El Ombligo Teotihuacano 2015 Volumen 2

El ombligo teotihuacano es mi proyecto personal de investigación y divulgación sobre matemáticas en la antigüedad, siendo mi mayor éxito los resultados

obtenidos en el estudio de la ciudad de Teotihuacan. Este segundo volumen se centra en la geometría de Mesoamérica y el resto del mundo antiguo. Ignacio Colmenero Vargas

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el ombligo teotihuacano Twitter: @InvDiesel

Yo, Diego Santanna de Landa (Ignacio Colmenero Vargas) Cedo los derechos de autoría de este libro a: Consejo Federal Ejecutivo Nacional e Internacional del FRENTE MEXICANO PRO DERECHOS HUMANOS Registro Federal de las Organizaciones de la Sociedad Civil CFE06012509019 Mensajero de la paz de Naciones Unidas EL OMBLIGO TEOTIHUACANO VOLUMEN DOS

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LA REPRESENTACION MESOAMERICANA DEL MES DE 20 DIAS Y LA SEMANA DE 13 DIAS. 3 LA FIGURA HUMANA Y LOS BINARIOS

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LOS 4 NUMEROS FUNDAMENTALES EN LA SINCRONIZACION

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Y SU RELACION CON EL YIN Y YANG

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LA GEOMETRIA DE LA PIEDRA AZTECA DEL SOL

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DOS CUENTAS DE TIEMPO EN CODICES DISTINTOS PERO DE MISMA FORMA

20

ENTRE EL OCTOGONO Y EL PENTAGONO

22

LA PLANTA DE LA ERMITA DE SAN BARTOLOME DE UCERO

28

LA DISTRIBUCCION URBANA DE CHICHEN ITZA

31

EL MAPA DE CUAUH TINCHAN DOS (EL MC2), LA PUERTA DEL SOL EN TIHUANACO Y EL CODICE AUBIN

35

LAS PROPORCIONES HUMANAS SEGUN LEONARDO DA VINCI

43

UN HOMBRE DE VITRUVIO MESOAMERICANO

53

MELANCOLIA I DE ALBERTO DURERO

55

PI Y PHI: LA IRREGULARIDAD DE LA GRAN PIRAMIDE

61

LA DISTRIBUCION DEL VALLE DE GUIZA

62

CARAL, CUZCO Y SUS CAMINOS Y LAS LINEAS DE NAZCA

69

LA TEORIA DE LAS RUTAS INTERCONTINENTALES

73

LA UBICACION GEOGRAFICA DE LA ERMITA DE SAN BARTOLOME DE UCERO

77

LA GEOMETRIA DE LAS TRES OBRAS DEL MERIDIANO TOLEDO

80

LOS ALQUIMISTAS Y EL NUMERO SIETE

96

EL HUESO DE ISHANGO: DE NUMEROS IRRACIONALES A ENTEROS

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EL OMBLIGO TEOTIHUACANO VOLUMEN DOS: LA GEOMETRIA EN LA ANTIGÜEDAD Este volumen que os presento tiene por propósito analizar obras geométricas de mesoamerica (la piedra del sol, chichen itza, la virgen de Guadalupe, las cruces punteadas, la analogía de los cielos e inframundos como dos piramides escalonadas, el mapa Cuauhtinchan, y dibujos en códices de cuentas de tiempo y de una figura humana) compararlas entre ellas y entre obras del resto del mundo en la antigüedad (Tiahuanaco, Caral, los caminos incas, Nazca, el valle de Guiza, incluso el hueso de Ishango) hasta la Edad Media (Con Leonardo da Vinci, Alberto Durero, los alquimistas, tres obras en el meridiano Toledo y la ermita de san Bartolomé de Ucero) Repetidamente encontré la proporción del mes de 20 días con la semana de 13 días, ya sea con triangulos (o hexagonos) y cuadrados, con pentagonos y octogonos, etc en una fusión que tambien vimos en el volumen uno del tiempo y del espacio. También encontré además de la duplicación y cuadruplicación de círculos dentro y fuera de triángulos y cuadrados, la quintuplicacion y septuplicación de círculos en construcciones no mucho mas complejas. Trataremos aproximaciones entre números racionales y números irracionales (como las raíces cuadradas y los geométricos números metálicos tales como phi el número de oro, el de plata y el de platino) entre números racionales y números trascendentes (viendo sobretodo pi aunque también el número e en la distribución normal de probabilidad), entre irracionales y trascendentes y de todos entre si. Hablaremos del empaquetamiento óptimo y también del empaquetamiento compacto del espacio (tanto en 2 como 3 dimensiones) por medio de círculos (o esferas) y de polígonos (o poliedros) Os explicaré mi teoría de las rutas intercontinentales, hablando del desarrollo de las culturas mas antiguas del mundo en la superficie terrestre, de lineas loxodrómicas (rectas del mapa mercator que usaban los navegantes en sus viajes) y círculos máximos (en este caso son rectas del globo terráqueo que usan los pilotos en sus viajes) Así que tocaremos levemente la geometría esférica además de la plana. Veremos que el hombre de vitruvio de Leonardo da vinci no solo se rodea de cuadrado y circulo sino de triangulo, que no solo contiene phi sino los numeros de platino y plata, y que no es la única figura geometrizada (veremos unas cuantas en dibujos de alquimistas y también un dibujo mesoamericano) Además nombraremos el número cordobés y su parecido con el número aureo porque trataremos algunas obras en las que se pueden hacer al mismo tiempo construcciones octogonales (propias del cordobés) y pentagonales (propias del aureo) 2

LA REPRESENTACION MESOAMERICANA DEL MES DE 20 DIAS Y LA SEMANA DE 13 DIAS. LA FIGURA HUMANA Y LOS BINARIOS En este apartado vamos a ver que los 13 días y los 20 días de donde tenemos los 260 días del Tzolkin, calendario ritual mesoamericano identificable con un embarazo, se pueden representar geométricamente con un triángulo y un cuadrado rodeando el mismo círculo, y veremos que la figura humana se puede acotar con dichas figuras geométricas. Del mismo modo esta geometría encadenada se relaciona con los números binarios, lo que es muy interesante porque si esa semana por ese mes 13x20 son 4 días más que 256 (numero redondo binario) la otra semana por el otro mes de Mesoamérica 9x28 son 4 días menos que 256. Los cambios más importantes del ser humano se dan durante los 260 días del embarazo, esto, pues, transcurre dentro del vientre circular de la madre. Por ello cualquier ser humano se puede representar con un círculo. Dentro de un círculo podemos dibujar un triangulo y un cuadrado, ambos de lados iguales. E independientemente del tamaño del círculo la proporción entre cuadrado y triángulo siempre es de 20 y 13 (12,990381) y 20x13=260 días son el embarazo del niño. Del mismo modo, fuera del círculo podemos dibujar otro cuadrado y otro triángulo también de lados iguales. E independientemente del tamaño del círculo la proporción entre cuadrado y triángulo es 10 y 13 y 10x13=130 días del embarazo le corresponde a cada uno de los dos padres. Alguno podría decir que son 260 para la madre y 0 para el padre. Pero Teotihuacan no representa un hombre o una mujer sino, representa medio hombre y media mujer unidos. En el volumen que dedicaré a Teotihuacan veréis que una de sus pirámides, el templo de Quetzalcoatl, tiene una edificación homóloga. Dicha construcción y el templo de Quetzalcoatl son medio sexo masculino y medio sexo femenino. Los teotihuacanos no creyeron que eran suficientes las 3 pirámides mayores ya que “doblaron” el templo de Quetzalcoatl. Lo que he hecho, por lo tanto es dibujar un triángulo y un cuadrado dentro de un círculo (dentro del vientre) y un cuadrado y un triángulo fuera del círculo (fuera del vientre). Operación que podemos repetir indefinidamente (vientres dentro de vientres), pero con una condición. La proporción de las dos figuras interiores es 13 y 20 y la de las dos exteriores 13 y 10, y es porque al pintar de dentro a fuera triángulo, círculo, triángulo, círculo…… aumentamos de tamaño 4 veces cada paso y en cambio al pintar de dentro a fuera cuadrado, círculo, cuadrado, círculo… aumentamos de 3

tamaño 2 veces cada paso. Por lo tanto necesitamos por cada triángulo (identificables con los 4 abuelos) dos cuadrados (identificables con los 2 padres y los 4 padres de los 2 padres). Los hijos y los nietos (al mismo tiempo hijos de los hijos) son los sucesivos círculos (se coincide en un paso de uno y dos pasos del otro). No es el único modo de representar 13 y 20 geométricamente, veremos otra forma también muy precisa en la piedra azteca del sol. El cuadrado y el triangulo rodeados por el mismo círculo fue ideado por primera vez por Hugh Harleston, sin embargo él manejaba valores distintos en parte porque unas veces hablaba de perímetro y otras de superficie arbitráreamente, yo en mis estudios geométricos siempre busco el paralelismo, si a una figura le calculo el área, a la otra también le calculo el área (y no el perímetro).

Muchos conocéis el dibujo de Leonardo da Vinci del hombre de Vitrubio, en el que dibuja un hombre con proporciones anatómicas ideales y rodea dicha anatomía con un círculo con centro el ombligo y un cuadrado con centro la ingle. El cuadrado acota muy bien el hombre de Vitrubio, pero aun se puede acotar más si añadimos el triángulo con el mismo centro. Y efectivamente, son el cuadrado y triángulo que rodean la misma circunferencia, cuya proporción de superficies ya la sabéis, 13 y 10. En la concatenación de unas figuras dentro de otras hay dos pasos, cuando el círculo rodea las dos figuras (hijo y proporciones 20 y 13) y cuando las dos figuras rodean el círculo (padres y proporciones 10 y 13). En el Vitrubio por un centro un círculo rodea el hombre y por otro las dos figuras rodean el hombre. De esta manera el ser humano se multiplica gracias a dos centros el ombligo y el sexo respectivamente, cuando es hijo y cuando 4

es padre respectivamente. En Mesoamérica también encontré un dibujo de un personaje susceptible de ser rodeado con círculo, cuadrado y triángulo, por lo que no tenemos que irnos muy lejos para relacionar el 13 y el 20 con la anatomía humana, dibujo que pude analizar de modos muy similares al de da Vinci.

La concatenación de cuadrado círculo cuadrado círculo… ya os he dicho que va creciendo como 2, 4, 8, 16… mientras que la concatenación triángulo círculo triángulo círculo también os dije que va creciendo como 4, 16, 64… Ambos crecimientos en binario serían 1.0, 1.0.0, 1.0.0.0 y 1.0.0, 1.0.0.0.0, 1.0.0.0.0.0.0. El sistema binario es el que más se ajusta con la realidad que se trata de medir, pues mientras otros sistemas como el decimal diferencian cuando no hay nada, cuando hay uno, cuando hay dos, etc., el sistema binario solo distingue dos estados, cuando hay (1) y cuando no hay (0). Ser o no ser, esa es la cuestión. La indivisibilidad de los días en las cuentas de tiempo mayas unida al sistema binario (ceros y unos) da una visión similar al atomismo del filósofo Demócrito. La cifra binaria que os voy a mostrar es 100000000 (el 256 decimal). 256 días son 4 días más que los 252 días (28x9) de las 9 menstruaciones y 4 días menos que los 260 días (20 x13) del embarazo. Por tanto ambas combinaciones de las semanas (13 días y 9 noches) con los meses (20 y 28 días) están igualmente ajustadas por exceso y defecto. La concatenación de los triángulos y cuadrados por medio de círculos tiene una secuencia 130, 260 que seguiría 520 1040… (identificables con padres, abuelos bisabuelos, tatarabuelos), en cada paso vamos doblando. Para encontrar la relación con los binarios 128, 256, 512, 1024, hay que incluir las 9 menstruaciones, dejando 5

los binarios como medía de 252 y 260: 9 menstruaciones 252 504 1008 2016…. Sistema binario 256 512 1024 2048…. Embarazo 260 520 1040 2080…. La piedra azteca del sol se relaciona con el sistema binario en su distribución de los iconos, de hecho recientemente encontré en dicho monolito una serie numérica que tiene el binario como base, la serie diatómica de Stern, con la sucesión de los números 7 12 5, los números anterior y siguiente son precisamente el de los 9 inframundos y el de los 13 cielos (9 7 12 5 13). 252 días son 9 menstruaciones, el tiempo de no embarazo frente al embarazo de 260 días, pudiendo señalar así dos caminos posibles en nuestro destino, ser o no ser de nuevo, pues eran gente muy profetizadora. Por eso creí oportuno apuntarlo también. Este crecimiento es similar a un árbol genealógico en el que los ascendentes se duplican y cuadruplican como las ramas y las raíces del árbol desde el tronco. Aunque si no hubiera dicho esto, el siguiente dibujo, mientras algunos verían un árbol genealógico, otros verían algo parecido: la reproducción celular. Debido al ritmo de la mitosis de las células de nuestra piel (cada 12 horas) en un día o noche (semanas) se han duplicado y (cada 24 horas) en un día y noche (meses) se han cuadruplicado. La mitosis es la obtención de dos células iguales a una anterior (por tanto es una duplicación como las cifras binarias). Otras células cuya mitosis es un ritmo cada 12 horas, son las primeras del cigoto (una vez fecundados óvulos y espermatozoides) es decir los blastómeros. Por tanto, como hay dos mitosis al día, cada día hay una cuadruplicación de cada célula de ayer.

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LOS 4 NUMEROS FUNDAMENTALES EN LA SINCRONIZACION Y SU RELACION CON EL YIN Y YANG En este apartado hablare de los 4 números fundamentales en las cuentas de tiempo (5, 7, 9 y 13) y como la sincronización de dichas cuentas tienen una visión similar a la unión de los opuestos oriental (el yin y el yang). Lo veremos en el mito de los cinco soles y en el glifo maya que representa 144000 días de la cuenta larga. Dichos números también aparecen en el espacio como el caso de la analogía de los 13 cielos y 9 inframundos como pirámides o los casos del centro del mundo con 5 árboles o con 7 cuevas. Muchas de las representaciones mesoamericanas de las semanas y los meses se relacionan con la sincronización de cuentas de tiempo, ninguna cuenta de tiempo es solo de noches o días excepto las semanas de 9 noches y las semanas de 13 días. La sincronización americana de dos cuentas refleja una visión similar a la visión oriental dual del yin y el yang. En dicha visión, siempre hay algo de una dualidad en la otra y por eso las dos partes encajan. La semana de 9 noches y la semana de 13 días sincronizan cuando han transcurrido 13 de las primeras y 9 de las segundas pues 13x9=9x13. El símbolo que se usa para representar el yin y el yang, es muy esquemático y solo informa de dicha dualidad. En América hay un símbolo que da más información que veremos casi a continuación, el glifo nicté katun. No hay que ir muy lejos para encontrar tal visión en Teotihuacan. En el mito de los 5 soles, los dioses constructores de la pirámide del sol y la pirámide de la luna (los dioses Tecucciztecatl y Nanahuatzin) acaban cambiando los papeles. El constructor de la pirámide mayor (la del sol) pensaba convertirse en sol y se convirtió en luna y el constructor de la pirámide menor (la de la luna) pensaba convertirse en luna y se convirtió en sol. En el mundo maya precisamente en conexión con el mito de los 5 soles también hallamos la misma visión. El constructor de la pirámide menor (el que se convirtió en sol) dispuso de ofrenda 9 hatos de 3 cañas verdes cada uno. En América atar cuentas significaba sincronizarlas. Los 9 hatos son porque pensaba convertirse en luna (9 noches) y las 3 cañas verdes cada uno es el glifo nicté katun de la cuenta larga (20x20x18x20). Una era maya (13 veces 20x20x18x20) es un sol (13 días) en números redondos (que es en lo que se convirtió) 13 hatos de 3 cañas verdes. 9 nicté katunes (como las 9 noches) son una luna (el número de nicté katunes más 7

próximo a los 1366560 días del gran múltiplo maya del códice de Dresde) y 13 nicté katunes (como los 13 días) son un sol (el número de nicté katunes más próximo a un quinto de los 25920x365 días de los cinco soles aztecas). La precesión eran 7 lunas o 5 soles, el momento en el que quisieron sincronizar ambos tipos de eras El glifo nicté katun da mucho que hablar, en el progreso de mi investigación me he ido dando cuenta de su importancia en Teotihuacan y en América, creciendo su participación en este trabajo, y dejándome totalmente claro cómo funcionaba y para que se usaba la cuenta larga. Lo que nos interesa aquí es que se divide en dos 2 partes una oscura (en la sombra) con 13 puntos blancos (luz) y una clara (en la luz) con 9 puntos oscuros (sombra). Así que tiene correspondencia con el símbolo oriental del yin y el yang (luz en la sombra y sombra en la luz).

Ahora voy a añadir un dibujo de un códice mesoamericano. En el dibujo vemos 9 señores descarnando a la figura, cada herida de las nueve recuerda a los rayos de la piedra del sol y además hay trece circulitos similares a los de la piedra del sol. Esta imagen es de origen náhuatl no maya, pero muestra la misma idea del yin y el yang que el glifo maya nicte katún, pues con Frank Diaz y sus amigos pude aprender que el símbolo de lo luminoso es precisamente el de las heridas de la figura mientras el símbolo de lo oscuro es el de los circulitos. Posteriormente gracias a esa enseñanza pude reconocer esos símbolos en el dibujo. El concepto yin y yang lo trasmite la imagen pues tiene 9 símbolos luminosos (cuando 9 son las noches o inframundos) y 13 símbolos oscuros (cuando 13 son los días o cielos). 8

Ya que ha aparecido la figura descarnada por los 9 señores del inframundo os comento que entre el reinicio de la cuenta larga en 2013 y el reinicio de los 5184x365 de los soles aztecas 1200 días después ya en 2016, hay una tetrada, 4 eclipses totales de luna, 4 lunas de sangre, las cuales como expliqué en el primer volumen pueden estar relacionadas con el tiempo que necesitan para reencarnarse los 4 dioses de la creación. Quizás la representación más conocida de estos intervalos de tiempo es la analogía de las pirámides como los 13 cielos y los 9 inframundos, por ello, tienen 13 y 9 escalones respectivamente. En esa representación las pirámides se encuentran unidas por sus bases, pareciendo que una es el reflejo de la otra, si no fuera porque son de distinto tamaño. La que tiene 13 escalones, tiene 7 alturas y la que tiene 9 escalones tiene 5 alturas. Por tanto en una sola imagen aparecen los 4 divisores más importantes de las cuentas mesoamericanas. Como veis, en el esquema he incluido un cuadrado que rodea un círculo cuya altura (5) es similar a la de la pirámide de los 9 inframundos y que es rodeado por un circulo cuya altura (7) es similar a la de la pirámide de los 13 cielos, y vuelvo a repetir que en la concatenación círculo cuadrado círculo el área del círculo mayor es 2 veces el área del círculo menor. Esto se debe a que tanto 7/5 como 13/9 se aproximan a raíz cuadrada de 2. Por eso, nos encontramos con algo parecido a lo que vimos con los 252 días, los 260 días y los números binarios. Las dos pirámides vistas de frente casi una dobla a la otra pues 13x7=91 casi es el doble de 9x5=45, y vistas desde arriba sucede lo mismo pues 13x13=169 casi dobla a 9x9=81. Si queréis encontrar en alguna ciudad mesoamericana dos pirámides que cumplan estas dos propiedades en las que tanto vistas de frente como desde arriba una doble a la otra, id a Teotihuacan y medid las pirámides del sol y de la luna. He 9

colocado estas dos pirámides a la derecha de la analogía para que comparéis ambas imágenes. Como punto final para esta analogía, os diré que la relación 13 cielos 13 días y 9 inframundos 9 noches, fue el punto de partida de mi decodificación de los mitos cosmogónicos mesoamericanos, pues acertadamente pensé que si lo más elemental de su religión y de sus cuentas de tiempo eran similares, mucha parte de sus mitos podría ser similar a mucha parte de sus cuentas de tiempo.

La ceiba es un árbol que puede alcanzar una altura de 50 a 70 metros, y un perímetro superior al abrazo de 12 hombres a su alrededor, por tanto es una planta de unas dimensiones a tener en cuenta. De la Ceiba sagrada maya se dice que sus raíces y su copa eran el centro de las dos dualidades del más allá, los 13 cielos y los 9 inframundos. Y como centro a partir del mismo derivaban los 4 puntos cardinales. Probablemente eligieron un árbol por sus características de simetría y por estar fijos en el terreno, lo que era idóneo para la representación del centro del mundo, como veremos en el volumen sobre la geometría en la antigüedad. Lo que más interesa en este volumen es que el tronco de la Ceiba se dice que reunía nuestro mundo (el más acá). El tronco de un árbol se divide anillos concéntricos, los anillos menores son los de más edad y los mayores hacia el exterior los de menos edad. Esta proporcionalidad espacio tiempo de los anillos de los troncos de un árbol, sirve por ejemplo como una de las formas de conocer la edad del mismo. Para el mesoamericano la misma proporcionalidad posiblemente les servía en su concepción de la relación que existe entre el espacio y el tiempo. Xolotl en su huida no se transformó en pulke y en maíz (como el caso de la transubstanciación de Jesucristo en el pan y el vino de la última cena) sino en sus plantas productoras. Del mismo modo, los otros 4 hijos de los 2 dioses padres, los 4 dioses de la creación, se transformaron en 4 árboles cada uno en un punto cardinal de Teotihuacan, considerado centro del mundo también o al menos donde nació el quinto sol. Otro mito sobre el centro del mundo en América era el mítico lugar de las 7 cuevas, que para los mayas eran Vucub Ziban y para los nahuas Chicomoztoc, ciudad 10

que veréis en este volumen por qué creo que es la misma Teotihuacan. Un árbol central y 4 exteriores, 7 cuevas en la que una de ellas también es central, son dos casos que se puede relacionar en el espacio con dos cuadrados y dos triángulos rodeando y rodeados por círculos de las mismas dimensiones. La distancia entre las esquinas consecutivas del cuadrado menor, entre las esquinas consecutivas de los dos triángulos y entre el centro y las esquinas del cuadrado mayor y de los triángulos es la misma distancia. Y se puede relacionar en el tiempo con 7 múltiplos del códice de Dresde y con los 5 soles aztecas. Lo que se sabía desde hace mucho tiempo era la división en 5 de los 5 soles aztecas (25920x365 días entre 5) y la división en 13 de las eras mayas (donde cada división son un nicté katún 20x20x18x20 días). Una de las cosas novedosas que incluí en el primer volumen es que un múltiplo del códice de Dresde (1366560 días o 12 ruedas de Calderón) es la séptima parte de los 26208x365 días, cuenta tan importante como la de los 25920x365 días, y que un noveno de 5 eras mayas y un noveno de los 5 soles aztecas, se relacionan con el ciclo de eclipses de mayor duración probablemente usado por los mayas y la sincronización de nuestros 4 planetas más cercanos, respectivamente. Por tanto, digo que las cuentas que se aproximan a la duración de la precesión de los equinoccios, el ciclo mesoamericano más importante, no eran solo divisibles de 5 y de 13 sino también de 9 y 7, los cuatro números fundamentales del tiempo mesoamericano.

En el tercer volumen hablaré de qué son las cruces punteadas teotihuacanas y cómo funcionan. Teotihuacanas o no, suelen ser lo que se dicen cruces, que muestran cuatro rumbos, pero ya se ha encontrado una triaxial que muestra seis rumbos en las ruinas Lagarto en Belice, uno de los países de la zona maya. En Lagarto también hay formas en cruz, una de ellas quizás con forma de cuadrado de lados combados que muestro a la derecha de la triaxial. Las cruces de Teotihuacan se dividen como las de forma de circulo, de cuadrado, de cuadrado con los lados combados y de cruces de malta. El plano se puede dividir en cuadrados sin dejar huecos, o en círculos dejando huecos, si 11

colocamos los círculos en cruz los huecos que quedan tienen formas de cuadrados con los lados combados. Las cruces de malta no son otra cosa que un círculo rodeado de sus 4 cuadrados combados vecinos.

También hay figuras con estrellas de David en varias ciudades como Uxmal, Copan y Campeche. Eso sí, no son figuras aisladas sino que forman parte de un todo en la escultura, todo que no me atrevería a interpretar.

Estrella de David en Uxmal

Estrella de David en Copan 12

Ahora vamos a ver divisiones (empaquetamiento) del plano (o campo ) en círculos (o esferas) y polígonos (o poliedros) dejando entre ellos un espacio o huecos mayor o menor. Los cuadrados, triángulos y hexágonos son los polígonos que con solo uno de ellos repetido pueden dividir el plano sin huecos. Además con cuadrados, hexágonos y triángulos podemos representar las dos formas de empaquetar óptimamente (dejando el menor espacio posible en los huecos) un campo (3 dimensiones) con esferas iguales. Las dos imágenes de la derecha son representaciones de dichas dos formas, cada punto es el centro de una esfera. Resumiendo lo más importante aquí, el más allá mesoamericano se comparaba con dos pirámides de 13 y 9 escalones (o 7 y 5 alturas) cuya proporción se aproxima a raíz cuadrada de 2 que es la de los radios de un círculo y un círculo 2 veces mayor de área. (Veremos en el próximo capítulo que la suma de los inversos de phi al cuadrado o sea 0,381 y pi o sea 0.318 es casi 7/10 o sea 0.700275)

Con círculos que van duplicando el área progresivamente podemos trazar cuadrados triángulos y hexágonos de áreas proporcionales a 12.990381/10 y 20/10 que también obtendremos en las geometrías pentagonal y octogonal de la piedra del sol. (Si en vez de círculos iguales queremos círculos de radio los 12.990381 y 20, la proporción de los polígonos será inversa, es decir, el cuadrado con el triángulo (o hexágono) pasa de ser 20/12.990381 a ser 12.990381/20. 13

LA GEOMETRIA DE LA PIEDRA AZTECA DEL SOL Veremos que en la piedra del sol he construido dos geometrías, una pentagonal y la otra octogonal, alternativa al triángulo y cuadrado posiblemente porque se representa venus. En ambas los radios de 4 círculos suman 13.0015 radios del disco central solar y también en ambas los perímetros y áreas de los polígonos son proporcionales. Veremos como se relacionan con phi y con pi, además explicaré que ambas geometrías aparecen en la naturaleza. Finalmente hablaré de la posibilidad de que la piedra del sol represente el empaquetamiento óptimo (dejando el menos hueco posible) del espacio en 3 dimensiones y del parecido de phi de naturaleza pentagonal con el número cordobés de naturaleza octogonal. En la piedra del sol he construido dos geometrías, una basada en pentágonos y otra basada en octógonos, de cada geometría deduje 4 círculos cuyos radios suman 13.001506 y 13.001531 respectivamente (si el sol central suponemos tiene radio unidad). Es una alternativa por lo tanto a la proporción cuadrado triángulo que vimos al principio de 10 (o 20) y 12.990381 respectivamente. El pentágono (5 años sinódicos de venus) y el octógono (8 años terrestres) y la suma 13 (13 años de venus) pueden haberse elegido por los 26001 años sidereos (26002 años trópicos) es decir 107 ciclos de tránsitos de venus (243 años sidereos)

Los círculos de la construcción pentagonal miden: tangente de 63 = 1.9626 Y tangente de 63 al cuadrado = 3.8518 Y los dos círculos anteriores entre coseno de 36: 2.4259 Y 4.7611 1.9626 + 3.8518 suma lo mismo que los anteriores por raíz cuadrada de 5. 14

Los círculos de la construcción octogonal miden: coseno de 45 más dos = 3,4142 (o raíz cuadrada de 2 más 2) 2 por coseno de 45 más dos = 4,8284 (o 2 por raíz cuadrada de 2 más 1) Y los dos círculos anteriores entre 2 por seno de 60 (o raíz cuadrada de 3): 1.9712 Y 2.7877. El área del pentágono menor es igual a la mitad del perímetro del pentágono mayor es decir 13.99263, mientras que el área del octógono mayor es igual a dos veces el área del pentágono menor es decir 19.31371 e igual al perímetro del octógono menor 11.31371 mas la mitad del perímetro del octógono mayor 16/2=8.

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En el primer volumen sobre las cuentas de tiempo analicé grecas escalonadas mesoamericanas de dos tipos, aquí las menciono porque en uno de los tipos se puede representar un perímetro de 13x20 y una área de la mitad del perímetro, esta proporción recuerda las proporciones área/perímetro de los pentágonos y octógonos en la geometría de la piedra del sol. En el otro tipo se puede representar un perímetro de 130 y una área de 100, como con el área de esta greca se puede formar un cuadrado de 10x10, si inscribimos el disco central de la piedra del sol dentro de dicho cuadrado, su radio seria de 10 y la suma de los radios de los 4 círculos tanto en geometría pentagonal como octogonal serían los 130. La unidad entre coseno de 36 (con el que pasamos de dos círculos de la construcción pentagonal a los otros dos círculos) y entre raíz cuadrada de 3 (con el que pasamos de dos círculos de la construcción octogonal a los otros dos círculos) es el radio 0,7136 del círculo de área casi 8/5 (1.5999754) El hombre de vitrubio de Leonardo da Vinci tiene un cuadrado y un círculo rodeándolo, la proporción entre las dos figuras cuadrado círculo es casi 10/12 (1.1999816) y yo añadí el triangulo de área 12.990381. 8/5 son 4/3 veces 10/12 siendo 4/3 la proporción de un hexágono rodeando un círculo y otro hexágono rodeado por el mismo círculo. La geometría se resume en lo siguiente (0.618 es 1/phi):

Acabamos de ver que la proporción entre phi al cuadrado (2.618) y pi (3.1416) es casi 16

entera 10/12. La suma de los inversos de phi al cuadrado (0,381) y pi (0.318) es casi entera también 7/10 (0.700275) La suma de los inversos de 1.9626 y 3.8518 es 0.76914 (o 10/13.0015, el área/perímetro de una de las grecas) y la suma de los inversos de 3.4142 y 4.8284 es 0.5 (10/20, el área/perímetro de la otra greca). La suma de los inversos no solo se tienen en cuenta aquí, también la mencionaré en el análisis en territorio español. Todos más o menos hemos escuchado que phi, la proporción aurea, es la proporción que más aparece en la naturaleza, y lo encontramos en la geometría pentagonal de la piedra del sol, pero la geometría octogonal de la piedra del sol aparece también en la naturaleza, el caso que conozco es el del huevo de gallina cuyo contorno se puede trazar con arcos de circunferencia en los que aparece 3.4142 y 4.8284.

Uno de los 4 arcos de circunferencia del huevo de gallina son en la mitad inferior de un radio de 0.5. El punto más alto del círculo al que pertenece dicho arco es el centro del arco de circunferencia de la parte alta del huevo y tiene un radio del inverso de 3.4142. Por tanto ambos círculos se solapan en 0.5 menos el inverso de 3.4142 igual al inverso de 4.8284. El arco inferior esta dentro de un vesica piscis es decir dos círculos con centro un punto del otro círculo, el vesica piscis de radios unidad son los dos arcos de circunferencia entre el superior y el inferior. He dibujado una elipse que pasa por los 4 puntos intermedios entre los arcos de circunferencia del huevo y el punto superior del huevo (que es el vértice superior del octógono menor). El centro de la elipse es el vértice inferior del octógono menor y el punto inferior de la elipse es el vértice inferior del octógono mayor. Hay muchos puntos comunes a los (octógonos cuya proporción es la de los octógonos que aparecen en la piedra del sol), la elipse y los círculos del huevo. 17

Vemos en la imagen izquierda superior una de las 2 formas óptimas de empaquetar el espacio con esferas (donde cada punto es el centro de una esfera), podemos dibujar cuatro círculos uniendo todos los centros de esferas, dos de ellos es raíz cuadrada de 2 mayor que los otros dos. Si los círculos unidad son los menores la suma de los 4 es 4.8284 y si los círculos unidad son los mayores la suma de los 4 es 3.4142. Y si los menores son 3.4142 o 1/4.8284 los mayores son 4.8284 o 1/3.4142. La imagen superior derecha es la vista de una cara de dicho empaquetamiento y nos recuerda al símbolo llamado quincunce de la piedra del sol.

En cambio la geometría pentagonal nos recuerda que a una esfera central pueden tocarla como mucho otras 12 esferas, un total de 13 esferas donde las 12 exteriores coinciden con los vértices de un icosaedro (el poliedro con más propiedades aureas) El motivo de que nos lo recuerde es que a una esfera exterior le tocan otras 5 exteriores, si miramos las esferas o el icosaedro desde fuera veremos 5 esferas o un pentágono, ambas cosas las vemos en la piedra del sol.

El icosaedro, a pesar de estar formado por 20 triángulos equiláteros, es la unión de 12 pentágonos regulares , el dodecaedro (polígono de 12 caras pentagonales) es el polígono dual del icosaedro y actualmente es la forma más probable para el universo. Las 13 esferas que se compactan como dodecaedros son las de las celdas más densas localmente (eso si como la celda local en este caso no tesela (no divide exactamente) el espacio por ello hablamos de óptimo a nivel local una unidad y no global. 18

Los 4 círculos en ambas geometrías son distintos, por ello el escultor de la piedra del sol tuvo que hacer algunos ajustes, ese es el motivo por el que creo que los círculos de la piedra del sol no son perfectamente concéntricos. Tenemos en verde la geometría octogonal y su centro, en azul el segundo nivel de la geometría pentagonal y su centro y en rojo el primer nivel de la geometría pentagonal y su centro. La mayor descentralización es la de el círculo (rojo) mayor del primer nivel de la geometría pentagonal, dicho círculo a un lado llega al exterior del anillo del mes de 20 días, y a otro lado llega hasta los símbolos llamados quincunces, por eso pienso que aunque los 8 rayos solares son buenos marcando la geometría octogonal, también delimitan hasta donde llega dicho circulo mayor del primer nivel de la geometría pentagonal ya que 4 rayos empiezan desde los quincunces y 4 rayos empiezan desde el exterior del anillo de los 20 días. El rayo solar central termina en el interior del anillo del mes de 20 días que es lo menos hasta donde llega el circulo menor del primer nivel de la geometría pentagonal. Al respecto tengo que mencionar el número cordobés 1.306562 o sea cerca de 13/10, viene de coseno de 67.5 de naturaleza octogonal (0.382683 es muy cercano a 1/phi al cuadrado o sea 0.381966 de naturaleza pentagonal), diferencia imperceptible al ojo humano, es la razón por la que encuentro ambas geometrías en las mismas obras. 19

DOS CUENTAS DE TIEMPO EN CODICES DISTINTOS PERO DE MISMA FORMA Vamos a ver la geometría de una cuenta de tiempo de un códice maya y de una cuenta de tiempo de un códice nahuatl, superponiendo círculos de las geometrías pentagonal y octogonal de la piedra del sol. También daré a dichas cuentas una forma tridimendional que coincide con una sección de un sólido arquimediano. A partir de esto, y suponiendo que cada arista del solido es una semana de 13 días, pasaremos de los 260 a los 364 días. En ambas cuentas en el exterior tenemos 260 puntos como los 260 días del calendario ritual, están divididos en segmentos de 13 puntos como las semanas de 13 días y su forma más geométrica es la del códice nahuatl (a la derecha) de una cruz que entre cada par de aspas hay un hueco de forma triangular equilátera, en el del códice maya (a la izquierda) no se ve tan clara dicha forma y es que hay diferencias entre ambas. En la cuenta maya vemos en el centro los 20 signos del mes, cosa que no vemos en la nahuatl, en ambas aparecen los 20 signos presidiendo cada trecena de días. Hay que tener en cuenta que ambas cuentas están contenidas en una zona rectangular casi cuadrada, como no es exactamente cuadrada las siguientes geometrías se desajustan. En la maya he dibujado los 4 círculos de la geometría pentagonal de la piedra del sol, las esquinas de los dos cuadrados entre los que están los 20 signos del mes quedan dentro de los dos círculos de la piedra del sol donde precísamente está el mes. Entre el tercer y cuarto círculo quedan las 4 trecenas paralelas a los cuadrados de la veintena. Los 260 días no sobrepasan el cuarto círculo. En la nahuatl he dibujado el sol central de la piedra del sol, el primer y cuarto círculo según la geometría octogonal, que son los que rodean los 4 soles anteriores y toda la piedra respectivamente. Los 260 puntos quedan entre el 1º y 4º círculo y si prolongamos los lados de los triángulos contenemos el disco solar central. Si a estas imágenes planas les doy forma tridimensional nos encontramos con una sección del rombicuboctaedro, uno de los sólidos arquimedianos, en la que se dibujan 9 de las 26 caras y 24 de las 48 aristas del sólido, más concretamente sería la parte más baja del sólido vista desde arriba aplicándole la consecuente perspectiva. Entre las 24 aristas dibujadas que constituyen la mitad del rombicuboctaedro tenemos las 20 que coinciden con cada cuenta de 13 días del año ritual de 260 días. Las 28 restantes del sólido por 13 días serían 364 días que sería la cuenta zodiacal maya. 364/260 son 7/5=1.4 próximo a raíz cuadrada de 2=1.4142.

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ENTRE EL OCTOGONO Y EL PENTAGONO Y continuamos recordando el parecido de phi con el número cordobés, con dos construcciones al mismo tiempo pentagonales y octogonales. En una que es la imagen de la virgen de Guadalupe encontramos las dimensiones de la piedra del sol según tanto la geometría pentagonal como la octogonal. En la otra que es la planta del castillo de Chichen Itza encontramos las distancias 4.8284 y 3.4142 de la geometría octogonal. Aparecen tanto octógonos como pentágonos y los círculos que los rodean, con uno de ellos tenemos también una aproximación a 13/40 En un análisis de la virgen de Guadalupe, patrona de México, partí del supuesto que la media luna sobre la que se encuentra la virgen, tiene unas dimensiones como las de la mitad del disco solar central de la piedra del sol. Dibujé un vesica piscis (el círculo que contiene la media luna y un círculo equivalente debajo de el) El segundo círculo sería el del disco solar central de la piedra del sol y el borde de la piedra según la geometría pentagonal es decir a 4.7611 radios del disco solar central, alcanzaría toda la altura de la virgen pero quedando parte de la imagen sin alcanzar. Dicha parte de la imagen se alcanza si trazo un octógono con el lado inferior coincidente con el diámetro del sol central, a 4.8284 radios del disco central, es decir, el borde de la piedra según la geometría octogonal. Entonces ¿por qué valernos también del borde de la piedra según la geometría pentagonal? Porque hay dos círculos tangentes con el disco central y con dicho borde de la piedra, círculos que se entrelazan como sucede con el símbolo del central, es decir, el signo ollín. Tracé una pareja (también entrelazada) de círculos 4 veces menores que los círculos tangentes al disco central y borde de la piedra, el diámetro vertical de cada círculo menor coincide con el radio vertical de un círculo tangente. La distancia entre la parte inferior de la imagen debajo del ángel y la parte superior del sol central es la mitad del diámetro de los círculos menores y del radio de los círculos tangentes. La parte inferior de la imagen es el centro de un círculo menor. Por ello, si la parte superior de la imagen coincidía con la geometría octogonal, la parte inferior de la imagen coincide con la geometría de círculos enlazados que a su vez coincide con la geometría pentagonal. Los tres rectángulos coloreados son la mitad del espacio ocupado por la virgen, su equivalente cuadrado y su equivalente rectangular donde una esquina es la flor de 4 pétalos (también ollin) a la altura del vientre de la virgen. Observad como los dos equivalentes tienen dos esquinas coincidentes con los puntos de cruce de los círculos tangentes entrelazados.

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El primer círculo de la piedra del sol parece como algunas representaciones del signo ollin. Otras representaciones del mismo signo podrían ser la estilización de la pareja de círculos entrelazados de los que acabamos de hablar.

En la planta del castillo de Chichen Itza he trazado dos octogonos iguales (en azul) Un pentágono mayor (en rojo) y otro menor (en verde) y círculos con el tamaño suficiente para rodear cada figura (del color de la figura que puede contener). En la octogonal tenemos un octógono con un lado coincidente con el techo de la pirámide es decir el suelo sobre el que se encuentra el templete, el octógono contiene el techo, y llega hasta el final de los escalones de la escalera (a 4.8284 medios lados del techo) si colocamos dicho octógono en sentido contrario el centro del octógono llega al lado de la base de la pirámide (la mitad de la distancia de 4.8284). Además la distancia entre las esquinas de base y techo de la pirámide (3.4142 medios lados del techo) es equivalente a la distancia entre las esquinas de la base y centros de los lados de la pirámide (lo represento con círculos negros). Las dos distancias forman parte de la geometría octogonal. El techo de la pirámide también es el lado del pentágono verde (menor) que coincide en gran parte con la estrella de 5 puntas (representada en negro) interior al pentágono rojo (mayor) el cual tiene un lado con el punto central coincidente con el punto central del lado de la pirámide. El círculo rojo (pentágono mayor) tiene de radio la altura del pentágono verde (3.077683 el inverso de tangente de 18º) esto entre 40 es 12.996788. Tracé los dos círculos verdes con centro los vértices del pentágono verde pues casi coinciden con los vértices (entre el centro y las esquinas del castillo) del octógono. También tracé con centro dichas esquinas los dos círculos rojos porque casi coinciden con los vértices del pentágono verde anterior. A la inversa, unos círculos rojos concéntricos a los dos verdes alcanzarían las esquinas del castillo. Si partimos de los datos anteriores y le damos a las escaleras una pendiente de 45º (base entre altura =1) la altura de la pirámide seria también 2.8284 y como medio lado de la base era 3.4142 la altura de la proyección de la pirámide seria 4 (1.4142 veces 2.8284 por lo que tendríamos 13 troncos en lugar de 9) 23

Virgen de Guadalupe

Planta del castillo de Chichen Itza. 24

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En la primera de las 3 imágenes que incluyo del perfil del castillo de chichen itza se ve como las medidas del mismo están relacionadas con octógonos y pentágonos si cabe en mayor medida aun que en la planta. En dicha primera imagen trazo 6 cuadrados, los dos mas grandes cuya diagonal es la escalera tiene un área cada uno equivalente a los dos cuadrados medianos centrales (que llegan hasta la prolongación a 13 troncos del castillo) Los dos cuadrados pequeños contienen la escalera frontal en alto y ancho y tienen la mitad de área que los anteriores cuadrados. Se trata pues de algo semejante a los rectángulos de área equivalente en la imagen de Guadalupe. Del mismo modo, si olvidamos las escaleras, y queremos dividir el triangulo que contendría los troncos de la pirámide en cuatro porciones equivalentes en área, la forma mas fácil sería un corte central vertical y dos cortes paralelos al central precisamente donde termina la cumbre de la pirámide (donde comienzan las escaleras) En la segunda imagen solo muestro los pentagonos de la geometría, las rectas que unen los puntos medios de los lados de estos pentagonos guardan mucha armonia, lo considero significativo pues la distribución urbana de chichen itza refleja un triangulo y un pentagono divididos en partes de igual superficie, en el caso del pentágono lo consiguen gracias a dos rectas que unen los puntos medios de sus lados. Termino con que como la escalera tiene 92 escalones si suponemos que el cuadrado que contiene esta es de 92x92, los dos cuadrados centrales serían de 130x65, estas medidas se deben a la proporción 1.4142 que conocemos por ello este castillo como veremos en el tercer volumen hace las veces de las piramides del sol y la luna juntas de Teotihuacan. Por eso incluí la tercera imagen que muestra la piramide interior del castillo cuya altura es precisamente 1.4142 (raiz cuadrada de 2) menor que la del Castillo. Estas medidas (92x92 y 130x65) se alejan levemente de los numeros geometricos que vimos pues los ultimos no son racionales. Ese alejamiento sin embargo es para bien pues a partir de las medidas enteras tenemos un angulo de la piramide de 40.5391º cuyo seno es 13/20.000999, el valor mas cercano a 13/20. 26

Lo último que añadido en el estudio del castillo fue a propósito de mi plática con David Wood Cano que forma equipo con Arturo Montero entre otros, pues me comentó la alineación del castillo de Chichen Itzá con respecto amanecer y atardecer los días del paso solar cenital (y también por el nadir) a partir de la orientación de 22.5º con respecto al norte. Yo rápidamente me percaté de que es un ángulo propio del octógono por eso tracé en la planta del castillo un octógono con lado el de la cumbre del castillo y otro octógono con lado la mitad del lado de la cumbre del castillo. La linea norte que pasa por el centro del castillo pasa por el corte del primer octógono con la base del castillo y pasa por el corte del segundo octógono con la cumbre del castillo. Todas las líneas que tracé paralelas a la norte que pasa por el centro del castillo corta como mínimo o un vértice de los pentágonos (mayores y menores) y octógonos (mayores y menores) o un punto medio del lado de los pentágonos (mayores) y octógonos (menores). Hay que matizar que es exacto con octógonos pero con los pentágonos la aproximación se aleja imperceptiblemente a ojo humano. Una cosa que me di cuenta es que el pentágono menor con un lado sobre un lado de la base del castillo (dicho pentágono tiene un vértice común al pentágono mayor) si lo rotamos 90º tres veces, los 4 pentágonos son casi tangentes como lo son entre ellos dos de los octógonos menores.

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LA PLANTA DE LA ERMITA DE SAN BARTOLOME DE UCERO Vamos a ver que en la planta de dicha ermita se puede construir al mismo tiempo las geometrías octogonal, pentagonal y de círculos entrelazados, la diferencia es imperceptible al ojo humano como comentaba con el número cordobés y phi. De esta ermita pudimos hablar en el primer volumen y en este segundo volumen vamos a hablar de ella en dos capítulos. En este capítulo veremos que en su planta se puede construir también las geometrías octogonal, pentagonal y de circulos entrelazados al mismo tiempo. En la planta de la ermita se puede trazar un octógono, donde dos lados coinciden con el exterior de la nave menor. De las 8 columnas las 4 centrales son cortadas en dicha geometría por el circulo menor. Recuerdo que a partir del octógono podíamos crear la proporción cordobesa. Mas adelante veréis que las geometrías que tracé sobre la península ibérica están giradas un grado por eso la orientación 68.5º de la ermita se refiere al ángulo de 67.5º (1/2 entre el coseno de 67.5º=1.3065 es el numero cordobés mientras que tangente de 67.5º es el inverso del numero de plata o sea 0.4142) Las otras cuatro columnas son cortadas gracias a añadir dos círculos entrelazados tangentes al circulo mayor y al menor. El circulo menor también corta los cruces de segmentos de una estrella de 5 puntas contenida en el circulo mayor. Recuerdo que con dicha estrella creamos la proporción aurea. Si los dos centros de los círculos entrelazados son el diámetro de un circulo, este queda dentro de la estrella de 5 puntas, es por tanto coseno de 36º menor que el circulo menor.

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Las diferencias entre los valores cercanos en las tres geometrías, como podéis ver son imperceptibles a nuestros ojos, como ya había dicho.

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Como el castillo de Chichen Itza, la ermita es tridimensional, así que recientemente analice la misma de perfil y me encontré de nuevo las tres geometrías, la octogonal, la pentagonal y la circular, que como son distintas ya sabéis que no hay puntos exactamente coincidentes sino aproximaciones.Como en el perfil del castillo de Chichen Itza, aquí tenemos que todas las figuras son de area equivalente. Tracé el rectángulo que contiene la ermita y al mismo tiempo 3 círculos con la propiedad de que los dos grandes son iguales y el pequeño tiene la mitad de area cortando los centros de los otros dos círculos y los cortes entre los otros dos círculos. La mitad de los arcos de los circulos grandes que invaden el otro círculo se acomodan a uno de los arcos de la nave central. En azul dibujé los octógonos, estos tienen un area equivalente al de los circulos mayores y su lado es la mitad de los muros exteriores. Mientras que en rojo, los pentágonos tienen un area del circulo menor y su lado es la mitad del tejado central. Así que los tres tipos de figuras se acomodan al menos con un elemento de la ermita. Digo al menos uno, porque lo más claro es que los octógonos tienen lados que descansan en los tejados mas bajos (los de las naves menores). Además pongo de ejemplo un pentágono de area los circulos mayores y dos octogonos de area el circulo menor, los tres con trazos discontinuos. Un motivo es para que veais como el punto grande F (la losa de la salud que se ilumina los solsticios de invierno) es vertice de octogonos y pentagonos, y otro es para que veais que los octogonos pequeños tambien se acomodan por ejemplo en los tejados bajos. Algo interesante es que distingue que 4 rectas superpuestas a lados de los pentágonos cruzan los vertices de los octógonos en los muros exteriores.

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LA DISTRIBUCION URBANA DE CHICHEN ITZA Ahora vamos a darle una interpretación geométrica al topónimo chichen itza “a la orilla del pozo de los brujos del agua” pues la ciudad se distribuye geométricamente a partir de los cenotes (pozos naturales) mas cercanos a la ciudad. Por ejemplo la recta de regresión (recta a la que tienden) de los cenotes u orografías similares coincide con el sacbe (camino) principal (el que lleva al cenote sagrado) Además la expansión geométrica de la ciudad deja siempre a un lado a dicho cenote sagrado, de haberse expandido mucho nunca habría absorbido la zona del cenote. Desde el cenote sagrado es fácil encontrar las distancias raíz cuadrada de 2, 4, 7, 10, 9, y 13 por lo que podemos trazar círculos de área 2, 4, 7, 10, 9 y 13. Con estos números tenemos las semanas (9 noches y 13 días) y los meses (2x10 y 4x7 días) mayas. Las tres construcciones más conocidas, osario, caracol y castillo tienen posiciones estratégicas y sus distancias al cenote son raíz cuadrada de 6, 9.5 y 3. Es posible que además tuvieron en cuenta la geometría pentagonal. Además de la distribución urbana de Teotihuacan he estudiado la de otros lugares, en la zona de Mexico también cuento con la de Chichen Itza, dicho nombre es un topónimo que significa “a la orilla del pozo de los brujos del agua”, los dos ejemplos de matemáticas que vamos a ver están aplicados a los pozos, los cenotes y orografías similares, de dicha ciudad. Dichos ejemplos hacen que Chichen Itza pueda compararse a Teotihuacan, ya que son parecidos a otros que hallé en esta última. Si bien mi estudio de Teotihuacan es más denso, los pocos casos que encontré en Chichen Itza brillan por usar las matemáticas de un modo práctico para la ciudad. El cenote sagrado y el sacbe nº 1 (camino que lleva a dicho cenote) están en línea con la recta de regresión de todos los cenotes u otro tipo de pozos en la ciudad. Por lo que posiblemente tenían conocimientos de estadística, al igual que los teotihuacanos. Los cenotes son naturales no artificiales por eso no están distribuidos en línea, por eso la correlación o calidad de ajuste es bajo, lo que hace bastante difícil que a ojo de buen cubero encontraran dicha recta de regresión. Esta imagen muestra como aspas los pozos o cenotes de Chichen Itza. También calculé la distancia media entre el cenote sagrado y los demás, curva discontinua, que resulta ser la distancia entre el cenote sagrado y el segundo en importancia, distancia igual al radio del círculo 7 veces mayor. 31

Pero como he dicho lo bonito aquí es su practicidad, ¿Por qué es practico levantar una ciudad entorno a la línea de regresión de sus cenotes o pozos? Construir una ciudad a partir de la línea de regresión de todos sus pozos significa que tendrán lo más cerca posible dichos pozos a la línea y por tanto a la ciudad entorno a ella. Recordad que la ciudad se llama “a la orilla del pozo de los brujos del agua”. Este nombre también hace referencia a que Chichen Itza también dibujaban en el terreno círculos cada vez mayores basándose en propiedades geométricas como los teotihuacanos, pero con la diferencia de que en Chichen Itza no son concéntricos sino tangentes en el mismo punto, el cenote sagrado. La practicidad de esto es que de ampliarse mucho la ciudad, crecería solo en 3 de los 4 puntos cardinales, quedando un extremo siempre en la “orilla del pozo sagrado”. Siempre pongo de ejemplo la ciudad actual del Cairo, la cual es muy grande pero deja un vacío constructivo alrededor de las pirámides de Guiza, ya sea por no alterar el paisaje, la zona de trabajo arqueológico o lo que sea.

En este mapa trazo el circulo unidad cuyo radio es la longitud del sacbe nº1, el 32

círculo 4 veces mayor que rodea la ciudad y los cenotes, y un triángulo inscrito en el circulo mayor, dicho triángulo contendría exactamente el circulo unidad de estar centrados. Pero la distribución de la ciudad no es triangular sino rectangular. El rectángulo que contiene el área principal de la ciudad es tangente al círculo mayor y contiene medio círculo menor. Esto también tiene propiedades matemáticas. La proporción de los lados del rectángulo son 1/2.732 (el número de platino) En la siguiente imagen vemos como a partir de las esquinas obtenemos puntos distantes del cenote sagrado en las raíces cuadradas de 13, 10, 9, 7 y 2, lo que quiere decir que pueden ser los centros de círculos que pasan por el cenote sagrado de áreas 13, 10, 9, 7 y 2. Junto con los de áreas 4 y 1, son los divisores de 10x9x2 =180 el mes maya de 20 días con sus noches por la semana maya de 9 noches y 13x7x4=364 el mes maya de 28 días con sus noches por la semana maya de 13 días.

La posición de dicho cenote segundo en importancia es la siguiente: Una curva de circunferencia con centro el pozo sagrado, que pase por el punto medio de dos de los lados del triángulo. Quizás por eso el castillo de Kukulcan y el osario (que he rodeado) son cortados por dos de las tres líneas que dividen el triangulo en mitades. Además si uniéramos el observatorio de caracol (que marco en la siguiente imagen junto a las otras dos construcciones) y el castillo de Kukulcan con una recta, esta cortaría el circulo 4 veces mayor en un punto que coincide con el vértice del pentágono que inscribo dentro de dicho circulo. En el pentágono al igual que en el triangulo los puntos medios también son relevantes, dos de las líneas que unen dichos puntos ahora cortan el osario y el observatorio de caracol. Estas líneas discontinuas juntas tienen la propiedad que dividen el pentágono en dos partes de igual área. Ya vimos que el triangulo también se dividía en mitades. El punto medio del pentágono mas alejado del cenote sagrado es el centro de una circunferencia que pasa por los puntos medios contiguos y además 33

corta el castillo, y pensé que quizás también de una circunferencia que pasa por el vértice del pentágono que cortaba el circulo 4 veces mayor. El área de este segundo circulo sería algo más de 13. Pero es de gran sencillez. Cos36=0,809017 al cuadrado por 4 por 5 igual 13,09017. Aunque hoy en día pienso que dicho círculo mayor no es necesario pues vimos la distancia raíz cuadrada de 13 exacta, hoy en día pienso que el motivo es que el pentágono contiene el círculo de área phi al cuadrado 2.618, es decir del centro al punto medio de cada lado del pentágono hay una distancia de phi 1.618.

Para terminar hay que añadir que la distancia del cenote sagrado al castillo, osario y al caracol son raíz cuadrada de 3, 6 y 9.5 respectivamente si fueran radios de círculos ya sabéis que sus áreas son 3 6 y 9.5 exactos. En la imagen derecha muestro donde deben estar para que dichas distancias sean correctas, el osario (como el castillo) esta tanto en la linea que divide en 2 el triangulo, y la que divide en dos el rectángulo, el punto donde se cortan las dos lineas (osario) dista raíz cuadrada de 6 del cenote sagrado. El observatorio para estar a raíz cuadrada de 9.5 del cenote se debe situar en la linea que divide la mitad del rectángulo en dos cuartos y en el circulo de área 0.5 con centro el osario. El Castillo para estar a raíz cuadrada de 3 del cenote sagrado se debe situar en la linea que al mismo tiempo divide en 2 el triangulo y el rectángulo y en el circulo de área 4 con centro el punto medio del lado del rectángulo mas alejado del cenote. Estas ubicaciones tienen propiedades geométricas por ejemplo la linea osario caracol pasa por una de las esquinas del rectángulo, mientras que la linea osario castillo pasaría por una de las esquinas si los lados menores del rectángulo midieran el doble, entonces tendríamos un rectángulo 2/2.732=1/0.732 en vez de 1/2.732. Una noticia reciente que refuerza las teorías de este capítulo es que un equipo de arqueólogos espedeólogos apoyados por national geographic han concluido que el castillo esta en el cruce de los brazos de una cruz cuyos extremos llegan al cenote sagrado, el cenote que comento segundo en importancia (brazo que coincide con la linea de regresión que os expuse) y dos cenotes a gran distancia por lo que no aparecen ni en el mapa que he usado ni en el mapa mas grande que existe de la zona (brazo perpendicular) 34

EL MAPA DE CUAUHTINCHAN DOS (EL MC2) El mapa de Cuauhtinchan 2 nos ayuda para situar el lugar de las 7 cuevas míticas, según el trabajo de unos espedeologos queda en Teotihuacan o cerca de la misma. Las dimensiones 1 a 2 del mapa permiten trazar un círculo exterior 5 veces mayor que un círculo interior. El mapa esta girado con una pendiente de 1/3 con respecto los cardinales eso nos permite rodear el mapa con un rectángulo de lados enteros (5 y 7) si suponemos que las dimensiones del mapa son 20 u otro múltiplo de cinco, y los lados son por tanto raíz cuadrada de 10 y 40 es decir irracionales. Por tanto el giro del mapa es parecido al método ancestral chino de calculo de áreas aunque con propósitos distintos. Aquí traemos un mapa mesoamericano cuyo centro es el pueblo de Cuauhtinchan en el centro del valle de Puebla. No se trata de un mero mapa cartográfico donde se detallen las características geográficas de la zona, sino que narra la migración de los habitantes de Chicomoztoc (el legendario lugar de las 7 cuevas) para ayudar a los Toltecas de la ciudad de Cholula que estaban siendo asediados por los olmecasxicallanca. Este mapa por ello puede ayudarnos a situar dicho mítico lugar, o al menos saber a quienes consideraban los toltecas los habitantes de las 7 cuevas, consideradas como el centro cultural en mesoamerica.

Pero además tiene propiedades geométricas como la piedra del sol, también relacionadas con el 5. Se puede apreciar que las dimensiones del mapa son las de un rectángulo donde un lado es el doble del otro. Con estas dimensiones podemos dibujar rodeando el rectángulo un círculo 5 veces mayor que el círculo interior al rectángulo. Esta quintuplicación de superficie me recuerda que en mesoamerica se consideraba centro del mundo una ceiba cuyas ramas llegaban a los 13 cielos y cuyas raíces 35

llegaban a los 9 inframundos. Dicha concepción evolucionó con el mito de los cinco soles, con que en Teotihuacan (donde nació el quinto sol) había 4 arboles en sus extremos, uno en cada cardinal. Los 5 arboles, uno central y 4 en los extremos, que es el 5 en el espacio al igual que los 5 soles eran el 5 en el tiempo, podría ser el fundamento de porque las dimensiones de este mapa sirven para dibujar una quintuplicación de superficies. No estoy especulando sin mas pues en cada mitad (cuadrado) del mapa nos encontramos el mismo símbolo repetido 5 veces, algo como una especie de puerta monumental. Un grupo de espedeólogos desarrolló un proyecto de la fundación de investigaciones mesoamericanas y creen que el mapa estaba girado, es decir, no orientado con los puntos cardinales. Dichos espedeologos dibujaron un mapa con la franja de espacio que posiblemente se represente en el MC2. Incluyeron dentro de dicha franja, las ciudades de Teotihuacan (en el esquina izquierda arriba donde se halla el dibujo de las 7 cuevas) Apizaco, Tepetitlan, Tehuacan, Izucar de matamoros, Chalcatzingo, Xochicalco y ciudad de México.

Yo me di la licencia para corregir un poco el mapa para darle las dimensiones de 2x1 y la pendiente (inclinación con los cardinales) de 1/3, el resultado como veis en la imagen es prácticamente el mismo, quedando en el interior todas las ciudades mencionadas antes, yo diría que estas ciudades aun quedan más cerca de los límites del mapa. Parece ser que Teotihuacan (donde nació el quinto sol) no fue solo el lugar donde se encontraban los arboles del centro del mundo sino que también es el lugar de las 7 cuevas. Pero sobre donde situar la 7 cuevas hay mucha idea encontrada, para que yo afirmara que Teotihuacan es Chichomoztoc tendría que explicar de algún modo el MC2 que diera lógica a esa inclinación, cosa que afortunadamente puedo hacer. 36

Existe un método matemático ancestral chino para calcular el área de polígonos irregulares de 4 lados que consiste en inscribirlo dentro de un rectángulo (cuya área es base por altura) por lo que quedan zonas que no abarca el polígono con forma de triángulos rectángulos (cuya área es base por altura entre dos). Restando al área total del rectángulo las 4 áreas de los triángulos rectángulos obtenían el área del polígono irregular. El método que encontré en el MC2 se basa en inscribir el mapa inclinado dentro de en un rectángulo orientado con los cardinales. Aunque aquí el propósito es distinto. Como el mapa permite geométricamente la quintuplicación de áreas y como cada mitad del mismo tiene 5 símbolos iguales, voy a suponer que su área es múltiplo de 5, veinte por ejemplo.

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Tenemos que para que su área sea de 20 unidades y un lado doble al otro, necesitamos un lado de raíz cuadrada de 10 y otro lado de raíz cuadrada de 40, ambos números son irracionales. En cambio los lados del rectángulo que rodea el mapa son 5 y 7 (quizás relacionado con las 7 cuevas y los 5 arboles) que son números racionales enteros. Ese el propósito de este método parecido al chino, pasar de números irracionales a números enteros, cosa que estamos viendo en muchos de los capítulos. Si queréis comprobar que lo que digo es cierto, calculad los lados de los triángulos rectángulos que no abarca el MC2, como su pendiente es de 1/3, los catetos de los triángulos tienen una proporción 1 a 3. Hay dos triángulos de catetos 1 y 3 (su hipotenusa es raíz cuadrada de 1+9=10) y dos triángulos de catetos 2 y 6 (su hipotenusa es raíz cuadrada de 4+36=40) donde las hipotenusas de los triángulos son los lados del MC2. Además con esa inclinación y esas dimensiones las pendientes de las diagonales del MC2 son de 1/7 y 1/1, lo que facilitaría mucho trabajar distancias con este mapa.

En resumen, gracias al trabajo de los espedeologos y a mi estudio, se puede pensar con bastante certidumbre que Chichomoztoc se ubicaba en Teotihuacan, en la cual recientemente se van encontrando más y más estructuras subterráneas, o muy cerca de la misma, y al mismo tiempo tenemos que el MC2 es, además de un mapa y una narración, un método geométrico para quintuplicar áreas y un método también geométrico para pasar de números irracionales a números enteros, cosa que estamos viendo en muchos capítulos. 38

LA PUERTA DEL SOL EN TIHUACANO Entre los numerosos análisis de esta puerta está el mío donde me valgo de 3 tipos de cuadrados relacionados con phi y con 5. Los resultados que hallé de ese modo es una aproximación de dichos cuadrados irracionales a los enteros 7, 4 y 3, dos aproximaciones a pi y la quintuplicación de superficies. En América del sur nos encontramos la puerta del sol en Tihuanaco, dicha construcción ha sido objeto de muchos análisis. En la imagen vemos uno de esos análisis que defiende que se puede descomponer en rectángulos aureos.

Yo también hice un análisis de la puerta en la que trabajo con tres tipos de cuadrados A) El de lado phi al cuadrado (2.618) B) El del lado phi al cuadrado menos raíz cuarta de 5 (1.122) C) El de lado raíz cuarta de 5 (1.495) La parte inferior de la puerta esta contenida en dos cuadrados A, recordad que un rectángulo de proporción 2 a 1 en sus lados tiene un círculo exterior 5 veces mayor que un circulo interior. Un rectángulo de esas dimensiones es equivalente a dos cuadrados iguales juntos. La parte del friso nos deja a ambos lados de la figura del centro dos cuadrados B por lo que podemos volver a hablar de la quintuplicación del anterior párrafo. Y el total de la puerta es una aproximación a 8 cuadrados C (las dos partes anteriores más la figura central más las dos partes triangulares encima del friso menos el hueco de la puerta) es decir 8 por raíz cuadrada de 5. Los lados de los 3 cuadrados se pueden aproximar a números enteros, los de A como 39

7.00313939 los de B como 3.00313939 y los de C como 4. Por ello si dividimos la puerta en el rectángulo hasta las esquinas superiores es decir el punto F y el trapezoide desde las esquinas superiores, el rectángulo es de lados 10.00627878 y 14.00627878, la proporción 10/14=5/7 era también la del rectángulo orientado con los cardinales que contenía el mapa de Cuauhchintan. Por ello nos podemos valer del esfuerzo en el análisis del mapa para comprobar cosas en la puerta, fijaos como las dos rectas verticales centrales del rectángulo contenedor del mapa delimitan a ambos lados la figura central del friso. Cada recta está a una unidad de la siguiente si el rectángulo fuese de 7x5, así en la puerta la figura central quizás nos esté diciendo lo mismo “que es la unidad donde siete es la totalidad”. Muchos sabemos la relación del 5 (su raíz cuadrada) con phi, en Tihuanaco parece que se relacionó 7 con phi (elevado al cuadrado).

Además tenemos por encima de F 7/15 y por debajo de F 113/15 (he quitado el hueco de la entrada). Donde 113 por pi es 354.999969 aproximación a pi que se descubrió en China en la Edad Media la más precisa en su tiempo, donde 7 por pi es 21.991148 aproximación con enteros pequeños 22 y 7 y donde 113+7 (el total) por pi 376.991118 aproximación a pi de Ptolomeo (en el periodo Clasico) Cada media entrada es un quinto del cuadrado A y muestra que 6/5 de phi al cuadrado son 1.000015 pi. La altura de la puerta es la distancia de la esquina superior izquierda del cuadrado A a la esquina inferior derecha de la entrada (para la mitad izquierda de la puerta) El lado superior del friso empieza a descender a un cuarto de la raíz cuarta de 5 desde el centro (0.373837) que es casi la mitad de la anchura de la figura central (0.372663). 4 veces raíz cuadrada de 5 es 8.94427191, la superficie total de empezar a bajar a partir de 0.372663 es 8.94405829 y a partir de 0.373837 es 8.94426296, en todo caso la diferencia es casi nula. 40

EL CODICE AUBIN El codice Aubin que cuenta los 260 días del año ritual por semanas de 13 días está compuesto de rectangulos sigma (cuyos lados son n y n+1). Trazaré un triangulo que descompone el codice en rectangulos sigma también, los lados de dicho triángulo guardan paralelismo con el mapa de Cauahchintan 2 que tenia una superficie de 20 la misma superficie que el rectangulo de 5x4 de cada hoja del codice. Este codice esta compuesto de 20 hojas en la que cada hoja se refiere a una semana de 13 días, por tanto tenemos el año ritual de 260 días. El rectangulo de 5x4 de la esquina superior izquierda se refiere a la trecena completa, mientras que los 4 cuadrados de 1x1 más arriba de la columna derecha son los 4 primeros días de la trecena empezando de arriba a abajo y 9 cuadrados de la fila inferior son los 9 últimos dias de la trecena empezando de derecha a izquierda. Cada dia se complementa con otros 3 cuadrados mas por lo que las dimensiones totales de cada hoja son de 4x13+4x5=9x8=72. He dibujado un triangulo con los siguientes lados: A va de la esquina inferior izquierda del rectángulo de 4x5 que coincide con el final de la lectura de la trecena, hasta la esquina superior izquierda del cuadrado 1x1 del primer dia que coincide con el inicio de la lectura de la trecena. A tiene por tanto una pendiente de 4/8 B va de la esquina inferior izquierda del rectángulo de 4x5 a la esquina superior derecha del cuadrado 1x1 del primero de los últimos 9 días por tanto su pendiente es de 3/9 C va por tanto de la esquina superior izquierda del cuadrado 1x1 del primer dia a la esquina superior derecha del cuadrado 1x1 del primero de los últimos 9 días por tanto su pendiente es de 1/7. La superficie de dicho triangulo es 30 que es equivalente a un rectangulo de 6x5, y la superficie del resto de la hoja (de 9x8) es 42 equivalente a un rectangulo de 7x6, las cuatro superficies 5x4 9x8 6x5 y 7x6 son rectangulos sigma es decir si un lado es ene el otro lado es ene mas uno. Las pendientes de A B C guardan paralelismo con el mapa de Cuauhchintan 2 pues la pendiente de A 4/8 es la diagonal de pendiente ½ del mapa antes de girarlo, cuando lo giramos con la pendiente 1/3 (que es la pendiente 3/9 de B) la anterior diagonal cambiaba a la pendiente 1/7 (que es la pendiente de C) y la otra diagonal a la pendiente 1/1. 41

Las pendientes son las tangentes de los siguientes angulos: 1/1 es 45º 1/3 es 18.435º 1/7 es 8.13º y ½ es 26.565º, 26.656+18.435 son los 45º mientras 26.565-18.435 son los 8.13º. Ya vimos en el primer volumen que 35 20 y 15 aparecen tanto en la puerta del sol de tiahuanaco como en el mapa de Cuauhchintan 2 cuyo area es 20 que es la misma area que el rectangulo que representa cada trecena en las hojas del codice.

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LAS PROPORCIONES HUMANAS SEGUN LEONARDO DA VINCI Aquí, tras describir la relación entre la geometría, las raíces cuadradas y los números metálicos como phi, critico (como hice con Hugh Harleston) que se comparé la longitud de un cuadrado (altura o lado) con la de un círculo (radio) Y para comparar radios con radios utilizo círculos rodeados por y rodeando el cuadrado de a Vinci y el triángulo que añado en su estudio anatómico. En este capítulo se verá no solo un motivo con el que defender el triángulo en las proporciones humanas. Entre la posición de las manos y piernas del hombre de vitrubio encontraré ángulos rectos (cruces) y de 18º (pentágonos). Se pueden construir varias combinaciones de pentágonos entre manos y pies y una de ellas nos recuerda al empaquetamiento del espacio que vimos en otros capítulos, esto también nos lo recuerda el juego de juntar las manos y pies de mucha gente en el suelo. También se puede construir elipses al igual que hice con el huevo de gallina. Y no solo tenemos phi como número metálico sino también el número de plata y el de platino. La proporción Phi está cerca de lo que pensó Leonardo aunque el compara un radio de un círculo y un lado de un cuadrado cuando sería mas correcto los radios de dos círculos. La expansión en Teotihuacan es por inscripción y circunscripción de círculos con sucesivos cuadrados (duplicación del área) y triángulos (cuadruplicación del área). Pronto obtendremos Phi entre el radio del círculo del ombligo y el radio de los círculos que inscriben y circunscriben el triángulo y cuadrado de la ingle.

En estas imágenes se compara correctamente proporciones (lados con lados y radios con radios) √3 y √2 están relacionados con los números de platino y plata respectivamente de igual modo que el número de oro, Phi, está relacionado con √5.

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Para Phi es clave la concatenación con pentágonos. Hemos visto √3 y √2 con el triángulo (3 lados) y el cuadrado (4 lados) y precisamente podemos apreciar √3+1 y √2+1 proporciones de platino y plata en el hexágono (6 lados) y octógono (8 lados). En la cuadruplicación de superficie de la expansión de Teotihuacan se puede obtener Phi, pero el caso es que no he visto que hubieran representado Phi así.

En la imagen de la izquierda, el círculo contiene triángulo y cuadrado, estos miden 13 y 20 respectivamente (260 por hijo). En la imagen de la derecha, el triángulo y cuadrado contienen el círculo, estos miden 13 y 10 respectivamente (130 por padre o madre).

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La imagen de la izquierda tiene un círculo con centro la ingle con un radio Phi veces mayor que el radio del círculo con centro en el ombligo. La imagen de la derecha tiene un círculo con centro en la ingle con un radio Phi/2 (seno 54 o coseno 36) veces menor que el radio del círculo con centro en el ombligo. El radio pasaría de uno a Phi/2 por la inscripción y circunscripción de un pentágono (5 lados) de sucesivos círculos. Y pasa de Phi/2 a Phi de radio, por la inscripción y circunscripción de un triángulo o dos cuadrados (una expansión como la teotihuacana) Tenemos a la izquierda Phi y las proporciones 13/20, los 260 días por hijo. Tenemos a la derecha Phi/2 y las proporciones 13/10, los 130 días por padre o madre. Ya os dije que si un cuadrado con centro en la ingle acota mucho la figura humana, se puede acotar aun más (los pies que curiosamente redimensionó da Vinci) si le añadimos un triángulo con centro en la ingle. Son las figuras que contendrían al mismo círculo, y ya vimos que su proporción de áreas es 13 a 10.

Es decir, el cuadrado de tener área 10, el triángulo tendría área 13. Esto es más curioso de lo que parece porque si halláis el área del círculo que dibujo Leonardo con centro en el ombligo, tiene una proporción 12 a 10 con el cuadrado. (Phi/√10)x(Phi/√10)xpi=11,9998 (Phi=2cos36 y pi=3,141592) Yo defiendo que tal como dibujó Leonardo el hombre de Vitruvio, su forma es ante todo triangular. Vemos como el triangulo de área 13 no solo contiene el hombre perfectamente sino que este dividido desde el centro en 3 triángulos iguales contiene 45

por separado la oscilación de cada brazo y la oscilación de cada pierna. Lo que no conseguimos con otras figuras. En las imágenes izquierda y derecha anteriores dibuje círculos de Phi y Phi/2 (que rodeaban a los polígonos) el radio del círculo del Vitruvio. Resulta que si dichos círculos miden de área phi al cuadrado 2.618 al igual que el círculo contenido en el pentágono de Chichén Itzá, el círculo del Vitruvio mide 1 y 4 respectivamente. Dicho de otro modo, si dibujamos el cuadrado del hombre de Vitrubio conteniendo el el círculo contenido a su vez por el pentágono de Chichén Itzá, el círculo del hombre del Vitruvio sería de área 4, por tanto, añadiendo el Vitruvio al mapa de Chichén Itzá conseguiríamos la cuadruplicación. En cambio si dibujamos el triángulo, que añado en el Vitruvio, contenido dentro del círculo contenido a su vez por el pentágono de Chichén Itzá, el círculo del Vitruvio tendría un área de 1 (sería igual que el círculo unidad de la ciudad, ese de radio el camino que lleva al cenote sagrado).

Quizás el camino al cenote sagrado represente la distancia pues entre los pies y el ombligo y el pentágono de la ciudad represente la distancia entre los pies y la cabeza (la altura humana del centro al punto medio de cada lado del pentágono) 46

Algún escéptico podría criticar que la posición de las manos y los pies es arbitraria, pero para nada lo es. Se basan en indicaciones del tratado de anatomía del romano Vitruvio donde el ángulo entre brazos me resulta 22.5º (útil en cuadrados) y entre piernas 30º (útil en triángulos equiláteros) y además en ellas podemos observar cuatro cruces (la imagen izquierda) y cuatro ángulos de 18 grados (la imagen derecha). ¿Os preguntáis si es casual que el ángulo se repita en las cuatro posiciones sumando además la formación de las cuatro cruces? Observad que las líneas se cruzan en dos centros, uno en el pecho y otro a la altura de las rodillas.

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Y, escondido entre esos ángulos y esos centros, me he encontrado un pentágono. Aquí voy a obviar como se obtiene Phi, porque en esta figura Phi aparece por todas partes. Lo de los pies y las manos (donde se clavaban los clavos en la cruz) y la cruz cuyo centro es donde se balancea el pentágono, me hace pensar que da Vinci quizás les daba un trasfondo religioso a algunas obras. No lo puedo asegurar porque la cruz quizás se deba a que así dibujó Marco Vitruvio Polion su modelo anatómico (en cruz) o quizás es un marcador de los puntos cardinales. Otra explicación es que si el círculo con centro ese punto del pecho que pasa por las manos midiera 5, el círculo con mismo centro pasando por los pies mediría 14,0101 (recordad que para Leonardo la proporción pie/mano es 10/7) He usado solo la mitad de manos y pies, de usar la otra mitad de manos y pies el resultado sería el mismo pero con la imagen invertida. (El círculo del dibujo del Vitruvio encajaría perfectamente dentro del pentágono.)

Las combinaciones posibles de pentágonos a partir de las manos y los pies son muchas, os pongo dos ejemplos de hileras de pentágonos con el mismo tamaño, aunque también se podrían hacer de distintos tamaños y seguirían encajando unos con otros. Es posible que esto se relacione como otros capítulos con el empaquetamiento del espacio, en este caso no óptimo pues entre los pentágonos quedan siempre huecos. Todos los que han estudiado la anatomía ideal como Vitruvio, da Vinci y San Agustín hablan de que el ombligo es 1/Phi la altura humana. En el dibujo izquierdo lo que he hecho es trazar dos áreas iguales, una cuadrada hasta el ombligo y otra rectangular que abarca los brazos desde el ombligo. Esto es propio de los números metálicos.

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Según las medidas de estas personalidades del centro del tronco humano a su borde hay 1/12 de la altura, es decir 0.0833333 por lo que desde ahí a la punta de los dedos de las manos hay 0.41666666. El inverso del número de plata es 0.414 por lo que nos encontramos con una muy buena aproximación al número metálico. Con las medidas verticales sucede lo mismo 0.414 por seno de 22.5 se aproxima al 1/6 desde la coronilla hasta la punta de los dedos que nos indican los estudiosos anteriores. En la imagen central muestro las áreas iguales que se pueden hallar a partir del inverso de plata, y añado que a partir del ángulo de 22.5º dichas áreas se pueden trazar. Resulta que la oscilación de los brazos también se aproxima a 22.5º. Un modelo anatómico perfecto no debe incluir solo fracciones racionales, sino aproximarse a los números irracionales como se ha hecho con Phi, y como veis yo os he añadido el número de plata que es muy parecido a Phi, pero la mayor aproximación, esta vez a partir de las piernas en vez de los brazos, es al número de platino, otro número metálico en la imagen derecha. Si giramos las piernas a 30º de la ingle, y dibujamos los pies perpendiculares a la pierna, la punta de los dedos se dirige a (0.366, 0.366) desde la ingle, es decir un punto de la diagonal del cuadrado. Por ese punto de la diagonal es por donde pasa el triángulo que rodea la figura humana, y al mismo tiempo divide las dos áreas iguales relacionados con el inverso del platino.

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Por lo tanto he matado dos pájaros de una pedrada, incluyo el número de platino y al mismo tiempo indico por donde pasa el triángulo que rodea la figura humana. Fijaos también que dichas áreas se podrían determinar también con un ángulo de 30º que es precisamente el ángulo de la oscilación de las piernas. Para finalizar con los modelos anatómicos voy a proponer un juego que se basa en tumbarse varias personas en el suelo y tocarse los pies y las manos sin flexionar las rodillas y los codos. Los compañeros en horizontal y vertical se tumbaran a la inversa, y los compañeros en diagonal se tumbaran todos del mismo modo. Si todos los compañeros tienen similar altura sucederá que el circulo (que rodea el triángulo con centro la ingle y radio una altura humana) Phi veces mayor que el de da Vinci (con centro el ombligo) pasaría por las ingles de los compañeros sobre la cabeza y bajo los pies, y pasaría por la cabeza y los pies de los compañeros a ambos lados. Este juego es similar al empaquetamiento del espacio con figuras humanas en vez de polígonos o círculos, es como con el abrazo conjunto de 12 personas al tronco de una ceiba u otro gran árbol. En la geometría de la piedra del sol visteis que se puede dibujar una elipse con un huevo de gallina. En el hombre de Vitruvio también podemos dibujar elipses, los focos de las mismas son puntos del círculo del Vitruvio y sus ejes mayores miden lo mismo que la diagonal del cuadrado del Vitruvio. Como veis he trazado dos elipses perpendiculares entre ellas, cuyos ejes mayores pasan por el ombligo y son paralelos a las diagonales del cuadrado del Vitruvio. 50

Los puntos de corte de las dos elipses y sus focos son puntos del cuadrado dentro del círculo del Vitruvio, por lo tanto con todos estos datos, a partir del círculo del Vitruvio se podría hallar por medio de las elipses el cuadrado del Vitruvio con un desplazamiento igual a la distancia del ombligo a la ingle.

Del mismo modo, con el foco de una de las elipses y dos puntos de corte del círculo del Vitruvio con la otra elipse podríamos hallar un pentágono inscrito en el círculo del Vitruvio. Dicho pentágono comprobamos que, tras el desplazamiento del ombligo a la ingle, contiene un círculo igual que el que contendría el cuadrado del Vitruvio. Resulta que tanto a partir de un cuadrado como de un pentágono que rodean el mismo círculo, obtenemos el mismo semicírculo (de un círculo 5 veces mayor que el círculo contenido por el cuadrado y pentágono). Pronto explicaré que muchas veces cuando encontramos Phi no significa que el autor lo buscaba directamente, sino que buscaba la quintuplicación de areas.

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El circulo contiene 4 piernas y 2 brazos pero encontre que Nobuo Yamamoto describió una curva que se aproxima a un huevo de gallina (los de otras aves son distintos). Introduje el hombre dentro de esa curva y resulto rodear 4 brazos y 2 piernas. Este huevo también aureo pues su altura es 3-phi=1.381 la altura del hombre, tiene propiedades tanto con pentagonos como con octogonos. El par de piernas sin ser rodeado si lo hace de bascular al máximo el huevo dentro del cuadrado de lado la altura del huevo. Si lo que basculamos al maximo es el hombre el resultado es el mismo.

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Antes vimos el codice Aubin en el cual cada hoja se divide en 52 cuadritos y un cuadro de 5x4=20 cuadritos. Decir que la proporción alto ancho de un huevo de gallina es 1.381/1 es lo mismo que decir que es 1/0.7236 y resulta que 72x0.7222=52, lo que le queda a la unidad son por tanto 20. Si queremos dividir un cuadrado en un rectangulo mayor y otros 5 menores que mantengan la misma proporción alto ancho que el mayor, necesitamos precisamente que esa proporción sea 1/0.7236.

Tambien podemos dividirlo en un rectagulo mayor y a los lados otros 20 menores con esa proporción. El rectangulo mayor central contendría el huevo de yamamoto de un area próxima a los 52 cuadritos pequeños del codice Aubin. Mientras los 20 menores son los que permiten al huevo bascular del modo que vimos en la pagina anterior.

Además como todos los rectangulos son semejantes (con la misma proporción alto ancho) dentro de cada rectangulo pequeño podemos colocar un huevo más pequeño pero también con la forma del huevo de Nobuo Yamamoto. 53

UN HOMBRE DE VITRUVIO MESOAMERICANO En esta figura se puede trazar un triángulo y cuadrado de proporciones 12.990381 y 10 además de los números de plata y platino de los que obtenemos 9/15 de 13/10. Esta imagen está dividida con cuadrados en 4 partes iguales, recordad que el triángulo del hombre de vitruvio lo dividí en 3 partes iguales, la ampliación de los cuadrados se hace desde la esquina inferior derecha que es donde se encuentra el signo ollín con 9 perlas, por lo que es lógico que la esquina común de todos los cuadrados sea la inferior derecha, la mayoría de dibujos se acompañan de un signo como este el cual es muy importante. He dibujado el círculo para que comprobéis que la proporción entre cuadrado mayor y triángulo que rodean el dibujo central es 10 y 12.990381 respectivamente. Los pies están separados para trazar el triangulo. Las manos se encuentran entre los cuadrados 7,5 y 2,5 entre los que hay una distancia del inverso de platino por raíz de 10. En cambio el pie atrasado se encuentra entre los cuadrados de 5 y 2,5 entre los que hay una distancia del inverso de plata por raíz 2,5, como el caso anterior era de las dos manos juntas vamos a juntar los dos pies por lo que nos da una distancia del inverso de plata por raíz de 10. Los inversos de plata y platino los vimos también en el hombre de Vitruvio, con superficies equivalentes de valor los cuadrados de dichos inversos. Los cuadrados de las dos manos y los dos pies de lados tienen dentro los brazos y las piernas fijaos que el dibujo es muy estratégico en relación a esto, y que gracias a los 4 cuadrados podemos trazar áreas equivalentes como en el Vitruvio. La diferencia es que aquí los brazos (imagen central) y las piernas (imagen derecha) representan platino y plata respectivamente y en el Vitruvio representan plata y platino es decir al revés. La proporción entre los cuadrados de platino y de plata es 0.780861, mientras la suma de los inversos de platino y plata es 0.780239. El tlacuilo que dibujo en este códice además de las 9 perlas de ollin pone 15 en la figura. Si multiplicamos los anteriores valores por 15/9 tenemos 1.301435 y 1.300398.

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MELANCOLIA I DE ALBERTO DURERO En este grabado de Alberto Durero posiblemente dedicado al fallecimiento de su madre vemos estudios de perspectiva, los cuadrados mágicos de constantes 34 y 35, la espiral de Teodoro (donde aparecen las raíces cuadradas de 1 a 17) acercándonos a raíz cuadrada de 18=4.2426 de dos modos, desde la unidad sumando dos veces phi 1+1.618=2.618 y 2.618+1.618=4.236 y desde la unidad multiplicando 3 veces phi 1.618x1.618=2.618 y 2.618x1.618=4.236. También los números de fibonacci (donde el cociente entre dos consecutivos se parece cada vez más a phi), phi en las proporciones anatómicas. Y por ultimo el empaquetamiento del espacio por medio de tetraedros truncados dejando un vacío de 1/24 de las esquinas recortadas del cubo de melancolía para ser un cubo. De quitar un volumen igual al de los tetraedros con la misma base que las esquinas recortadas tenemos la proporción de volúmenes 11/12 muy cercano a 34/35 al cubo. Del grabado del renacentista Alberto Durero (Melancolía I) obtuve lo siguiente: según los modelos anatómicos como Vitruvio del codo a la mano hay una quinta parte de la altura, el codo de la mujer (la única diferencia de la posición de la mujer con respecto la del niño) está en el numero 7 que por 5 es 35, como el cuadrado mágico simboliza 34 se puede imaginar fácilmente que la mujer de pie, acapararía toda la altura del grabado.

Por otro lado el niño y el centro del cuadrado mágico está a una altura de 21/34 (son dos números consecutivos de la progresión de Fibonacci) esa altura se aproxima a phi 55

y por lo tanto al ombligo de la mujer de pie. He dividido el grabado en 16 rectángulos de alturas los 16 números del cuadrado mágico por su orden, así se puede apreciar que la posición del niño equivale al centro del cuadrado mágico y que el codo de la mujer equivale a un lado del número 7.Si vamos de izquierda a derecha y de arriba a abajo las casillas 14º y 15º tienen los números 15 y 14, año del grabado fue 1514 fecha en la que murió la madre de Durero, concretamente el día 136º del año (16 de mayo) que es lo que suman los 16 números del cuadrado. Estos números trágicos podrían evitarse si tenemos un cuadrado mágico con los números del 1 al 17 (eliminando el 13 que es el número de la muerte). Dicho cuadrado mágico de querer que tuviera las mismas propiedades que este, ninguna de sus variantes tendría el 15 y el 14 juntos, por lo que sería imposible señalar la trágica fecha 1514, además los números sumarían 140 en lugar de 136, por lo que tampoco señalaría el trágico día 136º de ese año. La constante mágica (lo que suman columnas, filas, diagonales, etc) ya no sería 34 sino 35, precisamente la altura que le calculé a la mujer de pie. En las dimensiones del grabado encaja la espiral de Teodoro, espiral en la que vemos la proporción de la unidad con raíces cuadradas cada vez mayores, la raíz de 4 llega hasta el borde izquierdo, la raíz de 12 llega al borde derecho y la raíz de 7 llega al borde inferior. Como hemos dicho que el 13 se puede omitir, imaginad la espiral saltándonos la raíz de 13 que se encuentra a mitad del codo de la mujer del que ya hemos hablado (la imagen derecha os puede ayudar para imaginarlo), entonces en el codo tendríamos de la raíz de 12 a la de 15 sin aparecer la de 13.

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La espiral que no alcanzaba el borde superior al saltarnos el 13 puede incluir también la raíz de 18 antes de dar un giro completo (que incluyo en la imagen derecha). Dicha raíz si alcanza el borde superior y es muy importante para los análisis siguientes. En la imagen izquierda muestro que la esfera de la esquina inferior izquierda tiene el diámetro unidad de dos modos, trasladandola a mitad del segmento raíz cuadrada de 1 que es la unidad también y trasladandola al final del segmento raíz cuadrada de 5, en el primero llega al centro y en el segundo llega casi a raíz cuadrada de 3. El círculo del arcoiris que es el pequeño de los concéntricos tiene phi (1.618) de radio, la esfera gira sobre el y llega hasta 1.618+1=2.618=phixphi que es el círculo mayor concéntrico, entre medias de ambos está el círculo de 1.618+0.5 que es casi la mitad del segmento de raíz cuadrada de 18=4.2426 mientras que 2.618+1.618 =4.326 1514 también está marcado en este análisis, la esfera reposa opuesta a 1514 de la imagen izquierda, si salto el 13 (de 1 a 17 sin 13 en vez de 1 a 16) la trayectoria del cometa es tangente al círculo de 1.618 en 15 14. El cometa además para llegar a 15 14 le falta una distancia igual a la altura de un pentágono de lado el radio del arcoiris (medio lado es coseno de 36º), el pentágono mayor (de medio lado el inverso de tangente de 36º o medio lado del pentágono menor entre seno de 36º) encaja entre los 3 círculos concéntricos donde gira la esfera, su altura es por tanto 4.236. Con la esfera teníamos 1+1.618=2.618 y 2.618+1.618 =4.236 y encadenando pentágonos hasta llegar al mayor 1.618x1.618=2.618 y 2.618x1.618=4.236.

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El poliedro que se ve en el grabado es muy interesante. Es un cubo con dos esquinas recortadas. Cada esquina recortada es 1/48 del volumen de un cubo entero y tiene la mitad de altura que el tetraedro de misma base de volumen 1/24 de un cubo entero. El cubo es un poliedro de 6 cuadrados como caras mientras el tetraedro es un poliedro de 4 triángulos equiláteros como caras. Ambos son sólidos de Platon. Si quitamos al cubo de volumen unidad el mismo volumen que dos tetraedros de 1/24 nos queda 11/12, la proporción de un cubo de arista la altura del grabado 34x34x34 y un cubo de arista la altura de la mujer 35x35x35 es 11.000536/12 (si en el cuadrado mágico usamos los numeros entre 1 y 17 sin el 13 sumamos 35x4) . Si le quitamos dos esquinas de 1/48 tenemos 23/24. La proporción entre los 35x35x35 de la altura de la mujer y 35.5x35.5x35.5 es 23.000131/24 (si en el cuadrado mágico usamos los numeros entre 1 y 18 sin el 14 y el 15 de la trágica fecha sumamos 35.5x4) Encontré un artículo de John H. Conway, Yang Jiao y Salvatore Torquato que habla del tetraedro truncado (a), uno de los sólidos de Arquímedes, donde explica que grupos de este sólido pueden llenar el 207/208 del espacio como máximo (d) deslizando los bloques de 2 poliedros de su unión arista con arista con los demás bloques. Aunque lo que mas interesa con respecto Durero y su grabado melancolía es que nos acercamos con 2 poliedros (b) a un cubo llenando 23/24 cuando la unión entre los bloques de 2 poliedros es arista con arista que es precisamente lo que llena un cubo con las dos esquinas recortadas. No se puede formar un cubo con un grupo de tetraedros truncados solo se puede formar el cubo con vacío equivalente a quitar una esquina al cubo de Melancolía. El vacío mínimo de 1/208 y 16 veces 13 son 208, el vacío inevitable se podía representar con un cuadrado con 16 treces. Además estudiando la perspectiva se puede observar que las coronillas del niño y la mujer están a la misma altura el niño está sobre una rueda de altura equivalente al tetraedro truncado, tenemos que la suma de alturas niño tetraedro truncado es igual a la altura de la mujer. Y si prolongamos las aristas del tetraedro para trazar donde quedaría la esquina sin recortar vemos que coincidiría con el foco de la perspectiva (el centro del arcoiris, es decir un punto del horizonte) así que dicha esquina recortada equivale a la altura del niño. La distancia de una esquina a la esquina opuesta del cubo es raíz cuadrada de 3 eso es tres veces la altura de dos esquinas recortadas de 1/48 o de un tetraedro de 1/24. Cada celda local del empaquetamiento de densidad 23/24 tiene un hueco con forma de tetraedro de arista igual a la arista de cada tetraedro truncado mientras que la del empaquetamiento de densidad 207/208 tiene 3 huecos en forma de tetraedro de arista un tercio la arista de cada tetraedro truncado. Esta coincidencia de 1/3 de arista no ocurre solo entre el poliedro de Durero y el empaquetamiento de tetraedros truncados.

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Encontré un artículo de John H. Conway, Yang Jiao y Salvatore Torquato que habla ahora del empaquetamiento de octaedros dejando huecos de forma tetraedrica lo más pequeños posibles, que también se consigue con un deslizamiento de las uniones (A). Antes de explicar el nuevo artículo voy a apuntar características del empaquetamiento de bloques de 2 tetraedros truncados que coinciden con las características del empaquetamiento de octaedros: - Cada bloque tiene 14 vecinos cara con cara - Por cada bloque hay 6 huecos tetraedricos de arista 1/3 la arista del tetraedro truncado que suponen el hueco de 1/208 (cuando hablábamos del hueco de 1/24 por cada bloque había 2 huecos tetraédricos de igual arista que el tetraedro truncado). En los octaedros también tenemos 14 vecinos cara con cara, y pasamos también de 2 huecos tetraedricos de igual arista que el octaedro que suponen un hueco de 1/3 (tenemos pues un relleno del espacio de 2/3) a 6 huecos tetraedricos de arista 1/3 de la arista del octaedro (C) que suponen un hueco de 1/19 (tenemos pues un relleno del espacio de 18/19)

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En el grabado de Durero con respecto la espiral de Teodoro comparé la raíz cuadrada de 18 y phi=1.618034 al cubo. La comparativa también es interesante con los poliedros que hemos visto: el tetraedro, el tetraedro truncado y el octaedro, los volúmenes de los tres para una misma arista son racionalmente proporcionales pues son siempre raíz cuadrada de 2 por la arista al cubo multiplicado por X, donde para el tetraedro X=1/12, para el tetraedro truncado X=23/12 y para el octaedro X=4/12. Nos podemos aproximar a un volumen racional si la arista es phi, pues phi al cubo por raíz cuadrada de 2 es casi 6 (5,990704), y con raíz sexta de 18=1.618870 como arista al cubo por raíz cuadrada de 2 es 6 exacto. 1.618870 al cubo si es igual a la raíz cuadrada de 18. La representación mesoamericana del más allá mesoamericano como dos pirámides unidas por sus bases y la cruz andina que también parece dos pirámides unidas por sus bases, se puede dar forma tridimensional y tendríamos un octaedro.

La construcción con dominós del diamante azteca de 2, 3, 4, etc escalones por cuadrante (con 3 es la cruz andina) se puede hacer de 8, 64, 1024, etc, diferentes formas respectivamente, pero muchas son simétricas entre ellas. (B) Empaquetando octaedros, hay 4 posiciones posibles para cada uno de los 6 huecos tetraedricos de mínimo volumen, por lo que hay 4 elevado a 6 =4096 formas distintas de empaquetar, si descontamos las simétricas solo son 694. 8, 64, 1024, 2048 son números binarios redondos, este es otro modo de relacionar binarios con la geometría precolombina. 60

PI Y PHI: LA IRREGULARIDAD DE LA GRAN PIRAMIDE Mi teoría es que la gran pirámide de Guiza es sutilmente irregular para que sus dos mitades midan cuatro entre pi 1.27324 y raíz cuadrada de phi 1.27202. Hemos hablado del parecido de seno de 22.5º (sobre el número cordobés) y phi al cuadrado, también vimos que el círculo y el cuadrado de da Vinci (relacionando pi y phi) tiene una proporción de áreas 12/10 (3.1416/2.618). En las geometrías pentagonal y octogonal de la piedra del sol vimos que con el producto de raíz cuadrada de 3 y coseno de 36º (en vez de phi) obteníamos la proporción 8/5 (en vez de 12/10) con pi. Algunos griegos clásicos dijeron que el perímetro de la gran pirámide es medio minuto de grado de longitud, pero las teorías que se hicieron al respecto nunca fueron aceptadas hasta hoy. Pronto veremos que no iban descaminados. Ha habido muchas teorías como que según Petrie en la pirámide aparece pi y Phi (altura entre medio lado sería 280/220 codos igual 1.27272) o como antes y después de el, que existía una unidad de medida una millonésima del radio terrestre y que la pirámide tenía de perímetro 365 unidades (como un año). Las teorías aceptadas son las de Petrie y me baso en sus medidas en todo este trabajo. Pero Petrie en el caso concreto de la gran pirámide no entendía porque desde los zócalos (donde deberían encajar las piedras angulares de la pirámide) se construiría una pirámide irregular. Por eso estimó estadísticamente un perímetro menor de una pirámide mucho más regular, pero, aunque eso está aceptado oficialmente, la verdad es que las únicas mediciones reales y al mismo tiempo originales del tiempo egipcio son los zócalos.

N. E. S. W. Mean Difference

zócalos

azimuts

9129.8 9130.8 9123.9 9119.2 9125.9 4.4

– 3' 20" – 5' 21" + 1' 15" – 7' 33" – 3' 45" 2' 42"

Mi teoría es que la gran pirámide era irregular no por imprecisión sino para obtener más resultados distintos, y la gran pirámide son dos medias pirámides, la NE y SW. 4 entre pi no es exactamente raíz cuadrada de Phi por eso la pirámide es levemente irregular. (9123,9+9119,2)/(9129,8+9130,8) =0,99904165 Y √PHI ENTRE 4/PI ES 0,99904189. Una aproximación de phi a pi más precisa que las que hemos visto anteriormente. 61

LA DISTRIBUCION DEL VALLE DE GUIZA Vamos a ver que las distancias de las 3 pirámides a la esfinge tienen una proporción de las raíces cuadradas de 1 ½ y 1/3, esto se puede asociar a las tres dimensiones del espacio pero sobretodo dividiré el valle de Guiza en hileras de círculos, distribuidos hexagonalmente y ortogonalmente, que dividen la circunferencia terrestre. Aquí no importa el hueco entre los círculos, no como en las ocasiones que os he comentado el empaquetamiento óptimo del espacio. Dicho hueco es cubierto pues tanto la distribución hexagonal como la ortogonal son dos en una cubriéndose los huecos las unas a las otras. También mostraré 3 empaquetamientos compactos posibles con esas distancias. Al final añado unas orientaciones y distancias entre las esquinas norte este y sur oeste que refuerzan la teoría de las raíces cuadradas. Petrie también midió las distancias entre las tres pirámides que prácticamente respeto en mi análisis excepto la ubicación del centro de la pirámide central, la de kefren que yo ubico con una diferencia de 300 y 150 pulgadas con respecto el centro de Petrie. La distancia entre las pirámides de los extremos, keops y mikerinos la respeto siendo de 36857.7 pulgadas con un azimut de aproximadamente 7/9 es decir 0.7777 o un ángulo de 37.875º. Con esta información obtuve lo siguiente. La linea mikerinos-keops es de 37.88876º es decir una pendiente de 0.7781635, la distancia este oeste entre mikerinos y kefren es 9126.3 pulgadas prácticamente el zócalo medio de la gran pirámide, la linea este oeste que pasa por la esfinge y la linea norte sur que pasa por kefren cruzan en un punto de la linea mikerinos keops, pero lo mas importante es que la proporción de distancias de centro de la pirámide a la esfinge de mikerinos kefren y keops es la de las raíces cuadradas de 1/1 ½ y 1/3 lo que quizás esté relacionado con que si la distancia de una esquina a la opuesta de una arista de un cubo (una dimensión) es la unidad, la distancia de una esquina a la opuesta de una cara del cubo (dos dimensiones) es raíz cuadrada de 2 y la distancia de una esquina a la opuesta de todo el cubo (tres dimensiones) es raíz cuadrada de 3.

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Si el área del círculo con centro la pirámide de mikerinos que corta la esfinge es 4, el área de los círculos con centro las pirámides de kefren y keops que cortan la esfinge es 4/2 y 4/3 respectivamente. Tenemos hileras de círculos ortogonalmente, cada círculo rodeado por otros 4. Las hileras de círculos de área 1 con centro kefren y la misma orientación que kefrenesfinge y las hileras de círculos de área 1 con centro la esfinge y la misma orientación que kefren-esfinge se cubren recíprocamente los espacios entre las hileras. Tenemos hileras de círculos hexagonalmente, cada círculo rodeado por otros 6. Las hileras de círculos de área 1 con centro mikerinos y la misma orientación que kefrenesfingue y las hileras de círculos de área 1/3 con centro keops y la misma orientación que kefren-esfinge se cubren recíprocamente los espacios entre las hileras. Ademas el desplazamiento en el este oeste de ambos tipos de hileras es 18254.4 pulgadas (un cuarto de minuto de grado del circulo máximo terrestre que pasa por guiza, nazca, angkor wat, mohenjo daro, isla de pascua... descubierto por Jim Alison, si multiplicáramos ese desplazamiento por 4x60x360 tendríamos la longitud de dicho circulo máximo) Aquí pues no hace falta el empaquetamiento óptimo del espacio pues los huecos se cubren. Ademas la distancia entre kefren y la cuarta pirámide también esta relacionado pues es de aproximadamente 4.44 minutos de grado es decir 1/4860 de la circunferencia terrestre. Así que por todo esto los griegos clásicos que pensaban que el perímetro de la pirámide de keops era medio minuto de grado de la circunferencia terrestre no iban mal encaminados. Como habéis visto las retículas de las pirámides de keops y mikerinos son independientes de las retículas de la pirámide de kefren y la esfinge, por eso mi suposición de que las distancias de proporción uno, uno entre raíz de 2 y uno entre raíz de 3 desde los centros de las tres pirámides a un punto común de la esfinge no es una condición imprescindible. Quizás Petrie si ubicó bien el centro de la pirámide de kefren pues repito otra vez mi suposición no es necesaria dada la independencia entre los dos tipos de retículas, ademas por la misma independencia tampoco es necesario que las orientaciones de las retículas coincidan, solo hay que tener en cuenta que para el mismo desplazamiento este oeste cuanto mas se desvié dicha orientación del este oeste hace falta un tamaño de los círculos progresivamente mayor, en cualquier caso como se aprecia en la imagen primera estamos hablando de valores al menos muy próximos a los de mi suposición.

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Hemos visto que mientras los círculos de las hileras son 4 veces menores que los que llegan desde las pirámides a la esfinge, la proporción de las 3 distancias se expresan como 2, 2 entre raíz cuadrada de 2 (1.4142) , y 2 entre raíz cuadrada de 3 (1.1547). Esas tres distancias son equivalentes a dos círculos iguales (círculos grandes de la imagen inferior), dos círculos de radios 1 y 0.4142 (imagen superior) y dos círculos de radios 1 y 0.1547 (imagen inferior). Las 3 opciones pueden construir empaquetamientos compactos (si un círculo toca ene círculos, estos entre ellos también se tocan)

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En esta última imagen se ve orientaciones desde la esquina sur oeste de mikerinos de pendientes raíz cuadrada de 3, raíz cuadrada de 2 y raíz cuadrada de 3/2 a las esquinas sur oeste y norte este de dos rectángulos, y las distancias desde dicha esquina de mikerinos de proporciones uno, uno entre raíz cuadrada de 2 y uno entre raíz cuadrada de 3 hasta las esquinas de los mismos rectángulos. Estos rectángulos contienen las pirámides de keops y kefren y son contenidas a su vez por las zonas en las que dichas pirámides se encuentran, Ademas uní en la recta discontinua las esquinas sur este de dichas zonas y de la pirámide de mikerinos, en esta recta discontinua. hay dos puntos aparentemente importantes que están en la misma latitud que los centros de keops y kefren y a una distancia de la esquina sur oeste de mikerinos que coincide con 2 de las 3 distancias marcadas, dichos puntos los he agrandado para que los encontréis mas fácilmente, los otros dos puntos que agrande también son aparentemente importantes por coincidencias geométricas.

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CARAL, CUZCO Y SUS CAMINOS Y LAS LINEAS DE NAZCA Vamos a comprobar que tanto Caral como los caminos incas tienen una orientación de 30º y 60º lo que es un indicio de una distribución de círculos en hileras hexagonales como vimos en Guiza. Al final veremos una hilera como la de Guiza en las lineas de Nazca y a partir de un montículo de dicha zona nos orientaremos como el norte sur y como la linea nazca-guiza. Caral es una de las ciudades más antiguas de América, cerca del 3000 ac lo que la sitúa en tiempos de Guiza, se encuentra relativamente cerca de Nazca, de la que hablaremos de seguido.

Las principales construcciones forman un círculo con centro el conjunto residencial, dos de ellas forman un ángulo con vértice el conjunto de 135º grados de donde deduje que el círculo tiene 16 puntos separados entre si en 22.5º por ellos trace posibles 69

octógonos y encontré dos octógonos uno dos veces mayor que el otro comparables a los de la piedra del sol. El octógono mayor gracias a la pirámide mayor y el menor gracias a la pirámide del anfiteatro (en la zona opuesta). Tanto los 22.5º como los 135º/2=67.5º están relacionados con el numero de plata 2,4142 y 0.4142 (tangente de ambos ángulos) como con el numero cordobés (coseno de 67.5 y seno de 22.5) que se acerca mucho phi al cuadrado. El número de plata quizás se debe a lo que comenté de los empaquetamientos compactos con circulos de radio 1 y radio 0.4142 tratando la distribución en guiza que desarrollé con la distancia kefren-esfinge. Pero lo más importante es que la inmensa mayoría de la construcciones están orientadas a 30º de los puntos cardinales. La explicación a porque 30º puede ser la distribución hexagonal de círculos similar a guiza o la orientación de la costa del área de influencia de Caral de 30º.

Y encontré que los dos caminos incas (montaña y costa) se podía simplificar con lineas de 60 y 30º e hileras de círculos hexagonalmente, estas hileras las vimos ya en 70

Guiza. La capital del imperio Inca (Cuzco, en la zona de montaña) y Nazca en la zona de Costa están enlazadas por una de esas lineas y uno de esos círculos (agrandé el punto en el que ambos caminos unen en uno solo)

Ya en Nazca, los resultados que obtuve del análisis fue una distribución hexagonal de círculos a partir de las líneas del centro achaco y la estrella soisongo, se observa que en tres hileras de esos círculos recorremos un cuarto de grado en el norte sur, de 14.75 a 14.5. Son pues divisoras de la circunferencia terrestre como pasaba en Guiza. Estas hileras son la imagen invertida de las de guiza, me explico, mientras unas se miran a partir del este oeste las otras a partir del norte sur. El segundo resultado que obtuve es un vesica piscis con un montículo central. Dicha vesica se me ocurrió porque observe en las zonas con mas líneas, que los extremos de dichos líneas dibujan una curva. Donde se cortan las dos circunferencias del vesica son los centros de líneas de achaco y el centro oeste. Por la orientación de los círculos de la vesica, puede trazar dos direcciones una norte sur y otra nazca Guiza. Recientemente analice el área sombreada que muestran en su mapa la pagina web de maria-reiche.org, dicha área se supone que contiene las líneas y me di cuenta que dicha área son un triangulo y un rectángulo, el centro del rectángulo es el montículo, y la bisectriz del triangulo pasa por el montículo, la orientación de dicha bisectriz también es nazca-guiza.

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LA TEORIA DE LAS RUTAS INTERCONTINENTALES Que tengamos la misma hilera de círculos en las distribuciones de Nazca y Guiza se puede explicar porque son puntos claves de unas rutas entre continentes, claves en un sentido de rutas mas terrestres y menos marítimas lo que permitía una comunicación más fácil. Por eso las culturas americanas se desarrollaron norte sur (la dirección americana mas continental) y el resto se desarrollaron este oeste (dirección mas continental en el resto del mundo) Encontré dicho sentido analizando esos lugares tanto con rumbos loxodrómicos (líneas rectas en el mapa mercator usado por navegantes) como círculos máximos (líneas rectas en un globo terraqueo usado por pilotos) Si calculamos el rumbo entre el montículo de Nazca y la gran pirámide de Guiza tenemos que entre 14.75S 75W y 30N 31.133E es de 66.95º. Respecto al rumbo barajo dos cifras 66.8º porque su tangente es 7/3 (recordad que los 37.875 grados de Guiza eran una tangente de 7/9) y los 67 grados ¿Por qué? Las hileras hexagonales de círculos son muy prácticas para las distancias de 1800, 3600 y 7200 millas náuticas, desde el ecuador a los paralelos 30º y 60º. Esto seria ideal si los trópicos y los círculos polares estuvieran en esos paralelos pero están aproximadamente en los paralelos 23.5º y 66.5º. Pues bien con un rumbo de 67º recorremos 3600 millas náuticas del ecuador al trópico. ¿Por qué Nazca y Guiza y no cualquier otro lugar del mundo? Para empezar os debo comentar que el paralelo de Guiza 30ºN es el mas continental del globo, a su vez el meridiano de Nazca 75W y su antimeridiano 105E son los mas continentales del globo.

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La mayor continentalidad supone trayectos mas cómodos y culturas mas conectadas, por eso los focos culturales antiguos en Eurasia y Africa recorren de oeste a este el paralelo 30N pasando cerca del Himalaya, y en América de sur a norte el meridiano 75W pasando cerca de los Andes. Creo que donde el planeta se pliega en esas dos cordilleras esta relacionado fuertemente con los meridianos y paralelo mas continentales expuestos en el párrafo anterior.

En esta imagen de culturas antiguas vemos de norte a sur, mesoamerica con los Andes, y China norte con Asia sudeste, cerca de los meridianos 75w y 105e, y de este a oeste Mesopotamia, valle indu y China norte, cerca del paralelo 30n. Observamos que hay una línea que no es ni perpendicular ni vertical que une los andes , Africa oeste, Egipto y Mesopotamia, dicha línea es próxima a la línea Nazca-Guiza. Empezare con rutas loxodrómicas, rumbos constantes en el mapa mercator, de donde expondré dos posibilidades que no son excluyentes. En este mapa he trazado desde Guiza los rumbos 67 y 44 que son los que recorremos 3600 millas náuticas del ecuador al trópico y del trópico al circulo polar respectivamente. Los de 67 al sur de Guiza 30ºN y los de 44 al norte. Fijaos como llegan a las costas de los continentes, y que hay poca distancia entre esos puntos si vamos de norte sur por los polos, tenemos por tanto de nuevo la perspectiva de la mayor continentalidad. Resulta que a partir de esos puntos invirtiendo el rumbo, las líneas convergen en el meridiano 180 (el mas oceánico)

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Esa es la primera posibilidad. La segunda es que como veis he prolongado mas alla el rumbo 67 que pasa por Nazca y Guiza y pasa por el estrecho de Bering, como señalo con flechas las dos vías intercontinentales principales de colonización humana son el puente antártico y el estrecho de Bering. Pero también se puede analizar la unión Nazca Guiza por círculos máximos de donde obtendré varias posibilidades que no son excluyentes entre ellas ni con las posibilidades de las rutas loxodrómicas anteriores. Hace poco investigadores han alineado muchas ciudades ancestrales en un circulo máximo (la línea blanca mas horizontal) ellos lo explican como que podría ser un ecuador muy antiguo donde el polo norte estaría a 59.9N 138.6W. Cabe destacar que antes os mencione los paralelos 60 y 30 cuando hable de las hileras de círculos distribuidos hexagonalmente, porque el centro de ese circulo máximo es casi los 60N y 60S y los puntos mas altos y bajos de dicho circulo casi son los 30N y 30S. Pero lo mas importante de este mapa es que encontré una perpendicular a dicho circulo que pasa por las pirámides de Teotihuacan (México) y Xian (China) entre los 75

cuales hay 6666 km (1/3 de la circunferencia terrestre) lo calculé trazando la distancia de 10000km a esos dos lugares (líneas oscuras) y donde estas se cortan coincide con el circulo máximo del anterior párrafo, en dicho corte hallas nuevamente la distancia de 10000km y ya tienes en blanco la perpendicular. Dicha perpendicular pasa por el estrecho de Bering, sin hacer casi agua entre los dos lugares y los cortes de los dos círculos máximos de ciudades antiguas es próximo a los andes (muy cerca de nazca quizás por eso las líneas de nazca) y el Himalaya (muy cerca del antípoda de nazca). Dichos dos círculos máximos son próximos a los cinturones de fuego del pacifico uno y del Mediterraneo-Asia otro (las dos zonas con más actividad sísmica y volcánica)

De nuevo tenemos la perspectiva de la continentalidad como forma de viajar mas cómoda, y como mayor conexión entre culturas distintas, por eso hice la imagen siguiente con centro 59.8N 138.6W donde se puede observar dos semicírculos negros quizás lo mas continental de todas las combinaciones posibles y dos semicírculos blancos quizás lo mas oceánico de todas las combinaciones posibles.

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LA UBICACION GEOGRAFICA DE LA ERMITA DE SAN BARTOLOME DE UCERO Veremos que 5º del meridiano Toledo y la ubicación de la ermita forman una estrella de 5 puntas, con la que dividimos la circunferencia terrestre en 377 partes y el radio terrestre en 60 partes recordando la aproximación a pi de 377/120. Veremos que la estrella de 5 puntas desde montesclaros pasando por la ermita de san bartolome de ucero nos lleva al castillo de Perputxent en el que se registro un fenomeno espacio tiempo inexplicable por las leyes de la fisica. Al final veremos que después de los círculos máximos de Nazca/Guiza y de Teotihuacan/Xian el 3º más probable pasa por la costa atlántica de la península ibérica, donde la ermita tiene unos rumbos y distancias con Nazca y Guiza que dan que pensar mucho. Hace tiempo me di cuenta de que 3 obras en el mismo meridiano (meridiano Toledo) que son la lapida templaria de Arjona (Jaen), la puerta del sol de Toledo y la iglesia de Veracruz en Segovia tienen tres geometrías distintas pero que dan como resultado la misma proporción de platino (raíz cuadrada de 3 mas uno). 5 grados al norte de Arjona se encuentra el santuario de montes claros, si dibujáramos una estrella de 5 puntas (como la del óculo de la ermita de san Bartolomé) donde uno de los segmentos sea esos 5 grados del meridiano Toledo, el otro segmento del vértice de montes claros pasaría muy cerca de la ermita de san bartolome. No se si aun recordaréis que todas mis geometrías en España estaban giradas un grado, por eso en vez de un rumbo de 144º (como se esperaría de la estrella de 5 puntas con un segmento coincidente con el meridiano toledo) partiremos de montesclaros con un rumbo de 145º, a las 86 millas nauticas llegamos a 41º 45'N 2º56'W eso son 8 minutos de grado mas al este que la ermita de san bartolome de ucero. La diferencia se puede explicar a que mis geometrías son planas y la superficie de España es ligeramente curva, diferencia como vereis mas adelante se puede subsanar sustituyendo los trazos largos (donde la separación entre la geometría esferica y plana es mayor) por trazos cortos. Si un segmento de la estrella va de montesclaros a arjona, el otro segmeto de la misma punta de la estrella va de montesclaros pasando por la ermita de san bartolome hasta el castillo de Perputxent en Lorxa (Alicante). Entre Lorxa y Arjona obtenemos 0.9549 grados (uno menos coseno de 36 por cinco).377 veces dicha distancia son los 360 grados de la circunferencia terrestre (360.0029 para ser exactos) lo que se relaciona con la aproximación a pi de Ptolomeo de 377 entre 120 (3.14166 frente los 3.14159 de pi). Dicho de otro modo dicha distancia se acerca a 1/60 del semieje terrestre pues la circunferencia es 2 por pi veces el radio, esto por la distancia es 6 grados (360/60)

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Mientras la puerta del sol y el santuario de montesclaros son obra de la orden de malta, la lapida de arjona y la Veracruz se suponen templarias, esta ultima despues de la persecución de los templarios paso a manos de la orden de malta. La ermita de san bartolome de ucero tambien fue de los templarios y el castillo de Perputxent solo fue templario las 3 decadas ultimas antes de la persecución, aunque se evito que llegara a manos de la orden de malta cediendose a la orden montesa. El castillo de Perputxent fue objeto de estudio de la SEIP y encontraron lo que titularon psicofonias del futuro, que se refería a que los ecos de sus propias voces reflejadas en la sierra se grabaron antes que las voces mismas y se supone que la voz ocurre antes que el eco. Ya sabréis porque menciono este dato. Por otro lado de la ermita a Guiza hay 1800 millas náuticas con un rumbo de 113º que es equivalente a los 67º (pero por debajo del este en vez de por arriba). Espero que recordáis que en rumbo 67º entre ecuador y trópicos se recorren 3600 millas náuticas lo mismo que en rumbo 60º del ecuador a las latitudes 30º y que también recordáis que de Nazca a Guiza el rumbo es de 67º (aunque a 6850 millas náuticas que no tiene relación con los 3600). De la ermita a Nazca el rumbo es de 231º que no dice nada pero a una distancia de casi 5400 (un cuarto de la circunferencia terrestre) siendo los 1800 de Guiza a la ermita más los 5400 de la ermita de Nazca dos veces 3600.La península ibérica tiene una posición estratégica en la teoría de las rutas intercontinentales y no lo digo por ser lo mas occidental de Europa ni por ser nexo entre Europa y Africa (como bering entre America y Asia) sino porque solo hay un circulo máximo perpendicular al mismo tiempo del de Nazca y Guiza y del de Teotihuacan y Xian, dicho círculo pasa por la costa atlántica de la península. La tangente de la orientación de la planta de la ermita de 68.5º por el coseno 66.8º es 1.00008, en Guiza vimos que la tangente de 66.8º es 3.0002/7. En el borde del oculo donde aparece la estrella de 5 puntas hay 65 circulitos, 13 entre cada dos puntas de la estrella y puede tener una de las dos explicaciones siguientes (quizas ambas) La división de la circunferencia terrestre en 377 cada 5 grados de trazo son 1885 partes cada grado de trazo de la estrella de 5 puntas que son 29 por los 65 circulitos. También si suponemos que cada circulito son 29 millas nauticas, tenemos las 1800 de guiza a la ermita y las 85 de la ermita a montesclaros. La estrella de 5 puntas forma un pentagono interior siendo 2 de sus vertices 39º51'N 4º3'W y 41º01'N 4º3'W. La puerta del sol de Toledo esta 2 minutos de grado al este del primer vertice y la Veracruz esta 4 minutos de grado al sur y 4 minutos de grado al oeste que el segundo vertice. Esas distancias quizás se deban a que son 2 grandes ciudades de la Edad Media y a que hay una segunda geometría superpuesta a esta. 78

El oculo de la ermita también se puede interpretar anatómicamente. Quizás recordéis que con la obertura de las piernas la perdida de altura es (1-cos30º)/2=0.06698. Si dibujamos un cuadrado de lado esos 0.06698 menos que el cuadrado del hombre de vitruvio, contendría las piernas en obertura y los brazos con las manos a la altura de la cabeza. La forma del oculo es como las 10 semicircunferencias y la estrella donde cada tramo es la altura del hombre, cada 4 semicircunferencias tiene de longitud medio circulo del hombre de vitruvio que es de 29 veces 0.06695 (casi no hay diferencia con la perdida de altura) La interpretación anatómica es importante porque en los cálculos que hice en la página anterior usé el 65 y el 29, el 65 aparece en los bordes del oculo y el 29 no aparece en el pero es la proporción entre el circulo y la perdida de altura del Vitruvio. 79

LA GEOMETRIA DE LAS 3 OBRAS DEL MERIDIANO DE TOLEDO Vamos a ver el número de platino en la lápida templaria de Arjona, en el relieve de la puerta del sol de Toledo y en la planta de la iglesia de veracruz de Segovia. Con solo la diferencia de que en la lapida también aparece el número de plata. El que todas las obras se encuentren en un mismo meridiano explicare que puede tener 3 posibles motivos, una cercanía entre los autores, un traspaso de información y pura casualidad, casualidad como el parecido existente entre estas obras y la estrella de mi tatuaje. También analizare la ubicación geográfica de La Cañada en Avila y de Tarragona donde ocurrieron dos apariciones que dejaron cada una un dibujo geométrico, veremos que se forma un triangulo que cubre gran parte de España, que del centro del triangulo a ambos sitios la proporción de distancias es el cuadrado del número de platino, y que la orientación desde el centro a los dos lugares es 15º del norte sur y del este oeste. Superpondré en las geometrías de la lapida templaria, la puerta del sol y la planta de la iglesia de veracruz las posiciones de la Cañada y de Tarragona. Gracias a estudiar la ubicación de una tercera aparición me daré cuenta que mis geometrías están giradas un grado, gracias a lo cual podré tener una gran precisión y desarrollar mucho mas este estudio. Encontraré en los 72 nombres de Dios y el árbol de la vida judíos unas funciones estadísticas que explican el porque del numero de plata en la lapida de Arjona por medio de una aproximación de números trascendentes, números irracionales y números racionales al mismo tiempo. Vemos la inscripción en círculos del triángulo (corona mediana) y el cuadrado (corona menor) cuyas series son los números naturales binarios, es la expansión de la ciudad de Teotihuacan, {1, 2, 4, 8, …} y {1, 4, 8, 16, …}.

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Vimos que con la geometría de la estrella de 5 puntas la Veracruz de Segovia se alejaba 4 minutos de grado de su posición geométrica, pero en esta segunda geometría está en la posición geométrica siendo la puerta del sol de Toledo la que se aleja 4 minutos de grado.

Si entre 2 puntas hay un grado, los circulos que trace son de radios binarios 0.5, 0.707, 1 y 2 (su area seria pues ¼ ½ 1 y 4) rodeando la estrella el círculo de radio 2 por coseno de 15º, pronto veremos la geometría de las apariciones en España, su centro esta a 266 millas rumbo 46º de Lourdes (266 millas son la distancia de dicho centro a Tarragona, la ubicación de una de las apariciones, eso son 257 millas, entre coseno de 15º) Mientras que del centro al cerro de los ángeles (centro geográfico de la España peninsular) hay 34.43 millas (la distancia de dicho centro a la estación de la cañada en Avila, la ubicación de otra de las apariciones) rumbo 61º. Todos esos rumbos desde el centro de la geometría de girarlos un grado menos son múltiplos de 15 grados lo que es acorde con la geometría de la lapida de Arjona (los 346º hasta La Cañada pasan a 345º, los 46º a Lourdes pasan a 45º, los 61º al cerro de los ángeles pasan a 60º y los 76º a Tarragona pasan a 75º) La lápida también tiene unos circulitos perifericos cuyo radio es 0.207106 el radio del circulo que rodea la estrella, esa proporción relacionada con el número de plata, si suponemos la unidad entre cada dos puntas de la estrella, el radio de esos circulitos es 0.4001 (tangente de 22,5º por coseno de 15º) casi 4 décimos, que es una de las aproximaciones racionales que veremos que se pueden conseguir con las geometrías de la península ibérica. 81

La lápida quizás templaria que tiene una copia en el ayuntamiento de Arjona y fue la inspiración del libro “la lápida templaria descifrada”. En la lápida observé dos números metálicos, números de la familia de Phi, el número áureo. Los números de plata y platino son similares al numero áureo (Phi), también les corresponde una serie como la Fibonacci, series que vimos en la página anterior. Cuando más nos acercamos a infinito en dichas series, la fracción de dos números consecutivos de la serie se aproxima a alguno de los números metálicos. Numero de plata: 1+√2 (2.414) Sucesión: el doble (del anterior) más el anterior del anterior {1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239} Numero de platino: 1+√3 (2.732) Sucesión: el doble (del anterior más el anterior del anterior) {1, 1, 4, 10, 28, 76, 208,...} (Numero de oro: Phi Sucesión: el anterior más el anterior del anterior {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...})

La proporción entre la superficie de los 4 círculitos juntos con la superficie del círculo mayor es el cuadrado del número de plata. La proporción de la superficie de la corona mayor con la superficie de la corona menor es el cuadrado del número de platino. El cuadrado es la única figura no circular de la lapida trazada directamente, unos puntos de corte (de la estrella de 12 puntas) quedaban fuera del cuadrado y otros dentro.

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Esos puntos de corte están inscritos en la corona mediana, y la corona mediana es la única figura junto al cuadrado que no está directamente relacionada con el número de plata y el número de platino. Pero gracias al cuadrado y a la corona mediana es como he podido saber que las coronas pueden inscribir en ellas hexágonos o, lo que es lo mismo, si el círculo entero es 1 la corona es 0,25. Y gracias a saber las dimensiones de las coronas se conocen las dimensiones de los circulitos pequeños.

Vamos a buscar en todo lo posible si dicho cuadrado y la corona mediana tienen alguna relación oculta con los números metálicos que hemos visto. Para ello, dibujaré mi propia estrella de doce puntas y le añadiré elementos de la lápida. Vimos que la proporción corona menor corona mayor es el número de platino, se debe a que en una estrella de 12 puntas los circulos mayor y menor tienen como proporción el numero de platino. Para ello no hemos necesitado coronas (solo círculos) ni el cuadrado ni los circulitos del exterior. Por ello, la secuencia natural en una estrella de 12 puntas es la del número de platino 1 +√3.

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El sentido de la corona mediana y el cuadrado es que, en la estrella de 12 puntas si contenemos el círculo mediano en un cuadrado, las esquinas de dicho cuadrado son el centro de unos círculos tangentes al circulo mayor y la estrella formada por triángulos equilateros, el radio de cada uno de los 4 círculos es de tangente de 15º (el doble de 0.1339 del que ya hablaremos). Si os fijáis aun no he dibujado las tres coronas sino tres círculos, y es que el sentido de las coronas es que, de hacer la corona mayor (que contiene un hexágono), los cuatros círculos tangentes a la estrella formada por triángulos isósceles, su radio es la mitad del número de plata (0.4142). Lógicamente, al ser ahora tangentes de la corona, sus centros cambian y ya no son las esquinas del cuadrado. En el relieve de la puerta del sol en Toledo vemos un cuadrado dentro de un triángulo dentro de un círculo. Esto guarda una relación íntima con la estrella de 12 puntas que vimos en la lápida de Arjona. Os recuerdo que el número fundamental en la estrella de 12 puntas es el número de platino porque en este caso en Toledo sucede lo mismo. Además os recuerdo que dentro de la estrella de 12 puntas hay una estrella de 4 triángulos superpuestos y otra de 3 cuadrados superpuestos. El triángulo de la puerta del sol inscribiría la estrella formada por triángulos equiláteros y el cuadrado de la puerta del sol inscribiría la estrella formada por cuadrados. Pero antes de sacar conclusiones debéis tener en cuenta que existen tres motivos por los que dos obras puedan ser parecidas. Puede deberse a que existió un contacto directo entre los dos creadores o que existió un contacto cultural ya sea vía oral o escrita. Pero otro segundo motivo es el parecido existente entre los dos creadores (siendo los dos seres humanos ya hay un importante parecido) y una similitud en los objetivos que ambos quisieron conseguir (quizás el número de platino). Además existe un tercer motivo que es la casualidad, ya que algunas figuras geométricas son más recurrentes que otras. Como ejemplo de esta tercera posibilidad os hablaré de un caso personal. En el 2001 me tatué una estrella con 3 puntas grandes y 6 pequeñas con la condición de que todas las puntas quedaran dentro de un triángulo imaginario. Por entonces no conocía ni la lápida de Arjona ni la puerta del sol de Toledo, y dudo que nuestros objetivos fueran los mismos. Así, el que entre todos los casos que he estudiado, mi tatuaje se parezca precisamente a los dos únicos casos que he estudiado en mi país, es una casualidad. Lo se a ciencia cierta porque uno de los autores soy yo. El parecido con la lápida de Arjona es que, para sorpresa mía, la estrella de 9 puntas del tatuaje se inscribe en una estrella de 12 puntas. El parecido con el relieve de la puerta del sol de Toledo, es que si dibujamos un círculo dentro de un cuadrado dentro de un triángulo, el círculo quedaría dentro de la estrella del tatuaje y dicha estrella quedaría dentro del triángulo. Espero que mi caso 84

personal os haya hecho pensar, y en general os haga deteneros al menos un momento antes de sacar conclusiones sobre lo que sea. Mi estrella de 9 puntas puede dar lugar a que se hagan comparaciones con otras formas geométricas cuando se trate solo de mera casualidad porque es una figura muy recurrente. ¿Por qué le doy esa característica a dicha figura? Porque hemos visto 2 métodos por los que podríamos construir la estrella. Uno era por medio de una estrella de 12 puntas y otro era por medio de un círculo dentro de un cuadrado dentro de un triángulo.

Pero hay un tercer método de construcción de esta estrella de 9 puntas, por medio de un dodecágono y 9 cuadrados donde dos de sus vértices no consecutivos son vértices no consecutivos del dodecágono. Con tantas formas de construirse pienso que es una figura muy recurrente. Este tercer método con 12 cuadrados en vez de 9 dibujaría una estrella de 12 puntas pequeñas y con 6 cuadrados en vez de 9 dibujaría una estrella de 6 puntas grandes, además podríamos dibujar una estrella de 12 puntas grandes por medio de 12 triángulos donde dos de sus vértices son dos vértices consecutivos del dodecágono.

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Finalmente me puse a buscar plantas de construcciones que pudieran considerarse casos similares. Solo encontré la iglesia de Veracruz de Segovia, su forma dodecagonal en lugar de cuadrada, lo que le da a estos casos cierto aire oriental, aire que también tenían los templarios. La planta de esta iglesia destaca en España por dicha forma dodecagonal y recuerdo que el dodecágono es el polígono del número de platino, que estamos viendo en todos los casos de este apartado. En la primera imagen os muestro el cuadrado dentro del triángulo dentro del círculo para compararla con el relieve de la puerta del sol en Toledo. Por lo tanto la proporción entre los muros de la iglesia y los de la sala central es el número de platino. En la siguiente imagen se observa que he dibujado una corona dentro de la cual están los muros de la iglesia, dicha corona puede albergar perfectamente un hexágono ¿os recuerda esto a algo? Efectivamente es una corona idéntica a las de la lápida de Arjona. Sin embargo aquí es en sentido contrario, hacia afuera en lugar de hacia dentro que se debe precisamente para que desde fuera de los muros el dibujo sea como el relieve de la puerta del sol de Toledo. Esta imagen es muy compleja pues he añadido otros elementos que os voy a explicar a continuación, podéis observar que añado un cuadrado y 4 circulitos periféricos similares a los de la lápida de Arjona. De este modo os voy a mostrar que el parecido podría dar que pensar en una posible relación, aunque como ya os he dicho estas formas, como la del diseño de mi tatuaje son muy recurrentes.

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La iglesia de Veracruz de Segovia está basada en que se puede construir un dodecágono con un hexágono, 6 cuadrados y 6 triángulos con todos los lados iguales de todos los polígonos. En los esquemas extraigo parte del dibujo anterior, en concreto hexágonos y cuadrados que comparten un lado, lado que es igual al lado del dodecágono. A la derecha selecciono los cuadrados y hexágonos periféricos, hay que destacar que los pasillos que forman las entradas de la sala interior de la iglesia son los límites que 87

no alcanzan los hexágonos. En la imagen central sucede al contrario, selecciono los hexágonos centrales con sus respectivos cuadrados de lados comunes, donde se cruzan los cuatro cuadrados se encuentran los pasillos antes mencionados. Pero el derecho es el más interesante, dentro de la figura que forman los hexágonos encaja perfectamente el cuadrado de la lápida de Arjona cuyas esquinas eran el centro de los circulos de radio tangente de 15º . Lo siguiente de lo que me percaté es que Arjona, Segovia y Toledo están muy próximos al mismo meridiano. Tras documentarme al respecto rápidamente encontré que en la Edad Media, gracias a los documentos de Alfonso X el sabio, el meridiano que se tomaba como cero, es decir el punto de partida, era el que pasaba por Toledo. Durante algún tiempo pensé en descubrir el sentido de la aparición de un espectro vestido como medieval junto a su caballo caminando por las afueras de Tarragona, lugar donde después se encontró un triángulo equilátero rodeado por un círculo. Pero no encontraba nada porque quería asociarlo a la cuadruplicación que vimos en Teotihuacan. Pero la Edad Media española era como habéis visto menos simple, y tuve éxito cuando cambié el patrón de búsqueda de dicha geometría por formas relacionadas con el número de platino y gracias a que encontré una segunda aparición en La Cañada (Ávila) de una mujer vestida con ropas también medievales donde se encontró dos triángulos en un círculo rodeado de 12 letras y con 666 en su interior.

Para hacer la geometrización anterior tracé una línea 15º del este oeste desde 88

Tarragona, y una línea 15ª del norte sur desde la Cañada, por lo que ambas son perpendiculares. Después me he dado cuenta que todas mis geometrías en España estaban giradas un grado siendo 14º en vez de 15º. El centro de la geometría es donde dichas líneas se cruzan, y la distancia de dicho centro a la Cañada es la mitad de tangente de 15º (34.43 millas nauticas) la distancia del mismo centro a Tarragona. (257 millas nauticas) eso es 0.1339. La mitad de los círculos periféricos de Arjona antes de la transformación.

Por eso superpuse las tres geometrías en la mitad de distancia del centro a Tarragona, la imagen izquierda superior la obtengo de la geometría de veracruz, la imagen central superior de Arjona y la imagen superior derecha de Toledo, en las tres imagenes he remarcado tres zonas de igual area (la del cuadrado de Toledo) Las dos imagenes de abajo son los segmentos de Tarragona y la Cañada superpuestos en la geometría de Veracruz y Arjona.

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Estas tres imagenes que aun no he explicado están relacionadas con como me di cuenta de que mis geometrías en España estaban giradas un grado. Fue cuando analice la ubicación de una tercera aparición, los tuneles de Aurdin. Cuando vi la reconstrucción del relato y a la aparición con los brazos en cruz tuve una intuición. Lo primero que observe es que su latitud practicamente era la del santuario de montesclaros a 214.43 millas nauticas rumbo 301.54º de Tarragona llegamos 42º56'N 2º56'W eso es 9 millas nauticas al oeste de los tuneles. La primera imagen muestra circulos de 0.5 de 0.866 y de 0.1339, con circulos de 0.5 vemos como en guiza las hileras hexagonales de circulos, la forma de ocupar el plano dejando el menor espacio en los huecos entre los circulos, con los circulos de 0.866 y 0.1339 vemos tambien como en guiza uno de los empaquetamientos compactos con circulos de dos radios distintos. La propiedad de estas distribuciones de circulos es la tangencia comun entre los circulos vecinos. Los brazos en cruz me recordó que la perpendicular en el punto de tangencia de una tangente de un circulo pasa el el centro de dicho circulo. La segunda imagen tambien esta relacionada con las tangencias, pues añadí las tangentes interiores y exteriores al circulo central de 0.1339 y otro exterior de 0.1339, 91

las tangentes exteriores son tambien tangentes de circulos unidad con el centro de los circulos de 0.866, en cambio las tangentes interiores lo son también de circulos de 0.83436 de radio (algo menor que 0.866) y 0.83436 por las 257 millas nauticas son las 214.43 millas nauticas entre Montesclaros y Aiurdin., por eso hice la tercera imagen marcando con circulitos las ubicaciones de las tres apariciones. Pero en vez de a 301.54º el punto de la tangencia era 300.54º, pensé ¿y si mi geometría esta girada un grado? Calculé las distancias desde Tarragona y Avila y en ambas obtuve la misma ubicación). Despues a mitad del desarrollo del estudio calcule la distancia y rumbo desde Avila a dicho punto de tangencia como indicaba el programa que uso de geometría plana y obtuve ahora si la ubicación exacta de Aiurdin, supuse que el trazo desde Avila era mas corto que desde Tarragona y por tanto había menos desfase entre mi geometría plana y la geometría esferica de la superficie de España.El meridiano toledo que forma parte de la geometria de la estrella de 5 puntas sus obras hacen referencia a la geometria de las ubicaciones de las apariciones por eso es factible pensar que se pueden trasladar de un lugar a otro, de Aiurdin a La ermita de san Bartolome de ucero por ejemplo, en la que tambien teniamos una diferencia de 9 minutos de grado en el este oeste. El giro de toda la geometria en un grado quizas es debido al angulo de 31 grados tenemos que el coseno de 31 o el seno de 59 son seis septimos (los 14grados mas 45 grados o los 45 grados menos 14 grados). Con 30 grados la proporcion no seria racional (cociente de dos enteros) sino los mencionados 0.866, con la proporcion racional es mucho mas facil trabajar por eso Lenoardo da Vinci en sus indicaciones del hombre de vitruvio dice que la obertura de las piernas 60 grados como un triangulo equilatero, supone la perdida de altura de 1/14 ¡¡ y eso es precisamente lo que se pierde con una obertura de 31+31=62 grados !! De hecho no pase por alto en este estudio el angulo de 31º porque los teotihuacanos tambien lo usaron (de ahi que sus calles sean un grado no perpendiculares) Y lo último que me di cuenta fue que la orientación de la ermita de san bartolome de ucero de 68.5º tenia sentido en el giro de un grado porque en verdad se refiere al angulo de 67.5º (cuyo coseno es el numero cordobes y cuya tangente el numero de plata) Fijaos en estas medidas: coseno de 31= 6/7, tangente de 35=7/10 estas se consiguen a partir de los 36 grados pentagonales y los 30º hexagonales tras el giro de un grado. Con estas geometrías y la orientacion de la ermita tambien se puede obtener tangente 18 por coseno 22.5= 3/10 y tangente 22.5 por coseno de 15= 4/10. Aunque los 31º son los mas importantes, las 257 millas nauticas del circulo unidad de la geometria de las apariciones por 7 entre 6 son las 300 millas nauticas (5 grados) de la estrella de 5 puntas del meridiano Toledo. Y los 14 grados hacia tarragona mas 31 son 45º grados, con ese rumbo también es facil dividir el plano con el empaquetamiento compacto de circulos de radios 1 y 0.4142 (el numero de plata) que vimos en guiza. 92

Otra solución (no excluyente) a los casos españoles de la edad media se encuentren en la cábala. Las 4 letras de yavé (YHVH) en gematría suman 26 que es llamado el tetragrámaton (4 letras), os comento esto porque voy a analizar el árbol de la vida hebreo pues parece un problema de probabilidad de calcular todos los caminos posibles entre dos puntos, el árbol de la vida es una herramienta para ascender niveles y acercarse a dios, pero primero voy a hablar de otra herramienta que es los 72 nombres de dios. Esta tabla de los 72 nombres de dios tiene 72 meditaciones de 3 letras cada una, como lo decidieron llamar nombres de dios multiplico 72x3 por los 26 de YHVH y obtengo 5616 de valor.

Ahora ya puedo empezar a hablar del árbol de la vida, esta segunda herramienta tiene 10 (11) sefiras o estados y 22 (24) senderos que representan precisamente las 22 letras del alfabeto hebreo. Con un programa informático que diseñé calculé todos los caminos posibles que llevan del sefira superior al inferior, pasando una vez por todos los sefiras menos el añadido especial (que es como un reflejo del sefira superior y que se encuentra entre el segundo y tercer sefira), hay 84 caminos posibles que suponen 756 senderos o letras. El añadido especial cuando se tiene en cuenta se omite el sefira superior, por tanto hice una pequeña modificación en el programa para contar todos los caminos posibles desde el añadido especial al sefira inferior pasando por todos los sefiras menos el superior, hay 72 caminos posibles que suponen 648 senderos o letras. Si sumamos las dos combinaciones tenemos 1404 letras en total y debo mencionar que en verdad hay cuatro árboles de la vida y no solo uno (uno por cada mundo de cuatro que se aluden) 1404 letras por árbol x4 árboles son los 5616 letras que calcule antes en los 72 nombres de dios. Pero además en el árbol se distingue los senderos verticales, los senderos horizontales y los diagonales así que yo también lo voy a hacer. 93

72 caminos Verticales 206 Horizontales 130 Diagonales 312 648 de total

84 caminos 262 150 344 756 de total

156 caminos 468 280 656 1404 de total

Si lo que tenemos en cuenta es 206+262 130+150 y 312+344 (es decir divididos perfectamente en verticales, horizontales y diagonales) la media es de 468+/-188. Dicha media en tantos por uno del total 1404 es de 0,33333 +/- 0,133903 que se aproxima al irracional 1/3 + (1/platino)(1/platino)= 0,33333+/- 0,133974. Ya he tratado mucho el tema de los cuadrados de los números metálicos, este caso es muy cercano a la lápida de Arjona con su estrella de 12 puntas (que implica el numero de platino que es raíz cuadrada de 3 mas uno) y tiene en el borde 3 letras hebreas a modo de uno de los 72 nombres de dios. Los 0,33333+/- 1339 también pueden pasarse al inverso (platino-1)(platino-1) mas menos el inverso de (platino) (platino). Había una cosa que no entendía porqué, de la lapida de Arjona, que era la transformación de los 4 círculos periféricos a proporciones de plata. Ahora que se que evocan a una función estadística el primero son 0,33333 +/-0,1339 donde 0,3333 es dividir el circulo mayor entre las 3 letras hebreas y 0.1339 es el radio de la corona mediana 0.366 por el inverso del número de platino es decir 0.366 el mismo número. El segundo es 0,25 +/- 0,0857 donde el paso de 0,3333 a 0,25 es porque el circulo interior a la corona es 0,75 el circulo mayor es decir, 0,25 es el circulo interior a la corona dividido entre las 3 letras hebreas y 0.0857 es el radio de un circulo de plata 0.2071 por el inverso del número de plata 0.414. Antes convertí la primera función en el inverso (platino-1)(platino-1) mas menos el inverso de (platino)(platino). La segunda función es la mitad del inverso de (plata-1) (plata-1) mas menos la mitad del inverso de (plata)(plata).

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Pero lo mas increíble es que como los 468 +/-188 eran los 0,3333 +/-0,1339 convertí los 0,25 +/- 0,0857 en 351 +/-120. No tarde mucho en darme cuenta en distribuciones normales que para 351 de media y 120 de varianza cada 2 grupos que hagamos de senderos uno se encontrara entre 351 +/- 81, para 351 de media y 120 de varianza cada 3 grupos que hagamos de senderos uno se encontrara entre 468 +/- 81, y si cambiamos para 468 de media y 188 de varianza cada 3 grupos que hagamos de senderos uno también se encontrara entre 468 +/- 81.

Podríamos pensar que con la primera imagen tendríamos suficiente pues la división tal como se explica para el árbol de la vida es en tres grupos (verticales, horizontales y diagonales) donde la media es 468.Por ello incluyo que el simétrico (y por tanto de probabilidad equivalente) a la tercera imagen es 234+/-81 (media 351 y varianza 120). Los 156 caminos totales son en verdad 72 y 84 caminos separados por lo tanto la división es de 6 grupos donde la media es 234. Por tanto la tercera imagen nos sirve no solo para para la división en tres grupos sino para la división en 6 grupos manteniendo constante el intervalo de +/-81 y la probabilidad de suceso de 1/3. En resumen la geometría de la lápida de Arjona podría ser una aproximación con números metálicos a los dos primeros dibujos de campanas de gauss. Que es decir lo mismo que podría ser una aproximación a los números enteros que obtenemos en el arbol de la vida judío. Y nos encontramos que los números metálicos son irracionales aunque no transcendentes (se pueden obtener por medio por ejemplo de la geometría), que los resultados que se obtienen de una distribución normal son irracionales y trascendentes (no se pueden obtener geométricamente) pues en sus cálculos aparecen pi y el número e. Y que los valores de los 72 nombres de dios y del arbol de la vida son racionales, concretamente enteros. Ningún caso se ajusta perfectamente a los otros dos, pero las aproximaciones tanto racional como geométrica como estadística son sorprendentes. Por eso termino pensando que las conclusiones de los autores de “la lápida templaria” Juan Eslava Galán y Álvaro Rendón de que la lápida de Arjona esta relacionada con los 72 nombres de Dios y con la mesa de Salomón no son solo literatura sino que tiene más sentido de lo que parece, entre los posibles escondites de la mesa están Toledo y la provincia de Jaen (mismo meridiano que Toledo). Y por eso pienso finalmente que la cifra 666 en una de las apariciones se refiere a los 666 talentos de oro del rey Salomón. 95

LOS ALQUIMISTAS Y EL NUMERO SIETE Respecto a los Alquimistas veremos la relación de la piedra filosofal con el siete, en dos construcciones veremos la septuplicación de áreas y comentare que en la hilera hexagonal de círculos (la que divide optimamente el plano) cada circulo es tangente a otros 6, esos 6 circulos y el central se contienen en un círculo 9 veces mayor, pero si queremos transformar esos círculos en otros mayores que sean tangentes entre si, debemos transformarlos en círculos 7 veces mayores. En la última construcción donde vemos una estrella de 7 puntas encontré el paso de pi a números racionales. Leonardo da Vinci no fue el único que rodeó con figuras un ser humano, un siglo después Maier rodearía una pareja de humanos en varias figuras. Estamos hablando de un alquimista que rescató unas figuras geométricas de la Grecia clásica. Yo creo que los primeros alquimistas eran sobre todo filósofos que hacían metáforas con la química y la geometría que después algunos tomaron en un sentido distinto, el de al pie de la letra, muchas veces.

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Michael Maier, Atalanta Fugiens (1618). EPIGRAMMA XXI. De Secretis Natura Fac ex mare & foemina circulum, inde quadrangulum, hinc triangulum, fac circulum & habebis Lapis Philosophorum. EPIGRAMA 21. Del secreto de la naturaleza. Haced un círculo con el macho y la hembra, luego un cuadrado, después un triángulo, y haced finalmente un círculo y obtendréis la Piedra Filosofal. Michael Maier continúa en este epigrama de su obra capital, La Fuga de Atalanta: "Que el macho y la hembra os hagan un círculo del que surja un cuadrado del mismo tamaño. Haced de éste un triángulo, que a su vez forme una esfera tocando con su curva todos los vértices: entonces nacerá la piedra. Si no comprendéis con facilidad y rapidez una cosa tan sencilla, tan grande, lo sabréis cuando comprendáis las enseñanzas de la geometría". (La última frase del párrafo alude a un saber no geométrico que por medio de la visualización gráfica también se puede enseñar a otros. Aunque no la añado en el libro, este alquimista hace introducciones en cada epigrama. En la introducción de este, habla de Platón y Aristóteles y de cómo la geometría fue un método pedagógico gráfico para que los alumnos encontraran la verdad de aspectos muy diversos del mundo.) Ahora os voy a dar unas nociones de alquimia, no me gusta incluir en el libro cosas que no sean de mi puño y letra pero esta pagina es útil para que comprendáis que los números importantes en la misma son el tres, cuatro y siete, sobretodo este ultimo ya que es el de los metales distintos y por tanto relacionado con la piedra filosofal que convertía unos metales en otros. Nociones de alquimia: Las Tres Bases De acuerdo con Paracelso, las Tres Bases (Tria Prima) son:  El Azufre, el principio vital, anónimo e inconsciente:  El Mercurio, el alma y la conciencia:  La Sal, el cuerpo, lo sólido, la materia en el sentido propio: (El cuerpo, alma y vida se simbolizan con un triángulo.) Los Cuatro Elementos Estos muestran las características de calor, frío, sequedad y humedad:  El Fuego, cálido y seco:  El Agua, fría y húmeda:  El Aire, cálido y húmedo:  La Tierra, fría y seca: 97

(Los cuatro elementos juntos se simbolizan como una estrella de David) Los Siete Metales Planetarios Los metales planetarios fueron “dominados” o “manejados” por uno de los siete planetas en la antigüedad. Aunque tenían su propio símbolo, normalmente fueron representados por el símbolo del planeta correspondiente.  Oro representado como el Sol  Plata representado como la Luna  Cobre representado como Venus  Hierro representado como Marte  Estaño representado como Júpiter  Mercurio (metal y planeta)  Plomo representado como Saturno (Los siete metales planetarios se simbolizan con la piedra filosofal) Los planetas Urano y Neptuno y el planeta enano Plutón fueron descubiertos posteriormente, cuando la alquimia había sido remplazado por la química, y no forman parte de símbolos alquímicos tradicionales. Algunos alquimistas modernos consideran apropiados los símbolos de estos planetas para representar los metales radiactivos uranio, neptunio y plutonio, respectivamente. ¿Qué es la piedra filosofal? Un círculo siete veces mayor al primero. Lo he concluido con la fuga de Atlanta de Maiers

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Respecto al problema de que el vértice superior del triángulo equilatero no es tangente con el círculo mayor, se soluciona con lo que Maiers llama propiamente piedra filosofal (rodeando el círculo con un cuadrado y el cuadrado con un triangulo) Con la cuadratura del círculo (epigrama 21 de la fuga de Atlanta) se consigue que las tres partes del triángulo alcancen el círculo del siete. Los 4 lados podrían ser los 4 elementos Ahora bien, gráficamente a ojo humano parece que la tangencia es perfecta pero si hacéis los cálculos precisos veréis que hay cierta imprecisión. La piedra filosofal es una metáfora en la que inicialmente solo un lado del triángulo (el cuerpo quizás) alcanza el círculo de los siete metales planetarios y hay que tratar de que todos los lados del triángulo (cuerpo, alma y vida) alcancen dicho círculo. Si trazamos un círculo concéntrico al 7 veces mayor que pase por las dos esquinas mas alejadas del cuadrado tenemos el círculo 5 veces mayor. También he concluido lo mismo con el libro mudo de Altus donde todos sus grabados en su largo y ancho guardan una proporción de 5 y 2x√3. Por ello se pueden dibujar dos triángulos cuyos círculos inscritos son tangentes en 6 de los 15 grabados. Figuras que construyen el círculo del 7 de nuevo.

Os pondré solo dos grabados de los 6 porque si no se hace muy largo el libro. Debo añadir que al ser 15 grabados el total es (3 grabados de largo y 5 de ancho) 15 de largo y 10x√3 es decir proporción 3 y 2x√3 por lo que encaja un triángulo equilátero.

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El círculo que contiene 7 círculos de la distribución en el valle de Guiza o de las líneas de Nazca es 9 veces mayor que el círculo unidad, pero si quisiéramos un nivel superior de tangencia al de los círculos unidad no nos servirían los círculos 9 veces mayor ya que estos se cortarían los unos a los otros (no serían tangentes). Para un nivel superior al nivel de los círculos tangentes unidad necesitaríamos unos círculos menores a los 9 veces mayores, precisamente círculos 7 veces mayores. Si quisiéramos un tercer nivel, los círculos serían 7 veces mayores de nuevo a los segundos, es decir 49 veces mayores que el círculo unidad. 7 elevado a n en n niveles. 100

Ahora voy a hablar del vitriol. Es un acrónimo de la frase: ”Visita Interiora Terras Rectificatur Invenies Ocultum Lapidum” (Visita el interior de nuestra tierra, que rectificando encontrarás la piedra oculta).

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Tiene una estrella de 7 puntas y el acrónimo 7 letras (una frase de 7 palabras). Ya sabemos la importancia del siete en los alquimistas. Mi aportación a estos datos, es que los polígonos estrellados cuando son de siete puntas conseguimos una equivalencia de dimensiones entre círculos. De inscribir una estrella de siete puntas en un círculo, los 7 circulitos, tangentes a la estrella y el círculo mayor, es de la mismas dimensiones que el circulito central de mi dibujo. Es, por tanto, una consecuencia geométrica que debió gustar a los alquimistas

Idéntico a mi dibujo, se encontró un antiguo mapa templario de Francia, donde se traza una estrella de 7 puntas señalando las 7 comandancias más importantes, y una octava comandancia en Beorgia, pero no en el centro de la estrella sino al borde del circulito central, eso me ha ayudado en confiar en las dimensiones del circulito central. Antes de mi estudio, si hubiera visto ese mapa templario de Francia, habría pensado que no tendría ningún sentido, pero ahora conozco que muchas civilizaciones antiguas se valieron de la geometría y de la concatenación en sus mapas. Por ello, si los templarios se valieron de la geometría para distribuir el espacio en sus mapas por ejemplo de Francia, quizás lo hicieron como un modo de seguir las pautas de alguna civilización más antigua que ellos. Además debería haceros pensar, que encontré las propiedades de septuplicación de la piedra filosofal gracias a estudiar el sistema distributivo de Guiza y Nazca, y ahora he vuelto a la misma suposición.

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Pero el dibujo del vitriol es algo distinto, como veis en la imagen los circulos anteriores son mayores que los del vitriol, me encontré con circulos de area 1/12 tangentes a la estrella y a un circulo de pi/2, no son valores aproximados sino exactos, ahora bien hay infintas estrellas que son tangentes a esos circulos de area 1/12. El segundo circulo central es de area 2x3.145534/25 (pi=3,141592) Lo que necesitamos en la geometria es hallar el centro de la estrella, por eso creo que el dibujante dibuja dos triangulos tangentes al circulo de pi/2 y al circulo central segundo cuyos lados son de proporcion 1/5 con una imprecision que muestro de 0.00044. El vertice inferior del triangulo grande se halla con 5 distancias desde el borde superior del circulo de 1/12 hasta el borde superior del circulo central segundo. El alquimista se dio cuenta que la proporción entre dicha distancia y el radio de un circulo de area pi/2 es 0.599749 (casi 0.6). Cuando hallemos el centro del triangulo tambien habremos hallado el centro de la estrella, con la mencionada imprecisión de 0.00044. El circulo pi/2 ahora es 3.138966/2 y el segundo central 2x3.138966/25. Si no hubiera esa imprecisión habríamos construido un circulo racional (1/12) y otro trascendente (pi/2) cosa que es imposible solo nos podemos aproximar a los valores trascendentes. En vez de pi/2 y 1/12 podríamos haber hablado de pi y 1/6 que son aun más simples. 103

Se suele construir la cruz andina rodeando el orficio central con un cuadrado y este con otro cuadrado girado 45º, y el segundo con otro cuadrado orientado como el primero. Desde las esquinas del tercero (los escalones medios de la cruz) se traza una circunferencia que corta a los lados prolongados del primer cuadrado en los escalones extremos de la cruz. Es una construcción distribuida ortogonalmente. Pero desarrollé dos formas distintas de construcción, a la derecha trazando un triangulo equilatero dentro del orificio, un segundo triangulo unido lado con lado con el primero, y dos terceros triangulos unidos lado con lado con el segundo, formando los 4 triangulos uno solo. El lado del gran triangulo más alejado del centro esta sobre un lado del cuadrado que contiene los escalones medios de la cruz. De las esquinas del lado del triangulo se traza un círculo y desde las esquinas del cuadrado otro, los escalones extremos de la cruz contienen el primer circulo y son contenidos por el circulo segundo. Es una construcción distribuida hexagonalmente.

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Mientras la construcción de la izquierda es la combinación del cuadrado triangulo de la geometría de España con el cuadrado triangulo de la geometría alquimista. El orificio se rodea con un cuadrado y este con un triangulo equilatero (geometría de España) desplazamos el cuadrado cubriendo solo medio orificio y alargamos el triangulo para que rodee el cuadrado desplazado (geometría alquimista) Los últimos pasos son similares a los últimos de la construcción con 4 triangulos. En las anteriores imágenes tracé los arcos de circunferencia que van desde el escalón medio a ambos escalones extremos porque su longitud es de 1.99034 siendo la circunferencia del orificio de 2pi. Ya sabéis que la proporción entre phi al cuadrado 2.618 y de pi 3.1416 es casi 1.2, por eso el arco de circunferencia entre los dos escalones extremos (pasando por el medio) es equivalente al arco aureo en la circunferencia del orificio. El arco aureo tiene un ángulo de 360/2.618=137.5º y se encuentra en la naturaleza del crecimiento de las plantas como la filotaxis, una pipa de girasol se separa de la siguiente en ese ángulo, que también es la separación entre una hoja y la siguiente de los tallos de muchas plantas. Ahora recordemos la analogía mesoamericana del mas alla como dos pirámides escalonadas de 13 y 9 escalones. En la siguiente imagen he contenido dichos escalones con dos rectas perpendiculares entre ellas y he trazado el círculo mayor dentro de dichas rectas, el arco aureo de ese círculo mide 11.031. Donde 11 es la mitad de escalones de las dos pirámides. Quizás recordéis que la proporción entre las dos es equivalente a la proporción entre las pirámides teotihuacanas del sol y la luna. La tercera pirámide en tamaño , el templo de quetzalcoatl tiene esculturas de serpientes jaguar rodeadas por 11 plumas o pétalos en círculo. El arco aureo de la analogía se complementa con la cruz andina, a la que si hacemos el mismo procedimiento, tenemos una circunferencia donde un arco de angulo 360 entre 1.618 = 222.5º tiene una longitud de 10.983. Si sumamos los dos ángulos o sea 137.5+222.5 tenemos los 360 grados y si sumamos las dos longitudes 11.031+10.983 tenemos 22.014 escalones. En tihuanaco hay cruces andinas con también los doce escalones pero con solo 4 escalones extremos en lugar de 8 de la mas conocida. La circunferencia de longitud 22 tiene la misma altura que esta cruz y si repetimos para ella el mismo procedimiento que en la analogía mesoamericana tenemos la misma circunferencia y arco aureo de la cruz andina mas conocida es decir 10.983.

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EL HUESO DE ISHANGO: DE NUMEROS IRRACIONALES A ENTEROS En este apartado analizaré los 16 grupos de marcas que tiene este hueso africano de 20000 años, y encontraré sumas y restas de raíces cuadradas de resultado casi entero (tenemos pues aproximaciones a números enteros a partir de irracionales) También se puede interpretar en base a los números primos y sus distancias entre ellos ya que los primos comprendidos entre el primer cuadruplete primo y el siguiente se pueden representar en el hueso sumando algunos de los grupos de marcas, encontrándonos simetrías y complementaciones en sus formas. El hueso también lo analicé en el primer volumen en base a otros criterios, como ejemplo de todo el abanico de interpretaciones posibles de la piedra del sol. En ambos libros es el capitulo final para que no olvidéis que siempre hay que dudar. Hice dos análisis del hueso : a partir de las marcas y a partir de los espacios entre las marcas, en dicho caso cada uno de los números de la imagen se reduce en una unidad, a partir de los espacios obtuve el mes de 29.53 días, los ciclos de venus de 584 y 224 días, el año de 365 días y el calendario mesoamericano de 260 días

9x9=81 19x19=361 21x21=441 19x19=361 17x17=289 13x13=169 7x7=49 5x5=25 5x5=25 10x10=100 8x8=64 4x4=16

11x11=121 11x11=121 6x6=36 3x3=9

Pero centrémonos en las marcas, que las hemos elevado al cuadrado, lo que podría relacionarse con la geometría plana (2 dimensiones) y el factor tiempo en la relación existente tiempo/espacio (directamente proporcional donde el tiempo se eleva al cuadrado y el espacio al cubo) de las órbitas de los planetas del sistema solar. En este volumen hemos visto muchas aproximaciones a números enteros a partir de números irracionales o incluso transcendentes, este es otro ejemplo. 9x9=81 11x11=121 7x7=49 3x3=9

19x19=361 21x21=441 11x11=121 13x13=169 17x17=289 19x19=361 5x5=25 4x4=16 8x8=64 10x10=100 6x6=36 5x5=25 107

He invertido el orden de la segunda fila y de los segundos grupos de cada pareja de la tercera fila y tenemos que las raíces cuadradas de 121-81=40 361-169=192 441-289 =152 y 361-121=240 suman casi 48 (48.0017) que resulta ser la cantidad de marcas de la tercera fila. Además las parejas de la tercera fila se anulan de la siguiente forma: 49-9=40 25-16 =11 100-64=36 y 36 -25=9. Las raíces cuadradas de 36 y 9 son enteras y si las restamos tenemos 6-3=3, las de 40 y 11 no, pero si las restamos tenemos 3.0079. Otra interpretación que se puede hacer de este hueso es que 11 13 17 y 19 es un cuadruplete primo (4 primos en la menor distancia) el siguiente cuadruplete primo no ocurre hasta 101 103 107 y 109. Los cuadrupletes primos tienen la forma de 11 13 17 19 mas 30 veces ene donde ene es indeterminado. Como las dos columnas de 4 grupos suman 60 y 60 se pueden obtener tambien 101 como 120-19 103 como 120-17 107 como 120-13 y 109 como 120-11. Como la columna de 8 grupos suma 48, el total es 168, lo que suman los 4 primos anteriores precisamente a 48 (37 41 43 y 47) La distribución por el huesode los 16 grupos tiene simetrias y complementaciones entre los 25 primos que hay desde 23 hasta 109. El primo central es el 59, en el que hay varias representaciones simetricas entre ellas, vemos simetrias y complementaciones entre 71 y 97, 23 y 37, 29 y 31, 47 y 61, 43 y 53, 41 y 67, 73 y 83, 79 y 89. Las formas 79 y 89 podrían ser mas ordenadas cambiando la posicion del 8 y el 10, y 43 y 53 serían mas elegantes si ocuparan tambien la posicion del 4. Pero si hicieramos los cambios pertinentes a favor de ellos , seria en detrimento de otros primos por ejemplo el central (numero 59)

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Leonardo da Vinci en su modelo de proporciones anatómicas indica que el pie es un séptimo de la altura y una abertura de las piernas de 30º que dice

supone la perdida de un catorceavo de la altura pero en verdad esa perdida ocurre con una abertura de 31º. ¿Acaso erró en la precisión de su cálculo?

Lo que sucede es que el pie que es 1/7 desde el tobillo es tangente de 15º

entre dos (0.1339) por ello del tobillo al talón hay A=1/7-0.1339=0.0888.

La diferencia de la perdida de altura con una obertura de las piernas de 30º y de 31º (el supuesto error de precisión) es justo la mitad de lo anterior

B=1/14-0.1339/2=0.0444, pierna y pie hacen ángulo recto que se inclina 30º y el seno de 30º es precisamente ½. Por lo que cambiamos A por B.

Lo “impreciso” es una comparación de la altura con el pie muy profunda

Ignacio Colmenero Vargas Email:

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