El Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

 

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) También conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante.  Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad. También puede definirse como el movimiento que realiza una partícula pa rtícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante. El Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado (MUA).

Ecuaciones de M.R.U.A. Las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) son:

Donde: x, x0:  La posición del cuerpo en un instante dado (x) y en el instante inicial (x0). Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m) v,v0: La velocidad del cuerpo en un instante dado (v) y en el instante inicial (v0). Su unidad en el Sistema Internacional es el metro por segundo (m/s)

a:  La aceleración del cuerpo. Permanece constante y con un valor distinto de 0. Su unidad en el Sistema Internacional es el metro por segundo al cuadrado (m/s2)

t: El intervalo de tiempo estudiado. Su unidad en el Sist Sistema ema Internacional es el segundo (s)

 

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V) Vamos a estudiar el más sencillo de los movimientos uniformemente variados, es decir, el movimiento cuya trayectoria es una recta y el módulo de la velocidad varia la misma cantidad en cada unidad de tiempo.  A este tipo de movimiento lo llamamos movimiento movimiento rectilíneo uniformemente variado. Un movimiento es RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO, cuando la trayectoria del móvil es una línea línea recta y su vvelocidad elocidad varía la misma cantidad en cada unidad de tiempo En forma abreviada, el movimiento rectilíneo uniformemente variado se anota así (M.R.U.V.) Se puede decir que a diferencia del movimiento rectilíneo uniforme que la distancia recorrida son iguales por cada intervalo de tiempo igual, en el movimiento rectilíneo uniformemente variado las distancias recorridas son diferentes por intervalo de tiempo igual. Esto hace que la velocidad varíe en su módulo (rapidez) y la razón ra zón de esta variación de velocidad por unidad de tiempo se llama aceleración.

Este dibujo representa un movimiento rectilíneo, en el cual la velocidad en cada carro es mayor que en el punto anterior. Como cada carro representa la posición del móvil en cada unidad del tiempo, significa que el móvil aumenta su velocidad en cada unidad de tiempo.

 

En forma general. A este tipo de movimiento, en que la velocidad aumenta en cada unidad de tiempo, se le llama movimiento uniformemente acelerado. Un movimiento es RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO, cuando su trayectoria es una línea recta y su velocidad aumenta en cada unidad de tiempo.

Este dibujo representa un movimiento rectilíneo, en el cual la velocidad en cada auto disminuye 5m/seg Como cada carro representa un movimiento la posición del móvil en cada unidad de tiempo, significa que el móvil disminuye su velocidad en cada unidad de tiempo. En forma general. A este tipo de movimiento en que la velocidad disminuye en cada unidad de tiempo, se le llamada movimiento uniformemente retardado. Un movimiento movimiento es

RECTILÍNEO Y UN UNIFORMEMENTE IFORMEMENTE RETARDADO, cuando su

trayectoria es una linea recta y su velocidad disminuye en cada unidad de tiempo NOTA: Las formulas y ecuaciones se usan con signo MÁS cuando el movimiento es acelerado, y con signo MENOS cuando el movimiento es retardado.

VELOCIDAD MEDIA: En muchos casos, cuando estudiamos un movimiento rectilíneo variado entre dos puntos, no nos interesa conocer lo que ocurre o curre a lo largo de la trayectoria, pues solamente tomamos en cuenta el inicio y final del movimiento, es decir, que consideramos el movimiento rectilíneo variado como un movimiento rectilíneo uniforme, por lo tanto, en el transcurso de toda la trayectoria, consideramos que la velocidad es constante. A esta velocidad que consideramos constante la llamamos velocidad media.

 

 

Veamos un ejemplo para aclarar idea  _A________P________Q________R________B_ |- - - - - - - - - - - - - - - - - 100km - - - - - - - - - - - - - - - - -| El dibujo representa la trayectoria rectilínea seguida por un autobús de pasajeros que parte de A y llega a B a 100km de distancia.

El movimiento se desarrolla así: Sale de A con una determinada velocidad y llega a P, que es una parada, donde suben y bajan pasajeros. Sale de P con otra velocidad y llega a Q, que es otra parada. Sale de Q con otra velocidad y llega a R, donde carga gasolina Desde R llega hasta B sin detenerse. Desde A hasta B ha tardado 2 horas. Para un observador que este en B, como no conoce el recorrido del autobús, se supone el movimiento rectilíneo uniforme, tanto solamente le interesa la 2 distanciaque recorrida, que es es 100km, y el tiempo quepor seloemplea en recorrerla, que es de horas, y con estos datos calcula la velocidad media, que sería:

Datos: ----d= 100km --------t= 2h --------Vm= ? ---------

Vm= d/t = 100km/2h = 50km/h Vm= 50km/h

 

Es decir que para el observador que está en B, el autobús recorre los 100km en 2h con una velocidad constante de 50km/h En un movimiento variado se llama VELOCIDAD MEDIA entre dos puntos la velocidad constante que debe tener el móvil para recorrer la misma distancia y en el mismo tiempo que la recorrería el móvil con movimiento variado. La velocidad media la anotamos así: Vm

VELOCIDAD PROMEDIO: Cuando en un movimiento rectilíneo variado sumamos sus diferentes velocidades y las dividimos entre el número de ellas obtenemos una velocidad que se llama velocidad promedio. Para determinar la velocidad promedio de un movimiento rectilíneo variado, no nos interesa, ni el tiempo transcurrido, ni la distancia recorrida, solamente nos entereza las velocidades que intervienen en el movimiento. En un movimiento variado, le llama velocidad promedio, a la velocidad yque se obtiene sumando todas las se velocidades que intervienen en el movimiento dividiendo por el número de ellas.

VELOCIDAD INSTANTÁNEA: Es la que se lee en los velocímetros de los automóviles, se mide en distancia recorrida por el móvil en un intervalo de tiempo muy corto. Si estudiamos el movimiento retardado de un cuerpo hasta que éste se detiene se puede usar las ecuaciones de TIEMPO MÁXIMO y DISTANCIA MÁXIMA.

 

TRANSFORMACIÓN TRANSFORMAC IÓN DE UNIDADES DE ACELERACIÓN: ACELERACIÓN: Para transformar las unidades de aceleración, se utiliza el mismo procedimiento que utilizamos en las unidades de rapidez, con la diferencia que el tiempo va al cuadrado (véase Movimiento Rectilíneo Uniforme/ Transformación de unidades de rapidez):

EJEMPLO a) Para pasar 72/h² a m/seg² Pasamos Km a m de la forma usual: 72km •

1000m=72000m. Como se está multiplicando, la unidad de tiempo estará dividiendo, d ividiendo, con la diferencia de que estará elevado a la 2: 72000m / (3600s)² = 72000m / 12960s² =5.55 m/s² La operación completa se escribiría así: 72km • 1000m=72000m / (3600s)² = 72000m /

12960s² =5.55 m/s²

Problemas resueltos de MRUA

 

 

El movimiento circular uniforme (m.c.u.)  Es un movimiento de trayectoria circular en el que la velocidad angular es constante. Esto implica que describe ángulos iguales en tiempos iguales. En él, el vector velocidad no cambia de módulo pero sí de dirección (es tangente en cada punto a la trayectoria). Esto quiere decir que no tiene aceleración ttangencial angencial ni aceleración angular, aunque sí aceleración normal. Eligiendo el origen de coordenadas para estudiar el movimiento en el centro de la circunferencia, y conociendo su radio R, podemos expresar el vector de posición en la forma: r →=  j→=R ⋅cos(φ)⋅i→+R ⋅sin(φ)⋅ j  j→  →=x⋅i→+y⋅ j

De esta manera, la posición y el resto de magnitudes cinemáticas quedan definida por el valor de φ en cada instante. 

Características del Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)  Algunas de las principales características del movimiento circular uniforme (m.c.u.) son las siguientes:  

La velocidad angular es constante (ω = cte) .

 

El vector velocidad es tangente en cada punto a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Esto implica que el movimiento cuenta con aceleración normal.

 

Tanto la aceleración angular (α) como la aceleración tangencial (at) son nulas, ya

que la rapidez o celeridad (módulo del vector velocidad) es constante.

 

 

Existe un periodo (T), que es el tiempo que el cuerpo emplea en dar una vuelta completa. Esto implica que las características del movimiento son las mismas cada T segundos. La expresión para el cálculo del periodo es T=2π/ω y es sólo válida en el caso de los movimientos circulares uniformes (m.c.u.).

  Existe

una frecuencia (f), que es el número de vueltas que da el cuerpo en un segundo. Su valor es el inverso del periodo. 

CINEMÁTICA DEL MCU EN MECÁNICA CLÁSICA Ángulo y velocidad angular   El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio. La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. llamada  radián.   La velocidad La  velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo: Partiendo decuanto estos aconceptos se estudian condiciones del ymovimiento uniforme, en su trayectoria y espaciolas recorrido, velocidad aceleración,circular según el modelo físico cinemático.

Posición Se considera un  un sistema de referencia en el plano  x,y , con vectores con  vectores unitarios en la dirección de estos ejes . La posición de la partícula partícula en ffunción unción del ángulo de giro y del radio r  es  es en un sistema de referencia cartesiano  x,y : De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es: Siendo:

: es el vector de posición de la partícula. : es el radio de la trayectoria.  Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular ( ω): El ángulo (φ), debe medirse en radianes: Donde s es la longitud del arco de circunferencia Según esta definición: 1 vuelta = 360° = 2 π  radianes  radianes ½ vuelta = 180° = π  radianes  radianes ¼ de vuelta = 90° = π  /2  /2 radianes

 

Velocidad tangencial La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación tangencial:

La relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial es:

El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar y comprobando que es nulo.

Aceleración La aceleración, que para el movimiento circular uniforme es siempre normal, se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:

De modo que

 Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular, por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta. El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad V de la partícula, ya que, en virtud de la relación V=WT, resulta

 

Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.

Movimiento circular y movimiento armónico En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:

El momento El momento angular puede calcularse como:

De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares.

Período y frecuencia El período T representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:

La frecuencia F mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:

Por consiguiente, la frecuencia es la inversa del período:

 

Movimiento circular en mecánica relativista Si bien la teoría especial de la relatividad permite que una partícula no cargada esté en movimiento circular uniforme, esto en general no resulta posible para una partícula cargada a la que no se le suministra energía adicional.  Además, en la mecánica relativista el cociente entre la fuerza fuerza centrípeta y la aceleración centrípeta, es diferente del cociente entre la fuerza tangencial y la aceleración ac eleración tangencial. Esto introduce una diferencia fundamental con el caso newtoniano: la aceleración y la fuerza relativistas no son vectores necesariamente paralelos:

De la relación anterior, se deduce que la fuerza y la aceleración sólo son paralelas en dos casos:

El primer caso se da cuando la aceleración a celeración y la velocidad son perpendiculares, cosa que sucede en el movimiento circular uniforme (o helicoidal uniforme). El segundo caso se da en un movimiento rectilíneo. En cualquier otro tipo de movimiento en general la fuerza y la aceleración no serán permanentemente paralelas.

Movimiento circular en mecánica cuántica En mecánica cuántica si bien no puede hablarse de trayectoria con precisión pueden ser analizados los estados cuánticos estacionarios de unas partículas que deben moverse a lo largo de un anillo. Los estados estacionarios de una partícula en un anillo son el análogo cuántico del movimiento circular uniforme. Para una partícula moviéndose sobre un anillo con momento angular bien definido la función de onda viene dada por:

Puede observarse que la densidad de probabilidad es uniforme, al igual que sucede en el caso clásico. Un hecho interesante es que las predicciones para una partícula cargada, en movimiento circular uniforme, es que ésta no tiene porqué emitir fotones, de la misma manera que el electrón orbitante alrededor del núcleo atómico no emite energía, por ser el valor resultante de la aceleración vectorial nula, al ser la distribución simétrica respecto al núcleo atómico.

 

EJEMPLO