El Método Directo de La Rigidez

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Delta Teórico de CÁLCULO AVANZADO 2017 Tema: Método de Elementos Finitos

Objetivos de aprendizaje 

Germán BRESCIANO

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MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS..................................................................................11-1 11.1 EL PROCESO DE ANÁLISIS DE ELEMENTOS FINITOS...................................................................11-1 11.1.1 MEF físico........................................................................................................................11-1 11.1.2 MEF matemático..............................................................................................................11-1 11.1.3 La sinergia de MEF Físico y Matemático........................................................................11-2 11.1.4 Idealización y Discretización simplificadas.....................................................................11-3 11.1.5 Interpretaciones del método.............................................................................................11-3 11.2 MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ.............................................................................................11-4 11.2.1 ¿Por qué una armadura plana?.......................................................................................11-4 11.2.2 Idealización......................................................................................................................11-5 11.2.3 Armazón de ejemplo.........................................................................................................11-5 11.2.4 Miembros, articulaciones, fuerzas y desplazamientos.....................................................11-6 11.2.5 Las ecuaciones globales de rigidez..................................................................................11-7 11.2.6 Los Pasos del MDR..........................................................................................................11-7 11.2.7 Etapa de descomposición.................................................................................................11-9 11.2.8 Etapa de ensamblado y resolución: globalización.........................................................11-10 11.2.9 El resto de los pasos del MDR.......................................................................................11-12 11.2.10 Ensamblado: Montaje................................................................................................11-13 11.2.11 Resolución..................................................................................................................11-15 11.2.12 Aplicación de las condiciones de frontera por Reducción.........................................11-16 11.2.13 Resolviendo los desplazamientos...............................................................................11-16 11.3 POSTPROCESAMIENTO.............................................................................................................11-16 11.3.1 Recuperación de Fuerzas de Reacción..........................................................................11-16 11.3.2 Recuperación de fuerzas y tensiones internas................................................................11-17 11.3.3 Recuperación de reacciones: caso general....................................................................11-17 11.3.4 Ensamblaje y resolución orientados a ordenador..........................................................11-18 11.3.5 Aplicación de las CF por modificación..........................................................................11-19 11.4 DESPLAZAMIENTOS PRESCRITOS NO NULOS............................................................................11-19 11.4.1 Aplicación de CF no nulas por Reducción.....................................................................11-20 11.4.2 Aplicación de CF no nulas por Modificación................................................................11-21

Método de elementos finitos

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11 Método de Elementos Finitos 11.1 El proceso de análisis de elementos finitos Procesos que utilizan MEF implican la realización de una secuencia de pasos que puede tomar dos configuraciones usuales, dependiendo del medio en el que se utiliza MEF y del objetivo principal: simulación basada en modelado de sistemas físicos, o aproximación numérica a problemas matemáticos.

11.1.1 MEF físico Un uso usual de MEF es la simulación de sistemas físicos. El proceso se ilustra en la Figura 11-1. La pieza central es el sistema físico a modelar. Los procesos de idealización y discretización son simultáneos y producen el modelo discreto. La Figura 11-1 también muestra un modelo matemático ideal. Esto puede ser presentado como un límite continuo o "continuificación" del modelo discreto. Este paso es útil para algunos sistemas físicos que son bien modelados por campos continuos, pero para otros, como los sistemas de ingeniería complejos no tiene sentido. Ocasionalmente pertinente Modelo Matemático ideal

CONTINUIFICACIÓN

Sistema físico

SOLUCIÓN

MEF Modelo discreto

IDEALIZACIÓN y DISCRETIZACIÓN

Solución discreta

VERIFICACIÓN

error de solución

error de simulación: error de modelado y de solución VALIDACIÓN

Figura 11-1 MEF físico. El sistema físico (cuadro de la izquierda) es la fuente del proceso de simulación. El modelo matemático ideal no es esencial. El concepto de error surge en el MEF físico de dos formas: verificación y validación. La verificación se realiza mediante la sustitución de la solución discreta en el modelo discreto para obtener el error de solución. Este error generalmente es despreciable. La validación trata de comparar la solución discreta contra la observación calculando el error de simulación, que combina los errores de modelado y solución. En las aplicaciones reales este error sobrepasa los otros.

11.1.2 MEF matemático La otra forma usual de MEF se enfoca en la matemática. Las fases del proceso se muestran en la Figura 11-2. El centro de atención recae ahora en el modelo matemático que es a menudo una ecuación diferencial ordinaria (EDO), o una ecuación diferencial parcial (EDP) en el espacio y el tiempo, se genera un modelo de elementos finitos discreto a partir de una forma variacional o débil del modelo matemático. Este es el paso de discretización. Las ecuaciones MEF se resuelven como se describe para la MEF físico.

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Modelo Matemático

IDEALIZACIÓN

REALIZACIÓN

Sistema Físico ideal

VERIFICACIÓN

MEF

Modelo discreto

IDEALIZACIÓN y DISCRETIZACIÓN

error de discretización y solución

SOLUCIÓN

Solución discreta

VERIFICACIÓN

error de solución Ocasionalmente pertinente relevante

Figura 11-2 MEF matemático. El sistema matemático (cuadro de arriba) es la fuente del proceso de simulación.

A la izquierda, la Figura 11-2 se muestra un sistema físico ideal. Este puede ser presentado como una realización del modelo matemático. Por el contrario, se dice que el modelo matemático es una idealización de este sistema. Por ejemplo, si el modelo matemático es una EDP de Poisson, la realización puede ser un problema de conducción de calor o un problema de distribución de carga electrostática. Este paso no es esencial y puede ser omitido. De hecho, las discretizaciones MEF matemáticas pueden construirse sin ninguna referencia a la física. El concepto de error surge de la verificación, cuando la solución discreta se sustituye en los cuadros “modelo”. Al igual que en el MEF físico, el error de solución es la cantidad en que la solución discreta no satisface las ecuaciones discretas. Este error es poco importante con el uso de ordenadores. Más relevante es el error de discretización, que es la cantidad en que la solución discreta es incapaz de satisfacer el modelo matemático.

11.1.3 Sinergia entre MEF Físico y Matemático Las secuencias usuales anteriores no son excluyentes sino complementarias. Esta sinergia es una de las razones de la potencia y la aceptación del método. Históricamente el MEF físico fue el primero en ser desarrollado para modelar sistemas físicos complejos. El MEF matemático llegó más tarde y proporcionó los fundamentos teóricos necesarios para extender MEF más allá del análisis estructural. Un vistazo al esquema de fabricación de un avión comercial hace ejemplifica las bases del MEF físico. No hay una ecuación diferencial que describa, a nivel de mecánica de medios continuos, la estructura, la aviónica, el combustible, la propulsión, la carga y los pasajeros comiendo su cena. Pero no hay que desesperar. La estrategia divide y vencerás, junto con la abstracción resolverán el problema. En primer lugar, desarme la estructura y vea el resto como masas y fuerzas. En segundo lugar, considere la estructura de la aeronave como construida por subestructuras (parte de una estructura con una función específica): alas, fuselaje, estabilizadores, motores, trenes de aterrizaje, y así sucesivamente. Tome cada subestructura, y continúe descomponiendo en componentes: anillos, costillas, largueros, placas de recubrimiento, actuadores, etc. Continúe por tantos niveles como sea necesario. A la larga esos componentes se vuelven lo suficientemente simple en geometría y conectividad que pueden ser razonablemente bien descritos por los modelos matemáticos proporcionados, por ejemplo, por la Mecánica de Materiales o la teoría de la elasticidad. En ese momento, pare. Las ecuaciones discretas a nivel de componentes se obtienen de una biblioteca MEF basada en modelos matemáticos. El modelo del sistema se obtiene al pasar por el proceso inverso: de ecuaciones de componentes a ecuaciones de la subestructura, y de aquellas a las ecuaciones de la aeronave completa. Este proceso de Ensamblado del sistema se rige por los principios clásicos de la

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mecánica de Newton, que proporcionan la "pegamento" entre componentes necesario. El proceso de descomposición multinivel se esquematiza en la figura 1.6, en la que por simplicidad se omiten los niveles intermedios

11.1.4 Idealización y Discretización simplificadas Para estructuras suficientemente simples, el pasaje a un modelo discreto se lleva a cabo en un solo paso de idealización y discretización, como se ilustra para la estructura de armadura de techo mostrada en la Figura 11-3. Por supuesto, la armadura puede considerarse como una subestructura del techo, y el techo como una subestructura de un edificio. Si es así el proceso de múltiples niveles sería más apropiado.

Figura 11-3 Proceso de idealización de una estructura simple. El sistema físico – una cercha de techo - se idealiza directamente en el modelo matemático: un conjunto de barras con juntas articuladas. Para esta estructura los modelos idealizado y discreto coinciden.

11.1.5 Interpretaciones del método Así como hay dos maneras complementarias de usar MEF, hay dos interpretaciones complementarias para explicarlas. Una interpretación enfatiza el significado físico y está alineada con el MEF físico. La otra se centra en el contexto matemático y está alineada con el MEF matemático.

11.1.5.1 Interpretación física La interpretación física se centra en el diagrama de flujo de la Figura 11-1. El concepto básico en la interpretación física es la descomposición (≡ desmontaje, separación, descomposición) de un sistema mecánico complejo en componentes más simples, disjuntos llamados elementos finitos, o simplemente elementos. La respuesta mecánica de un elemento se caracteriza por un número finito de grados de libertad representados por los valores de las funciones incógnitas en un conjunto de nodos. La respuesta del elemento se determina por ecuaciones algebraicas deducidas a partir de argumentos matemáticos o experimentales. Se considera que la respuesta del sistema original es aproximada por la del modelo discreto construido mediante la conexión o el montaje del conjunto de todos los elementos. La idea subyacente es dividir y conquistar. Si el comportamiento de un sistema es demasiado complejo, la receta es dividirlo en subsistemas más manejables. Si estos subsistemas son todavía demasiado complejos el proceso de subdivisión continúa hasta que el comportamiento de cada subsistema es lo suficientemente simple como para adaptarse a un modelo matemático que representa bien el nivel de conocimiento que interesa. En el método de elementos finitos tales "piezas primitivas" se denominan elementos. El comportamiento del sistema total es el de los elementos individuales más su interacción. Un factor clave en la aceptación inicial del MEF fue que la interacción entre elementos podría ser interpretada físicamente en términos que eran muy familiares para los ingenieros estructurales.

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11.1.5.2 Interpretación matemática Esta interpretación está estrechamente alineada con el diagrama de flujo de la Figura 11-2. El MEF es visto como un procedimiento para obtener aproximaciones numéricas a la solución de problemas de valores de frontera (PVFs) sobre un dominio . Este dominio se sustituye por la unión de subdominios disjuntos Ω(e) denominados elementos finitos. En general, la geometría de  sólo es aproximada por la de UΩ(e). La función (o funciones) incógnita se aproxima a nivel local sobre cada elemento por una fórmula de interpolación expresada en términos de valores de la función, y eventualmente sus derivadas, en un conjunto de nodos generalmente ubicados en los límites del elemento. Los estados de la función incógnita supuesta determinados por valores nodales unitarios se denominan funciones de forma. La unión de funciones de forma "remendadas" sobre elementos adyacentes con un nodo común forman una base de funciones aproximantes para el cual los valores de los nodos representan las coordenadas generalizadas. El espacio de funciones aproximantes se puede insertar en las ecuaciones de gobierno y determinar los valores nodales desconocidos por el método Ritz (si la solución minimiza un principio de variación) o por el método de Galerkin, por mínimos cuadrados u otros métodos de minimización de residuos ponderados si el problema no se puede expresar como una forma variacional estándar. Observación En la interpretación matemática se hace hincapié en el concepto de aproximación local (a trozos). El concepto de división del conjunto elemento por elemento, aunque es práctico en la implementación informática, no es necesario teóricamente. La interpretación matemática permite encarar cuestiones de convergencia, acotación de error, y requisitos de las funciones de forma y aproximantes, etc., que la interpretación física deja sin respuesta. También facilita la aplicación de MEF a problemas que no son tan fácilmente susceptibles de visualización física como las estructuras; por ejemplo, problemas de electromagnetismo o de transmisión de calor.

11.2 Método directo de la rigidez El MDR es, con mucho, la aplicación más común del método de los elementos finitos (MEF). Todos los principales programas MEF comerciales se basan en el MDR. Como ejemplo veremos los pasos de MDR aplicados a una cercha simple de estructura reticulada plana. El método tiene dos etapas principales: descomposición, y montaje + solución.

11.2.1 ¿Por qué una armadura plana? El elemento finito estructural más simple es el elemento barra de dos nodos (también llamado resorte lineal), que se ilustra en la Figura 11-4(a). El triángulo de seis nodos de los modelos de placas delgadas, que se muestra en la Figura 11-4(b) es de complejidad intermedia. Tal vez el elemento finito geométricamente más complejo (al menos en cuanto al número de grados de libertad) es el elemento "ladrillo" curvo, en tres dimensiones, con 64-nodos representada en la Figura 11-4(c). Sin embargo, el hecho notable es que, en el MDR, todos los elementos, independientemente de la complejidad, se tratan igual. Para ilustrar los pasos básicos de este método democrático, tiene sentido educativo mantenerlo sencillo y utilizar una estructura compuesta de elementos barra.

Figura 11-4 Desde los elementos finitos estructurales más sencillos progresivamente hasta los más complejos: (a) Elemento de barras de dos nodos para armaduras, (b)

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triángulo de seis nodos para placas delgadas, (c) elemento de "ladrillo" tricúbico de 64nodos, para el análisis tridimensional de sólidos. Una estructura simple pero no trivial es la armadura plana con juntas articuladas, cuyos miembros pueden ser modelados en forma de barras de dos nodos. Emplea una armadura de avión para enseñar el método de la rigidez ofrece dos ventajas adicionales:

(a) Los cálculos pueden hacerse totalmente a mano si la estructura contiene pocos elementos. Esto permite examinar las diversas etapas del procedimiento de solución y comprender cuidadosamente (aprender haciendo) antes de pasar a la aplicación informática. Hacer cálculos manuales en los sistemas de elementos finitos más complejos se hace rápidamente imposible.

(b) La programación en cualquier lenguaje informático de es relativamente simple 11.2.2 Idealización La primera etapa de análisis llevado a cabo por un ingeniero de estructuras es reemplazar la estructura física real mediante un modelo matemático. Este modelo representa una idealización de la estructura real. Para las estructuras reticuladas, con mucho, la idealización más común es el armazón con juntas articuladas.

11.2.3 Armazón de ejemplo Para mantener los cálculos manuales manejables vamos a utilizar la estructura más simple que se puede llamar armazón plano, a saber, la cercha de tres miembros ilustrada en la Figura 115(a). El modelo idealizado de este armazón físico como conjunto de barras con juntas articuladas se muestra en la Figura 11-5(b), en esta idealización las barras sufren solamente cargas axiales, y están conectados por juntas sin fricción. Las propiedades geométricas, de material y de fabricación de la armadura idealizada se muestran en la Figura 11-5(c), mientras que las cargas y condiciones de apoyo idealizadas se ven en la Figura 11-5(d).

Figura 11-5 Ejemplo de cercha de tres miembros: (a) estructura física; (b) idealización como un conjunto de barras articuladas; (c) propiedades geométricas, de materiales y fabricación; (d) condiciones de apoyo y cargas aplicadas.

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11.2.4 Miembros, articulaciones, fuerzas y desplazamientos La idealización de juntas articuladas de la cercha ejemplo, representada en la figura 2.4 (b, c, d), tiene tres articulaciones, que están etiquetadas como 1, 2 y 3, y tres miembros, los cuales están etiquetados (1), (2) y (3). Esos miembros se conectan con articulaciones 1-2, 2-3, y 1-3, respectivamente. Las longitudes de los miembros se denotan por L(1), L(2) y L(3), su módulo de elasticidad por E(1), E(2) y E(3), y sus áreas de sección transversal como A(1), A(2) y A(3). E y A son constantes a lo largo de cada miembro. Los miembros son identificados genéricamente por el superíndice (e). Por ejemplo, el área de sección transversal de un miembro genérico es A(e). Los superíndices van entre paréntesis para que no se confundan con exponentes. Las articulaciones se identificadas genéricamente por índices como i, j o n. En el MEF en general, los nombres "junta" y "miembro" se sustituyen por nodo y elemento, respectivamente. La geometría de la estructura se refiere a un sistema común de coordenadas cartesianas {x, y}, que se llama el sistema de coordenadas global. Los ingredientes clave del método de la rigidez del análisis son las fuerzas y desplazamientos en las articulaciones. En una cercha articulada idealizada las fuerzas aplicadas externamente, así como las reacciones pueden actuar solamente en las articulaciones. Las fuerzas axiales de todos los miembros pueden caracterizarse por sus componentes x e y, denotados fx y fy, respectivamente. Los componentes en la junta i serán identificados como fxi y fyi, respectivamente. El conjunto de todas las fuerzas de articulación se puede organizar como un vector columna de 6 componentes llamado f. El otro ingrediente clave es el campo de desplazamiento. La mecánica estructural clásica nos dice que los desplazamientos de la cercha están completamente definidos por los desplazamientos de las articulaciones. Los componentes de desplazamiento x e y se denotan por ux y uy, respectivamente. Los valores de ux y uy en la articulación i serán llamados uxi y uyi. Al igual que las fuerzas de articulación, se disponen en un vector de 6 componente llamado u. Estos son los vectores de fuerzas nodales y los desplazamientos nodales

[] []

f x1 f y1 f f = x2 y u= f y2 f x3 f y3

ux 1 uy 1 ux 2 uy 2 ux 3 uy 3

En el MDR estos seis desplazamientos son las incógnitas primarias, también llamadas los grados de libertad o las variables de estado del sistema. ¿Qué hay de las condiciones de desplazamiento de frontera, conocidas popularmente como las condiciones de apoyo? Estos datos nos dirán qué componentes de f y u son incógnitas reales y cuáles son conocidos a priori. En el análisis estructural pre-ordenador se usaba inmediatamente dicha información para descartar las variables innecesarias y reducir así la cantidad de cálculos manuales. La filosofía orientada al ordenador es radicalmente diferente: las condiciones de frontera pueden esperar hasta último momento. En el ordenador la gran cantidad de datos puede no ser tan importante como la eficiencia con la que se organizan y procesan los datos. La estrategia de "dejar las condiciones de contorno para el final" será seguido aquí también para los cálculos manuales.

11.2.5 Las ecuaciones globales de rigidez Las ecuaciones globales de rigidez relacionan las fuerzas de articulaciones f de la estructura completa con los desplazamientos de las articulaciones u de la estructura completa antes de especificar las condiciones de apoyo. Como el comportamiento de la armadura es lineal, estas ecuaciones deben ser expresiones lineales que relacionan los componentes de los dos vectores y que en forma matricial pueden expresarse como

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f =Ku Aquí K es la matriz de rigidez global o matriz de rigidez ensamblada. Es una matriz cuadrada de 6 x 6 simétrica. Las entradas de la matriz de rigidez a menudo son llamadas coeficientes de rigidez.

Figura 11-6 Pasos del Método Directo de la Rigidez

11.2.6 Los Pasos del MDR Los pasos del MDR, mayores y menores, se resumen en la Figura 11-6. Las dos etapas principales son la descomposición, seguida del ensamblado y resolución. Puede seguir un paso de pos procesamiento, aunque esto no es parte de la MDR propiamente dicho. Los tres primeros pasos son: (1) desconexión, (2) localización, y (3) cálculo de ecuaciones de rigidez de los miembros. En conjunto, estos forman la etapa de descomposición. Los dos primeros se marcan como conceptuales en la Figura 11-6, pues en realidad no se programan como tales: se llevan a cabo de forma implícita, ya sea a través de la definición del problema, o por programas de pre-procesamiento separados tales como interfases de CAD. El procesamiento del MDR realmente comienza en la etapa de formación de ecuaciones de rigidez de los elementos.

Figura 11-7 Etapa de descomposición del MDR

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Figura 11-8 Etapa de Ensamblado y resolución del MDR La Figura 11-7 y la Figura 11-8 muestran todos los pasos del proceso a través de una secuencia gráfica. La etapa de descomposición: desconexión, localización y formación de ecuaciones de rigidez de miembro nos conduce hasta el elemento de armazón genérico: el más alto nivel de fragmentación.

11.2.7 Etapa de descomposición Los tres pasos de descomposición: desconexión, localización y formación de las ecuaciones de rigidez de elementos, se desarrollan a continuación.

Figura 11-9 Paso de desconexión: (a) cercha idealizada; (b) remoción de cargas y apoyos, desconexión en los miembros (1), (2) y (3), y selección de sistemas de coordenadas locales. Estos últimos se dibujan desplazados de los ejes miembros para mejor visualización.

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11.2.7.1 Desconexión La primera etapa de descomposición comienza descartando todas las cargas y apoyos (las denominadas condiciones de frontera). A continuación se desconecta o desarma la estructura en sus componentes. Para una armadura articulada la desconexión puede ser visualizarse como la eliminación de los pernos de las uniones. Esto se ilustra para la cercha ejemplo en la Figura 11-9.

11.2.7.2 Localización Para cada miembro e = 1,2,3 se asigna un sistema cartesiano local (e)

´x

{ ´x(e) , ´y(e) }

. El eje

está alineado a lo largo del eje del elemento e-simo.

El ángulo formado por ´x(e) ) y x es el ángulo de orientación φe, antihorario positivo. Para simplificar eliminamos el identificador de miembro (e) al tratar un miembro genérico de cercha, como se ilustra en la Figura 11-10(a). El sistema de coordenadas local es { ´x(e) , ´y(e) } . Las dos articulaciones de los extremos están etiquetadas i y j. Como se muestra en esa figura, un miembro genérico de cercha plana tiene cuatro componentes de fuerzas de articulación y cuatro componentes de desplazamiento de articulación (los grados de libertad del miembro). Las propiedades de los miembros son de longitud L, el módulo de elasticidad E y área de sección transversal A.

Figura 11-10 Miembro de cercha genérico referido a su sistema local de coordenadas {x, y}: (a) idealización como elemento barra de 2 nodos, (b) interpretación como resorte equivalente. El número de identificación del elemento (e) se omite para simplificar. Los sistemas {x(e), y(e)} se denominan sistemas de coordenadas locales o sistemas de coordenadas fijados a los miembros. En el método general de elementos finitos que también reciben el nombre de sistemas de coordenadas del elementales.

11.2.7.3 Ecuaciones de Rigidez de los miembros Los componentes de fuerzas y desplazamientos del miembro de cercha genérica que se muestran en la Figura 11-10(a) están vinculados por las relaciones de rigidez del miembro

f =Ku

Los vectores f y u son llamados fuerzas de articulación del miembro y desplazamientos de articulación del miembro, respectivamente, mientras que K es la matriz de rigidez del miembro o matriz de rigidez local. Cuando estas relaciones se interpretan desde el punto de vista de la MEF en general, "miembro" se sustituye por "elemento" y "articulación" por "nodo". Hay varias formas de construir la matriz de rigidez K en términos de L, E y A. La técnica más sencilla se basa en considerar el miembro en la Figura 11-10(a) como un resorte lineal de rigidez equivalente ks, como se muestra en la Figura 11-10(b). Si las propiedades de los miembros son uniformes en toda su longitud, Ec. 11-1

F=k s d =

EA d L

donde F es la fuerza axial interna y d el alargamiento axial. La fuerza axial y el alargamiento se pueden expresar de inmediato en términos de las fuerzas y desplazamientos de articulación como Ec. 11-2

F=´f xj=−´f xi y d=´u xj −´uxi

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que expresan el equilibrio de fuerzas y la compatibilidad cinemática, respectivamente. Combinando Ec. 11-1 y Ec. 11-2 obtenemos la relación matricial

[ ] [ ][ ]

´f xi ´ ´f = f yi = EA ´f xj L ´f yj Por lo tanto

1 0 −1 0

,

0 −1 0 u´ xi 0 0 0 u´ yi = K ´ u´ 0 1 0 u´ xj 0 0 0 u´ yj

[

1 EA 0 ´ K= L −1 0

0 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

]

Esta es la matriz de rigidez de la barra en coordenadas locales.

11.2.8 Etapa de ensamblado y resolución: globalización El ensamblado implica el montaje de las ecuaciones de rigidez de cada miembro en las ecuaciones de rigidez globales. Para que tenga sentido hacer esto, las ecuaciones de los miembros deben ser referidas a un sistema de coordenadas común, que para una armadura plana es el sistema global cartesiano {x, y}. Esto se realiza a través del proceso de globalización. El primer paso en la etapa de ensamblado y resolución, como se muestra en la Figura 2.5, es la globalización. Esta operación se realiza miembro por miembro. Pasa las ecuaciones de rigidez de cada miembro al sistema global {x, y} para que se puedan combinar en la ecuación de rigidez global. Antes de entrar en detalles, hay que establecer las relaciones que conectan los desplazamientos y las fuerzas de articulación en los sistemas de coordenadas global y locales. Estos se dan en términos de matrices de transformación.

Figura 11-11 La transformación de las componentes nodales del desplazamiento y de la fuerza desde el sistema local { ´x , ´y } , al sistema global { x , y }

11.2.8.1 Transformaciones de Desplazamiento y Fuerza Las transformaciones necesarias se obtienen fácilmente viendo la figura 2.10. Para los desplazamientos

u´ xi=u xi c +u yi s u´ yi =−uxi s+u yi c u´ xj=u xj c +u yj s u´ yj =−u xj s+u yj c en la que c=cosφ, s=sinφ y φ es el ángulo formado por x y x, antihorario positivo medido a partir de x. La forma de la matriz que recoge estas relaciones es

Método de elementos finitos

Ec. 11-3

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[ ][

u´ xi c u´ yi −s = 0 u´ xj 0 u´ yj

s 0 c 0 0 c 0 −s

0 0 s c

][ ] u xi u yi u xj u yj

Esta matriz de 4×4 se llama una matriz de transformación de desplazamiento y se denota por T. Las fuerzas nodales transforman como

Ec. 11-4

][ ]

´ f xi c −s 0 0 f xi ´f yi f yi = s c 0 0 0 0 c −s ´f xj f xj 0 0 s c ´f f yj yj

[ ][

Esta matriz de 4×4 se llama un matriz de transformación de fuerzas y es la transpuesta TT de la matriz de transformación de desplazamiento T. Esta relación no es accidental y puede probarse que mantiene en cualquier tipo de elemento. Observación Para este elemento estructural particular T es cuadrada y ortogonal, es decir, TT=T-1. Pero esta propiedad no se extiende a los elementos más generales. Por otra parte, en el caso general T no es ni siquiera cuadrada, y por lo tanto no posee inversa. Sin embargo, las relaciones congruentes de transformación (2.15) - (2.17) que veremos a continuación son generales.

11.2.8.2 Ecuaciones globales de Rigidez de los Miembros A partir de ahora reintroducimos el índice de miembro (elemento), e. Las ecuaciones de rigidez de miembro en coordenadas globales se escribirán Ec. 11-5

f e =K e ue

La forma compacta de Ec. 11-3 y Ec. 11-4 para el miembro e-simo es Ec. 11-6

e e e 3 e T e u´ =T u y f =( T ) f´

´ e u´ e y comparando con Ec. 11-5 Sustituyendo de estas expresiones matriciales en ´f e = K encontramos que la matriz de rigidez del miembro en el sistema global {x, y} puede calcularse a ´ e , a través de la partir de la matriz de rigidez del miembro en el sistema local { ´x , ´y } , K transformación congruente Ec. 11-7

T ´ eTe K e =( T e ) K

Que para el elemento barra queda

Ec. 11-8

[

2

2

c sc −c sc e e 2 E A sc s −sc −s2 e K = e 2 2 sc L −c −sc c 2 2 sc −s sc s

]

donde c = cosφe, s = sinφe. Ke se llama matriz de rigidez del miembro en coordenadas globales. La matriz de rigidez globalizada de cada miembro de la cercha ejemplo se obtiene sustituyendo en Ec. 11-8 los valores correspondientes. Para el miembro 1, con nodos 1-2: E(1 ) A( 1)=100 , L(1)=10 , φ( 1)=0 °

Método de elementos finitos

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[] [ [] [ [] [

f (x11) 1 f (y11) =10 0 ( 1) −1 f x2 (1 ) 0 f y2

Ec. 11-9

E(2 ) A( 2)=50 ,

Para el miembro 2, con nodos 2-3:

f (x22) 0 0 ( 2) f y2 =10 0 1 ( 2) 0 0 f x3 (2 ) 0 −1 f y3

Ec. 11-10

Ec. 11-11

f (x33) (3 )

f y3

L(2) =10 , φ( 2)=90 °

][ ]

( 2) 0 0 u x2 (2 ) 0 −1 u y 2 0 0 u(x32) 0 1 u( 2 ) y3

E(3 ) A (3)=200 √ 2 ,

Para el miembro 3, con nodos 1-3:

f (x31) f (y31)

][ ]

(1 ) 0 −1 0 u x1 (1 ) 0 0 0 uy 1 1) 0 1 0 u(x2 0 0 0 (1 ) uy 2

L(3 )=10 , φ( 3)=45°

][ ]

( 3) 0.5 0.5 −0.5 −0.5 u x1 (3 ) 0.5 −0.5 −0.5 u y 1 =20 0.5 −0.5 −0.5 0.5 0.5 u(x33) −0.5 −0.5 0.5 0.5 (3 ) uy 3

11.2.9 El resto de los pasos del MDR En el ordenador los pasos de formación, globalización y ensamblado se realizan simultáneamente, miembro por miembro. Después de que todos los miembros se procesan tenemos las ecuaciones de rigidez globales libre-libre. Luego viene la resolución. Este proceso incluye dos pasos: aplicación de las condiciones de frontera (CF), y resolver para obtener los desplazamientos nodales incógnita. La aplicación de las CF se hace modificando las ecuaciones de rigidez global libre-libre para tener en cuenta cuáles componentes de los desplazamientos y de las fuerzas nodales están prescritas y cuáles son desconocidas. Las ecuaciones modificadas son enviadas a un solucionador de ecuaciones lineales, que devuelve los desplazamientos nodales desconocidos. El paso de resolución completa el MDR propiamente dicho. Luego suelen hacerse pasos de pos proceso, en el que a partir de la solución de desplazamiento se calculan cantidades derivadas tales como fuerzas de reacción y tensiones.

11.2.10

Ensamblado: Montaje 3 (a)

(b)

3

Reconectar las articulaciones

(3)

y 1

x (1)

(2)

2

y 1

x

2

Figura 11-12 Significado físico de operación de ensamblado: (a) cercha ejemplo desconectada después de la globalización; (b) cercha reconectada con los pasadores de nuevo en las articulaciones.

Método de elementos finitos

11.2.10.1

25

Reglas de gobierno

La operación fundamental del proceso de montaje es la "colocación" de la contribución de cada miembro a las ecuaciones de rigidez globales. El proceso se llama ensamblado de los miembros individuales. Esta operación se puede interpretar como volver a conectar físicamente ese miembro en el proceso de fabricación de la estructura completa. Para una armazón articulada, reconectar significa la poner los pasadores de nuevo en las articulaciones. Vea la Figura 11-12.

Figura 11-13 Equilibrio de fuerzas de la articulación 3 del ejemplo, representado como un DCL en (a). Aquí f3 es la fuerza externa aplicada sobre la articulación. Las fuerzas (3) (3) internas f 2 y f3 son aplicadas por la articulación sobre los miembros, como se ilustra en (b). Por lo tanto las fuerzas aplicadas por los miembros sobre la articulación (3 ) (3 ) son s −f 2 y −f 3 . Estas fuerzas actúan en las direcciones que se muestran en (a) si los miembros (2) y (3) están en tensión. La ecuación de equilibrio de cuerpo libre es (3) (3 ) (3) (3 ) f 3 −f 2 −f 3 =0 o f 3 =f 2 + f 3 . Esta se traduce en las dos ecuaciones de componentes:

f x 3=f (x23) +f (x33) y f y3 =f 2y3 + f (y33) .

La lógica de ensamblado se rige matemáticamente por dos leyes de la mecánica estructural: 1. Compatibilidad de desplazamientos: Los desplazamientos de todos los miembros que se unen en una articulación son los mismos. 2. Equilibrio de fuerzas: La suma de las fuerzas internas ejercida por todos los miembros que se unen en una articulación equilibra la fuerza externa aplicada a la articulación. La primera regla es físicamente obvia: las articulaciones que se vuelven a conectar deben moverse como una sola entidad. La segunda puede visualizarse haciendo el diagrama de cuerpo libre (DCL) de la articulación, pero hay que tener cuidado en distinguir fuerzas externas e internas, y en sus signos. Las convenciones de notación a se explican en la Figura 11-13 para la articulación 3 del ejemplo, en la que se unen los miembros (2) y (3). La aplicación de lo anterior en esa articulación en particular da Regla 1: Regla 2:

(2 ) (3 ) (2 ) ( 3) u x3=ux 3 y u y 3=u y3 f x 3=f (x23) +f (x33) =f (x13) +f (x23) + f (x33) ( 1)

(2)

( 3)

y (1)

2) 2) f y3 =f (y3 + f (y33) =f (y13) + f (y3 + f (y33)

(2)

(3 )

La adición de f x 3 a f x 3+ f x3 y de f y3 a f y3 + f y 3 respectivamente, no cambia nada porque el miembro (1) no está conectado a la articulación 3. Simplemente estamos añadiendo ceros. Pero agregar estos términos nos permite escribir la relación matricial para la estructura completa: Ec. 11-12

11.2.10.2

f =f (1) + f (2) + f (3 ) Ensamblado a mano por ampliación y suma

Para visualizar directamente cómo las dos reglas se traducen en la lógica de ensamblado, lo primero que ampliar la ecuación de rigidez global que figura en §2.10.2 añadiendo filas y columnas nulas para completar los vectores de fuerza y desplazamiento.

Método de elementos finitos

Para el miembro (1):

Para el miembro (2):

Para el miembro (3):

27

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] f (x11) 10 f (y11) 0 f (x12) −10 = 0 f (y12) ( 1) 0 f x3 0 f (y13)

1) u(x1 0 −10 0 0 0 (1 ) 0 0 0 0 0 uy 1 (1 ) 0 10 0 0 0 u x2 0 0 0 0 0 u(y1)2 0 0 0 0 0 u( 1 ) 0 0 0 0 0 (x3 u y1)3

f (x21) 0 0 0 0 f (y21) 0 0 0 0 f (x22) =0 0 0 0 (2 ) 0 0 0 5 f y2 ( 2) 0 0 0 0 f x3 0 0 0 −5 f 2y 3 f (x31) 10 10 f (y31) 10 10 f (x32) 0 = 0 (3 ) 0 0 f y2 −10 −10 f (x33) −10 −10 f (y33)

2) u(x1 0 0 (2 ) 0 0 uy 1 (2 ) 0 0 u x2 0 −5 u(y22) 0 0 u(2 ) x3 0 5 ( 2) uy3

3) u(x1 0 0 −10 −10 (3 ) u 0 0 −10 −10 y 1 (3 ) 0 0 0 0 u x2 0 0 0 0 u (y3)2 0 0 10 10 u(3 ) x3 0 0 10 10 ( 3) uy3

Según la primera regla, podemos eliminar el identificador del miembro en los vectores de desplazamiento de las ecuaciones. De ahí que las ecuaciones de los miembros reconectados son:

Ec. 11-13

Ec. 11-14

f (x11) 10 f (y11) 0 f (x12) −10 = 0 f (y12) ( 1) 0 f x3 0 f (y13)

0 −10 0 0 0 u x1 0 0 0 0 0 uy 1 0 10 0 0 0 u x2 0 0 0 0 0 uy 2 0 0 0 0 0 u x3 0 0 0 0 0 u y3

f (x21) 0 0 0 0 f (y21) 0 0 0 0 f (x22) =0 0 0 0 (2 ) 0 0 0 5 f y2 ( 2) 0 0 0 0 f x3 0 0 0 −5 f 2y 3

0 0 u x1 0 0 uy 1 0 0 u x2 0 −5 u y 2 0 0 u x3 0 5 u y3

Método de elementos finitos

Ec. 11-15

29

[ ][

f (x31) 10 10 f (y31) 10 10 f (x32) 0 0 = (3 ) 0 0 f y2 ( 3) f x 3 −10 −10 −10 −10 f (y33)

0 0 0 0 0 0

][ ]

0 −10 −10 u x1 0 −10 −10 u y 1 0 0 0 u x2 0 0 0 uy2 0 10 10 u x3 0 10 10 u y3

Que en notación matricial equivalen a:

f (1)=K (1) u f (2)=K (2) u f (3)=K (3) u Y sustituyendo en la segunda regla (Ec. 11-12)

f =f (1) + f (2) + f (3 )=( K (1 )+ K (2) + K (3 ) ) u=Ku así que todo lo que tenemos que hacer es sumar las tres matrices de rigidez que aparecen en Ec. 11-13, Ec. 11-14 y Ec. 11-15 y llegamos a las ecuaciones de rigidez global:

Ec. 11-16

[ ][

][ ]

f x1 20 10 −10 0 −10 −10 u x1 f y1 10 10 0 0 −10 −10 u y 1 f x 2 −10 0 10 0 0 0 u x2 = 0 0 0 5 0 −5 u y 2 f y2 −10 −10 0 0 10 10 u x3 f x3 15 u f y 3 −10 −10 0 −5 10 y3

Con esta técnica el ensamblado de los miembros se convierte simplemente una suma de las matrices. Esta explicación del proceso de ensamblado es conceptualmente la más fácil de seguir y entender. Es virtualmente a toda prueba para cálculos de la mano. Pero no es así como se lleva a cabo en el ordenador, ya que sería enormemente derrochador de almacenamiento para sistemas grandes. Un procedimiento orientado a la computadora se discute más adelante.

11.2.11

Resolución

Después de haber formado las ecuaciones de rigidez globales podemos pasar a la fase de resolución. Para preparar las ecuaciones lineales para un solucionador tenemos que separar las componentes conocidas y desconocidas de f y u. En esta sección se describe una técnica adecuada para cálculos manuales.

11.2.12

Aplicación de las condiciones de frontera por Reducción

Si uno intenta resolver el sistema (Ec. 11-16) numéricamente para los desplazamientos, la resolución falla pues la matriz de coeficientes (matriz de rigidez global) es singular. La interpretación matemática de este comportamiento es que las filas y columnas de K son combinaciones lineales unas de otras. La interpretación física de la singularidad es que hay movimientos de cuerpo rígido no suprimidos: la armadura todavía "flota" en el plano {x, y}. Para eliminar movimientos de cuerpo rígido y hacer al sistema no singular debemos aplicar las condiciones físicas de apoyo como condiciones de contorno de desplazamiento. En la Error: Reference source not found (d) se observa que las condiciones de apoyo para la cercha ejemplo son Ec. 11-17

u x1=u y 1=u y 2=0

y las fuerzas aplicadas conocidos son:

Método de elementos finitos

31

f x 3=2 f y3=1 f x 2=0

Ec. 11-18

Para resolver las ecuaciones generales de rigidez a mano, la forma más sencilla para incluir las condiciones de apoyo es eliminar las ecuaciones asociadas a las articulaciones con desplazamientos nulos conocidos del sistema principal. Para aplicar Ec. 11-17 tenemos que "eliminar" las filas y columnas número 1, 2 y 4 de K y los componentes correspondientes de f y u. El sistema de tres ecuaciones reducido queda:

[

Ec. 11-19

][ ] [ ]

f x2 1 0 0 −5 ux 2 0 10 10 ux 3 = f x3 0 10 15 u y3 f y3

La Ec. 11-19 se llama el sistema de rigidez global reducido. La matriz de coeficientes de este sistema ya no es singular. Observación Las condiciones Ec. 11-17 son del tipo más simple de condiciones de apoyo, donde se especifican desplazamientos nulos. Más adelante veremos cómo manejar desplazamientos distintos de cero.

11.2.13

Resolviendo los desplazamientos

Resolviendo a mano el sistema reducido (por ejemplo, por eliminación de Gauss) resulta

[ ][ ] u x2 0 u x3 = 0.4 u y 3 −0.2

que se llama solución parcial de desplazamientos (o solución al desplazamiento reducida), ya que excluye las componentes de desplazamiento conocidas. Este vector se amplía a seis componentes incluyendo los tres valores prescritos (Ec. 11-17) en las filas apropiadas:

[ ][ ] u x1 0 uy1 0 u x2 0 = 0 uy2 0.4 u x3 −0.2 uy3

Ec. 11-20

Esta es la solución completa de desplazamiento, o simplemente la solución de desplazamiento.

11.3 Postprocesamiento El último paso de procesamiento del MDR es la resolución de desplazamientos. Pero a menudo se necesita información sobre otras magnitudes mecánicas; por ejemplo, las fuerzas de reacción en los apoyos o las fuerzas internas en los miembros, llamadas cantidades derivadas, ya que se recuperan a partir de la solución de desplazamiento. La recuperación de cantidades derivadas es parte de los llamados pasos de postprocesamiento del MDR. Dos de estos pasos se describen a continuación.

11.3.1 Recuperación de Fuerzas de Reacción Premultiplicando la solución de desplazamiento completa (3.17) por K obtenemos

[

][ ] [ ]

20 10 −10 0 −10 −10 0 −2 10 10 0 0 −10 −10 0 −2 −10 0 10 0 0 0 0 0 f =Ku= = 0 0 0 5 0 −5 0 1 −10 −10 0 0 10 10 0.4 2 −10 −10 0 −5 10 15 −0.2 1

Método de elementos finitos

33

Este vector recupera las fuerzas aplicadas conocidos (Ec. 11-18), como se puede esperar. Adicionalmente obtenemos tres fuerzas de reacción: f x 1=f y1 =−2 f y 2=1 que se asocian con las condiciones de apoyo (Ec. 11-17). Es fácil comprobar que el sistema de fuerzas completo está en auto equilibrio para la estructura libre-libre.

11.3.2 Recuperación de fuerzas y tensiones internas A menudo, el ingeniero estructural no se interesa tanto en desplazamientos como en las fuerzas y tensiones internas. Estas son las cantidades más importantes para el diseño estructural preliminar. En cerchas articuladas las únicas fuerzas internas son las fuerzas axiales en los miembros. Para la cercha ejemplo estas fuerzas, denotadas por F(1), F(2) y F(3), se representan en la Figura 11-14. La tensión axial media σ(e) se obtiene dividiendo F(e) por el área de sección transversal del miembro. La fuerza axial F(e) en el miembro (e) se puede obtener como sigue. Extraiga los desplazamientos del miembro (e) de la solución completa de desplazamientos u para formar ue. A continuación, recupere los desplazamientos nodales locales de u ´ e =T e ue Calcule la elongación del miembro (desplazamiento axial relativo) y recupere la fuerza axial de la ley de gobierno del resorte equivalente: e

e

e

e

d =u´ xj−u´ xi F = Nótese que

e u´ yj

Ee A e e d Le y u ´ eyj no se necesitan.

Figura 11-14 recuperación de fuerza interna en la cercha ejemplo: (a) fuerzas axiales de miembros de F(1), F(2) y F(3), con dirección de flechas para el caso de la tensión; (b) detalles de cálculo para miembro (2).

11.3.3 Recuperación de reacciones: caso general En 11.3.1 le llamamos reacciones a las fuerzas nodales en los apoyos que recuperamos de f=Ku, donde u es la solución completa de desplazamiento. Si bien esa afirmación es válida para la cercha ejemplo, sobre simplifica el caso general. Para ver esto, consideremos f como la superposición de las fuerzas aplicadas y de reacción: Ec. 11-21

Ku=f =f a +f r

Aquí fa representa fuerzas aplicadas, que son conocidos antes de resolver, mientras que fr representa fuerzas de reacción desconocidas que deben ser recuperadas en el postprocesamiento. Las componentes de fr que no están restringidas son nulas. Para la cercha ejemplo

Método de elementos finitos

35

Ec. 11-22

[ ] [][ ] [ ] [][ ]

f x1 0 f x1 f y1 0 f y1 0 al ensamlar f = 0 = + 0 alensamlar f = 0 f y2 ⇒ f y2 ⇒ 2 2 0 1 1 0

−2 0 −2 −2 0 −2 0 0 0 = + 1 0 1 2 2 0 1 1 0

En Ec. 11-22 hay una clara separación. Cada componente no nula en f proviene o bien de fa o r r r bien de fr. Esto nos permite interpretar f x 1=f x 1 f y 1=f y 1 f y 2=f y2 como reacciones. Si hay fuerzas aplicadas no nulas actuando sobre grados de libertades apoyados, hay que reinterpretar. Esto ocurre a menudo cuando las cargas distribuidas, como la presión o el peso propio, se agrupan en los nodos. El ajuste se puede entender más fácilmente siguiendo el sencillo ejemplo se ilustra en la Figura 11-15. La ménsula prismática representada en la Figura 11-15 (a) se somete a una carga distribuida uniforme q por unidad de longitud. La barra tiene una longitud L, módulo de elasticidad E y área de sección transversal A. Se discretiza con dos elementos de igual tamaño

Figura 11-15 Ejemplo para ilustrar la recuperación de reacciones de apoyo cuando hay cargas aplicadas no nulas actuando sobre los apoyos. (a) barra con carga distribuida; (b) idealización con dos elementos MEF; (c) diagrama de cuerpo libre mostrando fuerzas nodales aplicadas en azul y reacción del apoyo en rojo. Como se muestra en la Figura 11-15 (b). Los tres desplazamientos x nodales u1=u x 1 u2=u x 2 u 3=u x3 se toman como grados de libertad. La carga distribuida se concentra en fuerzas nodales

1 1 1 a a a f 1 = qL f 2 = qL f 3 = qL en los nodos 1, 2 y 3, 4 2 4

Las ecuaciones de rigidez globales de acuerdo con Ec. 11-21 son

[][ ]

][ ]

r 1 −1 0 u1 1 f1 EA qL a r 2 −1 2 −1 u2 =f =f + f = 2+ 0 L 4 0 −1 1 u 3 1 0

[

Aplicando la CF de desplazamiento u1=0 y resolviendo da

u2=

Recuperando las fuerzas de reacción

f r=f −f a=2

[

q L2 q L2 . u 3= 8 EA 2 EA

] [] [ ] [][ ]

1 −1 0 0 −3 1 −qL EA q L2 qL qL a −f = − −1 2 −1 3 2 2= 0 L 8 EA 4 4 0 −1 1 4 1 1 0

De donde surge que la reacción en el extremo fijo es -qL,

11.3.4 Ensamblaje y resolución orientados a ordenador 11.3.4.1 Ensamblaje por punteros de grados de libertad La programación práctica en ordenador del proceso de montaje del MDR es muy diferente de la técnica de "ampliar y sumar" descrito en §3.2.2. Hay dos diferencias principales:

Método de elementos finitos I.

II.

37

Las matrices de rigidez de los miembros no se expanden. Sus entradas se fusionan directamente en los de K usando una "matriz de punteros grados de libertad" llamada la Tabla de grados de Libertad del Elemento o TGLe. La matriz de rigidez global K se almacena utilizando un formato especial que aprovecha la simetría y la poca densidad.

La diferencia (II) es un tema avanzado no vamos a tratar. Por simplicidad vamos a suponer que K se almacena como matriz densa y estudiaremos sólo (I) F Para la cercha ejemplo la técnica por punteros de grados de libertad expresan los coeficientes de K como la suma 3

Ec. 11-23

K pq=∑ K ije ∀ i=1, … , 4 j=1, … , 4 p=TGLe (i ) q=TGLe ( j ) e=1

e ij

Los K son los coeficientes de las matrices de rigidez globalizadas (de 4×4) de cada miembro en Ec. 11-9 a Ec. 11-11. Los Kpq que no reciben ninguna contribución del lado derecho son nulos. TGLe, indica la Tabla de Grados de Libertad del Elemento para el miembro e. Para la cercha ejemplo estas tablas son TGL(1) = {1,2,3,4}, TGL(2) = {3,4,5,6}, TGL(3) = {1,2,5,6}. (3.26) Físicamente estas tablas de mapean los índices de libertad locales a los globales. Por ejemplo, el grado de libertad 3 de miembro (2) es ux3, que es el número 5 en las ecuaciones globales; en consecuencia EFT(2)(3)=5. Obsérvese que Ec. 11-23 comprende tres ciclos anidados: uno para e (más externo), otro para i y otro para j. El orden de los dos últimos es irrelevante. Se puede aprovechar de la simetría de Ke y K para reducir aproximadamente a la mitad el número de sumas.

11.3.5 Aplicación de las CF por modificación En 11.2.12 las condiciones de apoyo (Ec. 11-17) se aplicaron mediante la reducción de Ec. 1116 a Ec. 11-19. La reducción es conveniente para los cálculos manuales, pues reduce el número de ecuaciones, pero tiene un defecto grave para la programación del ordenador: hay que reorganizar las ecuaciones. El reordenamiento puede ser tanto o más costoso que la solución de las ecuaciones, en particular si la matriz de coeficientes se almacena en forma dispersa. Para aplicar las condiciones de apoyo sin reorganizar las ecuaciones anulamos las filas y columnas correspondientes a los desplazamientos cero prescritos, las componentes de fuerza correspondientes y ponemos unos en la diagonal para mantener la no singularidad. El sistema resultante se llama el sistema modificado de ecuaciones de rigidez globales. Para la cercha ejemplo resulta

Ec. 11-24

[

1 0 0 0 0 0

][ ] [ ]

0 0 0 0 0 ux 1 0 1 0 0 0 0 uy 1 0 0 10 0 0 0 u x 2 = 0 0 0 1 0 0 uy 2 0 0 0 0 10 10 u x 3 2 0 0 0 10 15 u 1 y3

donde se han anulado las filas y columnas para las ecuaciones 1, 2 y 4. La resolución de este sistema modificado produce la solución desplazamiento completa (Ec. 11-20) directamente.

11.4 Desplazamientos prescritos no nulos Las condiciones de apoyo consideradas en la cercha ejemplo dieron como resultado que los desplazamiento componentes son nulos; por ejemplo uy2 = 0. Hay casos, sin embargo, en que el valor prescrito es distinto de cero. Matemáticamente se denominan condiciones de frontera no homogéneas.

Método de elementos finitos

39

Figura 11-16 Cercha ejemplo con desplazamientos verticales prescritos no nulos en las articulaciones de 1 y 2.

11.4.1 Aplicación de CF no nulas por Reducción Veremos primero la técnica de reducción de la matriz, de forma análoga a la utilizada en 11.2.12, que es adecuada para cálculos a mano. Las ecuaciones de rigidez globales (Ec. 1116) para el ejemplo de cercha eran:

¿ REF Ref 461480460 Ec. 11-24

[

][ ] [ ]

f x1 20 10 −10 0 −10 −10 ux 1 f y1 10 10 0 0 −10 −10 u y1 −10 0 10 0 0 0 ux 2 = f x2 0 0 0 5 0 −5 u y2 f y2 −10 −10 0 0 10 10 ux 3 f x3 −10 −10 0 −5 10 15 u f y3 y3

Supongamos que las fuerzas aplicadas son las mismas (Ec. 11-18), pero ahora los desplazamientos prescritos son Ec. 11-25

u x1=0u y 1=−0.5u y 2=0.4

Esto significa que la articulación 1 baja verticalmente mientras que articulación 2 sube verticalmente, como se muestra en Figura 11-16. Sustituyendo los datos conocidos en Ec. 1124 obtenemos

[

][ ] [ ]

f x1 0 20 10 −10 0 −10 −10 f y1 10 10 0 0 −10 −10 −0.5 u −10 0 10 0 0 0 x2 = 0 0 0 0 5 0 −5 0.4 f y2 −10 −10 0 0 10 10 ux 3 2 −10 −10 0 −5 10 15 u y3 1

Eliminando la primera, segunda y cuarta filas queda

Método de elementos finitos

[

41

[]

0 −0.5 −10 0 10 0 0 0 u 0 x2 = −10 −10 0 0 10 10 2 0.4 −10 −10 0 −5 10 15 1 ux 3 u y3

] []

Las columnas 1, 2 y 4 se pueden quitar pasando todos los términos conocidos restando al lado derecho:

Ec. 11-26

[

][ ] [ ] [

][ ]

(−10 ) × 0+0 × (−0.5 )+ 0× 0.4 10 0 0 u x2 0 0 0 1 0 10 u x3 = 2 − (−10 ) ×0+ (−10 ) × (−0.5 ) +0 × 0.4 = −3 0 10 15 u y 3 1 (−10 ) × 0+ (−10 ) × (−0.5 )+ (−5 ) ×0.4 −2

Estas son las ecuaciones de rigidez reducidas. Nótese que la matriz de coeficientes de Ec. 1126 es exactamente la misma que en el sistema reducido para desplazamientos prescritos nulos (Ec. 11-19) pero el lado derecho es diferente. Se compone de las fuerzas aplicadas modificadas por el efecto de los desplazamientos prescritos no nulos. Éstas se llaman fuerzas nodales modificadas o fuerzas de nodales efectivas. La resolución del sistema reducido da

[ ][ ] u x2 0 u x3 = −0.5 0.2 u y3

Completando las componentes que faltan con los valores conocidos (Ec. 11-25) se obtiene la solución desplazamiento completa

Ec. 11-27

[ ][ ] u x1 0 u y 1 −0.5 u x2 = 0 0.4 uy2 u x3 −0.5 0.2 uy3

11.4.2 Aplicación de CF no nulas por Modificación El enfoque de modificación orientado a ordenador sigue la misma idea se vimos en 11.3.5. El objetivo principal es evitar la reorganización de las ecuaciones de rigidez globales. Para entender el proceso conviene pensarlo en dos etapas. Primero las ecuaciones 1, 2 y 4 se sustituyen por ecuaciones triviales. Para la cercha ejemplo con las condiciones de desplazamiento Ec. 11-25 queda:

[

][ ] [ ]

1 0 0 0 0 0 ux 1 0 0 1 0 0 0 0 u y1 −0.5 −10 0 10 0 0 0 ux 2 0 = 0 0 0 1 0 0 u y2 0.4 −10 −10 0 0 10 10 ux 3 2 −10 −10 0 −5 10 15 u 1 y3

Este Sistema reproduce las condiciones (Ec. 11-25) por construcción (por ejemplo, la cuarta ecuación es 1×uy2=0,4). En la siguiente etapa, los coeficientes no diagonales de las columnas 1, 2 y 4 de la matriz de se anulan pasando todos los términos conocidos restando al lado derecho, siguiendo el mismo procedimiento que se usó para obtener Ec. 11-26. Llegamos así a

Método de elementos finitos

Ec. 11-28

[

43

1 0 0 0 0 0

][ ] [ ]

0 0 0 0 0 ux 1 0 u 1 0 0 0 0 y1 −0.5 u 0 10 0 0 0 0 x2 = 0 0 1 0 0 uy 2 0.4 0 0 0 10 10 u x 3 −3 0 0 0 10 15 u −2 y3

Al igual que antes, éstas se llaman ecuaciones de rigidez global modificadas. Observe que Ec. 11-28 conserva la cantidad y el orden original de las ecuaciones, así como la simetría de la matriz. Resolviendo este sistema se obtiene directamente la solución de desplazamiento completa Ec. 11-27. Si todos los desplazamientos prescritos son cero, las fuerzas de la derecha no se modifican, y se obtiene Ec. 11-24, como era de esperar. Observación En realidad la modificación no se programa como se describe más arriba sino en orden inverso. Primero se modifican las fuerzas aplicadas en el lado derecho por el efecto de los desplazamientos prescritos no nulos y los desplazamientos prescritos se almacenan como componentes del vector de fuerza de reacción. Esto se conoce como la etapa de modificación de fuerza. Luego se anulan las filas y columnas adecuadas de la matriz de rigidez y se ponen unos en los coeficientes diagonales. Esto se conoce como la etapa de modificación de rigidez. Es esencial que los pasos se realicen en este orden, porque los coeficientes originales de rigidez deben ser usados para modificar las fuerzas antes de ser anulados.