El Mundo De Las Probabilidades: Experimentos deterministas

EL MUNDO DE LAS PROBABILIDADES La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las  posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Experimentos deterministas Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Ejemplos Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lu!ar a dudas, que la •  piedra bajar". Si la arrojamos #acia arriba, sabemos que subir" durante un determinado • intervalo de tiempo$ pero despu%s bajar". Si tiramos un dado con las & caras i!uales sabremos con se!uridad que saldr" ese • mismo número. Si tenemos una baraja con '( cartas i!uales con se!uridad podremos que saldr" • dic#a carta.

Experimentos aleatorios Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que %ste depende del azar . Ejemplos Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldr" cara o cruz. • Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a • obtener. Si de una baraja decidimos sacar una carta no podemos determinar cu"l ser" esa • carta Si de una urna decidimos sacar una bola no sabemos con se!uridad que color de •  bola saldr".

Teoría de probabilidades probabilidades  se ocupa de asignar un cierto número a cada posible La teoría de probabilidades resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio , con el fin de cuantificar dic#os resultados y saber si un suceso es m"s probable que otro. )on este fin, introduciremos al!unas definiciones Suceso Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Ejemplos: •

*l lanzar una moneda sal!a cara.

•

*l lanzar un dado se obten!a +.

•

*l sacar una bola de una urna sea de color rojo.

Espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E o bien por la letra !rie!a -.

Ejemplos: •

Espacio muestral de una moneda E / ), 2.

•

Espacio muestral de un dado E / 1, (, 3, +, ', &2.

•

Espacio muestral de un urna E / ne!ra, roja, azul, blanca2.

Suceso aleatorio

Suceso aleatorio  es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplos: •

4irar un dado un suceso ser5a que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar '.

•

Un ejemplo completo 6na bolsa contiene bolas blancas y ne!ras. Se extraen sucesivamente tres bolas. )alcular 1. El espacio muestral. E / b,b,b$ b,b,n$ b,n,b$ n,b,b$ b,n,n$ n,b,n$ n,n ,b$ n, n,n2 (. El suceso * / extraer tres bolas del mismo color2. * / b,b,b$ n, n,n2 3. El suceso 7 / extraer al menos una bola blanca2. 7/ b,b,b$ b,b,n$ b,n,b$ n,b,b$ b,n,n$ n,b,n$ n,n ,b2 +. El suceso ) / extraer una sola bola ne!ra2.

) / b,b,n$ b,n,b$ n,b,b2

 Tipos de Sucesos Sucesos Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Ejemplo •

4irando un dado un suceso elemental es sacar '.

Suceso compuesto  es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplo •

4irando un dado un suceso ser5a que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

Suceso seguro, E,  est" formado por todos los posibles resultados es decir, por el espacio muestral.

Ejemplo: •

4irando un dado obtener una puntuaci8n que sea menor que 9.

Suceso imposible ,

, es el que no tiene nin!ún elemento.

Ejemplo: •

4irando un dado obtener una puntuaci8n i!ual a 9.

Sucesos compatibles.- Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen al!n suceso elemental com!n. Ejemplo: •

Si * es sacar puntuaci8n par al tirar un dado y 7 es obtener múltiplo de 3, * y 7 son compatibles porque el & es un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles.- Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen nin!n elemento en com!n. Ejemplo: •

Si * es sacar puntuaci8n par al tirar un dado y 7 es obtener múltiplo de ', * y 7 son incompatibles.

Sucesos independientes :os sucesos, * y 7, son independientes cuando la probabilidad de que suceda * no se ve afectada porque #aya sucedido o no 7.

Ejemplo: *l lazar dos dados los resultados son independientes.

•

Sucesos dependientes :os sucesos, * y 7, son dependientes cuando la probabilidad de que s uceda * se ve afectada porque #aya sucedido o no 7.

Ejemplo: Extraer dos cartas de una baraja, sin reposici8n, son sucesos dependientes.

•

Suceso contrario El suceso contrario a * es otro suceso que se realiza cuando no se realiza *. Se denota  por

.

Ejemplo: •

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios. Si tiramos una moneda el espacio se sucesos est" formado por S/ 

, )2, 2, ),22.

;bservamos que el primer elemento es el suceso imposible  y el último el seguro . Si E tiene un número finito de elementos, n, de elementos el (n . Ejemplos 6na moneda E/ ), 2.   7. * / (, +, &2 7 / 3, &2 * > 7 / (, +2

?ropiedad de la diferencia de sucesos

SUCESOS CON#$!$IOS ) E * ! se llama suceso contrario  o complementario de *.

El suceso

Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique *. )onsideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si * / =sacar par=. )alcular

.

* / (, +, &2 / 1, 3, '2

"ropiedades

A$iomas de la probabilidad 1. La probabilidad es positiva y menor o i!ual que 1.

+  p-!.  /

(.

La probabilidad del suceso se!uro es 1.

p-E. ) / 3. Si * y 7 son incompatibles, es decir *

7/

entonces

p-! ". ) p-!. 0 p-".

"ropiedades de la probabilidad 1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la  probabilidad del suceso contrario es

(. ?robabilidad del suceso imposible es cero.

3. La probabilidad de la uni8n de dos sucesos es la suma de sus probabilidades rest"ndole la probabilidad de su intersecci8n.

+. Si un suceso est" incluido en otro, su probabilidad es menor o i!ual a la de %ste.

'. Si *1, *(, ..., *@  son incompatibles dos a dos entonces

&. Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S / x 1, x(, ..., xn2 entonces

Ejemplo: La probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es ?par / ?( A ?+ A ?&

%ela de &aplace

Si realizamos un experimento aleatorio en el que #ay n sucesos elementales, todos i!ualmente probables, e1uiprobables , entonces si * es un suceso, la probabilidad  de que ocurra el suceso * es

Ejemplos 1. Ballar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire sal!an dos caras. )asos posibles cc, cx, xc, xx2. )asos favorables 1.

(. En una baraja de +0 cartas, #allar la ? as y ? copas. )asos posibles +0. )asos favorables de ases +.

)asos favorables de copas 10.

3. )alcular la probabilidad de que al ec#ar un dado al aire, sal!a 6n número par.

•

)asos posibles 1, (, 3, +, ', &2. )asos favorables (, +, &2.

•

6n múltiplo de tres.

)asos favorables 3, &2.

•

mayor que +.

)asos favorables ', &2.

2! CO3"IN!#O$I! La combinatoria nos puede ser muy útil para calcular los sucesos posibles & fa4orables, al aplicar la regla de 2aplace . Especialmente si #ay un !ran número de sucesos.

Ejemplos 1 6n !rupo de 10 personas se sienta en un banco. C)u"l es la probabilidad de que dos  personas fijadas de antemano se sienten juntasD )asos posibles

)asos favorables Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola persona #abr" F$  pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda uno de otro o a la derec#a, por tanto se tiene ( 5 F.

(Se extraen cinco cartas de una baraja de '(. Ballar la probabilidad de extraer 1+ ases.

(+ ases y un rey.

33 cincos y ( sotas.

+6n , 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.

'3 de un palo cualquiera y ( de otro. Bay cuatro formas de ele!ir el primer palo y tres formas de ele!ir al se!undo palo.

&*l menos un as.

Probabilidad de la unión de sucesos *

7/

p-! ". ) p-!. 0 p-". )alcular la probabilidad de obtener un ( 8 un ' al lanzar un dado.

"robabilidad de la uni#n de sucesos compatibles *

7G

p-! ". ) p-!. 0 p-". ( p-! ". p-!

"

C. ) p-!. 0 p-". 0 p-C. ( p-!

". ( p-!

C. ( p-"

C. 0 p-!

"

C.

Ejemplo: )alcular la probabilidad de obtener un múltiplo de ( 8 un & al lanzar un dado.

Probabilidad condicionada Sean * y 7 dos sucesos de un mismo espacio muestral E. Se llama probabilidad del suceso 7 condicionado a * y se representa por 6-"7!. a la probabilidad del suceso " una 4ez 8a ocurrido el ! .

Ejemplo )alcular la probabilidad de obtener un & al tirar un dado sabiendo que #a salido par.

Sucesos independientes :os sucesos * y 7 son independientes si

p-!7". ) p-!. Sucesos dependientes :os sucesos * y 7 son dependientes si

p-!7". 9 p-!.

Sucesos independientes p-! ". ) p-!. 5 p-". Ejemplo Se tiene una baraja de +0 cartas, se saca una y se vuelve a meter. C)u"l es la  probabilidad de extraer dos asesD

Sucesos dependientes p-! ". ) p-!. 5 p-"7!. Ejemplo: Se tiene una baraja de +0 cartas, se extraen dos cartas. C)u"l es la probabilidad de extraer dos asesD

"robabilidad de la diferencia de sucesos

Tablas de continencia 6n m%todo útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las de contingencia .

tablas

Se trata de tablas en cuyas celdas fi!uran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla.

Ejemplo Se sortea un viaje a Homa entre los 1(0 mejores clientes de una a!encia de autom8viles. :e ellos, &' son mujeres, I0 est"n casados y +' son mujeres casadas. Se pide 1.

C)u"l ser" la probabilidad de que le toque el viaje a un #ombre solteroD

(.

Si del afortunado se sabe que es casado, Ccu"l ser" la probabilidad de que sea una mujerD

Diaramas de !rbol ?ara la construcci8n de un diagrama en :rbol  se partir" poniendo una una de las posibilidades, acompaJada de su probabilidad.

rama para cada

En el final de cada rama parcial  se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, se!ún las posibilidades del si!uiente paso, salvo si el nudo representa un  posible final del experimento nudo final. Bay que tener en cuenta que la de dar /.

suma de probabilidades  de las ramas de cada nudo #a

Ejemplos: 16na clase consta de seis niJas y 10 niJos. Si se esco!e un comit% de tres al azar, #allar la probabilidad de

1Seleccionar tres niJos.

(Seleccionar exactamente dos niJos y una niJa.

3Seleccionar exactamente dos niJas y un niJo.

1 Seleccionar tres niJas.

()alcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, sal!an

14res caras.

E$perimentos compuestos 6n experimento compuesto  es aquel que consta de dos o m"s experimentos aleatorios simples. Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto . En los experimentos compuestos  es conveniente usar el llamado  para #acerse una idea !lobal de todos ellos.

diagrama en :rbol

Teorema de la probabilidad total Si * 1, * ( ,... , * n son Sucesos incompatibles ( a (. K cuya uni8n es el espacio muestral *  1

* (

...

* n / E.

K 7 es otro suceso. Hesulta que

p-". ) p-!/. 5 p-"7!/. 0 p-!;. 5 p-"7!; . 0