El Libro de Las Matemáticas, Big Ideas Simply Explained by DK Publishing-Páginas-61-160 Es

Traducido del inglés al español - www.onlinedoctranslator.com

El sistema decimal posicional de la numeración hindú-árabe permitió un mayor estudio de los números irracionales, que se pueden mostrar como una serie infinita de dígitos después del punto decimal sin un patrón recurrente. Por ejemplo, 0.1010010001... con un cero extra entre cada par sucesivo de 1, continuando indefinidamente, es un número irracional. Pi (π), que es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, es irracional. Esto fue demostrado en 1761 por Johann Heinrich Lamber; las estimaciones anteriores de π habían sido 3 o22⁄7.

Entre dos números racionales cualesquiera, siempre se puede encontrar otro número racional. El promedio de los dos números también será racional, al igual que el promedio de ese número y cualquiera de los números originales. Los números irracionales también se pueden encontrar entre dos números racionales cualesquiera. Un método es cambiar un dígito en una secuencia recurrente. Por ejemplo, se puede encontrar un número irracional entre los números recurrentes 0.124124... y 0.125125... cambiando 1 a 3 en el segundo ciclo de 124, para dar 0.124324..., y haciéndolo nuevamente en el quinto, luego en el noveno ciclo, aumentando la brecha entre los 3 de reemplazo por un ciclo cada vez.

Uno de los grandes retos de la teoría de números moderna ha sido establecer si existen más números racionales o irracionales. La teoría de conjuntos indica claramente que hay muchos más números irracionales que números racionales, aunque hay infinitos números de cada uno.

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HIPASO Los detalles de la vida temprana de Hippasus son incompletos, pero se cree que nació en Metapontum, en Magna Graecia (ahora sur de Italia), alrededor de 500antes de Cristo. Según el filósofo Jámblico, que escribió una biografía de Pitágoras, Hippaso fue uno de los fundadores de una secta pitagórica llamada Mathematici, que creía fervientemente que todos los números eran racionales. A Hippasus generalmente se le atribuye el descubrimiento de los números irracionales, una idea que la secta habría considerado una herejía. Según una historia, Hippasus se ahogó cuando sus compañeros pitagóricos lo arrojaron por la borda de un bote con disgusto. Otra historia sugiere que un compañero pitagórico descubrió los números irracionales, pero Hipaso fue castigado por contarle al mundo exterior sobre ellos. Se desconoce el año de la muerte de Hippaso, pero es probable que haya sido en el siglo V. antes de Cristo.

Obra clave

siglo Vantes de CristoDiscurso Místico Ver también:Números posicionales•Ecuaciones cuadráticas•Pitágoras•Números imaginarios y complejos.•numero de euler

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE Zenón de Elea(C. 495–430antes de Cristo)

CAMPO Lógica

ANTES Principios del siglo Vantes de CristoEl filósofo griego Parménides funda la escuela de filosofía eleática en Elea, una colonia griega en el sur de Italia. DESPUÉS

350antes de CristoAristóteles elabora su tratadoFísica, en el que recurre al concepto de movimiento relativo para refutar las paradojas de Zenón. 1914El filósofo británico Bertrand Russell, quien describió las paradojas de Zeno como inconmensurablemente sutiles, afirma que el movimiento es una función de la posición con respecto al tiempo.

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Zenón de Elea pertenecía a la escuela filosófica eleática que floreció en la antigua Grecia en el siglo V.antes de Cristo. A diferencia de los pluralistas, que creían que el Universo podía dividirse en sus átomos constituyentes, los eleáticos creían en la indivisibilidad de todas las cosas. Zeno escribió 40 paradojas para mostrar lo absurdo de la visión pluralista. Cuatro de estos, la paradoja de la dicotomía, Aquiles y la tortuga, la paradoja de la flecha y la paradoja del estadio, abordan el movimiento. La paradoja de la dicotomía muestra lo absurdo de la visión pluralista de que el movimiento puede dividirse. Un cuerpo que se mueve una cierta distancia, dice, tendría que llegar a la mitad del camino antes de llegar al final, y para llegar a esa mitad del camino, primero tendría que llegar al cuarto de camino, y así hasta el infinito. . Debido a que el cuerpo tiene que pasar por un número infinito de puntos, nunca alcanzaría su meta. En la paradoja de Aquiles y la tortuga, Aquiles, que es 100 veces más rápido que la tortuga, le da a la criatura una ventaja de 100 metros en una carrera. Al sonido de la señal de partida, Aquiles corre 100 metros para llegar al punto de partida de la tortuga, mientras que la tortuga corre 1 metro, lo que le da una ventaja de 1 metro. Sin inmutarse, Aquiles corre otro metro; sin embargo, al mismo tiempo, la tortuga corre una centésima de metro, por lo que todavía está a la cabeza. Esto continúa, y Aquiles nunca se pone al día. La paradoja del estadio se refiere a tres columnas de personas, cada una de las cuales contiene el mismo número de personas; un grupo está en reposo, mientras que los otros dos corren uno al lado del otro a la misma velocidad en direcciones opuestas. Según la paradoja, una persona en una

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El grupo en movimiento puede pasar dos personas en el otro grupo en movimiento en un tiempo fijo, pero solo una persona en el grupo estacionario. La conclusión paradójica es que la mitad de un tiempo dado equivale al doble de ese tiempo.

A lo largo de los siglos, muchos matemáticos han refutado las paradojas. El desarrollo del cálculo permitió a los matemáticos tratar con cantidades infinitesimales sin generar contradicciones.

La paradojade Aquiles y la tortuga sostiene que un objeto rápido, como Aquiles, nunca alcanzará a uno lento, como una tortuga. Aquiles se acercará a la tortuga, pero nunca la alcanzará.

ZENO DE ELEA Zenón de Elea nació alrededor del año 495antes de Cristoen la ciudad griega de Elea (ahora Velia, en el sur de Italia). A una edad temprana, fue adoptado por el filósofo Parménides, y se dice que fue "amado" por él. Zeno fue incluido en la escuela de pensamiento eleático, fundada por Parménides. A la edad de alrededor de 40 años, Zeno

sesenta y cinco

Viajó a Atenas, donde conoció a Sócrates. Zeno introdujo a los filósofos socráticos a las ideas eleáticas. Zeno fue famoso por sus paradojas, que contribuyeron al desarrollo del rigor matemático. Aristóteles lo describió más tarde como el inventor del método dialéctico (un método que parte de dos puntos de vista opuestos) del argumento lógico. Zenón recopiló sus argumentos en un libro, pero este no sobrevivió. Las paradojas se conocen por el tratado de Aristóteles.Física, que enumera nueve de ellos. Aunque se sabe poco de la vida de Zeno, el antiguo biógrafo griego Diógenes afirmó que fue golpeado hasta la muerte por tratar de derrocar al tirano Nearchus. En un enfrentamiento con Nearchus, se informa que Zeno le mordió la oreja al hombre.

Ver también:Pitágoras•lógica silogística•Cálculo•Números transfinitos•La lógica de las matemáticas.•El teorema del mono infinito

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE Platón(C. 428–348a. C.) CAMPO Geometría

ANTES siglo VIantes de CristoPitágoras identifica el tetraedro, el cubo y el dodecaedro. siglo IVantes de CristoTheaetetus, un ateniense contemporáneo de Platón, analiza el octaedro y el icosaedro. DESPUÉS C. 300antes de Cristode EuclidesElementosdescribe completamente los cinco poliedros convexos regulares.

1596El astrónomo alemán Johannes Kepler propone un modelo del Sistema Solar, explicándolo geométricamente en términos de sólidos platónicos. 1735Leonhard Euler diseña una fórmula que vincula las caras, los vértices y las aristas de los poliedros.

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La simetría perfecta de los cinco sólidos platónicos probablemente era conocida por los eruditos mucho antes de que el filósofo griego Platón popularizara las formas en su diálogo.

timeo, escrito en c. 360antes de Cristo. Cada uno de los cinco poliedros convexos regulares (formas tridimensionales con caras planas y bordes rectos) tiene su propio conjunto de caras poligonales idénticas, el mismo número de caras que se encuentran en cada vértice, así como lados equiláteros y ángulos del mismo tamaño. Al teorizar sobre la naturaleza del mundo, Platón asignó cuatro de las formas a los elementos clásicos: el cubo (también conocido como hexaedro regular) estaba asociado con la tierra; el icosaedro con agua; el octaedro con aire; y el tetraedro con fuego. El dodecaedro de 12 caras estaba asociado con los cielos y sus constelaciones.

Compuesto de polígonos Solo son posibles cinco poliedros regulares, cada uno creado a partir de triángulos equiláteros, cuadrados o pentágonos regulares idénticos, como explicó Euclides en el Libro XIII de su

Elementos.Para crear un sólido platónico, un mínimo de tres polígonos idénticos deben encontrarse en un vértice, por lo que el más simple es un tetraedro, una pirámide formada por cuatro triángulos equiláteros. Los octaedros y los icosaedros también se forman con triángulos equiláteros, mientras que los cubos se crean a partir de cuadrados y los dodecaedros se construyen con pentágonos regulares.

Los sólidos platónicos también muestran dualidad: los vértices de un poliedro corresponden a las caras de otro. Por ejemplo, un cubo, que tiene seis caras y ocho vértices, y un octaedro (ocho caras y seis vértices) forman un par dual. Un dodecaedro (12 caras y 20 vértices) y un icosaedro (20 caras y 12 vértices) forman otro par dual. Se dice que los tetraedros, que tienen cuatro caras y cuatro vértices, son autoduales.

¿Formas en el Universo? 69

Al igual que Platón, los eruditos posteriores buscaron sólidos platónicos en la naturaleza y el Universo. En 1596, Johannes Kepler razonó que las posiciones de los seis planetas entonces conocidos (Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno) podían explicarse en términos de los sólidos platónicos. Kepler reconoció más tarde que estaba equivocado, pero sus cálculos lo llevaron a descubrir que los planetas tienen órbitas elípticas.

En 1735, el matemático suizo Leonhard Euler notó otra propiedad de los sólidos platónicos, que luego se demostró que era cierta para todos los poliedros. La suma de los vértices (V) menos el número de aristas (mi) más el número de caras (F) siempre es igual a 2, es decir,V˗mi +F=2.

Ahora también se sabe que los sólidos platónicos se encuentran en la naturaleza, en ciertos cristales, virus, gases y agrupaciones de galaxias.

PLATÓN Nacido alrededor de 428antes de CristoPara los padres atenienses ricos, Platón fue alumno de Sócrates, quien también era amigo de la familia. Ejecución de Sócrates en 399antes de Cristoafectó profundamente a Platón y abandonó Grecia para viajar. Durante este período, su descubrimiento de la obra de Pitágoras inspiró el amor por las matemáticas. Volviendo a Atenas, en 387antes de Cristo

fundó la Academia, inscribiendo sobre su entrada las palabras "Que nadie ignorante de la geometría entre en aquí." Enseñando matemáticas como una rama de la filosofía, Platón enfatizó la importancia de la geometría, creyendo que sus formas, especialmente los cinco poliedros convexos regulares, podrían explicar las propiedades del Universo. Platón encontró la perfección en los objetos matemáticos, creyendo que eran la clave para comprender las diferencias entre lo real y lo abstracto. Murió en Atenas alrededor del año 348a. Trabajos clave

C. 375antes de CristoLa republica C. 360antes de CristoFilebo C. 360antes de Cristotimeo

Ver también:Pitágoras•de EuclidesElementos•Secciones cónicas•Trigonometría• Geometrías no euclidianas•Topología•El mosaico de Penrose

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE Aristóteles(384–322antes de Cristo)

CAMPO Lógica

ANTES siglo VIantes de CristoPitágoras y sus seguidores desarrollan un método sistemático de demostración de teoremas geométricos. DESPUÉS C. 300antes de Cristode EuclidesElementosdescribe la geometría en términos de deducción lógica a partir de axiomas.

1677Gottfried Leibniz sugiere una forma de notación simbólica para la lógica, anticipando el desarrollo de la lógica matemática. 1854George Boole publicaLas leyes del pensamiento, su segundo libro sobre lógica algebraica.

1884Los fundamentos de la aritméticapor el matemático alemán Gottlob Frege examina los principios lógicos que sustentan las matemáticas.

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En la Plaza de la Oposición, S es un sujeto, como "azúcar", y P un predicado, como "dulce". A y O son contradictorios, al igual que E e I (si uno es verdadero, el otro es falso y viceversa). A y E son contrarios (ambos no pueden ser verdaderos pero ambos pueden ser falsos); I y O son subcontrarios: ambos pueden ser verdaderos pero ambos no pueden ser falsos. I es un subalterno de A y O es un subalterno de E. En lógica silogística, esto significa que si A es verdadero, yo debo ser verdadero, pero si I es falso, A también debe ser falso.

En la Grecia clásica, no había una distinción clara entre matemáticas y filosofía; los dos se consideraban interdependientes. Para los filósofos, un principio importante era la formulación de argumentos convincentes que seguían una progresión lógica de ideas. El principio se basaba en el método dialectal de Sócrates de cuestionar suposiciones para exponer inconsistencias y contradicciones. Aristóteles, sin embargo, no encontró este modelo del todo satisfactorio, por lo que se dedicó a determinar una estructura sistemática para el argumento lógico. Primero, identificó los diferentes tipos de proposiciones que se pueden usar en argumentos lógicos y cómo se pueden combinar para llegar a una conclusión lógica. EnAnálisis previo, describe las proposiciones como de cuatro tipos generales, en la forma de "todos los S son P", "ningún S es P", "algunos S son P" y "algunos S no son P", donde S es un sujeto, como azúcar, y P el predicado, una cualidad, como dulce. A partir de sólo dos proposiciones de este tipo se puede construir un argumento y deducir una conclusión. Esta es, en esencia, la forma lógica conocida como silogismo: dos premisas que conducen a una conclusión. Aristóteles identificó la estructura de los silogismos que son lógicamente válidos, aquellos en los que la conclusión se sigue de las premisas, y los que no lo son, en los que la conclusión no se sigue de las premisas, proporcionando un método tanto para construir como para analizar argumentos lógicos.

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Buscando una prueba rigurosa Implícito en su discusión de la lógica silogística válida está el proceso de deducción, trabajando a partir de una regla general en la premisa mayor, como “Todos los hombres son mortales”, y un caso particular en la premisa menor, como “Aristóteles es un hombre, ” para llegar a una conclusión que necesariamente se sigue: en este caso, “Aristóteles es mortal”. Esta forma de razonamiento deductivo es la base de las demostraciones matemáticas. Aristóteles señala enAnálisis posteriorque, incluso en un argumento silogístico válido, una conclusión no puede ser verdadera a menos que se base en premisas aceptadas como verdaderas, como verdades evidentes por sí mismas o axiomas. Con esta idea, estableció el principio de las verdades axiomáticas como base para una progresión lógica de ideas, el modelo de los teoremas matemáticos desde Euclides en adelante.

ARISTÓTELES Hijo de un médico de la corte macedonia, Aristóteles nació en 384antes de Cristo, en Stagira, Calcídica. A la edad de 17 años, se fue a estudiar a la Academia de Platón en Atenas, donde se destacó. Poco después de la muerte de Platón, el prejuicio antimacedonio lo obligó a abandonar Atenas. Continuó su carrera académica

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trabajo en Assos (ahora en Turquía). en 343antes de Cristo, Felipe II lo llamó a Macedonia para dirigir la escuela en la corte; uno de sus alumnos fue el hijo de Felipe, más tarde conocido como Alejandro Magno.

en 335antes de Cristo, Aristóteles volvió a Atenas y fundó el Liceo, una institución rival de la Academia. en 323 antes de Cristo,

después de la muerte de Alejandro, Atenas volvió a ser

ferozmente anti-macedonio, y Aristóteles se retiró a la propiedad de su familia en Calcis, en Eubea. Murió allí en 322antes de Cristo. Trabajos clave

C. 350antes de CristoAnálisis previo

C. 350antes de CristoAnálisis posterior C. 350antes de CristoSobre la interpretación 335– 323antes de CristoÉtica a Nicómaco 335–323antes de CristoPolítica

Ver también:Pitágoras•Las paradojas del movimiento de Zenón•de EuclidesElementos•álgebra de Boole•La lógica de las matemáticas.

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE Euclides(C. 300antes de Cristo)

CAMPO Geometría

ANTES C. 600antes de CristoEl filósofo, matemático y astrónomo griego Tales de Mileto deduce que el ángulo inscrito dentro de un semicírculo es un ángulo recto. Esto se convierte en la Proposición 31 de Euclides.Elementos. C. 440antes de CristoEl matemático griego Hipócrates de Quíos escribe el primer libro de texto de geometría organizado sistemáticamente,Elementos. DESPUÉS

C. 1820Matemáticos como Carl Friedrich Gauss, János Bolyai y Nicolai Ivanovich Lobachevsky comienzan a moverse hacia la geometría hiperbólica no euclidiana.

de EuclidesElementostiene un fuerte reclamo por ser el trabajo matemático más influyente de todos los tiempos. Dominó las concepciones humanas del espacio y el número durante más de 2000 años y fue el libro de texto geométrico estándar hasta principios del siglo XX.

Euclides vivió en Alejandría, Egipto, alrededor del año 300antes de Cristo, cuando la ciudad era parte del mundo helenístico de habla griega culturalmente rico que floreció alrededor del mar Mediterráneo. Habría escrito en papiro, que no es muy duradero;

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todo lo que queda de su obra son las copias, traducciones y comentarios realizados por estudiosos posteriores.

No hay un camino real hacia la geometría. Euclides

colección de obras ElElementoses una colección de 13 libros que varían ampliamente en el tema. Los libros I a IV abordan la geometría plana: el estudio de superficies planas. El libro V aborda la idea de razón y proporción, inspirado en el pensamiento del matemático y astrónomo griego Eudoxo de Cnido. El Libro VI contiene geometría plana más avanzada. Los libros VII a IX están dedicados a la teoría de números y discuten las propiedades y relaciones de los números. El largo y difícil Libro X trata de inconmensurables. Ahora conocidos como números irracionales, estos números no se pueden expresar como una proporción de números enteros. Los libros XI a XIII examinan la geometría sólida tridimensional.

Libro XIII de laElementosen realidad se atribuye a otro autor: el matemático ateniense y discípulo de Platón, Teeteto, que murió en 369antes de Cristo. Cubre los cinco sólidos convexos regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, que a menudo se denominan sólidos platónicos, y es el primer ejemplo registrado de un teorema de clasificación (uno que enumera todas las figuras posibles dadas ciertas limitaciones). Se sabe que Euclides escribió un relato de secciones cónicas, pero este trabajo no ha sobrevivido. Las secciones cónicas son figuras formadas por la intersección de un plano y un cono y pueden tener forma circular, elíptica o parabólica.

EUCLIDES Se desconocen los detalles de la fecha y el lugar de nacimiento de Euclides y el conocimiento de su vida es escaso. Se cree que estudió en la Academia de Atenas, que había sido fundada por Platón. En el siglo V CE,

el filósofo griego Proclo escribió en su historia de los

matemáticos que Euclides enseñó en Alejandría durante el reinado de Ptolomeo I Soter (323-285).a. C.).

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El trabajo de Euclides cubre dos áreas: geometría elemental y matemáticas generales. Además deElementos, escribió sobre perspectiva, secciones cónicas, geometría esférica, astronomía matemática, teoría de números y la importancia del rigor matemático. Varias de las obras atribuidas a Euclides se han perdido, pero al menos cinco han sobrevivido hasta el siglo XXI. Se cree que Euclides murió entre mediados del siglo IV y mediados del siglo III.antes de Cristo. Trabajos clave

Elementos

cónicas

Catóptrica

fenómenos Óptica

mundo de prueba El título de la obra de Euclides tiene un significado particular que refleja su enfoque matemático. En la década de 1900, el matemático británico John Fauvel sostuvo que el significado de la palabra griega para "elemento"estoiquia, cambió con el tiempo, de "un componente de una línea", como un olivo en una línea de árboles, a "una proposición utilizada para probar otra", y eventualmente evolucionó para significar "un punto de partida para muchos otros teoremas". Este es el sentido en el que Euclides lo usó. En el siglo VCE, el filósofo Proclo habló de un elemento como "una letra de un alfabeto", con

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combinaciones de letras que crean palabras de la misma manera que las combinaciones de axiomas (enunciados que son evidentemente verdaderos) crean proposiciones.

esta página inicialde EuclidesElementosmuestra texto latino iluminado con diagramas y proviene de la primera edición impresa, producida en Venecia en 1482.

deducciones lógicas Euclides no estaba escribiendo en el vacío; construyó sobre los cimientos establecidos por varios matemáticos griegos influyentes que lo precedieron. Tales de Mileto, Hipócrates y Platón (entre otros) habían comenzado a moverse hacia la mentalidad matemática que tan brillantemente formalizó Euclides: el mundo de la demostración. Esto es lo que hace único a Euclides; sus escritos son el ejemplo más antiguo que se conserva de matemáticas totalmente axiomatizadas. Identificó ciertos hechos básicos y progresó desde allí a declaraciones que eran deducciones lógicas sólidas (proposiciones). Euclides también logró reunir todo el conocimiento matemático de su época y organizarlo en una estructura matemática donde se explicaban cuidadosamente las relaciones lógicas entre las diversas proposiciones.

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Euclides se enfrentó a una tarea hercúlea cuando intentó sistematizar las matemáticas que tenía ante él. Al idear su sistema axiomático, comenzó con 23 definiciones para términos como punto, línea, superficie, círculo y diámetro. Luego presentó cinco postulados: dos puntos cualesquiera se pueden unir con un segmento de línea recta; cualquier segmento de línea recta se puede extender hasta el infinito; dado cualquier segmento de línea recta, se puede dibujar un círculo que tenga el segmento como radio y un punto final como centro; todos los ángulos rectos son iguales entre sí; y un postulado sobre líneas paralelas (verLos cinco postulados de Euclides).

Luego pasó a agregar cinco axiomas, o nociones comunes; siA=ByB=C, entoncesA=C; siA=ByC=D,A+C=B+D; siA=ByC=D,entoncesA-C= B-D; siA coincide conB, entoncesAyBson iguales; y la totalidad deAes mayor que parte deA. ProbarProposición 1, Euclides dibujó una línea con extremos etiquetadosAyB. Tomando cada extremo como centro, dibujó dos círculos que se cortan, de modo que cada uno tenga el radioAB. Esto utilizó su tercer postulado. Donde los círculos se encontraban, llamó a ese puntoC, y pudo dibujar dos líneas másC.A.yantes de Cristo, apelando a su primer postulado. El radio de los dos círculos es el mismo, entoncesC.A.=AByantes de Cristo= AB; esto significa queC.A.=antes de

Cristo, que es el primer axioma de Euclides (las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí). Resulta queAB=antes de Cristo=California, lo que significa que había dibujado un triángulo equilátero enAB.

En las traducciones latinas deElementos,las deducciones terminan con las letras QEF (

quod erat faciendum, que significa “lo que iba a ser [y ha sido] hecho”. Las pruebas lógicas terminan con QED (quod erat demostrando, que significa “que iba a ser [y ha sido] demostrado”). La construcción del triángulo equilátero es un buen ejemplo del método de Euclides. Cada paso tiene que estar justificado por referencia a las definiciones, los postulados y los axiomas. Nada más puede tomarse como obvio, y la intuición se considera potencialmente sospechosa.

La primera proposición de Euclides fue criticada por escritores posteriores. Señalaron, por ejemplo, que Euclides no justificó ni explicó la existencia deC, el punto de intersección de los dos círculos. Aunque aparente, no se menciona en sus suposiciones preliminares. El postulado 5 habla de un punto de intersección, pero eso es entre dos líneas, y no dos círculos. De manera similar, una de las definiciones describe un triángulo como una figura plana delimitada por tres líneas, todas las cuales se encuentran en ese plano.

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Sin embargo, parece que Euclides no mostró explícitamente que las líneasAB,antes de Cristo, y

Californiaestar en el mismo plano.

El postulado 5 también se conoce como el "postulado de las paralelas" porque se puede usar para probar las propiedades de las líneas paralelas. Dice que si una recta cruza dos rectas (A,B) crea ángulos interiores en un lado que suman menos de dos ángulos rectos (180°), líneasAyB eventualmente cruzará por ese lado, si se extiende indefinidamente. Euclides no lo usó hasta la Proposición 29, en la que afirmó que una condición para que una línea recta cruzara dos líneas paralelas era que los ángulos interiores del mismo lado fueran iguales a dos ángulos rectos. El quinto postulado es más elaborado que los otros cuatro, y el propio Euclides parece haber desconfiado de él. Una parte vital de cualquier sistema axiomático es tener suficientes axiomas, y postulados en el caso de Euclides, para derivar toda proposición verdadera, pero evitando axiomas superfluos que puedan derivarse de otros. Algunos preguntaron si el postulado de las paralelas podría probarse como una proposición utilizando las nociones comunes, las definiciones y los otros cuatro postulados de Euclides; si podía, el quinto era innecesario. Los contemporáneos de Euclides y los eruditos posteriores hicieron intentos fallidos de construir tal prueba. Finalmente, en el siglo XIX, se dictaminó que el quinto postulado era necesario para la geometría de Euclides e independiente de sus otros cuatro postulados.

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Para construir un triangulo equilatero, para la Proposición 1, Euclides dibujó una línea y centró un círculo en sus extremos, aquíAyB. Al dibujar una línea desde cada punto final hastaC, donde los círculos se intersecan, creó un triángulo con ladosAB,C.A., yantes de Cristode igual longitud.

La geometría es el conocimiento de lo que siempre existe.

Platón

Más allá de la geometría euclidiana ElElementostambién examina la geometría esférica, un área explorada por dos de los sucesores de Euclides, Teodosio de Bitinia y Menelao de Alejandría. Mientras que la definición de Euclides de “un punto” se refiere a un punto en el plano, un punto también puede entenderse como un punto en una esfera. Esto plantea la cuestión de cómo se pueden aplicar a la esfera los cinco postulados de Euclides. En geometría esférica, casi todos los axiomas se ven diferentes de los postulados establecidos en Euclides.Elementos. ElElementosdio origen a lo que se llama geometría euclidiana; La geometría esférica es el primer ejemplo de una geometría no euclidiana. El postulado de las paralelas no es cierto para la geometría esférica, donde todos los pares de rectas tienen puntos en común, ni para la geometría hiperbólica, donde pueden encontrarse un número infinito de veces.

Las primeras 16 proposiciones del Libro 1

Proposición 1

Sobre una recta finita dada, construir un triángulo equilátero.

Proposición 2

Colocar en un punto dado (como un extremo) una recta igual a una recta dada.

Proposición 3

Dadas dos rectas desiguales, cortar de la mayor una recta

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línea igual a la menor.

Proposición 4

Si dos lados de un triángulo tienen la misma longitud que dos lados de otro triángulo, y si los ángulos contenidos en cada par de lados iguales son iguales, entonces la base de un triángulo será igual a la base del otro, los dos triángulos serán de igual área, y los ángulos restantes en un triángulo serán iguales a los del otro triángulo.

Proposición 5

En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales entre sí y, si las líneas rectas iguales se extienden por debajo de la base, los ángulos debajo de la base también serán iguales entre sí.

Proposición 6

Si en un triángulo dos ángulos son iguales entre sí, los lados separados del tercero por estos ángulos también serán iguales.

Proposición 7

Dadas dos rectas construidas sobre una recta (desde sus extremos) y concurriendo en un punto, no se pueden construir sobre la misma recta (desde sus extremos), y del mismo lado de ella, otras dos rectas confluyendo en otro punto e igual a los dos primeros respectivamente, a saber, cada uno al que comienza en el mismo extremo.

Proposición 8

Si dos lados de un triángulo tienen la misma longitud que dos lados de otro triángulo, y la base de un triángulo es igual a la base del otro, los ángulos de los dos triángulos también serán iguales.

Proposición 9

Bisecar un ángulo rectilíneo dado.

Proposición 10

Bisecar una línea recta finita dada.

Proposición 11

Dibujar una línea recta en ángulo recto con una línea recta dada desde un punto dado en ella.

Proposición 12

A una recta infinita dada, desde un punto dado que no está sobre ella, trazar una recta perpendicular.

Proposición 13

Si una línea recta colocada sobre una línea recta forma ángulos, formará dos ángulos rectos o ángulos iguales a dos ángulos rectos.

Proposición 14

Si en una recta cualquiera, y en un punto de ella, dos rectas que no están del mismo lado y que se unen en ese punto forman ángulos adyacentes iguales a dos rectos, las dos rectas estarán en línea recta la una con la otra.

Proposición 15

Si dos rectas se cortan, hacen que los ángulos verticales sean iguales entre sí.

Proposición 16

En cualquier triángulo, si uno de los lados es prolongado, el ángulo entre el triángulo y el lado prolongado es mayor que cualquiera de los ángulos dentro del triángulo.

Ver también:Pitágoras•Los sólidos platónicos•lógica silogística•Secciones cónicas• El problema de los máximos•Geometrías no euclidianas

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EN CONTEXTO CIVILIZACIÓN CLAVE Los antiguos griegos(C. 300antes de Cristo)

CAMPO Sistemas numéricos

ANTES C. 18,000antes de CristoEn África Central, los números se registran en el hueso como marcas grabadas.

C. 3000antes de CristoLos indios sudamericanos registran números haciendo nudos en una cuerda.

C. 2000antes de CristoLos babilonios desarrollan números posicionales. DESPUÉS

1202Leonardo de Pisa (Fibonacci) elogia el sistema numérico hindúárabe enLiber Abaci. 1621En Inglaterra, William Oughtred inventa la regla de cálculo, que simplifica el uso de logaritmos. 1972Hewlett Packard inventa una calculadora científica electrónica para uso personal. El ábaco es un dispositivo de conteo y calculadora que ha estado en uso desde la antigüedad. Viene en muchas formas, pero todas funcionan con los mismos principios: los valores de diferentes tamaños están representados por "contadores" dispuestos en columnas o filas.

ábacos tempranos

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La palabra "ábaco" puede insinuar sus orígenes. Es una palabra latina derivada del griego antiguo,

abax, que significa "losa" o "tablero", una superficie que se habría cubierto de arena y se habría utilizado como tablero de dibujo. El ábaco más antiguo que se conserva es la Tablilla de Salamina, una losa de mármol hecha c. 300antes de Cristoque está grabado con líneas horizontales. Se colocaron guijarros en estas líneas para contar los valores. La línea inferior representaba del 0 al 4; la línea de arriba contó 5s, y las líneas de arriba contaron 10s, 50s, y así sucesivamente. La tablilla fue descubierta en la isla griega de Salamina en 1846. Algunos eruditos creen que la Tablilla de Salamina era en realidad babilónica. El griegoabaxpuede haber venido de la palabra fenicia o hebrea para "polvo" (abaq) y puede referirse a tablas de conteo mucho más antiguas desarrolladas en las civilizaciones mesopotámicas, donde las fichas se disponían en cuadrículas dibujadas en la arena. El sistema numérico posicional de Babilonia, desarrollado c. 2000antes de Cristo, puede haberse inspirado en el ábaco.

Los romanos actualizaron la mesa de conteo griega en un dispositivo que simplificó enormemente los cálculos. Las filas horizontales del ábaco griego se convirtieron en columnas verticales en el ábaco romano, en las que se colocaron pequeños guijarros, ocálculosen latín, de donde obtenemos la palabra "cálculo". También se utilizó un tipo de ábaco en las civilizaciones precolombinas de América Central. Basado en un sistema de conteo vigesimal de cinco dígitos, o base 20, utilizó granos de maíz ensartados en cuerdas para representar números. Ningún dispositivo ha sobrevivido, pero los estudiosos creen que los antiguos olmecas lo inventaron hace 3.000 años. alrededor de 1000CE, el pueblo azteca lo conocía como elnepohualtzintzin—el “contador de cuentas personales”— y lo llevaba en la muñeca a modo de pulsera.

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el suanpanque se muestra aquí se establece en el número 917,470,346. El suanpan es tradicionalmente un ábaco de 2:5: cada columna tiene dos cuentas de "cielo", cada una con un valor de 5, y 5 cuentas de "tierra", cada una con un valor de 1, lo que da un valor potencial de 15 unidades. Esto permite cálculos que involucran el sistema chino de base 16, que usa 15 unidades en lugar de las 9 que se usan en el sistema decimal. Los números se pueden sumar ingresando las unidades de un número, comenzando desde la derecha y luego ajustando las cuentas a medida que se ingresan más números. Para la resta, se ingresan las unidades del primer número, luego los valores de las cuentas se ajustan hacia abajo en cada columna a medida que se ingresan más números sustraídos.

base doble Alrededor del siglo IICE, abaci se había convertido en una herramienta común en China. El ábaco chino, o suanpan, coincidía con el diseño de la versión romana, pero en lugar de usar guijarros colocados en un marco de metal, empleaba contadores de madera sobre varillas, la plantilla para los ábacos modernos. No está claro si los ábacos romanos o chinos fueron los primeros, pero sus similitudes pueden ser una coincidencia, inspiradas en la forma en que las personas cuentan con los cinco dedos de una mano. Ambos ábacos tienen dos mazos: el mazo inferior cuenta hasta cinco y el mazo superior cuenta los cinco.

Para el segundo milenioCE,el suanpan y sus métodos de conteo se estaban generalizando por toda Asia. En el 1300, se exportó a Japón, donde se llamó soroban. Esto se perfeccionó lentamente y, en la década de 1900, el soroban era un ábaco de 1: 4 (con 1 cuenta superior en cada varilla y 4 cuentas inferiores).

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Una personificación femeninade Aritmética juzga un concurso entre el matemático romano Boëthius, que usa números, y el griego Pitágoras, que usa una tabla de contar.

El Campeonato de Soroban Los escolares japoneses todavía usan el soroban (ábaco japonés) en las lecciones de matemáticas como una forma de desarrollar habilidades de cálculo mental. El soroban también se utiliza para cálculos mucho más complejos. Los usuarios expertos de soroban generalmente pueden hacer tales cálculos más rápidamente que alguien que ingresa los valores en una calculadora electrónica.

Cada año, los mejores abacistas de todo Japón participan en el Campeonato Soroban. Se prueban en su velocidad y precisión en un sistema de eliminatorias similar a un concurso de ortografía. Uno de los aspectos más destacados del evento es Flash Anzan™, una hazaña de aritmética mental en la que los jugadores imaginan operar un ábaco para sumar 15 números de tres dígitos; no se permite el ábaco físico. Los concursantes ven los números aparecer en una pantalla grande, parpadeando más rápido con cada ronda. El récord mundial de 2017 para Flash Anzan fue de 15 números sumados en 1,68 segundos.

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Ver también:Números posicionales•Pitágoras•Cero•decimales•Cálculo

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE Arquímedes(C. 287–c. 212antes de Cristo)

CAMPO Teoría de los números

ANTES C. 1650antes de CristoEl papiro Rhind, escrito por escribas egipcios del Imperio Medio como guía matemática, incluye estimaciones del valor deπ. DESPUÉS

siglo VCEEn China, Zu Chongzhi calculaπa siete decimales. 1671El matemático escocés James Gregory desarrolla el método arcotangente para computaciónπ. Gottfried Leibniz hace el mismo descubrimiento en Alemania tres años después. 2019En Japón, Emma Haruka Iwao utiliza un servicio de computación en la nube para calcular πa más de 31 billones de decimales.

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El hecho de que pi (π)—la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, dada aproximadamente como 3,141—no se puede expresar exactamente como un decimal, sin importar cuántos lugares decimales se calculen, ha fascinado a los matemáticos durante siglos. El matemático galés William Jones fue el primero en utilizar la letra griega π para representar el número en 1706, pero su importancia para calcular la circunferencia y el área de un círculo y el volumen de una esfera se ha comprendido durante milenios.

Pi no es simplemente el factor omnipresente en los problemas de geometría de la escuela secundaria; está cosido a través de todo el tapiz de las matemáticas.

Roberto Kanigel escritor científico estadounidense

textos antiguos Determinar el valor exacto de pi no es sencillo y la búsqueda continúa para encontrar la representación decimal de pi en tantos lugares como sea posible. Dos de las primeras estimaciones de π se dan en los documentos del antiguo Egipto conocidos como los papiros de Rhind y Moscú. El papiro Rhind, que se cree que estaba destinado a los escribas en formación, describe cómo calcular los volúmenes de cilindros y pirámides y también el área de un círculo. El método usado para encontrar el área de un círculo fue encontrar el área de un cuadrado con lados que son8⁄9del diámetro del círculo. El uso de este método implica que π es aproximadamente 3,1605 calculado con cuatro decimales, que es solo un 0,6 % mayor que el valor más exacto conocido de π.

En la antigua Babilonia, el área de un círculo se encontraba multiplicando el cuadrado de la circunferencia por1⁄12, lo que implica que el valor de π era 3. Este valor aparece en la Biblia (1 Reyes 7:23): “E hizo el mar de bronce fundido, de diez codos de un borde al otro; era completamente redondo. Su altura era de cinco codos, y un cordel de treinta codos medía su circunferencia.” EnC. 250antes de Cristo, el erudito griego Arquímedes desarrolló un algoritmo para determinar el valor de π basado en la construcción de polígonos regulares que encajan exactamente dentro (inscritos) o encerrados (circunscritos) en un círculo. Calculó los límites superior e inferior para π usando el teorema de Pitágoras: que el área del cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) en un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados del otro dos lados: para establecer la relación entre las longitudes de los lados de los polígonos regulares cuando se duplicó el número de lados. Esto le permitió extender su algoritmo a 96-

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polígonos de lados. La determinación del área de un círculo usando un polígono con muchos lados se había propuesto al menos 200 años antes que Arquímedes, pero él fue la primera persona en considerar polígonos inscritos y circunscritos.

ARQUÍMEDES Nacido en c. 287antes de Cristoen Siracusa, Sicilia, el erudito griego Arquímedes se destacó como matemático e ingeniero, y también es recordado por su momento "eureka", cuando se dio cuenta de que el volumen de agua desplazado por un objeto es igual al volumen de ese objeto. Entre sus inventos reivindicados está el tornillo de Arquímedes, una hoja giratoria en forma de tornillo en un cilindro, que empuja el agua hacia arriba por un gradiente.

En matemáticas, utilizó enfoques prácticos para establecer la relación de los volúmenes de un cilindro, una esfera y un cono con el mismo radio y altura máximos en 3:2:1. Muchos consideran a Arquímedes como un pionero del cálculo, que no se desarrolló hasta el siglo XVII. Fue asesinado por un soldado romano durante el asedio de Siracusa en 212antes de Cristo,

a pesar de las órdenes de que se le perdone la vida.

Trabajos clave

C. 250antes de CristoSobre la medida de un círculo

C. 225antes de CristoSobre la esfera y el cilindro C. 225antes de Cristoen espirales

Cuadratura del circulo Otro método para estimar π, "cuadrar el círculo", fue un desafío popular para los matemáticos en la antigua Grecia. Se trataba de construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado. Usando solo un compás y una regla, los griegos superponían un cuadrado en un círculo y luego usaban su conocimiento del área de un cuadrado para aproximarse al área de un círculo. Los griegos no tuvieron éxito con este método y, en el siglo XIX, se demostró que la cuadratura del círculo era imposible debido a la naturaleza irracional de π. Es por eso que los intentos de lograr una tarea imposible a veces se conocen como "cuadrar el círculo".

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Otra forma en que los matemáticos han intentado cuadrar el círculo es dividirlo en secciones y reorganizarlas en unforma rectangular. el area del rectangulo esr ×1⁄2(2πr) =r×π

r×πr² (donderes el radio del círculo y 2πres su diámetro). El área de un círculo también es π r². Cuanto más pequeños sean los segmentos utilizados, más cerca estará la forma de un rectángulo.

Aunque los polígonos se han utilizado durante mucho tiempoPara estimar la circunferencia de los círculos, Arquímedes fue el primero en utilizar polígonos regulares inscritos (dentro del círculo) y circunscritos (fuera del círculo) para encontrar los límites superior e inferior de π.

Las obras de Arquímedes son, sin excepción, obras de exposición matemática. Thomas L Heath historiador y matematico

La búsqueda se extiende Más de 300 años después de la muerte de Arquímedes, Ptolomeo (c. 100–170 c.mi) determinó que π es 3:8:30 (base-60), es decir, 3 +8⁄60+30⁄3,600= 3,1416, que es solo un 0,007 por ciento mayor que el valor conocido más cercano de π. En China, 3 se usaba a menudo como el valor de π, hasta que se hizo común a partir del siglo II.CE. Este último es un 2,1 por ciento mayor que π. En el siglo III, Wang Fau afirmó que un círculo con una circunferencia de 142 tenía un diámetro de 45, es decir142⁄45= 3,15, solo un 1,4 por ciento más que π, mientras que Liu Hui usó un polígono de 3072 lados para estimar π como 3,1416. En el siglo V, Zu Chongzhi y su hijo usaron un polígono de 24 576 lados para calcular π como355⁄113= 3,14159292, un nivel de precisión (con siete decimales) que no se alcanzó en Europa hasta el siglo XVI.

En India, el matemático y astrónomo Aryabhata incluyó un método para obtener π en suAryabhatiyamtratado astronómico de 499CE:“Suma 4 a 100, multiplica por 8 y luego suma 62,000. Por esta regla el cálculo de la

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puede aproximarse a la circunferencia de un círculo con un diámetro de 20.000”. Esto resulta como [8(100 + 4) + 62 000] ÷ 20 000 = 62 832 ÷ 20 000 = 3,1416. Brahmagupta (c. 598–668CE) aproximaciones derivadas de la raíz cuadrada de π usando

,

polígonos regulares con 12, 24, 48 y 96 lados:

,

,y

respectivamente. Habiendo establecido que π2= 9,8696 con cuatro decimales,

simplificó estos cálculos a π = el matemático al-Khwarizmi usó 31⁄7,

. Durante el siglo IX, los árabes , y62,832⁄20,000como valores para π,

atribuyendo el primer valor a Grecia y los otros dos a India. El clérigo inglés Adelard of Bath tradujo la obra de al-Khwarizmi en el siglo XII, renovando el interés por la búsqueda de π en Europa. En 1220, Leonardo de Pisa (Fibonacci), quien popularizó los números arábigos hindúes en su libroLiber Abaci(El libro del cálculo), 1202, calculó que π es864⁄275= 3,141, una pequeña mejora en la aproximación de Arquímedes, pero no tan precisa como los cálculos de Ptolomeo, Zu Chongzhi o Aryabhata. Dos siglos después, el erudito italiano Leonardo da Vinci (1452-1519) propuso hacer un rectángulo cuya longitud fuera la misma que la circunferencia de un círculo y cuya altura fuera la mitad de su radio para determinar el área del círculo. El método de Arquímedes utilizado en la antigua Grecia para calcular π todavía se usaba a fines del siglo XVI. En 1579, el matemático francés François Viète utilizó 393 polígonos regulares cada uno con 216 lados para calcular π con 10 decimales. En 1593, el matemático flamenco Adriaan van Roomen (Romanus) utilizó un polígono de 230 lados para calcular π con 17 decimales; tres años después, el profesor de matemáticas germano-holandés Ludolph van Ceulen calculó π con 35 decimales.

El desarrollo de la serie arcotangente por el astrónomo y matemático escocés James Gregory en 1671, y de forma independiente por Gottfried Leibniz en 1674, proporcionó un nuevo enfoque para encontrar π. Una serie arcotangente (arctan) es una forma de determinar los ángulos en un triángulo a partir del conocimiento de la longitud de sus lados, e involucra la medida en radianes, donde una vuelta completa es 2π radianes (equivalente a 360°).

Desafortunadamente, se necesitan cientos de términos para calcular π incluso con unos pocos decimales usando esta serie. Muchos matemáticos intentaron encontrar métodos más eficientes para calcular π utilizando arctan, incluido Leonhard Euler en el siglo XVIII. Luego, en 1841, el matemático británico William Rutherford calculó 208 dígitos de π utilizando series arctan.

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La llegada de las calculadoras y las computadoras electrónicas en la década de 1900 hizo que encontrar los dígitos de π fuera mucho más fácil. En 1949 se calcularon 2037 dígitos de π en 70 horas. Cuatro años después, tomó alrededor de 13 minutos calcular 3089 dígitos. En 1961, los matemáticos estadounidenses Daniel Shanks y John Wrench utilizaron series arctan para calcular 100.625 dígitos en menos de ocho horas. En 1973, los matemáticos franceses Jean Guillaud y Martin Bouyer lograron 1 millón de decimales, y en 1989, los hermanos ucranianoestadounidenses David y Gregory Chudnovsky calcularon mil millones de decimales.

En 2016, Peter Trueb, un físico de partículas suizo, utilizó el software y-cruncher para calcular π en 22,4 billones de dígitos. Se estableció un nuevo récord mundial cuando la científica informática Emma Haruka Iwao calculó π con más de 31 billones de decimales en marzo de 2019.

Al ordenar los segmentos de un círculoen una forma casi rectangular, se puede demostrar que el área de un círculo es πr2. La altura del "rectángulo" es aproximadamente igual al radiordel círculo, y el ancho es la mitad de la circunferencia (la mitad de 2πr, que es πr).

No hay fin con pi. Me encantaría probar con más dígitos. Emma Haruka Iwao

informático japonés

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El perímetro a la alturaLa proporción de la Gran Pirámide de Giza, en Egipto, es casi exactamente π, lo que podría sugerir que los arquitectos del antiguo Egipto conocían el número.

Aplicando pi Los científicos espaciales utilizan constantemente π en sus cálculos. Por ejemplo, la longitud de las órbitas a diferentes altitudes sobre la superficie de un planeta se puede calcular utilizando el principio básico de que si se conoce el diámetro de un círculo, su circunferencia se puede calcular multiplicando Los astrofísicos utilizanπ

por π. En 2015, los científicos de la NASA aplicaron este método

en sus cálculos para

para calcular el tiempo que tardó la nave espacial Dawn en

determinar las trayectorias orbitales y las características de

cuerpos planetarios como Saturno.

orbitar Ceres, un planeta enano en el cinturón de asteroides entre Marte y Júpiter. Cuando los científicos del Laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA en California querían saber cuánto

hidrógeno podría estar disponible debajo de la superficie de Europa, una de las lunas de Júpiter, estimaron el hidrógeno producido en una unidad de área determinada calculando primero el área de superficie de Europa, que es 4πr2, como lo es para cualquier esfera. Como conocían el radio de Europa, calcular su superficie fue fácil.

También es posible calcular la distancia recorrida durante una rotación de la Tierra por una persona de pie en un punto de su superficie utilizando π, siempre que se conozca la latitud de la posición de la persona.

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Ver también:El papiro Rhind•Numeros irracionales•de EuclidesElementos• El tamiz de Eratóstenes•zu chongzhi•Cálculo•numero de euler•Experimento de la aguja de Buffon

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE Eratóstenes(C. 276–c. 194antes de Cristo)

CAMPO Teoría de los números

ANTES C. 1500antes de CristoLos babilonios distinguen entre números primos y compuestos. C. 300antes de CristoEnElementos(Libro IX proposición 20), Euclides demuestra que hay infinitos números primos. DESPUÉS Principios de 1800Carl Friedrich Gauss y el matemático francés Adrien-Marie Legendre elaboran de forma independiente una conjetura sobre la densidad de los números primos.

1859Bernhard Riemann establece una hipótesis sobre la distribución de los números primos. La hipótesis se ha utilizado para probar muchas otras teorías sobre los números primos, pero aún no se ha probado.

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Además de calcular la circunferencia de la Tierra y las distancias de la Tierra a la Luna y el Sol, el erudito griego Eratóstenes ideó un método para encontrar números primos. Tales números, divisibles solo por 1 y por ellos mismos, habían intrigado a los matemáticos durante siglos. Al inventar su "tamiz" para eliminar números no primos, usando una cuadrícula numérica y tachando múltiplos de 2, 3, 5 y superiores — Eratóstenes hizo que los números primos fueran considerablemente más accesibles.

Los números primos tienen exactamente dos divisores: el 1 y el propio número. Los griegos entendieron la importancia de los números primos como los componentes básicos de todos los números enteros positivos. En suElementos, Euclides declaró muchas propiedades tanto de los números compuestos (enteros superiores a uno que se pueden formar multiplicando otros enteros) como de los números primos. Estos incluían el hecho de que cada número entero puede escribirse como un producto de números primos o es en sí mismo un número primo. Unas décadas más tarde, Eratóstenes desarrolló su método, que se puede ampliar para descubrir todos los números primos. Usando una cuadrícula de números del 1 al 100 (ver a la derecha), está claro que 1 no es un número primo ya que su único factor es 1. El primer número primo, y también el único primo par, es 2. Como todos los demás números pares son divisibles por 2, no pueden ser primos, por lo que todos los demás primos deben ser impares. El siguiente primo, 3, tiene solo dos factores, por lo que todos los demás múltiplos de 3 no pueden ser primos. Al número 4 (2 × 2) ya le quitaron sus múltiplos, ya que todos son pares. El siguiente primo es 5, por lo que todos los demás múltiplos de 5 no pueden ser primos. El número 6 y todos sus múltiplos han sido eliminados de la lista de posibles

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números primos, ya que son múltiplos pares de 3. El siguiente número primo es 7, y quitando sus múltiplos se eliminan 49, 77 y 91. Todos los múltiplos de 9 se han ido, ya que son múltiplos de 3, y todos los múltiplos de 10 han desaparecido. eliminados, porque son los múltiplos pares de 5. Los múltiplos de 11 hasta 100 ya han sido eliminados, y así sucesivamente para todos los números sucesivos. Solo hay 25 números primos hasta 100, comenzando con 2, 3, 5, 7 y 11, y terminando con 97, todos identificados simplemente eliminando cada múltiplo de 2, 3, 5 y 7.

Comienza el método de Eratóstenescon una tabla de números consecutivos. Primero, se tacha el 1. Luego se tachan todos los múltiplos de 2 excepto el 2 mismo. Luego se hace lo mismo para los múltiplos de 3, 5 y 7. Los múltiplos de cualquier número mayor que 7 ya están tachados, ya que 8, 9 y 10 son compuestos de 2, 3 y 5.

la busqueda continua Los números primos atrajeron la atención de los matemáticos a partir del siglo XVII, cuando figuras como Pierre de Fermat, Marin Mersenne, Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss investigaron más a fondo sus propiedades. Incluso en la era de las computadoras, determinar si un gran número es primo sigue siendo un gran desafío. La criptografía de clave pública, el uso de dos números primos grandes para cifrar un mensaje, es la base de toda la seguridad en Internet. Si los piratas informáticos alguna vez descubren una forma sencilla de determinar la descomposición en factores primos de números muy grandes, será necesario diseñar un nuevo sistema.

Eratóstenes Nacido alrededor de 276antes de Cristoen Cirene, una ciudad griega en Libia, Eratóstenes estudió en Atenas y se convirtió en matemático, astrónomo, geógrafo, teórico de la música,

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crítico literario y poeta. Fue el bibliotecario jefe de la Biblioteca de Alejandría, la mayor institución académica del mundo antiguo. Es conocido como el padre de la geografía por fundar y nombrar el tema como una disciplina académica y desarrollar gran parte del lenguaje geográfico que se usa en la actualidad. Eratóstenes también reconoció que la Tierra es una esfera.

y calculó su circunferencia comparando los ángulos de elevación del Sol al mediodía en Asuán, en el sur de Egipto, y en Alejandría, en el norte del país. Además, produjo el primer mapa del mundo que presentaba líneas de meridianos, el ecuador e incluso zonas polares. Murió alrededor de 194antes de Cristo. Trabajos clave

Mensuram orae ad terram(Sobre la medida de la tierra) Geografía(Geografía) Ver también:Primos de Mersenne•La hipótesis de Riemann•El teorema de los números primos•Grupos simples finitos

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE Apolonio de Perge(C. 262–190antes de Cristo)

CAMPO Geometría

ANTES C. 300antes de Cristo13 volúmenes de EuclidesElementosestablece las proposiciones que forman la base de la geometría plana.

C. 250antes de CristoEnSobre conoides y esferoides, Arquímedes se ocupa de los sólidos creados por la revolución de secciones cónicas alrededor de sus ejes. DESPUÉS

C. 1079CEEl erudito persa Omar Khayyam usa cónicas que se cruzan para resolver ecuaciones algebraicas. 1639En Francia, Blaise Pascal, de 16 años, afirma que cuando un hexágono está inscrito en un círculo, los lados opuestos del hexágono se encuentran en tres puntos de una línea recta.

De los muchos matemáticos pioneros producidos por la antigua Grecia, Apolonio de Perge fue uno de los más brillantes. Empezó a estudiar matemáticas después de la gran obra de Euclides.Elementoshabía surgido y empleó el método euclidiano de tomar "axiomas" (enunciados que se consideraban verdaderos) como puntos de partida para posteriores razonamientos y pruebas. Apolonio escribió sobre muchos temas, incluida la óptica (cómo viajan los rayos de luz) y la astronomía, así como la geometría. Gran parte de su trabajo sobrevive solo en fragmentos, pero

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su más influyente,cónicas, está relativamente intacto. Fue escrito en ocho volúmenes, de los cuales siete sobreviven: los libros 1 a 4 en griego y los libros 5 a 7 en árabe. El trabajo fue diseñado para ser leído por matemáticos ya bien versados en geometría. He enviado a mi hijo... a traeros... el segundo libro de micónicas. Léalo atentamente y comuníqueselo a los demás que sean dignos de él.

Apolonio de Perge

Una nueva geometría Los primeros matemáticos griegos, como Euclides, se centraron en la línea y el círculo como las formas geométricas más puras. Apolonio los vio en términos tridimensionales: si un círculo se combina con todas las líneas que emanan de él, por encima o por debajo de su plano, y esas líneas pasan por el mismo punto fijo, el vértice, se crea un cono. Al cortar ese cono de diferentes maneras, se pueden producir una serie de curvas, conocidas como secciones cónicas.

Encónicas, Apolonio expuso minuciosamente este nuevo mundo de la construcción geométrica, estudiando y definiendo las propiedades de las secciones cónicas. Basó sus trabajos en la suposición de dos conos unidos en el mismo vértice, con el área de sus bases circulares extendiéndose potencialmente hasta el infinito. A tres de las secciones cónicas les dio los nombres de elipse, parábola e hipérbola. Una elipse se produce cuando un plano se cruza con un cono en una inclinación. Surge una parábola si el corte es paralelo al borde del cono y una hipérbola cuando el plano es vertical. Aunque vio el círculo como una de las cuatro secciones cónicas, en realidad es una elipse con el plano perpendicular al eje del cono. [Las secciones cónicas son] la clave necesaria para alcanzar el conocimiento de las leyes más importantes de la naturaleza.

Alfred North Whitehead matemático británico

Allanando el camino para otros En su descripción de estos cuatro objetos geométricos, Apolonio no usó fórmulas algebraicas ni números. Sin embargo, su visión de una curva cónica como un conjunto de líneas paralelas ordenadas que emanan de un eje apuntaba hacia la creación posterior de

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geometría del sistema de coordenadas. No logró el tipo de precisión que vendría 1.800 años después con el trabajo de los matemáticos franceses René Descartes y Pierre de Fermat, pero se acercó a las representaciones coordinadas de sus curvas cónicas. Algunas cosas frenaron a Apolonio: no usó números negativos, ni trabajó explícitamente con cero. Entonces, mientras que la geometría cartesiana bidimensional desarrollada por Descartes funcionó en cuatro cuadrantes, con coordenadas tanto positivas como negativas, Apolonio trabajó efectivamente en solo uno.

Los estudios de Apolonio inspiraron muchos de los avances en geometría vistos en el mundo islámico durante la Edad Media. Luego, su trabajo fue redescubierto en Europa durante el Renacimiento, lo que llevó a los matemáticos a desarrollar la geometría analítica que ayudó a impulsar la revolución científica.

Cuando un plano corta un cono, crea una sección cónica. Además de las secciones descritas por Apolonio, puede ser un punto único, donde el plano corta el vértice (vértice superior), o líneas rectas que cortan el vértice en ángulo.

APOLONIO DE PERGA Poco se sabe sobre la vida de Apolonio. Nació en c.262antes de Cristoen Perga, un centro de culto a la diosa Artemisa, en el sur de Anatolia (ahora parte de Turquía). Después de cruzar el Mediterráneo a Egipto, fue instruido por eruditos euclidianos en la gran ciudad cultural de Alejandría.

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Se cree que los ocho volúmenes decónicasfueron compilados mientras Apolonio estaba en Egipto. Los primeros volúmenes produjeron poco que Euclides no supiera, pero los trabajos posteriores fueron un avance significativo en geometría. Más allá de su trabajo con secciones cónicas, a Apolonio se le atribuye haber estimado el valor de pi con mayor precisión que su contemporáneo Arquímedes, y haber sido el primero en afirmar que Obra clave C. 200antes de Cristocónicas

Ver también:de EuclidesElementos•Coordenadas•El área bajo una cicloide•geometría proyectiva•El plano complejo•Geometrías no euclidianas•Demostración del último teorema de Fermat

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE Hiparco(C. 190–120antes de Cristo) CAMPO Geometría

ANTES C. 1800antes de CristoLa tableta Babylonian Plimpton 322 contiene una lista de triples pitagóricos, mucho antes de que Pitágoras ideara su fórmula.a2+b2=C2.

C. 1650antes de CristoEl papiro egipcio Rhind incluye un método para calcular la pendiente de una pirámide. siglo VIantes de CristoEn la antigua Grecia, Pitágoras descubre su teorema relativo a la geometría de los triángulos. DESPUÉS 500CEEn la India se utilizan las primeras tablas trigonométricas.

1000CEEn el mundo islámico, los matemáticos utilizan todas las diversas proporciones entre los lados y los ángulos de los triángulos.

La trigonometría, un término basado en las palabras griegas para "triángulo" y "medida", es de inmensa importancia tanto en el desarrollo histórico de las matemáticas como en el mundo moderno. La trigonometría es una de las disciplinas matemáticas más útiles, ya que permite a las personas navegar por el mundo, comprender la electricidad y medir la altura de las montañas. Desde la antigüedad, las civilizaciones han apreciado la necesidad de los ángulos rectos en la arquitectura. Esto llevó a los matemáticos a analizar las propiedades de los ángulos rectos.

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triángulos: todos los triángulos rectángulos contienen dos lados más cortos (que pueden tener o no la misma longitud) y una diagonal, o hipotenusa, que es más larga que cualquiera de los otros; todos los triángulos contienen tres ángulos; y los triángulos rectángulos tienen un ángulo de 90°.

La tableta de Plimpton A principios de 1900, un examen de los triángulos, que data de alrededor de 1800antes de Cristo, fue descubierto en una antigua tablilla de arcilla babilónica. La tablilla, comprada por el editor estadounidense George Plimpton en 1923 y conocida como Plimpton 322, está grabada con información numérica relacionada con triángulos rectángulos. Se debate su significado exacto, pero la información parece incluir triples pitagóricos (tres números positivos que representan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo), junto con otro conjunto de números que se asemejan a las proporciones de los cuadrados de los lados. Se desconoce el propósito original de la tableta, pero es posible que se haya utilizado como un manual práctico para medir dimensiones.

Aproximadamente al mismo tiempo que los antiguos babilonios, los matemáticos de Egipto estaban desarrollando un interés por la geometría. Esto fue impulsado no solo por su

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programa de construcción monumental, sino también por la inundación anual del río Nilo, que les obligaba a delimitar las áreas de los campos cada vez que amainaban las inundaciones. El interés egipcio es evidente en el papiro Rhind, un rollo que contiene un conjunto de tablas relacionadas con las fracciones. Una de estas tablas plantea la pregunta: “Si una pirámide mide 250 codos de alto y el lado de su base es de 360 codos de largo, ¿cuál es sucosido?” La palabracosidosignifica pendiente, por lo que el problema es puramente trigonométrico.

Incluso si él no lo inventó, Hiparco es la primera persona de cuyo uso sistemático de la trigonometría tenemos evidencia documental. señor thomas heath historiador británico de las matemáticas

Hiparco establece reglas Influenciados por las teorías babilónicas sobre los ángulos, los antiguos griegos desarrollaron la trigonometría como una rama de las matemáticas que se rige por reglas definidas en lugar de las tablas de números en las que se basaron los primeros matemáticos. En el siglo IIantes de Cristo,

el astrónomo y matemático Hipparchus, generalmente considerado como el fundador de

la trigonometría, estaba particularmente interesado en los triángulos inscritos dentro de círculos y esferas, y la relación entre ángulos y longitudes de cuerdas (líneas rectas dibujadas entre dos puntos en un círculo, o en cualquier curva). ). Hipparchus compiló lo que efectivamente fue la primera tabla verdadera de valores trigonométricos.

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En la época medieval, los astrolabios aplicaron principios trigonométricos para medir la posición de los cuerpos celestes. A Hipparchus se le atribuye la invención del dispositivo.

La contribución de Ptolomeo Alrededor de 300 años después, en la ciudad egipcia de Alejandría, el talentoso erudito grecorromano Claudio Ptolemaeus, más conocido como Ptolomeo, escribió un tratado matemático llamado elSintaxis Mathematikos(más tarde renombró el Almagestopor eruditos islámicos). En este trabajo, Ptolomeo desarrolló aún más las ideas de Hiparco sobre triángulos y cuerdas de círculos, construyendo fórmulas que permitirían predecir la posición del Sol y otros “cuerpos celestes” a partir de la suposición de órbitas circulares alrededor de la Tierra. Ptolomeo, como los matemáticos antes que él, utilizó el sistema numérico babilónico conocido como sistema sexagesimal, basado en el número 60.

El trabajo de Ptolomeo se desarrolló aún más en la India, donde la creciente disciplina de la trigonometría se consideraba parte de la astronomía. El matemático indio Aryabhata (474–550 CE)

prosiguió el estudio de las cuerdas para producir la primera tabla de lo que ahora se

conoce como función seno (todos los valores posibles de relaciones seno/coseno para determinar la longitud desconocida del lado de un triángulo cuando la

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se conocen las longitudes de la hipotenusa, el lado más largo del triángulo, y el lado opuesto al ángulo). En el siglo VIICE, otro gran matemático y astrónomo indio, Brahmagupta, hizo sus propias contribuciones a la geometría y la trigonometría, incluida lo que ahora se conoce como la fórmula de Brahmagupta. Esto se usa para encontrar el área de los cuadriláteros cíclicos, que son formas de cuatro lados inscritas dentro de un círculo. Esta área también se puede encontrar con un método trigonométrico si el cuadrilátero se divide en dos triángulos.

La trigonometría, como otras ramas de las matemáticas, no fue obra de ningún hombre o nación.

carl benjamin boyer historiador estadounidense de las matemáticas

trigonometría islámica Brahmagupta ya había creado una tabla de valores de senos, pero en el siglo IXCE, el astrónomo y matemático persa Habash al-Hasib ("Habash el Calculador") produjo algunas de las primeras tablas de senos, cosenos y tangentes para calcular los ángulos y los lados de los triángulos. Casi al mismo tiempo, al-Battani (Albatenius) desarrolló el trabajo de Ptolomeo sobre la función del seno y lo aplicó a los cálculos astronómicos. Registró observaciones muy precisas de los astros

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objetos de Raqqah, Siria. La motivación entre los eruditos árabes para desarrollar la trigonometría no era solo para la astronomía, sino también para fines religiosos, ya que era importante que los musulmanes supieran la posición de la ciudad santa de La Meca desde cualquier parte del mundo.

En el siglo XIICE,El matemático y astrónomo indio Bhaskara II inventó el estudio de la trigonometría esférica. Esto explora triángulos y otras formas en la superficie de una esfera en lugar de un plano. En siglos posteriores, la trigonometría se volvió invaluable tanto en la navegación como en la astronomía. El trabajo de Bhaskara II, junto con las ideas de PtolomeoAlmagesto, fueron valorados por los eruditos islámicos del mundo medieval, que habían comenzado a estudiar trigonometría mucho antes de Bhaskara II.

Una tabla logarítmica es una pequeña tabla mediante la cual podemos obtener conocimiento de todas las dimensiones geométricas y movimientos en el espacio.

Juan Napier

Ayuda a la astronomía Junto con los desarrollos en trigonometría, hubo un cambio gradual y correspondiente en la forma en que la gente veía los cielos. A partir de la observación pasiva y el registro de los patrones en el movimiento de los cuerpos celestes, los académicos comenzaron a modelar ese movimiento matemáticamente para poder predecir eventos astronómicos futuros con una precisión cada vez mayor. El estudio de la trigonometría puramente como una ayuda para la astronomía persistió hasta bien entrado el siglo XVI, cuando los nuevos desarrollos en Europa comenzaron a ganar impulso.De Triangulis Omnimodis(Sobre triángulos de todo tipo) fue publicado en 1533. Escrito por el matemático alemán Johannes Müller von Königsberg, conocido como Regiomontanus, era un compendio de todos los teoremas conocidos para encontrar lados y ángulos de triángulos planos (2-D) y esféricos (aquellos formados en la superficie de una esfera tridimensional). La publicación de este trabajo marcó un punto de inflexión para la trigonometría. Ya no era simplemente una rama de la astronomía, sino un componente clave de la geometría.

La trigonometría se desarrollaría aún más; aunque la geometría era su hogar natural, también se aplicó cada vez más para resolver ecuaciones algebraicas. El matemático francés François Viète mostró cómo se podían resolver ecuaciones algebraicas usando funciones trigonométricas, en conjunto con el nuevo sistema de imaginarios.

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números que habían sido inventados por el matemático italiano Rafael Bombelli en 1572.

A finales del siglo XVI, el físico y astrónomo italiano Galileo Galilei utilizó la trigonometría para modelar las trayectorias de los proyectiles sobre los que actuaba la gravedad. Las mismas ecuaciones todavía se usan para proyectar el movimiento de cohetes y misiles en la atmósfera hoy. También en la década de 1500, la cartógrafa y matemática holandesa Gemma Frisius utilizó la trigonometría para determinar distancias, lo que permitió crear mapas precisos por primera vez.

Para encontrar el ángulo desconocido(θ) en un triángulo rectángulo, la fórmula del seno se usa cuando las longitudes del opuesto (opuestoθ) y la hipotenusa son conocidas; la fórmula del coseno se usa cuando se conocen las longitudes de la adyacente y la hipotenusa; y la fórmula de la tangente se usa cuando se conocen las longitudes del opuesto y del adyacente.

Nuevos desarrollos Los desarrollos en trigonometría se aceleraron en el siglo XVII. El descubrimiento de los logaritmos del matemático escocés John Napier en 1614 permitió la compilación de tablas precisas de seno, coseno y tangente. En 1722, Abraham de Moivre, un matemático francés, fue un paso más allá que Vieté y mostró cómo las funciones trigonométricas podían usarse en el análisis de números complejos. Estos últimos comprendían una parte real y una parte imaginaria, y serían de gran importancia en el desarrollo de la ingeniería mecánica y eléctrica. Leonhard Euler usó los hallazgos de De Moivre para derivar la "ecuación matemática más elegante":miyo+1 = 0, también conocida como identidad de Euler.

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En la década de 1700, Joseph Fourier aplicó la trigonometría a su investigación sobre diferentes formas de ondas y vibraciones. La “serie de trigonometría de Fourier” se ha utilizado ampliamente en campos científicos como la óptica, el electromagnetismo y, más recientemente, la mecánica cuántica. Desde sus inicios, cuando los babilonios y los antiguos egipcios ponderaban la longitud de las sombras proyectadas por un palo en el suelo, pasando por la arquitectura y la astronomía hasta las aplicaciones modernas, la trigonometría ha formado parte del lenguaje de las matemáticas para modelar el Universo.

Una red de estaciones de triangulacióncomo este "punto trigonométrico" de piedra en Gales fue lanzado por Ordnance Survey en 1936 para mapear con precisión la isla de Gran Bretaña.

Hiparco Hipparchus nació en Nicea (ahora Iznik en Turquía) en 190antes de Cristo.

Aunque poco se sabe de su vida, alcanzó fama como

astrónomo a partir de los estudios que realizó mientras vivía en la isla de Rodas. Sus hallazgos fueron inmortalizados en el libro de Ptolomeo.Almagesto, donde se le describe como “un amante de la verdad”.

La única obra de Hiparco que sobrevivió fue su

comentario sobre elfenómenosdel poeta Arato y del matemático y

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astrónomo Eudoxo, criticando la inexactitud de sus descripciones de las constelaciones. La contribución más notable de Hipparchus a la astronomía fue su trabajoTamaños y

Distancias(ahora perdido, pero utilizado por Ptolomeo), sobre las órbitas del Sol y la Luna, lo que le permitió calcular las fechas de los equinoccios y solsticios. También compiló un catálogo de estrellas, que puede ser el utilizado por Ptolomeo enAlmagesto. Hiparco murió en 120antes de Cristo. Obra clave

siglo 2antes de CristoTamaños y Distancias Ver también:El papiro Rhind•Pitágoras•de EuclidesElementos•Números imaginarios y complejos.•logaritmos•triangulo de pascal•Teorema del triángulo de Viviani• análisis de Fourier

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EN CONTEXTO CIVILIZACIÓN CLAVE Antiguo chino(C. 1700antes de Cristo-C. 600CE) CAMPO Sistemas numéricos

ANTES C. 1000 a.En China, las varillas de bambú se utilizan por primera vez para indicar números, incluidos los negativos.

DESPUÉS

628CEEl matemático indio Brahmagupta proporciona reglas para la aritmética con números negativos. 1631EnPráctica del Arte del Análisis, publicado 10 años después de su muerte, el matemático británico Thomas Harriott acepta números negativos en notación algebraica. Si bien las nociones prácticas de cantidades negativas se utilizaron desde la antigüedad, particularmente en China, los números negativos tardaron mucho más en ser aceptados dentro de las matemáticas. Los pensadores griegos antiguos y muchos matemáticos europeos posteriores consideraban que los números negativos y el concepto de que algo era menos que nada eran absurdos. Solo en la década de 1600, los matemáticos europeos comenzaron a aceptar completamente los números negativos.

sistema de varillas chinas

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Las primeras ideas de cantidades negativas parecen haber surgido en la contabilidad comercial: el vendedor recibía dinero por lo que había vendido (una cantidad positiva) y el comprador gastaba la misma cantidad, lo que generaba un déficit (una cantidad negativa). Para su aritmética comercial, los antiguos chinos usaban pequeñas varillas de bambú, dispuestas en un gran tablero. Las cantidades positivas y negativas estaban representadas por barras de diferentes colores y podían sumarse. El estratega militar chino Sun Tzu, que vivió alrededor del año 500antes de Cristo, usaba tales varillas para hacer cálculos antes de las batallas. por 150antes de Cristo, el sistema de varillas se había convertido en varillas horizontales y verticales alternas en conjuntos de hasta cinco. Más tarde, durante la dinastía Sui (581–618CE), los chinos también usaron barras triangulares para cantidades positivas y barras rectangulares para cantidades negativas. El sistema se empleaba para el comercio y el cálculo de impuestos: las cantidades recibidas se representaban con barras rojas y las deudas con barras negras. Cuando se sumaron barras de diferentes colores, se cancelaron entre sí, como los ingresos que borran una deuda. La naturaleza polarizada de los números positivos (varillas rojas) y los números negativos (varillas negras) también estaba en sintonía con el concepto chino de que fuerzas opuestas pero complementarias (yin y yang) gobernaban el Universo.

En el sistema de numeración de barras chinas, el rojo indica números positivos, mientras que el negro indica números negativos. Para que el número que se representa sea lo más claro posible, los símbolos horizontales y verticales se usan alternativamente; por ejemplo, el número 752 usaría un 7 vertical, luego un 5 horizontal, seguido de un 2 vertical. Los espacios en blanco representan el cero.

Fortunas fluctuantes 114

Durante un período de varios siglos, comenzando alrededor de 200antes de Cristo, los antiguos chinos produjeron un libro de erudición recopilada llamadoLos Nueve Capítulos sobre el

Arte Matemático. Este trabajo, que encapsuló la esencia de su conocimiento matemático, incluía algoritmos que asumían que eran posibles cantidades negativas, por ejemplo, como soluciones a problemas de pérdidas y ganancias. Por el contrario, las matemáticas de la antigua Grecia se basaban en la geometría y las magnitudes geométricas, o sus proporciones. Como estas cantidades (longitudes, áreas y volúmenes reales) solo pueden ser positivas, la idea de un número negativo no tenía sentido para los matemáticos griegos. En la época de Diofanto, alrededor del año 250CESe usaron ecuaciones lineales y cuadráticas para resolver problemas, pero cualquier cantidad desconocida todavía se representaba geométricamente, por una longitud. Entonces, la idea de números negativos como soluciones a estas ecuaciones todavía se consideraba un absurdo.

Un avance importante en el uso aritmético de los números negativos se produjo alrededor de 400 años después en la India, en el trabajo del matemático Brahmagupta (c. 598–668). Estableció reglas aritméticas para cantidades negativas e incluso usó un símbolo para indicar números negativos. Al igual que los antiguos chinos, Brahmagupta consideraba los números en términos financieros, como "fortunas" (positivas) y "deudas" (negativas), y estableció las siguientes reglas para multiplicar con cantidades positivas y negativas:

El producto de dos fortunas es una fortuna. El producto de dos deudas es una fortuna. El producto de una deuda y una fortuna es una deuda. El producto de una fortuna y una deuda es una deuda. No tiene sentido encontrar el producto de dos montones de monedas, ya que solo se pueden multiplicar las cantidades reales, no el dinero en sí (al igual que no se pueden multiplicar manzanas por manzanas). Por lo tanto, Brahmagupta estaba realizando aritmética con cantidades positivas y negativas, mientras usaba fortunas y deudas como una forma de tratar de comprender qué representaban los números negativos.

El matemático y poeta persa al-Khwarizmi (c. 780–c. 850), cuyas teorías, particularmente sobre álgebra, influyeron en los matemáticos europeos posteriores, estaba familiarizado con las reglas de Brahmagupta y entendía el uso de números negativos para hacer frente a las deudas. Sin embargo, no podía aceptar el uso de números negativos en álgebra, creyendo que no tenían sentido. En cambio, al-Khwarizmi siguió métodos geométricos para resolver ecuaciones lineales o cuadráticas.

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Lecturas de temperaturaen la escala Celsius muestran números negativos para mostrar cuando algo como un cristal de hielo está más frío que 0 °C, el punto en el que el agua se congela.

Un negativo multiplicado por un negativohace un positivo. Es por eso que todos los números positivos tienen dos raíces cuadradas (una positiva y una negativa) y los números negativos no tienen raíces cuadradas reales porque un número positivo al cuadrado es positivo y un número negativo al cuadrado también es positivo.

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Aceptar lo negativo A lo largo de la Edad Media, los matemáticos europeos no estaban seguros de las cantidades negativas como números. Este seguía siendo el caso en 1545 cuando el erudito italiano Gerolamo Cardano publicó suArs magna(el gran arte), en el que explicó cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas. No pudo excluir soluciones negativas a sus ecuaciones e incluso usó un signo, "m", para denotar un número negativo. Sin embargo, no podía aceptar el valor de los números negativos, llamándolos "ficticios". René Descartes (1596-1650) también aceptó cantidades negativas como soluciones de ecuaciones, pero se refirió a ellas como "raíces falsas" en lugar de números verdaderos.

El matemático inglés John Wallis (1616–1703) dio algún significado a los números negativos al extender la recta numérica por debajo de cero. Esta forma de ver los números como puntos en una línea finalmente condujo a la aceptación de los números negativos en igualdad de condiciones con los números positivos y, a fines del siglo XIX, se habían definido formalmente dentro de las matemáticas, separados de las nociones de cantidades. Hoy en día, los números negativos se utilizan en muchas áreas, desde escalas bancarias y de temperatura hasta la carga de partículas subatómicas. Cualquier ambigüedad sobre su estatus en matemáticas se ha ido.

Los números negativos son evidencia de inconsistencia o absurdo.

augusto de morgan matemático británico

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Los inversores se apresuran a retirarsesu dinero del Seamen's Savings Bank en Nueva York en 1857. El pánico fue causado por los bancos estadounidenses que prestaron muchos millones de dólares (una cantidad negativa) sin las reservas (una cantidad positiva) para respaldar esto.

Matemáticas en la antigua China

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Jiuzhang suanshu, oLos Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático, revela los métodos matemáticos conocidos por los antiguos chinos. Está escrito como una colección de 246 problemas prácticos y sus soluciones. Los primeros cinco capítulos son principalmente sobre geometría (áreas, longitudes y volúmenes) y aritmética (razones y raíces cuadradas y cúbicas). El capítulo seis cubre los impuestos e incluye las ideas de proporciones directas, inversas y compuestas, la mayoría de las cuales no aparecieron en Europa hasta alrededor del siglo XVI. Los capítulos siete y ocho se ocupan de las soluciones de las ecuaciones lineales, incluida la regla de la "doble posición falsa", mediante la cual se utilizan dos valores de prueba (o "falsos") para la solución de una ecuación lineal en pasos repetidos para obtener la solución real. El último capítulo trata sobre las aplicaciones del “Gougu” (equivalente al teorema de Pitágoras) y la resolución de ecuaciones cuadráticas.

Ver también:Números posicionales•Ecuaciones diofánticas•Cero•Álgebra• Números imaginarios y complejos.

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE

Diofanto(C. 200–c. 284CE) CAMPO

Álgebra

ANTES C. 800antes de CristoEl erudito indio Baudhayana encuentra soluciones a algunas ecuaciones “diofantinas”. DESPUÉS

C. 1600François Viète sienta las bases para la solución de ecuaciones diofánticas. 1657Pierre de Fermat escribe su último teorema (sobre una ecuación diofántica) en su copia deAritmética. 1900El décimo problema en la lista de problemas de investigación sin resolver de David Hilbert es la búsqueda de un algoritmo para resolver todas las ecuaciones diofánticas.

1970Los matemáticos en Rusia muestran que no existe un algoritmo que pueda resolver todas las ecuaciones diofánticas.

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En el siglo IIICE, el matemático griego Diofanto, pionero de la teoría de los números y la aritmética, creó una obra prodigiosa llamadaAritmética.En 13 volúmenes, de los cuales solo seis han sobrevivido, exploró 130 problemas que involucraban ecuaciones y fue la primera persona en usar un símbolo para una cantidad desconocida, una piedra angular del álgebra. Solo en los últimos 100 años los matemáticos han explorado completamente lo que ahora se conoce como ecuaciones diofánticas. Hoy en día, las ecuaciones se consideran una de las áreas más interesantes de la teoría de números. Las ecuaciones diofánticas son un tipo de polinomio, una ecuación en la que las potencias de las variables (cantidades desconocidas) son números enteros, comoX3+y4=z5. El objetivo de las ecuaciones diofánticas es encontrar todas las variables, pero las soluciones deben ser números enteros o números racionales (aquellos que se pueden escribir como un número entero dividido por otro, como8⁄3). En las ecuaciones diofánticas, los coeficientes (enteros como el 4 en 4x, que multiplican una variable) también son números racionales. Diofanto solo usó números positivos, pero los matemáticos ahora también buscan soluciones negativas.

El simbolismo que Diofanto introdujo por primera vez... proporcionó un medio corto y fácilmente comprensible para expresar una ecuación.

kurt vogel historiador matemático alemán

La búsqueda de soluciones 121

Muchos de los problemas que ahora se llaman ecuaciones diofánticas se conocían mucho antes de la época de Diofanto. En India, los matemáticos exploraron algunos de ellos desde alrededor de 800antes de Cristo, como la antiguaShulba Sutrasrevelan los textos. En el siglo VIantes de Cristo,

Pitágoras creó su ecuación cuadrática para calcular los lados de un triángulo

rectángulo;esX2+y2=z2forma es una ecuación diofántica. Ecuaciones diofánticas del tipoXnorte+ynorte=znortepuede parecer simple de calcular, pero solo aquellos con cuadrados son solucionables. Si el poder (norteen la ecuación) es mayor que 2, la ecuación no tiene soluciones enteras paraX,y, yz—como afirmó Fermat en una nota marginal en 1657 y el matemático británico Andrew Wiles finalmente demostró en 1994.

ElAritméticade Diofantoinfluyó fuertemente en los matemáticos del siglo XVII a medida que se desarrollaba el estudio del álgebra moderna. Este volumen del libro se publicó en latín en 1621.

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Una fuente de fascinación Las ecuaciones diofánticas son vastas en número y forma, y en su mayoría muy difíciles de resolver. En 1900, David Hilbert sugirió que la cuestión de si todos podían resolverse o no era uno de los mayores desafíos a los que se enfrentaban los matemáticos. Las ecuaciones ahora se agrupan en tres clases: las que no tienen solución, las que tienen un número finito de soluciones y las que tienen un número infinito de soluciones. Sin embargo, en lugar de encontrar soluciones, los matemáticos suelen estar más interesados en descubrir si existen soluciones. En 1970, el matemático ruso Yuri Matiyasevich resolvió la consulta de Hilbert, que él y otros tres habían estudiado durante años, y concluyó que no existe un algoritmo general para resolver una ecuación diofántica. Sin embargo, los estudios continúan, ya que la fascinación de estas ecuaciones es en gran parte teórica. Los matemáticos, impulsados por la curiosidad, creen que aún hay más por descubrir.

Diofanto Poco se sabe sobre la vida del matemático y filósofo griego Diofanto, pero probablemente nació en Alejandría, Egipto, enC. 200CE. Sus 13 volúmenes

Aritméticafue bien recibido (la matemática alejandrina Hipatia escribió sobre los primeros seis volúmenes), pero cayó en una relativa oscuridad hasta el siglo XVI, cuando se reavivó el interés por sus ideas. Elantología griega, una recopilación de juegos matemáticos y versos publicados alrededor de 500CE, contiene un problema numérico que pretende ser un epitafio de Diofanto que apareció en su lápida. Escrito como un rompecabezas, sugiere que se casó a la edad de 35 años y cinco años después tuvo un hijo, que murió a la edad de 40 años cuando tenía la mitad de la edad de su padre. Luego se dice que Diofanto vivió otros cuatro años y murió a la edad de 84 años. Obra clave C.

250CEAritmética

Ver también:El papiro Rhind•Pitágoras•hipatia•El signo igual y otra simbología•23 problemas para el siglo XX•La máquina de Turing•Demostración del último teorema de Fermat

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE

Hipatia de Alejandría(C. 355–415CE) CAMPOS

aritmética, geometría

ANTES siglo VIantes de CristoLa esposa de Pitágoras, Theano, y otras mujeres participan activamente en la comunidad pitagórica. C. 100antes de CristoLa matemática y astrónoma Aglaonike de Thessaly gana renombre por su capacidad para predecir eclipses lunares. DESPUÉS

1748La matemática italiana Maria Agnesi escribe el primer libro de texto para explicar el cálculo diferencial e integral.

1874La matemática rusa Sofia Kovalevskaya es la primera mujer en obtener un doctorado en matemáticas. 2014La matemática iraní Maryam Mirzakhani es la primera mujer en ganar la Medalla Fields.

La historia menciona solo unas pocas matemáticas pioneras en el mundo antiguo, entre ellas Hipatia de Alejandría. Maestra inspiradora, fue nombrada directora de la escuela platónica de la ciudad en 400CE. No se sabe que Hypatia haya contribuido con ninguna investigación original, pero se le atribuye la edición y redacción de comentarios sobre varios textos matemáticos, astronómicos y filosóficos clásicos. Es probable que ayudara a su padre,

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Theon, un respetado erudito alejandrino, para producir su edición definitiva de Euclid's

Elementos, y suAlmagestoyMesas prácticasde Ptolomeo. También continuó su proyecto de preservar y ampliar los textos clásicos, en particular proporcionando comentarios sobre los 13 volúmenes de Diofanto.Aritmética, y el trabajo de Apolonio sobre las secciones cónicas. Es posible que Hypatia haya tenido la intención de que estas ediciones sirvieran como libros de texto para los estudiantes, ya que ofreció comentarios que aclaraban y desarrolló más algunos de los conceptos. Hipatia ganó gran renombre por su enseñanza, conocimiento científico y sabiduría, pero en el año 415 fue asesinada por fanáticos cristianos por su filosofía "pagana". A medida que las actitudes hacia las mujeres en el mundo académico se volvieron menos tolerantes, las matemáticas y la astronomía serían cotos exclusivamente masculinos hasta que la Ilustración abrió nuevas oportunidades para las mujeres en el siglo XVIII.

El erudito alejandrinoHypatia, representada aquí en una pintura de 1889 de Julius Kronberg, fue reverenciada como una mártir heroica después de su asesinato. Más tarde se convirtió en un símbolo para las feministas.

Ver también:de EuclidesElementos•Secciones cónicas•Ecuaciones diofánticas•Emmy Noether y el álgebra abstracta

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE

zu chongzhi(429–501CE) CAMPO Geometría

ANTES C. 1650antes de CristoEl área de un círculo se calcula usando π como (dieciséis⁄9)2≈ 3.1605 en el papiro Rhind. C. 250antes de CristoArquímedes encuentra un valor aproximado para π utilizando un método de algoritmo de polígonos.

DESPUÉS

C. 1500El astrónomo indio Nilakantha Somayaji utiliza una serie infinita (la suma de los términos de una secuencia infinita, como1⁄2+1⁄4+1⁄8+1⁄dieciséis) para calcular π.

1665–66Isaac Newton calcula π con 15 dígitos. 1975–76Los algoritmos iterativos permiten cálculos informáticos de π a millones de dígitos.

Al igual que sus homólogos en Grecia, los matemáticos de la antigua China se dieron cuenta de la importancia de π (pi), la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, en los cálculos geométricos y de otro tipo. Se sugirieron varios valores para π desde el siglo I.CEadelante. Algunos eran lo suficientemente precisos para fines prácticos, pero varios matemáticos chinos buscaron métodos más precisos para determinar π. En el siglo III, Liu Hui abordó la tarea utilizando el mismo método que Arquímedes: dibujar polígonos regulares con un número creciente de lados en su interior.

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y fuera de un círculo. Descubrió que un polígono de 96 lados permitía calcular π como 3,14, pero al duplicar repetidamente el número de lados hasta 3072, alcanzó un valor de 3,1416.

Más precisión En el siglo V, el astrónomo y matemático Zu Chongzhi, famoso por sus meticulosos cálculos, se dispuso a obtener un valor aún más preciso para π. Utilizando un polígono de 12.288 lados, calculó que π está entre 3,1415926 y 3,1415927, y sugirió dos fracciones para expresar la razón: laYuelü, o proporción aproximada, de22⁄7, que había estado en uso durante algún tiempo; y su propio cálculo, elMilü, o proporción cercana, de355⁄113. Esto más tarde se conoció como "relación de Zu". Los cálculos de π de Zu no mejoraron hasta que los matemáticos europeos se dieron a la tarea durante el Renacimiento, casi un milenio después.

No puedo dejar de pensar que Zu Chongzhi fue un genio de la Antigüedad.

Takebe Katahiro

matemático japonés

Ver también:El papiro Rhind•Numeros irracionales•Calculando pi•la identidad de euler• Experimento de la aguja de Buffon

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INTRODUCCIÓN Cuando el Imperio Romano se derrumbó y Europa entró en la Edad Media, el centro de la erudición científica y matemática se desplazó del Mediterráneo oriental a China e India. Desde aproximadamente el siglo VCE, India inició una “Edad de Oro” de las matemáticas, basándose en su propia larga tradición de erudición, pero también en las ideas traídas por los griegos. Los matemáticos indios lograron avances significativos en los campos de la geometría y la trigonometría, que tenían aplicaciones prácticas en astronomía, navegación e ingeniería, pero la innovación de mayor alcance fue el desarrollo de un carácter para representar el número cero. El uso de un símbolo específico (un círculo simple, en lugar de un espacio en blanco o marcador de posición) para indicar el cero se atribuye al brillante matemático Brahmagupta, quien describió las reglas de su uso en el cálculo. De hecho, es posible que el personaje ya haya estado en uso durante algún tiempo. Habría encajado bien con el sistema numérico de la India, que es el prototipo de nuestros números arábigos hindúes modernos. Sin embargo, es gracias al Islam que estas y otras ideas de la Edad de Oro de la India (que continuó hasta el siglo XII) influyeron en la historia de las matemáticas.

potencia persa Después de la muerte del profeta Mahoma en 632, el islam se convirtió rápidamente en una importante potencia política y religiosa en Oriente Medio y más allá, extendiéndose desde Arabia a través de Persia y Asia hasta el subcontinente indio. La nueva religión tenía un gran respeto por la filosofía y la investigación científica, y la "Casa de la Sabiduría", un centro de aprendizaje e investigación establecido en Bagdad, atraía a eruditos de todo el Imperio Islámico en expansión. Esta sed de conocimiento impulsó el estudio de los textos antiguos, especialmente los de los grandes filósofos y matemáticos griegos. Los eruditos islámicos no sólo

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preservó y tradujo los textos griegos antiguos, pero proporcionó comentarios sobre ellos y desarrolló sus propios conceptos originales. Abiertos a nuevas ideas, también adoptaron muchas de las innovaciones indias, en particular su sistema numérico. El mundo islámico, como la India, entró en una “Edad de oro” del aprendizaje que duró hasta el siglo XIII y produjo una sucesión de matemáticos influyentes, como al-Khwarizmi, una figura clave en el desarrollo del álgebra (la palabra “álgebra” se deriva del término árabe para reincorporarse), y otros académicos cuyas contribuciones al teorema del binomio y al tratamiento de las ecuaciones cuadráticas y cúbicas fueron innovadoras.

De este a oeste En Europa, el estudio matemático estaba bajo el control de la Iglesia y se limitaba a unas pocas traducciones tempranas de algunos de los trabajos de Euclides. El progreso se vio obstaculizado por el uso continuado del engorroso sistema romano de numeración, que requería el uso del ábaco para el cálculo. Sin embargo, desde el siglo XII en adelante, durante las Cruzadas, aumentó el contacto con el mundo islámico y algunos reconocieron la riqueza del conocimiento científico que los eruditos islámicos habían acumulado. Los eruditos cristianos ahora obtuvieron acceso a textos filosóficos y matemáticos griegos e indios, y al trabajo de los eruditos islámicos. El tratado de Al-Khwarizmi sobre álgebra fue traducido al latín en el siglo XII por Robert de Chester, y poco después, las traducciones completas del de EuclidesElementosy otros textos importantes comenzaron a aparecer en Europa.

Renacimiento matemático Las ciudades-estado de Italia se apresuraron a comerciar con el Imperio Islámico, y fue un italiano, Leonardo de Pisa, apodado Fibonacci, quien encabezó el renacimiento de las matemáticas en Occidente. Adoptó el sistema numérico hindú-árabe y el uso de símbolos en álgebra, y contribuyó con muchas ideas originales, incluida la secuencia aritmética de Fibonacci. Con el crecimiento del comercio a finales de la Edad Media, las matemáticas, especialmente los campos de la aritmética y el álgebra, se volvieron cada vez más importantes. Los avances en astronomía también exigieron cálculos sofisticados. La educación matemática ahora se tomaba más en serio. Con la invención de la imprenta de tipos móviles en el siglo XV, libros de todo tipo, incluido elAritmética de Treviso, se volvió ampliamente

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disponibles, difundiendo los nuevos conocimientos por toda Europa. Estos libros inspiraron una “revolución científica” que acompañaría el renacimiento cultural conocido como el Renacimiento.

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE

Brahmagupta(C. 598–668CE) CAMPO Teoría de los números

ANTES C. 700antes de CristoEn una tablilla de arcilla, un escriba babilónico indica un marcador de posición cero con tres ganchos; más tarde se escribe como dos marcas de cuña inclinadas. 36antes de CristoUn cero en forma de concha está grabado en una estela maya (losa de piedra) en América Central.

C. 300CEpartes del indioBakshaliel texto revela muchos ceros de marcador de posición circulares.

DESPUÉS

1202en su libroLiber Abaci, Leonardo de Pisa (Fibonacci) presenta el cero a los europeos. siglo 17El cero finalmente se establece como un número y tiene un uso generalizado.

Un número que representa la ausencia de algo es un concepto difícil, por lo que el cero tardó tanto en ser ampliamente aceptado. Varias civilizaciones antiguas, incluidos los babilonios y los sumerios, podrían afirmar haber inventado el cero, pero su uso como número fue pionero en el siglo VII.CE, por Brahmagupta, un matemático indio.

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El desarrollo de cero Cualquier sistema para registrar números eventualmente llega a un punto en el que se vuelve posicional; es decir, los dígitos se ordenan según su valor para hacer frente a números cada vez más grandes. Todos los sistemas de valor posicional (posicional) requieren una forma de denotar "aquí no hay nada". Los babilonios (1894–539antes de Cristo), por ejemplo, quien al principio usó el contexto para diferenciar entre, digamos, 35 y 305, finalmente usó una marca de doble cuña como si fueran comillas para indicar el valor vacío. De esta manera, el cero entró al mundo como una forma de puntuación. El problema para los historiadores ha sido encontrar evidencia de que las primeras civilizaciones usaron el cero y lo reconocieron como tal, lo que se ha vuelto más difícil por el hecho de que el cero se usaba y dejaba de usarse con el tiempo. en unos 300antes de Cristo, por ejemplo, los griegos estaban comenzando a desarrollar una forma más sofisticada de matemáticas basadas en la geometría, con cantidades representadas por la longitud de las líneas. No había necesidad de cero, o de hecho números negativos (números menores que 0), ya que los griegos no tenían un sistema numérico posicional (las longitudes no pueden ser inexistentes o negativas).

A medida que los griegos desarrollaron el uso de las matemáticas en la astronomía, comenzaron a usar una "O" para representar el cero, aunque no está claro por qué. En su manual astronómico Almagesto, escrito en el siglo IICE, el erudito grecorromano Ptolomeo usó un símbolo circular posicionalmente entre dígitos y al final de un número, pero no lo consideró un número por derecho propio. En Centroamérica, durante el 1er milenioCE,los mayas usaban un sistema de valor posicional, que incluía el cero como número, denotado por una forma de concha. Era uno de los tres símbolos utilizados por los mayas para la aritmética; los otros dos eran un punto que representaba el 1 y una barra que representaba el 5. Mientras que los mayas podían calcular hasta cientos de millones, su aislamiento geográfico significó que sus matemáticas nunca se extendieron a otras culturas.

En India, las matemáticas avanzaron rápidamente en los primeros siglos del primer milenio.CE . En los siglos III y IV, se había utilizado durante mucho tiempo un sistema de valor posicional, y en el siglo VII, la época de Brahmagupta, el uso de un símbolo circular como marcador de posición ya estaba bien establecido allí.

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un abax, una mesa o tabla cubierta de arena, era utilizada por los griegos para contar. Algunos eruditos han sugerido que se usó "O" porque era la forma que quedaba cuando se quitaba un contador.

BRAHMAGUPTA nacido en 598CE, el astrónomo y matemático Brahmagupta vivía en Bhillamala, al noroeste de la India, un centro de aprendizaje en esos campos. Se convirtió en director del principal observatorio astronómico de Ujjain e incorporó nuevos trabajos sobre teoría de números y álgebra a sus estudios de astronomía.

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El uso de Brahmagupta del sistema numérico decimal y los algoritmos que ideó se extendieron por todo el mundo e informaron el trabajo de matemáticos posteriores. Sus reglas para calcular con números positivos y negativos, a las que llamó “fortunas” y “deudas”, todavía se citan hoy. Brahmagupta murió en 668, solo unos años después de completar su segundo libro. Trabajos clave

628Brahmasphutasiddhanta(La doctrina de Brahma correctamente establecida) 665Khandakhadyaka(bocado de comida)

El yantra de Nadi Yalies parte de un observatorio del siglo XVIII en Ujjain, India. Un centro de matemáticas y astronomía desde que Brahmagupta funcionó allí en el siglo VII, se encuentra en la intersección de un antiguo meridiano de longitud cero y el Trópico de Cáncer.

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Cero como número Brahmagupta estableció reglas para calcular con cero. Comenzó definiéndolo como el resultado de restar un número de sí mismo, por ejemplo, 3 - 3 = 0. Eso estableció el cero como un número por derecho propio en lugar de simplemente una notación figurativa o marcador de posición. Luego exploró el efecto de calcular con cero. Brahmagupta demostró que si sumaba cero a un número negativo, el resultado era igual a ese número negativo. De manera similar, sumar cero a un número positivo produce el mismo número positivo. Brahmagupta también describió restar cero tanto de un número negativo como de un número positivo, y señaló nuevamente que dejaba los números sin cambios.

Brahmagupta pasó a describir el efecto de restar números de cero. Calculó que un número positivo restado de cero se convierte en un número negativo y un número negativo restado de cero se convierte en un número positivo. Este cálculo llevó los números negativos al mismo sistema numérico que los números positivos. Al igual que el cero, los números negativos eran un concepto abstracto en lugar de valores positivos como longitudes o cantidades.

Números indios del siglo Ino usó el cero. En el siglo IX, el cero de Brahmagupta (resaltado en rosa) se usaba ampliamente en la India, desde donde se extendió a través del mundo árabe a Europa. Allí encontró cierta oposición inicial por parte de los líderes religiosos cristianos, quienes encontraban satánico el concepto de cero porque asociaban la nada con el diablo.

Los agujeros negros son donde Dios divide por cero.

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steven wright comediante estadounidense

Multiplicando y dividiendo Brahmagupta pasó a examinar el cero en relación con la multiplicación y describió cómo el producto de multiplicar cualquier número con cero es cero, incluido el cero multiplicado por cero. El siguiente paso fue explicar la división por cero, que era más problemática. Registrar el resultado de dividir un número,norte, por cero comonorte⁄0, Brahmagupta sugirió que un número no cambia cuando se divide por cero. Sin embargo, más tarde se descubrió que esto era imposible, como se demuestra al multiplicar cualquier número por cero (la división se define como encontrar el número que falta en una multiplicación). El resultado no puede ser el número original, ya que cualquier número multiplicado por cero es igual a cero.

Los matemáticos ahora describen la división por cero como "indefinida". Algunos han sugerido que la respuesta requerida anorte⁄0es "infinito", pero infinito no es un número y no se puede utilizar en los cálculos. Dividir el cero entre cero ha resultado aún más complicado. El resultado podría ser cero, si se piensa que cero dividido por cualquier número es cero. También podría ser 1, ya que cualquier número dividido por sí mismo es 1.

La expansión del Islam en partes de la India en el siglo VIII hizo que los matemáticos indios compartieran sus conocimientos, incluido el concepto del cero, con académicos del mundo árabe. En el siglo IX, el matemático islámico al-Khwarizmi escribió un tratado sobre números arábigos hindúes, que describía el sistema de valor posicional, incluido el cero. Sin embargo, 300 años después, cuando Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci) introdujo los números arábigos hindúes en Europa, todavía desconfiaba del cero y lo trataba como un operador como + y ˗ en lugar de un número. Incluso en la década de 1500, el erudito italiano Gerolamo Cardano resolvió ecuaciones cuadráticas y cúbicas sin cero. Los europeos finalmente aceptaron el cero en el siglo XVII, cuando el matemático inglés John Wallis incorporó el cero en su recta numérica. El cero es el número más mágico que conocemos. Es el número por el que nos esforzamos todos los días.

Bill Gates

Un concepto vital

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Matemáticas sin cero significaría que muchos de los artículos de este libro no podrían haber sido escritos: no habría números negativos, ni sistemas de coordenadas, ni sistemas binarios (y por lo tanto, ni computadoras), ni decimales, ni cálculo, porque no ser posible describir cantidades infinitesimalmente pequeñas. Los avances en ingeniería se habrían visto severamente restringidos. El cero es quizás el número más importante de todos.

ElAritmética de Treviso La cifra cero se conoció por primera vez en Italia a partir del

Arte dell'Abbaco(Arte del cálculo, también conocido como La aritmética de Treviso), publicado de forma anónima en 1478 y el primer libro de texto de matemáticas impreso en Europa. Este método de cuadrícula de la multiplicación de la

Fue revolucionario porque estaba escrito en veneciano cotidiano para comerciantes y cualquier otra persona que

Aritmética de Treviso

quisiera resolver problemas de cálculo. Describió el sistema

multiplica el número

de valor posicional decimal hindú-árabe y describió cómo

56.289 por 1.234. El cero se

funcionaba el sistema numérico. El autor desconocido hace

usa como marcador de posición en el cálculo y en la solución final:

70.072.626. El libro también

que 0 sea el décimo número y lo llama "cifrado" o "nulla", algo que no tiene valor a menos que se escriba a la derecha de otros números para aumentar su valor.

ilustró otros métodos de multiplicación.

En la descripción de Treviso, cero es solo un marcador de posición

número, que en sí mismo era todavía una noción nueva. La idea del cero como número no fue aceptada durante siglos. También fue de poco interés para los lectores de laArte

dell'Abbaco, la mayoría de los cuales querían aprender a usar números en cálculos comerciales prácticos en el comercio diario.

Ver también:Números posicionales•Números negativos•Numeros binarios•La ley de los grandes números•El plano complejo

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE

Al Juarizmi(C. 780–c. 850) CAMPO

Álgebra

ANTES 1650antes de CristoEl papiro egipcio Rhind incluye soluciones a ecuaciones lineales. 300antes de Cristode

EuclidesElementossienta las bases de la geometría.

siglo terceroCEEl matemático griego Diofanto usa símbolos para representar cantidades desconocidas.

siglo VIICEBrahmagupta resuelve la ecuación cuadrática. DESPUÉS

1202Leonardo de PisaLiber Abaciutiliza el sistema numérico hindú-árabe. 1591François Viète introduce el álgebra simbólica, en la que se utilizan letras para abreviar términos en ecuaciones. Los orígenes del álgebra, un método matemático para calcular cantidades desconocidas, se remontan a los antiguos babilonios y egipcios, como lo revelan las ecuaciones en tablillas cuneiformes y papiros. El álgebra evolucionó a partir de la necesidad de resolver problemas prácticos, a menudo de naturaleza geométrica, que requerían la determinación de una longitud, un área o un volumen. Los matemáticos desarrollaron gradualmente reglas para manejar una gama más amplia de problemas generales. Para calcular longitudes y áreas, se usaron ecuaciones que involucran variables (cantidades desconocidas) y términos al cuadrado.

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ideado Usando tablas, los babilonios también podían calcular volúmenes, como el espacio dentro de un almacén de granos.

Una búsqueda de nuevos métodos. A lo largo de los siglos, a medida que se desarrollaban las matemáticas, los problemas se hicieron más largos y complejos, y los académicos buscaron nuevas formas de acortarlos y simplificarlos. Aunque las primeras matemáticas griegas se basaban en gran medida en la geometría, Diofanto desarrolló nuevos métodos algebraicos en el siglo III.CE,y fue el primero en usar símbolos para cantidades desconocidas. Sin embargo, pasarían más de mil años antes de que se aceptara la notación algebraica estándar.

Después de la caída del Imperio Romano, las matemáticas en el área del Mediterráneo declinaron, pero la expansión del Islam a partir del siglo VII tuvo un impacto revolucionario en el álgebra. en 762CE, el califa al-Mansur estableció una capital en Bagdad, que rápidamente se convirtió en un importante centro de cultura, aprendizaje y comercio. Su estatus se vio realzado por la adquisición y traducción de manuscritos de culturas anteriores, incluidas obras de los matemáticos griegos Euclides, Apolonio y Diofanto, así como de eruditos indios como Brahmagupta. Fueron alojados en una gran biblioteca, la Casa de la Sabiduría, que se convirtió en un centro de investigación y difusión del conocimiento.

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Los primeros algebristas Los eruditos de la Casa de la Sabiduría produjeron su propia investigación, y en 830, Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi presentó su trabajo a la biblioteca:El libro compendio sobre

cálculo por terminación y equilibrio. Revolucionó las formas de calcular problemas algebraicos, introduciendo principios que son la base del álgebra moderna. Como en períodos anteriores, los tipos de problemas discutidos fueron en gran parte geométricos. El estudio de la geometría era importante en el mundo islámico, en parte porque la forma humana estaba prohibida en el arte y la arquitectura religiosos, por lo que muchos diseños islámicos se basaban en patrones geométricos.

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Al-Khwarizmi introdujo algunas operaciones algebraicas fundamentales, que describió como reducción, unión y equilibrio. El proceso de reducción (simplificación de una ecuación) se puede realizar reuniendo (al-jabr)—mover los términos restados al otro lado de una ecuación—y luego balancear los dos lados de la ecuación. La palabra álgebra proviene deal-jabr. Al-Khwarizmi no estaba trabajando en un vacío total, ya que tenía a su disposición las obras traducidas de matemáticos griegos e indios anteriores. Introdujo el sistema indio de valor posicional decimal en el mundo islámico, lo que más tarde condujo a la adopción del sistema numérico hindú-árabe ampliamente utilizado en la actualidad. Al-Khwarizmi comenzó estudiando ecuaciones lineales, llamadas así porque crean una línea recta cuando se trazan en un gráfico. Las ecuaciones lineales involucran solo una variable, que se expresa solo a la potencia de 1, en lugar de al cuadrado o a cualquier potencia superior.

Ecuaciones cuadráticas Al-Khwarizmi no empleó símbolos; escribió sus ecuaciones en palabras, apoyadas por diagramas. Por ejemplo, escribió la ecuación (X⁄3+ 1)(X⁄4+ 1) = 20 como: “Una cantidad: multipliqué un tercio y un dirham por un cuarto y un

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dírham; se convierte en veinte”, siendo un dirham una sola moneda, utilizada por alKhwarizmi para significar una sola unidad. Según al-Khwarizmi, mediante el uso de sus métodos de finalización y balanceo, todas las ecuaciones cuadráticas, aquellas en las que la potencia más alta de XesX2—se puede simplificar a una de las seis formas básicas. En notación moderna, serían:hacha2=bx;hacha2=C;hacha2+bx=C;hacha2+C=bx;hacha2=bx+C; yb 2=C.

En estos seis tipos, las letrasa,b, yCtodos representan números conocidos, yX representa

la cantidad desconocida. Al-Khwarizmi también abordó problemas más complejos, produciendo un método geométrico para resolver ecuaciones cuadráticas que usaba la técnica conocida como "completando el cuadrado". Continuó buscando una solución general para las ecuaciones cúbicas, en las que la potencia más alta deXesX3—pero no pude encontrar uno. Sin embargo, su búsqueda de este objetivo mostró cómo las matemáticas habían progresado desde la época de los antiguos griegos. Durante siglos, el álgebra había sido solo una herramienta para resolver problemas geométricos, pero ahora se convirtió en una disciplina por derecho propio, donde el objetivo final era calcular ecuaciones cada vez más difíciles.

El objeto principal del Álgebra... es determinar el valor de cantidades que antes eran desconocidas... considerando atentamente las condiciones dadas... expresadas en números conocidos.

Leonhard Euler

respuestas racionales Muchas de las ecuaciones con las que estaba tratando al-Khwarizmi tenían soluciones que no podían expresarse de manera racional y completa usando el decimal hindú-árabe.

sistema. Aunque números como la raíz cuadrada de 2 se conocían desde la antigüedad griega e incluso desde las tablillas de arcilla babilónicas anteriores, en 825 CE,

al-Khwarizmi fue el primero en hacer la distinción entre números racionales

—que se pueden convertir en fracciones— y números irracionales, que tienen una cadena indefinida de decimales sin patrón recurrente. Al-Khwarizmi describió los números racionales como "audibles" y los números irracionales como "inaudibles".

El trabajo de Al-Khwarizmi fue desarrollado aún más por el matemático egipcio Abu Kamil Shuja ibn Aslam (c. 850–930CE), cuyolibro de algebrafue diseñado para ser un tratado académico para otros matemáticos, en lugar de para personas educadas que tenían un interés más amateur. Abu Kamil abrazó los números irracionales como posibles soluciones a las ecuaciones cuadráticas, en lugar de rechazarlas como incómodas.

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anomalías En suLibro de cosas raras en el arte del cálculo, Abu Kamil intentó resolver ecuaciones indeterminadas (aquellas con más de una solución). Continuó explorando este tema en suLibro de pájaros, en el que planteó una miscelánea de problemas de álgebra relacionados con las aves, entre ellos: "¿De cuántas maneras se pueden comprar 100 aves en el mercado con 100 dirhams?"

El álgebra no es más que geometría escrita y la geometría no es más que álgebra calculada.

sofia germain matemático francés

Soluciones geométricas Hasta la era de los "algebristas" árabes, desde al-Khwarizmi en el siglo IX hasta la muerte del matemático moro al-Qalasadi en 1486, los desarrollos clave dentro del álgebra se sustentaron en representaciones geométricas. Por ejemplo, el método de al-Khwarizmi de "completar el cuadrado" para resolver ecuaciones cuadráticas se basa en la consideración de las propiedades de un cuadrado real; los eruditos posteriores trabajaron de manera similar. El matemático y poeta Omar Khayyam, por ejemplo, estaba interesado en resolver problemas usando la disciplina relativamente nueva del álgebra, pero empleó métodos geométricos y algebraicos. Su

Tratado sobre demostración de problemas de álgebra(1070) incluye, en particular, una nueva perspectiva sobre las dificultades de los postulados de Euclides, un conjunto de reglas geométricas que se suponen verdaderas sin necesidad de demostración. Retomando el trabajo anterior de al-Karaji, Khayyam también desarrolla ideas sobre los coeficientes binomiales, que determinan cuántas formas hay de seleccionar una cantidad de elementos de un conjunto más grande. También resolvió ecuaciones cúbicas, inspirado por el uso que hizo al-Khwarizmi de las construcciones geométricas de Euclides para resolver ecuaciones cuadráticas.

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Al Juarizmimostró cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante un método conocido como "completar el cuadrado". Este ejemplo muestra cómo encontrarXen la ecuacionX2+ 10X=39.

polinomios Durante el siglo X y principios del XI, se desarrolló una teoría del álgebra más abstracta, que no dependía de la geometría, un factor importante para establecer su estatus académico. Al-Karaji fue fundamental en este desarrollo. Estableció un conjunto de procedimientos para realizar operaciones aritméticas con expresiones polinómicas que contienen una mezcla de términos algebraicos. Creó reglas para calcular con polinomios, de la misma manera que había reglas para sumar, restar o multiplicar números. Esto permitió a los matemáticos

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trabajar en expresiones algebraicas cada vez más complejas de una manera más uniforme, y reforzó los vínculos esenciales del álgebra con la aritmética. La prueba matemática es una parte vital del álgebra moderna y una de las herramientas de prueba se llama inducción matemática. Al-Karaji usó una forma básica de este principio, mediante la cual demostraría que un enunciado algebraico es verdadero para el caso más simple (digamosnorte=1), luego use ese hecho para mostrar que también debe ser cierto paranorte=2 y así sucesivamente, con la conclusión inevitable de que el enunciado debe ser verdadero para todos los valores posibles denorte.

Uno de los sucesores de al-Karaji fue el erudito del siglo XII Ibn Yahya al-Maghribi al-Samaw'al. Señaló que la nueva forma de pensar en el álgebra como una especie de aritmética con reglas generalizadas involucraba al algebraista “operando sobre lo desconocido usando todas las herramientas aritméticas, de la misma manera que el aritmético opera sobre lo conocido”. AlSamaw'al continuó el trabajo de al-Karaji sobre polinomios, pero también desarrolló las leyes de los índices, lo que condujo a un trabajo mucho más tarde sobre logaritmos y exponenciales, y fue un importante paso adelante en matemáticas.

Una onza de álgebra vale una tonelada de argumento verbal.

John BS Haldane biólogo matemático británico

matemáticos islámicosse reúnen en la biblioteca de una mezquita en una ilustración de un manuscrito del poeta y erudito del siglo XII Al-Hariri de Basora.

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Trazado de ecuaciones Las ecuaciones cúbicas habían desafiado a los matemáticos desde la época de Diofanto de Alejandría. Al-Khwarizmi y Khayyam habían logrado un progreso significativo en su comprensión, trabajo desarrollado por Sharaf al-Din al-Tusi, un erudito del siglo XII, probablemente nacido en Irán, cuyas matemáticas parecen haber sido inspiradas por el trabajo de eruditos griegos anteriores, especialmente Arquímedes. Al-Tusi estaba más interesado en determinar los tipos de ecuaciones cúbicas que al-Khwarizmi y Khayyam. También desarrolló una comprensión temprana de las curvas gráficas, articulando la importancia de los valores máximos y mínimos. Su trabajo fortaleció la conexión entre las ecuaciones algebraicas y los gráficos, entre los símbolos matemáticos y las representaciones visuales. Como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así el hombre de conocimiento eclipsará la fama de los demás en las asambleas del pueblo si propone problemas algebraicos, y más aún si los resuelve.

Brahmagupta

Una nueva álgebra Los descubrimientos y las reglas establecidas por los eruditos árabes medievales todavía forman la base del álgebra en la actualidad. Los trabajos de al-Khwarizmi y sus sucesores fueron clave para establecer el álgebra como una disciplina por derecho propio. Sin embargo, no fue sino hasta el siglo XVI que los matemáticos comenzaron a abreviar ecuaciones usando letras para representar variables conocidas y desconocidas. El matemático francés François Viète fue clave en este desarrollo. En sus obras, fue pionero en alejarse del álgebra árabe de procedimientos hacia lo que se conoce como álgebra simbólica.

En suIntroducción a las Artes Analíticas(1591), Viète sugirió que los matemáticos deberían usar letras para simbolizar las variables en una ecuación: vocales para representar cantidades desconocidas y consonantes para representar lo conocido. Aunque esta convención finalmente fue reemplazada por René Descartes, en la que las letras al principio del alfabeto representan números conocidos y las letras al final representan lo desconocido, Viète, sin embargo, fue responsable de simplificar el lenguaje algebraico mucho más de lo que los eruditos árabes habían imaginado. La innovación permitió a los matemáticos escribir ecuaciones abstractas cada vez más complejas y detalladas, sin utilizar la geometría. Sin álgebra simbólica, es

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Sería difícil imaginar cómo se habrían desarrollado las matemáticas modernas.

algebristas islámicosescribió ecuaciones como texto con diagramas adjuntos, como en el siglo XIVTratado sobre la cuestión del código aritméticopor el Maestro Ala-El-Din Muhammed El Ferjumedhi.

AL-KHWARIZMI Nacido en c. 780CEcerca de lo que ahora es Khiva, Uzbekistán, Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi se mudó a Bagdad, donde se convirtió en erudito en la Casa de la Sabiduría.

Al-Khwarizmi es considerado el “padre del álgebra” por sus reglas sistemáticas para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. Estos fueron esbozados en su principal

trabajar en el cálculo por "completar y equilibrar", métodos que ideó y que todavía se usan en la actualidad. Otros logros incluyen su texto sobre los números hindúes, que, en su traducción latina, introdujo en Europa los números hindúes y arábigos. Escribió un libro sobre geografía, ayudó a construir un mapa del mundo, participó en un proyecto para determinar la circunferencia de la Tierra, desarrolló el astrolabio (un

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herramienta griega para la navegación), y compiló un conjunto de tablas astronómicas. AlKhwarizmi murió alrededor del año 850. Trabajos clave

C. 820Sobre el cálculo con números hindúes

C. 830El libro compendio sobre cálculo por terminación y equilibrio Ver también:Ecuaciones cuadráticas•El papiro Rhind•Ecuaciones diofánticas• Ecuaciones cúbicas•La resolución algebraica de ecuaciones.•El teorema fundamental del álgebra.

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE

Al-Karaji(C. 980-c. 1030) CAMPO Teoría de los números

ANTES C. 250CEEnAritmética, Diofanto establece ideas sobre el álgebra que luego retomó al-Karaji.

C. 825CEEl astrónomo y matemático persa al-Khwarizmi desarrolla el álgebra. DESPUÉS

1653EnTratado de la aritmética del triángulo(Tratado sobre el triángulo aritmético), Blaise Pascal revela el patrón triangular de coeficientes en el teorema del bionomio en lo que más tarde se llama el triángulo de Pascal.

1665Isaac Newton desarrolla la serie binomial general a partir del teorema del binomio, formando parte de la base de su trabajo sobre cálculo. En el corazón de muchas operaciones matemáticas se encuentra un importante teorema básico: el teorema del binomio. Proporciona un resumen abreviado de lo que sucede cuando multiplicas un binomio, que es una expresión algebraica simple que consta de dos términos conocidos o desconocidos sumados o restados. Sin el teorema del binomio, muchas operaciones matemáticas serían casi imposibles de realizar. El teorema muestra que cuando se multiplican los binomios, los resultados siguen un patrón predecible que puede escribirse como una expresión algebraica o mostrarse en una

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cuadrícula triangular (conocida como el triángulo de Pascal en honor a Blaise Pascal, quien exploró el patrón en el siglo XVII).

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Dar sentido a los binomios El patrón binomial fue observado por primera vez por matemáticos en la antigua Grecia e India, pero el hombre al que se atribuye su descubrimiento es el matemático persa al-Karaji, uno de los muchos eruditos que florecieron en Bagdad desde el siglo VIII al XIV. Al-Karaji exploró la multiplicación de términos algebraicos. Definió términos simples llamados monomios”—x,X2,X3, etcétera, y mostró cómo se pueden multiplicar o dividir. También analizó los "polinomios" (expresiones con varios términos), como 6y2 +X3-X+17. Pero fue su descubrimiento de la fórmula para multiplicar binomios lo que tuvo el mayor impacto. El teorema del binomio se refiere a las potencias de los binomios. Por ejemplo, multiplicando el binomio (a+b)2al convertirlo a (a+b) (a+b) y multiplicando cada término en el primer paréntesis por cada término en el segundo paréntesis da como resultado (a+ b)2=

a2+ 2abdominales+b2. El cálculo para la potencia 2 es manejable, pero para potencias mayores la expresión resultante se vuelve cada vez más complicada. El teorema del binomio simplifica el problema al desbloquear el patrón en los coeficientesnúmeros, como 2 en 2abdominales, por la que se multiplican los términos desconocidos. Como descubrió al-Karaji, los coeficientes se pueden colocar en una cuadrícula, con las columnas que muestran los coeficientes necesarios para multiplicar cada potencia. Los coeficientes de una columna se calculan sumando los pares de números de la columna anterior. Para determinar las potencias en la expansión, tomas el grado del binomio comonorte. En (a+b) 2,norte=2.

Al-Karaji creadouna tabla para calcular los coeficientes de las ecuaciones binomiales. Las primeras cinco líneas se muestran aquí. La línea superior es para potencias, con los coeficientes para cada potencia enumerados en la columna a continuación. Los números primero y final son siempre 1. Cada otro número es el

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suma de su número adyacente en la columna anterior y el número sobre ese número adyacente.

El álgebra se libera El descubrimiento de Al-Karaji del teorema del binomio ayudó a abrir el camino para el desarrollo completo del álgebra, al permitir que los matemáticos manipularan expresiones algebraicas complicadas. El álgebra desarrollada por al-Khwarizmi aproximadamente 150 años antes había utilizado un sistema de símbolos para calcular cantidades desconocidas y tenía un alcance limitado. Estaba ligado a las reglas de la geometría, y las soluciones eran dimensiones geométricas, como ángulos y longitudes de los lados. El trabajo de Al-Karaji mostró cómo el álgebra podría basarse completamente en números, liberándola de la geometría.

El teorema del binomio y una fuga de Bach son, a la larga, más importantes que todas las batallas de la historia.

james hilton novelista británico

AL-KARAJI Nacido alrededor de 980CE, Abu Bakr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji probablemente obtuvo su nombre de la ciudad de Karaj, cerca de Teherán, pero vivió la mayor parte de su vida en Bagdad, en la corte del califa. Fue aquí alrededor de 1015 que probablemente escribió sus tres textos matemáticos clave. El trabajo en el que al-Karaji desarrolló el teorema del binomio ahora se ha perdido, pero los comentaristas posteriores conservaron sus ideas. Al-Karaji también era ingeniero, y su libroExtracción de Aguas Escondidases el primer manual conocido sobre hidrología. Más adelante en su vida, al-Karaji se mudó a “países montañosos” (posiblemente las montañas Elburz cerca de Karaj), donde pasó su tiempo trabajando en proyectos prácticos para perforar pozos y construir acueductos. Murió alrededor de 1030CE. Trabajos clave

Glorioso en álgebra Maravilloso en el cálculo Suficiente en el cálculo

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Ver también:Números posicionales•Ecuaciones diofánticas•Cero•Álgebra•triangulo de pascal•Probabilidad•Cálculo•El teorema fundamental del álgebra.

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EN CONTEXTO FIGURA CLAVE

Omar Khayyam(1048-1131) CAMPO

Álgebra

ANTES siglo terceroantes de CristoArquímedes resuelve ecuaciones cúbicas usando la intersección de dos cónicas.

siglo VIICEEl erudito chino Wang Xiaotong resuelve numéricamente una variedad de ecuaciones cúbicas. DESPUÉS

siglo 16Matemáticos en Italia crean métodos celosamente guardados para resolver ecuaciones cúbicas en el tiempo más rápido.

1799–1824El erudito italiano Paolo Ruffini y el matemático noruego Niels Henrik Abel muestran que no existen fórmulas algebraicas para ecuaciones que involucren términos elevados a 5 o más. En el mundo antiguo, los eruditos consideraban los problemas de forma geométrica. Ecuaciones lineales simples (que describen una línea), como 4X+8 = 12, dondeXes a la potencia de 1, podría usarse para encontrar una longitud, mientras que una variable al cuadrado (X2) en una ecuación cuadrática podría representar un área desconocida, un espacio bidimensional. El siguiente paso es la ecuación cúbica, donde elX3término es un volumen desconocido

- un espacio tridimensional.

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Los babilonios pudieron resolver ecuaciones cuadráticas en 2000antes de Cristo,pero tomó otro 3000 años hasta que el poeta y científico persa Omar Khayyam encontró un método preciso para resolver ecuaciones cúbicas, utilizando curvas llamadas secciones cónicas, como círculos, elipses, hipérbolas o parábolas, formadas por la intersección de un plano y un cono.

problemas con cubos Los antiguos griegos, que usaban la geometría para resolver problemas complejos, desconcertaban los cubos. Un enigma clásico era cómo producir un cubo que tuviera el doble del volumen de otro cubo. Por ejemplo, si los lados de un cubo tienen una longitud igual a 1, ¿qué longitud de los lados necesitas para un cubo con el doble de volumen? En términos modernos, si un cubo con lado de longitud 1 tiene un volumen de 13, qué longitud del lado al cubo (X3) produce el doble de ese volumen; es decir, desde 13= 1, ¿cuál esXsiX3= 2? Los antiguos griegos usaron una regla y un compás para intentar construir una solución a esta ecuación cúbica, pero nunca lo lograron. Khayyam vio que tales herramientas no eran suficientes para resolver todas las ecuaciones cúbicas y estableció su uso de secciones cónicas y otros métodos en su tratado de álgebra.

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Usando convenciones modernas, las ecuaciones cúbicas se pueden expresar simplemente, comoX3

+ bx=C. Sin la economía de la notación moderna, Khayyam expresó sus ecuaciones en palabras, describiendoX3como “cubos”,X2como "cuadrados",Xcomo "longitudes" y los números como "cantidades". Por ejemplo, describióX3+ 200x = 20x2+ 2.000 como problema de encontrar un cubo que “con doscientas veces su lado” sea igual a “veinte cuadrados de su lado y dos mil”. Para una ecuación más simple, comoX3 + 36X=144, el método de Khayyam consistía en dibujar un diagrama geométrico. Descubrió que podía descomponer la ecuación cúbica en dos ecuaciones más simples: una para un círculo y la otra para una parábola. Al calcular el valor deXpara el cual estas dos ecuaciones más simples son verdaderas simultáneamente, podría resolver la ecuación cúbica original. Esto se muestra en el siguiente gráfico. En ese momento, los matemáticos no tenían estos métodos gráficos y Khayyam habría construido el círculo y la parábola geométricamente.

Khayyam también había explorado las propiedades de las secciones cónicas y había deducido que se podía encontrar una solución a la ecuación cúbica dando al círculo en el diagrama un diámetro de 4. Se llegó a esta medida dividiendoCporb, o144⁄36

en el ejemplo siguiente. El círculo pasaba por el origen (0,0) y su centro estaba en elXeje en (2,0). Usando este diagrama, Khayyam dibujó una línea perpendicular desde el punto donde el círculo y la parábola se cruzaban hasta el

Xeje. El punto donde la línea cruza laXeje (dondey=0) da el valor deXen la ecuación cúbica. En el caso deX3+ 36X=144, la respuesta esX=3,14 (redondeado a dos decimales). Khayyam no usó coordenadas ni ejes (que se inventaron unos 600 años después). En cambio, habría dibujado las formas con la mayor precisión posible y medido cuidadosamente las longitudes en sus diagramas. Entonces habría encontrado una solución numérica aproximada usando tablas trigonométricas, que eran comunes en astronomía. Para Khayyam, la solución siempre habría sido un número positivo. Hay una respuesta negativa igualmente válida, como lo muestran los números negativos en el gráfico a continuación, pero aunque el concepto de números negativos fue reconocido en las matemáticas indias, no fue generalmente aceptado hasta el siglo XVII.

OMAR KHAYYAM Nacido en Nishapur, Persia (ahora Irán), en 1048, Omar Khayyam fue educado en filosofía y ciencias. Aunque ganó renombre como astrónomo y matemático, cuando su patrón, el sultán Malik Shah, murió en 1092, se vio obligado a

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en la clandestinidad Finalmente rehabilitado 20 años después, vivió tranquilamente y murió en 1131.

En matemáticas, Khayyam es mejor recordado por su trabajo sobre ecuaciones cúbicas, pero también produjo un comentario importante sobre el quinto postulado de Euclides, conocido como el postulado paralelo. Como astrónomo, ayudó a construir un calendario de alta precisión que fue

utilizado hasta la década de 1900. Irónicamente, Khayyam ahora es más conocido por una obra de poesía de la que puede no haber sido el único autor: elRubaiyat, que fue traducida al inglés por Edward Fitzgerald en 1859. Trabajos clave

C. 1070Tratado sobre demostración de problemas de álgebra 1077

Comentarios a los postulados difíciles del libro de Euclides

una parábola(rosa) para la ecuaciónX2= 6yintersecta el círculo (azul) (X˗2)2+y2= 4. Una línea desde G, el punto de intersección, hasta H en elXeje, da el valor deX(3.14) en la ecuación cúbicaX3+ 36X=144.

La contribución de Khayyam 159

Mientras que Arquímedes, trabajando en el siglo IIIantes de Cristo, bien pudo haber examinado la intersección de secciones cónicas en un intento por resolver ecuaciones cúbicas, lo que distingue a Khayyam es su enfoque sistemático. Esto le permitió producir una teoría general. Extendió su mezcla de geometría y álgebra para resolver ecuaciones cúbicas usando círculos, hipérbolas y elipses, pero nunca explicó cómo las construyó, simplemente dijo que "usaba instrumentos". Khayyam fue uno de los primeros en darse cuenta de que una ecuación cúbica podía tener más de una raíz y, por lo tanto, más de una solución. Como se puede mostrar en un gráfico moderno que traza una ecuación cúbica como una curva que serpentea por encima y por debajo de la Xeje, una ecuación cúbica tiene hasta tres raíces. Khayyam sospechó dos, pero no habría considerado valores negativos. No le gustaba tener que usar la geometría además del álgebra para encontrar una solución, y esperaba que algún día sus esfuerzos geométricos fueran reemplazados por la aritmética.

Khayyam anticipó el trabajo de los matemáticos italianos del siglo XVI, quienes resolvieron ecuaciones cúbicas sin recurrir directamente a la geometría. Scipione del Ferro produjo la primera solución algebraica de ecuaciones cúbicas, descubierta en su cuaderno después de su muerte. Él y sus sucesores Niccolò Tartaglia, Lodovico Ferrari y Gerolamo Cardano trabajaron en fórmulas algebraicas para resolver ecuaciones cúbicas. Cardano publicó la solución de Ferro en su libroArs magnaen 1545. Sus soluciones eran algebraicas pero diferían de las actuales, en parte porque el cero y los números negativos se usaban poco en ese momento. He mostrado cómo encontrar los lados del cuadrado-cuadrado, quatro-cubo, cubo-cubo... a cualquier longitud, lo que no se ha [hecho] antes.

Omar Khayyam

Hacia el álgebra moderna Los matemáticos que continuaron la búsqueda de soluciones de ecuaciones cúbicas incluyeron a Rafael Bombelli. Fue de los primeros en afirmar que una raíz cúbica podía ser un número complejo, es decir, un número que hace uso de una unidad “imaginaria” derivada de la raíz cuadrada de un número negativo, algo que no es posible con los números “reales”. A fines del siglo XVI, el francés François Viète creó una notación algebraica más moderna, usando sustitución y simplificación para llegar a sus soluciones. Para 1637, René Descartes había publicado una solución a la ecuación de cuarto grado (que involucraba X4), reduciéndola a una ecuación cúbica y luego a dos ecuaciones cuadráticas para resolverla.

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