cifras significativas será automática. Una última cuestión. ¿Qué regla de redondeo debe emplearse? Los siguientes ejemplos ilustran cómo debe redondearse un resultado. Si el dígito no significativo que sigue al último dígito significativo es mayor/menor que 5, se redondea el último dígito significativo hacia arriba/abajo, respectivamente.

Si el dígito no significativo que sigue al último dígito significativo es igual a 5, entonces el último dígito significativo se redondea siempre hacia un número par. Así, se consigue que en promedio la mitad de estos redondeos sean hacia arriba y la otra mitad hacia abajo.

NOTACIÓN CIENTIFICA La notación científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños. Los números se escriben como un producto:

siendo: un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de mantisa. un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud. La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en países de habla inglesa y en algunos hispanohablantes.

Escritura             

0

10 = 1 1 10 = 10 2 10 = 100 3 10 = 1 000 4 10 = 10 000 5 10 = 100 000 6 10 = 1 000 000 7 10 = 10 000 000 8 10 = 100 000 000 9 10 = 1 000 000 000 10 10 = 10 000 000 000 20 10 = 100 000 000 000 000 000 000 30 10 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 n

10 elevado a una potencia entera negativa  – n es igual a 1/10 o, equivalentemente 0, (n –  1 ceros) 1:   

 – 1

10 = 1/10 = 0,1  – 3 10 = 1/1 000 = 0,001  – 9 10 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser 29 escrito como 1,56234×10 , y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000

000 000 000 000 910 939 kg (masa de un electrón) puede ser escrito como 9.10939×10 31 kg.

 – 

Abordaremos este tema, dividiendo la discusión en dos casos:

Números grandes Consideremos la velocidad de la luz: 300 000 Km/seg. (es decir, la luz viaja 300 000 kilómetros cada segundo). Este número es grande, tiene muchos ceros a la derecha. Exactamente tiene 5 ceros, de hecho es igual a 3 x 100 000 y como 100 000 = 105, tenemos que 300 000 = 3 x 105. La regla general es que un número que termina en ceros puede expresarse como el producto del número sin ceros multiplicado por 10 elevado a una potencia que es igual a la cantidad de ceros del número original.

EJEMPLOS:

Algunas calculadoras dan sus resultados en forma exponencial, sólo que por lo general usan una sola cifra entera. En los ejemplos anteriores nosotros hemos usado enteros con más de una cifra; sin embargo, con potencias de 10 también podemos expresarlos usando una sola cifra entera y las demás en decimal. Así:

De estos ejemplos podemos obtener la regla general para expresar un número grande en notación exponencial:   

Se cuenta cuántas cifras tiene el número. Al resultado se le resta uno y se usa como el exponente de 10. Entonces el número que va a multiplicar a la potencia de 10 es un número que se forma quitando los ceros del número original y poniendo el punto decimal de modo que quede una cifra a la izquierda del punto.

EJEMPLO 23 000 000 tiene ocho cifras. Como 8  – 1 = 7, éste es el exponente que debe llevar el 10 y quitando los ceros queda 23, a 23 le dejamos una cifra entera y da 2.3. De modo que 23 000 000 = 2.3 x 107. Observe que con esta notación estamos expresando que hemos recorrido el punto decimal 7 lugares a la izquierda:

Cuando los números no aparecen en notación exponencial, decimos que están en forma desarrollada 1 870 000 000 000 está representado en la forma desarrollada. También podemos pasar de la notación exponencial a la forma desarrollada:

NÚMEROS PEQUEÑOS Cuando decimos aquí números pequeños nos referimos a números menores a 1. Consideremos para empezar 0.1: este número se lee un décimo, pero ya sabemos que un décimo se escribe como fracción, así: 1/10; también sabemos que 0.01 se lee un centésimo y la fracción que lo representa es 1/100 y así sucesivamente. Si ahora tenemos 0.0120, este número se lee ciento veinte diezmilésimos, lo que se escribe 120/10000, mientras que a 0.00023 le corresponde la fracción 23/100 000. En todos estos ejemplos tenemos fracciones cuyos denominadores son potencias de 10, así que pueden escribirse así:

Estas fracciones se pueden escribir también como divisiones:

Para seguir con el modelo de notación exponencial de los números grandes, escribiremos las divisiones como productos. Esto se hace usando exponentes negativos. Los exponentes negativos sirven para expresar como producto potencias que están dividiendo. Esto es, un divisor con exponente positivo se puede escribir como factor con exponente negativo. Así, los ejemplos con los que hemos venido trabajando quedan:

Los dos últimos ejemplos tienen la parte entera con dos cifras, pero también podemos escribirlos con una cifra entera. Notemos que 120 es igual a

Para escribir en forma exponencial números pequeños seguimos esta regla: 



Recorremos el punto decimal a la derecha para que quede después de la primera cifra que sea distinta de 0. Contamos cuántos lugares recorrimos el punto y esa cantidad será el exponente negativo de 10.

Por ejemplo, para escribir con notación exponencial los números 0.000034 y 0.00176, hacemos lo siguiente:

Como en el caso de los números grandes, también se puede pasar de notación exponencial a forma desarrollada. Por ejemplo:

Operaciones matemáticas con notación científica Una de las ventajas de usar la notación exponencial es que facilita la realización de algunos cálculos con números reales, especialmente el producto y la división. Esto es lo que veremos enseguida.

Suma y resta Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10 con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse la mantisa, multiplicándola o dividiéndola por 10 tantas veces como sea necesario para obtener el mismo exponente): Ejemplo: 2×105 + 3×105 = 5×105 3×105 - 0.2×105 = 2.8×105 2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia)

= 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105

Multiplicación Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican las mantisas y se suman los exponentes. Ejemplo: (4×1012)×(2×105) =8×1017

División Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen las mantisas y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador). Ejemplo: (4×1012)/(2×105) =2×107 (4×1012)/(2×10-7) =2×1019

Potenciación Se eleva la mantisa a la potencia y se multiplican los exponentes. Ejemplo: (3×106)2 = 9×1012.

Radicación Se debe extraer la raíz de la mantisa y se divide el exponente por el índice de la raíz. Ejemplos:

Prefijos del Sistema Internacional

Prefijo

Abreviatura

Valor

yotta

Y

10

24

zetta

Z

10

21

exa

E

10

18

peta

P

10

15

tera

T

10

12

giga

G

10

9

mega

M

10

6

kilo

k

10

3

hecto

h

10

2

deca

da

10

1

Sin prefijo

Sin abreviatura

deci

d

10

-1

centi

c

10

-2

mili

m

10

-3

micro

µ

10

-6

nano

n

10

-9

pico

p

10

-12

femto

f

10

-15

atto

a

10

-18

zepto

z

10

-21

yocto

y

10

-24

1

Con respecto al uso o no de la notación exponencial, lo más recomendable es hacerlo según lo creamos conveniente dependiendo del caso, excepto que se nos pida la utilización estricta de una determinada notación. Por ejemplo 10 metros no parece conveniente escribirlo como 1 x 10 1 metros. En cambio 1000 Km sí nos conviene escribirlo de manera exponencial como 1 x 10 6 metros, o bien 1000 x 10 3 metros.

EJERCICIOS CONVERSIONES Completar la siguiente tabla

Magnitud

longitud

Unidad principal Instrumento de medida

temperatura gramo

litro reloj

Transformar estas unidades del sistema inglés, según sea el caso.

Resolver 

La oveja pesa 22 kg 547 g, el ternero pesa 87 kg 184 g y el cerdo 97 kg 13 g; ¿cuántas libras marcó la báscula?



Antonio sale en su auto con el tanque lleno de gasolina, aproximadamente 11 gal. En el viaje consume 18.5 l, ¿cuánta gasolina le queda en el tanque?



La torre Eiffel de París tiene 300 m de altura y está construida con un peso total de 8,000 ton. ¿Cuántas libras y yardas mide la torre?

NOTACIÓN CIENTÍFICA Utilice notación exponencial con una sola cifra entera para escribir los siguientes números: a) 12567.8 b) 325.61902 c) 23.1452308 d) 1102400 e) 31.164 f) 3648912 g) 7 324 561 987 h) 1999 Escriba en forma desarrollada los siguientes números reales:

Utilice notación exponencial con una sola cifra entera para escribir los siguientes números: a) 0.124 b) 0.000675 c) 0.005 d) 0.000011 e) 0.0564 f) 0.009742 g) 0.875 h) 0.0491 Escriba en forma desarrollada los siguientes números reales:

Realice las siguientes operaciones:

Realice las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma desarrollada: