El Método de Rigideces: ejemplo de aplicación
Apellidos, nombre Departamento C ent entrro
Basset Salom, Luisa (
[email protected]) Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Arquitectura Universitat Politècnica de València
1 Resumen de las ideas clave Las estructuras de barras pueden resolverse mediante diferentes métodos de cálculo entre los que se encuentra el Método de Rigideces. En este artículo docente se explica, con un ejemplo sencillo, el proceso de cálculo a seguir con este método.
Inttrod oduc ucc c ión 2 In Las estructuras de barras son estructuras formadas por elementos lineales en los que predomina la longitud respecto de las dimensiones de la sección transversal. Para resolverlas estática y cinemáticamente pueden utilizarse diferentes métodos de cálculo, teniendo en cuenta que lo habitual es que sean hiperestáticas e hipercinemáticas. Uno de esos métodos es el Método de Rigideces. Este método resuelve primero cinemáticamente la estructura, siendo sus incógnitas principales los movimientos independientes independie ntes asociados a los nudos. Una vez se han calculado éstos, se obtienen los esfuerzos de extremo de barra así como las reacciones. El Método de Rigideces admi admite te una formulación matricial, que es la que se propone en este artículo docente. Para ello se parte de la modelización de la estructura y de la formación de la matriz de rigidez a partir de las matrices elementales de las barras que dependen de la modelización adoptada. Para completar los elementos de la ecuación matricial se debe formar el vector de cargas a partir de las cargas directamente aplicadas sobre los nudos y de las cargas que actúan sobre las barras. El último componente de la ecuación matricial es el vector de movimientos que es el que contiene todas las incógnitas. Obtenidos los movimientos se calculan los esfuerzos de extremo de barra y las reacciones mediant mediante e las ecuaciones cargasmovimientos de las barras. En este documento se explica este método a partir de un ejemplo con una estructura sencilla de dos barras.
3 Objetivos El objetivo de este documento es que, tras su lectura, el alumno sea capaz de: Determinar el número de movimientos incógnita del método de rigideces (movimientos independientes asignados a los nudos) a partir de la modelización modelizació n de la estructura. • Formar la matriz de rigidez de la estructura correspondiente a los nudos que contienen los movimientos incógnita a partir de las matrices elementales de las barras. • Formar el vector de cargas directas sobre los nudos • Formar el vector de cargas equivalentes sobre los nudos cuando hay barras cargadas • Formar el vector de cargas totales sobre los nudos • Obtener el valor de los movimientos incógnita resolviendo las ecuaciones de •
equilibrio del método de rigideces
•
Calcular los esfuerzos de extremo de barra y las reacciones a partir de los movimientos obtenidos mediante las ecuaciones cargas-movimientos de las barras en ejes globales y las l as ecuaciones de equilibrio.
4 Ejemplo de aplicación del Método de Rigideces 4.1 Datos de la estruc ucttur ura a La estructura que se propone como ejemplo se representa representa en la figura 1. Se trata de una estructura con comportamiento elástico y lineal, formada por dos barras inclinadas. La barra de la izquierda está articulada en el apoyo y la de la derecha está sobre un resorte paralelo a su directriz, cuyo giro está impedido. Con el fin de minimizar la transformación de ejes se eligen como sistema de ejes globales un sistema dextrógiro con el eje X’ paralelo al eje x local de la barra 2, tal y como se indica en la figura. Datos de las barras: A = 10 cm2 1 98’13º
I= 20000 cm4 sen 1 = 0’9899
≈
X'
10 T 100kN
X'
9 8 '1 3 º
Ejes Globales
º 4 5
8 ' 1 3 º
3 6 6' ' 8 86 º 6
Y'
m 4
E = 2.1· 108 kN/m2 cos 1 = -0’141
+ Y'
1'2 T/m
12 kN/m
1
2
5 3 ' 1 3 º
3m
5 º 4
K = 1000 10000T/m kN/m
4m
Fig Fig ura1. Es Esque que ma d e la la eest stru rucc tur tura a
4.2 Esquema del proceso de cálculo El proceso de cálculo es el siguiente: Modelización de la estructura Formación de la matriz de rigidez de la estructura correspondiente a los nudos que tengan algún movimiento permitido, a partir de las matrices elementales de rigidez de las barras
Formación del vector de cargas totales en los nudos a partir del vector de cargas directas en los nudos y del vector de cargas equivalentes sobre los nudos. Planteamiento de las ecuaciones cargas movimientos (ecuaciones de equilibrio) y obtención de los movimientos independientes de los nudos Obtención de los esfuerzos de extremo de barra y de las reacciones en los apoyos.
4.3 Mod Modelizac elización ión de la es estruc ucttur ura a El grado de indeterminación cinemática de la estructura es 5, es decir, tiene 5 movimientos independientes, sin embargo, si la modelizamos asignando el giro del apoyo 2 al extremo final de la barra 1 (figura 2), quedarán 4 movimientos incógnita en nudo, por lo que se podrá resolver cinemáticame cinemáticamente nte la estructura a partir de la obtención de los 3 movimientos del nudo 1 y el movimiento de desplazamiento desplazamien to del nudo 3. X'
70’7kN 1
-7'07 T 45º
10 T
45º
X'
-7'07 T 70’7kN Y' 1'2 12T/m kN/m
Ejes Globales 1
+
2 Y'
2
3 Ry3 K = 1000 10000 kN/mT/m
RM2 Rx2
RM3 Rx3 = -1000 10000· dx3
Ry2
Fig ura 2. Mod eliz elizac ac ión de la la e struc truc tur tura a Por tanto, tendremos la barra 1 empotrada elásticam elásticamente ente en su extremo inicial al nudo 1 y articulada en su extremo final al nudo 2 y la barra 2 empotrada elásticamente en ambos extremos a los nudos 1 y 3. Por su parte el nudo 1 es libre (con tres movimientos: dx1, dy1 y 1), el nudo 2 es un empotramiento perfecto (movimientos nulos) y el nudo 3 sólo tiene permitido el desplazamiento según el eje X’ global (dx3.), ya que en ese nudo hay un muelle en esa dirección que permite dicho movimiento condicionado por la constante del resorte.
4.4 Form orma ac ión de la matriz de rigide igidez z de la estruc ucttur ura a La matriz de rigidez de la estructura es una matriz cuadrada formada por las matrices elementales de rigidez de las barras en función de cómo están
conectadas éstas a los nudos adyacentes. De este modo, en la diagonal principal correspondiente a la rigidez del nudo, tendremos matrices elementales de rigidez directa (k’ii o K’ jj) de las barras que concurren en el nudo correspondiente, siendo K’ii o K’ K’ jj dependiendo de si se trata del extremo inicial o final respectivamente. Fuera de la diagonal principal tendremos matrices elementales de rigidez recíproca (k’ij o K’ K’ ji) si los nudos correspondientes están unidos por una barra y 0 si no lo están. Plantearemos únicamente la parte de la matriz de rigidez de la estructura correspondiente a los nudos que tienen algún movimiento permitido (K' ll), en este ejemplo concreto los nudos 1 y 3. Esquema de la matriz de rigidez k’ll:
k ii' 1 k jj' 2 k ji' 2 K'll ' k 'ii 2 k ij 2
(1)
Inicialmente es una matriz de 6x6 elementos, ya que cada matriz elemental de barra es de 3x3 elementos. Obtendremos, a continuación las matrices elementales de rigidez de cada barra que forman parte de K’ll: Barra 1 (empotrada en i-articulada en j) sen 1 = 0’9899
cos 1 = -0’141 cos 1 sen1 k 'ii1 sen1 cos 1 0 0
L=5m
EA 0 0 0 L cos 1 sen1 0 3 EI 3 EI sen1 cos 1 0 0 0 L3 L2 1 0 1 3EI 3EI 0 0 L L2
0 0'141 0'9899 0 1822'7 5721'5 4989'1 0'141 0'9899 0 42000 0 k ' ii1 0'9899 0'141 0 0 1008 5040 0'9899 0'141 0 5721'5 41175'9 710'6 0 0 1 0 5040 25200 0 0 1 4989'1 710'6 25200
Barra 2 (empotrada en i- empotrada en j) L 5'657 m ≈
EA 0 0 L 0 0 37123'1 12EI 6EI 0 2784'2 7875 k 'ii 2 k ii 2 0 L3 L2 7875 29698'4 0 6EI 4EI 0 2 L L
EA 0 0 L 0 0 37123'1 12EI 6EI 0 k ' jj2 k jj2 0 2784'2 7875 3 2 L L 7875 29698'4 0 6EI 4EI 0 2 L L
EA 0 0 L 0 0 37123'1 12 EI 6 EI T T 0 k 'ij 2 k ij 2 0 2784'2 7875 k ' ji 2 k ji2 L3 L2 7875 14849'2 6EI 2EI 0 0 2 L L
Sustituyendo Sustituyend o en (1) tendremos la matriz k’ll: 38945'8 5721'5 4989'1 K ll' 37123'1 0 0
5721'5 4989'1 37123'1 0 0 2784'2 7875 43960'1 8585'6 0 8585'6 54898'4 0 7875 14849'2 0 0 37123'1 0 0 2784'2 7875 0 2784'2 7875 7875 14849'2 0 7875 29698'4
(2)
4.5 For ormac mación ión del vec vecttor de c arga gas s tot ota ales El vector de cargas totales se obtiene a partir del vector de cargas directas sobre los nudos y del vector de cargas equivalentes. Vector de cargas directas sobre los nudos nudos (1 y 3): Sobre el nudo 1 actúa la carga puntual que descomponemos descomponemos en ejes globales (ver figura 2) y sobre el nudo 3 tenemos las reacciones. En la dirección X, por haber un muelle, la reacción será el producto de la constante de dicho muelle por el movimiento en su dirección con signo negativo. 70'7 70'7 0 QDl 10000 dx 3 Ry 3 RM3
(3)
Vector de cargas equivalentes sobre los nudos (1 y 3): Este vector se forma con los esfuerzos de empotramiento perfecto o reacciones en los apoyos de cada barra cargada aislándola de la estructura. En este ejemplo únicamente está cargada la barra 1, por tanto, las componente componentess de este vector serán:
Q 'ie1 Q j'e2 Qi'1e 'e Q l Qi'e2 0
(4)
Siendo Q'ie1 el vector de reacciones en el extremo i de la barra 1, que es el extremo concurrente en el nudo 1. Para obtener las tres componentes de este vector debemos proyectar la carga de 12 kN/m sobre los ejes locales de la barra, obtener las reacciones en ejes locales (figura 3) y, posteriormente, transformar de nuevo a ejes locales para incorporarlo al vector de cargas equivalentes. 5’7 6 · L / 2 = 14’4 kN
14’4 kN
-24 kN
5 · 0 ' 7 68 · L / 8 = - 2 ' 4 T
Y
Y
p = 1'2 T/m P=12 kN/m
Y 0 ' 76 8 · L ² / 8 = - 2 ' 4 m T
24 kN
P x= 5’76 kN/m
X
sen = 0'8 cos = 0'6
Py= 7’68 kN/m
5’7 6 · L / 2 = 14’4 kN
14’4 kN
X
3 · 0 ' 7 6 8 · L / 8 = - 1 ' 44 T
-14’4 kN
Fig ur ura a 3. V ec tor de reac c iones en llos os ext extrremos de la b arr arra a 1 ( ejes lloc oc ales) ales)
Las componentes del vector de reacciones en los extremos de la barra 1en ejes locales son: Extremo i:
14'4 Q 24
Extremo j:
e i1
24
14'4 Q 14'4 0 e j1
Las componentes del vector de reacciones en los extremos de la barra 1en ejes globales son: Extremo i:
Extremo j:
cos 1 sen1 0 0'141 0'9899 0 14'4 21'7 e Q' sen1 cos 1 0· Qi1 0'9899 0'141 0 24 17'6 0 0 0 1 0 1 24 24 e i1
0'141 0'9899 0 14'4 12'2 cos 1 sen1 0 e Q' sen1 cos 1 0· Qi1 0'9899 0'141 0 14'4 16'3 0 0 0 1 0 1 0 0 e j1
Por tanto, el vector de cargas equivalentes correspond correspondientes ientes a los nudos 1 y 3 será, sustituyendo en (4): 21'7 17'6 24 Ql'e 0 0 0
(5)
Vector de cargas totales sobre los nudos (1 y 3): Se obtiene restando del vector de cargas directas el vector de cargas equivalentes, ya que las componentes del vector de cargas equivalentes pasan al los nudos adyacentes a las barras con el mismo valor pero signo contrario. 70'7 21'7 92'4 70'7 17'6 88'3 0 24 24 'e QTl QDl Ql 10000 dx 3 0 10000 dx 3 0 Ry 3 Ry 3 RM3 RM3 0
(6)
4.6 Obt btenc ención ión de los movimient movimientos os de los nudos nudos Los movimientos independientes asociados a los nudos son las incógnitas de la ecuación matricial de equilibrio del Método de Rigideces, ecuaciones cargasmovimientos.
Q Tl K ll'· ql
(7)
Sustituimos, por tanto, en esta ecuación, la matriz de rigidez (2) y el vector de cargas totales (6), siendo q l el vector de movimientos en los nudos 1 y 3.
9'24 38945'8 8'83 5721'5 4989'1 2'4 1000 dx 3 37123'1 0 Ry 3 0 RM3
4989'1 37123'1 0 0 dx1 8585'6 2784'2 7875 dy1 0 54898'4 0 7875 14849'2 1 0 37123'1 0 0 dx 3 7875 0 2784'2 7875 dy 3 14849'2 0 7875 29698'4 3
5721'5 43960'1 8585'6 0 2784'2 7875
Eliminamos las filas y columnas 5ª y 6ª, puesto que los movimientos correspondientes correspondie ntes son nulos, y pasamos la constante del muelle al otro miembro (sumando al término correspondiente correspondiente de la diagonal principal de la ecuación 4ª)
92'4 38945'8 5721'5 4989'1 37123'1 dx1 88'3 5721'5 43960'1 8585'6 dy 0 1 24 4989'1 8585'6 54898'4 1 0 0 0 47123'1 dx 3 0 37123'1 El valor de los movimientos según los ejes globales X' e Y' adoptados es el siguiente: dx1 = -1’24· 10-2 m dx3 = -9’84· 10-3 m
dy1 = -3’88 · 10-3 m
1 = -1’3 · 10 -3 rad
Si quisiéramos conocer el valor de los movimientos del nudo 1 según unos ejes X''Y'', horizontal y vertical respectivamente, haríamos la transformación de ejes (figura 4), siendo el ángulo de la transformación el medido desde X’’ a X’ en sentido antihorario (sentido positivo). Y'' X' 1 3 5 º
Y''
''1 = T · '1
º 4 5
X''
X'' Y'
Fi Figg ura 4. Á Áng ng ulos ulos para lla a transf transformac ormac ión de ejes de los movimi movimientos entos de dell nudo 1. Movimientos del nudo 1 según los ejes X’’-Y’’:
dx1'' 0'707 0'707 0 1'24 10 2 1'15 10 2 m '' 3 3 dy1 0'707 0'707 0 3'88 10 6'02 10 m 1'' 0 0 1 1'3 10 3 1'3 10 3 rad
4.7 Obt btenc ención ión de los esf esfuer uerzos zos de ext extrremo de ba barrra y de las reacciones en los apoyos Una vez calculados los movimientos de los nudos 1 y 3 podemos obtener los esfuerzos en las barras sustituyendo el valor de éstos en las ecuaciones cargasmovimientos de las barras en ejes globales y luego transformándolos a ejes locales. se hande obtenido lospara esfuerzos enlos undel extremo pueden utilizarse tambiénCuando las ecuaciones equilibrio obtener otro extremo.
Las reacciones en el apoyo 2 coinciden con los esfuerzos del extremo final de la barra 1 en globales y las reacciones en el nudo 3 con los esfuerzos en el extremo inicial de la barra 2. Barra 1: esfuerzos de extremo de barra y reacciones en el nudo 2 Extremo inicial i: Q'i1 = k'ii1 · q1 + k'ij1 · q2 + Q i'1e = 1822'7 5721'5 4989'1 1'24 10 2 21'7 27'8 Q'i1 5721'5 41175'9 710'6 3'88 10 3 17'6 70'3 4989'1 710'6 25200 1'3 10 3 24 7'86 En ejes locales los esfuerzos en el extremo i de la barra 1 son: 0'141 0'9899 0 27'8 73'5 Qi1 = T · Q' 0'9899 0'141 0· 70'3 17'6 0 0 1 7'86 7'86 T
i1
Extremo final j: Q' j1 j1 = k' ji1 ji1 · q1 + k' jj1 jj1 · q2 +
1822'7 Q' j1 5721'5 0
Q j'e1 =
4989'1 1'24 10 2 12'2
5721'5
6'1 Rx 2
41175'9 710'6 3'88 1033 16'3 104'2 Ry 2 0 0 1'3 10 0 0 RM2
En ejes locales los esfuerzos en el extremo j de la barra 1 son: 0'141 0'9899 0 6'1 102'3
Q j1 = TT· Q' j1 j1 Qi1 = T T· Q'i1 0'9899 0'141 0· 104'2 20'8
0
0
1 0 0
Los esfuerzos en el extremo final j podrían haberse obtenido por equilibrio de fuerzas en la barra. Planteamos el equilibrio en ejes locales de barra y comprobamos que coinciden con los obtenidos anteriormente (figura 5): Fx j1 102'3 kN Fx 0 73'5 5'76· 5 Fx j1 0 Fy j1 20'8T Fy 0 17'6 7'68· 5 Fy j1 0 2
Mj 0 7'86 17'6· 5 7'68· 52 M j1 0
M j1 0mT 7'35 73’5T kN
Py= 7’68 kN/m
/ m T 8 6 7 ' 0
P x= 5’76 kN/m
1'36 T
m T / 6 7 5 ' 0
X
Y
10'23 T
102’3 kN
17’6 kN
0'786 kNm mT 7’86
2'08 T
0 mT
20’8 kN
Fig Fig ura 5. Equil Equilibri ibrio o e n la la b arra 1 ((ejes ejes lloc oc ales). ales). Si quisiéramos obtener las reacciones en el nudo 2 según los ejes X''-Y'' (horizontal y vertical, respectivamente) haríamos la transformación de ejes siguiente:
Rx 2 0'707 0'707 0 6'1 78'02 Rx '2' '' Ry 2 T Ry 2 0'707 0'707 0· 104'2 69'36 RM2 0 RM'2' 0 1 0 0
La reaccióndx horizontal en el nudo 3, Rx3, se obtiene directamente, a partir del movimiento 3 puesto que hay un muelle. Será: Rx3 = -10000 dx 3 = 98 kN Los esfuerzos de extremo de la barra 2 se obtendrían de forma similar o bien mediante equilibrio de fuerzas en el nudo 1 y luego en la barra, obteniendo también así las reacciones Ry3 y RM3.
5 Cierre En este documento hemos una estructura mediante el Método de Rigideces. Se propone, como ejercicio de aplicación y autoevaluación, resolver la estructura de la figura 6, obteniendo los movimientos del nudo A y las reacciones en B y C. B 2 Datos: E =1:210000 =N/mm barra 20 mm barra 2: A = 62.6 cm2 I = 11770 cm4
3m
1
90 kN 2
C
A 4m
Fig ura 6. Es Estr truc uc tur tura a p ropuesta (Resultado: Si asignamos el giro de B al extremo de la barra 1 tendremos como incógnitas los movimientos del nudo A: dxA = 2’92·10-4m, dyA=-1’55·10-2m, A=5.83·10-3 rad, RxC -96 kN, RyC 18kN, RMC -72 kNm, RB(en la dirección de la barra 2) 120kN) ≈
≈
≈
≈
6 Bibliografía 6.1 Libros: [1] Samartin A., González J.R. “Cálculo Matricial de Estructuras”. Ed. Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Madrid, 2001.
6.2 Figuras: Autora de las figuras: Luisa Basset Figura 1. Esquema de la estructura. Figura 2. Modelización de la estructura Figura 3. Vector de reacciones en los extremos de la barra 1 (ejes llocales) ocales) Figura 4. Ángulos para la transformación t ransformación de ejes de los movimientos del nudo 1 Figura 6. 5. Estructura Equilibrio en la barra 1 (ejes locales). propuesta
