El Principio de Incertidumbre

Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Matemáticas

"EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE, LA INCERTEZA EN FÍSICA Y LA

VISIÓN DE PETER LANDSBERG"

Andrés Ferrer del Valle.

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ÍNDICE DE CONTENIDOS

1. Introducción

p. 3

2. El Principio de Incertidumbre

p. 4

2.1. Antecedentes Históricos: "La Interpretación Copenhague de la Mecánica Cuántica"

p. 4

2.2. El Principio de Incertidumbre

p. 6

3. La Visión de Peter Landsberg: "La Búsqueda de la Certeza en un Universo Probabilístico"

p. 8

3.1. La Incertidumbre en Matemáticas

p. 8

3.2. Incertidumbre en Mecánica Clásica

p. 10

3.3. Probabilidad en Mecánica Estadística

p. 11

3.4. Teoría Cuántica

p. 11

3.5. La Entropía

p. 12

3.6. Conclusiones (Landsberg)

p. 13

4. Conclusiones

p. 14

5. Bibliografía

p. 16

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1. INTRODUCCIÓN

A través de la historia, la humanidad ha mostrado un "apetito" insaciable por conocer las causas y motivos de todas las cosas. Desde los más prestigiosos intelectuales hasta los más ignorantes, todos los seres humanos disfrutamos y gozamos cuando este apetito es saciado, obviamente, en las proporciones respectivas. Ciertamente también, el conocimiento que se tiene hoy de la naturaleza es bastante diferente del que se tenía hace poco tiempo atrás. La crisis de la Mecánica Clásica y el advenimiento de la Mecánica Cuántica, junto con el desarrollo de la Teoría de Probabilidades han dado un giro a la concepción que se tenía de las leyes de la naturaleza. Este giro se debe en mi opinión, a un concepto clave: el AZAR. Cuando se introduce este concepto en el manejo de las teorías científicas se podría llegar a pensar que las ciencia es "azarosa" o carente de orden. En este documento, se verá que el mismo azar obedece leyes ("el azar no se comporta al azar"). Principalmente se desarrollará la ley del azar conocida como "Principio de Incertidumbre", y la visión de Peter Landsberg1, sobre "la búsqueda de certeza en un universo probabilístico".

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Peter Theodorus Landsberg, nacido en Berlín en 1922, ocupa en la actualidad una cátedra en la Faculty of Mathematical Studies de Southampton. Es autor de una profunda, profusa y diversa labor de investigación que va desde la electrónica a la biología pasando por la cosmología y la filosofía de la ciencia.

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2. EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE 2.1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS: "La Interpretación Copenhague de la Mecánica Cuántica" Determinismo: visión de la naturaleza que plantea que ésta misma, así como nuestra propia vida están completamente determinadas en todo tiempo. La Mecánica Clásica o de Newton apoyaba esta idea del determinismo. De acuerdo con esta Mecánica, las leyes de la naturaleza especifican completamente el pasado y el futuro de todos los fenómenos naturales. El universo era pensado como un perfecto reloj, según el cual, si se conocían las posiciones de sus partes en un momento dado, éstas se conocerían a partir de ese momento para siempre. Con el advenimiento de las teorías físicas modernas, la física tuvo que renunciar definitivamente a esta concepción de la naturaleza. El mundo pasó de "tener un perfecto reloj a tener la contingencia de una máquina de pinball"2. La Mecánica Cuántica (que reemplazó a la Mecánica Clásica), sólo hace predicciones estadísticas. Las predicciones ya no son precisas como eran en la Mecánica Clásica. Éstas son hechas ahora en términos de probabilidades. Surge naturalmente la pregunta: ¿podría ser que se descubriera una Mecánica posterior a la Cuántica que volviese a ser determinista? De acuerdo a la Mecánica Cuántica esto es imposible, ya que el mismísimo hecho de intentar establecer certezas, produce más incertezas. En resumen, la Mecánica Cuántica desechó la posibilidad del Universo entendido como Determinístico. Por años, los físicos intentaron comprender la nueva Mecánica. Se preguntaban qué tipo de conocimiento era posible en el marco de la nueva teoría. Por ejemplo, la matemática de la Mecánica Cuántica permitía una representación del electrón como una onda o como una partícula. Pero sin lugar a dudas, estas ideas representaban una contradicción. ¿Es el electrón una onda o una partícula? Este dilema fue discutido por más de un año sin encontrarse respuestas satisfactorias. Sin embargo, el aporte de dos brillantes físicos, Werner Heisenberg y Niels Bohr (también de E. Schrödinger como se verá después), logró tener una mejor concepción de la nueva Mecánica. Cada uno, en su 2

David N. Schramm.

5 propio estilo, dio una respuesta y lograron una notable mejora en el entendimiento de la nueva teoría. Heisenberg descubrió en 1927 el Principio de Incertidumbre. Bohr, el Principio de Complementaridad. Estos dos principios juntos constituyen lo que hoy se conoce como la Interpretación Copenhague de la Mecánica Cuántica. Heisenberg inventó la Mecánica Matricial, en la cual las propiedades físicas de una partícula son representadas por matrices. Como es sabido, las matrices en general, no siguen la famosa regla "el orden de los factores no altera el producto". Dicho de otra manera, si A y B son matrices, entonces A x B no es igual a B x A. Lo que Heisenberg demostró, fue que si dos matrices que representaban diferentes propiedades de una partícula, no cumplían la propiedad de que A x B = B x A, entonces era imposible medir simultáneamente con alta precisión estas dos propiedades. Siempre existiría un grado de incertidumbre en la medición. El orden en que se midieran las propiedades sería relevante. No sería lo mismo medir A y después B que B y después A. Mientras Heisenberg trabajaba en sus relaciones de incerteza, Niels Bohr, en su estilo totalmente diferente, desarrolló independientemente su propia interpretación de la Mecánica Cuántica. Mientras Heisenberg usaba las matemáticas, Bohr reflejó filosóficamente la naturaleza de la nueva teoría cuántica. Bohr se preguntaba cómo era posible incluso hablar acerca del mundo atómico. Cómo era posible que usando el lenguaje común y corriente que se usa para describir eventos y objetos, se pudiese hablar también del mundo atómico. Quizás, como decía Bohr, nuestra gramática era inadecuada para hablar del mundo atómico. Así, Bohr se concentró en el problema del lenguaje en su interpretación de la Mecánica Cuántica. Como él dijo: "It is wrong to think that the task of physics is to find out what nature is. Physics concerns what we can say about nature". Bohr también enfatizó que cuando nos hacemos una pregunta acerca de la naturaleza, debemos también especificar el procedimiento experimental que utilizaremos para responder esta pregunta, ya que el hecho de hacer este experimento, altera el estado del objeto. No podemos observar nada sin perturbar lo que observamos. El resultado de nuestros experimentos depende intrinsecamente del procedimiento experimental que utilicemos. Para que quede más claro, veamos una alegoría que ilustra mas o menos bien la idea anterior. Por ejemplo, pensemos en un antropólogo que estudia una villa remota

6 ubicada en la selva totalmente aislada de la civilización. Obviamente, su presencia en dicha villa perturbará el comportamiento de las personas de la villa. Por lo tanto, el objeto de su estudio cambia como una consecuencia de la observación. Este concepto de que la experimentación modifica nuestro conocimiento era la respuesta que Bohr estaba buscando para responder la cuestión del electrón. El experimentador concluiriría sobre la naturaleza del electrón (onda o parícula), dependiendo del experimento que realizara. Por lo tanto, el conflicto entre la concepción del electrón como onda o partícula desaparecía, ya que como Bohr nos enseñó, se necesitan distintos experimentos para medir la posición (electrón como partícula) y la longitud de onda (electrón como onda) de un electrón. Así, partículas y ondas son lo que Bohr llamó: principios complementarios, en el sentido de que se excluyen mutuamente. Así, la interpretación Copenhague se podría resumir en dos puntos cruciales. Primero, que la realidad cuántica es probabilística, no cierta. Y segundo, que no tiene sentido hablar de las propiedades físicas de los objetos cuánticos sin especificar el procedimiento experimental con el cual se van a medir dichas propiedades. En otras palabras, la interpretación Copenhague de la Mecánica Cuántica, desechó por completo la idea de un Universo Determinístico. En vez, propone una concepción probabilística de la realidad natural. A su vez, desechó también la objetividad, aceptando en vez la idea de que el conocimiento de la realidad material depende en parte, de nuestra observación de la misma. 2.2. EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE El principio de la Mecánica Cuántica tiene su base en el descubrimiento de Max Planck de que en la naturaleza los traspasos de energía son discretos. Esto quiere decir que la energía no se transfiere en forma continua sino en pequeños paquetes a los que Planck llamó cuántos de energía (fotones). De ahí el nombre de Mecánica Cuántica. Posteriormente, Planck determinó su famosa constante "h", que es la cantidad que resulta cuando se divide la energía de un fotón por su frecuencia. Por su parte, el Principio de Incertidumbre nace principalmente por el aporte de tres físicos: E. Schrödinger, W. Heisenberg y N. Bohr. Para Heisenberg los objetos son

7 matrices, de ahí el desarrollo de su Mecánica Matricial. Por su parte, Schrödinger desarrolla una Mecánica Ondulatoria, donde el objeto básico no son las matrices de la Mecánica Matricial, sino las funciones de onda. Éstas se representan de la siguiente manera: Y(x, t), donde el módulo de esta función elevado al cuadrado representa la probabilidad de encontrar una partícula en dx. Por este mismo tiempo, estaba "de moda" entre los físicos, hacer experiencias ideales. Heisenberg propuso la siguiente: pensemos que estamos observando con un microscopio. Si observamos algo de un tamaño mucho mayor al de los átomos, nuestra observación no cambiará en una medida apreciable lo observado. Pensemos ahora que lo que estamos observando es muy pequeño (a escala atómica). Para poder ver lo que deseamos ver, es necesario que al menos un fotón impacte el objeto que se desea observar y que este fotón rebote y llegue hasta nuestra retina para que así nuestro cerebro "vea". Como la energía del fotón es suficiente como para perturbar lo que queremos observar, ya que esto es muy pequeño, luego se puede concluir que el fotón, unidad mínima según el descubrimiento de Planck, perturbará las condiciones de lo que se quiere observar. Describamos entonces el Principio de Incertidumbre de Heisenberg. Básicamente, lo que dice este principio es que "la observación de un fenómeno perturba el objeto observado, por lo que el observador debe dar cuenta de ello". En términos matemáticos, el principio se escribe de la siguiente manera: "Es imposible construir un aparato para el cual las incertidumbres calculadas, no obedezcan que el producto de dichas incertidumbres sea mayor o igual que la constante de Planck h". Esto se expresa por la relación:

D(p) x D(q) ≥ h

(1)

donde D(p) y D(q) son incertidumbres de diferentes propiedades de una partícula y h es la constante de Planck. Nacen así tres preguntas importantes: 1) ¿Qué es un estado? 2) ¿Qué es una cantidad observable? 3) ¿Cómo medir en el mundo atómico?

8 Según la Mecánica Clásica, un estado era un par (posición-momentum) = x Œ S y una cantidad observable era una función sobre S. Para Schrödinger, un estado era una función de onda y una cantidad observable, un operador actuando sobre el espacio vectorial generado por las funciones de onda. Por su parte, para Heisenberg, tanto los estados como las cantidades observables eran matrices. La cuestión en este punto era determinar qué Mecánica era la correcta, si la Mecánica Matricial de Heisenberg o la Mecánica Ondulatoria de Schrödinger (la Mecánica Clásica por este tiempo ya había sido blanco de numerosas críticas y ciertamente no podía responder a estas interrogantes). Esta cuestión fue resuelta por John von Neumann, quien dijo que ambas mecánicas son diferentes maneras de describir lo mismo y que se deben describir en una estructura de espacio de Hilbert (Von Neumann, fue discípulo de Hilbert). Sin embargo, el Principio de Incertidumbre, que había sido descubierto con anterioridad por Heisenberg, no podía ser sustentado por la Teoría de Probabilidades que existía en ese entonces. Los postulados de Kolmogorov no daban cuenta del Principio de Incertidumbre. Fue necesario entonces mejorar este modelo. Así, se llegó al modelo noconmutativo, el cual fue adoptado a partir de 1980 aproximadamente. Este modelo, aún vigente, permite dar cuenta de todas las leyes del azar que se conocen (Ley de los Grandes Números, Teorema del Límite Central, la Segunda Ley de la Termodinámica y el Principio de Incertidumbre). Con este modelo se logró hacer una síntesis con lo más avanzado hasta la época: sistemas cuánticos abiertos, ecuaciones diferenciales estocásticas, la teoría general de procesos, etcétera.

3. LA VISIÓN DE PETER LANDSBERG: "La Búsqueda de la Certeza en un Universo Probabilístico" 3.1. LA INCERTIDUMBRE EN MATEMÁTICAS Para Landsberg, existen dos clases o tipos de certezas. La certeza en matemáticas o juegos inventados por el hombre y la certeza en la comprensión de los fenómenos de la

9 naturaleza. En la primera, la certeza se alcanza con mayor facilidad que en la segunda. Basta proponer un ejemplo como el hecho cierto de que dos más dos es cuatro, o que el número 17 es un número primo. Sin embargo, alcanzar la certeza en cuestions de mayor complejidad, incluso la matemática, que es una invención humana, se cubre como dice Landsberg, de "una niebla impenetrable". Este hecho se basa en el teorema de Kurt Gödel. Según este teorema, cualquier estructura matemática que incluya la aritmética hace que dicha estructura sea incompleta. A continuación, cito un ejemplo de Landsberg que ilustra (aunque no demuestra) magistralmente el teorema de Gödel. "Sea W un adjetivo, consideremos la fórmula . Dado un ajetivo, esta afirmación es verdadera, o falsa, o carece de sentido. Omitamos por simplicidad que pueda ser sin sentido. Sorprendentemente esto no altera los resultados básicos. Llamaremos autológico a un adjetivo para el que la proposición sea cierta, y heterológico para el que sea falsa. Por ejemplo, las palabras "English" y "español" son autológicas, mientras que la palabra "long" es heterológica. Dada una lista completa de adjetivos, podemos obtener un sistema ampliado añadiendo esos dos. Se sucita naturalmente la cuestión de si se les puede aplicar la fórmula . Consideremos la palabra heterológico. Si es aplicable, entonces, por definición, heterológico es autológico. Pero esta misma frase indica que debe ser heterológico, de modo que hay una contradicción. Así que la posible verdad de no puede probarse cuando W es el adjetivo heterológico. Tampoco puede probarse su falsedad pues si heterológico no es hetrológico debe ser autológico, y por ello aplicarse a sí mismo. Así, del hecho de heterológico sea autológico deducimos que es heterológico. Esto, de nuevo, es una contradicción. La cuestión por tanto de si no puede decidirse y, para hacerlo, tendría uno que considerar un sistema más amplio. Pero, por supuesto, el sistema más amplio está de nuevo sometido al mismo tipo de problema. El resultado básico es que hemos encontrado una proposición (saber, ) que no podemos probar que es verdadera, y que tampoco podemos probar que es falsa". Con este ejemplo, Landsberg llega a una serie de conclusiones:

10 1. Existe al menos una fórmula para la que no se puede demostrar ni A ni no A. Este es el caso de la sentencia anterior ( ). Técnicamente, esto significa que el sistema es incompleto. 2. Existe al menos una fórmula para la que uno puede demostrar a la vez A y no A. Tal sistema es inconsistente y debe ser desechado. 3. Si no ocurre 1, el sistema es completo. Si no ocurre 2, es consistente. Así que los sistemas completos y consistentes son aquellos en que puede probarse o A o no A para todas las fórmulas del sistema. Lo que dice el teorema de Gödel es esencialmente que incluso los sistemas formalizados consistentes, que contienen la aritmética, son siempre incompletos. Estos sistemas se encuentran según Landberg, entre los sistemas buenos, que son los consistentes, y los malos, que son los inconsistentes. 3.2. INCERTIDUMBRE EN MECÁNICA CLÁSICA Después de mostrar de forma tan elegante el teorema de Gödel, Landsberg continúa describiendo la incertidumbre en Mecánica Clásica. Ya vimos que las incertezas eran menos habituales en las estructuras hechas por el hombre. Pero aceptando el teorema de Gödel, Lansberg se pregunta cómo no hemos de encontrar entonces límites a la certeza en la comprensión de la naturaleza. En esta parte propone como candidato a la Mecánica Clásica. Nuevamente propone un ejemplo muy ilustrativo. Imaginemos un brazo de péndulo en posición vertical, de modo que quede por encima de su punto de suspensión. Claramente, la configuración inicial sel sistema determina su movimiento. Un pequeño error en la posición provocará un cambio importante en el movimiento del péndulo. El determinar este error es algo muy difícil. Incluso con potentes ordenadores siempre se encuentran fallas. La Mecánica Clásica contempla muchas situaciones de este tipo donde existen puntos críticos donde pequeños errores de predicción producen grandes efectos. Más adelante, Landsberg encasilla a este tipo de comportamiento errático como caos. Aquellos sistemas que son tan sensibles a las condiciones iniciales son sistemas caóticos, donde las predicciones de la Mecánica Clásica siempre llevan a predicciones erróneas.

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3.3. PROBABILIDAD EN MECÁNICA ESTADÍSTICA En este punto Landsberg habla de la introducción de las probabilidades en la Mecánica Estadística. Ya desde 1860 aproximadamente, Maxwell y Clausius se dieron cuenta de que al haber tanttas partículas en un sistema, no se podía seguir el movimiento de todas ellas y era necesario recurrir a las probabilidades. Se sentía sin embargo, que la introducción de las probabilidades era conveniente, pero que se debía a una limitación en el manejo de grandes cantidades de información. Con todo, Landsberg nos comenta que la ciencia de la Mecánica Estadística se desarrolló, y que ha sido muy útil. Sus limitaciones se deben principalmente a los grandes números. Una vez más, cada vez se tiene menos certeza acerca del comportamiento de la naturaleza. 3.4. TEORÍA CUÁNTICA Landsberg describe brevemente esta teoría. Nos dice que esta teoría nos explica las propiedades ondulatorias de las partículas más elementales como electrones y protones, lo cual hace asignando funciones de onda a estas partículas. Nos dice también que la teoría explica que la energía viene en unos granos llamados cuantos. Luego comienza por el tema central de su exposición. La función de onda asigna probabilidades a los diversos estados de un sistema, no certidumbres. Es decir, las probabilidades son un aspecto fundamental de esta teoría. Después plantea el siguiente dilema. ¿Existe una mecánica mejor, llamémosla mecánica X, que asigne certidumbres? ¿Es la Mecánica Cuántica meramente la Mecánica Estadística de esta todavía no descubierta Mecánica X? Ante estas preguntas plantea varias posturas posibles: 1. Hemos utilizado, con la Mecánica Cuántica, la mejor teoría disponible. Afirmaciones más completas requieren una teoría mejor, que aún no tenemos. 2. La Mecánica Cuántica es incompleta. Pero estos problemas de la Mecánica Cuántica no son todos. Esta Mecánica posee una característica muy especial. Un fenómeno cuántico no puede pensarse como existente en un estado objetivo que sea independiente del observador. La idea del estado de una

12 partícula sólo adquiere significado si se ha seguido un procedimiento para observarla. A continuación, Landsberg nos propone una serie de interpretaciones alternativas de la Mecánica Cuántica: 1. La interpretación de Copenhague (Niels Bohr y la mayoría de los físicos). 2. La interpretación como colectividades (ensemble) (Einstein). 3. La interpretación de muchos mundos (Everett). 4. La interpretación con variables ocultas (de Broglie, Bohm) que busca una Mecánica X, como explicamos antes. Pero debe surgir entonces una pregunta lógica. ¿En qué estado está una partícula cuando no la observamos?. Landsberg nos da la siguiente respuesta: "La búsqueda de la certeza se detiene aquí, puesto que esta cuestión ni siquiera está bien formulada, de acuerdo a la interpretación 1. Además, Landsberg luego de exponer como las incertezas y las probabilidades gobiernan el conocimiento de la naturaleza, nos da un último argumento, quizás el más fuerte a favor del indeterminismo: el principio de incrtidumbre de Heisenberg, según el cual, como ya vimos, ciertos pares de variables no pueden medirse simultáneamente con absoluta presición. Agreaga eso sí, que el agregar este principio a los argumentos a favor del indeterminismo es casi innecesario, ya que si incluso en la Mecánica Clásica se ven incertidumbres, más aún deben producirse las mismas en el mundo atómico. Pero para no restarle tanto valor a este importante principio, lo rescata diciendo que "añade aún, un mínimo numérico para el producto de dos incertidumbres y produce por lo tanto un resultado cuantitativo adicional" 3.5. LA ENTROPIA Lansberg hace en este punto una clara alusión a la idea central de su exposición. Para Landsberg, el universo probabilístico es "un universo en el que las limitaciones humanas y nuestra ignorancia restringen las predicciones a probabilidades, que más tarde se convierten, en hechos definidos. Las incertidumbres del futuro se convierten en certezas del pasado".

13 Luego, comienza a describir magnitudes que se han tenido que introducir en la Mecánica Estadística. Así, comienza a describir la entropía estadística. Asegura, "cada distribución de probabilidad tiene una entropía". La entropía la identifica con el grado de desorden de un sistema. Más aún, define el desorden como la entropía presente dividida por la entropía máxima alcanzable. Deduce luego, que la entropía aumenta junto con el desorden, pero para ciertos sistemas, como los sistemas biológicos que se expanden o el universo mismo que se expande también, se produce el singular efecto de que la entropía y el orden aumentan a la vez. Así, un universo que se expande con suficiente rapidez verá aumentar su entropía, sin embargo, también aumentará a la vez, su orden. 3.6. CONCLUSIONES (LANDSBERG) Para Landsberg, el tema del Determinismo no será respondido por la ciencia. Aunque acepta que se harán grandes avances en diversas materias, opina que el cerebro humana es una heramienta demasiado débil para lograr tal objetivo. Luego nos da una opinión que nos dice mucho acerca de sí mismo: "Hay quien es más optimista. Quien cree que la ciencia está a punto de resolver cuestiones tales como: ¿Qué es la materia?, ¿Qué es la vida?, ¿Qué es la mente? Pero a mí me parece en principio imposible. Los métodos científicos no se prestan ellos mismos a estas tareas, que conducirían a las verdades últimas. Éstas no son para los hombres, sino sólo para Dios". Luego concluye diciéndonos que el hombre de ciencia estudia la naturaleza desde el efecto hasta su causa o desde la causa hasta su efecto. Sin embargo, no es adecuado para el estudio de las causas primeras. Una causa primera es una categoría de pensamiento que no existe en la ciencia. Termina diciendo: "Las cadenas causales son largas y se pierden a la vista de los diligentes científicos en una nebulosa de incertidumbre, en el ocaso de la duda. La ciencia

14 tiene que callarse sobre las cuestiones últimas como el origen del universo, la existencia de Dios, la estructura de los constituyentes últimos de la materia. Aquí sólo nos sirve de guía la fe. Y esto quiere decir que uno ha llegado al final, según ñas convicciones y las preferencias emocionales de cada individuo".

4. CONCLUSIONES

A medida que fui adentrándome en los diversos temas que he expuesto fui formándome una idea propia sobre la incertidumbre y más aún, sobre cómo el azar gobierna las ciencias que describen a la naturaleza. Como hemos visto, el principio de incertidumbre nos dice que nuestro conocimiento de las propiedades de una partícula no pueden ser medidas con infinita presición ya que siempre existirá una incerteza en estas mediciones. Más aún, como el mismo Landsberg nos dice, las incertezas se encuentran incluso en ciertos aspectos de la Mecánica Clásica. Para mí, la realidad de las cosas es independiente de nuestra observación de las mismas. Lo que las cosas son o no son, es un hecho completamente independiente de lo que nosotros pensemos que son o no son las cosas. Pero debo reconocer que el principio de incertidumbre pone una traba en nuestro conocimiento de las realidades físicas. Lo que pienso, es que para nosotros, la idea del Determinismo es una utopía, pero que la idea en sí no es tan absurda. Para mí es muy claro que una partícula tiene en un determinado tiempo sus propiedades físicas bien definidas. Que nosotros no podamos medirla es una

15 cuestión completamente distinta. Así, la idea del Determinismo toma una fuerza nueva. Sin embargo, estoy bastante lejos de creer en este concepto. En este sentido concuerdo con Landsberg. Me resulta imposible pensar que todo el pasado y el futuro estén predeterminados. Pero esta creencia, como toda creencia, es un acto de fe. Los hombres debemos de ser libres. Si no, nuestra existencia no tiene valor alguno. En resumidas cuentas, la ciencia tiene una limitante introducida cuantitativamente por el principio de incertidumbre. Sin embargo, creo firmemente en que la realidad es independiente de nuestra concepción de la misma. El azar aparece en las ciencias y es imposible lograr una Mecánica nueva que haga predicciones ciertas. Pero esto no quiere decir que la ciencia sea "al azar", ya que incluso este concepto, se rige por leyes bien definidas. Y es a mi parecer, un hecho notable, ya que inspira a seguir trabajando por conocer las leyes de la naturaleza. Para ir saciando ese apetito.…

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5. BIBLIOGRAFÍA

1. "The World Treasury of Physics, Astronomy and Mathematics". Timothy Ferris. Editorial Little Brown. 2. "La Búsqueda de la Certeza en un Universo Probabilístico". Discurso de Peter Landsberg.