El Secreto de La Cuadratura Del Circulo
May 1, 2017 | Author: Pedro Tomás Vela Pérez | Category: N/A
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EL SECRETO DE LA CUADRATURA DEL CÍRCULO Pedro Tomás Vela
ISBN: 978‐84‐9916‐112‐9 DL: PM 1125‐2009 Impreso en España / Printed in Spain Impreso por Bubok
Índice Introducción ..................................................................... 7
PRIMERA PARTE 1. El referente histórico .................................................. 11 2. Leonardo cuadró el círculo ....................................... 19 3. El Hombre de Vitruvio ................................................ 23 4. Las claves en el Hombre de Vitruvio .................... 29 5. El “secreto” ....................................................................... 41 6. El triángulo rectángulo ............................................... 47 7. La solución lógica .......................................................... 53 8. El cuadrado del dibujo de Leonardo ..................... 63 9. La solución de Leonardo da Vinci ........................ 71 10. ¿Una solución manual? ............................................ 89 11. La búsqueda de la solución ....................................... 97 12. La solución digital .................................................. 115 13. La solución matemática ......................................... 121
14. Otras claves del dibujo de Leonardo .......... 127 15. La trisección de un segmento ...................... 133 16. La circunferencia trazada a partir del cuadrado ........................................................ 139 17. El significado de las dos circunferencias de trazado ............................................................. 147
SEGUNDA PARTE 18. Un mito del antiguo Egipto ............................. 157 19. El diseño de las pirámides ............................. 169 20. Los planos de las pirámides .......................... 179 21. La Pirámide de Kefrén ..................................... 187 22. La Gran Pirámide de Keops ............................ 191 23. El enigma de las dos pirámides .................... 201 24. El Secreto de la Cuadratura del Círculo .... 209 25. Una reflexión final ............................................. 213 Bibliografía .......................................................... 217
En este mundo hay problemas que parecen imposibles de resolver. No por falta de solución, sino por falta de voluntad para encontrarla. Con voluntad y acciones solidarias en favor de las personas que en muchos países del mundo padecen enfermedades, hambre, pobreza o injusticias, estas circunstancias deberían dejar de ser un problema.
Introducción Los secretos mejor guardados son aquellos cuyo contenido y solución, están expuestos a la vista o al alcance de cualquier persona y es precisamente por ello, por lo que pasan desapercibidos, porque nadie repara en ellos, o porque nadie los identifica como tales y aunque se intuya la presencia de lo oculto, únicamente los iniciados, aquellos a los que les son trasmitidas las claves o tienen acceso a la explicación, pueden lograr su comprensión. El problema de la “cuadratura del círculo” es un reto de la geometría y del dibujo lineal, del que es probable que pudo haber sido planteado en una época muy remota, por personas que pertenecían a grupos cerrados que poseían gran “autoridad” y “jerarquía”, los cuales alcanzaron “conocimientos avanzados” para su época y que fueron considerados como “secretos sagrados” a los cuales solamente podrían tener acceso las personas “elegidas”, pertenecientes a “grupos de escogidos” o de aquellas personas que recibieran una “educación y preparación adecuadas”, necesarias para comprenderlos, guardarlos y transmitirlos. Tratándose de un problema de dibujo lineal, es preciso tener en cuenta que en épocas pasadas, o más bien, hasta fechas recientes, únicamente se disponían de herramientas muy elementales, como son la regla y el compás, tanto para hacer los dibujos como para 7
tomar las medidas y realizar los cálculos, por cuanto la verificación de los resultados que así fueran obtenidos, difícilmente habrían alcanzado nunca, la precisión con la que se pueden obtener en la actualidad. La utilización de herramientas informáticas y de programas de dibujo a los que se tiene acceso en la actualidad, ofrecen la posibilidad de tratar esa misma información con gran precisión y fiabilidad, tanto en la realización de los dibujos, como en la obtención de medidas a partir de ellos que hacen incuestionables los cálculos y la valoración de los resultados. Es comúnmente aceptado que es un problema imposible de resolver, conclusión a la que se llegó por la vía de la demostración matemática; sin embargo, utilizando las mencionadas herramientas informáticas, la lógica nos hará ver que sí tiene solución, aunque a la vez quedará evidenciada la dificultad para encontrarla. De cualquier forma, para comprender esa solución lógica, es preciso conocer el “secreto de la cuadratura del círculo”, el cual consiste sencillamente, en conocer cómo se trazan un número ilimitado de cuadrados de medidas diferentes, a partir de una circunferencia. Como consecuencia y por lógica, uno y solo uno de esos cuadrados, tendrá una superficie igual a la del círculo dado. En este trabajo únicamente se pretende mostrar lo que parece haberse ocultado tras un “enigma”, aparentemente sencillo pero a la vez fascinante, porque ha permanecido muy bien guardado, aunque haya estado a la vista de todo el mundo durante varios siglos, como un “secreto”, en uno de los dibujos más famosos de la Historia. 8
Leonardo Da Vinci realizó en el año 1492, un dibujo enigmático conocido como El Hombre de Vitruvio, en el que se relaciona la figura de un hombre con las figuras de una circunferencia y un cuadrado, perfectamente encajado entre ellas y que tiene además, unas anotaciones con las proporciones anatómicas ideales de aquél. Desde un punto de vista lógico y de una forma elemental, al verificar la existencia de una relación de proporciones muy definidas y especiales, entre la circunferencia y el cuadrado, el dibujo de Leonardo cobrará la auténtica dimensión en todos sus detalles, mostrando cómo se realizó el trazado completo del mismo, lo cual posibilitará la comprensión del objetivo real del citado dibujo. Sin duda, habrán sido numerosas las personas que hayan expresado opiniones referidas al citado dibujo, en el sentido de afirmar que en él se oculta la solución del “imposible problema”. Hasta nuestros días ha llegado este milenario problema, como si de un mito se tratara. Un mito cuyo origen se remonta hasta la época en que fueron construidas las pirámides de Egipto. Es muy probable que aquellos que las diseñaron y las construyeron, llegaran a conocer el problema y su solución, la cual podría encontrarse en las medidas de las dos pirámides más esbeltas y de mayor perfección como las que fueron construidas en la meseta de Gizeh, durante el período que duró la extraordinaria cultura egipcia. 9
Se trataría pues de un Secreto que ha permanecido muy bien guardado durante varios milenios, en un lugar y de una forma inimaginables, al que se accede mediante el dibujo geométrico, de la circunferencia y del cuadrado...., y con la ventaja de poder utilizar las nuevas tecnologías informáticas. Considerado como el paradigma de los problemas, se dice de todo aquello que representa algo muy difícil o imposible de resolver, la búsqueda de la solución de la cuadratura del círculo, ha sido abordada desde la más remota antigüedad hasta nuestros días. Sin duda seguirá siendo un problema de actualidad, quizás también, porque en el fondo se intuye que la solución existe y de hecho, muchas personas la seguirán buscando. 10
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El referente histórico. El mítico problema de la cuadratura del círculo pudo haber tenido sus orígenes en el antiguo Egipto. Las numerosas pirámides existentes en aquel país, son unas construcciones extraordinarias, cuyas estructuras geométricas destacan por su grandeza y su perfección; además, muchas de esas pirámides parecen guardar algún tipo de semejanza entre ellas, como si sus formas o proporciones respondieran a unos patrones de diseño muy semejantes, aún cuando por sus tamaños difieran considerablemente. A lo largo de la historia han causado verdadera fascinación entre aquellos viajeros que las visitaron, especialmente por las inevitables dudas que suscitan acerca de su finalidad, pero sobre todo, en lo referido a los medios o técnicas que habrían sido utilizados para su construcción. Con estos antecedentes, se puede formular al menos una interrogante, referida al hecho de si tan antiguo problema, pudo haber sido enunciado por los constructores de las pirámides de Egipto. “Existe constancia de que el problema de la cuadratura del círculo ya era conocido entre las diferentes civilizaciones de la antigüedad. Para los babilonios y los egipcios, el problema consistía en “hallar una razón expresable entre el área de un círculo y la de un cuadrado inscrito o circunscrito”. Como ejemplo, es 11
muy conocido el llamado Papiro de Rhind, en el cual aparece reflejado el enunciado de este problema. Según reconoce su propio autor, un escriba llamado Ahmés, dicho papiro fue copiado aproximadamente en el año 1650 a. de C., de otro papiro al que atribuía al menos unos 300 años más antiguo. El papiro Rhind es semejante a un manual que recoge de forma elemental, los enunciados y las soluciones de algunos problemas básicos, sobre conocimientos elementales de aritmética y geometría, o por ejemplo, sobre cómo realizar cálculos para obtener el grado de inclinación de las pendientes de las pirámides”. Parece oportuno reflejar algunas de las referencias históricas relacionadas con este problema, pues de forma generalizada, aparecen en muchas de las páginas web que tratan sobre este problema, en las que además de reflejar opiniones muy interesantes, establecen diferentes puntos de vista y planteamientos, o incluso, llegan a representar la solución al mismo. Las referencias que sobresalen de forma especial, son las que hacen mención a nombres de la antigua Grecia. “Durante la época de la Grecia antigua, este problema fue mencionado de forma muy común entre destacados filósofos y maestros que se dedicaron al estudio de las ciencias y de forma especial a la Geometría. No resultaría arriesgado pensar que algunos de los conocimientos científicos que experimentaron grandes avances en dicha época, fueron “heredados” de civilizaciones más antiguas. Según recogen diferentes escritos, es un hecho que muchos y conocidos hombres de ciencia griegos, viajaron a Egipto interesándose por las 12
grandiosas construcciones y por la cultura de esa tierra y donde probablemente, algunos llegaran a recibir enseñanzas de los propios sacerdotes egipcios. La geometría griega presentaba planteamientos de problemas que fueron clásicos durante esa época. La trisección del ángulo, que planteaba el poder “dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales”. La cuadratura del círculo, cuyo enunciado consistía en “encontrar el lado de un cuadrado de igual área que la de un círculo de radio conocido”. La duplicación del cubo, cuyo enunciado era el de “hallar el lado de un cubo de volumen doble que el de otro cubo de lado conocido” y del que, según relató Plutarco, “dándole vueltas a este problema, llegaban hasta construir modelos de cubos físicos”. De estos tres problemas, el problema de la cuadratura del círculo fue sin duda el más famoso entre los grandes escritores y filósofos griegos. El postulado común a todos estos problemas, era la imposibilidad de ser resueltos con los recursos comunes de la geometría de la época, mediante líneas y círculos, o lo que es lo mismo, con la única utilización de una regla y un compás. Ha de destacarse los nombres de algunos de los más importantes filósofos y matemáticos de la cultura griega, de los que existen referencias que los relacionan con este problema, y de los que posteriormente, sus obras tendrían una gran influencia entre destacados personajes de las Artes y las Ciencias durante el Renacimiento. 13
Anaxágoras (siglo V a. de C.) fue uno de los primeros griegos en plantear el problema de conseguir, con el sólo uso de la regla y el compás, un cuadrado de igual área del círculo dado. Brisón de Heraclea (siglo V a. de C.) intentó realizar la cuadratura mediante la inscripción de polígonos regulares en el círculo, con duplicación indefinida del número de sus lados, dio un paso más al considerar de forma simultánea los polígonos inscritos y los circunscritos. Hipócrates de Quíos (siglo V a. de C.) del que se cuenta que era un comerciante de Atenas que se convirtió en un hábil geómetra. Investigó la cuadratura del círculo, y aunque no encontró la solución, consiguió la cuadratura de una clase particular de algunas lúnulas, especie de figuras planas limitadas por dos arcos de círculo de radio diferente, con la convexidad hacia el mismo lado. Euclides (330275 a.C.) fue autor de los Elementos, un conjunto de trece libros que continúan siendo considerados como un libro de Geometría por excelencia. Las formulaciones de Euclides sobre la concepción de una geometría, en la que los problemas se resuelven a través del trazado de las figuras con la regla y el compás. Trazar una línea recta desde un punto a otro cualquiera, tiene el significado de que existe una única recta que pasa por esos dos puntos, cualesquiera que sean. Consideraba que tratar de hallar un cuadrado de área igual a la del círculo dado, era imposible de resolver con el método de la regla y el compás. 14
Arquímedes (287212 a.C.) inventó un método para obtener el número PI, relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, con una aproximación que utilizó para la medición de polígonos regulares, inscritos y circunscritos a un mismo círculo. Algunas de sus contribuciones más importantes en geometría, fueron las cuadraturas de superficies planas y curvas, tratando de buscar soluciones a problemas como el de la cuadratura del círculo y otras figuras curvilíneas”.
Durante la época medieval, destaca la figura de un humanista y escritor: Ramón Llull (Palma de Mallorca, 1235‐1315) que trató el problema en algunas de sus obras, de una forma expresa y con afirmaciones que parecen sugerir que conocía de alguna forma la solución. Llull fue un gran erudito en muchos campos del conocimiento de su época, además de persona religiosa y viajera, fue considerado también como conocedor o estudioso de los secretos de la alquimia. Es muy probable que tuviera acceso a documentos o enseñanzas de la antigüedad, donde además de otros, trataban sobre este problema ya clásico en su época. “Llegó a proponer en sus escritos lo que consideró como una solución propia, aunque más bien parece que se trataría únicamente de formular los planteamientos del problema, ocultando la forma de obtener la solución, suponiendo que la hubiera llegado a conocer. Inspirado precisamente en las obras de Euclides, Los Elementos, escribió dos monografías geométricas: “De Quadratura e Triangulatura de Cercle” y “Liber de Geometría Nova et Compendiosa”. 15
En esta última obra, aparecen varias series de extraordinarios dibujos, en los que se representan diferentes figuras geométricas. De entre todas las figuras, destacan dos por ser especialmente significativas: La primera es la que Llull denomina “figura plena”, constituida por un círculo, un cuadrado y un triángulo que comparten el mismo centro y que, según el propio autor, tienen la misma área.
Figura Plena de Llull.
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La segunda de las figuras está compuesta por las figuras de un círculo y un cuadrado que comparten el mismo centro y con la expresión “quadratura cercle” escrita en su interior. Aparece representado en otro de los capítulos, en el que Llull hace una referencia expresa a la solución del problema de la cuadratura del círculo.
Figura de la cuadratura del círculo de Llull.
Como se ha comentado, estas dos figuras forman parte de unas series de dibujos que hacen referencia a este problema, los cuales están contenidos en el manuscrito 1036, de los fondos de Llull, en la Biblioteca Pública de Palma. Dicha obra contiene una referencia muy específica que muestra como el problema de la cuadratura del círculo, seguía vigente
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durante la época medieval y fue objeto de atención y estudio dentro de la disciplina de la Geometría. La obra que se cita, junto con muchas otras obras de Ramón Llull, pueden verse en la página web de la Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliográfico del Ministerio de Cultura: http://bvpb.mcu.es/ca/catalogo_imagenes/grupo.cmd?p osicion=1&path=11000998&forma=&presentacion=pagina.
En una época más reciente destaca la figura de Ferdinand Lindeman (18521939), matemático alemán que demostró que era imposible la solución del problema con regla sin graduar y compás, ya que el número Pi no es construible, por ser un número trascendente y con ello llegó a demostrar dicha imposibilidad de la cuadratura del círculo, aún cuando no fue absoluto en su afirmación, y lo condicionó expresamente postulando "mediante el álgebra o con la sola utilización de la regla y el compás”. Con certeza queda evidenciado que fueron muchas y destacadas las personalidades que a lo largo de la historia, mostraron su interés acerca de este problema, en la creencia de poder encontrar la solución, o porque llegaron a conocerla. De entre todas ellas, destaca una por ser todo un símbolo de la genialidad: Leonardo da Vinci.
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Leonardo cuadró el círculo.
Leonardo da Vinci
De entre las grandes personalidades que han destacado a lo largo de la Historia, en el campo de las Artes y de las Ciencias, sobresale con fuerza la figura de un genio. Leonardo da Vinci. (1452‐1519). Nació en Vinci, pequeño pueblecito entre Florencia y Pisa. Su vida transcurrió entre diversas ciudades y estados en los que residió, como Florencia, Milán, Venecia, Roma y Francia. 19
Su formación artística abarca numerosos campos: la pintura, la escultura, la arquitectura, la óptica, la geometría, las ciencias naturales, la anatomía y la música. Una gran parte de sus obras se recogen en diversos documentos llamados Códices, así como en numerosos apuntes realizados en libretas y hojas sueltas, en los efectuaba las anotaciones y realizaba los dibujos, siempre de forma manuscrita. De entre los estudios dedicados a la arquitectura y la geometría, existen referencias acerca de que el problema de la cuadratura del círculo ocupó y preocupó a Leonardo, “quién no solo estudió formas mecánicas de resolver el problema, sino que llenó numerosas libretas con anotaciones sobre cuadraturas". De existir la solución de este problema, sin duda que él fue capaz de resolverlo. Como referente claro y preciso de la mencionada dedicación, destaca esta cita de Augusto Marinoni: “El problema de geometría que absorbió a Leonardo interminablemente fue la cuadratura del círculo. A partir de 1504 en adelante, dedicó cientos de páginas de sus cuadernos a esta cuestión que fascinó a su mentor Pacioli. Mientras que estas investigaciones no produjeron apreciables progresos en matemáticas, Leonardo creó una multiplicidad de complejos y preciosos diseños" En algún momento, Leonardo llegó a declarar haber encontrado la solución al viejo problema de la cuadratura: 20
“La noche de San Andrés encontré la solución a la cuadratura del círculo, cuando se acababa el candil, la noche y el papel en el que estaba escribiendo; lo concluí al alba” Leonardo realizó innumerables bocetos y dibujos recogidos en sus famosos Códices, fruto de estudios y de investigaciones, sobre todas las disciplinas a las que dedicó su interés y atención, desde la naturaleza y la anatomía humana, hasta la mecánica y la ingeniería militar. De entre todos sus dibujos, destaca uno porque resulta difícil de encuadrar en alguna de dichas disciplinas. Un dibujo que generalmente ha sido relacionado con la arquitectura, pues refleja una parte de las enseñanzas que aparecen en la obra del arquitecto romano Vitruvio (siglo I a.C.); sin embargo, también aparenta ser un dibujo sobre anatomía humana, pero también pudo haber sido realizado por Leonardo con otro objetivo más especifico, como sería el representar en forma de enigma algún otro conocimiento de mayor trascendencia. Es el dibujo conocido como El Hombre de Vitruvio. 21
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El Hombre de Vitruvio.
El dibujo de El Hombre de Vitruvio, parece realizado como si fuera la representación de un enigma, ya que contiene a la vez el problema y su solución. 23
El Hombre de Vitruvio es uno de los dibujos más famosos de la Historia. Fue realizado en 1492, sobre una hoja de papel utilizando una pluma y tinta; tiene unas medidas de 34,3 x 24,5 centímetros y se conserva en la Galería de la Academia de Venecia. El dibujo representa la figura de un hombre desnudo, con los miembros superiores e inferiores dibujados en dos posiciones diferentes, inscrito dentro de un círculo y de un cuadrado, trazados de tal forma que las tres figuras aparecen perfectamente encajadas entre sí. Las figuras geométricas aparentan haber sido trazadas con el único propósito de enmarcar la figura del hombre y se representan dibujadas con unas medidas adecuadas para dicha finalidad, sin que se presuma la existencia de cualquier otra relación aparentemente distinta entre ellas. Sin embargo, esa relación existe y como se verá, está perfectamente definida, aunque muy bien disimulada. Sobre las partes superior e inferior del dibujo, figuran unas anotaciones que describen el canon de proporciones anatómicas ideales para la figura de un hombre, según las definía Marco Vitruvio Polión (siglo I a. de Cristo), arquitecto e ingeniero militar romano, cuyos escritos fueron recogidos en su tratado De Architectura, una obra que está compuesta por 10 tomos, referidos a conocimientos sobre la teoría y la práctica de la arquitectura en la antigüedad clásica, en los que destacan de forma primordial, la armonía en las proporciones y las medidas que debían guardar todas las construcciones arquitectónicas.
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Como se ha mencionado, dichas anotaciones están distribuidas entre las partes superior e inferior del dibujo y la descripción de su texto es la siguiente:
Texto en la parte superior.
“Vitruvio, el arquitecto, explica en su obra sobre Arquitectura que la naturaleza dispone las medidas del cuerpo humano de la siguiente manera: Una palma es la anchura de cuatro dedos, un pie es la anchura de cuatro palmas, un antebrazo es la anchura de seis palmas, la altura de un hombre son cuatro antebrazos, un paso son cuatro antebrazos y veinticuatro palmas son un hombre. Estas eran las medidas que usaba en sus edificios. Si abre tanto las piernas de forma que su altura disminuya en 1/14 y extiende los brazos, levantándolos hasta que los dedos medios estén a la altura de la parte superior de su cabeza, el centro de los miembros extendidos estará en el ombligo y el espacio que comprenden las piernas formará un triángulo equilátero.” 25
Texto en la parte inferior.
De forma centrada y bajo la línea inferior que aparece dibujada de forma paralela bajo la figura del cuadrado aparece la frase: “La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura”. Y a continuación el resto del texto: “La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un décimo de la altura de un hombre, la altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura de un hombre, la distancia entre el nacimiento del pelo a la parte superior del pecho es un séptimo de la altura de un hombre, y entre la parte superior del pecho y la parte superior de la cabeza, una sexta parte, la altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura de un hombre, la anchura máxima de 26
los hombros es un cuarto de la altura de un hombre, la distancia entre el codo al extremo de la mano es un quinto de un hombre, y entre el codo y la axila, la octava parte, la longitud de la mano es un décimo de su estatura; el inicio de los genitales marca el centro del hombre, la distancia entre la planta del pie y la base de las rodillas es la cuarta parte de la altura de un hombre y entre la base de la rodilla y el inicio de los genitales también la cuarta parte, la distancia entre la barbilla a la nariz es un tercio de la longitud de la cara, la distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio de la longitud de la cara, la distancia entre el nacimiento del pelo y la oreja es un tercio de la longitud de la cara.”
A primera vista, se puede deducir que el propósito de las citadas anotaciones, es el de expresar la relación de proporciones que deben guardar las medidas de una figura humana masculina, con el propósito de dibujarla o de esculpirla. No obstante, también están expresando una relación de proporciones que se pueden trasladar a las figuras geométricas del círculo y el cuadrado, ya que algunas de ellas relacionan a ambas. Conviene señalar que en el texto original de la obra de Vitruvio, hay algunas otras frases que relacionan claramente la figura de un hombre con el círculo o con el cuadrado y sin embargo, no figuran en las anotaciones citadas, aunque son esas las relaciones que precisamente utilizó Leonardo, reflejándolas en el dibujo de una forma indudable. 27
Vitruvio cita lo siguiente: “El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano. En efecto, si se coloca un hombre boca arriba, con sus manos y sus pies estirados, situando el centro del compás en su ombligo y trazando una circunferencia, esta tocaría la punta de ambas manos y los dedos de los pies. La figura circular trazada sobre el cuerpo humano nos posibilita el lograr también un cuadrado: si se mide desde la planta de los pies hasta la coronilla, la medida resultante será la misma que se da entre las puntas de los dedos con los brazos extendidos; exactamente su anchura mide lo mismo que su altura, como los cuadrados que trazamos con la escuadra.” También destaca de una forma muy evidente, el hecho de que las proporciones que figuran en dichas anotaciones, aparecen señaladas sobre el dibujo mediante unas líneas o marcas que están trazadas sobre la figura del hombre. Son aquellas marcas o líneas que aparecen bajo el cuello, sobre los hombros, los codos, las muñecas, a la altura del pecho, en el pubis y en las rodillas. Existen numerosas citas según las cuales, Leonardo declaró haber resuelto el problema de “la cuadratura del círculo”. También es muy probable que tuviera acceso a conocimientos mucho más antiguos a su época, por lo que no resultaría aventurado pensar que la solución de dicho problema, se encuentra de alguna forma “oculto” en este dibujo. 28
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Las claves del Hombre de Vitruvio.
Hay problemas en los que para hallar la solución, es preciso salirse de los límites que marca el enunciado del propio problema. En este caso, los límites aparentan estar marcados por el propio dibujo. Las dos figuras geométricas, el círculo y el cuadrado, no están trazadas al azar para enmarcar en ellas la figura de un hombre desnudo, como a primera vista puede aparentar, sino que guardan entre sí una cuidadosa relación en sus proporciones y son el resultado de un trazado muy definido que se desarrolla en varias fases. Sobre la figura masculina, aparecen señaladas algunas de las proporciones mediante las marcas o líneas que ya han sido mencionadas, algunas de las cuales pueden ser interpretadas también a modo de claves. La figura de la circunferencia parece enmarcar a todo el dibujo, y está perfectamente encajada con la figura del cuadrado; ambas se cortan entre sí en seis puntos diferentes y son tangentes en un punto que se sitúa en la parte inferior de lo que sería el eje vertical imaginario que divide exactamente por la mitad a las citadas figuras. Son estos unos puntos de intersección que resultan cruciales para comprender la finalidad del dibujo. 29
Cada una de las dos figuras geométricas tiene un punto como centro y cada uno de los cuales coincide con puntos perfectamente señalados sobre la figura del hombre. El centro de la circunferencia (a), coincide con el punto dibujado como el ombligo y el centro del cuadrado (b), está señalado con unas marcas sobre la pelvis. Ambos centros están marcados sobre el mismo eje vertical imaginario que ya se ha citado. Dichos centros no están trazados al azar, sino que guardan entre sí una distancia que, como se verá más adelante, está perfectamente definida, como una consecuencia que resulta del desarrollo propio del dibujo, en las diferentes secuencias que han de ejecutarse para su localización. Un poco más abajo hay un tercer punto (c), situado sobre el mismo eje vertical ya citado, exactamente en el centro de la línea paralela dibujada bajo el lado inferior del cuadrado. Este punto es una referencia que resulta imprescindible para obtener la relación que guardan entre sí las dos figuras geométricas. Los dos puntos (a y b) tienen una transcendencia muy especial, pues se corresponden con los centros de lo que podrían definirse como dos circunferencias de trazado. Son dos circunferencias que no aparecen visibles en el dibujo, pero que resultan imprescindibles para el trazado completo del cuadrado y de la circunferencia, tal como los vemos en el dibujo de Leonardo. Los tres puntos citados, aparecen señalados en la imagen siguiente. 30
Los centros del dibujo a, b, y el punto c.
En la práctica, ha de considerarse que no son circunferencias en el sentido específico, sino que su objetivo sería el de obtener y marcar las mediciones que se hacen con un compás, para ir localizando y marcando sucesivamente otros puntos de referencia, precisos en el desarrollo completo de las dos figuras geométricas, y cuyo trazado se realiza utilizando exclusivamente “un compás y una regla sin graduar”. 31
Los radios de las dos circunferencias de trazado, son (ac) y (bc) respectivamente, cuyas medidas se relacionan entre sí por el punto (c) para obtener el radio de la circunferencia que se ve en el dibujo.
Las dos circunferencias de trazado y sus respectivos radios.
La distancia desde el centro (a) hasta el punto medio (c) de la línea inferior, corresponde al radio de la primera circunferencia de trazado, y su finalidad es obtener la medida del lado del cuadrado, mediante unas proporciones específicas en relación con la medida del radio de dicha circunferencia y que se obtienen con la sola utilización de un compás. 32
La proporción que guarda la medida del radio de esta circunferencia respecto a la medida del lado del cuadrado es de 6 ‐ 4, es decir, el radio (ac) multiplicado por 6 y dividido por 4, da como resultado la medida del lado del cuadrado. Es lo mismo que decir que un lado del cuadrado tiene la misma medida que 1,5 radios de la referida circunferencia. En la siguiente imagen se muestra la primera circunferencia de trazado y la proporción que guarda respecto al lado del cuadrado.
El lado del cuadrado es igual a 1,5 radios.
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La medida desde el centro (b) hasta el punto inferior (c), corresponde al radio de una segunda circunferencia de trazado, cuyo propósito, como se verá más adelante, es precisamente la de obtener o marcar el punto (c). Un punto que será la referencia que servirá para obtener el radio de la circunferencia final tal como la vemos en el dibujo.
La medida que divide el cuerpo en 4 partes iguales.
“La altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura de un hombre. La anchura máxima de los hombros es un cuarto de la altura de un hombre. La distancia entre la planta del pie y la base de 34
las rodillas es la cuarta parte de la altura de un hombre y entre la base de la rodilla y el inicio de los genitales también la cuarta parte.” Hay que resaltar de esta imagen que la segunda circunferencia de trazado, de radio (b‐c), pasa exactamente por 8 puntos intermedios, coincidentes con las 4 partes iguales en que se dividen cada uno de los lados del cuadrado. Entre las posibles claves que se ocultan en las anotaciones o en las marcas del dibujo, están las posiciones diferentes en que aparecen los brazos y las piernas. Unas posiciones que representarían a unos ejes imaginarios: La posición en cruz representaría los ejes horizontal y vertical, perpendiculares entre sí. La posición en aspa, representaría los ejes transversales. Unos ejes dibujados sobre la circunferencia, a la que dividen en ocho partes iguales y podrían estar sugiriendo la figura geométrica de un octógono. Otras claves son aquellas marcas sobre la figura del hombre que la dividen en ocho, seis y cuatro partes iguales, respectivamente. Unas divisiones que pueden tener relación con la medida del lado del cuadrado.
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La línea que aparece marcada a la altura de la barbilla, señalaría una división del cuerpo en ocho partes iguales.
La medida que divide el cuerpo en 8 partes iguales.
“La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura de un hombre.”
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Bajo la garganta aparece dibujada otra línea horizontal que señala una división del cuerpo en seis partes iguales.
La medida que divide el cuerpo en 6 partes iguales.
“La distancia entre la parte superior del pecho y la parte superior de la cabeza, es una sexta parte.”
Sobre el tórax y las rodillas, y en sentido vertical en ambos antebrazos, figuran las marcas que dividen el cuadrado en cuatro partes iguales, tanto en sentido horizontal y como vertical.
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Con las citadas referencias, se trazan todas las líneas y cada uno de los lados del cuadrado, quedarían divididos en cuatro partes iguales. El resultado serían los 16 pequeños cuadrados iguales en su interior, tal como ya se ha mostrado en una imagen anterior. Probablemente una de las principales claves que contiene el dibujo, sea la línea dibujada bajo el lado inferior del cuadrado, de forma paralela al mismo y con la misma medida. Presenta unas marcas o divisiones en sus dos extremos que podrían indicar “medidas”. El centro de dicha línea (c), es el punto de referencia que, como se ha indicado, relaciona los radios de las dos circunferencias de trazado, imprescindibles para señalar el centro y obtener el radio de la circunferencia tal como la dibujó Leonardo.
La línea inferior del cuadrado y el punto medio (c).
La citada línea inferior, presenta además otros detalles. Está dividida en 4 partes iguales, de las que las de los dos extremos están subdivididas a su vez con 6 marcas cada una, lo que trasladado a toda la línea, indicaría una subdivisión total de 24 marcas. 38
“Un antebrazo es la anchura de seis palmas. La altura de un hombre son cuatro antebrazos. Un paso son cuatro antebrazos y veinticuatro palmas son un hombre”. Las citadas marcas no parecen corresponder a medidas convencionales, tales como centímetros o milímetros, por lo que sugieren que podría ser algún tipo de escala, o una simple referencia. Las anotaciones que realizó Leonardo en el dibujo, no transcriben de forma textual las proporciones humanas tal como las describió el arquitecto Vitruvio, sino que algunos datos fueron añadidos por el propio Leonardo, como los resaltados en negrita: “Si abre tanto las piernas de forma que su altura disminuya en 1/14 y extiende los brazos, levantándolos hasta que los dedos medios estén a la altura de la parte superior de su cabeza, el centro de los miembros extendidos estará en el ombligo y el espacio que comprenden las piernas formará un triángulo equilátero”.
Detalles como estos, hacen pensar que el propósito del dibujo y de sus anotaciones, tienen objetivos distintos al simple hecho de reflejar unas proporciones del cuerpo humano, por otra parte ya conocidas y atribuidas a Vitruvio, para ser transmitidas a modo de una simple ilustración, sino que sugieren ser algo más. Leonardo parece transmitir en su dibujo la existencia de unas claves que han de interpretarse convenientemente, para poder llegar a conocer el “secreto” que parece que se oculta tras el mismo. Un 39
“secreto” que puede tener relación con el problema de la cuadratura del círculo y que al ser obra de un genio, aparece representado en forma de enigma, pues contiene a la vez el problema y las claves para comprender la solución. “Leonardo declaró haber alcanzado la cuadratura del círculo y es muy común pensar que la solución de Leonardo a este enigma geométrico, se encuentra en el dibujo del Hombre de Vitruvio.” La principal conclusión que se puede extraer de las anotaciones que Leonardo hizo en el dibujo, es que las proporciones anatómicas que señala para la figura del hombre, han de trasladarse a las figuras geométricas, para establecer la relación de proporciones que ambas han de guardar y poder llegar a comprender la verdadera intención que tras ellas se oculta. De entre todas las posibles claves que se han reflejado en este capítulo, algunas resultan tan simples que no deberían considerarse como claves por sí mismas. Probablemente algunos detalles o claves no se hayan interpretado adecuadamente, o incluso otras se habrán pasado por alto. Por ello, únicamente se han a tener en cuenta, aquellas cuya explicación entra dentro de los objetivos que se persiguen en este trabajo. Para dicho objetivo, las claves que se destacan como primordiales son: las dos circunferencias de trazado y las proporciones de las medidas 4 ‐ 6 – 24. Unas proporciones con las que resultará posible desentrañar el dibujo de Leonardo y descubrir el “secreto” de la cuadratura del círculo. 40
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El “secreto”.
El dibujo de El Hombre de Vitruvio, oculta el significado de algunas claves que Leonardo anotó sobre el mismo que, convenientemente interpretadas, nos muestran como Leonardo se las ingenió para transmitir de una forma enigmática, un conocimiento, “un secreto” que significa la posibilidad de resolver el problema de la cuadratura del círculo. El dibujo oculta ese “secreto” y para llegar a “descubrirlo” basta con trazar sobre el mismo, algunas de las líneas sugeridas entre las claves que se han descrito en el capítulo anterior. Sobre el propio dibujo y con una regla, se trazan dos líneas horizontales, en las dos marcas señaladas sobre la figura humana, a la altura del pecho y a la altura de las rodillas, hasta cortar ambos lados del cuadrado. Dichas líneas se unen entre sí y se forma un rectángulo sobre la parte central del cuadrado que tiene una medida igual a la mitad del cuadrado. 41
Sobre dicho rectángulo se traza una diagonal (d‐e) formándose un triángulo rectángulo (tal como aparece sombreado sobre la imagen). Ambas figuras quedan sobre el dibujo tal como se muestra a continuación:
El triángulo rectángulo sombreado es la clave.
Seguidamente con un compás, desde el centro del cuadrado (b) y con un radio igual a la mitad de la hipotenusa (b‐d) del triángulo rectángulo, se traza una circunferencia. Hay que resaltar un importante detalle, y es que la circunferencia pasa por los cuatro vértices del rectángulo o los tres del triángulo. 42
Y pasa también por el punto medio (c) situado en la línea inferior bajo el lado del cuadrado. Se traza una nueva línea (f‐g), entre los dos puntos opuestos donde la circunferencia se corta con los dos lados horizontales del cuadrado. Dicha línea es un eje o diámetro, perpendicular a la hipotenusa (d‐e), con el que los dos lados del rectángulo se cortan en los puntos (h)‐(i), de forma que dividen dicho eje en cuatro partes iguales. El triángulo rectángulo sombreado sobre el dibujo es la clave que muestra el “secreto” que permitirá comprender buscar la forma de resolver el problema de la cuadratura del círculo. El significado de esa clave, es mostrar la forma en que se puede realizar el trazado de un número indefinido de cuadrados a partir de una circunferencia, y cuyo enunciado se podría definir como sigue: Si desde el vértice de un eje de una circunferencia, se traza una línea recta hasta cortar el perímetro circular en un punto opuesto cualquiera y desde dicho punto, se traza otra línea que pasa por el vértice opuesto del mismo eje, el resultado es que dichas líneas forman siempre un ángulo de 90 grados. Con el trazado de las tres líneas indicadas, se forma siempre un triángulo rectángulo, del que el eje de la circunferencia será la hipotenusa, la línea trazada hasta cortar el perímetro circular será el cateto mayor, y la línea trazada desde ese punto hasta el vértice opuesto del eje, será el cateto menor. Si se considera el cateto mayor como lado de un hipotético cuadrado y con un compás se mide y se traslada la misma medida sobre la prolongación del cateto menor, se obtiene el segundo lado del cuadrado. 43
Con estos dos lados como referencias, resultará muy sencillo completar dicho cuadrado. Siguiendo siempre los pasos tal como han sido detallados, se podrán trazar, a partir de una sola circunferencia, un número indefinido de cuadrados, uno de los cuales deberá tener necesariamente y por lógica, la misma superficie que el círculo a partir del cual se traza. Hay que resaltar que el trazado de todas las líneas y marcas, tal como se han señalado, se realizan con la sola utilización de un compás y una regla sin graduar. Con el compás se realizan las mediciones que se trasladan para señalar los puntos necesarios, y con la regla se trazan líneas rectas a partir de los puntos previamente marcados. Observando las mismas pautas, se pueden ejecutar los dibujos utilizando una herramienta informática de dibujo, sin necesidad de realizar ninguna medición. Ante esta interpretación, cabría expresar muchas interrogantes, acerca de si Leonardo pudo haber tenido acceso a conocimientos, respecto a la forma de resolver este problema, o si realmente logró resolverlo por sí mismo y encontró la solución. Lo que sí es seguro es que conoció la forma de resolver el problema, aunque por los motivos que tuviera la mantuvo oculta, reflejando tan solo y de un modo enigmático, un dibujo en el que únicamente representó las claves para comprenderlo. ¿Qué razones movieron a Leonardo da Vinci para no revelar un conocimiento como este, aparentemente tan elemental y para mantenerlo en secreto? ¿Quizás porque no encontró una solución con la exactitud precisa para considerarla como tal? 44
Por alguna razón reflejó ese conocimiento en forma de enigma, realizando un dibujo que muestra unas claves que hacen posible descubrir ese “secreto”, quizás con el aparente propósito de que cualquier persona pudiera desentrañarlo y comprender cómo se realiza su trazado, ya que en realidad, el famoso dibujo puede ser considerado también como la solución que Leonardo dio al problema. ¿Qué razones o circunstancias pudieron existir en el pasado, para que un conocimiento como este permaneciera oculto con el paso de los siglos, como si de un secreto sagrado se tratara?
“Leonardo tuvo acceso a escritos que guardaban secretos y conocimientos de la antigüedad, y conocía el peligro que tenía revelar alguno de los secretos a los que él tuvo acceso, por ello, muchas de sus anotaciones particulares y algunas de sus obras públicas, están realizadas en una clave secreta que permite ocultar a la vista general, la información que el artista plasma para un futuro lector, y que con la clave indicada, podrá descifrar en su momento.” 45
46
6
El triángulo rectángulo. En este capítulo se presenta una serie de dibujos elementales que muestran algunas relaciones que hay entre la circunferencia, el triángulo rectángulo, el rectángulo y el cuadrado, con el único objetivo de verificar como a partir de la circunferencia se puede obtener un número indefinido de cuadrados, con la sola utilización de un compás, una regla y sin realizar ninguna medición. Se dibuja un triángulo rectángulo (a‐b‐c) y sobre la hipotenusa (a‐c), se marca el punto medio con el compás. a
c
b
47
Tomando dicho punto como centro y con un radio igual a la distancia hasta uno cualquiera de los vértices del triángulo, se traza la circunferencia que pasa por los tres vértices.
a
c
b
De la figura así obtenida, se resalta el detalle de que la hipotenusa de un triángulo rectángulo, será siempre el eje de una circunferencia (a‐c), cualquiera que sea la medida de sus catetos (a‐b) ó (b‐c). Este detalle singular, aparentemente muy simple, verifica el enunciado expuesto en el capítulo anterior. Cualquier línea trazada desde el vértice de uno de sus ejes o diámetros, hasta cortar el perímetro circular en un punto y desde dicho punto se traza otra línea que pase por el vértice opuesto del mismo eje, ambas líneas forman siempre un ángulo de 90 grados. 48
El rectángulo.
Continuando con el dibujo anterior, desde el vértice (b) formado por los dos catetos, se traza la línea que pasa por el centro de la circunferencia, hasta cortarla en un punto opuesto (d), el cual marca el vértice por el que se trazan los otros dos catetos opuestos, con el resultado de un rectángulo.
a
d
b
c
Como se puede deducir de este dibujo, en un rectángulo, cualesquiera que sean las medidas de sus lados, se trazan las dos diagonales, se toma como centro el punto donde se cortan y con un radio igual hasta uno cualquiera de los vértices, se traza una circunferencia que pasa por los cuatro vértices del rectángulo. Esta es una característica que se da igualmente en el cuadrado. 49
El cuadrado.
Continuando con la figura del rectángulo anterior, con el compás se toma la medida del lado mayor (b‐a), y se traslada a la línea prolongada del lado menor (b‐c) con lo que se obtiene el segundo lado de un cuadrado (b‐a’). De la misma forma y sobre la línea prolongada del lado opuesto (a‐d), se realiza el mismo trazado y se obtiene el tercer lado (a‐b’), completándose el cuadrado con la línea que une los puntos (b’‐a’).
a
d
b'
b
c
a'
50
Del resultado final cabe resaltar un detalle sobre la importancia que tiene la línea o eje (b‐d) que se traza desde el vértice formado por el triángulo rectángulo, pasa por el centro y marca un punto opuesto (d) en la circunferencia. Dicho punto (d) es una referencia que resulta imprescindible para completar los lados de cualquier cuadrado, cuando se utiliza únicamente un compás y una regla sin graduar. De esta forma tan elemental se puede comprender como se ha de trazar cualquier cuadrado a partir de una circunferencia y uno cualquiera de sus ejes o diámetros. Como conclusión, es importante comentar la relación que existe entre todas estas figuras geométricas. Las figuras del círculo, del cuadrado y del triángulo, en este caso un triángulo rectángulo, son las figuras que fueron mencionadas por personajes que destacaron en el estudio de la Geometría en otras épocas y que, como en el caso de Ramón Llull, dejaron constancia en alguna forma sobre los conocimientos que tenían acerca del problema de la cuadratura del círculo. 51
52
7
La solución lógica. Aquellos que postularon este milenario problema, sin duda conocieron la forma de resolverlo. De su enunciado debería deducirse que se trata de un problema esencialmente de dibujo geométrico. En el capítulo anterior hemos visto como resulta muy sencillo obtener cualquier cuadrado partiendo de una circunferencia. Basta con trazar una línea recta desde el extremo de un eje o diámetro cualquiera, hasta cortar la circunferencia en un punto y desde dicho punto, se traza otra línea que pase por el punto opuesto del mismo eje. Ambas líneas forman, junto con el citado eje, un triángulo rectángulo a partir del cual se construye un rectángulo o un cuadrado. Con este conocimiento tan elemental, el siguiente objetivo consistiría en conocer las diferentes formas con las que se puede trazar un número indefinido de cuadrados, para encontrar aquél cuya superficie ha de ser igual a la del círculo, tratando con ello de resolver el histórico problema, cuya solución debería ser posible encontrar, cuando menos desde una hipótesis teórica. Para demostrarlo de una forma lógica, basta con dibujar a partir de una circunferencia los dos cuadrados muy específicos: El cuadrado inscrito y el circunscrito. 53
Para ello, se trazan dos ejes o diámetros de la circunferencia, uno vertical y otro horizontal, ambos perpendiculares entre sí. Uniendo los cuatro vértices de ambos ejes, se obtiene un cuadrado inscrito. A continuación, con la misma medida de lado que la de los ejes o diámetros, se traza el cuadrado circunscrito. El razonamiento resulta ser muy simple: El cuadrado inscrito tiene una superficie inferior a la del círculo, mientras que la del circunscrito es mayor. En consecuencia y como se muestra en este capítulo, desde el vértice superior del eje vertical hasta cualquier punto situado sobre el perímetro circular comprendido entre las medidas de los lados de ambos cuadrados, se pueden trazar un número ilimitado de líneas, cuyas medidas irán aumentando de forma progresiva desde la medida del lado del cuadrado menor, hasta la del mayor. De dicha progresión, con toda lógica, al menos una de las líneas deberá tener la medida que el lado de un cuadrado, cuya superficie será igual a la del círculo dado. En los siguientes dibujos se muestra con detalle el trazado de lo expuesto. 54
1. Se traza una circunferencia y se marcan los puntos por los que se trazan los ejes horizontal y vertical, perpendiculares entre sí. Se trazan las líneas que unen los cuatro vértices de los ejes y se obtiene el cuadrado inscrito cuyo lado tiene la medida (a–b) y cuya superficie es, con toda evidencia, inferior a la superficie del círculo.
a
b
La superficie del cuadrado inscrito es menor que la superficie del círculo.
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2. Con la misma medida que el diámetro (a‐c) como lado, se traza el cuadrado circunscrito, cuya superficie es mayor que la superficie del círculo.
a
b
c
La superficie del cuadrado circunscrito es mayor que la del círculo.
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3. Sobre el perímetro circular situado entre los dos puntos señalados como b y c, correspondientes a los extremos de lados del cuadrado inscrito (a‐b) y los del cuadrado circunscrito (a‐c), existe una hipotética línea (a‐x) que trazada desde el punto superior del eje vertical (a), hasta un punto (x), situado en el citado perímetro circular (b‐c), tendrá por lógica, la misma medida que el lado de un cuadrado cuya superficie será igual a la del círculo dado.
a
b
x c
La superficie de un cuadrado con lado (ax) es igual a la del círculo.
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4. Una vez trazada esa primera línea (a‐x), que sería el primer lado de un cuadrado, el resto se completaría como sigue: Se traza otra línea desde el punto (x) pasando por el punto (c) prolongándola. Con el compás, se toma la medida del primer lado (x‐a) y se traslada sobre la prolongación de la línea (x‐c), con lo que se obtiene el segundo lado del cuadrado. Desde el vértice inferior (x) se traza la línea que pasa por el centro de la circunferencia, hasta marcar un nuevo punto (d) sobre la misma.
a d
b
90
x c
58
5. Desde el vértice superior (a) y pasando por el punto (d), se traza la línea a la cual se traslada con el compás, la misma medida del lado inicial (a‐x), formando el tercer lado del cuadrado. Finalmente, se unen los dos puntos extremos de los lados anteriores, trazando el cuarto lado, con el que queda completado el cuadrado.
a d
b
x
90º c
El cuadrado trazado a partir del círculo.
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Con un razonamiento tan elemental como este, se ha mostrado una hipótesis con la cual el problema de la cuadratura del círculo, si bien fue demostrado matemáticamente que resulta imposible de resolver, aparentemente si puede tener una solución geométrica que, al menos por lógica, resultaría en teoría posible. Quedaría finalmente por determinar cómo o de qué forma, se podrá trazar esa primera línea del lado de un cuadrado, cuya superficie habrá de ser igual a la del círculo y en consecuencia, debería ser la solución que resuelva el problema. Esto es lo que se planteará en los próximos capítulos. Planteado de una forma muy elemental, si por un punto pasan un número infinito de líneas rectas, por dos puntos únicamente pasa una línea. En base a ello y partiendo siempre de un punto conocido (a), situado en el vértice de un eje cualquiera de una circunferencia, es necesario encontrar un segundo punto por el que trazar la línea buscada. Un punto que deberá estar situado a lo largo de la hipotética línea (a‐x), o en su prolongación. Dentro o fuera del círculo. Lógicamente, para encontrar dicho segundo punto, habrá que localizar el trazado de otras dos líneas, rectas o curvas, a partir de otros puntos previamente señalados en el círculo, de forma que se corten entre sí exactamente en el punto buscado. El número de posibilidades que existen para el trazado de esas dos líneas o para encontrar dicho punto, son prácticamente infinitas. Evidentemente, para afirmar que se ha resuelto el problema, es necesario conocer de forma previa, el trazado de las líneas que se cortan en ese segundo 60
punto, por donde se debe trazar el primer lado del cuadrado, es decir, que una vez se encuentre la solución, se podrá realizar el dibujo cuantas veces se desee, con regla y compás, sin necesidad de realizar ninguna medición. Algo semejante a un problema de adivinanza.
Imagen de la solución lógica al problema de la cuadratura del círculo.
61
62
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El cuadrado del dibujo de Leonardo. Conforme la tradición señala desde Arquímedes, para encontrar los vértices del cuadrado a lo largo del perímetro circular, las operaciones de diseño o trazo, nunca habrían de ser más de tres. Tal como ha quedado reflejado en el capítulo anterior, es preciso buscar un segundo punto para, trazar la primera línea del lado de un cuadrado; es esta una operación que ha de hacerse a partir de otros puntos que son marcados en la circunferencia, de una forma lógica o natural, como por ejemplo, a partir de los ejes o de otras semicircunferencias. Como ya se ha hecho constar, son casi infinitas las formas posibles de realizar un dibujo con estas características, pero en este primer ejemplo, se va a trazar un cuadrado que guarda una relación especial de proporciones, con respecto a la circunferencia a partir de la cual se va a trazar. Son las mismas proporciones que se reflejan en el resultado final del trazado de las figuras geométricas del famoso dibujo de Leonardo.
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1. Con el compás se traza una circunferencia y con la regla se traza una línea que pasa por el centro, un diámetro o eje; en este supuesto es el eje vertical. Con el compás algo más abierto que la medida del radio y desde los puntos superior e inferior de dicho eje, se marca el punto medio a un lado de la circunferencia, desde el cual y pasando por el centro, con la regla se traza la línea del eje horizontal. Con la abertura del compás igual a la medida del radio y desde los dos puntos exteriores del eje horizontal, se marcan sobre la circunferencia dos puntos en la parte superior e inferior. Se trazan las líneas que unen dichos puntos entre sí y que marcan los puntos medios (d1) y (d2), en cada una de las dos mitades del eje horizontal.
d1
d2
El eje horizontal queda dividido en cuatro partes iguales.
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2. Desde el punto superior del eje vertical (a), y pasando por el punto medio (d1) del eje horizontal izquierdo, con la regla se traza una línea hasta cortar la circunferencia en un punto (x). Dicha línea es el primer lado (a‐x) de un cuadrado. Desde el nuevo punto marcado (x) y pasando por el punto inferior del eje vertical (c), se traza otra línea prolongándola más allá de dicho punto. Desde el vértice (x) que forman ambas líneas, con el compás se toma la medida del primer lado (x‐a) y se traslada a la nueva línea, formando el segundo lado del cuadrado.
a
d1
d2
x c
Primer y segundo lados del cuadrado
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3. Desde el punto inferior del eje vertical (c) y pasando por el punto medio (d2) marcado sobre el eje horizontal derecho, se traza una línea hasta marcar el punto donde se corta con la circunferencia (y). El mismo punto (y) se puede marcar igualmente trazando la línea desde el vértice (x) y que pasa por el centro de la circunferencia.
a y d1 d2 x c
La línea desde (x) pasa por el centro marcando el punto (y).
4. Desde el punto superior del eje vertical (a) y pasando por el punto (y) se traza otra línea prolongada 66
más allá de dicho punto, a la cual se traslada con el compás la misma medida del lado inicial (a‐x), obteniendo así el tercer lado del cuadrado. Finalmente, se traza la línea que une los extremos de los lados segundo y tercero, con la cual se completa el cuadrado.
a y d1 d2 x c
El cuadrado queda completado.
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Las dos líneas que pasan por los puntos medios del eje horizontal (d1 y d2) del dibujo anterior, son parte de un rectángulo que se forma y que tiene la misma proporción, respecto a la circunferencia, al que aparece en la siguiente imagen del dibujo de Leonardo.
El cuadrado del dibujo de Leonardo.
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Partiendo del dibujo tal como quedó en el punto 4, se traslada la circunferencia hasta hacerla coincidir con el mismo centro que el del cuadrado y el resultado es que ésta se corta con los lados del cuadrado en 8 puntos, exactamente aquellos que marcan la cuarta parte de cada uno de los lados. Trazando las líneas que unen cada uno de esos ocho puntos, con los puntos de sus lados opuestos, el cuadrado quedará subdividido en 16 pequeños cuadrados iguales.
d2
d1
La circunferencia y el cuadrado trazados desde el mismo centro.
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La relación de proporciones existente entre ambas figuras, es que el radio de la circunferencia, es igual a la distancia desde el centro del cuadrado, hasta uno cualquiera de los ocho puntos que marcan una cuarta parte de sus lados. El dibujo final resulta tener la misma proporción que se da entre el cuadrado del dibujo de Leonardo y una de las circunferencias de trazado, cuyo propósito se mostrará en el siguiente capítulo. 70
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La solución de Leonardo da Vinci. “Y yo cuadro el círculo, excepto una porción tan minúscula como el intelecto sea capaz de imaginar, es decir, como el punto visible”. Leonardo da Vinci resolvió el antiguo problema de la cuadratura del círculo, según el postulado original: “A partir de un círculo construir un cuadrado que tenga la misma superficie, sólo con el empleo de un compás y una regla sin graduar”. El dibujo de El Hombre de Vitruvio aparenta estar hecho con un propósito enigmático, como si de una adivinanza se tratara, o cuyo objetivo fuera ocultar algo que únicamente aquellos que sepan interpretarlo puedan llegar a comprenderlo. Sin embargo, dicho dibujo representa mucho más que un enigma que espera ser desvelado: Es una solución que el genio dio al problema, puesto que continuando el dibujo que vemos de las dos figuras geométricas, únicamente falta por trazar el cuadrado objeto de la solución, para lo cual, los puntos necesarios por los que se trazarán las líneas de sus cuatro lados, están claramente marcados, ya que son algunos de los puntos en los que la circunferencia y el cuadrado se cortan entre sí. 71
En este capítulo se desarrollan a lo largo de tres fases consecutivas, varias series de dibujos que muestran paso a paso, la forma en que Leonardo da Vinci realizó el trazado de las dos figuras geométricas, la del cuadrado primero y la circunferencia después, perfectamente encajadas entre sí, de tal forma que se marcan sobre la última, los puntos por los que se trazarán las líneas del cuadrado que constituye la solución buscada. Las series de dibujos que se representan a continuación, han sido realizados con un programa informático de dibujo y cada una de las citadas fases, se realiza mediante la sucesión de circunferencias o líneas, sin ninguna medición, ya que todos los dibujos se obtienen de la misma forma que si el desarrollo del dibujo se realizaría manualmente, utilizando solo un compás y una regla. 72
Primera fase. En la primera fase desarrolla el trazado del cuadrado que podemos ver en el dibujo de Leonardo, que se obtiene a partir de una primera “circunferencia de trazado” que es la utilizada como punto de partida para obtenerlo de acuerdo con una especial relación de las proporciones de ambas figuras. Unas proporciones que están basadas en el texto escrito en la parte superior del citado dibujo, donde aparecen claramente señaladas. Es el párrafo que hace referencia a la proporción 4 ‐ 6 ‐ 24. “Vitruvio, el arquitecto, explica en su obra sobre arquitectura que la naturaleza dispone las medidas del cuerpo humano de la siguiente manera: 4 dedos forman 1 palma, 4 palmas son 1 pie, 6 palmas son un codo y 4 codos son la altura de un hombre. Y 4 codos forman un paso, y 24 palmas son un hombre.” El significado es la proporción en las medidas que deben guardar los lados del cuadrado, respecto del radio de esa primera circunferencia de trazado. La medida de la suma de los 4 lados del cuadrado tiene que ser igual a la medida de la suma de 6 radios de la circunferencia. Con la referida proporción, la medida de un lado del cuadrado debe ser igual a la medida de un radio y medio, o igual a la medida de las tres cuartas partes del diámetro. 73
1. A partir de un punto (x) como centro, con el compás se traza una circunferencia y sobre ella un diámetro o eje vertical. Para obtener el lado del cuadrado con la proporción anteriormente referida, se marca el punto medio (h1) del radio, en la parte superior del diámetro, de forma que la distancia (h1‐h2) es igual a un radio y medio. Esa es la distancia igual a la medida del lado del cuadrado que se va a trazar.
h1
x
h2
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2. Sobre el eje vertical y desde cada uno de los puntos (h1) y (h2), con el compás se marca el punto medio (b) que será el centro del cuadrado. Desde dicho punto (b), con el compás, se toma la medida igual a la mitad del lado (b‐h1), con la cual y desde los puntos externos de ambos ejes, se van marcando sucesivamente los cuatro vértices, desde los cuales se trazan las líneas que unen sus extremos hasta completar el cuadrado.
h1 x b
h2 El punto (b) es el centro del cuadrado.
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Segunda fase. Esta fase consiste en localizar el centro de la circunferencia que aparece en el dibujo de Leonardo. 3. Una vez se ha trazado el cuadrado, utilizando siempre el compás, se marcan los puntos medios de cada uno de sus lados y a continuación se marcan los puntos intermedios, de forma que cada uno de los lados queden divididos en cuatro partes. Se trazan las líneas que unen dichos puntos con los opuestos entre sí, de forma que el cuadrado quedará subdividido en 16 pequeños cuadrados iguales, tal como se muestra en la siguiente figura.
h1
x b
h2
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4. Con el compás y desde el centro del cuadrado (b), se toma como radio la medida hasta uno cualquiera de los ocho puntos marcados en los lados del cuadrado. Desde el centro (b) se traza una circunferencia, la cual marca un punto (c) sobre la parte inferior del eje vertical prolongado. Es la “segunda circunferencia de trazado”. Este nuevo punto (c) marca la distancia hasta una línea que si se traza paralela bajo el lado inferior del cuadrado, resulta idéntica a la que aparece en el dibujo de Leonardo.
h1 x b
h2 c
La segunda circunferencia de trazado marca el punto (c).
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5. Con el compás, se toma la medida del radio de la primera “circunferencia de trazado” (x–h2). Desde el punto (c) como centro, se traslada la medida del radio sobre el eje vertical, marcando un nuevo punto (a), situado entre el centro de la circunferencia inicial (x) y el centro del cuadrado (b). Este punto (a) es el centro de la circunferencia que culmina el dibujo de Leonardo, en lo referido a las dos figuras geométricas.
h1 x a b
h2 c
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El punto (a) es el centro de la circunferencia final.
6. El radio se obtiene tomando con el compás la distancia desde (a) hasta el punto (h2) donde el eje vertical se corta con el lado inferior del cuadrado. Con dicha medida (a‐h2) se traza la circunferencia que es tangente al cuadrado en el punto inferior del eje vertical y que completa el trazado de las dos figuras geométricas del dibujo de Leonardo.
h1 x a b
h2 c La circunferencia con radio (ah2) es la del dibujo de Leonardo.
La imagen final muestra la circunferencia y el cuadrado, las dos circunferencias de trazado y sus respectivos radios. 79
Tercera fase. En esta fase culmina el trazado del cuadrado cuya superficie es igual a la del círculo del dibujo. Es la parte que falta para descubrir la que podría ser la “pista” que dejó Leonardo Da Vinci, ocultando un “secreto” que significa comprender como se puede buscar la solución al problema de la cuadratura del círculo. El objetivo del dibujo, una vez eliminadas las dos circunferencias de trazado, es marcar los cuatro puntos de intersección entre la circunferencia y el cuadrado, situados de forma opuesta entre sí, en cada una de las dos mitades en que las divide el eje vertical. Son los puntos (d1 ‐ d2) y (d3 ‐ d4)). d d2
d3 x a b d1
d4 h2 c
Las dos figuras geométricas del dibujo de Leonardo.
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7. El trazado del cuadrado final objeto del problema, puede ser realizado indistintamente sobre la mitad izquierda o sobre la derecha, ya que únicamente son necesarios dos de los puntos opuestos. Continuando con el trazado, se utilizarán los dos puntos opuestos (d1 ‐ d2), por los que se trazan las líneas que han de formar el cuadrado final. Para ello, desde el punto superior del eje vertical (d) de la circunferencia, con la regla se traza la línea hasta el punto de intersección (d1). Es el primer lado del cuadrado.
d d2 x a b d1 h2 c La línea (dd1) es el primer lado del cuadrado.
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8. Desde este punto (d1) y pasando por el punto inferior del eje (h2), se traza una línea prolongándola más allá de dicho punto. Tomando con el compás la medida del primer lado (d1‐d), se traslada a esta segunda línea. Es el segundo lado del cuadrado.
d d2 x a b d1 h2 c
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9. Desde el punto (d1) y pasando por el centro de la circunferencia (a), se traza una línea para marcar el punto opuesto que coincide con el otro punto de intersección (d2) entre la circunferencia y el cuadrado. Desde el punto superior del eje vertical (d) y pasando por el punto marcado (d2), se traza una línea prolongada, a la que con el compás se traslada la misma medida del primer lado (d‐d1). Es el tercer lado del cuadrado. Finalmente, se traza la línea que une los extremos de estos dos últimos lados, con lo que se completa el cuadrado que tiene la misma superficie que el círculo.
d d x a b d h c El cuadrado trazado a partir del dibujo de Leonardo
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El dibujo de Leonardo Da Vinci representa la clave que posibilita encontrar la solución que resuelve el problema de la cuadratura del círculo. Con el trazado del dibujo quedan marcados sobre el círculo los puntos de intersección con el cuadrado, necesarios para obtener el cuadrado objeto de la solución. Es el resultado del ensamblaje perfecto entre un cuadrado y un círculo que han sido trazados con una proporcionalidad perfectamente calculada. Un trazado que se puede realizar en su conjunto de forma manual, utilizando un compás y una regla sin graduar.
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Fotografía del dibujo realizado manualmente.
Medidas del dibujo y cálculos. El dibujo ha sido realizado con un programa informático, del cual se obtienen unas medidas con gran precisión. El siguiente cuadro refleja dichas medidas y los cálculos realizados.
La circunferencia del ejemplo, tiene un radio de unos 6,8 centímetros, una medida aproximada a la del dibujo real. Entre los datos figura la medida calculada del lado del cuadrado exacto (121,3808310), cuya superficie sería igual a la del círculo del ejemplo. La medida del lado que se obtiene con el dibujo de Leonardo, difiere tan solo en 0,0976 milímetros respecto a la medida que resultaría ser esa solución matemática exacta. El porcentaje de error calculado sobre la medida exacta del lado, es de un 0,08% por defecto.
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La diferencia de las superficies calculadas, da un resultado muy apreciable, de unos 24 milímetros cuadrados, demasiado grande como para considerar que fuera la solución del problema, de la que no cabría ninguna discusión. Sin embargo, y aunque “los números no cuadren”, se puede valorar que la solución de Leonardo da Vinci, además de ser genial e imaginativa, da un resultado de gran aproximación, tanto como para considerar que el mismo dibujo realizado de forma manual, fuera una solución válida. Es una diferencia ínfima si se considera que, tanto el trazado como las mediciones, resultan imposibles de realizar con la misma precisión, en un dibujo realizado manualmente sobre una hoja de papel, con un lápiz, un compás y una regla sin graduar. De cualquier forma, la afirmación de que esta no es la solución exacta, básicamente se puede argumentar en razón a que el dibujo haya sido también realizado con un programa informático.
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El “secreto” de El Hombre de Vitruvio.
El cuadrado completa la solución del “enigma”.
Es un “secreto” muy bien guardado en un dibujo genial, en el que únicamente faltan por trazar las cuatro líneas de un cuadrado que significa la solución del “enigma” y permite comprender la intencionalidad real del dibujo. Con seguridad se podría afirmar que Leonardo da Vinci conoció la solución, o que resolvió el problema de la cuadratura del círculo. Sin embargo, únicamente legó para la posteridad un dibujo en forma de “enigma”, ya que representa a la vez el problema y las claves precisas para comprender la solución. 87
Hay un último aspecto sobre el que habría que reflexionar: El trazado de las figuras geométricas, con los pasos que se han desarrollado en este capítulo, resulta demasiado complejo como para considerarlo una solución propiamente dicha. De esto se podría deducir que, si Leonardo realizó numerosos dibujos tal como afirman algunas fuentes, pudo haber encontrado la solución exacta, la cual no reveló, transmitiendo en su lugar ese conocimiento en un dibujo en forma de enigma, con la intención de no revelar públicamente ese secreto, por las razones que tuviera. De la misma forma, también se puede considerar la circunstancia opuesta como razón, es decir, que no encontrara una solución verdaderamente satisfactoria y cuyos resultados hubieran sido incuestionables. En cualquier caso, una vez se conoce la forma de resolver el problema y con la posibilidad de utilizar las nuevas tecnologías en el campo del dibujo informático, se puede establecer que encontrar la solución es algo puramente secundario, ya que queda reducido a encontrar esa primera línea exacta que sin duda alguna existe. Hacer público un “secreto” que ha permanecido muy bien guardado en el maravilloso dibujo de El Hombre de Vitruvio es mostrar un reconocimiento, más grande si cabe, de la figura de un genio que fue Leonardo da Vinci.
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¿Una solución manual? Sin duda que Leonardo Da Vinci conoció y transmitió el “secreto” del problema de la cuadratura del círculo. Algunos testimonios que hacen referencia a sus numerosas obras, manifiestan que dedicó mucho tiempo a este problema y realizó numerosos dibujos buscando la solución. Como se mostrará más adelante, pueden ser infinitas las formas de trazar un cuadrado a partir de una circunferencia, aunque por lógica, sólo una puede ser la solución “exacta”. La representación que muestra el dibujo de Leonardo da Vinci, no ha de considerarse como una solución en sí, ya que podría tratarse de una solución “encriptada”. Algo así como que el objetivo del dibujo, hubiera sido exclusivamente el de transmitir ese conocimiento de una forma esotérica, hermética, oculta para los profanos, mediante la elaboración de un dibujo con la clara y única intención de seguir manteniendo oculto un secreto, dejando a la vez una constancia evidente de que conocía la forma de buscar la solución. Algunas de las claves que reflejó en el dibujo, pueden interpretarse en el sentido de que Leonardo conoció la solución que él interpretó como correcta, o incluso otras muchas con unos resultados que nunca consideró que fueran exactos, aunque lo fueran de una gran aproximación. 89
Por otra parte, no ha de descartarse que hubiera tenido acceso a documentos de la antigüedad, en los que de forma secreta, recogieran las claves para resolver el problema o incluso la solución exacta. De cualquier forma, para la valoración de los resultados que hubiera obtenido de los numerosos dibujos que realizó, habría que tener en cuenta el posible valor de la constante PI, utilizado en su época. Como se mostrará más adelante, a lo largo de siglos fueron conocidos o utilizados, diversos valores para dicha constante. Se ha de tener en cuenta también los múltiples trazados que pueden ejecutarse para buscar la solución. Así, en muchos de los dibujos ejecutados manualmente, con lápiz y sobre papel, tomando las mediciones de forma manual, los resultados que se pueden obtener, resultan en muchos casos casi imposibles de distinguir unos de otros, puesto que las líneas trazadas para los lados del cuadrado, son de tal aproximación que resultan, al menos de forma visual, coincidentes en la práctica. La posibilidad de utilizar programas informáticos de dibujo, aportan una gran precisión en las medidas, por lo que bajo esa nueva circunstancia, es preciso ratificar que, por lógica, la solución exacta únicamente ha de poder verificarse utilizando un ordenador. Como ya se ha reflejado, de los dibujos realizados por ordenador, se obtienen unos resultados tan precisos que encontrar la solución exacta, se convierte en una tarea todavía más compleja, debido a que el número de opciones diferentes, es prácticamente infinito. 90
Por ello y por tratarse de un problema planteado en la antigüedad, probablemente hace milenios, parece lógico partir de la premisa de que para aceptar como válida una solución, el dibujo objeto del problema ha de ser realizado de forma manual. El dibujo cuyo trazado se representa a continuación, pudo haber sido uno de los muchos realizados por Leonardo de Vinci. Es un dibujo que al ser realizado de forma manual, tras la conclusión del mismo, y tomando las mediciones también de forma manual, los resultados que se obtienen son de tal aproximación que muy bien podría considerarse como una “solución manual”. 1. Utilizando un compás y una regla, se parte de una circunferencia en la que se trazan los dos ejes perpendiculares entre sí, el vertical, el horizontal, y los dos ejes transversales, de forma que la circunferencia queda dividida en ocho partes iguales.
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2. Se trazan las cuatro líneas que formarían un cuadrado inscrito, uniendo los vértices de los ejes transversales, Sobre la mitad inferior del lado izquierdo de dicho cuadrado, con el compás se marcan los puntos equidistantes para señalar un punto intermedio (d). Desde el punto superior del eje vertical, y pasando por el punto señalado (d), se traza la línea hasta cortar la circunferencia en el punto (x). Dicha línea es el primer lado del cuadrado.
d x
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3. El trazado de los otros tres lados se ejecuta siguiendo los mismos pasos que ya han sido detallados en capítulos anteriores. Se traza una línea desde el punto (x), pasando por el punto inferior del eje vertical, a la que se traslada con el compás la misma medida del primer lado. Se traza una línea desde el vértice (x), que pasa por el centro hasta marcar en la circunferencia el punto opuesto (y). Desde el punto superior del eje vertical, se traza una línea pasando por (y), con la misma medida del lado inicial. Finalmente, se traza la línea que une los dos extremos de los lados anteriores, completando el cuadrado.
y
d x
Figura de una ¿solución? manual.
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Se trata de un dibujo sencillo y fácil de ejecutar, tanto de forma manual como utilizando un ordenador. Con el propósito de hacer una valoración de los resultados comparando los datos tomados de ambos dibujo, se reflejan en primer lugar las medidas y los cálculos correspondientes al dibujo realizado por ordenador y que figuran en el cuadro siguiente.
La medida del lado del cuadrado utilizado en este dibujo es de 534,6590000 milímetros. La medida calculada del lado del cuadrado cuya superficie resultaría igual a la del círculo, es de 534,5898099 milímetros. La diferencia de las medidas entre estos dos lados, es de tan sólo 0,0692 milímetros. Es esta una diferencia que resultaría imposible distinguir visualmente sobre el mismo dibujo realizado de forma manual, aunque tuviera las mismas medidas (la medida del radio de la circunferencia es de unos 30 centímetros). El margen de error del lado sobre la medida del lado exacto es del 0,013%. La diferencia de superficies sí que es muy significativa, de unos 74 milímetros cuadrados. 94
Valorando estos resultados se puede deducir que las medidas de los lados del cuadrado obtenido, resultarían imposibles de distinguir de las medidas exactas, sobre el mismo dibujo realizado de forma manual. Esto supone afirmar que, en otras épocas, este dibujo podría haber sido considerado como la solución manual del problema o que este mismo ejemplo habría suscitado sin duda debates acerca de la exactitud o no de sus resultados, basándose en las mediciones poco precisas hechas de forma manual. Esto mismo sucedería hoy, si se prescindiera de la utilización de herramientas de dibujo informático para verificar los resultados.
Fotografía del dibujo realizado manualmente.
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Por ampliar el razonamiento de este ejemplo, valorando las medidas tomadas sobre el dibujo manual, dejando constancia de que es evidente que carecen de la precisión necesaria, se desprende que los resultados de los cálculos son muy relativos, ya que “ajustando necesariamente” las cifras decimales, por la dificultad de precisar más allá de las fracciones de milímetros, éstas representarían la “solución” del problema, como refleja el cuadro siguiente.
Se plantea pues, una nueva dinámica para verificar la solución del problema de la cuadratura del círculo. Por una parte debe cuestionarse buscar la solución de forma manual, ya que como se deduce del ejemplo presentado, resulta imposible precisar las mediciones con la exactitud necesaria. En consecuencia, es una circunstancia que sitúa el problema de la cuadratura del círculo en una dimensión virtual, ya que los resultados dependen de unas cifras decimales tan mínimas que la solución exacta, ya únicamente será posible verificar utilizando un ordenador. 96
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La búsqueda de la solución. En este capítulo se representan algunos ejemplos, tratando de mostrar las innumerables y diferentes formas posibles de ejecutar los dibujos, para buscar la solución del problema de la cuadratura del círculo. El objetivo será localizar un segundo punto por el que trazar la primera línea del lado de un cuadrado, cuya superficie habrá de ser igual a la del círculo. En general y respetando lo que señala la tradición, para encontrar el primer punto o vértice del cuadrado a lo largo del perímetro circular, las operaciones de trazado habrían de ser pocas y elementales. Para ello, los dibujos que se representan a continuación, aunque hayan sido realizados por ordenador, se ha observado siempre las siguientes condiciones: No se realiza ninguna medición previa. Las medidas se toman y trasladan mediante compás, utilizando para esta finalidad el trazado de circunferencias, cuyos radios se obtienen tomando la distancia desde un punto hasta otro, previamente marcados. Los puntos se marcan por la intersección de dos líneas, rectas o curvas, o bien trasladando una medida tomada entre dos puntos, desde un punto ya conocido a otro. 97
Las líneas rectas se trazan entre dos puntos que también hayan sido previamente marcados, igual que si se utilizara una regla. Para la comprobación de los resultados, las mediciones del radio de la circunferencia y del lado del cuadrado, se realizan tras la finalización de los dibujos. Todos los dibujos se presentan de forma muy esquematizada y con unas explicaciones muy simples, tratando que sean fácilmente comprensibles, con el único objetivo de mostrar que existen infinidad de posibilidades distintas. En la práctica, todas estas condiciones significan que la ejecución de cada uno de los dibujos, ha de poder ser realizado de forma manual, utilizando un compás y una regla sin graduar. Las medidas de cada uno de los dibujos, con valores representados en milímetros, se muestran en cuadros, en los que se pueden verificar los cálculos y los resultados correspondientes. Dibujo 1 A partir de una circunferencia, se trazan los ejes vertical y horizontal. Desde los dos extremos del eje horizontal y con la misma medida del radio, se marcan con el compás los puntos por los que se traza un hexágono. Sobre un lado del hexágono, opuesto al eje vertical, se marca el punto medio (x).
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Desde el punto superior del eje vertical y pasando por dicho punto (x), se traza la línea del primer lado del cuadrado. El resto de los lados se trazan igual a como ha quedado reflejado en los ejemplos de capítulos anteriores.
x
Los resultados obtenidos son:
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De los datos y cálculos realizados se hace una breve valoración explicativa, como referencia general que será idéntica para el resto de los ejemplos que siguen a continuación y en cuyos cuadros respectivos, deben valorarse los datos de la misma forma. Los datos se toman a escala de milímetros. Con esto, el radio de la circunferencia utilizada sería de unos 30 centímetros. Las superficies dan como resultado una diferencia de algo más de 152 milímetros cuadrados. Sin embargo, la diferencia en la medida sobre la longitud exacta del lado que daría la solución correcta, es de tan solo 0,14 milímetros. El porcentaje de error, sobre la medida del lado obtenido en este ejemplo, es del 0,0267%. Dibujo 2 A partir de una circunferencia, se trazan sus dos ejes y como en el dibujo anterior, se traza un hexágono. Desde el punto inferior del eje vertical se traza una semicircunferencia, con el mismo radio que la circunferencia inicial. Desde el punto medio donde el lado izquierdo del hexágono se corta con el eje horizontal, se traza una línea hasta el punto inferior del eje vertical. Dicha línea se corta con la semicircunferencia en un punto (x). Desde el punto superior del eje vertical y pasando por dicho punto (x), se traza la línea que es el primer lado del cuadrado. 100
Finalmente se completan los otros tres lados del cuadrado, de la misma forma ya indicada
x
Los resultados son:
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Dibujo 3
Se traza una circunferencia y los ejes vertical, horizontal y los transversales, quedando dividida en ocho partes iguales. Tomando como centro el punto inferior del eje vertical, se traza una semicircunferencia con radio igual al de la circunferencia inicial. Se marca el punto medio del arco formado por una de las ocho partes, sobre la parte inferior derecha contigua a la semicircunferencia dibujada. Se traza una línea desde el punto izquierdo del eje horizontal, hasta el punto medio del arco señalado. Dicha línea se corta con la semicircunferencia en un punto (x). Desde el vértice superior del eje vertical y pasando por el punto (x), se traza la línea que forma el primer lado del cuadrado. Finalmente se completan los otros tres lados del cuadrado, de la misma forma ya indicada. 102
x
Los resultados son:
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Dibujo 4 Se traza la circunferencia y los ejes vertical, horizontal y los transversales. La circunferencia queda dividida en ocho partes iguales. Se traza uno de los lados del octógono, en el cuadrante inferior izquierda, desde el eje horizontal. Sobre este lado se traza la línea que marca su punto medio. Desde el mismo vértice del eje horizontal y con la misma medida del radio inicial, se marca y se traza la línea que sería el lado del hexágono. Se traza una semicircunferencia con centro en el punto inferior del eje vertical y con la misma medida del radio, hasta el punto donde se cortan las dos líneas anteriores. Desde el mismo punto inferior del eje vertical, se traza una línea prolongada y paralela al eje horizontal. Dicha línea inferior y la semicircunferencia se cortan en un punto (y), exterior a la circunferencia inicial. Desde el punto superior del eje vertical, se traza la línea recta hasta dicho punto (y), que se corta con la circunferencia en un nuevo punto (x). La línea trazada hasta dicho punto (x) es la medida del primer lado del cuadrado. Con dicha medida se completan los otros tres lados del cuadrado, de la forma ya indicada. 104
x y
Los resultados son:
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Dibujo 5 Se traza la circunferencia y los ejes vertical, horizontal y los transversales, de forma que queda dividida en ocho partes iguales. Se divide la mitad inferior del eje vertical en tres partes iguales. Desde el punto inferior del eje vertical, se traza una semicircunferencia con el mismo radio que la circunferencia inicial. Desde el punto izquierdo del eje horizontal, se traza una línea hasta el punto que marca el tercio inferior de la división del eje vertical. Dicha línea se corta con la semicircunferencia en un punto (x), por el cual y desde el punto superior del eje vertical, se traza la línea del primer lado del cuadrado. Finalmente se completan los otros tres lados del cuadrado, de la misma forma ya indicada. 106
x
Los resultados son:
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Dibujo 6 Se traza la circunferencia y los ejes vertical, horizontal. Con el mismo radio, desde el punto izquierdo del eje horizontal como centro, se marcan dos puntos sobre la circunferencia, en la parte superior e inferior de la misma y se traza la línea vertical que los une, para marcar el punto medio sobre el radio que forma la mitad del eje horizontal. Desde dicho punto se traza una circunferencia con radio igual a la mitad del radio inicial. Con ese mismo radio y desde el punto izquierdo del eje ya citado, se traza otra circunferencia igual a la anterior. Ambas circunferencias se cortan en un punto (x) por el cual y desde el punto superior del eje vertical, se traza la línea del primer lado del cuadrado. 108
X
Los resultados son:
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Dibujo 7
Se traza una circunferencia y los ejes vertical, horizontal y los transversales, quedando dividida en ocho partes iguales. Se trazan las líneas que unen cada uno de dichas partes formando un octógono. Se toma la medida del lado del octógono como radio y desde el punto derecho del eje horizontal, se traza una circunferencia que corta dicho eje en un punto. Desde dicho punto y con el mismo radio igual al lado del octógono, se traza una nueva circunferencia que corta el citado eje en un punto (x). Desde el punto superior del eje vertical y pasando por el punto (x), se traza la línea hasta cortar la circunferencia. Dicha línea es el primer lado del cuadrado. 110
x
Los resultados son:
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Como se puede apreciar en estos siete ejemplos, los valores que resultan de las superficies de ambas figuras, verifican unas diferencias muy significativas, demasiado grandes como para ser consideradas unas simples aproximaciones. De entre los dibujos de los ejemplos, en unos casos, las líneas de los lados de los cuadrados son ligeramente inferiores a la medida de la línea que sería el lado exacto y en otros, dichas líneas son ligeramente superiores. En consecuencia, el punto que señalaría la línea buscada, se encuentra situado en un espacio del perímetro circular extremadamente reducido, aún cuando el número de puntos situados dentro de dicho espacio, es en teoría indefinido. De la misma forma, el punto donde la línea buscada corta el eje horizontal, se encuentra situado en un espacio igualmente muy reducido, marcado por las líneas de los ejemplos. Por señalar una referencia, en el dibujo 5, la línea del primer lado del cuadrado, pasa por un punto a una distancia de ‐0,1651 milímetros del punto por el que pasaría la línea exacta. En el dibujo 6, esa distancia es de +0,4104 milímetros. Sobre el radio de las circunferencias utilizadas que en todos los ejemplos es de 301,610 milímetros, la distancia entre los puntos donde las líneas del primer lado, correspondientes a los dibujos 5 y 6 se cortan con dicho radio, es de 0,5755 milímetros. En esa mínima distancia se encuentra el punto por donde ha de pasar esa primera línea que representaría la solución que resuelva este problema. Un punto que, como se verá en el capítulo siguiente, puede localizarse con un dibujo realizado por ordenador. 112
Si lo que se comparan son las medidas de los lados de los diferentes cuadrados, con la medida que sería la exacta, las diferencias son tan ínfimas que resultan imperceptibles al ojo humano. En el dibujo cuyo resultado es el de mayor aproximación al que sería el correcto, dicha diferencia es de tan solo 0,08 milímetros, imperceptible si se compara con la medida del lado del cuadrado que es algo más de 53 centímetros. Finalmente, la principal conclusión que se puede deducir de los dibujos que se han mostrado, es que las posibilidades o alternativas que existen para buscar la solución son ilimitadas, pero igualmente y en la misma proporción, son ilimitadas las dificultades para encontrarla. 113
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La solución digital. El problema de la Cuadratura del Círculo ha de ser planteado como un problema geométrico, de dibujo, y no como un problema matemático. La utilización de cálculos aritméticos como la vía para hallar la solución, es la razón por lo que está considerado como un problema imposible de resolver, siendo que el cálculo se basa en algo relativo, mientras que del propio enunciado del problema, hay que deducir que se trata de obtener algo absoluto, es decir, un cuadrado. Los cálculos de las medidas de los dibujos representados en el capítulo anterior, muestran que ninguno de ellos es la solución del problema. Sin embargo, dichos cálculos no demuestran que la solución buscada no exista. Para justificar esta afirmación, basta con ejecutar un dibujo con un programa informático, cuyo único objetivo sea mostrar que existe la línea, con la medida de los lados de un cuadrado cuya superficie sería exactamente igual a la superficie del círculo. El dibujo consiste en ir realizando subdivisiones de forma sucesiva sobre la mitad izquierda del eje horizontal, hasta marcar el punto exacto por el que se traza la primera línea del lado del cuadrado buscado, mediante el trazado de sucesivas circunferencias que marcan el punto medio entre otros dos puntos de referencia, de forma que la distancia entre esos puntos, 115
se va reduciendo progresivamente a la mitad hasta marcar el punto deseado. Para ello, se parte de una circunferencia como la del siguiente dibujo, en la que se han trazado un octógono y un hexágono. Se trazan las dos líneas verticales que unen los dos vértices respectivos de ambas figuras, situados en la parte izquierda, para marcar dos puntos sobre el eje horizontal. La línea vertical que une los vértices del hexágono, divide dicho eje exactamente por la mitad.
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El punto buscado ha de localizarse sobre el eje horizontal.
Se marca el punto medio entre las dos líneas verticales y después, de forma sucesiva, se van realizando nuevas subdivisiones, entre los puntos medios resultantes, cuya distancia se va acortando a la mitad en cada operación.
Detalle del eje horizontal donde se van marcando los puntos medios.
El dibujo ampliado con zoom, muestra el trazado de las sucesivas circunferencias, con las que se van obteniendo los puntos intermedios, y cuyos radios disminuyen a la mitad progresivamente. El número de subdivisiones y el sentido con respecto al centro de la circunferencia que es preciso trazar, son los siguientes: 4 subdivisiones hacia el centro. 3 hacia la izquierda (dirección opuesta al centro). 5 hacia la derecha. 1 hacia la izquierda. 1 hacia la derecha. 2 hacia la izquierda. 1 hacia la derecha. 117
Las últimas subdivisiones hasta marcar el punto buscado.
En total se han realizado 17 subdivisiones, la última de las cuales marca el punto por el que se traza la línea del primer lado del cuadrado (línea inclinada transversal de la imagen anterior). El radio de las dos últimas circunferencias que se han trazado para marcar el último punto intermedio, es de 0,0010 milímetros. La distancia desde el centro de la circunferencia, hasta el punto señalado es de 157,6586 milímetros y la distancia desde dicho centro hasta la mitad del radio es de 150,8050 milímetros. Una vez obtenido el punto por donde trazar la línea del primer lado, el resto del cuadrado se ejecuta igual a como se ha mostrado en capítulos anteriores. 118
La solución digital.
Concluido el dibujo, con las medidas del radio de la circunferencia y del lado del cuadrado, se obtienen los resultados que se muestran en el cuadro siguiente.
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Los resultados muestran que las superficies de ambas figuras son iguales. Dado el número de decimales de la constante PI, para ajustar todavía más el resultado obtenido de la superficie del cuadrado, de forma que la diferencia fuera de cero sin ningún decimal, sería preciso que el programa informático de dibujo facilitara las medidas con más de 4 decimales. Como se ha dicho, esta “solución” únicamente puede ejecutarse utilizando un ordenador, por lo que no cumple con el enunciado del problema, ya que a partir de un determinado número de subdivisiones, es preciso efectuar mediciones para ir descartando los puntos hasta encontrar el que da la medida exacta. Como es evidente, es imposible ejecutar este mismo dibujo de forma manual, utilizando un compás, por lo que el único propósito del ejemplo, es mostrar que la línea buscada existe, por lo que encontrar la forma de resolver el problema, se reduce a encontrar ese segundo punto preciso y que pueda realizarse de una forma manual, aunque el resultado habrá de verificarse utilizando un ordenador.
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La solución matemática. Del propio enunciado del problema, se deduce que es un problema de dibujo, ya que consiste en el trazado de dos figuras geométricas, una círculo y a partir de él, dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie, es decir, se trata de dibujar dos figuras “analógicas” o “absolutas”. Por el contrario para verificar la solución, es necesario recurrir a la demostración matemática, cuyo método consiste en la utilización de números y fórmulas, o lo que es lo mismo, hay que utilizar “valores relativos”, es decir, obtenidos a partir de determinadas referencias, de medidas o de cálculos, realizados sobre formas geométricas, líneas o curvas, lados o radios. La validez del resultado se reduce pues, a la comprobación de valores numéricos, es decir, serán los números los que determinen el resultado correcto o no, de este problema. El radio de una circunferencia, ha de ser medido con una regla milimetrada, para ser transformado en un valor numérico, lo que significa aplicar una “referencia relativa”, a partir de la cual, junto con otro valor también numérico de la constante PI, se relacionan entre sí mediante fórmulas, con las cuales se obtienen los “valores numéricos” de dicha circunferencia, como por ejemplo su longitud o su superficie. 121
Las medidas tomadas con un compás, son medidas absolutas, analógicas, es decir, tienen la precisión de que pueden ser trasladadas desde unos puntos a otros, para marcar distancias equidistantes, o medir unos segmentos para obtener otros iguales. Las medidas tomadas con una regla milimetrada, adolecen de esa precisión, ya que se ajustan a marcas predeterminadas, de cuyos intervalos es difícil determinar más valores decimales. Con el compás se puede tomar la medida de un segmento, cuyo valor numérico sería por ejemplo de 10,3764 y trasladar ese mismo valor, con total exactitud a otro segmento, por hacerse de una forma analógica. Por el contrario, con la regla milimetrada resulta imposible realizar la misma operación con la misma precisión de las diezmilésimas, por hacerse de una forma digital. Como se mostrará en un capítulo más adelante, los cálculos efectuados con valores numéricos, pueden determinar la conclusión de que resulta imposible realizar el dibujo de una circunferencia, a partir de la medida del lado de un cuadrado. Sin embargo, la ejecución realizada de forma analógica o geométrica, demostrará que dicho dibujo sí es posible. En el problema que nos ocupa, tratamos de obtener una solución geométrica y lógica, pero la verificación que se realiza, queda condicionada al resultado matemático, es decir, deben “cuadrar” los números. Esta es una reflexión que puede carecer de fundamento, si consideramos que, en la actualidad, la ejecución de dibujos puede hacerse con herramientas informáticas; sin embargo, ha de tenerse en cuenta que 122
en otras épocas, no disponían de dichas herramientas, y por tanto, la verificación y validez de los resultados, habría de considerarse principalmente para los dibujos realizados manualmente. Valores de PI conocidos de distintas épocas. Existe constancia de que desde épocas remotas de la antigüedad, se han utilizado distintos valores para la constante PI. Algunos de esos valores se reflejan en la tabla siguiente, de los cuales el valor actual es el que tiene la mayor precisión, aunque tiene un número mucho mayor de cifras decimales que el que figura.
La diversidad de valores atribuidos a la constante PI, condicionarían la solución del problema en caso de que pudiera haber sido conocida o aceptada en épocas pasadas, como pudo ocurrir en la solución que reflejó Leonardo da Vinci en su genial dibujo. Puede parecer este un argumento irrelevante, si no fuera porque con valores de PI igual a 3,142406 ó 3,139914 ó 3,136540, si existen soluciones, ya que con 123
dichos valores, se obtienen resultados en los que las superficies del círculo y del cuadrado, coinciden con total exactitud. Y si existen para esos valores, indudablemente ha de existir también la solución para el valor de PI. En consecuencia, cabe preguntarse si en la antigüedad, aquellos que formularon el problema, lo hicieron en forma de reto o desafío para los profanos, bien porque conocieron “el secreto” pero no la solución, o bien porque también conocieron una solución que por ellos mismos fue aceptada como válida. En otras épocas, la discusión sobre una posible solución que pudiera haber sido aceptada como tal, de algunos de los dibujos que se han mostrado en capítulos anteriores, resultaría infructuosa ya que, los mismos dibujos ejecutados manualmente sobre una misma circunferencia, las líneas de los cuadrados, resultarían imposibles de distinguir visualmente unos de otros en la práctica. La utilización de programas de dibujo por ordenador, aporta una extraordinaria precisión en las mediciones y en los cálculos, imposibles de obtener por métodos tradicionales, pero a la vez se amplía casi hasta el infinito, la dificultad para encontrar ese punto exacto, por el que se ha de trazar esa primera línea que resolvería el problema. Esta circunstancia transforma el problema de la cuadratura del círculo, en un problema de realidad virtual, ya que la solución, si se encuentra, únicamente se podrá verificar dentro de un ordenador. 124
Habrá que dar por supuesto también que los programas de dibujo informático no contengan algún margen de error, lo que contribuiría a hacer más compleja la búsqueda de la solución. Como curiosidad, en el programa de dibujo utilizado, el trazado de circunferencias con un radio muy pequeño, como las que se han mostrados en alguno de los dibujos del capítulo anterior, se produce la paradoja de que, al ser editados de nuevo los citados dibujos, las circunferencias se han transformado en... octógonos.
Las circunferencias se transforman en octógonos.
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Otras claves del dibujo de Leonardo. De entre las claves contenidas en el dibujo de Leonardo, sólo unas pocas han sido utilizadas para llegar a las conclusiones que ya se han mostrado en capítulos anteriores. Sin embargo, seguramente quedarán otras cuyo significado o interpretación pueden suscitar dudas, o también que no hayan sido correctamente interpretadas, incluso las habrá que han pasado desapercibidas. Una de las anotaciones en el dibujo dice: “Si abre tanto las piernas de forma que su altura disminuya en 1/14 y extiende los brazos, levantándolos hasta que los dedos medios estén a la altura de la parte superior de su cabeza, el centro de los miembros extendidos estará en el ombligo y el espacio que comprenden las piernas formará un triángulo equilátero.” ¿Cuál puede ser su significado real? Se retoma el dibujo de las figuras geométricas, una vez concluida la primera fase de la solución de Leonardo, vista en un capítulo anterior, en la que se muestran el cuadrado y la círculo del dibujo, más las dos circunferencias de trazado, con sus respectivos radios. 127
Con el compás se marca el punto medio (c) de la mitad inferior del lado del cuadrado que coincide con la marca de la figura humana situada a la altura de las rodillas. Desde este punto hasta la base, se marca el punto medio, trazando la línea equidistante de los puntos (c) y (d), de forma que el lado del cuadrado queda marcado en su cuarta parte Desde el centro del cuadrado (b) y pasando por cada uno de los dos extremos de la citada línea equidistante, se trazan las dos líneas hasta cortar la circunferencia, se unen sus extremos con una tercera línea, formando así los lados y la base de un triángulo equilátero. El dibujo queda como sigue:
x a b c d
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Retomando el dibujo de la figura humana, en el que el centro de la circunferencia (a) coincide con el ombligo, el centro del cuadrado (b) con el pubis, la posición de las piernas abiertas, coincidiría con las líneas del triángulo dibujado. Interpretando esta clave desde la óptica del trazado completo del dibujo, se podría resumir de una forma esquemática, como que podría ser la indicación de la clave para el trazado completo que hay que seguir en la realización del mismo, ya que la diferencia de las medidas de los radios de la circunferencia intermedia, con centro en (a) y la menor con centro en (b), es igual a 1/14 de la medida del radio de la circunferencia inicial, con centro en (x). La citada clave, señalaría pues la relación de proporciones que se precisa buscar: Partiendo de una circunferencia inicial, trazar un cuadrado y a partir de él, se ha de trazar una segunda circunferencia menor que determina la relación de medidas entre los radios de ambas circunferencias y el lado del cuadrado. Con la relación de los radios de estas dos circunferencias, se logra el objetivo que consistiría en localizar el centro y la medida del radio de una tercera circunferencia, en este caso con una medida intermedia entre ambas. 129
El octógono El trazado del octógono, sería la interpretación de una clave aparentemente simple, sugerida por las dos posiciones diferentes de los miembros superiores e inferiores de la figura humana: La posición horizontal‐ vertical y la posición transversal, cuyo significado podría estar referido a los ejes perpendiculares entre sí que dividen la circunferencia en ocho partes iguales. Uniendo los vértices de dichos ejes se forma un octógono. Desde cualquiera de sus vértices, se traza una línea hasta el vértice de un lado opuesto, dicha línea forma con ese lado un ángulo de 90º.
90º
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Dicha línea, junto con el lado del octógono y uno de los ejes, forman un triángulo rectángulo, cuyo significado se ha mostrado en otro capítulo anterior. La figura del octógono sería pues, una de las claves que indicaría cómo se pueden trazar múltiples cuadrados, a partir de una circunferencia.
El hexágono De la misma forma, la figura de un hexágono presenta la misma singularidad, es decir, desde el vértice de cualquier lado se traza una línea hasta el vértice de un lado opuesto, se forma un ángulo de 90º.
90º
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La figura humana del dibujo de Leonardo expresa una doble posición. La sugerencia de un octógono, o la división de la circunferencia en ocho partes iguales, parece resultar elemental. En anteriores capítulos hemos visto cómo en determinados dibujos, se puede utilizar dicha figura para iniciar las líneas de trazado de diferentes cuadrados. Sin embargo esta figura no resulta imprescindible para ello, puesto que esas líneas de trazado, también pueden ser realizadas desde otras figuras diferentes, como por ejemplo desde un hexágono, o incluso utilizando solo dos ejes. ¿Acaso puede tener algún otro significado más trascendente la figura de un octógono?
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La trisección de un segmento. Otra de las claves que puede valorarse como interesante para interpretar el dibujo de Leonardo, es la línea que aparece dibujada bajo el lado inferior del cuadrado, de forma paralela al mismo y que tiene su misma longitud, sobre la que hay una serie de marcas que parecen sugerir medidas, porque presentan unas divisiones iguales. El punto medio de dicha línea, marcado de una forma casi imperceptible, sobre la prolongación del eje vertical imaginario, ya se ha explicado su propósito, el cual sería el señalar el punto desde el que se relacionan las medidas de los radios de dos circunferencias de trazado, para obtener el centro y el radio de una tercera circunferencia, que es la que aparece visible en el dibujo. Pero surge la interrogante sobre el significado o propósito que pueden tener las mencionadas marcas o divisiones.
La línea está dividida en cuatro segmentos iguales. Los dos segmentos centrales no tienen ninguna marca y los otros dos situados en los extremos, tienen a su 133
vez unas marcas que los dividen en seis partes iguales cada uno. Las dos marcas exteriores en los segmentos de los extremos, presentan a su vez 4 pequeñas marcas iguales. Trasladando las mismas marcas a los dos segmentos centrales, la línea daría un total de 24 marcas. Si se tienen en cuenta las subdivisiones de las marcas de los extremos, cada segmento estaría subdividido a su vez en 24 marcas. Recordemos que esas cifras representan unas proporciones que han tenido una significativa trascendencia para el trazado del dibujo: 4‐6‐24. El producto de los 4 lados del cuadrado, por 6 radios de la circunferencia, da el producto de 24, lo que indica la proporción que han de guardar las medidas entre 1 lado y 1 radio. Como se ha señalado, la línea inferior tiene la misma medía que el lado del cuadrado. Si se traslada el total de divisiones (24) de la línea inferior, al lado del cuadrado, ¿qué significado podría tener el dividir el lado del cuadrado en 24 partes iguales? Resulta elemental dividir cualquier segmento en cuatro partes iguales, o en ocho, pero resulta más complejo realizar una división en seis partes iguales, o en tres. Con el propósito de mostrar en un capítulo posterior, un posible significado de la citada clave, se desarrollan a continuación los pasos que hay que seguir para realizar la división de un segmento cualquiera en tres partes iguales, utilizando un compás y una regla sin graduar. La división de un segmento en tres partes iguales, mediante la realización de mediciones o cálculos matemáticos, únicamente podría hacerse para aquellos 134
segmentos cuyas medidas fueran divisibles por 3, resultando imposible para el resto de medidas. Sin embargo y como se muestra a continuación, ejecutando un sencillo dibujo geométrico, dicha operación puede realizarse para cualquier segmento, cualquiera que sea la medida que tenga. Para ello, se han de ejecutar los pasos siguientes: 1. A partir de un segmento (a‐b), se traza una línea perpendicular sobre uno de sus dos extremos y se construye un triángulo rectángulo, de forma que dicho segmento sea uno de sus catetos. Son las líneas (b‐c), perpendicular al segmento y la hipotenusa (a‐c).
c
a
b 135
2. Con el compás se marca el punto medio (d) de la hipotenusa (a‐c). Desde este punto (d) se traza la línea hasta el vértice (b), para formar un triángulo (a‐d‐b). Sobre esta línea (d‐b), con el compás, se vuelve a marcar el punto medio (e).
c d e a
136
b
3. Desde el vértice superior del triángulo rectángulo (c) y pasando por el punto (e), se traza la línea hasta cortar el segmento en el punto (f). Dicho punto (f) marca exactamente un tercio de la longitud del segmento (a‐b). Desde este nuevo punto (f) como centro y con el compás, se toma la medida (f‐b) y se traslada sobre el segmento marcando un nuevo punto (g). Desde este nuevo punto (g) y con la misma medida (f‐b), se verifica que es igual a la medida (a‐g) y (g‐f).
c d e a
g
b
f
El segmento inicial (a‐b) ha quedado dividido en tres partes iguales: (a‐g) = (g‐f) = (f‐b). 137
El segmento del ejemplo trazado al azar, tiene una medida de 152,3929 milímetros y cada una de sus tres partes en que ha sido dividido mide, según el programa informático 50,7976 milímetros. Efectuar la trisección de un segmento, es una característica o propiedad específica que tienen los triángulos rectángulos, a partir de los cuales, marcando el punto medio de la hipotenusa y repitiendo la misma operación sobre el lado del triángulo que se forma uniendo con una línea dicho punto medio con el vértice del lado opuesto, es posible dividir cualquiera de los dos catetos en tres partes iguales.
138
16
Trazado de una circunferencia a partir de un cuadrado. De la misma forma que en un capítulo anterior, hemos visto como se traza un cuadrado a partir de una circunferencia, con la proporción de las medidas de un lado igual a 1,5 radios, resulta también posible trazar una circunferencia en la forma inversa, es decir, partiendo de un cuadrado y guardando esa misma proporción. Recordemos que la relación de proporciones se establece a partir de que la medida o suma de 6 radios de la circunferencia, sea igual a la medida o suma de 4 lados del cuadrado. Dividiendo 6 entre 4, el resultado es 1,5 que es la proporción que se ha utilizado para trazar un cuadrado a partir de una circunferencia. Si se hace el mismo cálculo a la inversa, es decir, dividiendo 4 entre 6, se obtiene un valor numérico indefinido de 0,66666666…, lo que significa que, desde la óptica aritmética, resultaría imposible precisar con exactitud el radio para ejecutar el dibujo propuesto. Al menos para todos aquellos supuestos en que la medida del lado no sea múltiplo de 6. La solución, cualquiera que sea la medida del lado utilizada, únicamente puede realizarse obteniendo las proporciones señaladas de una forma analógica, es decir, utilizando un compás. 139
Recordemos que la línea situada paralela a la parte inferior del cuadrado, en el dibujo de Vitruvio, está dividida en cuatro partes iguales y a su vez, cada una de esas partes está subdividida en otras 6 partes iguales. El total de marcas sería igual el producto de 4 por 6, en total 24 partes. Con estas 24 partes, es posible calcular la relación de proporciones para obtener el centro y el radio de la circunferencia que se ha de trazar. Dicha relación se calcula dividiendo 24 entre 1,5 con lo que se obtiene un resultado de 16 partes. El radio de la circunferencia será la 16/24 parte del lado del cuadrado. Por tanto, para obtener la medida del radio a partir del lado del cuadrado, es preciso efectuar una división del mismo en 24 partes iguales, ejecutando los pasos siguientes: 140
1. Se divide el lado del cuadrado en 8 partes iguales, marcándolas sucesivamente sobre un eje vertical central, trazado sobre la mitad del cuadrado. 8 7 6 5 4 3 2 1
Para obtener las 24 partes, habría que dividir en tres partes iguales cada una de las 8 subdivisiones, utilizando el método de trisección de un segmento, presentado en un capítulo anterior.
141
2. Con objeto de abreviar el trazado, ya que únicamente es preciso localizar la marca número 16, la trisección se ha de realizar sobre el segmento de la subdivisión número 6, que es donde se halla situado el punto correspondiente a la 16/24 parte de la medida del lado. Para ello se ejecutan los pasos ya mencionados: Con la línea perpendicular al segmento se forma un triángulo rectángulo, se marca el punto medio de la hipotenusa, se forma un nuevo triángulo y sobre esa línea se vuelve a marcar el punto medio. Por dicho punto se traza la línea desde el vértice que marca un tercio sobre el segmento.
6
Una vez realizada la trisección, la medida resultante se trasladaría al resto de las subdivisiones, verificando que el lado ha quedado dividido en 24 partes iguales.
142
3. Como se ha señalado, de las 24 partes iguales, el centro de la circunferencia que buscamos se localiza en la marca número 16. Tomando con el compás la medida del radio, desde dicha marca 16 hasta el punto medio del lado inferior del cuadrado, se traza la circunferencia que guarda exactamente la proporción buscada:
6 1 marca 3 marcas
12 marcas
El lado del cuadrado es igual a 1,5 radios.
143
En el dibujo de este ejemplo, el lado del cuadrado tiene una medida de 452,4150 centímetros, y el radio de la circunferencia mide 301,6100 centímetros. Si se multiplica la medida del lado por 4, ó la del radio por 6, el resultado es el mismo en ambos casos: 1.809,6600 centímetros. Este ejemplo resultaría imposible de realizar manualmente, tratando de hacer el dibujo a partir de mediciones hechas con una regla milimetrada. Por otra parte, el dibujo trazado resulta bastante complejo de realizar. Por ello, es oportuno ver que el mismo resultado se puede obtener de una forma más sencilla y rápida, realizando la división en tres partes iguales, directamente sobre el lado del cuadrado, ya que el radio de la circunferencia objeto del dibujo, es igual a las dos terceras partes de dicho lado. Las fases para obtener el mismo resultado, se realizan como sigue: 1. Se traza un eje vertical (c‐x) por el centro del cuadrado. Desde el punto superior de dicho eje (c), se traza la línea hasta el vértice inferior derecho (e), formando la hipotenusa de un triángulo rectángulo (c‐ x‐e). 2. Sobre la hipotenusa (c‐e) se marca el punto medio (1). Desde dicho punto se traza la línea hasta el punto inferior del eje central (x) formando un triángulo (1‐x‐e). Sobre esa línea (1‐x) se marca el punto medio (2). 144
3. Desde el vértice inferior izquierdo (e), se traza la línea que pasa por el punto (2) hasta cortar el eje vertical en un punto (a). Dicho punto marca la tercera parte de dicho eje que es la tercera parte del lado del cuadrado. 4. Con la medida de esa tercera parte (a‐x) como radio, con el compás, desde (a) se marca el punto (b) que es el centro de la circunferencia buscada. Desde dicho punto (b), se traza la circunferencia con radio igual a la distancia (b‐x), hasta el punto inferior del lado del cuadrado. El resultado es la siguiente figura:
d c
b a
x
1 2 e
Trisección del lado de un cuadrado.
Las medidas correspondientes a las cuatro divisiones son iguales: (x‐a) = (a‐b) = (b‐c) = (c‐d). 145
Con este ejemplo elemental, se muestra cómo es posible trazar cualquier circunferencia a partir de un cuadrado, con la relación de proporciones señalada, realizando el mismo dibujo que al trazar el cuadrado a partir de la circunferencia, pero en forma inversa. Es posible que fuera este un significado que Leonardo quiso transmitir en su dibujo. Un significado cuya explicación pone de relieve la relación de proporciones que existe entre dos circunferencias de trazado y un cuadrado. De una forma simple, lo que se pretende mostrar es que resulta posible realizar el trazado de las figuras geométricas del dibujo de Leonardo en los dos sentidos, es decir, partiendo de una primera circunferencia de trazado para obtener el cuadrado y de éste, la segunda circunferencia de trazado y la circunferencia final, o de forma inversa, partiendo de la segunda circunferencia de trazado, se obtiene el cuadrado de Leonardo y de éste la primera circunferencia de trazado y la circunferencia final. En cualquier caso, lo interesante es plantear si la interpretación de esta clave, como la forma de establecer que esta relación de proporciones entre tres circunferencias y un cuadrado, pudo haber tenido una trascendencia muy especial en épocas remotas de la antigüedad. 146
17
El significado de las dos circunferencias de trazado. En un capítulo anterior, referido a las fases que han de ser ejecutadas en el desarrollo del dibujo de El Hombre de Vitruvio, se mostraba porque es preciso utilizar dos circunferencias de trazado, cuyas medidas, proporciones y referencias, aparecen señaladas entre las claves del propio dibujo El significado de esas dos circunferencias de trazado, parece ser la posibilidad de establecer la relación de proporciones que guardan la circunferencia y el cuadrado, tal como los vemos en dicho dibujo. Sin embargo, faltaría por comprender que razones o motivos, pudo haber tenido Leonardo para utilizar dichas relaciones, o dicho de otra manera, con el propósito de cuestionar sobre si la utilización que de ellas hizo Leonardo, fueron fruto de sus propias reflexiones y trabajos, o si lo fueron como consecuencia de haber tenido acceso a determinados conocimientos mucho más antiguos. Recordaremos a continuación como es su trazado. 147
La primera circunferencia de trazado, es la representada en la siguiente imagen con centro en (a) y radio (a‐c).
Primera circunferencia de trazado.
Es la circunferencia que se traza inicialmente y su objetivo es el de obtener la medida del lado de un cuadrado que, como ya se señaló en un capítulo anterior, guarde la proporción de que su lado sea igual a la medida de 1,5 radios de dicha circunferencia. 148
La referida proporción puede verificarse en esta otra imagen, en la que se ha trazado la circunferencia haciéndola coincidir con la base del cuadrado, de forma que puede comprobarse que las medidas coinciden: el lado es igual a 1,5 radios.
El lado del cuadrado es igual a 1,5 radios.
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La segunda circunferencia de trazado, se obtiene una vez trazado el cuadrado, dividiendo los lados en 4 partes iguales cada uno, lo que uniendo con líneas dichos puntos con sus opuestos, determina formar 16 pequeños cuadrados interiores. El centro de dicha circunferencia es el mismo que el del cuadrado (b) y el radio es la distancia hasta cualquiera de esos 8 puntos intermedios.
150
Segunda circunferencia de trazado.
La referencia a los ejes horizontal, vertical y los transversales, que son perpendiculares entre sí, todos ellos son coincidentes tanto para la circunferencia como para el cuadrado. Dichos ejes dividen a la circunferencia en ocho partes iguales, formando un octógono, una figura que también podría guardar algún tipo de relación muy significativa con el resto de las figuras.
Circunferencias de trazado, el cuadrado y el octógono.
151
Una observación detallada sobre la relación de proporciones utilizadas por Leonardo, pone de relieve un dato aparentemente extraño: La longitud de una circunferencia es el producto de 2PI por el radio. Expresando esto de una forma desglosada, es como decir que la longitud de una circunferencia es igual al producto de 6 radios, más el factor proporcional de PI. Dicho factor correspondería al producto de 2 por los valores decimales de dicha constante, o lo que, expresado de una forma más simple, es el producto de 0,2832... por 1 radio. En la relación de proporciones que se están resaltando, resulta evidente que las medidas utilizadas son siempre el valor entero de “6 radios”, o su valor absoluto, lo que significa “no tener en cuenta” el valor decimal de dicho factor de PI, lo que en la práctica significa “despreciar” los valores decimales de la constante PI. Sobre las posibles interpretaciones de la relación de proporciones que se han comentado en este capítulo, surgen múltiples interrogantes, sobre porqué las utilizó Leonardo da Vinci en el dibujo. ¿Descubrió Leonardo estas relaciones como consecuencia de los numerosos trabajos y dibujos que al parecer realizó, buscando la solución al problema de la cuadratura del círculo? ¿Acaso llegó a tener conocimiento de ellas a través de documentos o informaciones a los que tuvo acceso? ¿Podrían tener algún otro significado la relación de proporciones entre ambas figuras geométricas?
152
¿Tuvieron alguna transcendencia o fueron utilizadas las proporciones indicadas, en otras épocas remotas de la antigüedad? Son interrogantes de difícil respuesta, pues no parece que existan documentos o testimonios en que apoyar este razonamiento. Sin embargo, la última interrogante si permite, de alguna forma, plantear algunas hipótesis, en busca de posibles respuestas. “Leonardo muestra a través de sus dibujos su maestría en la composición, claridad de expresión y fundamentalmente un profundo conocimiento de la antigüedad romana, sus investigaciones sobre los textos de Vitruvio y la geometría, permite asegurar que tenía un intenso conocimiento sobre la ciencia antigua y sus enseñanzas”. Es preciso recordar finalmente, de que aunque las dos circunferencias de trazado, se representen de forma completa en todos los dibujos que se han utilizado, en realidad se corresponden a marcas o medidas que se toman con el compás y que, una vez trasladadas sobre el eje vertical, sirven para obtener un único círculo y un único cuadrado. La relación de las medidas entre los radios de estas dos circunferencias de trazado y la medida del lado del cuadrado, son las relaciones utilizadas por Leonardo para calcular el centro y la medida del radio de una tercera circunferencia final, propósito de dicho dibujo. 153
También y tal como se ha visto en un capítulo anterior, la secuencia completa del trazado del dibujo de Vitruvio puede realizarse en los dos sentidos, es decir, partiendo de la circunferencia inicial mayor, obtener el cuadrado y a partir de éste la circunferencia menor y a la inversa. La circunferencia y el cuadrado, trazados con un método semejante, podrían haber sido utilizados en la antigüedad, más concretamente en Egipto, para el diseño de los esquemas utilizados en la construcción de un significativo número de pirámides que reflejan en sus medidas, una relación de proporciones semejantes a las que hasta aquí se han puesto de relieve.
154
SEGUNDA PARTE
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156
18
Un mito del antiguo Egipto.
Diferentes inclinaciones de las pirámides.
Todo este trabajo comenzó con motivo de un artículo publicado en una revista, sobre las pirámides de la meseta de Gizeh, en el que aparecía una fotografía que mostraba las cinco pirámides, con una perspectiva en la que destacaba con cierta evidencia que las dos pirámides mayores y más famosas de Egipto, tenían unas inclinaciones distintas de sus caras, siendo que las medidas y el tamaño de ambas, son muy similares. Se trata de las pirámides de los faraones Kefrén y Keops. Comparando los ángulos de inclinación de dichas pirámides, se puede verificar que la pirámide de Kefrén tiene un ángulo de 53º 07' 48'', mientras que el de la pirámide de Keops es de 51º 50' 32''. Apenas algo más de un grado de diferencia, no es sino un pequeño detalle que suele pasar fácilmente desapercibido, o al que apenas se da importancia, cuando se leen textos donde figuran este tipo de datos. 157
Este detalle tan simple, fue el origen de una inquietud que me llevó a tratar de averiguar si podría haber alguna causa que motivara esta diferencia, a la que habitualmente en los libros que tratan temas de egiptología, no se le da ningún significado, ni mayor importancia que no sea la de simple información sobre dichos datos. La realización de diversos dibujos para el análisis y la comparación de las medidas de ambas pirámides, determinó el profundizar en una hipótesis sobre si habrían sido construidas utilizando de alguna forma, una posible relación con la circunferencia. En muchos de los libros que tratan sobre la Gran Pirámide de Keops, se cita frecuentemente que la constante PI está contenida en las medidas de dicha pirámide, por lo que se le atribuye esa relación con la circunferencia. 158
La circunstancia de constatar que, de alguna forma, parecía existir algún tipo de relación entre la circunferencia y las proporciones de algunas de las pirámides, fue lo que motivó mi curiosidad para relacionar los datos obtenidos con el problema de la cuadratura del círculo, ya que históricamente, el conocimiento de dicho problema se remonta hasta la época de los antiguos egipcios. Como consecuencia de haber encontrado posibles relaciones entre la circunferencia y el trazado de las pirámides, y de forma especial con el cuadrado que forma la base de las mismas, finalmente determinó el dirigir la atención sobre el dibujo de Leonardo da Vinci, el Hombre de Vitruvio, ya que en el mismo, destacan espacialmente ambas figuras geométricas y en el que, según opiniones diversas a las que puede accederse a través de páginas web en Internet, podría ocultarse la solución del problema. La sorpresa se produjo al comprobar que, al realizar algunas mediciones de las figuras geométricas, sobre una imagen impresa por ordenador del citado dibujo, puso de manifiesto la relación de proporciones semejantes a las que se daban en algunas pirámides de Egipto. Unas proporciones que fueron la llave para interpretar algunas de las claves que permiten desentrañar y comprender el trazado y el objetivo del dibujo de Da Vinci. 159
Resultaría muy ilusionante poder completar este trabajo, aportando algún indicio o prueba que vinculara el problema de la cuadratura del círculo con los antiguos egipcios. Poder aportar algo más que la simple ilusión de creer que el enunciado de dicho problema fue realmente obra de los constructores de las pirámides de Egipto, y más aún, que aquellos hubieran conocido la solución. Realmente, no resulta posible encontrar entre las innumerables y grandiosas obras que legaron los antiguos egipcios, ninguna alusión, ni en relieves ni en papiros, o tablas, o textos, sobre la forma en que fueron diseñadas las pirámides, o a la existencia de planos o datos sobre la realización de dichas construcciones. No se conoce pues, la existencia de alguna información que permitiera establecer una hipótesis que fuera algo más que una suposición o creencia, de que el problema de la cuadratura del círculo tuviera alguna relación con dichas construcciones. Durante los últimos siglos se vienen realizado numerosas excavaciones arqueológicas, así como estudios muy exhaustivos sobre la cultura egipcia y en la actualidad se siguen publicando numerosas obras con informaciones y datos que van revelando los nuevos descubrimientos que se siguen llevando a cabo. Resulta difícil encontrar dibujos, grabados o pinturas que sirvan como referencia para algo más que no sea destacar simples detalles, ya que son escasos los restos que muestran en alguna forma que la circunferencia y el cuadrado, eran habitualmente utilizados por los egipcios. 160
A pesar de ello se pueden mencionar algunos hallazgos en los que destacan aquellos detalles que, a modo de simple curiosidad, pueden ser tomados como ejemplo. En Internet, se pueden visitar numerosas páginas web dedicadas a Egipto y la egiptología, algunas de las cuales están extraordinariamente documentadas y que ofrecen gran cantidad de informaciones de todo tipo, fotografías y estudios sobre el maravilloso mundo de los egipcios que, después de miles de años, siguen causando una gran admiración. Como se ha dicho, por simple curiosidad, se reflejan a continuación dos ejemplos, en los que se pueden observar algunos detalles sobre el círculo o el cuadrado, utilizados para la realización de dibujos o decorados en templos o tumbas egipcias. El propósito de estos ejemplos, es mostrar que los egipcios utilizaban de alguna forma, diseños o planos para la realización de la mayoría de sus obras arquitectónicas y decorativas. Por desgracia no existe constancia sobre la supuesta existencia de planos de los templos y especialmente de las pirámides, aunque es posible encontrar algunas alusiones sobre los mismos, en obras o comentarios de algunos egiptólogos. Los antiguos egipcios solían utilizar habitualmente el procedimiento de cuadricular todos sus trabajos, de forma que los dibujos a pequeña escala, podían ser reproducidos al tamaño que desearan. Los decorados de las paredes en las tumbas, los relieves o las pinturas, eran copiados de esa forma, a escala de los dibujos cuadriculados que previamente se habrían realizado sobre papiros o tablas. 161
Entre los hallazgos encontrados en la tumba de Djehuty, un destacado dignatario de la reina‐faraón Hatshepsut, esposa del faraón Tutmosis II, se encuentran unos fragmentos de la que se ha llamado “tabla del aprendiz”, en la que aparecen representados dos dibujos o retratos de un faraón egipcio. Uno de ellos está dibujado con trazos firmes y perfectos, mientras que el otro presenta trazos dubitativos o toscos.
“Tabla del aprendiz”
Ambos dibujos o retratos están divididos por unas cuadrículas, lo que significa que se trataba de un ejercicio para un discípulo que copiaba el trabajo dibujado por su maestro. La mencionada tabla se halla en el Museo de Luxor y puede verse a través de Internet en la página web de Amigos de la Egiptología, en la siguiente dirección: http://www.egiptologia.com/content/view/600/101/ 162
Otro ejemplo corresponde a una decoración encontrada en la tumba de Senenmut, un destacado personaje al que se atribuye que tuvo un gran poder, considerado como un arquitecto real y canciller, también relacionado con la reina ya citada Hatshepsut. Se trata de un plano astronómico que decora el techo de su cámara funeraria. Es una reproducción de las constelaciones del hemisferio norte y una tabla astral para medir los movimientos celestes de algunos planetas del sistema solar.
Esquema de las 12 circunferencias del techo de la tumba de Senenmut.
De la decoración destaca lo que es considerado como un calendario lunar, compuesto por doce circunferencias distribuidas sobre el techo, tal como figuran representadas de forma esquemática en la imagen anterior. Destaca el detalle de que algunas de dichas circunferencias están claramente enmarcadas o circunscritas por cuadrados dibujados en color rojo. Con toda probabilidad, este detalle indica que el decorado fue copiado a partir de algún dibujo o esquema realizado a modo de plano que sirvió de 163
referencia para trasladar las mismas medidas y proporciones. Destaca de forma especial el detalle, de que todas las circunferencias están divididas en 24 partes iguales, por 12 diámetros perfectamente trazados. La información referida a este descubrimiento puede verse a través de diversas páginas web, de las que se destaca la siguiente: http://www.geocities.com/antologia_hermes/018egip cio.htm Existen algunos papiros en los que se recogen datos referidos a matemáticas y geometría, además de otras diversas narraciones. De entre ellos, destaca el Papiro de Rhind que se conserva en el Museo Británico de Londres. Su autor fue el escriba Ahmés, hacia el año 1650 a. de C. copiado de otros escritos de unos 300 años más antiguos, como el propio autor reconoce. El papiro de Rhind comienza con la frase: "Cálculo exacto para entrar en el conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios”. Dicho papiro constituye una de las mayores fuentes de información sobre matemáticas que se conoce de los antiguos egipcios. Está escrito en hierático y está compuesto por el planteamiento de ochenta y siete problemas con sus respectivas soluciones. Recoge información referida a cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, 164
reglas de tres, repartos proporcionales, ecuaciones lineales y trigonometría básica”. De entre los problemas que recoge, se destacan algunos por considerar que tienen alguna relación con el propósito perseguido en este capítulo. “El problema número 48, cuyo enunciado es: Comparar el área de un círculo con la del cuadrado circunscrito. La resolución es como sigue: El escriba considera un círculo de diámetro igual a 9 y calcula su área como la de un cuadrado de lado 8. Obtiene así un valor de 64. Según se ve en la figura del problema, en un cuadrado de lado 9, se dividen los lados en tres partes iguales formando luego un octógono. Ahmés elimina los triángulos formados en los vértices del cuadrado. El área del octógono es igual a 63.” “El problema número 50 plantea el cálculo del área de un círculo. El enunciado es: Calcular el área de un campo circular cuyo diámetro es 9. En la resolución de este problema, Ahmés se limita a calcular el área del círculo considerándolo igual a la de un cuadrado de lado 9. Dice: Resta al diámetro 1/9 del mismo, que es 1. La diferencia es 8. Ahora multiplica 8 veces 8, que da 64. Este es el área del círculo". “El problema número 56, plantea el cálculo de la pendiente de una pirámide, mediante la relación de las medidas verticales y horizontales. El enunciado de este problema es: ¿Cuál es la inclinación de la cara de una pirámide de 250 codos de altura y 360 codos de lado en la base? 165
La resolución consiste en que la pendiente es obtenida al poner verticalmente en codos y medir horizontalmente en palmos y dedos”. “En el problema número 57, se plantea al cálculo de la altura de una pirámide, conocidos la inclinación y la medida de la base”.
Con el detalle de estos breves ejemplos, se pretende dejar una pequeña constancia reflejando que desde hace más de 4000 años, los egipcios tenían conocimientos de ciencias entre las que destacan la Astronomía, las Matemáticas o la Geometría, y que realizaban cálculos relacionados con el cuadrado, con el círculo y con las pirámides. También existe la probabilidad de que dichos conocimientos fueran recogidos en papiros o tablas, de los que la mayoría se perdieron en la antigüedad, o que muchos fueran considerados como “conocimientos sagrados” y por ello, mantenidos cuidadosamente ocultos. En aquella época, eran precisamente los arquitectos, los ingenieros, en suma los sacerdotes, los que detentaban el poder y el saber y los que conocían todos los métodos y “secretos tecnológicos” que debían mantenerse alejados del conocimiento de los profanos. Alguna teoría extendida entre determinados historiadores y esotéricos, defienden la existencia de una “leyenda” sobre un posible “archivo central de los egipcios”, en el que se encontrarían numerosos e importantes papiros y escritos que explicarían los muchos misterios que permanecen sin desvelar. 166
“Edgar Cayce, notable psíquico y vidente norteamericano, fallecido en 1945, llegó a precisar la ubicación exacta de dicho archivo, en algún pasadizo secreto situado entre la Esfinge y la Gran Pirámide, así como también pronosticó la fecha en que serían encontrados: 1998. Según Cayce, en dicho año se descubriría bajo la pata derecha de la Esfinge la entrada a una sala en la que se encontrarían objetos y documentos procedentes de una civilización anterior que transmitió a la civilización egipcia su sabiduría. Por supuesto que la “profecía” no se cumplió y hasta la fecha no se ha encontrado ningún pasadizo y mucho menos unos archivos o documentos, aunque ciertamente varios equipos de arqueólogos buscaron esa presunta sala bajo la Esfinge”. Hace algunos años, Zahi Hawass, la más alta autoridad en arqueología egipcia auguraba, en una entrevista que se le hacía en una publicación, sobre posibles nuevos descubrimientos por realizar en la pirámide de Keops. Concretamente, se habría descubierto en dicha pirámide una cámara vacía, a la que se accedería a través de un estrecho canal de ventilación de unos 65 metros que partiendo de la Cámara de la Reina, finalizaba en lo que parece ser una puerta con dos pequeños picaportes de bronce. En este sentido, manifestaba: “Tras esa puerta podríamos hallar una habitación vacía que, dadas las numerosas modificaciones que sufrió el proyecto de la pirámide, quedó inacabada. Con suerte, descubriríamos papiros, tal vez justo aquellos que 167
relatan las vicisitudes para la construcción de la pirámide. Para la Ciencia, la Historia y, sobre todo, la Arqueología, sería un tesoro verdaderamente precioso”. La falta de documentos o planos, sobre cómo fueron diseñadas las pirámides, no debería significar ningún obstáculo para suponer su existencia. Para la obtención de las distintas medidas, líneas, aristas, pendientes, así como para la ubicación espacial de los pasadizos y de las cámaras interiores, etc., resultaría imprescindible realizar unos diseños, o dibujos, o bocetos a modo de planos, a partir de los cuales hacer los cálculos, verificar las proporciones y las medidas necesarias para la supervisión de las obras, conforme se ejecutaran las construcciones. Aunque no se hayan encontrado las citadas referencias, lo que sí es evidente, es que la mejor información de que se dispone se halla escrita sobre las piedras, en la gran cantidad de obras artísticas y arquitectónicas, en forma de relieves, pinturas y jeroglíficos que en esta forma, se recogen una gran parte de la historia y de los conocimientos de los antiguos egipcios. Y de una forma muy especial, precisamente las piedras constituyen el mayor y más valioso legado de aquella civilización. Y si algo destaca por la utilización más grandiosa que hicieron de las piedras, son las pirámides. Acaso sería una casualidad demasiado grande, el que en dichas construcciones estuviera reflejada una posible relación con el mítico problema. 168
19
El diseño de las pirámides. ¿Utilizaron los egipcios la circunferencia en la construcción de las pirámides? ¿Existe alguna relación entre la circunferencia y la pirámide que los constructores egipcios podrían haber utilizado para el diseño de algunas pirámides? No resulta aventurado responder afirmativamente a estas interrogantes, ya que todas las medidas de una pirámide regular perfecta, se pueden obtener a escala utilizando una circunferencia, a partir de la cual se realiza el diseño de un plano o esquema, de lo que sería la apariencia extendida de la pirámide, del cual se pueden obtener las medidas de sus líneas, como los lados de la base, las aristas, la altura, los ángulos de las pendientes, etc. Resultaría ser una sorprendente coincidencia, y debería ser algo más que una simple casualidad, pero es un hecho que dicha relación existe y viene a resultar que está determinada por las mismas secuencias y proporciones que utilizó Leonardo da Vinci, en el trazado de las figuras geométricas del dibujo de El Hombre de Vitruvio. Para dibujar el esquema de un plano, con la base y las caras extendidas de una pirámide, los pasos necesarios serían como siguen: 169
1. Se traza una circunferencia y los dos ejes, el horizontal y el vertical. A continuación se dibuja un cuadrado, con la misma relación de proporciones que ya conocemos, es decir, la suma de los 4 lados del cuadrado, ha de ser igual a la suma de 6 radios, por lo que el lado del cuadrado es igual a 1,5 radios. Se marca el punto medio del radio (b) sobre la parte superior del eje vertical. El lado del cuadrado tiene la medida de un radio y medio (b–c).
b
a
c 170
2. Para realizar el trazado que se persigue, es preciso dibujar el cuadrado con el mismo centro que la circunferencia, para lo cual se vuelve a marcar el punto medio (b1) que es la cuarta parte del radio. Con la medida de la mitad del lado (a–b1) se marcan los puntos y vértices por los que se traza el cuadrado.
d b1 b
a
c
171
3. Se dividen los lados del cuadrado en cuatro partes iguales cada uno. Se trazan las líneas entre los puntos opuestos de dichas divisiones, formando 16 cuadrados interiores. Los cuatro cuadrados centrales, forman a su vez un cuadrado, cuyo lado mide la mitad que el cuadrado inicial. Dicho cuadrado central es la base de una pirámide. b1
b
a
c Los cuatro cuadrados centrales son la base de una pirámide.
172
4. Desde cada uno de los vértices del cuadrado central o base, se trazan las líneas hasta los puntos donde los ejes horizontal y vertical se cortan con la circunferencia, formando cuatro triángulos iguales que son las caras de una pirámide.
b1 b a
c
Esquema del plano de una pirámide a partir de la circunferencia.
173
5. El dibujo resultante es el esquema del plano de una pirámide extendida, de sus caras y su base, a partir del cual se pueden obtener a escala, todas sus medidas. Los lados de la base, las aristas, las diagonales y la altura, así como los ángulos de las pendientes.
arista
h radio
1/2 lado
apotema
lado
Esquema del plano de una pirámide y detalle de la altura.
Con este sencillo diseño, la altura de la pirámide resulta ser igual a la mitad de un radio de la circunferencia utilizada. Además, guarda la misma proporción que ya conocemos, respecto del lado del cuadrado de la base, es decir, la altura es igual a un lado multiplicado por 4 y dividido por 6. 174
La altura se obtiene mediante un sencillo trazado con un compás, trasladando la medida de la apotema, sobre una línea vertical al centro del cuadrado, como puede verse en estos dibujos.
b
a
a l t u r a
1/2 lado
apotema
Detalles del cálculo de la altura de una pirámide.
175
El dibujo desarrollado, se corresponde con el de un esquema o plano que guarda una relación muy especial de proporciones, ya que las medidas de todas sus líneas a escala, coinciden exactamente con las medidas reales de la pirámide de Kefrén, además de otras diversas pirámides en Egipto. Relación de proporciones en las medidas. La relación en las proporciones utilizadas para el trazado de este diseño o plano, es el mismo que el utilizado por Leonardo da Vinci en el trazado de su dibujo. Las citadas proporciones que se determinan entre la circunferencia y el cuadrado, son las mismas que las utilizadas en el diseño y construcción de algunas pirámides de Egipto. Radio: La suma de la medida de la mitad del lado de la base más la apotema de una de las caras, es igual a la medida del radio de la circunferencia inicial utilizada para su trazado. El radio es también igual a la medida del lado del cuadrado, multiplicado por 4 y dividido por 6. Altura: Es igual a la medida del lado del cuadrado de la base, multiplicado por 4 y dividido por 6. También es igual a la medida del Radio dividido por 2. 176
Pirámides que tienen la misma relación de proporciones expresadas. Con la misma relación de las proporciones expresadas, entre el radio de una circunferencia y la altura de una pirámide, pudieron haber sido diseñadas y construidas un determinado número de pirámides, como las que se relacionan en el cuadro siguiente, con excepción de la de Keops, cuyas medidas se detallan, responden al mismo diseño, de una forma exacta en varias de ellas, o muy aproximada en otras.
Pirámides diseñadas a partir de la circunferencia.
177
En el cuadro se recogen las medidas reales de las pirámides relacionadas, en las cuatro columnas de la izquierda. Las medidas o valores que figuran en las tres columnas de la derecha, “Suma”, “Radio” y “Altura” son el resultado de unos cálculos. La columna “Suma” refleja la suma de la apotema más la mitad del lado de cada pirámide. La columna “Radio” refleja la medida del lado del cuadrado inicial que es exactamente el doble que la medida del cuadrado de la base, multiplicado por 4 y dividido por 6. Los datos de las citadas columnas han de ser prácticamente coincidentes entre sí. La columna “Altura” refleja la medida calculada, del lado del cuadrado de la base multiplicado por 4 y dividido por 6. Dicha medida es también igual a la mitad del radio. Estas medidas son coincidentes o muy aproximadas respecto de las medidas reales que figuran en la tercera columna. Los resultados reflejados sugieren la posibilidad de plantear una hipótesis, referida a que un importante número de pirámides en Egipto, pudieron haber sido diseñadas utilizando un mismo sistema o modelo de planos, basado en la relación de proporciones que se dan entre el radio de una circunferencia, el lado de un cuadrado y las medidas de una pirámide . 178
20
Los planos de las pirámides. Las pirámides de Egipto han causado fascinación durante muchos siglos a todos aquellos viajeros que las han contemplado. Impresionan por su grandeza y también por la perfección de sus líneas, cualquiera que sea la perspectiva con la que son observadas. Es evidente que tanto las pirámides como cualquier otra forma de construcción, han de tener su origen a partir de unos planos, en los cuales se recogen las formas, los volúmenes, los espacios interiores y las dimensiones. Las proporciones con las que los antiguos egipcios realizaron sus construcciones, parecen estar reflejadas en los textos del arquitecto romano Vitruvio, cuya obra fue escrita en el siglo I a. de C., recoge importantes conocimientos de la arquitectura antigua, de los cuales algunas de las referencias sin duda que se remontaban a varios siglos o milenios anteriores a su época. La siguiente cita se destaca por la referencia que Vitrubio hace de la simetría que han de guardar los templos, porque si existen unos monumentos que guardan una simetría perfecta, esos son las pirámides. Vitruvio en su Libro Tercero de Arquitectura, en el que trata del origen de las medidas de los templos, describe lo siguiente: “La composición de los Templos depende de la simetría, cuyas reglas deben tener siempre presentes los Arquitectos. Ésta nace de la proporción que los Griegos 179
llaman analogía. La proporción es la conmensuración de las partes y miembros de un edificio con todo el edificio mismo, de la cual procede la razón de simetría. Ni puede ningún edificio estar bien compuesto sin la simetría y la proporción, como lo es un cuerpo humano bien formado. Compuso la naturaleza el cuerpo humano de suerte, que su rostro desde la barba hasta lo alto de la frente y raíz del pelo es la décima parte de su altura. Otro tanto es la palma de la mano desde el nudo de la muñeca hasta el extremo del dedo largo. Toda la cabeza desde la barba hasta lo alto del vértice ó coronilla es la octava parte del hombre. Lo mismo es por detrás, desde la nuca hasta lo alto. De lo alto del pecho hasta la raíz del pelo es la sexta parte; hasta la coronilla la cuarta. Desde lo bajo de la barba hasta lo inferior de la nariz es un tercio del rostro; toda la nariz hasta el entrecejo otro tercio; y otro desde allí hasta la raíz del pelo y fin de la frente. El pie es la sexta parte de la altura del cuerpo; el codo la cuarta; el pecho también la cuarta. Todos los otros miembros tienen también su conmensuración proporcionada; siguiendo la cual los célebres Pintores y Estatutarios antiguos se granjearon eternas debidas alabanzas. Del modo mismo, pues, los miembros de los Templos sagrados deben tener exactísima correspondencia de dimensiones de cada uno de ellos a todo el edificio. Así mismo el centro natural del cuerpo humano es el ombligo; pues tendido el hombre supinamente, y abiertos brazos y piernas, si se pone un pie del compás en el ombligo, y se forma un círculo con el otro, tocará los extremos de pies y manos. Lo mismo que en un círculo sucederá en un cuadrado; porque si se mide desde las plantas a la coronilla, y se pasa la medida transversalmente a los brazos tendidos, se hallará ser la 180
altura igual a la anchura, resultando un cuadrado perfecto. Luego si la naturaleza compuso el cuerpo del hombre de manera que sus miembros tengan proporción y correspondencia con todo él, no sin causa los antiguos establecieron también en la construcción de los edificios una exacta conmensuración de cada una de sus partes con el todo. Establecido este buen orden en todas las obras, le observaron principalmente en los Templos de los Dioses, donde suelen permanecer eternamente los aciertos y errores de los artífices. Tomaron así mismo de los miembros del cuerpo humano la variedad de medidas, tan necesarias en las obras, como el dedo, palmo, pie y codo, y las distribuyeron en número perfecto, que los Griegos llaman teleion. ...... También hicieron perfecto al número seis, por haber advertido que el pie del hombre era la sexta parte de su altura; y que el codo constaba de seis palmos, a saber, 24 dedos” Architectura de M. Vitruvio. Libro III Capítulo I. De la composición y simetría de los Templos. El texto completo al que pertenece esta referencia puede verse en la dirección de la página web: http://www.cervantesvirtual.com/servlet/SirveO bras/56812842103436117565679/index.htm 181
Vitruvio fue arquitecto, ingeniero, escritor y tratadista romano, pero primordialmente fue un militar, lo que pudo significar que por causa de su participación en expediciones militares, o bien a por su relación con otros militares romanos, pudo haber tenido acceso a documentos, textos, planos, etc. Que recogieran información sobre muchas construcciones arquitectónicas de la antigüedad. Es habitual que los pueblos guerreros e invasores se apropiaran de todo aquello que consideraban valioso en los saqueos que seguían a sus conquistas. Los documentos, textos, papiros, tablas, etc., eran objetos que no solían estar considerados de valor y por lo general terminaban quemados o destruidos. Excepto para aquellas personas amantes de la cultura y de los conocimientos que, como Vitruvio, sí que mostrarían un especial interés hacia este tipo de objetos y de información. De lo que no habría de caber duda, es que una gran parte de los conocimientos que recogió en sus obras, los obtuvo de otros documentos mucho más antiguos a su época. Resulta llamativo que la expresividad y el detalle con los que reflejó las proporciones de un cuerpo humano, utilizadas como argumento para resaltar la importancia de unas proporciones que, según él, guardaban las construcciones antiguas y de forma especial, las referidas a construcciones sagradas, como eran los templos de los dioses. También resulta significativo que las medidas que señala para las partes del cuerpo humano, reflejan la similitud evidente con las medidas utilizadas por los antiguos egipcios en sus construcciones. 182
En el Antiguo Egipto utilizaban como unidad de medida el codo. Había dos codos básicos, el codo real que estaba dividido en 7 palmos, y el codo corto que de forma más común era el más utilizado, estaba dividido en 6 palmos, y cada palmo estaba compuesto por 4 dedos. Curiosamente, las anotaciones del dibujo de Leonardo, contienen los mismos detalles: “4 dedos forman 1 palma, 4 palmas son 1 pie, 6 palmas son un codo y 4 codos son la altura de un hombre.” Cabe resaltar pues, que son tres los detalles reflejados por Leonardo que aparecen en este texto de Vitruvio: Las referencias que hace a los antiguos, a las proporciones del cuerpo humano, y a las medidas “seis, cuatro, veinticuatro”. Quizás sería demasiada casualidad, pero las citadas proporciones y medidas resultan ser las mismas que, como se ha visto en el capítulo anterior, coinciden con las del diseño de los esquemas o planos de un importante número de pirámides en Egipto. 183
Acaso resulte demasiado evidente como para ser esa casualidad, si se considera que el dibujo de las figuras geométricas de Leonardo, tiene el mismo trazado que el señalado para el diseño del esquema de las pirámides. Retomando el dibujo correspondiente al esquema de la pirámide de Kefrén, sobre él se trazan una circunferencia con el mismo centro que el cuadrado, pasando por los 8 puntos intermedios de sus lados, y la línea inferior bajo el mismo, y el resultado final son las mismas figuras geométricas de las fases del dibujo de Leonardo, a falta del trazado de la circunferencia final.
El esquema de la pirámide de Kefrén coincide con el dibujo de Leonardo.
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Aún cuando únicamente fuera una simple ilusión, no resultaría muy aventurado expresar que estos conocimientos, recogidos por Vitruvio y utilizados por Leonardo, tuvieran algún tipo de relación con el problema de la cuadratura del círculo, cuyo origen se remonta hasta el antiguo Egipto. Cabe la probabilidad de que los constructores de las pirámides pudieron haber conocido la solución de este problema. De hecho, algunos historiadores de la antigüedad, hicieron referencia a esa posibilidad. De aquellas épocas históricas, muchos fueron los documentos o textos que se perdieron para siempre y muy pocos los que se han conservado hasta nuestros días, gracias precisamente a aquellas personas que transcribieron los conocimientos que contenían. Es posible que existieran planos con los que se diseñaron y construyeron las pirámides de Egipto, aunque no exista ninguna referencia o constancia de ellos. De cualquier forma, esta circunstancia puede resultar secundaria, ya que los planos de las pirámides, están reflejados en las medidas de las propias pirámides. 185
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La Pirámide de Kefrén.
Pirámide de Kefrén
Esta pirámide fue erigida por Kefrén, cuarto faraón de la IV Dinastía y su finalización está datada hacia el año 2520 a. de C. Las medidas de los lados de su base son de 215,25 metros y su altura es de 143,50 metros. Conocidas esas medidas reales, obtener un plano o esquema similar al que pudo haber sido utilizado para el diseño de esta pirámide, es relativamente sencillo. Para ello, basta con tomar la medida de la mitad del lado de su base y sumarla a la medida de la apotema del triángulo de una de sus caras, para obtener la 187
medida del radio de una circunferencia, a partir de la cual se ha de desarrollar un plano a escala. La medida de la mitad del lado es 107,625 y la medida de la apotema es de 179,375 metros. La suma de ambas medidas es igual a 287,00 metros. Con esa medida de radio a escala, se traza una circunferencia y se ejecutan los mismos pasos que fueron detallados en un capítulo anterior, con las proporciones que se señalan. Los recordamos brevemente: Se trazan los cuatro ejes de la circunferencia y sobre el eje vertical se marca con el compás la medida de 1,5 radios. Con dicha medida se traza un cuadrado haciendo que el centro de éste coincida con el de la circunferencia. Se dividen los lados del cuadrado en cuatro partes iguales cada uno y se unen los puntos opuestos entre sí, formando 16 pequeños cuadrados interiores. Los cuatro cuadrados del centro forman la base de la pirámide. Desde cada uno de los cuatro vértices hasta los puntos donde los ejes vertical y horizontal cortan a la circunferencia, se trazan las líneas de los cuatro triángulos que forman las caras de la pirámide. La medida de la altura se obtiene trasladando con el compás la medida de una apotema, desde la base hasta la línea vertical sobre el centro del cuadrado. El resultado es el siguiente dibujo:
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Esquema del plano de la Pirámide de Kefrén.
Se toman las medidas de este dibujo, para cada una de las líneas señaladas y se verifica que coinciden con las medidas reales de la Pirámide de Kefrén, tal como figuran en el siguiente cuadro.
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Si se comparan las relaciones entre algunas de las medidas de las líneas del dibujo, las características que hay que destacar, en el diseño de un plano de esta pirámide, son las recogidas en los tres apartados inferiores del cuadro anterior. (1) La relación entre el lado del cuadrado de la base y la altura, es que la medida de ésta es igual a la medida del lado, multiplicado por 4 y dividido por 6. (2) La altura es igual a la mitad de la medida del radio de la circunferencia utilizada. (3) El radio de esa circunferencia es igual a la medida del lado del cuadrado base, multiplicado por 8 y dividido por 6. Además, como ya se ha indicado, la medida del radio de la circunferencia utilizado en el dibujo, es igual a la suma de las medidas de la mitad del lado de la base, más la apotema de una de las caras. La medida de los lados del cuadrado base, es exactamente la mitad que la de los lados del cuadrado obtenido a partir de la medida del radio de la circunferencia, con la proporción ya indicada La conclusión que se puede extraer sobre lo expuesto, es que la pirámide de Kefrén fue diseñada con un plano o esquema semejante, trazado a partir de una circunferencia y guardando unas proporciones muy definidas. 190
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La Gran Pirámide de Keops.
Pirámide de Keops
La Gran Pirámide de Keops, es una de las siete maravillas del mundo antiguo, que destaca por su perfección arquitectónica y por sus dimensiones excepcionales. Es la pirámide por excelencia, una pirámide perfecta. Ha sido objeto de intensos y numerosos estudios, a pesar de lo cual, se sigue manteniendo rodeada de misterios e incógnitas, así como de numerosas teorías que pretenden explicar 191
todo aquello que sigue resultando inexplicable para los conocimientos y avances tecnológicos de nuestra época, ya que, en el fondo o en el subconsciente, nos resulta imposible aceptar que nuestros antepasados tuvieran unos conocimientos o utilizaran unas técnicas que aún hoy día, siguen siendo desconocidas, o sin haber encontrado una explicación lógica que los haga comprensibles. La Gran Pirámide fue construida en la meseta de Gizeh, en una época que no se ha concretado, por ser esta una circunstancia que sigue causando una gran discrepancia entre muchos de los expertos egiptólogos que sustentan teorías muy diversas, acerca de un dato tan significativo como sería el datar la antigüedad de esta gran obra. El faraón Keops, a quien se atribuye su construcción, reinó entre los años 2551‐2528 a de C. Sin embargo, algunos de los expertos mencionados datan su construcción hasta en 3000 años antes, es decir, hace unos 7500 años. Muchos son los misterios que rodean el mundo de los antiguos egipcios, que sigue fascinando a un número cada vez mayor de personas en todo el mundo. Y si de misterios se trata, los que mayores controversias han venido causando a lo largo de muchas décadas, están relacionados precisamente con la Gran Pirámide, especialmente en lo referido a la forma en que fue construida y también a su finalidad, ya que es considerada una tumba funeraria por unos, o como un templo sagrado por otros; también hay quienes afirman que era un observatorio astronómico, o incluso que sería una máquina para generar algún tipo de energía. 192
Heródoto, historiador griego, considerado Padre de la Historia, preguntó a los habitantes egipcios sobre la construcción de esta pirámide, en un viaje que realizó a Egipto en el siglo V a. de C., y esto es lo que transmitió: “Esta pirámide fue construida así: con forma escalonada que algunos llamaban “zócalos” y otros “terrazas”. Cuando la construyeron así, en un primer momento elevaron las piedras con máquinas formadas de pequeñas piezas de madera. Las alzaban desde el suelo hasta la primera hilera de escalones; cuando la piedra llegaba, era colocada sobre otra máquina que estaba preparada en la primera grada, y desde ella eran arrastradas hasta la segunda hilera por otra máquina; o había tantas máquinas como número de los escalones, o retiraban la máquina porque era solo una y transportable, la irían llevando hasta cada fila sucesivamente, cada vez que descargaban la piedra más arriba. Lo cuento de las dos maneras tal y como se me relató. La parte más alta de la pirámide fue terminada primero y después completaron las partes siguientes, pero al final de todo terminaron la partes del suelo, que eran las más bajas de todas.” De la construcción de esta obra tan grandiosa, tan sólo algunos pequeños relatos como el que antecede, escritos miles de años después, han llegado hasta nuestros días. Un relato escueto y simple que no ofrece una explicación suficiente que permita comprender la técnica utilizada, o cómo se construyó realmente dicha pirámide. 193
Con relación a esta circunstancia hay numerosas teorías, sobre la necesidad de que habrían de existir rampas externas o internas, imprescindibles para la elevación de los pesados bloques de piedras. Lo que resulta una evidencia innegable, es que la Gran Pirámide es una excepcional obra arquitectónica, por la perfecta orientación que guarda respecto de los cuatro puntos cardinales, por la perfección de sus proporciones, del cuadrado de su base, del ángulo de inclinación de sus caras y especialmente por la precisión en la estructura de las galerías y de las cámaras construidas en su interior. Sin duda, en un hecho incuestionable que aquellos que la diseñaron y la construyeron, tenían grandes conocimientos sobre Astronomía, Geodesia, Ingeniería y sobre todo de Geometría. ________________________________ 194
Aunque sólo sea una hipótesis, pero es probable que el diseño de esta pirámide, pudo haber tenido igualmente algún tipo de relación con la circunferencia, ya que según se afirma, el valor de PI está contenido de alguna forma en sus medidas y proporciones. De hecho, lo que si resulta posible es realizar un diseño del esquema o plano que podría corresponder al de esta pirámide, trazado a partir de una circunferencia, y verificar que las medidas obtenidas del dibujo, comparadas con las medidas reales, son de una gran aproximación y muestran también una relación de proporciones especialmente significativa. En cualquier caso, lo que si puede afirmarse es que el método que pudo haber sido utilizado para el diseño del plano o esquema de la pirámide de Keops, no se corresponde con el modelo que se ha mostrado en los capítulos anteriores, referido a cómo habría sido realizado el diseño de la pirámide de Kefrén y de algunas otras pirámides en Egipto. Siguiendo el trazado a escala que se desarrolla a continuación, utilizando para ello una circunferencia cuyo radio sea igual a la suma de la mitad del lado de la base, más la apotema de una de sus caras, se obtienen unas medidas que son de una gran aproximación, respecto a las medidas reales de la Gran Pirámide. El desarrollo del dibujo para realizar el esquema mencionado, se ejecuta con los siguientes pasos: 195
1. Partiendo de que se trata de un supuesto, el diseño de la pirámide de Keops pudo haber sido realizado a partir de una circunferencia, en la cual se trazan los dos ejes perpendiculares, el vertical y el horizontal y los dos ejes transversales, de forma que quede dividida en ocho partes iguales. Trazando las líneas que unen los vértices de forma consecutiva de dichos ejes se forma un octógono. 2. Para obtener el cuadrado de la base, se trazan las líneas que unen los vértices de cuatro de los lados de forma alterna de dicho octógono, hasta los vértices de sus lados opuestos, formándose en el centro un cuadrado que es la base de la pirámide. El lado del cuadrado de la base tendrá la misma medida que el lado del octógono. 3. Desde cada uno de los cuatro vértices del citado cuadrado, se trazan las líneas hasta los vértices de los ejes horizontal y vertical, respectivamente, formando los cuatro triángulos de las caras de la pirámide. 4. Desde un punto medio del lado del cuadrado de la base, con el compás se traslada la medida de la apotema del triángulo de una de sus caras, hasta marcar el punto (h) sobre el eje vertical al centro del cuadrado, con lo cual se obtiene la medida de la altura de la pirámide. La figura resultante es la siguiente:
196
h
Esquema del plano de la pirámide de Keops.
El lado de la base mide 230,36 metros. La mitad del lado mide 115,18 y la apotema mide 186,43. La suma de ambas medidas es de 301,61 metros. Trazando una circunferencia con la misma medida de radio indicada, se obtienen para el resto de las diferentes líneas, las medidas que se detallan en el siguiente cuadro:
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Comparación de las medidas de la Pirámide de Keops
Al comparar las medidas obtenidas a partir del dibujo con las medidas reales atribuidas a la pirámide, apenas difieren en unos pocos centímetros. La relación entre el lado del cuadrado de la base y la altura de la pirámide (1) es que la medida de ésta, es igual a la medida del lado multiplicado por 4 y dividido por 2*PI (6,2832). O lo que es lo mismo, el perímetro de la base es igual al perímetro de una circunferencia, cuyo radio es igual a la altura de la pirámide. Recordemos que, en esta misma relación en la pirámide de Kefrén, la altura es igual al perímetro de la base dividido por 6. Se destaca este detalle, en razón a que la diferencia de la relación entre la base y la altura de las dos pirámides, corresponde al factor decimal de PI: La altura está en función del perímetro de los cuadrados de las bases que se dividen por 6,2832 en la de Keops y por 6 en la de Kefrén. 198
Finalmente, destacar que la característica más importante, sobre la relación de proporciones entre la circunferencia y la pirámide de Keops, es que el lado de la base tiene la misma medida que el lado del octógono. ¡El octógono! Casualmente es la figura que Leonardo da Vinci parece sugerir en su dibujo con la figura humana: Las dos posiciones distintas de brazos y piernas, parecen señalar unos ejes que suponen una división en ocho partes. ¿Puede tener algún sentido relacionar esta clave de Leonardo con la Gran Pirámide y el problema de la cuadratura del círculo? 199
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El enigma de las dos pirámides.
Las dos pirámides más famosas de la meseta de Gizeh son muy semejantes, pero no presentan ninguna evidencia aparente, como para considerar que están relacionadas entre sí de alguna forma. Sin embargo, las pequeñas diferencias señaladas en el capítulo anterior, podrían no ser fruto de la casualidad por lo que en consecuencia, responderían a unos esquemas de diseño perfectamente estudiados y planificados. Al comparar los esquemas de los planos de las dos pirámides, buscando una posible relación entre sus medidas o proporciones, podemos encontrarnos con unos resultados que, cuando menos, no dejaran de ser sorprendentes. 201
Esquema del plano de la Pirámide de Kefrén Recordemos brevemente que para obtener el esquema del plano de esta pirámide, se parte de una circunferencia inicial cuyo radio a escala, es la suma de la mitad del lado de la base más la apotema del triángulo, una suma que es igual a 287,0000 metros. Sobre el dibujo del esquema de esta pirámide, tal como quedó en al capítulo 21, se traza una segunda circunferencia, desde el centro del cuadrado, pasando por los ocho puntos marcados sobre sus lados. Se forma un círculo sombreado como el que aparece en la siguiente imagen.
Círculo sombreado en el esquema de la pirámide de Kefrén.
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Esquema del plano de la Pirámide de Keops Recordemos igualmente el dibujo utilizado para obtener el esquema de la pirámide de Keops, en el que se parte del trazado de una circunferencia inicial con un radio a escala de 301,6185 metros., igual a la suma de la mitad del lado del cuadrado de la base, más la apotema del triángulo de una de sus caras. Se traza el dibujo tal como se señaló en el capítulo anterior, para finalmente trazar las líneas que unen los cuatro vértices de los triángulos, para formar un cuadrado inscrito sombreado como el que aparece en la siguiente imagen.
Cuadrado inscrito en el esquema de la pirámide de Keops.
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Las medidas correspondientes de cada una de las líneas, obtenidas a partir de los dibujos de ambos esquemas, son las reflejadas en el siguiente cuadro.
Se puede verificar que las medidas de los dibujos son de una gran aproximación, respecto a las medidas reales de ambas pirámides. El dato correspondiente del radio en el esquema de la pirámide de Keops (301,6185 metros), ha sido ajustado en las dos últimas cifras decimales en 0,0085 metros, de forma intencionada, con el propósito de realizar los cálculos con cifras decimales de 4 dígitos. En la siguiente imagen, se muestran juntos los esquemas de las dos pirámides, tal como han sido trazados y con las mismas medidas que figuran en el cuadro anterior. El esquema de la izquierda corresponde a la pirámide de Kefrén, con el círculo sombreado que pasa por los ocho puntos de los lados del cuadrado. El esquema de la derecha, corresponde a la pirámide de Keops, con el cuadrado inscrito sombreado, formado entre los cuatro vértices de los triángulos que forman las caras.
204
El enigma de las dos pirámides.
El resultado que pone de manifiesto la relación de estas dos figuras, es que el círculo sombreado en el esquema de la pirámide de Kefrén, tiene una superficie igual a la del cuadrado sombreado en el esquema de la pirámide de Keops. En el siguiente cuadro se detallan las medidas correspondientes al radio de la circunferencia y al lado del cuadrado, ambos sombreados, así como los cálculos realizados.
Las superficies del círculo y del cuadrado son iguales.
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¿Un enigma o una casualidad?
Los cálculos reflejan el resultado expresado, según el cual, al comparar los esquemas de estas dos pirámides, las superficies del círculo y del cuadrado que se trazan a partir de los mismos, son iguales. De entre los datos señalados, conviene resaltar dos detalles relevantes: Que los cálculos se han realizado con 4 decimales y que los resultados son tan exactos debido al ajuste de 0,0085 metros (8,5 milímetros), que, como se ha señalado, se ha efectuado en la medida del radio de la circunferencia del esquema de la pirámide de Keops; un ajuste insignificante si se tiene en cuenta que se hace sobre una medida total de casi 302 metros. También ha de valorarse que las medidas reales utilizadas, correspondientes a los lados de las bases en ambas pirámides, han sido tomadas a partir de sus valores medios, con lo cual resulta cuando menos sorprendente que del resultado expresado la diferencia de ambas superficies sea de 0,0613 metros cuadrados, un valor despreciable si se compara con el valor de las superficies totales de las dos figuras, que es de unos 182.000 metros cuadrados. Este hecho sorprendente puede ser una simple casualidad, o puede significar un enigma, ya que puede ser una extraordinaria y desconocida relación, entre las proporciones y medidas con las que fueron construidas las dos pirámides citadas, cuyo significado sería que estarían vinculadas entre sí con el problema de la cuadratura del círculo, y quizás también, tras este enigma podría ocultarse la solución del problema. 206
Podría existir una vinculación intencionada en la construcción de ambas pirámides, o podría ser una extraña e incomprensible casualidad. De significar un enigma, sería otro más de los muchos y extraordinarios misterios que rodean a las pirámides del antiguo pueblo egipcio. Detrás de las muchas teorías que existen acerca de la pirámide de Keops, hay misterios que parecen no tener explicación. Sin embargo, tras cada uno de esos misterios se encuentran acciones de antepasados nuestros, de seres humanos que realizaron unas obras colosales y a la vez geniales, algunas de las cuales nos parecen incomprensibles porque nos resultan difíciles de explicar, o porque las explicaciones que se intentan dar, se alejan de la realidad y de la intención para las que fueron construidas, ya que muy probablemente, fueran obras que responden a actuaciones elementales, sencillas, basadas en la lógica y la naturalidad, y en unos conocimientos que con el transcurso del tiempo, dejaron de utilizarse y por ello se perdieron. 207
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El Secreto de la Cuadratura del Círculo. La coincidencia casi matemática de los cálculos que se desprenden de la comparación de las medidas de los esquemas o planos de estas dos pirámides, reflejarían lo que ya es sobradamente conocido, y es que sus constructores tenían unos conocimientos extraordinarios en materias como la Geometría y la Arquitectura, aunque cueste creer que en lo referido a este problema, quisieran dejar una constancia tan oculta o secreta, y a la vez tan magnificada del mismo, como si hubieran tenido la seguridad de que nunca se lograría descubrir o llegar a comprender esta extraña relación que parece existir entre ambas pirámides. Alguna de las consecuencias de todo este planteamiento, es que no resultaría muy aventurado pensar que Leonardo da Vinci, pudo haber tenido acceso a informaciones o documentos relacionados con los maestros constructores egipcios, si se tiene en cuenta la semejanza existente entre el trazado del dibujo de Vitruvio, con el trazado del esquema de la pirámide de Kefrén y de otras pirámides semejantes. Del citado dibujo se ha visto como Leonardo ocultó el “secreto” cuyo conocimiento hace posible el comprender como se puede buscar la solución del problema. 209
Sin embargo el verdadero Secreto de la Cuadratura del Círculo, parece que está contenido en las Dos Pirámides de Gizeh y más concretamente en la relación de sus medidas. Un “secreto muy bien guardado” que significaría la constatación del origen del milenario problema. En el siguiente dibujo, aparecen representados los esquemas superpuestos de ambas pirámides. Sobre el esquema de la pirámide de Kefrén que representa el círculo, se ha trasladado el correspondiente al esquema de la pirámide de Keops que representa el cuadrado inscrito, formando así lo que podría denominarse como la “Figura Plena de la Cuadratura del Círculo”.
Figura Plena de la Cuadratura del Círculo.
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Una Figura que contendría en su trazado completo, un círculo y un cuadrado que tienen la misma superficie. En un capítulo anterior, se han mostrado los pasos necesarios y las proporciones precisas, para ejecutar el trazado con el que se obtiene la circunferencia sombreada del esquema de la pirámide de Kefrén, es decir, como se trazaría la primera fase de esta Figura Plena. La siguiente fase, necesaria para encontrar la “hipotética” solución de este enigma, consistiría en encontrar los pasos necesarios para obtener la circunferencia y el cuadrado inscrito del esquema de la pirámide de Keops, teniendo en cuenta que el trazado completo, pueda realizarse utilizando un compás y una regla sin graduar. Como ya se ha indicado, Leonardo da Vinci realizó el dibujo de Vitruvio utilizando unas fases y unas proporciones muy similares a las del esquema de la Pirámide de Kefrén: Partiendo de una circunferencia inicial, para trazar un cuadrado con el que obtener una segunda circunferencia. A continuación, de la relación de las medidas de los radios de ambas circunferencias, se obtiene el centro y la medida del radio de una tercera circunferencia, en ese caso con un radio de medida intermedia para, perfectamente encajada con el cuadrado, marcar los puntos por donde se ha de trazar el cuadrado final. Para el trazado de la supuesta Figura Plena, la primera fase resultaría ser idéntica. En la fase siguiente, el objetivo sería obtener el radio de una tercera circunferencia, en este caso de radio mayor que las otras dos, cuyo cuadrado inscrito tendría la misma 211
superficie que la circunferencia inicial de la primera fase. Una Figura Plena que puede ser trazada en su conjunto utilizando un compás y una regla sin graduar, y que resultaría ser la solución del problema de la cuadratura del círculo. Tal como se ha reflejado en uno de los capítulos anteriores, el trazado completo de la primera fase de la misma, podría realizarse en cualquiera de los dos sentidos, es decir, partiendo de la circunferencia inicial mayor, de la que se obtiene un cuadrado cuyo lado guarda unas medidas proporcionales con el radio de aquella, para obtener a partir de éste una segunda circunferencia menor, o viceversa. Tan sólo faltaría encontrar la relación de proporciones entre ambos esquemas para, a partir de esa primera fase localizar la medida del radio de la circunferencia de la segunda. 212
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Una reflexión final. A las dos pirámides de Gizeh se les atribuye una antigüedad de unos 4.500 años. Apenas tan sólo unas pocas décadas parece que transcurrieron entre la construcción de ambas. La de Keops fue construida primero y su finalización se data hacia el año 2570 a. de C., mientras que la de Kefrén se data hacia el año 2520 a. de C, es decir, unos 50 años después. Como consecuencia de lo expuesto en el capítulo anterior y aceptando que los datos, los cálculos y los resultados que se detallan sean correctos, se podrían plantear algunas hipótesis, o más bien, bastantes interrogantes, aún cuando las explicaciones o las respuestas, no pasarían de ser meras conjeturas. Entre las interrogantes cabría plantearse si realmente fueron los constructores de estas dos pirámides, los que enunciaron el problema de la cuadratura del círculo, o que muy probablemente los que conocieron la solución, lo cual, a tenor de los conocimientos que poseían, no supondría una gran sorpresa, pues se trata de un problema milenario, sobre cuyo origen existen referencias indudables que lo sitúan en el antiguo Egipto. Como ya se ha expresado, sería esta una circunstancia según la cual, se podría considerar que se trataría de otro misterio, uno más de los muchos que rodean a estas impresionantes construcciones. 213
Un misterio que se desprende de las medidas reales de ambas pirámides, construidas hace miles de años y que aparentemente estarían relacionadas entre sí con el problema de la cuadratura del círculo, a la vista de unos resultados que se han obtenido de los dibujos de unos planos o esquemas, utilizando unas medidas reales, muy aproximadas, de las que únicamente se ha ajustado en unos pocos milímetros la medida de uno de los radios de las circunferencias utilizadas y realizando unos cálculos que incluyen la constante PI…. ¡¡Con el mismo valor que se utiliza en la actualidad!! Al realizar una reflexión final, ha de constar que se hace planteando dos únicas hipótesis, de entre las múltiples que se podrían considerar, eso sí, siempre descartando que los resultados que se han mostrado en el capítulo anterior, sean fruto de la casualidad o una pura coincidencia. La primera hipótesis, y quizás la más ilusionante, sería la de considerar que los constructores de estas dos pirámides, conocieron la solución del problema de la cuadratura del círculo. Significaría creer algo así como que diseñaron los esquemas o planos de ambas a partir de esa solución, representada por lo que sería un único esquema como el que se ha denominado “Figura Plena”, reflejado en el capítulo anterior. Un único esquema que representaría la relación de proporciones existentes entre tres circunferencias y dos cuadrados, a partir de las cuales se pueden obtener los planos y las medidas de ambas pirámides. La segunda hipótesis, algo decepcionante, sería la de suponer que la segunda pirámide hubiera sido diseñada y construida a partir de las medidas de la 214
primera, de forma que los constructores hubieran ajustado sus medidas de una forma intencionada para dicho propósito, es decir, a partir de las medidas tomadas de la pirámide de Keops, o de un supuesto plano de la misma, hicieron los cálculos precisos para obtener así, la medida del radio de la circunferencia inicial utilizada para realizar después el supuesto plano con el diseño de la pirámide de Kefrén. Probablemente, ambas conclusiones deberían ser consideradas como increíbles, aunque tratándose de los antiguos egipcios, todo parece resultar posible. Significaría creer que dejaron constancia intencionada de su conocimiento acerca del problema de una forma megalómana, oculto en la relación de las medidas de tan grandiosos monumentos, manteniendo a la vista de todo el mundo un “Secreto” muy bien guardado. Efectivamente, no resulta creíble que en un período de tiempo tan corto, apenas de unos cincuenta años, los mismos constructores o los herederos de estos conocimientos, hubieran realizado unos diseños que difieren en lo más elemental que a la vez resulta ser lo más importante, como es la forma de trazar los diseños o esquemas para obtener las medidas de las caras y de las bases, a la hora de realizar unas construcciones tan extraordinarias que tienen unas medidas muy similares, pero que difieren también, básicamente y de forma fundamental, en la concepción espacial de sus estructuras internas. A menos que la datación que se ha señalado para la pirámide de Keops no fuera la correcta y, como sugieren algunas teorías, hubiera sido construida algunos siglos o milenios antes de la fecha reconocida como oficial. 215
Quizás también, la explicación que permita la comprensión de todo esto puede llegar algún día, si se descubren cuales fueron las finalidades o intenciones reales para las que fueron construidos estas dos pirámides. Las nuevas tecnologías informáticas trasladan el problema de la cuadratura del círculo a una nueva dimensión. Permiten ejecutar múltiples y diferentes formas de realizar los dibujos, para la búsqueda de la posible solución, con una precisión en la obtención de unas medidas que resultan imposibles de obtener de los mismos dibujos, si estos son ejecutados de forma manual. Lo que se ha mostrado en este trabajo, no es la solución del problema, sino el “secreto” que posibilita el acometer la forma de resolverlo. Al fin y a la postre, del problema de la cuadratura, lo único que realmente faltaría por cuadrar son los números, ya que, como se ha visto en algunos de los ejemplos, presentan unas diferencias de unos valores tan ínfimos, con unas cifras decimales que apenas representarían poco más que un punto, o que si se aplica literalmente al enunciado del problema y éste hubiera de resolverse únicamente de forma manual, utilizando un compás y una regla sin graduar, los resultados son imposibles de verificar o justificar en su completa exactitud. En la actualidad, hallar esa solución exacta, es algo que únicamente se podrá lograr y verificar utilizando medios informáticos, una circunstancia que sitúa el problema de la cuadratura del círculo en la dimensión conocida como Realidad Virtual. 216
Bibliografía A través de Internet se puede acceder a numerosas páginas web, en las que se tratan los temas referidos a la cuadratura del círculo, a la biografía de Leonardo da Vinci y sobre el antiguo Egipto. En esas páginas se pueden encontrar una amplia información, contenidos y datos muy interesantes. De algunas de las páginas web que se citan a continuación, se han obtenido algunos de los datos y referencias históricas que han sido utilizados como citas para documentar este texto. He de hacer una mención especial y mostrar mi agradecimiento a la página web de Amigos de la Egiptología, por su permiso para utilizar varias de las imágenes que aparecen en esta publicación. http://www.egiptologia.com http://www.bib.ub.es/www7/llull/quadratura.htm http://www.bib.ub.es/www7/llull/llullu.htm http://www.leonardo.net/ http://agaudi.wordpress.com/2007/10/09/leonardo davincielhombredevitrubio/ http://bvpb.mcu.es/ca/catalogo_imagenes/grupo.cmd? posicion=1&path=11000998&forma=&presentacion=pa gina
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http://www.cervantesvirtual.com/servlet/SirveObras/5 6812842103436117565679/index.htm http://www.artifexbalear.org/vitrubio/58.jpg http://www.arqweb.com/vitrum/hombre.asp http://webs.adam.es/rllorens/picuad/picarta01.htm http://webs.adam.es/rllorens/picuad/leonardo.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed990430 01/ed99043001.html http://www.arrakis.es/~mcj/clasicos.htm http://www.egiptomania.com/ http://www.egiptologos.es/antiguoegipto.htm http://www.egiptologia.com/content/view/600/101/ http://www.egiptologia.com/content/view/740/74/ http://www.geocities.com/antologia_hermes/018egipci o.htm http://www.institutoestudiosantiguoegipto.com/senen mut/es/presentacion.shtml http://www.piramides.org/ http://freepages.history.rootsweb.ancestry.com/~catsha man/14Egyptian/04calendars.htm 218
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