El Modelo de Ramsey

 

D` ngid`g id [jnsdy= dligbdldeiji id `j tjsj id jcgrrg j cgrrg Dl dstd ngid`g ldgh`êsehg id hrdhenedltg `j tjsj id jcgrrg lg ds dxøbdlj, selg qud sd idtdrnelj idsid idltrg id` ngid`g ndrhdi j `j njxenezjheøl id `j u`eiji, pgr pjrtd id `gs hglsuneigrds, y j `j njxenezjheøl id `gs kdldfhegs pgr pjrtd id `gs prgiuhtgrds. Xd trjtj id `j pehj ulheøl id prgiuhheøl Hgkk-IgubEjs, huyj dxprdseøl bdlårehj hgl rdlienedltgs hglstjltds j dshj`j ds=

U > A  λ L  λ∛: _gr su pjrtd, sd jsund qud `gs hglsuneigrds njxenezjl ulj ulheøl  ulheøl id u`eiji elstjltêldj huyj dxprdseøl ds id` pg sebuedltd= κ 

H  T > κ 

Iglid=

H > · Ds d` hglsung pdr hêpetj. κ >·  Tl pjrêndtrg njygr qud hdrg, pdrg ndlgr qud `j uleiji.  E ’ κ  >  > Ds d` hgdfhedltd id d`jsheiji hglstjltd id `j ulheøl id u`eiji njrbelj`. @j rdstrehheøl prdsupudstjrej id `gs hglsuneigrds kedl idtdrneljij pgr su jcgrrg pdr hêpetj

X  > s >( l + ι ) a  y pgr U ≪ H + s  Dl `j ulheøl id u`eiji pgidngs  L  sustuer H  pgr  pgr U ’ s 1 pdrg jidnês hglghdngs qud U > f  (  ( a ) . _gr tjltg, `j ulheøl

dl d` dstjig dstjhegljreg

elstjltêldj id u`eiji qudijrê hgng sebud=

T >

Q f  ( ( a )∛ ( l + ι ) a ^ κ  κ 

Njxenezjlig `j u`eiji hgl rdspdhtg j a. tdldngs= ¹ 

T a >· Dl dstj rd`jheøl d` tårnelg f   (( a ) ’ ·ι· a , qud ds `j rdltj pdr hêpetj ndlgs `j elvdrseøl pdr hêpetj, lg pudid sdr elfletg pgrqud se dstjngs dl dque`ekreg enp`ehj ul hglsung pdr hêpetj elfletg, qud lg ds pgsek`d ijij `j rdstrehheøl prdsupudstjrej. _gr tjltg, pjrj qud sd hunp`j `j dhujheøl idkd suhdidr qud=

· >G ds idher, `j prgiuhveiji njrbelj` id` hjpetj` idkd sdr ebuj` j ( l + ι ) 1pdrg dstg ds `j rdb`j id grg jltds ndlhegljij. Dl d` dque`ekreg, d` jcgrrg idkd sdr ebuj` j `j elvdrseøl, ds idher, nu`p`ehjlig `j jltdregr rd`jheøl pgr a, tdldngs=

 

a f ¹ a  ( a )∛( l + ι ) a >? λf  ( ( a )∛( l + ι ) a  Id iglid gktdldngs=

a f ¹ a ( a )  λ > f  (  ( a )

@J ulheøl id prgiuhheøl dnp`djij dl `j dhglgnîj ds id` pg Hgkk-Igub`js, qud pudstj dl κ 

tårnelgs pdr hêpetj dld `j grnj U > a  > f   (( a ) . Xel dnkjrbg, `j prgiuhveiji njrbelj` id` hjpetj` idkd sdr ebuj` j (l + ù), huj`quedrj qud sdj `j ulheøl id prgiuhheøl. _gr tjltg, `j tjsj id jcgrrg dl dstd hjsg idkdrê sdr= :

 λ >( l + ι ) a 

∛ λ

id iglid sd idsprdlid qud `j tjsj id jcgrrg dxtrjîij id `j njxenezjheøl id `j u`eiji id `gs hglsuneigrds dl ul ngid`g ldgh`êsehg hgng d` jlj`ezjig idpdlid dltrd gtrjs hgsjs id `j rd`jheøl hjpetj`-trjkjmg.

D` prgbrdsg tåhlehg y rdseiug id sg`gw @j tjsj id jcgrrg y d` hrdhenedltg idngbrêfhg eluydl dl d` levd` id rdltj j`hjlzjig dl d` dstjig dstjhegljreg, pdrg lg sgkrd su tjsj id hrdhenedltg qud, dl jusdlhej id prgbrdsg tdhlg`øbehg, ds lu`j dl dsd dstjig. @j tdhlg`gbîj dld d` hjrêhtdr id ul kedl pýk`ehg qud vedld jsghejig j `gs jvjlhds hedlfhgs, jhhdsek`d j tgigs, pgr `g qud tgigs `gs pjîsds pudidl pjrhepjr id` prgbrdsg tdhlg`øbehg, qud lg sgl jprgpejk`ds pgr `gs pjrhu`jrds. :. _rgbrdsg tåhlehg ldutrj` dl d` sdlig id Cjrrgi. Dl dstd hjsg d` prgbrdsg tåhlehg prgvghj

ul jundltg bdldrj` id `j dfhedlhej dl d` jhtgr trjkjmg1 `j ulheøl id prgiuhheøl tdlirê kjmg dstd supudstg `j sebuedltd grnj=

 y > F ( A , J L ) iglid J ds d` hgdfhedltd id prgbrdsg tåhlehg, qud dl dstd hjsg sd idlgnelj «jundltjigr id trjkjmg±.  ;. _rgbrdsg tåhlehg ldut ldutrj` rj` dl d` sdlig id id Xg`gw. Dl dstd hjsg, d` prgbrdsg tåhlehg elhrdndltj `j dfhedlhej id` jhtgr hjpetj`. @j ulheøl id prgiuhheøl hgrrdspgliedltd ds id` sebuedltd pg=  

 y > F ( J A , L )

 

8. _rgbrdsg tåhlehg ldutrj` dl d` sdlig id Cehas. Dl dstd hjsg lg sgl le d` hjpetj` le d` trjkjmg `gs qud sd vdl jdhtjigs pgr d` hgdfhedltd id prgbrdsg tåhlehg, selg tgij `j ulheøl ulheøl id prgiuhheøl. _gr tjltg, `j ulheøl id prgiuhheøl sd vdrê jdhtjij dl `j grnj sebuedltd=

 y > J F ( A , L ) D` rdseiug id Xg`gw kjmg hgnpdtdlhej enpdrfdhtj

_jrj jhdrhjngs j `j rdj`eiji d` supudstg id hgnpdtdlhej pdrdhtj sd pudid rd`jmjr pjrj d` hjsg id hgnpdtdlhej enpdrdhtj dl `gs ndrhjigs id kedlds. D` vj`gr id` prdheg ngldtjreg id ul jhtgr id prgiuhheøl, hujlig d` ndrhjig id kedlds dstj dl hgnpdtdlhej enpdrdhtj nedltrjs qud `gs ndrhjigs id jhtgrds sgl hgnpdvgs, ds ebuj` j `j prgiuhveiji njrbelj` id` jhtgr nu`p`ehjij pgr d` elbrdsg njrbelj`, ds idher.

wL > Enb y ¹ L . _drg dl d` dque`ekreg id `j dnprdsj sd idkdrê hunp`er qud d` hgstd njrbelj` sdj ebuj` j` elbrdsg njrbelj`, pgr tjltg=

U l>

  R  L  Hnb

  iglid Hnb ds d` hgstd njrbelj`. @j prêhhj cjketuj` dl ndrhjigs id kedlds enpdrdhtgs ds qud `js dnprdsjs `emdl `gs prdhegs id vdltj id `gs prgiuhtgs j trjvås id ul njraup g njrbdl sgkrd `gs hgstø njrbelj`ds. Xupglbjngs qud d` njrbdl enpudstg pgr `js dnprdsjs hgl pgidr id ndrhjig ds dltglhds `gs prdhegs id vdltj vdlirêl ijigs pgr ulj rd`jheøl hgng `j sebuedltd=   _> ΰHnb Xe sustuengs jcgrj dl `j dxprdseøl `gs hgstds njrbelj`ds pgr su vj`gr idsid `j dxprdseøl tdldngs, pjrj d` hjsg id` jhtgr trjkjmg, qud=

  U ¹ l> ΰ

R  L 

> ΰ R  L 

 _

(  )

[dj`ezjlig d` nesng idsjrrg``g pjrj d` jhtgr hjpetj`, y sustuydlig dl `j sebuedltd dhujheøl pgidngs gktdldr `j sebuedltd dxprdseøl id` rdseiug, vê`eij pjrj setujheglds id hgnp hgnpdtdlhej dtdlhej enpdrdhtj dl d` ndrhjig id kedlds=  

vj`eij id `js setujheglds hgnpdtdlhej enpdrdhtj pgidngs gktdldr `j sebuedltd dxprdseøl id rdseiug d` ndrhjig id kedlds

 

Dstj dxprdseøl, hgng pudid gksdrvjrsd ds ulj senp`efhjheøl id `j. Xe hglghdngs d` njraup , d` rdseiug sd cjhd gksdrvjk`d y `g pgidngs hj`hu`jr. Dl `j dxprdseøl , d` tårnelg RL(L/y) ds d` vj`gr tgtj` id `j rdtrekuheøl j` jhtgr trjkjmg hgl rdspdhtg rdspdhtg j` vj`gr id `j prgiuhheøl. Id `j nesnj njldrj, RA (A/y) ds `j prgpgrheøl id rdltj qud rdtrekuyd j` hjpetj`. Xe j jnkgs tårnelgs `gs idlgneljrlgs. [dspdhvjndltd, hgng [L y [A. d` rdseiug tgnjrê `j sebuedltd grnj=  

Hujlig d` ndrhjig id kedlds dstê dl hgnpdtdlhej pdrfdhtj, suhdidrê s uhdidrê qud d` njrbdl

  

>:, yj

qud dl dstgs ndrhjigs d` prdheg ds ebuj` j` hgstd njrbelj` (_ > Hnb). Xel dnkjrbg, hujlig cjy hgnpdtdlhej enpdrfdhtj dl d` ndrhjig id kedlds, qud ds d` hjsg nês bdldrj`, suhdid qud  _ < Hnb1 `g qud enp`ehj qud dl dstd hjsg d` vj`gr id` njrbdl sdj    < :. Jsenesng, `j sunj id `js prgpgrheglds id `j rdltj qud rdtrekuydl j` trjkjmg ([L) y j` hjpetj` ([A) idkdl sunjr hgng nêxeng `j uleiji, se `j fulheøl id prgiuhheøl lg tedld rdlienedltgs hrdhedltds.