El método de los elementos finitos aplicado al análisis estructural

,

EL METODO DE LOS ELEMENTOS , FINITOS APLICADO ALANALISIS ESTRUCTURAL

,

MANUEL VAZQUEZ

Doctor Ingeniero Aeronáutico Universidad Politécnica de Madrid ,

,

ELOISA LOPEZ

Doctora en Ciencias Físicas Universidad Complutense de Madrid

Editorial Noela - MADRID

,

Indice

Prólogo

XI

Conceptos básicos

1

1.1.

Introducción

1

1.

CONCEPTOS DE ELASTICIDAD

1

1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

1 2 4 5

Capítulo 1.

n.

III.

Capítulo 2. 2.1.

Ecuaciones de equilibrio Relaciones esfuerzos-deformaciones Relaciones deformaciones-desplazamientos Problema elástico •

CONCEPTOS ENERGETICOS

7

1.6. Teorema de los trabajos virtuales 1.7. Principio de la energía potencial total

7 8

•

CONCEPTOS MATEMATICOS

10

1.8. Coordenadas naturales 1.9. Jacobiano 1.10. Integración numérica

10 17 20

Fundamentos del MEF

31

Introducción

31 ,

1.

n.

DESCRIPCION DEL MEF

31

2.2. Fases del método 2.3. División en elementos finitos 2.4. Vector de desplazamientos del elemento 2.5. Matriz de rigidez del elemento 2.6. Matriz completa de rigidez de la estructura 2.7. Respuesta de la estructura

31 32 35 38 42 46

•

ANALISIS DEL MEF

48

2.8. 2.9. 2.10. 2.11.

48 51 56 57

Condiciones de las funciones de desplazamientos Criterios de convergencia Equilibrio de la estructura Estabilidad de los elementos ,

III.

,

FORMULACION DEBIL

58

2.12. Método de Rayleigh-Ritz

58

2.13. Métodos de los residuos ponderados

60

VII

•

VIII

INDICE

Barras y estructuras articuladas

63

3.1. 3.2.

Introducción Ecuación diferencial de gobierno

63 63

1.

PLANTEAMIENTO y DESARROLLO DEL MEF 3.3. Matriz completa de rigidez 3.4. Vector de fuerzas nodales equivalente 3.5. Respuesta de la barra 3.6. Estructuras articuladas

65 65 74 77 92

11.

ELEMENTOS DE GRADO SUPERIOR 3.7. Elemento cuadrático 3.8. Elementos cúbico y de grado n - 1

97 97 102

III.

FORMULACIÓN DÉBIL 3.9. Método de Rayleigh-Ritz 3.1 O. Métodos de los residuos ponderados

108 108 114

Vigas y estructuras reticuladas

127

Introducción Ecuación diferencial de gobierno Función de desplazamientos Matriz completa de rigidez Vector de fuerzas nodales equivalente Vigas de un solo tramo Vigas continuas Estructuras reticu1adas Método de Rayleigh-Ritz

127 127 129 134 137 143 156 162 176

Estructuras bidimensionales

181

5.1. 5.2.

Introducción Elasticidad bidimensional

181 182

1.

ELEMENTO TRIANGULAR DE TRES NODOS 5.3. Funciones de desplazamientos 5.4. Matriz de rigidez del elemento 5.5. Vector de fuerzas nodales equivalente 5.6. Matriz completa de rigidez de la estructura 5.7. Respuesta de la estructura

186 186 191 195 199 205

11.

ELEMENTO RECTANGULAR DE CUATRO NODOS 5.8. Funciones de desplazamientos 5.9. Matriz de rigidez del elemento 5.10. Vector de fuerzas nodales equivalente 5.11. Matriz completa de rigidez de la estructura 5.12. Respuesta de la estructura

214 214 218 219 221 226

III.

ELEMENTOS DE GRADO SUPERIOR 5.13. Elementos lagrangianos 5.14. Elementos serendípitos

233 233 241

Capítulo 3.

Capítulo 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9.

Capítulo 5.

, INDICE

Capítulo 6. 6.l.

IX

Estructuras tridimensionales

245

Introducción

245 ,

1.

ELEMENTO TETRAEDRlCO DE CUATRO NODOS 6.2. Funciones de desplazamientos 6.3. Matriz de rigidez del elemento 604. Vector de fuerzas nodales equivalente

245 245 250 255

n.

ELEMENTO HEXAÉDRlCO DE OCHO NODOS 6.5. Funciones de desplazamientos 6.6. Matriz de rigidez del elemento 6.7. Vector de fuerzas nodales equivalente

259 259 261 265

Placas delgadas

269

Introducción Ecuación diferencial de gobierno Matriz de rigidez del elemento Respuesta de la placa Elemento rectangular de 12 g.d.!. Otros elementos rectangulares Elemento triangular de 10 g.d.!. Otros elementos triangulares

269 269

Capítulo 7. 7.l.

7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

7.7. 7.8.

274 277

279 300 302 312

.

Capítulo 8. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Capítulo 9. 9.1.

9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6.

Capítulo 10. 10.1. 10.2. 10.3. lOA.

10.5. 10.6. 10.7. 10.8.

Estructuras axisimétricas

315

Introducción Elasticidad axisimétrica Elemento triangular de tres nodos Elemento rectangular de cuatro nodos

315 315 318 335

Formulación isoparamétrica

343

Introducción Elementos de barra Elemento cuadrilateral de cuatro nodos Elementos cuadrilaterales curvos Elementos triangulares Elemento hexaédrico de ocho nodos

343 344

Cálculo dinámico Introducción Ecuación matricial de equilibrio dinámico Matrices de masa, amortiguamiento y rigidez Modos y frecuencias naturales Método de Jacobi generalizado Métodos de iteración Método de superposición de modos naturales Método de las diferencias finitas

353 372

374 379 383 383 383 386

394 402 404 405 411

, INDIcE

x

413

Apéndices

A.

B.

c.

D. E.

•

Algebra matricial Al. Introducción A.2. Definiciones A3. Matrices especiales AA. Suma, resta y multiplicación por un escalar A.5. Multiplicación de matrices A6. Determinante de una matriz A.7. Rango de una matriz A8. Matriz inversa A9. Partición de matrices A10. Matriz de rotación

415 415 415 416 418 419 422 424 425 427 428

Método de las diferencias finitas B.1. Introducción B.2. Diferencias finitas B.3. Derivadas de una función F (x) BA. Derivadas parciales de una función F (x, y) B.5. Coordenadas triangulares

431

Método de los desplazamientos C.1. Introducción C.2. Relaciones entre solicitaciones y desplazamientos C.3. Descripción del método CA. Matriz de rigidez de una barra C.5. Matriz completa de rigidez de la estructura C.6. Respuesta de la estructura

451 451 451 453 466 474 482

Bibliografía

493

,

Indice de materias

431 431 432 440 447

495

Prólogo

El método de los elementos finitos (MEF) es una de herramienta muy útil en la resolución de un gran número de problemas de ingeniería, tales como los derivados del análisis de la deformación de los cuerpos, la transmisión del calor, las redes eléctricas y los movimientos de los fluidos. En este libro nos limitaremos al primero de los problemas y, en consecuencia, aplicaremos el método de los elementos finitos al cálculo de estructuras. El libro El método de los elementos finitos aplicado al análisis estructural forma parte de una colección orientada al estudio de las estructuras que se inició con Mecánica para Ingenieros -Estática- en el año 1971 (5 ediciones), continuó en 1986 con Resistencia de Materiales (4 ediciones), Cálculo matricial de estructuras (2 ediciones) en 1992 y, finalmente en 1993, Mecánica para Ingenieros -Estática y Dinámica- (2 ediciones). Todos estos libros, al igual que el que hoy se presenta, tienen un enfoque común, que combina las exposiciones teóricas con ejemplos de alto grado de detalle. La relevancia otorgada a los ejemplos facilita, desde nuestro punto de vista, la comprensión de las exposiciones, aminorando así la aridez propia de la materia. Los conceptos mínimos de Elásticidad, teoremas energéticos y cálculo numérico son resumidos en el primer capítulo de Conceptos básicos. A continuación, en el segundo capítulo se expone la descripción y el análisis del método de los elementos finitos que se aplicará a lo largo del resto del libro. En los capítulos 3 al 8 se aplica el método de los elementos finitos a los siguientes tipos de estructuras: Barras y estructuras articuladas, Vigas y estructuras reticuladas, Estructuras bidimensionales, Estructuras tridimensionales, Placas delgadas y Estructuras axisimétricas. En todos estos capítulos se comienza con las ecuaciones diferenciales de la Resistencia de Materiales o de la Teoría de la Elasticidad que gobiernan el funcionamiento de cada uno de los tipos de estructuras. A continuación se prosigue aplicando a cada una de esas estructuras las distintas fases del método: División en elementos finitos, Vector de desplazamientos del elemento, Matriz de rigidez del elemento, Matriz completa de rigidez de la estructura y Respuesta de la estructura. En algunos ejemplos se comprueba la aproximación que se consigue en la respuesta de la estructura obtenida por el MEF, respecto de la que se considera exacta conforme a la Resistencia de Materiales o la Teoría de la Elasticidad. Se comprueba además, en esos ejemplos, que esa aproximación es tanto mayor cuanto mayor es el número de elementos finitos en que se divide la estructura. En los capítulos 3 y 4 se aplica la formulación débil del MEF, que utiliza principios energéticos, a barras • y vigas. XI •

XII

PRÓLOGO

En el capítulo 9 se analiza la Formulación isoparamétrica por su importancia para la utilización de elementos curvilíneos que se adaptan mejor a los contornos de • la estructura. El capítulo 10, último del libro, se refiere al Cálculo dinámico, debido a la importante aplicación que el MEF tiene en la resolución de los problemas que presentan las cargas dinámicas en las estructuras. Se incluyen en este capítulo los métodos de Jacobi generalizado, de iteración, de superposición de modos naturales y de diferencias finitas. Los diez capítulos del libro se complementan con tres apéndices. El apéndice A , es un pequeño resumen del AIgebra matricial cuyos conceptos resultan imprescindibles para el lector de este libro. El apéndice B, Método de las diferencias finitas, expone el método incluyendo ejemplos muy conceptuales. El apéndice e, Método de los desplazamientos, a través de su desarrollo matricial, constituye un caso particular del MEF y supone una introducción al mismo. Se conserva la primera persona del plural en la presentación de este libro a sus lectores, pese a que la muerte del autor Manuel Vázquez precede a su publicació,n. Se hace así porque en el ofrecimiento de la obra a sus lectores, en la confianza y 'el deseo de que les sea provechosa y amplíe sus conocimientos, se prolonga la cerrada compañía que presidió su escritura. Los autores agradecen la acogida que han tenido los anteriores libros de la colección y esperan que también la tenga El método de los elementos finitos aplicado al análisis estructural, que nace con el nuevo milenio. Madrid, marzo de 2001 MANUEL

V ÁZQUEZ

ELOÍSA LÓPEZ

•

1. ,

CONCEPTOS BASICOS

,

1.1. INTRODUCCION La Teoría de la Elasticidad determina el comportamiento de una estructura ante las cargas mediante la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales, llamados ecuaciones de campo o de gobierno, complementados por las condiciones de contorno o de sustentación. Los métodos tradicionales de cálculo de estructuras utilizan la Resistencia de Materiales que añade hipótesis simplificatorias a la Teoría de la Elasticidad para resolver las ecuaciones de gobierno, obteniéndose unas soluciones que se consideran exactas. Sin embargo, estos métodos tradicionales de cálculo normalmente solo se pueden aplicar a estructuras articuladas y reticuladas. En estructuras mas complejas como las estructuras continuas es necesario aplicar métodos aproximados como el Método de los elementos finitos. Después de dividir la estructura en partes, llamadas elementos finitos, interconectadas entre sí, el método de los elementos finitos reduce el problema elástico a la resolución de un sistema de ecuaciones algebraicas. Este método se basa en una serie de conceptos que se agrupan en los apartados siguientes' Conceptos de Elasticidad. lI. Conceptos energéticos. lII. Conceptos matemáticos.

1.

I. CONCEPTOS DE ELASTICIDAD , ,

,

1.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO Sea un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas aplicadas cualesquiera (Fig. 1.1a) y sea O el punto del cuerpo cuyos estados de esfuerzos y de deformaciones estamos considerando. Eligiendo el punto O como origen del triedro de ejes coordenados x, y, z, el estado de esfuerzos en el punto O esta definido por el vector de esfuerzos

(1.1)

1

P3

z

y

Fig. 1.1(a).

2

CONCEPTOS BÁSICOS

z

O"y

'yx

'Xl' 'n

O 'tyz

Y

'z< a,

Fig.1.1(b).

formado por los esfuerzos normales a x , ay, a z y los esfuerzos cortantes Txy , Tyz , Tzx (Fig. 1.Ib). Estas seis componentes constituyen las componentes del estado de esfuerzos en el punto considerado. A continuación se aísla del cuerpo un elemento de volumen diferencial en forma de paralelepípedo recto con vértice en el punto 0, origen de un sistema de ejes coordenados coincidentes con las aristas del paralelepípedo. Cuando se reducen las dimensiones del paralelepípedo, manteniéndolo semejante a sí mismo, el paralelepípedo tiende al punto O.

El paralelepípedo elemental (Fig. 1.2) estará en equilibrio bajo la acción de las fuerzas que actúan sobre cada cara y de las fuerzas de volumen q dx dy dz, tal como el peso del paralelepípedo. Estableciendo las ecuaciones de la Estática ~x = O, ~y = O, ~z = O, se obtienen las ecuaciones de equilibrio del paralelepípedo z

a,

8a x 8x 8Txy 8x

8Tyx 8y

+ +

8a y 8y

+

8Tyz 8y

°

+

8Tzx 8z

_ + qx -

+

8Tzy 8z

_ + qy -

°,

8a z 8z

+ qz

o.

,

(1.2)

y

,

8Txz 8x

dy

+

=

x

••

Fig. 1.2.

Las ecuaciones Estática las relaciones Tyz

~Mx

= O,

= Tzy ,

~My

= O,

= Txz ,

Tzx

~Mz

Txy

= O, permiten determinar

= Tyx ,

(1.3)

que son la expresión analítica del teorema de Cauchy. Este teorema reduce a 6 las componentes independientes de esfuerzos que son las componentes que intervienen en el vector de esfuerzos {al 1.3. RELACIONES ESFUERZOS-DEFORMACIONES

Asimismo, el estado de deformaciones en el punto O (Fig. 1.3) está definido por el vector de deformaciones

{é}

.

= [Ex Ey Ez IXY IYz IzxJ

T

,

(1.4)

•

RELACIONES ESFUERZOS. DEFORMACIONES

3

formado por las deformaciones lineales Ex, Ey , EZ y las deformaciones angulares IXY' IYZ' IZX' que constituyen las componentes del estado de deformaciones en el punto. Cuando el cuerpo es de un material isótropo y linealmente elástico satisface la ley de Hooke generalizada que determina las componentes del estado de deformaciones en función de las componentes del estado de esfuerzos z

Yyz

_2 Yzx • • • •

•

(1.5)

T xy IXY =

• Ez : • • • • • •

...

G '

~}'

Q!'

~z ,........-y

T yz IYz

=

G '

Yzx 2

T ZX

IZX

'0'

"fE

= G .

2

Fig. 1.3.

Al ser E/G = 2(1 + v), las anteriores relaciones tienen solamente dos coeficientes independientes. De las ecuaciones (1.5) se deducen las ecuaciones de Lamé que determinan las componentes del estado de esfuerzos en función de las componentes del estado de deformaciones

+ Ey + Ez ) + 2p,E x A(cx + Cy + Ez ) + 2p,E y A(E x + Ey + Ez ) + 2p,E z

CJ x

= A(E x

CJ y

=

CJ z

=

(1.6)

T xy

= G ,xy

T yz =

G ,yz

=

G ,ZX

T zx

\ ,

siendo A y p, los coeficientes de Lamé A=

vE

(1+v)(1-2v) ,

E

-G - 2(1+v) - .

p,-

Las ecuaciones (1.6) pueden expresarse en la forma matricial

{o} = [D]{é}

(1. 7)

4

CONCEPTOS BÁSICOS

donde [D] es la matriz esfuerzos-deformaciones o matriz constitutiva

v)

(1 -

v

[D] _ E - (1+v)(1-2v)

v

O

O

O

O

!I

O

O

O

(1 - v)

O

O

O

O

(1 - 2v) 2

O

O

O

(1 - 2v) 2

O

O

(1 - 2v) 2

v)

(1 v

v

O O

O O

O

O

O

O

(1.8)

que es una matriz simétrica, función del módulo de elasticidad y del coeficiente de Poissón del material. En el caso mas general de materiales anisótropos, la matriz constitutiva [D] contiene 21 coeficientes independientes. Cuando en un cuerpo existen inicialmente esfuerzos {uo} y deformaciones {Ea} que son anteriores a la aplicación de las cargas, la ecuación (1.7) se amplia a

{u}

=

(D] ({E} - {Ea}) + {uo} '.

(1.9)

En un material isótropo, una variación uniforme de temperatura Ilt origina las deformaciones iniciales

{Ea} = [allt allt allt O O

ot,

(1.10)

siendo a el coeficiente de dilatación lineal del material.

1.4. RELACIONES DEFORMACIONES-DESPLAZAMIENTOS Entre las componentes del estado de deformaciones en un punto y las componentes del desplazamiento de ese punto, u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z), existen las relaciones de compatibilidad de las deformaciones

Ex

ou ov = ox' Ey = oy'

Ez

ow = oz (1.11 )

IXY

ou = oy

+

ov ox'

IYz

ov = oz

+

oW oy'

IZX

OW = ox

+

OU oz .

PROBLEMA ELÁSTICO

5

Estas relaciones se pueden expresar matricialmente en la forma

ex

a ax

o

o

o

a ay

o

o

a az

ey ez

o -

a ay

"/xy "/yz

a ax a az

o

"/zx

a az

u v

o

,

(1.12)

w

a ay a ax

o

es decir

{é} = [8]{u} ,

(1.13)

siendo [8] el operador matricial a ax

o

o

o

a ay

o

o

a az

o

[8] =

a ay

o a az

a ax a az

(1.14)

o a ay a ax

o

formado por operadores en derivadas parciales y {u} el vector de desplazamientos u

{u}= v

(1.15)

.

w ,

1.5. PROBLEMA ELASTICO El análisis del comportamiento de una estructura frente a las fuerzas aplicadas lleva consigo la resolución del problema elástico que consiste en determinar en cada uno de los puntos de la estructura las 15 magnitudes siguientes:

6 componentes del estado esfuerzos: CT x , CT y , CT z , T xy , T yz , T zx 6 componentes del estado de deformaciones: ex, e y , e z , "/xy, 3 componentes del desplazamiento: u, v, w

,,/yz, "/zx

6

CONCEPTOS BÁSICOS

Estas 15 magnitudes están relacionadas entre sí mediante 15 ecuaciones que son el fundamento de la Teoría de la Elasticidad: 3 ecuaciones de equilibrio (1.2) 6 ecuaciones que relacionan esfuerzos y deformaciones (1.6) 6 ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones (1.11) Al resolver este sistema de 15 ecuaciones en derivadas parciales hay que tener en cuenta las condiciones de contorno que comprenden dos tipos de prescripciones:

a) desplazamientos conocidos debido a la actuación de los enlaces. b) esfuerzos conocidos originados en las proximidades de las fuerzas aplicadas. A veces interesa expresar las ecuaciones de equilibrio en función de los desplazamientos y a las ecuaciones diferenciales resultantes se las denomina ecuaciones diferenciales de gobierno. La solución del problema elástico es única y solamente puede hallarse de forma exacta en casos particulares mediante la Teoría de la Elasticidad. Por el contrario, la Resistencia de Materiales resuelve el problema elástico de forma más simple utilizando, usualmente, métodos aproximados a partir de hipótesis simplificadoras. La unicidad de la solución es una consecuencia de que la energía de deformación es siempre positiva cuando existen fuerzas aplicadas sobre la estructura. En efecto, supongamos que a un sistema de fuerzas aplicadas {P} le corresponde en un punto O de la estructura un estado de esfuerzos U x , U Y ' U z , T xy , T yz , T zx Y que al mismo sistema de fuerzas {P} le corresponde, en el mismo punto 0, otro estado de esfuerzos diferente u~, u~, u~, T~y, T~z, T~x' Aplicando el principio de superposición, a un estado de fuerzas aplicadas {P} - {P} = O le correspondería en el punto un estado de esfuerzos no nulo

°

y, por tanto, una energía de deformación positiva. Tendríamos así un sistema de fuerzas nulo que aplicado sobre la estructura realizaría un trabajo nulo y en cambio la estructura almacenaría una energía de deformación positiva. Ello estaría en contradicción con el principio de conservación de la energía y, por consiguiente, la solución del problema elástico tiene que ser única. Cuando no existen fuerzas aplicadas sobre la estructura su energía de deformación es nula y son también nulos los esfuerzos en todos los puntos de la estructura. Sin embargo, hay casos en que pueden existir esfuerzos iniciales sin que haya fuerzas aplicadas sobre la estructura. En estos casos, si el principio de superposición es aplicable, los esfuerzos finales en el cuerpo elástico se hallan sumando los esfuerzos iniciales y los esfuerzos debidos a las fuerzas aplicadas que se obtienen resolviendo el problema elástico.

TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

7

•

11. CONCEPTOS ENERGETICOS 1.6. TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES El teorema de los trabajos virtuales establece que la condición necesaria y suficiente para que una estructura esté en equilibrio es que sea nula la suma de los trabajos que realizan todas las fuerzas que actúan en la estructura para cualquier conjunto de desplazamientos y deformaciones virtuales compatibles con sus enlaces (Fig. 1.4). Estos trabajos comprenden el trabajo que realizan las fuerzas externas a la estructura W e y el trabajo que realizan sus fuerzas internas W i . Por consiguiente (1.16) We + Wi = O .

El trabajo que realizan las fuerzas externas {Fe} cuando se producen unos desplazamientos virtuales {8;} compatibles con los enlaces es

'. o

•

....0 1

• 2

••

••

(1.17)

.- ...• ,•

... -: : • • -{o-}: ....:... ~

•

Las fuerzas internas de un paralelepípedo con vértice en uno de sus puntos son iguales y de sentido contrario a las .fuerzas externas que actúan sobre ese paralelepípedo, que son las originadas por el vector esfuerzos {o} en Fig. 1.4. ese punto. En consecuencia, el trabajo elemental dWi que realizan las fuerzas internas de un paralelepípedo elemental cuando se producen unas deformaciones virtuales {E *} compatibles con las desplazamientos virtuales {8*} es igual y de signo contrario a la suma de los trabajos realizados por las fuerzas originadas por los esfuerzos normales

y por las fuerzas originadas por los esfuerzos cortantes

-(Txy dxdy) rxy dz - (Tyz dydz) ryz dx - (Tzx dzdx) rzx dy.

,

Es decir y, por tanto

W i =-

{lO*}T{o}dV.

{8;}T{F e} -

{lO*}T{u}dV

(1.18)

v Sustituyendo las ecuaciones (1.17) y (1.18) en (1.16), se obtiene

v

=

O,

que es la expresión analítica del teorema de los trabajos virtuales.

(1.19)

8

CONCEPTOS BÁSICOS

Este teorema se puede utilizar para calcular la fuerza F j a aplicar en un punto determinado cuando se conoce la distribución de esfuerzos reales {u} de la estructura. Para ello consideramos un único desplazamiento virtual 8; manteniendo sin modificar los desplazamientos de los puntos de aplicación de las otras fuerzas de la estructura. En este caso la ecuación (1.19) se reduce a Fj

.8; =

v

{E*}T {u} dV.

(1.20)

Cuando la estructura es linealmente elástica, las deformaciones virtuales {E*} correspondientes al desplazamiento virtual único 8; son proporcionales a las deformaciones virtuales {lO~} correspondientes al desplazamiento virtual único 8; = 1, verificándose {lO*} = {lO~}8;, que sustituida en (1.20), determina la ecuación Fj =

v

{lO~}T {u} dV,

(1.21)

que representa el teorema del desplazamiento virtual unitario que se utiliza para determinar los coeficientes de rigidez de elementos estructurales bidimensionales y tridimensionales. ,

1. 7. PRINCIPIO DE LA ENERGIA POTENCIAL TOTAL

La suma de la energía potencial V de las fuerzas externas que actúan sobre una estructura y de su energía de deformación U se denomina energía potencial total cP de la estructura. Es decir, cP=V+U.

(1.22)

Considerando que la energía potencial de las fuerzas externas es cero cuando la estructura no se ha deformado, la energía potencial de las fuerzas externas en la estructura deformada es (1.23)

que equiv'11e a la capacidad que tienen las fuerzas externas de realizar trabajo durante los desplazamientos, manteniéndose las fuerzas externas constantes e iguales a sus valores finales. Si {u} es el vector de esfuerzos y {E} el vector de deformaciones correspondientes a un punto interior de la estructura, la energía de deformación de la estructura es 1 U=2

o sea (1.24)

PRINCIPIO DE LA ENERGÍA POTENCIAL

9

En consecuencia, la energía potencial total cj> de la estructura es

v

{E}T{o}dV.

(1.25)

Consideremos ahora que la estructura experimenta, a partir de la configuración de equilibrio, unos desplazamientos virtuales {15;} y unas deformaciones también virtuales {E*} compatibles con los enlaces adquiriendo una configuración diferente a la del equilibrio inicial. Estos desplazamientos y deformaciones virtuales producen una variación de la energía potencial total, definida por dcj> = _{15;}T {Fe}

+

v

{u}T {E*} dV,

ya que tanto las fuerzas {Fe} como los esfuerzos {u} permanecen constantes durante este proceso de cambio en la configuración de la estructura. El teorema de los trabajos virtuales, ecuación (1.19), exige que se verifique dcj> = O,

(1.26)

según la cual, cuando se somete a una estructura a unos desplazamientos y deformaciones virtuales compatibles con los enlaces, la variación de la energía potencial total es nula. Este principio de la energía potencial total permite conocer los desplazamientos de una estructura en equilibrio y, por tanto, la configuración de la estructura deformada, cuando esta configuración depende únicamente de los desplazamientos {15} de n puntos determinados de la estructura. Para ello se le da a uno de esos puntos un desplazamiento diferencial virtual do;: sin modificar los n - , 1 desplazamientos restantes. Como la modificación de la energía potencial total ha de ser nula, resulta ocj>

OOi = O .

(1.27)

Haciendo i = 1,2, ... , n se obtiene un sistema de n ecuaciones que permiten calcular los n desplazamientos {15} y con ello la configuración de la estructura deformada. La ecuación (1.27) es la expresión analítica del principio de la energía potencial total, según el cual, de todas las posibles configuraciones de una estructura deformada compatibles con los enlaces, a la configuración de equilibrio le corresponde una energía potencial estacionaria. Esta energía potencial estacionaria es mínima o máxima según que la configuración sea de equilibrio estable o inestable, respectivamente. Este principio es válido tanto para estructuras lineales como no lineales.

10

CONCEPTOS BÁSICOS

•

lII. CONCEPTOS MATEMATICOS 1.8. COORDENADAS NATURALES Las coordenadas adimensionales que definen la posición de un punto se denominan coordenadas naturales. Según que estas coordenadas se determinen mediante relaciones de longitudes, de áreas o de volúmenes se denominan coordenadas de longitud, de área o de volumen. A. Coordenadas de longitud Sea una línea recta limitada por los puntos extremos 1 y 2 Y sea P un punto cualquiera definido por su coordenada cartesiana x (Fig. 1.5a). La posición del punto P se determina en un sistema de coordenadas naturales 6,6, llamadas coordenadas de longitud, mediante las relaciones de longitudes LI

6 L

I

I

es decir

I--~.----.--.

O

1

I

-/

P I

L2

Xl

x

X2 -

6

2

L¡

L

=

é ---_

/

Fig. 2.10.

Fig. 2.11.

VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DEL ELEMENTO

35

En cualquiera de los tres tipos de elementos finitos considerados, los nodos pueden estar situados no solo en los vértices sino también en los lados y en el inte\ __ 0 - - h-rior del elemento (Fig. 2.12), lo que supone ~ --...., un considerable aumento de complejidad en el estudio del elemento y, en consecuencia, la exigencia de utilizar programas mas avanzados de ordenador. Fig. 2.12. Mientras que los problemas estructurales unidimensionales se resuelven frecuentemente por métodos analíticos, en los problemas bidimensionales y tridimensionales la aplicación del método de los elementos finitos se ha hecho totalmente necesaria. I

I

/

2.4. VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DEL ELEMENTO Esta fase del MEF determina el vector de desplazamientos del elemento que permite conocer de forma aproximada los desplazamientos en cualquier punto del elemento.

A. Funciones unidimensionales Sea, por ejemplo, un elemento finito unidimensional de longitud L con nodos en sus extremos (Fig. 2.13a). Siendo los desplazamientos UI Y U2 de sus nodos 1 y 2 los únicos parámetros nodales, los grados de libertad del elemento son 2. El desplazamiento de un punto cualquiera del elemento puede expresarse aproximadamente utilizando la función de desplazamientos U(x)

= al

+ a2X,

(2.1)

que es un polinomio con un número de parámetros ai igual a 2 que es el grado de libertad del elemento. Estos parámetros ai se obtienen particularizando la expresión anterior en los nodos,

1

y

I 1

I I

ul

2

,

I

I I

.1 XI

,1 X

~

Uz

,

1 1 1

•I

1 X

z Fig. 2.13 (a).

resultando X2U1 -

X1 U 2

-U1

+ U2 L

L

•

Al sustituir estos valores en (2.1), se obtiene u(x)

=

N1U1

+ N2U2,

(2.2)

36

FUNDAMENTOS DEL MEF

es decir

u(X)

, U~I

F'-'

U(X)

siendo NI Y N 2 las funciones de interpolación del elemento

I I I I I I I

I I I I 2

1

I

, (2.3)

1

X2

NI =

-x _ L ' N2 -

-Xl

L

+X

.

(2.4)

x

La ecuación (2.3) puede expresarse en la forma

Xl

11...-

.......

I

.1

'-'

X2

donde

(h)

es el vector de desplazamientos del elemento { U e}

{U e } = U(X),

1 1

{be} es el vector de parámetros nodales del

2

elemento

,

1

2

1

(e)

(2.6)

(2.7)

[N el es la matriz de interpolación del elemento

Fig. 2.13 (b) Y (e).

En resumen, al suponer que los desplazamientos u(x) varían linealmente entre los desplazamientos nodales Ul Y U2 (Fig. 2.13b), las funciones de interpolación Ni permiten calcular el desplazamiento de un punto cualquiera del elemento en función de los desplazamientos nodales.

La función de interpolación Ni determina los desplazamientos de los puntos del elemento cuando se le da un valor unidad al desplazamiento del nodo i manteniendo nulo el desplazamiento del otro nodo. Asimismo, la representación de la función Ni coincide con la forma que adquiere el elemento como consecuencia de los anteriores desplazamientos, tomados en dirección perpendicular al elemento (Fig. 2.13c). Por esta razón, se les llama funciones de forma a las funciones de interpolación Ni y matriz de forma a la matriz de interpolación [N el.

VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DEL ELEMENTO

37

B. Funciones bidimensionales Consideremos como elemento bidimensional un elemento triangular con un nodo en cada vértice y desplazamientos UI, VI, U2, V2, U3, V3 (Fig. 2.14a). En este caso, el desplazamiento de un punto cualquiera del elemento finito puede ser expresado aproximadamente por las funciones de desplazamientos

+ a2X + a3Y, a4 + a5x + a6Y,

U(x,y) = al v(x, y) =

que son polinomios que tienen un número de parámetros ai igual a 6 que es el grado de libertad del elemento. Particularizando las funciones anteriores en los nodos 71, 2 Y 3, se determinan los parámetros ai, que sustituidos en (2.9) permiten expresar el vector de desplazamientos del elemento bidimensional en la forma

(2.9)

y

(2.10) siendo el vector de desplazamientos del elemento {ue } u V

,

x

(2.11)

Fig. 2.14 (a).

el vector de parámetros nodales del elemento {de}

(2.12) y la matriz de forma o de interpolación del elemento [N e]

(2.13) Los desplazamientos u tienen que depender solamente de UI, U2, U3. De la misma forma, los desplazamientos v dependerán solamente de VI, V2, V3 y, además, ambas dependencias tienen que ser iguales. Por esta razón la matriz de forma del elemento [N e ] ha de ser

NI

O

N2

O

N3

O

O

NI

O

N2

O

N3

,

(2.14)

siendo las funciones de interpolación Ni polinomios de primer grado en x, y cuyos coeficientes dependen de las coordenadas nodales. Al igual que en el caso del elemento unidimensional, la función de interpolación Ni determina los desplazamient;9$i () • ~'f., -.~""-~~. 1 de los. puntos ~el elemento cuando se le .da un valor umdad al desplaza~Ien1.~(del_",:;~(''., nodo z mantemendo nulos los desplazamIentos de los otros nodos. TambIen:::eq::e~~é.-.- .,.)i l..

•

\.

011

\..

...

(

J ~J ,\".,

'",: "}........-::p l. rl~ L\"5/.,{...;l ~"y

38

FUNDAMENTOS DEL MEF

caso, la representación de la función Ni coincide con la forma que adquiere el elemento como consecuencia de los anteriores desplazamientos tomados en dirección perpendicular al elemento (Fig. 2.14b).

N¡(;c,y)

Nix,y)

r-J

l'

3

3

1

I

r-J

,,

/' /' /'

2'

,,

J

J

1

,

J

,

x'

"\.

/ ,

,

\ ,"\. "\.

/

•

1

2

1

1

2

2

Fig. 2.14 (b).

B. Funciones tridimensionales En el caso de un elemento tridimensional con nn nodos y cada nodo con 3 parámetros Ui, Vi, Wi (Fig. 2.15), el vector de desplazamientos del elemento es

z

(2.15) donde la matriz de forma del elemento [N e ] es (2.16) que tiene nn submatrices de forma [Ni] de 3 x 3 elementos

N,

o y

Fig. 2.15.

O

O N2 O

O O

•

(2.17)

En este caso, las funciones de interpolación Ni son polinomios de primer grado en x, y, z, cuyos coeficientes dependen de las coordenadas nodales.

2.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO Esta fase del método de los elementos finitos determina la ma.triz de rigidez del elemento que permite calcular los parámetros nodales de un elemento {De} en función de las fuerzas nodales {Fe} que actúan sobre él. A continuación se formula la matriz de rigidez del elemento utilizando, primero, el teorema de los trabajos virtuales y, después, el principio de la energía potencial total.

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO

39

A. Teorema de los trabajos virtuales Consideremos que una estructura en equilibrio se ha discretizado en elementos finitos. Cada elemento estará en equilibrio sometida a un sistema de fuerzas externas {Fe} que comprenden las fuerzas {Pe} aplicadas en los nodos, las fuerzas {qe} distribuidas en su volumen Ve Y las fuerzas {Pe} distribuidas en su superficie Se (Fig. 2.16). Estas fuerzas originan en cada punto del elemen• } to un estado de esfuerzos definido por el vector de esfuerzos {O'}. {q.} Supongamos que en ese elemento en equilibrio se originan unos desplazamientos nodales virtuaFig. 2.16. les infinitesimales {8:~ que satisfacen las condiciones de contorno. Estos desplazamiento nodales {8:} dan lugar a unos desplazamientos virtuales {u;} en los puntos del elemento que originan en cada punto un estado de deformaciones virtuales definido por el vector de deformaciones {e*}. Según el teorema de los trabajos virtuales (1.16), ha de ser nula la suma del trabajo W e que realizan las fuerzas externas {Fe} durante los desplazamientos virtuales {8:} y {u:} y del trabajo W i que realizan las fuerzas internas, debidas a los esfuerzos {O'}, durante las deformaciones virtuales {e*}. El trabajo que realizan las fuerzas externas {Fe} durante los desplazamientos virtuales {8:} y {u;} es W e = { 8:}T {Pe}

+

{u:}T {qe}dVe +

(2.18)

Ve

Según (2.5), (2.10) Y (2.15), la relación entre los desplazamientos de los puntos del elemento {u e } y los parámetros nodales {8e} es {u e } = [N e]{8e}. Aplicando a esta relación la igualdad matricial ([b][c]f = [cjT[bjT, resulta (2.19) e igualmente

{U:}T = {8:}T[N e ]T.

(2.20)

Sustituyendo esta relación en (2.18), se obtiene

v.

{8:}T[N ef {qe}dVe +

s.

{8:}T[N ef {Pe}dSe ,

es decir

[Nef {qe}dVe + {8:}T

(2.21 )

Ve

Asimismo, el trabajo W i que realizan las fuerzas internas, debidas a los esfuerzos {O'}, durante las deformaciones virtuales {e*}, según (1.18), es

Wi

{e*}T{O'}dVe .

=Ve

(2.22)

40

FUNDAMENTOS DEL MEF

Teniendo en cuenta (1.13), {e} = [8]{u}, y puesto que {u e } relación entre las deformaciones y los parámetros nodales es

(2.23) es decir

(2.24)

siendo [Be] la matriz de deformación del elemento, definida por

[Be]

=

[8][N e].

(2.25)

Teniendo en cuenta ahora la relación entre los esfuerzos y las deformaciones {a} = [D]{e}, ecuación (1.7), se obtiene

{a}

[D][B e ]{ 8 e }.

=

(2.26)

Aplicando de nuevo la relación ([b][c]f = [c]T[b]T a (2.24), resulta

{e}T

=

{8 e}T[B e]T

(2.27)

e igualmente

(2.28)

Sustituyendo (2.26) y (2.28) en la expresión (2.22) del trabajo de las fuerzas internas se halla

Wi

{e*}T{a}dVe = -

= -

{8:}T[B eF[D] [B e ]{ 8e}dVe, Ve

Ve

es decir

Wi

= - { 8:V

[BeF[D][Be]dVe {8 e}.

(2.29)

Ve

Sustituyendo ahora en la expresión (1.16) del teorema de los trabajos virtuales, la expresión (2.21) del trabajo de las fuerzas externas y la expresión (2.29) del trabajo de las fuerzas internas, se obtiene

{8:}T

[BeF[D][Be]dVe {8 e}= Ve

=

{8:}T {Pe} + {8:}T

[Ne]T {qe}dVe + {8:}T Ve

[NeF {pe}dS e. Se

Si se supone un desplazamiento virtual unitario a un nodo i en una dirección cualquiera, por ejemplo la dirección x (8ix = 1) y a la vez que sean nulos los desplazamientos virtuales de los restantes nodos, la ecuación anterior se reduce a

[Be]T[D][Be]dVe {8 e} = {P e}+

(2.30)

Ve

que representa la ecuación matricial de equilibrio del elemento y equivale a

(2.31 ) donde [k e ] es la matriz de rigidez del elemento, definida por

[k e ] =

[Be]T[D][Be]dVe. Ve

(2.32)

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO

41

El vector {Fe} es el vector de fuerzas nodales del elemento, igual a

{Fe}

{Fpe }

=

+ {F qe } + {F pe },

(2.33)

siendo

(2.34)

el vector de fuerzas aplicadas directamente a los nodos del elemento, {F qJ =

(2.35)

[Nef {qe}dVe , Ve

el vector- de fuerzas nodales equivalente a las fuer-zas distribuidas en el volumen del elemento y (2.36) [Nef {Pe}dSe, Se

el vector de fuerzas nodales equivalente a las fuerzas distribuidas en la superficie del elemento. Todas las integrales que figuran en la matriz de rigidez del elemento y en los vectores de fuerzas, sah{o en estructuras muy sencillas, se resuelven utilizando métodos de integración numérica, de los cuales el mas generalizado es el de la cuadratura de Gauss.

B. Principio de la energía potencial total La energía potencial total ! -' __ ~;:~';¡:,-"Lc';'~'-;;;~ _ ~

De acuerdo con (1.23), la energía potencial de las fuerzas externas es V = - ¿; F i . {ji. En este caso,

x

;;''''''''~~~~::f-';~';S- '_,"'i::::~_' .....1

;/h~ "'u,!; r.-;}7. ~

262

ESTRUCTURAS TRIDIMENSIONALES

oNi

O

oz

oNi

ox

Los términos de la matriz de deformación [Be] son polinomios cuadraticos de las coordenadas x, y, z. Sustituyendo en (6.55) la matriz de deformación [Be] (6.57) y la matriz constitutiva [D] (6.29), se obtiene la matriz de rigidez del elemento hexaédrico de ocho nodos e

b

a

[BeY [D] [Be] dx dy dz.

[ke ] = 24x24

-e

-b

-a 24x6

(6.59)

6x66x24

De esta ecuación se deducen las submatrices de rigidez [k~;)] del elemento e

b

a

[BdT [D] [B j ] dxdydz. -e

-b

-a 3x6

6x6 6x3

(6.60)

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO

263

Al igual que en el elemento tetraédrico de cuatro nodos, la matriz de deformación del elemento hexaédrico de ocho nodos es

[Be]

=

[Q][C]-r,

(6.61)

[8][P].

(6.62)

siendo

[Q]

=

Sustituyendo en esta ecuación, el operador lineal

a ax

o

o

o

a ay

o

o

a az

o [8]

=

a a o ay ax a a o az ay a a o az ax

,

(6.63)

y la matriz [P] (6.45), se obtiene

o 1 O II O Y

O I Z yz I OOOIO O OI O O I I O O OI O O OI O O [Q] = I I O O 1 I O X Z I O ZX I I O O OI O O OI O O OOOI 1 OY I X I I

xy

OI O O OI O O O I O I I I O I O 1 O I X Z O I zx I I I OI O O OI O O OI O I I I O I 1 O O I Y O Z I yz I I I O I O O 1 I O Y x I xy

O OI O O OI O O O I I OOIO O OI O O O I I O O I O 1 O I Y x xy I I . O OI O O OI O O O I I O O I 1 O X IZO ZX

OI O O OI O O O I O O 1 I O O Y I O I I I I I

Z

(6.64)

yz

Sustituyendo en (6.59) [Be] = [Q][C]-I, se obtiene la matriz de rigidez del elemento hexaédrico de ocho nodos c

b

a

[C]-l T [Qf[D][Q][C]-ldx dy dz. -c

-b

-a

(6.65 )

264

ESTRUCTURAS TRIDIMENSIONALES

Ejemplo 6.5. En un elemento hexaédrico de hormigón de ocho nodos (Fig. 6.11), determinar la submatriz de rigidez [k~e+]. , 5

Datos: E = 2 . 10 kgjcm , 1/ = 0,2, a = 30 cm, b = 50 cm, e = 40 cm.

;P.8_+-_ _-,q7 • • •

6

2e

•

• •

•

•

Solución: De acuerdo con (6.60) la submatriz de rigidez del elemento es

y

•

.,1.. •

3

(a)

•

2b

x

Según (6.58) Y (6.54), las submatrices de deformación [B 2 ] y [B 7 ] son

Fig. 6.11.

8N2 8x

O

O

8N2 8y

O

[B 2 ] =

O

8N2 8z O

O

O

(a+x)(e-z)

O

1

O

O

-(a + x)(b + y)

8abe

(a+x)(e-z)

(b+y)(e-z)

O

8N2 8N2 8z 8y O

8N7 8x

O

O

O

8N7 8y

O

O

8N7 8N7 8y 8x

8N7 8z

O

O

8N2 8x

O

(b+y)(e-z)

O

8N2 8z

O =

O

8N2 8N2 8y 8x O

[B 7 ]

2

8N7 8z O

8N7 8N7 8z 8y O

8N7 8x

1

8abe

-(a + x)(b

+ y)

,

(a+x)(e-z)

-(a + x)(b + y)

O

(b+y)(c-z)

-(b + y)(e + z)

O

O

O

(a-x)(e+z)

O

O

O

(a-x)(b+y) •

(a-x)(e+z)

-(b + y)(e + z)

O

O

(a-x)(b+y)

(a-x)(e+z)

(a-x)(b+y)

O

-(b + y)(e + z)

VECTOR DE FUERZAS NODALES EQUIVALENTE

265

Al igual que el Ejemplo (6.3), la matriz constitutiva del hormigón en un estado tridimensional es

[D] =

222222,2

55555,5

55555,5

O

O

O

55555,5

222222,2

O

O

O

O

55555,5

O

222222,2

O

O

O •

O

O

O

83333,3

O

O

O

O

O

O

83333,3

O

O

O

O

O

O

83333,3

Sustituyendo las submatrices de deformación [B 2 ], [B 7 ] Y la matriz constitutiva [D] en la ecuación (a), integrando y haciendo a = 30, b = 50, e = 40, se obtiene la submatriz de rigidez [k~e+] , del elemento

-1,88220

-0,09259

1,15740

0,09259

-0,66821

-0,06944

1,15740

0,06944

-1,43209

•

6.7. VECTOR DE FUERZAS NODALES EQUIVALENTE Consideremos que sobre el elemento actúa una carga cualquiera q (x, y, z) distribuida por unidad de volumen (Fig. 6.12a). Teniendo en cuenta (2.35), el vector de fuerzas nodales equivalente a la carga distribuida es b

e

a

{F q } =

[Ne]T{qe}dxdydz. -e

-b

z

(6.66)

-+

-a

5.¡:.-~_ _--...;.

Puesto que {qe} = [qx qy qzV, al sustituir los valores de [N correspondientes al elemento hexaédrico de ocho nodos (6.52), se obtiene que las fuerzas nodales equivalentes correspondientes al nodo i son

eV

e

b

a

-e

-b

-a

e

b

a

..., 7

.,g8_ _

¡jj¿jq .... _..

•

4:c. •

•

•

6?,

• _•

2e

y

... '- .. .. . . . . . .. 3

1 .' .,.¿....--=-:----.I,( 2b

Fig. 6.12 (a).

FUi

(6.67) -e

-b

-a

e

b

a

-e

-b

-a

•

266

ESTRUCTURAS TRlDIMENSIONALES

En el caso de que la carga q esté uniformemente distribuida en el elemento, sus componentes qx, qy, qz serán constantes en el interior del elemento y podrán salir fuera de las anteriores integrales. Además se comprueba, teniendo en cuenta los valores (6.54) de las funciones de interpolación, que b

e

a

Nidx dy dz = abe, -e

z

8 8

•

•

•

• ,------_

..

qv,

(6.68) - -

--.-

•

qv.

~".......,

L

8

gX

y

--

- - - - - - - - - - _. _ . . .

1>,-.'7'"

7

qv, -8

•

•

-a

y las expresiones de las fuerzas nodales equivalentes (6.67) se reducen a

qv, -

•

-b

3 qV• 8

8

Fig. 6.12 (b).

que demuestran que la carga uniformemente distribuida sobre un elemento hexaédrico de ocho nodos equivale a las fuerzas qVe /8 aplicadas en los nodos (Fig. 6.12b). Supongamos ahora que el elemento hexaédrico está sometido a una carga concentrada Q aplicada en un punto e de coordenadas x = xc, Y = Yc, z = Zc (Fig. 6.13). Procediendo de igual forma que con el elemento tetraédrico, las fuerzas nodales equivalentes a la carga concentrada Q, correspondientes al nodo i, son FUi =

z

Qx(Ni )

Q

+-__- - j _ _...,7

~8>---- _ _

x=xc Y=YC

,

z=zc

, 6

5 :::....---:':---.;-.-----.--B] = [Be(~B, 1]BW [D][Be(~B, 1]B )](1-1/ v'3 [e/>cJ = [Be(~e, 1]e W[D][Be(~e,1]e )](l+1/v'3), [e/>D]·=·[Be(~D,1]D W[D][Be(~D, 1]D )](l+l/vr al sustituir las anteriores matrices en (e) se obtiene la matriz de rigidez del elemento rectangular de cuatro nodos, que es a su vez la matriz completa de rigidez de la estructura 1

8,2537 0,0727

0,0727 0,1091 1 1,1635 1 0,1454 - - - ~ - - 0,1091 0,1454 1 6,1450 1 -0,0727 -0,5817 -1,0181 -

-

-

-

-

-

-

1 1- -

-

-

-0,1091 -0,7272 1 2,5817 -0,3636 -0,7272 1 -0,1455 1 - - - - - - - - - - 3,9633 -0,3636: -0,1091 0,3636 0,1454, 0,7272

1

1

-0,0727 -O, 1091 -0,3636 3,9633 0,3636 1 1 -0,5817 1 -0,7272 -0,7272 1 -0,3636 0,1454 - - - ~ - - - - - - - ~ - - - - - -1,0181 1 2,5817 0,1455 1 -0,1091 0,7272 1 1 1,7453 - 0 ,1455 -0,4363 0,3636 -0,7272 -

-

-

1 -1 -

-

-

-

-

-

-

1 1- -

-

-

-

-

-

•

-O, 1455 1 6,1450 1,0181 1 0,1091 -0,1454 -0,4363 1 1,0181 1,7453' 0,0727 -O, 5817 I 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0,3636: 0,1091 0,0727: 8,2537 -0,0727 -0,7272, -0,1454 -0,5817, -O, 0727 1,1635

Al igual que en el Ejemplo 8.3, las condiciones de contorno son Ul = O, Wl = O, Uz = O, Wz = 0, U3 = y por simetría U4 = O. Debido a ello, eliminando de la matriz completa de rigidez [Ka] las filas y columnas 1, 2, 3, 4, 5 Y 7 se obtiene la matriz de rigidez [K] igual a

°

•

[K] = 10

1,7453 -0,5817

6

-0,5817

1, 1635

•

La ecuación matricial de equilibrio [K]{ Ód} = {Fe} de esta estructura es 1,7453 -0,5817 -0,5817

W3

1, 1635

donde las fuerzas equivalentes, de acuerdo con la expresión (a) del Ejemplo 8.5 es

FW3

1r L 3 = 3

4

1r . O, 5 201r ( 2X3 + X4)p = 3 (2. 0,5 + 0)( -40) = - 3 = -20,944 t,

FW4

1r L 3 = 3

4

1r . 0,5 101r (X3+ 2x 4)P= 3 (0,5+2·0)(-40)=- 3 =-10,472t .

•

ELEMENTO RECTANGULAR DE CUATRO NODOS

341

Con estos valores de las fuerzas nodales equivalentes, la ecuación matricial de equilibrio de la estructura es

-20,944

1,7453 -0,5817 -0,5817

-10,472

1,1635

,

de la que se deduce el vector de desplazamientos nodales desconocidos W3

= 10- 6

-18 -18

•

que significa que la base superior del bloque cilíndrico desciende uniformemente 18·10--{) m.

b) Teniendo en cuenta los anteriores resultados, el vector de desplazamientos nodales del elemento es

{Oe}

6

(d)

= 10- [O O O O O - 18 O - 18r.

Al sustituir la matriz deformación [Be], ecuación (a), y el vector de desplazamientos nodales {Oe}, ecuación (d), en {e} = [Be]{oe}, se obtiene el vector de deformaciones de la estructura ér O

{e}

O

ée

=

-18. 10- 6

éz

(e)

•

O

fzr

Al ser {a} = [D]{e}, el vector de esfuerzos de la estructura es

{a}

(Tr

2,2222 0,5556 0,5556

O

O

-10,000

(Te

0,5556 2,2222 0,5556

O

O

-10,000

O

-18.10- 6

-39,997

0,8333

O

O

= 10

= (Tz T zr

6

0,5556 0,5556 2,2222 O

O

O

•

(j)

La expresión (e) muestra que el estado de deformaciones es uniforme en todo el cuerpo 6 cilíndrico siendo sus únicos términos no nulos é z = -18· 10- . Igualmente, la expresión (j) muestra que también el estado de esfuerzos es uniforme y sus términos no nulos son 2 2 (Tr = (Te = -10,000 t/m , (T z = -39,997 t/m • c) Siendo la solución exacta, hallada en el Ejemplo 8.3, un estado de deformaciones uniforme é r = ée = O, é z = -18 . 10- 6 , fre = O Y un estado de esfuerzos uniforme 2 2 (Tr = (Te = -10 t/m , (T z = -40 t/m , Tre = O, el erroe-que se obtiene con la solución aproximada es despreciable al utilizar un modelo axisimétrico formado por un único elemento rectangular de cuatro nodos.

,

9. ,

,

FORMULACION ISOPARAMETRICA

,

9.1. INTRODUCCION La formulación isoparamétrica regulariza la forma de los elementos transformando, por ejemplo, un elemento cuadrilateral, de lados rectos o curvos, en un elemento cuadrado. Análogamente transforma elementos hexaédricos en elementos cúbicos y modifica los elementos de barra redistribuyendo uniformemente sus nodos. Esta formulación simplifica la determinación de la matriz de rigidez de los elementos y, además, facilita el modelar empleando elementos de forma arbitraria que se adaptan mejor a la forma de las estructuras. Otra ventaja de la formulación isoparamétrica es el que la formulación de los elementos tridimensionales es simplemente la extensión de la formulación de los elementos bidimensionales, lo que favorece el empleo de los programas de ordenador. La formulación isoparamétrica exige la utilización de coordenadas naturales, siendo necesario aplicar las propiedades del Jacobiano debido a que las derivadas que figuran en las matrices de deformación son derivadas respecto a las coordenadas cartesianas. Salvo casos muy sencillos, la integración numérica será menos laboriosa que la integración analítica y proporcionará resultados con más precisión. En el método de los elementos finitos, los desplazamientos de un elemento {u e} se expresan en función de los desplazamientos nodales {oe} mediante la matriz de interpolación [N e], tal que

Igualmente, las coordenadas de un punto del elemento {xe} pueden expresarse en función de las coordenadas nodales {ce} mediante la matriz de interpolación [N:J, tal que

Un elemento es isoparamétrico cuando son iguales las matrices de interpolación [N e] y [N:] expresadas en función de las coordenadas naturales. Un elemento es subparamétrico cuando el grado de [N:] es menor que el grado de/[N e]. Y, por último, un elemento es superparamétrico cuando el grado de [N:] es mayor que el grado de [NeJ. En este capítulo se determinan las matrices de rigidez de los elementos isoparamétricos más característicos, entre los que se encuentran los elementos triangulares.

343

344

FORMULACIÓN ISOPARAMÉTRICA

9.2. ELEMENTOS DE BARRA A. Ecuaciones generales I

,

1

2 • , • U2

U¡ X

ll

n-l

•

1 2, ;= -1 ;2

n •

• Un

•

n-l ,

~j

o

(a)

t-l

n, ~=+1

(h)

Fig. 9.1.

Sea un elemento finito de barra isoparamétrico de longitud L y n nodos referido a un sistema de coordenadas cartesianas x (Fig. 9.1a). Siendo Nl(~), N 2 (O, ... , Nn(~), las funciones de interpolación expresadas en función de la coordenada natural ~, un punto cualquiera del elemento tiene el desplazamiento (9.1) y al ser un elemento isoparamétrico, sus coordenadas están definidas por la ecuación

(9.2) que transforma el elemento finito de longitud L en un elemento cuyos nodos extremos 1 y n tienen las coordenadas naturales ~ = -1 Y ~ = +1, respectivamente (Fig.9.1b). La matriz de rigidez de un elemento de barra, según (3.19), es

[k e] =

[Bef EA[Be]dx,

(9.3)

L

siendo [Be] la matriz de deformación definida, de acuerdo con (3.21), por

[Be]

=

e dN dx

y, teniendo en cuenta las propiedades de la derivación en cadena, B ] [ e

=

dN e dx

=

dN e d~

d~dx'

(9.4)

Según (1.63), el Jacobiano del elemento es la derivada de la coordenada x respecto ~, es decir

(9.5) De esta expresión se deduce (9.6)

345

ELEMENTOS DE BARRA

y

(9.7) Sustituyendo esta relación en (9.3), se obtiene la matriz de rigidez del elemento de barra isoparamétrico 1

[keJ

[Be]T EA[Be]Jed~,

=

(9.8)

-1

donde la matriz de deformación, de acuerdo con (9.4) y (9.6), es

(9.9)

•

B. Elemento lineal Sea un elemento finito de barra lineal de longitud L con nodos en sus extremos, referido a un sistema de coordenadas cartesianas x (Fig. 9.2a). El desplazamiento de un punto cualquiera del elemento es

LI2 1 ,

x, "1

I

I

e

,

2,

• u,

I

u, Xc

(9.10)

LI2

-, x "1

x, •

siendo NI y N z las funciones de interpolación del elemento.

Fig. 9.2( a).

Utilizando un sistema de coordenadas naturales e, de acuerdo con (1.35) ~ = x -

Xc

= 2x - (Xl

L/2

1

~

con origen en el punto medio

+ Xz)

(9.11)

XZ-Xl'

la función (9.10) de desplazamientos es (9.12) ya que, según (3.14b), las funciones de interpolación de un elemento lineal son (9.13) y, por tanto, la matriz de interpolación 1

-(12

~)

(9.14)

346

FORMULACIÓN ISOPARAMÉTRICA

Para que el elemento lineal sea isoparamétrico, la coordenada de un punto cualquiera ha de ser

1 o

~=-1

eI

2o

~=o

~=+1

es decir (9.15)

Fig. 9.2(b).

ecuación que coincide naturalmente con (9.11). Debido a esta transformación de coordenadas, el elemento finito de longitud L se convierte en un elemento de coordenadas nodales ~ = -1 Y ~ = +1 (Fig. 9.2b). Teniendo en cuenta (9.5) y (9.15) se halla el Jacobiano del elemento lineal

[J e] = J e = dx =

X2 -

d~

L

Xl

(9.16)

2

2

•

y su lllversa [J e ]

-1

=

~

2 dx = L'

(9.17)

Asimismo, sustituyendo en la expresión (9.9) de la matriz de deformación, la matriz de interpolación [N e ] (9.14) y la inversa del Jacobiano (9.17), se obtiene

dN1

2 1 -L 2

d~

1

2 '

es decir 1 [Be] = L

[-1

1] .

(9.18)

En consecuencia, al sustituir (9.16) y (9.18) en (9.8) se determina la matriz de rigidez del elemento finito lineal 1

[k e ]

=

1

L2 -1

-1 1

I -1

EA~ d~,

1

es decir 1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

[k e ] = 2L

EA~.

(9.19)

Cuando EA es constante

[k e ] = EA L

-1

1

•

(9.20)

ELEMENTOS DE BARRA

c.

347

Elemento cuadrático

En primer lugar consideramos un elemento finito de barra cuadrático de longitud L, que tiene tres nodos distribuidos uniformemente (Fig. 9.3a). Este elemento está referido a un sistema de coordenadas cartesianas. El desplazamiento de un punto cualquiera del elemento es

Lf2 I

1 e

• U I

Lf2

I

2e

U,

I

,3

• X

•

• U J

Fig. 9.3( a).

(9.21) Teniendo en cuenta los valores (3.55b) de las funciones de inter'¡)olaciém del elemento cuadrático, su matriz de interpolación es

[NeJ =

~

~(1 +~)

--(1-~)

2

(9.22)

y, por tanto, el desplazamiento de un punto cualquiera del elemento es (9.23) Para que el elemento cuadrático sea isoparamétrico, la coordenada de un punto cualquiera ha de ser (9.24) es decir (9.25) Sustituyendo

X2

=

Xl

+ L/2

y X

X3

=

= Xl

Xl

+ L, se obtiene L

L

+ -2 +_c 2 lS00.

>0 1

2

Fig.9.11(b).

Ejemplo 9.5. Un elemento cuadrilateral isoparamétrico tiene cuatro nodos en los vértices de coordenadas (0,0), (40,0), (SO,SO), (0,40), expresadas en cm (Fig. 9.12). Determinar: a) las ecuaciones de transformación de coordenadas cartesianas a naturales, b) el J acobiano del elemento, e) el vector de deformaciones en el punto ~ = 0,5, '1] = 0,5, cuando el vector de desplazamientos nodales es {8 e }.

Datos: {8 e }T = [O O O O 0,04 0,02 0,01 0,03] (cm). Solución: a) Según (9.44), las funciones de interpolación del elemento cuadrilateral son y

1

1

1

1

NI = 4 (1 - 0(1- '1]), N 2 = 4 (1 4'-'"

N 3 = 4 (1

2

Fig. 9.12.

x

= 2:.Ni xi

1 = 4 (1 1

Y = 2:.NiYi = 4 (1

N 4 = 4 (1 - ~)(1

+ ~)(1 -

1 4 (1

'1])40 +

+ ~)(1 + '1])SO =

30 + 30~

(a)

1

+ ~)(1 + '1])SO + 4 (1 -

1

-(1 - '1])

[uNe] = 4

-(1-

~)(1

+ '1])40 =

30

+ 1O~ + 30'1] + 10~'1].

O

(1 - '1])

(1

+ '1])

+~)

(1

+~)

-(1

-(1

+ '1])

(1 -

~)

y, de acuerdo con (9.5S), el Jacobiano del elemento es

O (Je]

+ '1]).

+ 10'1] + 1O~'1],

b) Según (9.60), la matriz derivada de las funciones de interpolación es

1 = 4

'1]),

Teniendo en cuenta (9.51), las ecuaciones de transformación de coordenadas cartesianas a naturales

x

1

+ 0(1 + '1]),

+ ~)(1 -

-(1 - '1])

(1 -'1])

(1

+ '1])

-(1

+ '1])

40

O O •

-(1 -

~)

-(1

+0

(1

+~)

(1

-~)

SO

SO

O

40

ELEMENTO CUADRILATERAL DE CUATRO NODOS

365

Al multiplicar ambas matrices se obtiene 1Or¡ + 10 1O~ + 30

10r¡ + 30 10~ + 10

comprobándose que coincide naturalmente con el resultado de sustituir las ecuaciones de transformación de coordenadas (a) en la ecuación (9.58) que define al Jacobiano. e) Según (9.82), el vector de deformaciones en un punto del elemento es

ya que, según (9.69),

a a [Be] = [l ][r ][8N el·

De acuerdo con (9.53), la matriz unitaria ampliada [la] es 100 O O O O 1

[r] =

O 1

(b)

•

1 O

Teniendo en cuenta que el determinante del Jacobiano es det[J e ]

= (10r¡ +

30)(10~

+ 30) - (10~ + 10)(10r¡ + 10)

= 200(~ + r¡ +

4),

la matriz inversa de [J el es

[r ]_ e -

1 200(~ + r¡ + 4)

1O~ -1O~

+ 30

-1Or¡ - 10

- 10

~+3

1

-~

10r¡ + 30

-1

-r¡ - 1 r¡+3

•

Por tanto, la matriz inversa del Jacobiano ampliada (9.64) es ~+3 -~

[r a ]

1

_

-

- 20(~+r¡+4)

-r¡ - 1

-1

-

-

O O

r¡+3

-

-

-

O O

-

-

1- _

-

O O -

-

~+3

O O

-~

- - -r¡ - 1

-1

r¡+3

y su valor correspondiente al punto ~ = 0,5, r¡ = 0,5

[r

1 100

a ] '=0,5

3,5 -1 , 5

-1 , 5

-

-

-

-

3,5

O O

'1=0,5

O O

-

I

O O

I I

1- I I

-

O O -

3,5 -1 , 5

-

-1,5 3,5 -

(e)

•

Según (9.67), la matriz derivada de las funciones de interpolación ampliada es -1 + r¡ [8N

a

]=

~ 4

O

O O -1 + r¡

O

-1

-1+~

+~

1-r¡ -1O O

~

O O 1-r¡

-1-

~

1+r¡

O

-1 - r¡

1+~

O

1-~

O O

1+r¡ 1+~

O O

O O -1- r¡ 1-~

366 FORMULACIÓN ISOPARAMÉTRICA

y, por tanto, su valor en el punto ~

-o , 5 [aNal

1

-

4

~=0,5

,.,=0,5

0,5

°O

-O , 5

= 0,5, r¡ = 0,5 es -1 , 5

O

1,5

O

-1 , 5

1,5

O

0,5

O

-0,5

O

°0,5

O

-O , 5

O

-1 , 5

O

O

1,5

O

° -1 , 5

O

1,5

O

0,5

(d)

•

Multiplicando las matrices (b), (e) y (d) se halla la matriz de deformación en el punto considerado

[Be]

(~B,7)B)l=lO

simétrica

0,0213 0,0021

-0,0019 0,0050 -0,0009 0,0021 -0,0078 -0,0047 0,0050 -0,0005

0,0213

-0,0086 -0,0078 -0,0019

0,0007

0,0033

0,0098

-0,0027

0,0033 -0,0185

0,0072

0,0019 -0,0078

0,0072 -0,0185

0,0033 -0,0078

•

0,0290

0,0019 -0,0027 -0,0124 O, 0290

372

FORMULACIÓN ISOPARAMÉTRICA

1

0,0213 0,0033

0,0098

-0,0185

0,0072

simétrica 0,0290

0,0019 -0,0027 -O, 0124

0,0290

-0,0078 -0,0086 -0,0027

0,0072

0,0098

0,0019 -0,0185

0,0033

0,0213

0,0007

0,0005

-0,0047 -0,0078

0,0050 -0,0019 -0,0078 -0,0005

0,0007

0,0033

0,0033 -0,0078 -0,0019

,

0,0021

0,0050 -0,00090,0021

0,0021 0,0009

0,0021

0,0007

0,0019

simétrica 0,0098

0,0005 0,0049 -0,0033 0,0213 [4>(eD, 'l)D)] = 10 -0,0078 -0,0033 -0,0027 -0,0019

0,0290

-0,0033 -0,0078 -0,0072 -0,0185

0,0124

6

0,0050

0,0005 -0,0078

0,0019

0,0007

•

0,0290

0,0047 -0,0185 -0,0019

0,0213

0,0086 -0,0078 -0,0072 -0,0027 -0,00330,0098

De acuerdo con las expresiones (h), al sumar las cuatro matrices [4>] anteriores se halla la matriz de rigidez del elemento 0,0062

[k e ] = 10

6

0,0199

0,0622

-0,0356

0,0067

-0,0067

0,0046 -0,0199

-0,0312 -0,0199

simétrica 0,0622 0,0046

0,0622 0,0067

-0,0199 -0,0312 -0,0067 -0,0356 0,0046 -0,0067 -0,0312 0,0067 -0,0356

•

0,0622 0,0199 0,0622

0,0199 -0,0356 0,0067

0,0622

0,0199 -0,0312 -0,0067 0,0046 -0,0199 0,0622

9.4. ELEMENTOS CUADRILATERALES CURVOS Consideremos una estructura bidimensional que se ha discretizado mediante una malla de elementos cuadrilaterales curvos (Fig. 9.15). Los elementos de lados curvos permiten utilizar un menor número de elementos de mayor tamaño y además conseguir una representación de los bordes de la estructura mas ajustada a la realidad. En los elementos cuadrilaterales de cuatro nodos anteriormente estudiados, las funciones de interpolación contenían términos en 1, ~, r¡, ~r¡. Si se utilizan funciones de interpolación de grado superior aparecerán términos en er¡, ~r¡2 que de forma general suministrarán una mayor exactitud en las funciones de desplazamiento

ELEMENTOS CUADRILATERALES CURVOS

{Ue } = [N e]{de}. Además, al estar las coordenadas de los puntos de los elementos definidas por x

= ~Ni(~,

r¡)Xi,

373

y

(9.84)

y = ~Ni(~, r¡)Yi,

tendremos un mayor grado en los polinomios para definir la geometría de los x elementos y, por ello, los elementos podrán tener los lados curvos. Fig. 9.15. Al ser las funciones de interpolación de grado superior, los elementos tendrán nodos en el interior de los lados. En efecto, las funciones de interpolación han de ser al menos cuadráticas, ya que los lados curvos del elemento necesitan al menos tres puntos para su completa determinación. En consecuencia, en cada lado curvo del elemento habrá de haber al menos tres nodos. Un ejemplo de elemento cuadrilateral curvo es el elemento cuadrilateral de nueve nodos (Fig. 9.16a) que se transforma utilizando coordenadas naturales en un elemento cuadrado de lado 2 y nueve nodos (Fig. 9.16b). Este elemento pertenece a la familia lagrangiana y sus funciones de interpolación de aproximación cuadrática han sido halladas en 5.13. y

r¡

~~7_13

(-1,1) 4t-----_r¡--+7'----------:;

[K]{O}i = w;[M]{oh,

[K] {o}j

=

w; [M] {o}j,

Premultiplicando las expresiones anteriores, respectivamente, por {oH y {o}[, se obtiene

{oH [K] {oh = {o}r [K] {oh =

w; {o}] [M]{oh, w; {o}r [M]{ o}j .

(a)

.

El que las matrices [K] y [M] sean simétricas permite establecer las igualdades {oH [K] {oh = {o}r [K] {oh, ,

{oH [M] {O}i = {o}r [M] {oh·

Teniendo en cuenta estas igualdades, al restar entre sí las ecuaciones (a) resulta (W; - w;) {o}r [M] {oh = 0, que demuestra la ortogonalidad de los modos naturales respecto a la matriz de masa [M], ya que para i -1 j se verifica

{o}r [M] {oh

=

°

(b)

y al sustituir la ecuación (b) en la segunda de las ecuaciones (a), se obtiene

{o}r [K] {oh

=

o,

que demuestra la ortogonalidad de los modos naturales respecto a la matriz de rigidez [K].

396

CÁLCULO DINÁMICO

La propiedad de la ortogonalidad suele utilizarse con ventaja para resolver los problemas dinámicos. Para una frecuencia natural cualquiera Wi se verifican las relaciones {8}f [K] {8h = C Ki , (10.22)

{8}f [M] {8h =

CMi,

siendo C Ki y CMi constantes distintas de cero. Dividiendo entre sí estas relaciones, resulta

{8}f (K] {8h {8}f [M] {8}i

CKi CMi

y, teniendo en cuenta (10.19), [K] {8}i = w;[M] {8h, se obtiene

{8}f[K]{8h {8}f (M] {8h

C Ki C =

2

Wi

Mi

= Ai·

(10.23)

C. Normalización de los modos naturales Como el sistema de ecuaciones lineales (10.19) es indeterminado, únicamente se pueden hallar valores relativos de las amplitudes de los desplazamientos nodales correspondientes a los modos naturales. Ello obliga a prefijar en cada modo natural la amplitud de uno de los desplazamientos nodales, haciéndola usualmente igual a la unidad. También es frecuente normalizar la determinación de los modos naturales prefijando CKi = 1 o CMi = 1. Si se normalizan los modos naturales haciendo CMi = 1 y, por tanto, según (10.23) C Ki = Ai, entonces •

{8}f [M] {8h

1,

=

(10.24)

{8}f [K] {8h

= Ai =

W[,

Utilizando esta normalización, si representamos por [A] la matriz de autovectores, que es una matriz cuadrada de orden n, igual al número de grados de libertad de la estructura, cuyas columnas son los autovectores

[A] = ({ dh {dh ... {d}n]'

(10.25)

las ecuaciones (10.24) permiten establecer

[Af [M] [A]

=

[1],

(10.26)

[O],

(10.27)

y

(Af [K] [A]

=

397

MODOS y FRECUENCIAS NATURALES

donde [1] es la matriz diagonal unitaria de orden n y [O] la matriz diagonal de autovalores O

Al

O

[O]

=

• • •

O

• • •

A2

w1 O

-

•

• • •

O

2

O

• •

•

• •

O

• • •

O

2

• • •

O

w2

• •

•

•

•

•

•

•

O

An

• • •

O

O

(10.28)

•

•

2 wn

• • •

Ejemplo 10.9. En el sistema del Ejemplo 10.1 formado por dos masas mI y m2 unidas mediante amortiguadores y resortes de rigideces kI y k2 (Fig. 10. lOa), determinar: a) las frecuencias naturales, b) los modos naturales y c) comprobar la ortogonalidad de los modos naturales. Datos: p,

mI

= 2m2 = 2m,

kl

= 2k2 = 2k.

Solución: a) Según (10.20), la ecuación característica del problema de autovalores es det ([K] - A[M]) = o.

u,

Teniendo en cuenta los valores de las matrices de rigidez [K] y de masa [M] obtenidas en el Ejemplo 10.1, la ecuación anterior equivale a

det

kl

-A

-k l

y puesto que

mI

O

O

= 2m2 = 2m, det

kl

,

Fig. 10.10

-k l

= det

= 2k2 = 2k,

kl

+ k2 -

Am2

. (a).

-O .

esta ecuación se reduce a

2k - 2Am

-2k

-2k

3k-Am

= O,

o sea

Resolviendo esta ecuación se determinan los autovalores

Al = (2 -

-13)

k -, m

A2 = (2

-13)

k -, m

W2=~=

+ -13)

k -m

y las frecuencias naturales

WI=~=

de las cuales

WI

(2 -

(2 + -I3)~, m

es la frecuencia mas baja o frecuencia fundamental.

(a)

398

CÁLCULO DINÁMICO

b) El modo natural correspondiente al autovalor mas bajo Al es el primer modo

{oh =

U1 U2

1

habrá de satisfacer la ecuación matricial (10.19), es decir 2k - 2A1m

-2k

-2k

3k-A1m

U1

O

U2 1

O'

Al ser una ecuación combinación lineal de la otra, el anterior sistema se reduce a

y utilizando como criterio de normalización de modos naturales el prefijar la amplitud de uno de los desplazamientos nodales, por ejemplo, U1 = 1, se obtiene U2 = 1 -

m

k

Al.

Al sustituir el autovalor Al calculado en (a), se halla U2 = 1 -

7 (2 -

v3) ~

=

-1

+ v3,

con lo que el primer modo es

{oh

1 =

-1

+ V3 .

Análogamente, el modo natural correspondiente al autovalor A2 es el segundo modo

habrá de satisfacer la ecuación matricial 2k - 2Azm

-2k

-2k

3k - A2m

O

O '

que se reduce a (2k - 2A2m) U1 - 2ku2 = O.

Haciendo en esta ecuación U1 = 1 se obtiene

y sustituyendo el autovalor A2 calculado en (a), se halla U2 = 1 - m (2 k

+ v3) ~ m

= -1 -

con lo que el segundo modo es

{oh

1 =

-1-

V3 .

v3,

MODOS y FRECUENCIAS NATURALES

399

Se observa qué en el primer modo las masas ml y m2 se desplazan en el mismo sentido, mientras que en el segundo modo los desplazamientos de las masas son en sentidos opuestos (Fig. 10.10b).

-1+'?!3_-------:: 1 ,

•

1

1

2

o

oc

2 modo

1 modo

Fig. 10.10

(b)

e) El hecho de que sean nulos los triples productos matriciales

11

-1

+ V31

2m

O

1

O m

-1 -

V3

,

11

-1

+ V3i

2k

-2k

-2k

3k

1

-1-V3 '

comprueba la ortogonalidad de los modos naturales respecto a las matrices de masa [M] y de rigidez [K]. Ejemplo 10.10. Una barra de sección variable y peso específico I está empotrada en un extremo y sometida a tracción/compresión (Fig. 1O.lla). Determinar: a) las frecuencias naturales, b) los modos naturales.

,=

3

3

=

2

6

Datos: 7,8 .10- kg/cm , E 2 .10 kg/cm , 2 2 Al = 10 cm , A 2 = 5 cm , L l = 100 cm, L2 = 50 cm. Solución: a) La ecuación característica (10.20) del problema de autovalores es

•

• •

..

(a)

det ([K] - A[M]) = O.

Fig. 10.11 (a).

Según (3.28), la matriz completa de rigidez de la barra es

[Ka] = E

Al

Al

Ll

Ll

Al h O

A2 L l + L2 A2 L2 Al

O

A2 L2 A2 L2

Eliminando la primera fila y la primera columna de la matriz [Ka] se obtiene la matriz de rigidez [K] de la barra, que considera únicamente los grados de libertad activos

[K] = E

0,2

-O , 1

-O , 1

O, 1

•

400

CÁLCULO DINÁMICO

Siendo la densidad de la barra 3

3

7,8· 10- kg/cm 6 kg S2 P - -' - -'------------="""= 7 959 . 102 - 9 980 cm/s cm 4 ' 'Y

'

la matriz de masa de la barra, teniendo en cuenta la expresión hallada en el Ejemplo 10.3, es = 10- 3 3,3163 0,3316 0,3316

0,6633

•

Sustituyendo las matrices de rigidez [K] y de masa [M] en la ecuación caracteristica (a) se obtiene 0,4 . 106 det

0,2· 10

6

-

-o , 2 . 106

3,3163 . 10- 3 A 3

0,3316 . 10- A

0,2 . 10

6

O, 3316· 10- 3 A

-

0,6633 . 10- 3 A

-O ,

que equivale a 6

2

2,0897.10- A

1,0612.10 A + O, 04.10 3

-

12

= O,

de la que se deducen los autovalores

Al

= 0,410 . 10

8

,

A2

= 4,668 . 10

8

.

En consecuencia, las frecuencias naturales son W1

=

~ = 0,640· 10 rad/s, 4

W2

= J):;" = 2,161 . 10

4

rad/s.

b) El modo natural {8h correspondiente al autovalor Al tiene que satisfacer la ecuación matricial (10.19), ([K] - Al [M]) {8h = {O}. Es decir 0,4 . 10 6

-

-0,2 . 10 6

-

3,3163 . 10- 3 . 0,410 . 10 8 -O , 2 . 10 6 6 0,3316 . 10- 3 . 0,410 . 10 8 O, 2 . 10

-

O, 3316 . 10- 3 • O, 410 . 10 8

U2

O

-

O, 6633 . 10-

U3 1

O'

3

.

O, 410 . 10 8

o sea 0,2640

-0,2136

-0,2136

O

0,1728

U3

1

O

•

De estas dos ecuaciones, que no son independientes, se elige una cualquiera, por ejemplo, la primera 0,264 U2

-

0,2136 U3 = O,

de la que se deduce U3

= 1,236

U2,

por lo que el modo natural correspondiente al autovalor más bajo Al es el primer modo U2

{8h

=

1,236u 2

•

MODOS

y

FRECUENCIAS NATURALES

401

Utilizando como criterio de normalización {o}f[M]{oh = 1, es decir 1, 236u213, 3163.10-

3

0\

0, 1 0,2

U2

1,236u 2

= 1,

se obtiene U2 = 13,936 y, por tanto, el modo natural correspondiente a Al (primer modo) es 13,936 {oh = 17, 225 .

= 0,410 . 10

8

Procediendo de la misma forma se determina el modo natural correspondiente a 8 A2 = 4,668· 10 (segundo modo) 11,101 -35,921

•

17,225

13,936

11,101

• • •

1~ modo

2° modo

•

• • •

Fig. 10.11

•

(b).

-35,921

En la figura 10.11b se representan los modos naturales de la barra empotrada. Ejemplo 10.11. En la columna del Ejemplo 10.8. a la que se suponen concentradas las masas 4m, m, m en los puntos A, B, e (Fig. 1O.12a), determinar: a) las frecuencias naturales, b) los modos naturales. v, 4m A

Datos: m, rigidez a flexión El, L. Solución: a) Teniendo en cuenta los valores de las matrices de rigidez [K] y de masa [M] obtenidas en el Ejemplo 10.8, la ecuación característica (10.20) del problema de autovalores de la ménsula, det ([K] - A[M]) = O, es

det

Fig. 10.12

(a)

•

1,6154 -3,6923 2, 7692 4 El -3,6923 10,1538 -10,6154 - Am 1 L3 2,7692 -10,6154 18,4615 1

° ° ° ° ° °

es decir 3

1 6154 - 4 mL A , El

El det L3

-3,6923

2, 7692 3

-3,6923

mL 10, 1538 - El A

= O.

-10,6154 3

2,7692

-10,6154

mL 18,4615 - El A

= 0,

402

CÁLCULO DINÁMICO

Resolviendo esta ecuación se determinan los autovalores

>"1 =

2 W1

El

>"2

= 0,02588 mLs '

El

2

= W2 = 3,09908 mLs '

El

2

= Ws = 25,89415 mLs

>"s

y las frecuencias naturales

W1

=

.¡x;- =

O, 1609

El

= .¡>:; = 1,7604

W2

mLs'

El mLs'

Ws =

..¡x;- =

5,0886

El mLs'

b) Los modos naturales correspondientes a los autovalores >"1, >"2 Y >"s habrán de satisfacer la ecuación matricial (10.19). Utilizando como criterio de normalización el que sea U1 = 1, se hallan los tres modos naturales 1,0000

1,0000

{oh

=

0,5224 ,

{oh

1,0000

-6,3414 ,

=

{oh

=

-13,1981 , 19,2222

-4,5622

0,1506 representados en la Fig. 10.12b. .. 1,0000

1,0000

0,5221

-6,3414

-r

-.......

1,0000

-13,1981

•

..

0,1506

-45622 ,

--.------- ...

19222 ,

, u

u

2° modo

1 modo

3 modo

Fig. 10.12 (b) .

•

10.5. METODO DE JACOBI GENERALIZADO Este método resuelve el problema de autovalores con eficacia en estructuras de pocos grados de libertad diagonalizando previamente las matrices de masa [M] y de rigidez [K] de forma simultanea. La ecuación matricial (10.19) equivale a las n ecuaciones

[K]{8h =

w; [M] {8}i,

que pueden agruparse en la forma

[K] [A]

=

[M] [A] [O],

siendo [A] la matriz de autovectores (10.25)

[A] = [{8h {8h ... {8}n], •

(10.29)

MÉTODOS DE ITERACIÓN

403

y [O] la matriz diagonal de autovalores (10.28)

Al O

[O] --

• • •

O

...

O

A2

...

O

• •

• • •

•

O

O

An

• • •

Al normalizar los modos naturales con el criterio ecuaciones (10.26) y (10.27)

[A]T [M][A] = [1],

[Af[K][A]

1 se verifican las

CMi =

[O].

=

El método de Jacobi generalizado comienza utilizando una matriz de transformación [PI] que anula simultáneamente el mismo término situado fuera de la diagonal en las matrices [P 1V[M][P 1] y [P 1V[K][P 1]. De la misma forma una nueva matriz de transformación [P2] anula un nuevo término situado fuera de la diagonal de las matrices [P 2V[P 1 ]T[M][P 1 ][P 2 ] y [Pd T [P 2V[K][P 1 ][P 2 ]. Prosiguiendo este proceso se consigue diagonalizar las matrices [M] y [K] que se transforman, respectivamente, en (10.30) siendo

[P] = [P 1 ] [P 2 ]

[P¡)

...

(10.31)

A partir de las matrices [M] y [K] se determinan la matriz de autovectores

[A] = [P] [M]-1/2

(10.32)

y la matriz diagonal de autovalores

[O] = siendo

[Mt [K], 1

M- 1 / 2

O

11

[M]-1/2 =

O

M- 1 / 2

22

• •

• •

O

[M]-l = .

O

M- 1 11

O

O

1 M22

•

• •

•

•

•

O

• • •

O

• • •

O

• • •

O

nn

O

•

O

•

•

• •

...

(10.34)

M-1/2

• • •

• •

,

• • •

• • •

•

•

(10.33)

•

(10.35)

•

•

Mn~

Según (10.32), para calcular la matriz de autovectores [A] se divide cada fila de [P] por la raíz cuadrada del correspondiente término diagonal de [M]. Asimismo, según (10.33), para hallar la matriz diagonal de autovalores [O] se divide cada término de la diagonal de [K] por el correspondiente término diagonal de [M]. ~

404

CÁLCULO DINÁMICO

,

,

10.6. METüDOS DE ITERAClüN Para resolver el problema de autovalores varios métodos de iteración de vectores utilizan las propiedades del cociente de Rayleigh Q(v), definido por

Q(v) =

{vY [K]{v} {vF [M] {v} ,

(10.36)

siendo {v} un vector arbitrario. De acuerdo con (10.23) si {v} es cualquiera de los autovectores {O

!J.Fn(x) !J.x

(B.3)

n

y su derivada de orden k en el mismo punto es d

dx

n

•

(BA)

n

A. Aproximaciones de la derivada primera Si en la expresión (B.3) se le asigna un valor finito A al incremento !J.x se obtiene un valor aproximado de la derivada primera

dF(x) dx

F(x + A) F(x) -----'----'----------'--'-A '

~

n

siendo esta aproximación tanto mayor cuanto menor sea A. •

(B.5)

DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN

433

F(x)

Utilizando cualquiera de las tres diferencias finitas primeras (B.l) (Fig. B.2), se hallan los siguientes valores aproximados de la derivada primera de la función F(x) en el punto n

n

n+l

•

• •

•

•• •

• • • • • •

•

· x

•

Fig. B.2.

De las tres expresiones (B.6) de la derivada primera la mas aproximada es la última ya que contiene valores de la función F(x) a ambos lados del punto n. Si el punto n es un punto extremo de la curva necesariamente se ha de utilizar (B.6a) o (B.6b).

B. Aproximaciones de las derivadas de orden superior

En los problemas de cálculo de estructuras analizados por la Teoría de la Elasticidad o la Resistencia de Materiales no suelen presentarse derivadas de orden superior al cuarto, por lo que determinaremos únicamente las aproximaciones de las derivadas segunda, tercera y cuarta. La aproximación de la derivada segunda de la función F(x) en el punto n, expresión (B.4), se hallará mediante (B.7)

•

n

Utilizando las diferencias segundas finitas (B.2), hacia delante, hacia atrás y central, se obtienen las aproximaciones de la derivada segunda ,

,

(B.8a)

,

(B.8b)

•

(B.8e)

n •

n

n

434

MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

De forma análoga se hallan las aproximaciones de las derivadas tercera y cuarta de la función F(x) en el punto n. Utilizando diferencias finitas centrales se obtiene -Fn -

1

+ 3Fn

3Fn + 1

-

+ F n +2

~-------,--;::----'-------'

).3

n

(B.9)

'

(B .10) n

Ejemplo B.l. Una viga simplemente apoyada está sometida a una carga uniformemente distribuida q (Fig. B.3a). Utilizando el método de las diferencias finitas, determinar el momento flector y la flecha en la sección central comparándolos con los valores exactos.

Datos: q, L, Elz (rigidez a flexión de la viga). Solución: La ecuación diferencial de la elástica de una • vIga es

(a) y la relación entre el" momento flector Mz y la carga distribuida q(x) es q

~

2

d Mz(x) __ ( ) dx 2

1\

q

(b)

X •

\

.

~

L (a)

1

3o

2 o

o

•

~

LI2

•

•

LI2

(b)

2

o

3,

• •

• •

1

o

•

-

Ll4

L/4

(e)

,4 Ll4

•

5o

..

Ll4

Se divide la viga en dos tramos de longitud L/2 definidos por los puntos 1, 2 y 3 que representan las secciones extrema izquierda, central y extrema derecha (Fig. B.3b), a las que corresponden los momentos flectores MI, M2, M3 Y las flechas Y¡,Y2,Y3. Al aplicar las ecuaciones diferenciales (a) y (b) al punto 2 se sustituyen las derivadas segundas por sus expresiones aproximadas según (E.8e), Mz(x) por M 2 y q(x) por q2 = q, siendo n = 2 y >.. = L/2. De esta manera, el sistema de ecuaciones diferenciales (a) y (b) se reduce al sistema de ecuaciones lineales

•

y¡ - 2Y2 + Y3 (L/2)2

M2 Elz

'

Fig. B.3.

= -q.

DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN

435

Las condiciones de contorno YI = Y3 = O, MI = M 3 = O, permiten resolver el sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas (YI, Y2, Y3, MI, M 2, M 3 ), obteniéndose

Y2 =

Siendo los correspondientes valores exactos 4

Y2 =

5qL 384Elz

'

se comprueba que al aplicar el método de las diferencias finitas se ha obtenido un valor exacto del momento flector en la sección central, mientras que la flecha obtenida en dicha sección es un 20% superior al valor exacto. Si se desea una mayor aproximación es necesario aumentar el número de tramos de la viga (Fig. B.3c). En el caso de cuatro tramos, al aplicar las ecuaciones diferenciales a los puntos 2 y 3, sustituyendo las derivadas segundas por sus aproximaciones, se obtiene

YI - 2Y2

+ Y3

Y2 - 2Y3

(L/4)2

(L/4)2 M I -2M2 +M3

(L/4)2

+ Y4

- -q .

= -q,

Al añadir a las ecuaciones anteriores las ecuaciones Yl = O, MI = O (condiciones de contorno), Y2 = Y4, M 2 = M 4 (condiciones de la simetría) tendremos un sistema de 8 ecuaciones con 8 incógnitas (YI, Y2, Y3, Y4, MI, M 2 , M 3 , M 4 ). Resolviendo este sistema, se obtiene 2

M2 = M4

3qL = ---=-32 '

4

5qL Y2 = Y4 = 512Elz

4

'

7qL Y3 = 512Elz

'

Se comprueba que al pasar de dos a cuatro tramos, el valor del momento flector en la sección central sigue siendo exacto, mientras que el valor de la flecha en la sección central pasa de un error del 20% al 5%.

Ejemplo B.2. Una viga empotrada en sus extremos está sometida a una carga uniformemente distribuida q (Fig. B.4a). Utilizando el método de las diferencias finitas, determinar el momento de empotramiento, el momento flector y la flecha en la sección central comparándolos con los valores exactos.

Datos: q, L, Elz (rigidez a flexión de la viga). Solución: Al igual que la viga del ejemplo anterior, la ecuación diferencial de la elástica y la ecuación que relaciona el momento flector M y la carga distribuida q(x) son

L

• Fig. BA. (a)

436

MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

oo . - . - - . 1

2 3 €l_ _---O_ _--O

2' - - & l' .

--~o

'__ 0 - _ 0 - _ 0 _0

_.~

L/4

L/4

L/4

- . - -

(a)

O' - o

'__ 0 __ ' __ 0

L/4

L/4

L/4

(b)

Fig. B.4. (b)

Se divide la viga en cuatro tramos iguales de longitud L/4 definidos por los puntos 1, 2, 3, 2', l' Y se añaden los puntos ficticios O y 01 que definen dos tramos virtuales con . la misma longitud que los anteriores (Fig. B.4b). Al aplicar la ecuación diferencial (a) a los puntos 1, 2 Y 3, sustituyendo las derivadas segundas por sus expresiones aproximadas según (B.8e), resulta Yo - 2YI

+ Y2

+ Y2'

Y2 - 2Y3

(Lj4)2

(Lj4)2

Al aplicar la ecuación diferencial (b) a los puntos 2 y 3 utilizando las aproximaciones (B.8e) de las derivadas segundas, se obtiene

M2

= -q,

2M3 +M2 ,

-

(L/4)2

= -q.

Las condiciones de contorno que se tienen en cuenta son •

dy dx

YI = O,

= O I

y al aplicar a la segunda de estas ecuaciones la aproximación (B.6e) de la derivada primera, se halla Y2 - yo

2(Lj4)

= O,

es decir Y2 = yo·

Al añadir a las ecuaciones anteriores las ecuaciones Y2' = Y2, M 2, = M 2 (condiciones de simetría), tendremos un sistema de 7 ecuaciones con 7 incógnitas (yo, YI, Y2, Y3, MI, M 2 , M 3 ). Resolviendo el sistema, se obtiene 5 2 MI = --qL 64

qL

2

3 2 M 3 = 64 qL

12 , 8'

4

yo

= Y2 =

qL 2

5 qL 2048 Elz

21,33

4

'

YI

= O,

qL Y3 = 256Elz

'

•

DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN

437

2

Se ha hallado el momento de empotramiento MI = _qL /12,8 siendo su valor exacto 2 MI = -qL {12 lo q.ue supone .un errar del 6,25%. Asimismo, el momento ftector de la 2 sección central M 3 = qL /21,33 representa un error del 12,5% respecto a su valor exacto 4 2 M3 = qL /24. Finalmente, la flecha obtenida en la sección central Y3 = qL /256 Elz 4 supone un error del 50% respecto al valor exacto Y3 = qL /384Elz , lo que exige naturalmente aumentar el número de tramos. Al dividir la viga en 6 tramos la flecha máxima es 4 Y4 = qL /314 Elz con lo que se reduce el error al 22,2%.

Ejemplo B.3. Una columna de sección rectangular variable bxh está empotrada en un extremo y libre en el otro (Fig. B.5a). Utilizando el método de las diferencias finitas, determinar la carga crítica de la columna comparándola con el valor exacto. 5

Datos: L I =4 m, L 2 =6 m, bl =b 2 =40 cm, h l =20 cm, h 2 =40 cm, E=2· 10 kg/cm

2

.

p

p

1

v

I

h¡

L,

A

..k

A 3 L

A 4 L2

h

A

ls

A , ,

, ,

x

, •

(a)

• •

O- .

,• , , , •

A

(h)

Fig. B.5.

Solución: Al ser h l < bl y h 2 = b2 el pandeo de la columna tiene lugar en el plano longitudinal xy en el que está representada la posición de equilibrio indiferente de la columna debida a la carga de compresión P, siendo O la flecha en el extremo libre. Representando por y e yl las flechas del primero y segundo tramo de la columna, las ecuaciones diferenciales de la elástica correspondientes a esos tramos son

Py Eh' LI

<

x

< L,

d2 yl dx 2

Mz(x)

Pyl Eh'

(a)

Eh siendo h e h los momentos de inercia I z en el primer segundo tramo y L = L I + L 2 _ Se divide la columna en cinco tramos iguales de longitud A = 200 cm, definidos por 1&5 puntos 1, 2, 3, 4, 5 Y 6 Y se anade el punto ficticio O que determina un tramo virtual d la misma longitud que los anteriores (Fig. B.5b).

438

MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

Aplicando la aproximación (B.8e) a las ecuaciones diferenciales (a) en los puntos 2, 4, 5 Y 6, se obtiene el sistema de 4 ecuaciones con 7 incógnitas

PY2

1

+ Y3) + EIr

1

PY4

).2 (Yl - 2Y2

).2 (Y3 - 2Y4 1

I2 (Y4 1

I2 (ys

- 2ys - 2Y6

+ YS) + Eh + Y6) +

= 0, = 0,

(b)

PyS

Eh = 0,

PY6

+ YO) + Eh

= 0,

A estas ecuaciones se añaden las condiciones de contorno

dy'

(yh = 0,

dx

= 0, 6

y la condición de continuidad

dy

dy'

dx

dx

3

•

3

Al aplicar la aproximación (B.6a) a la segunda de las condiciones de contorno, resulta

dy'

yo - Y6

dx

).

6

= 0,

de donde

Yo = Y6· Finalmente, se aplican las aproximaciones (B.6) a la condición de continuidad

dy

dx

_ Y3 - Y2 3

).

dy'

Y4 - Y3

dx

). 3

es decir

Y2 +Y4 Y3 = 2 . Designando por y

k= h

Ir'

,

DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN

al sustituir YI

= 0,

yo

= Y6, Y3 = (Y2 + Y4)/2 en el sistema de ecuaciones (b), + 0,5Y4 = 0, 0,5Y2 + ({3 -1,5)Y4 + Ys = Y4 + ({3 - 2) Ys + Y6 = 0,

439

se obtiene

(k{3 - 1,5)Y2

Ys

+ ({3 -

0,

1) Y6 = O.

Para que este sistema de ecuaciones lineal y homogéneo tenga solución (no trivial) es necesario que sea nulo el determinante de sus coeficientes. Es decir

k{3 - 1,5

0,5

°

0,5

{3 - 1,5

1

° °

1

{3-2

1

°

1

{3-1

° °

det

-O - .

Desarrollando este determinante se obtiene la ecuación de cuarto grado

2k{34 - (9k

+ 3){33 + (9k + 13) {32 -

(k

+ 12) {3 + 1 =

3 = 40.20 /12

4 Teniendo en cuenta que Ir = 26667 cm , entonces k = 12 /11 = 8 Y la ecuación anterior se reduce a 16{34 - 75{33

+ 85{32 -

20{3

h

+1 =

O.

3 = 40.40 /12

4 = 213333 cm ,

0,

cuyas raíces son 0,0690, 0,2263, 1,2888 Y 3,1033. A la menor de estas raíces corresponderá la carga crítica. Es decir a = O 0690 = p cr ),,2

Eh '

¡J,

de donde

= O 0690 E12 = O 0690 2 . lOs . 213333 = 73600 k cr , ),,2' 200 2 g.

P.

La solución exacta de la carga crítica de la columna es

P.

_

cr -

1l'2

Eh --:::-

4L2

L2 L

--::-_--::,-1--,.-:=-

1

+ 1l'

1l'L2 sen L

+

h Ir

L¡

--'L~ -

___=____

1 1l'

1l'L2'

sen ---'-L~

a la que corresponde el valor Pcr = 62623 kg. En con::ecuencia, al aplicar el método de las diferencias finitas dividiendo la columna en cinco hamos se ha cometido un error del 17,53%.

440

MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

BA. DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN F(x,y) (x,y) =z •

•

•

.

.'

• • • • •

•

• • •

_

_

____

•

• • • •

"

_

_

M

• •

• _

_

.' •o •

•

M_

•

~

_

•

.• . _

_

•

_

_

_

_

y

•

Fig. B.6.

Supongamos ahora una función F(x, y) que depende de dos variables independientes x, y (Fig. B.6). Trazando en el plano x, y dos series de rectas paralelas a los ejes se construye una malla rectangular de puntos (m, n) a los que corresponden los valores F(m, n) como coordenadas z. Siendo Ax , Ay las dimensiones de los lados de los rectángulos, teniendo en cuenta (B.6), las aproximaciones de las derivadas parciales en el punto (m, n) son aF(x,y) ax rn,n

~

F rn +1,n - F rn ,n Ax

F rn n - F rn - 1,n Ax

~,

"'"'-J

1 Frn +1 n - Frn - 1 n , 2 Ax l

_

,

(B.ll) aF(x,y) ay m,n

F rn

~,

n+l -

Frn ,n

Ay

F rn n - F rn ,n-l Ay

~,

,-....,.¡

1 F rn n+l - F rn 2 Ay

- '

n-l ,

•

A partir de estas expresiones se hallan las aproximaciones de las derivadas parciales de segundo orden utilizando diferencias finitas centrales f"'o...J

F m - 1 n - 2Frn n + F rn +1 n '

,

,

),2

,

x

F rn

I'""74 v

F(

4

4

) = 8 F(x, y) x, Y 8x 4

+

2 8 F(x, y)

8x 2 8 y 2 ..

,..

lo..

• •

. . . - - - . . ..• .. . " 1 • •

·4

]

•

• • •

1

• • • • • ,• • • • • •

• •

.

~

+

....

]

• • • •

•

lo"

1

...

• ]f····• .... "•

•

-2.1

(B.14)

..

-

•

·,· •

••••

•

• ,•

-2¡"';'

•

•

-8

• • •

~ ~

..

8 F(x, y) 8y4 .

lo ,

• •

r,

4

·8,/ 2

t2O '< I

"

•

8"

1f

2) -- ...

8

l} ........ · ..

(a)

...

• •

• •

(b)

Fig. B.7.

En las figuras B. 7a y B. 7b se representan, respectivamente, los esquemas de las aproximaciones de A2\72 F(x,y) y de A4 \74F(x,y) para el caso Ax = Ay = A. En los esquemas aparecen los coeficientes de las aproximaciones correspondientes al punto considerado (m, n) que está situado en el centro de cada esquema.

..

Ejemplo BA. Una sección rectangular está sometida a un momento torsor M t (Fig. B.Sa). Utilizando el método de las diferencias finitas, calcular el esfuerzo cortante máximo comparándolo con el valor exacto. Datos: M t

= 5 mt, b = 30 cm, h = 40 cm.

..

b

Me

h

Z

1./ Solución: Según la Teoría de la Elasticidad el estado de esfuerzos de una sección solicitada a torsión está definido por la función de esfuerzos '!f;(y, z) que satisface en el interior de la sección la ecuación diferencial y Fig. B.8.

(a)

..

442

MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

es decir 2

V 'IjJ(y,Z)

+2 =

(a)

O

Y tiene un valor nulo en el contorno, o sea ['IjJ(y, Z)]Y=±h/2

= ['IjJ(y, Z)]z=±b/2 = O.

(b)

Conocida la función 'IjJ(y, z) se determinan los esfuerzos cortantes T xz , T xy debidos a un momento torsor M t mediante las expresiones M t 8'IjJ(y,z) T xz = I 8y , t

Txy

M t 8'IjJ(y,z) = - It 8z '

(e)

donde I t es el momento de inercia equivalente a torsión de la sección, definido por It = 2

i

(d)

'IjJ dy dz,

estando la integral extendida al área de la sección. De acuerdo con esta definición, I t es igual al doble del volumen delimitado por la sección de la viga y las coordenadas 'IjJ(y, z) medidas perpendicularmente a la sección en cada punto (y, z) de ella (analogía de la membrana).

4

4

(1)

(2)

(1)

1

2

(3)

1

O

3

2

(3)

(4)

• A .. ,. A •

O

3

•

A

1

2

(4) •

1

•

(2)

(1)

•

1•

1

]

2

•

1

•

•

z

(3)

,

.. .. -

•

,

•

(3)

. ,, ..

......... - -

k

(1)

•

4

4

y (h) Fig. B.8.

(e)

(b) Y (e).

Utilizando el método de las diferencias finitas se divide la sección en una malla formada por cuadrados de 10 cm de lado (Fig. B.8b). De acuerdo con el esquema de la figura B.7a, reproducido en la figura B.8c, la aproximación de la laplaciana de una función F(y, z) en un punto O es 2 1 ) V F(y, z)o ~ .>..2 (Fi + F j + F k + F¡ - 4Fo A continuación se aplica esta aproximación a la ecuación diferencial (a) sucesivamente en los puntos O y 1, obteniéndose para>" = 10 cm 1

+ 'ljJo + 'ljJ3 -

10 2 ('ljJo

+ 'ljJl + 'ljJ2 + 'ljJ4 -

102 (2'IjJ1 1

4'IjJo)

+2=

4'IjJ1)

O,

+2=

O.

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN

443

Las condiciones de contorno de una viga sometida a torsión son

Resolviendo este sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas, se obtiene 800 2 'l/Jl = 7 cm . De acuerdo con la ecuación (d), el momento de inercia equivalente a torsión I t es aproximadamente igual al doble del volumen del cuerpo poliédrico formado llevando las coordenadas 'l/Ji perpendicularmente a la sección en los 20 puntos que delimitan los cuadrados de la malla. Representando por 11(1), 11(2)' 11(3) Y 11(4) los volúmenes correspondientes a los cuadrados (1), (2), (3) Y (4), el volumen total es

siendo 11(2)

1 2 = 2 10 'l/Jl,

v;

- 10 2 'l/Jo

(4) -

+2 'l/Jl '

resulta 500 V = 3 'l/Jo

+ 400'I/Jl.

Al sustituir los valores hallados de 'l/Jo y 'l/Jl, el valor aproximado del volumen es V = 500 1000 3 7

400 800 = 69523 81 4 + 7 ,cm

y, por tanto, el valor aproximado del momento de inercia equivalente a torsión es

I t = 2V = 139047 cm

4

.

A la razón h/b = 1,333 le corresponde un coeficiente de torsión f3 = 0,174 y, en con3 3 4 secuencia, el valor exacto de I t es I t = f3hb = O, 174 . 40 . 30 = 187920 cm . El error que comete el método de las diferencias finitas con la malla utilizada es del 26%. El esfuerzo cortante máximo actúa en los puntos medios de los lados mayores, es decir, en los dos puntos 3. De acuerdo con la ecuación (e)

o'I/J(y, z)

oz

•

3

Ahora bien, según la ecuación (B.ll) aplicada al punto 3

o'I/J(y, z)

oz

3

1000 _ O 7 10

100 cm 7

444

MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

y, por tanto 5

5 . 10 100 2 T xy 3 = -139047 7 = -51,37 kg/cm .

A la razón h/b = 1,333 le corresponde un coeficiente de torsión a = 0,223 y, en conse2 5 cuencia, el valor exacto del esfuerzo cortante máximo es T max = Mt/ ahb = 5.10 / (0,223· 2 2 40 . 30 ) = 62, 28 kg/cm . El error que comete el método de las diferencias finitas con la malla utilizada es del 17,5%.

EjeIllplo B.5. Una placa cuadrada apoyada en sus bordes está sometida a una carga uniformemente distribuida q (Fig. B.9a). Utilizando el método de las diferencias finitas, determinar el momento flector y la flecha en el centro de la placa comparándolos con los valores exactos.

Datos: q, a, D (rigidez a flexión de la placa). Solución: Siendo w la flecha de un punto cualquiera, la ecuación diferencial de gobierno de una placa de forma cualquiera es 2a

•

q(x,y) D

)

es decir

2a

y

\74

w(x , y) -_ q(x, y) D .

(a)

Los momentos de la placa se obtienen mediante

M x =-D

x

(a) (b)

My=-D y

.. .. d

siendo M x , M y y M xy los momentos flectores y momentos torsores que actúan por unidad de longitud de placa (Fig. B.9b) y v el coeficiente de Poissón del material. Al introducir la expresión

(b) Fig. B.9. (a) y (b).

M= Mx+M y =-D l+v

,

(c)

445

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN

la ecuación diferencial de gobierno (a) puede sustituirse por las ecuaciones M

(d)

---

D'

éPM 8x 2

2

+

8 M 8 y 2 = -q (x, y).

(e) a

•

Dividiendo la placa según una malla formada por cuadrados de lado a, con el punto O en el centro de la placa y los puntos 1, 2, 3 Y 4 en el medio de los bordes (Fig. B.9c), Wo, Wl, W2, W3, W4 y M o , MI, M 2 , M 3 , M4 son las flechas y los valores de M correspondientes a esos puntos. Al aplicar las aproximaciones (B.12) a las ecuaciones diferenciales (d) Y (e) en el punto O y sustituir M = M o , q(x,y) = qo = q,..\ = a, dichas ecuaciones diferenciales se reducen al sistema de ecuaciones lineales

.

.,

a

•

1

a O

2

41

Y

a 3

x Fig. B.9. ( e)

l I M o :1 (Wl - 2wo + W3) + :1 (W2 - 2wo + W4) = - D ' a a

es decir 1

a 2 (Wl

+ W2 + W3 +

Mo W4 - 4wo) = - D '

Las condiciones de contorno de la placa apoyada en los bordes son Wl

= W2 = W3 = W4 = O

y al ser en dichos bordes M x1 = M y1 = O, M x2 = M y2 = O, M x3 M y4 = O, resulta

M y3 = O, M x4

Resolviendo el sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas, se obtiene 2

qa Mo = 4 '

4

qa Wo = 16D'

y, teniendo en cuenta la ecuación (e) y la simetría existente en el centro de la placa Mo =

M xo +Myo

1+//

2Mxo

1+//

2Myo

1+//

•

446

MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

Por tanto, los momentos flectores en el centro de la placa son

2 qa (1

+ 11) •

8

El valor exacto de los momentos flectores en el centro de la placa es

, lo que supone que se ha cometido un error del 23,38% con el método de las diferencias finitas. Asimismo, el valor exacto de la flecha en el centro de la placa es q(2a)4 = 236D

Wo

4

qa 14, 75D'

respecto al cual el error cometido ha sido del 7,8%. Naturalmente los errores de los momentos fiectores y de la flecha en el centro de la placa se reducirán en cuanto los cuadrados de la malla sean de menor tamaño. Si se hubiera ampliado la malla (Fig. B.9d) para poder aplicar a la ecuación diferencial (a) en el punto Ola aproximación representada por el esquema de la figura B.7b, resultaría 20wo - 8(WI

+ W2 + W3 + W4) + 2(W5 + W6 + W7 + ws) + l(wg + WlQ + WIl + W12)

q

D·

a4

En este caso las condiciones de contorno relativas a las flechas son W¡ I

a

1

a

a

1

a

1

I

Ahora bien, a lo largo del borde 5-8 se verifica

9 a 5

8

1

= W2 = W3 = W4 = W5 = W6 = W7 = Ws = O.

=0

Mx=-D

(f)

a 1O 2

O

y

12

4

a 6

3

7 a

11 x

Fig. B.9. (d).

y además W = O, por lo que 8w/8y = O Y 2 8 w / 8 y 2 = o. En consecuencia, según la ecua-

ción (f), a lo largo del borde 5-8 también ha de ser 2 8 w 8x 2 = O. Aplicando a esta ecuación en el punto 1 la aproximación representada por la primera de las ecuaciones B.12, resulta Wg - 2w¡ +wo

a2

= O.

COORDENADAS TRIANGULARES

Como simetría

WI

= 0, de la ecuación anterior se deduce

Wg

=

WlQ

=

Wl1

=

WI2

Wg

=

=

-Wo

447

y, teniendo en cuenta la

-Wo.

Sustituyendo estas relaciones y las condiciones de contorno de las flechas en la aproximación de la ecuación diferencial (a), se obtiene 4

Wo

qa = 16D'

que coincide con el valor anteriormente hallado.

B.5. COORDENADAS TRIANGULARES Supongamos ahora que la función F(~, (, r¡) depende de las coordenadas triangulares~, (, r¡, coincidiendo el eje ~ con el eje x mientras los ejes ( y r¡ forman ángulos constantes a y 13, respectivamente, con el eje x (Fig. B.1ü). Las relaciones entre las coordenadas cartesianas y las triangulares de un punto cualquiera P son x = ~ + ( cos a + r¡ cos 13, (B.15) y p y = ( sena + r¡senj3. Teniendo en cuenta que

8x

8~ = 1,

8x 8( = cosa,

8x 8r¡ = cos 13,

8y 8~ = 0,

8y 8( = sena,

8y 8r¡ = sen 13,

x

Fig. B.lO.

las derivadas parciales de la función

8F 8F 8~ --=-= 8x 8~ 8x

+

8F 8( 8( 8x

F(~,(,r¡)

8F 8r¡ 8F + 8r¡ 8x = 8~

+

respecto a los ejes x,y son

8F 1 8( cos a

8F 1 + --=-8r¡ cos 13 ,

(B.16) 8F 8F 8( -=-= 8y 8( 8y

+

8F 8r¡ 8F 1 = 8r¡ 8y 8( sen a

8F 1 + -=---::8r¡ sen 13 .

Sustituyendo en estas relaciones las derivadas parciales de F(~, (, r¡) respecto a ~,( y r¡ por sus aproximaciones en esas direcciones se obtienen las aproximaciones de las derivadas parciales de F(x, y) respecto a x e y. A partir de ellas y procediendo del mismo modo se hallan las aproximaciones de las derivadas de ordenes superiores.

·

448 MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

y

x (a)

(b)

Fig. B.ll.

Utilizando en la definición de las coordenadas triangulares los ángulos a = 7r/3, f3 = 27r/3 (Fig. B.lla), se construye en el plano x, y una malla de triángulos equiláteros formada por puntos (e, (, r¡) a los que corresponden los valores F(e, (, r¡) como coordenadas z (Fig. B.llb). En este caso, las expresiones de la laplaciana \72 F( x, y) Y de la bilaplaciana \74 F( x, y) son

8 2F 8e 2 4 8 F 8e4

2 8 F

+ +

8(2

4 8 F 8(4

+

8 2F 8r¡2

+

8 4F 8r¡4

' 8 4F + 2 8e28r¡2

8 4F + 2 8e8(2

8 4F + 2 8(28r¡2

' (B.17)

estando representados en las figuras B.12a y B.12b, respectivamente, los esquemas de las aproximaciones de 3)..2\72 F(x, y)/2 y de 9)..4\74 F(x, y)/4 correspondientes al punto situado en el centro de cada esquema. ••

~

1

A.

2

1

My.

A. 1

A.

A.

>-< -6

1

1

M

1

1

2

1 1

-10

~

Fig. B.12.

2

~

42 -10

2 1

(a)

-10

-10

-10 2

2 1

(b)

1

COORDENADAS TRIANGULARES

449

y

p

x

(a)

(b)

Fig. B.l3.

Un caso particular de las coordenadas triangulares son las coordenadas oblicuas (Fig. B.13a). En este caso las relaciones entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas triangulares (B.15) se reducen a .

x=

~

+ (cosa, (B.18)

y = (sena,

Estas relaciones se utilizarán cuando la distribución de los puntos (~, () situados en el plano x, y constituyen una malla formada por rombos (Fig. B.13b).

Ejemplo B.6. Una placa triangular apoyada en sus bordes está sometida a una carga uniformemente distribuida q (Fig. B.14a). Utilizando el método de las diferencias finitas, determinar el momento flector y la flecha en el centro de la placa, comparándolos con los valores exactos.

Datos: q, a, D (rigidez a flexión de la placa) Solución: Las ecuaciones de la placa serán las mismas del ejemplo anterior

(a)

aM aM 2

ax2

a

2

+

a y 2 = -q(x, y).

(b) Fig. B.l4. (a).

450

MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS

Se divide la placa según una malla formada por triángulos equiláteros de lado >.. = a/ (6 sen 60°) = correspondiendo el punto Oal centro de la placa (Fig. B .14b). De acuerdo con el esquema de la figura B.12a, reproducido enla figura B.14e, la aproximación de la laplaciana de una función F(x, y) en el punto O es

a¿,

2

2

'V F(x, y)o =

3

>..2 (F;

.

+ Fj + Fk + Fl + Fm

. + F.n

-

6Fo ),

y al aplicar esta aproximación a la ecuación diferencial (a) sucesivamente en los puntos 2 0,1 Y 2, teniendo en cuenta que 2/(3)..2) = 18/a , se obtiene 18 Afo a 2 (6w¡ - 6 w o) = - D ' 18 a2 (wo

Af¡ + 2w¡ + W2 + W3 + W4 - 6w¡) = - D '

18' -2 (2w¡ + 2W4 a )

Af2 + 2W5 - 6W2) = - D . .

Análogamente, al aplicar la misma aproximación a la ecuación diferencial (b) sucesivamente en los puntos O, 1 Y 2, resulta 18 2" (6Af¡ - 6Afo ) = -q, a 5

4

3

4

5

(b)

n ¡

A. ¡

¡

-6 f...-(¡iJ 1

Las condiciones de contorno de la placa apoyada en los bordes son W3 = W4 = W5 = O Y Af3 = Af4 = Af5 = o. Resolviendo el sistema de 12 ecuaciones con 12 incógnitas, se obtiene qa

(e)

2

Afo = 27'

4

qa Wo = 898D·

Fig. B.14. (b) y (e).

Teniendo en cuenta la ecuación (e) del ejemplo B.5 y la simetría existente en el centro de la placa 2 Af = Afxo + AfyO 2Afxo 2Afyo qa o 1+v 1+v 1+ v 27 y, por tanto, los momentos flectores en el centro de la placa son 2

'A" _ qa (1 M xO - lV1yO _

+ v)

54

y coinciden con los valores exactos. En cuanto a la flecha en el centro de la placa el 4 valor obtenido Wo = qa /898D representa un error del 8,24% respecto al valor exacto 4 Wo = qa /972D.

c. ,

METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

•

C.l. INTRODUCCION Con el término de barra se denominan aquellos elementos estructurales, como las vigas y los soportes, en los que predomina su dimensión longitudinal sobre las dimensiones transversales. En este apéndice se describe el método de los desplazamientos que es un método de análisis matricial dirigido a estructuras de barras. Este método es un caso particular del método de los elementos finitos y, por ello, constituye realmente una introducción al mismo. Este resumen del método de los desplazamientos se aplica a estructuras planas, ya sean reticuladas o articuladas, es decir, a estructuras cuyas barras están unidas mediante nudos rígidos o articulaciones a los que llamaremos indistintamente nodos. C.2. RELACIONES ENTRE SOLICITACIONES Y DESPLAZAMIENTOS

Consideremos una barra AB de peso despreciable, longitud L, módulo de elasticidad E, siendo A el, respectivamente, el área y el momento de inercia 1z de su sección transversal (Fig. C.I). Vamos a determinar las solicitaciones que hay que aplicar a los extremos de la barra para provocar desplazamientos aislados en uno de sus extremos, por ejemplo el A. Por supuesto, los resultados serán análogos cuando se provoquen esos desplazamientos aislados en el extremo B. Á.

Desplazamiento longitudinal

1-

A I

(

B I •

•

, •

•

•

L

Fig. C.l.

al

Para provocar el desplazamiento longitudinal .6 1 del extremo A es preciso aplicar en los extremos de la barra las fuerzas normales N AB Y N BA (Fig. C.2). Del equilibrio longitudinal de la barra se deduce NAB = - NBA . Puesto que

.6 _

E,A,!

A A' B --""~----li--------' ~ NA, ~ ~ : N'A

l I

v

.8 1

; :

L'

Fig. C.2.

NABL

EA 451

452

MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

las solicitaciones que hay que aplicar son N AB = -NBA =

B. Desplazamiento transversal

EA L

(C.l)

6. 1 .

a2

Para provocar el desplazamiento transversal 6. 2 del extremo A es preciso aplicar las fuerzas cortantes TAB y TBA Y los momentos fiectores MAB y MBA (Fig. C.3). Del equilibrio de la barra se deduce I;Y =

O,

T AB +TBA =

O,

(a)

Considerando la barra como si estuviese empotrada en su extremo B, resulta r----------

A

,

I

J'--------------___.,

L

(b)

eA = ° =

Fig. C.3.

2 TAB L

MABL

2El

El

•

Resolviendo el sistema de ecuaciones (a) y (b) se obtienen las solicitaciones l2El 6. L3 2,

(C.2)

c.

Desplazamiento angular

a

3

Para provocar el desplazamiento angular 6. 3 del extremo A es preciso aplicar a la barra las fuerzas cortantes TAB y TBA Y los momentos fiectores MAB y MBA (Fig. C.4). Del equilibrio de la barra se deduce /

I;Y =

/ /

~/

O,

TAB +TBA =

O,

.--=~~--LI~

(c)

¿\,.3__

,J--r'

: MEA I

I I-----------~J

L Fig. CA.

Considerando la barra como simplemente apoyada en sus extremos A y B,

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO

453

(d)

Resolviendo el sistema de ecuaciones (c) y (d) se obtienen las solicitaciones

(C.3)

,

,

C.3. DESCRIPCION DEL METODO El método de los desplazamientos determina, primeramente, los desplazamientos de los nodos de una estructura y, a partir de ellos, las solicitaciones en los extremos de las barras y las reacciones de los enlaces externos. A su vez, las solicitaciones de extremo permitirán hallar las solicitaciones y desplazamientos en cualquier sección transversal y, seguidamente, los esfuerzos en cualquier punto de la estructura. Consideremos un pórtico plano (Fig. C.5a). Este pórtico tiene activos 7 grados de libertad que se corresponden con el número n de los posibles desplazamientos 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07 de sus nodos. Estos 7 desplazamientos nodales constituyen las incógnitas del método de los desplazamientos.

A

e (a)

(h)

Fig. e.5 (a) y (b).

Supongamos que sobre el pórtico actúan cargas cualesquiera, es decir, cargas aplicadas sobre los nodos y sobre las barras (Fig. C.5b). Aplicando el principio de superposición se descompone el estado de carga real en los estados de carga 1 y 2.

454 MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

Estado de carga 1 (Fig. C.5c), que considera las cargas aplicadas sobre las barras anulando los posibles desplazamientos lineales y angulares de los nodos. Para ello se suponen las barras cargadas empotradas en sus extremos y, por tanto, sometidas a las cargas aplicadas y a las reacciones de los empotramientos {Re} = [F;,F;,Me]. De esta manera se determinan las solicitaciones de las barras siendo nulos los desplazamientos de los nodos en este estado de carga. Estado de carga 2 (Fig. C.5d), que considera las cargas directamente aplicadas a los nodos {P d} a las que hay que añadir las acciones de los empotramientos _{Re}. Si las cargas {P d} y _{Re} tienen sus componentes dirigidas según ejes paralelos a las direcciones de los desplazamientos, las cargas aplicadas a los nodos {pa} serán

M;B (e)

e

-

F AH

(CA) (d)

De esta forma se obtienen las cargas aplicadas a los nodos Pf, P/f, Pf, P;, Pt, Pt, Pt, que originan los desplazamiento de los nodos 01, 02, 03, 04, 05, 06, 67 (Fig. C.5e). Ahora bien, el pórtico alcanza el equilibrio tras estos desplazamientos y ello exige que, en cada nodo i el conjunto de solicitaciones que el nodo ejerce sobre los extremos de las barras formen un sistema de fuerzas internas {F i} equivalente a las cargas {Pi}. En general, si n es el número de grados de libertad activos de la estructura, se han de verificar las n ecuaciones de equilibrio

(e)

{Fi }

Fig. C.5 (e), (d) y (e).

= {Pi}

(C.5)

donde Fi es la fuerza interna en la dirección 8i debida a los desplazamientos 81 , 82 , ... , 8n de los nodos. Según el principio de superposición Rt = Rt ó1

+ R ó + ... + R ón' t

2

t

siendo F iÓj la fuerza interna en la dirección de 8i debida al desplazamiento nodal 6j

.

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO

Asimismo, al ser la estructura linealmente elástica, la fuerza al desplazamiento 8j que la origina, o sea

Fió;

455

es proporcional

(C.6) donde el coeficiente k ij , o coeficiente de rigidez k ij de la estructura, representa la fuerza interna en la dirección 8i originada por un desplazamiento nodal 8j unitario. Sustituyendo las igualdades anteriores en las n ecuaciones de equilibrio (C.5), se obtiene k u 81 + k 12 82 + + k ln 8n = PI' k 21 81

+ k 22 82 +

+ k 2n 8n

=

P!f,

•

• •

k nI 81

+ k n2 82 + ... + k nn 8n

= P~.

Estas ecuaciones pueden escribirse en la forma matricial

(C.7) donde

{pa}

=

[Pf P!f ... p~]T

(C.8)

es el vector de cargas aplicadas a los nodos. La matriz [K], cuyos elementos son los coeficientes de rigidez k ij , es la matriz de rigidez de la estructura

[K] =

• •

•

•

• •

• • •

•

k nl

k n2

...

(C.9)

k nn

Es una matriz cuadrada de orden n igual al número de posibles desplazamientos de los nodos de la estructura, que es igual al número de grados de libertad que conserva activos la estructura después de tener en cuenta las coacciones que ejercen los enlaces externos. En esta matriz tienen que ser nulos aquellos elementos k ij cuyos subíndices i, j corresponden a dos nodos no contiguos, es decir, a dos nodos no unidos por una barra. Finalmente, {-A;-----------;B:+--..z N'A

que determinan los coeficientes de rigidez

(el)

k 12 = O, Fig. C.6.

Por consiguiente, la matriz de rigidez de la estructura es O

[K]

=

•

O

458

MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

b) Siendo el vector de cargas aplicadas a los nodos P cos a

, -P sen a la ecuación matricial de la estructura (C.7) es

8 _ PL I cos a 1 E 1A 1

8 = _ P L 2 sen a. 2

'

E2 A2

Ejemplo C.2. La estructura articulada ABCD tiene todas las barras del mismo material, de la misma sección y de la misma longitud (Fig. C.7a). Determinar la matriz de rigidez de la estructura. Datos: E, A, L, a.

A' A

B

- - --

B

D

D

(b)

(a)

(e)

Fig. C.7.

Solución: La estructura articulada tiene n = 2 grados de libertad activos que corresponden a los posibles desplazamientos 81 , 82 del nodo A. Provocando aisladamente el desplazamiento 81 = l (Fig. C.7b), mediante las ecuaciones (C.I), se originan las fuerzas normales 1

N AB

=

EA L

.l =

EA L

,

1 N AC

=

EA L

·lcosa

=

EA

L cosa.

El coeficiente de rigidez kl l es la componente según d1 de las fuerzas normales anteriores, es decir 1 1 EA EA 2 k l1 = N AB + N AC cos a = L + L cos a.

460

MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

o _(H+P2 )L 1 E1A1

1 -

02

(H

=

'

+ P2 ) L 1 + E1A1

P2 L 2 E2A2

se deducen los valores de las fuerzas longitudinales

P1 =

De la definición de coeficientes de rigidez, haciendo Y P 2 = k 21 . Por tanto

Análogamente, haciendo

02

01

= 1 Y 02 = Ohan de ser PI = k l1

= 1 Y 01 = O han de ser PI = k 12

YP2

= k 22 .

Por tanto

En consecuencia, la matriz de rigidez de la ménsula es

E1 A 1 L1

[K]

+

E2 A 2

E2 A2

L2

L2

=

•

E2 A2

E2 A2

L2

L2

Ejemplo C.4. La estructura articulada ABe está sometida a las cargas P y Q aplicadas en el nodo B (Fig. C.9a). Determinar la matriz de rigidez de la estructura y hallar los desplazamientos de los nodos. Datos: P

= 20000 kg,

Q = 10000 kg, AB

= L = 5 m,

senj3

= 4/5,

EA

= 3.10

7

kg.

Solución: La estructura tiene n = 3 grados de libertad activos que corresponden a los desplazamientos 01, 02 del nodo B y al desplazamiento 03 del nodo e (Fig. C.9b). La matriz de rigidez es de orden 3 pudiendo ser no nulos todos los coeficientes de rigidez k ij por ser contiguos los nodos B y e que experimentan los desplazamientos 01, 02 Y 03.

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO

Q

461

1 NBA

p

B

B --01

,,

B

B'

Oj=1

e

A

A.~---,-

(a)

(b)

C-p'

(e)

Fig. C.9.

El desplazamiento Ó1 = 1 del nodo B (Fig. C.9c) determina los coeficientes de rigidez k l1 =

1 N BA

EA EA 2 cos(3 = L cosfl· cos(3 = L cos (3,

1

k 21 = N B A sen fl =

EA L

cos fl . sen (3,

El desplazamiento Ó2 = 1 del nodo B (Fig. C.9d) determina los coeficientes de rigidez

NiJA cos (3 =

e

EA

L sen (3 cos (3, 1

---;;:fl sen k32

=

+ sen

2

(el)

(3

,

O.

Por último, el desplazamiento Ó3 = 1 del nodo (Fig. C.ge) determina los coeficientes de rigidez

B

e

k23 = O, k 33

=

3 N CA

=

EA . Lcos(3

(e)

Fig. C.9.

462

MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

En consecuencia, la matriz de rigidez de la estructura articulada es 2

cos (3

[K] =

EA

sen (3 cos(3 1 (3 sen

sen (3 cos (3

L

+ sen

O

2

O O

(3

•

1

O

cos (3

Sustituyendo los datos, resulta

[K] = 60000

0,36

0,48

O

0,48

1,89

O

O

O

1,6667

•

Teniendo en cuenta que el vector de cargas aplicadas a los nodos es 20000

,

-10000 O de la ecuación matricial de equilibrio (C. 7)

60000

0,36

0,48

o

20000

0,48

1,89

O

-10000

O

O

1,6667

O

,

se deducen los desplazamientos de los nodos 81

1,578

82

-0,489

(cm).

O

Ejemplo e.5. Considerando indeformable longitudinalmente la viga continua de sección constante ABCD (Fig. C.lOa), determinar su matriz de rigidez.

Datos: El, L 1 , L 2 , L 3 •

al

.A A

"•

D

B •

•

•

7Q A e

L1

(a)

Fig. C.IO (a) y (b).

L2

,r-...

,r-...

.A

:¡

A

03

02

,r-...

,r-...

~ ~

••

••

04

L) (b)

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO

463

Solución: Al ser indeformable longitudinalmente, la viga continua tiene n = 4 grados de libertad activos que corresponden a los posibles giros 81 , 82 , 83 y 84 de los nodos A, B, e y D (Fig. e.lOb). Los coeficientes de rigidez k13 , k I4 Y k24 Y sus simétricos tienen que ser nulos por corresponder sus subíndices a nodos no contiguos. Por ello, el esquema de la matriz de rigidez de la viga continua es

kn

k12

O

O

[K] =

•

Hallaremos los coeficientes de rigidez teniendo en cuenta las ecuaciones (e.3). El giro 81 = l del nodo A (Fig. e.lOe) determina los coeficientes de rigidez

1

kn

= M AB =

4EI L

1

'

El giro 82 = 1 del nodo B (Fig. e.lOd) determina los coeficientes de rigidez 2

k22

2

= M BA + M Bc =

4EI L1

(e)

4EI

+

L

,,

'

2

A

"

~- -~_-~-~--::.:.: - .,:-

k 32 =

2 M CB

2EI

=

L2

'-11

.

M1

M~A . .

'í -

;c

--

h

-

--

e D -;}~--"'7(,),. M¿' :& -

-

-

(d)

El giro 83 = l del nodo e (Fig. e.lOe) determina los coeficientes de rigidez

k 33

=

3 M CB

+M

3 CD

=

4EI L

k43

2

+

=M

A

4EI L

3 Dc

3

=

,

'

(e)

2EI L

. 3

El giro 84 = 1 del nodo D (Fig. e.IO!) determina los coeficientes de rigidez 4

k 4 4 = M Dc =

4EI L

3

4

'

k 34 = M CD =

B

M1c

2EI L3

.

A

B

if) Fig. C.IO (e), (d), (e) y (J).

464

MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

Con estos coeficientes se construye la matriz de rigidez de la viga continua

1

2 LI 1

[K]

=

L1 2

1

2

2

L2

O

O

L2

1

O

O

1

2

+ L 1 L2

L1

2El

O

+ L 2 L3

L3

1

2

L3

L3

-

O

•

Ejemplo C.6. En la estructura continua ABC se consideran indeformables longitudinalmente sus barras (Fig. C.lla). Determinar: a) la matriz de rigidez, b) los desplazamientos de los nodos debidos a la carga uniformemente distribuida q.

Datos: q

= 2 t/m, El =

10

10

kg·cm

2

,

AB

= 2L = 12 m, BC = L =

6 m.

Solución: a) Al ser las barras indeformables longitudinalmente, los desplazamientos longitudinales del nodo B son nulos, por lo que la estructura tiene n = 2 grados de libertad activos que corresponden a los posibles giros 61 y 62 de los nodos B y C (Fig. C.llb). q

A

-A----------B-i) 01

B

e (a)

(b)

Fig. C.1l (a) y (b).

~--;~.-"'--;.:-.:..:--~-~--:..--~-~--~-~--~_.- - ~ A 1

- - - - --

El giro 61 = 1 del nodo B (Fig. C.lle) determina los coeficientes de rigidez

1

(e) Fig. C.1l (e).

e )M~B

k l1

k 21

=

1

M BA

=M

1 eB

1

+ M Be

=

2El

L .

4El 4El 6El = 2L + L = L '

465

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO

Asimismo, el giro 82 = 1 del nodo e (Fig. C.lId) determina los coeficientes de rigidez 2

k22

= MeE = 2

k 1 2 = MEe

=

4EI L

'

2EI L .

_ _ _ _ _ _ _ _ _-.."B M2 Be A

Por consiguiente, la matriz de rigidez de la estructura es

[K] = 2EI L

3

1

1

1 •

2

(d)

b) El estado de carga 1 (Fig. C.lIe) supone la barra AB empotrada en sus extremos. A la reacción de empotramiento M

e EA -

-

q(2L)2 qL 2 12 -- - 3 '

A

B

le corresponde la acción de empotramiento -MEA en el estado de carga 2 (Fig. C.lIn, con lo que el vector de cargas aplicadas en este estado de carga es

e (e)

qI? 3

-~A

•

O

-A-------B~

De la ecuación matricial de la estructura (C.7) 2EI L

3 1

1

,

2

(f)

e

Fig. C.U (d), (e) y

se deduce el vector de desplazamientos de los nodos qL

3

15EI qL

3

•

30EI Sustituyendo los datos, se obtiene

81

0,072 (rad).

82

-0,036

(!J.

466

MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

CA. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA

A. Matriz de rigidez de una barra en coordenadas locales 6s

YL

Ss

YL

S6

63

62

S4

XL

B

61 A

XL

B

SI A

(a)

(b)

Fig. C.12.

En el caso particular de una barra el número total de grados de libertad es igual a 6 que se corresponde con los 6 desplazamientos ~1, ~2, ~3, ~4, ~5, ~6 que pueden experimentar los extremos de la barra (Fig. 0.12a). Para provocar estos 6 desplazamientos es necesario aplicar en los extremos de la barra las solicitaciones SI, S2, S3, S4, Ss, S6 (Fig. C.12b). Los sentidos positivos de los desplazamientos lineales coinciden con los sentidos positivos de los ejes locales de la barra XL, YL Y el sentido positivo de los desplazamientos angulares es el sinextrorsum. El mismo criterio se aplica para las fuerzas y pares que constituyen las solicitaciones. En las figuras C.12 tanto los desplazamientos como las solicitaciones se han representado con sus sentidos positivos. Teniendo en cuenta la linealidad elástica de la barra y el principio de superposición, entre los desplazamientos y las solicitaciones existen la relaciones

+ k12~2 + k21~1 + k22~2 +

SI = kI1~l S2 =

+ k16~6, + k26~6,

• • •

donde k ij representa la solicitación Si que hay que aplicar a la barra para provocar únicamente el desplazamiento unitario ~j. Estas expresiones pueden escribirse en la forma matricial

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA

es decir

{S}

[k]L{.6.},

=

467

(C.12)

siendo [k]L la matriz de rigidez de la barra en coordenadas locales. Para determinar los 36 coeficientes de rigidez de esta matriz se provocan aisladamente desplazamientos unitarios en las direcciones