El fin del Infinito

Antonio Le´on

El fin del infinito Selecci´ on de argumentos sobre el infinito matem´atico

Primera edici´ on 2011. Segunda edici´ on 2013 Tercera edici´ on Septiembre 2014. Salamanca Impreso en Espa˜ na / Printed in Spain Printed by Bubok Publishing S.L.

INTERCIENCIA

Registro legal S.C. Cod. 1401099791982 Todos los derechos reservados. Ninguna parte de este libro se puede reproducir, almacenar o transmitir en forma alguna sin el correspondiente permiso del propietario de los derechos de copia.

´Indice general

1. Introducci´ on

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2. Convenciones

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3. El infinito actual ´n . . . . . . . . . Introduccio Infinito actual y potencial El axioma del infinito . . . Cardinales y ordinales . . .

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9 . 9 . 11 . 13 . 15

4. Reinterpretaci´ on de las paradojas de la reflexividad 21 ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Introduccio ¿Paradojas o contradicciones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5. Extensi´ on de la Paradoja de Cantor ´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduccio La paradoja de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ n de la Paradoja de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una extensio

27 27 28 29

6. El siguiente racional 33 ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Introduccio ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Discusio 7. La l´ ampara de Thomson 37 ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Introduccio ´ mpara de Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 La la ´ quina de contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 La ma 8. Revisi´ on del argumento de Cantor de 1874 ´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduccio Argumento de Cantor de 1874 . . . . . . . . . . . . ´ n racional del argumento de Cantor . . . Versio Una variante del argumento de Cantor de 1874 .

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9. Intercambios num´ ericos ω -Intercambios . . . . . . . . . . . . . . Argumento de la supertarea . . . . . . Argumento Modus Tollens . . . . . . . La alternativa del infinito potencial

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10.La diagonal de Cantor ´n . . . . . . . . . . Introduccio Teorema del n-´ esimo decimal Cantor contra Cantor . . . Antidiagonales racionales . Un nota final . . . . . . . . . .

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11.Intervalos racionales 69 ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Introduccio

iii

iv —— ´Indice general

´ n cantoriana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Una particio Un intervalo racional menguante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Discusio 12.Particiones no contables 75 ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Introduccio La prueba de Cantor de 1885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Particiones en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 13.Cajas y conjuntos ´n . . . . . . . . . Introduccio Vaciando cajas y conjuntos Capturando una falacia . . Magia infinitista . . . . . . .

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14.Una fuente irracional de n´ umeros racionales ´ meros n-expofactoriales . . . . . . . . . . . . Nu ´ meros racionales Una fuente irracional de nu ´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Discusio Ep´ılogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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15.Substracci´ on de cardinales 97 ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Introduccio ´ n de cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Problemas con la sustraccio El argumento de Faticoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 16.Alef-cero 103 ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Introduccio El menor cardinal transfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 17.Singularidades aritm´ eticas de alef zero 109 ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Introduccio ´ mero primo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 ¿Es ℵo un nu Alef-cero y la potencia del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 18.Reinterpretaci´ on del teorema de la reordenaci´ on de Riemann 119 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Discusio 19.Inconsistencia de los conjuntos anidados 123 ´ n vac´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Teorema de la interseccio Inconsistencia de los conjuntos anidados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 20.Dicotom´ıas de Zen´ on Definiciones introductorias . ´n . . . . Dicotom´ıa II de Zeno ´n . . . . . Dicotom´ıa I de Zeno ´n . . . . . . . . . . . Conclusio

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21.La m´ aquina de Hilbert El Hotel de Hilbert . . . . . . . Definiciones . . . . . . . . . . . . . ´ n de la ma ´ quina La contradiccio ´n . . . . . . . . . . . . . . . Discusio

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22.Curvas de Jordan infinitas 143 ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Introduccio ´ n infinita de una curva de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Particio 23.Infinito uno a uno 147 ´ n unario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 El sistema de numeracio ´ meros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . 151 La tabla monaria de los nu

´Indice general —— v

24.Temporizando el infinito 155 ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Introduccio Definiciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 ´ n conflictiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Una definicio 25.Divisibilidad del espaciotiempo 159 El menor ordinal infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Dicotom´ıas del espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Divisibilidad del espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Ap´ endices A. El problema del cambio 169 ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Introduccio El problema del cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 ´ matas celulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Un modelo discreto: auto B. Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos ´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduccio ´ n natural de conjunto . . . . . . . . Una definicio ´ meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjuntos y nu Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjuntos potencialmente infinitos . . . . . . . .

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C. Platonismo y biolog´ıa 191 Los seres vivos como objetos extravagantes . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Conocimiento abstracto y biolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Referencias

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´ Indice alfab´ etico

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1.-Introducci´on

Algunos de los problemas m´ as relevantes de la filosof´ıa contempor´ anea fueron ya planteados por los fil´ osofos presocr´ aticos en el siglo VII a.C. (en parte quiz´a sugeridos o directamente tomados de los precedentes culturales desarrolladas en las culturas neol´ıticas fluviales.1 ) Entre esos problemas, hay tres que merecen especial consideraci´on: el problema del cambio, el infinito, y la autorreferencia. El primero de ellos es sin duda el m´ as dif´ıcil, y al mismo tiempo el m´ as relevante, de los problemas planteados por el hombre. Resulta por eso sorprendente la poca atenci´ on que se presta en la actualidad a ese fascinante problema, especialmente si se la compara con la atenci´ on prestada a los otros dos. Despu´es de m´ as de veinte siete siglos, el problema del cambio sigue sin resolverse. A pesar de su aparente simplicidad, nadie ha sido capaz de explicar, por ejemplo, c´ omo se realiza un simple cambio de posici´ on. La f´ısica, la ciencia del cambio (la ciencia de la sucesi´on regular de eventos, como Maxwell la llam´ o [127, p´ ag. 98]) parece haber olvidado su problema m´ as 2 fundamental. A su vez, algunos fil´ osofos como Hegel defendieron que el cambio es un concepto inconsistente; mientras que otros, como McTaggart, llegaron a la misma conclusi´on que Parm´enides [147] sobre la imposibilidad de cambio [132]. Quiz´ as la (aparente) insolubilidad del problema del cambio tenga que ver con el continuum espaciotiempo donde todas las soluciones han sido buscadas. Como se muestra en el Ap´endice A, el problema del cambio podr´ıa encontrar una soluci´ on en el marco de un espaciotiempo discreto. Mientras que el cambio es una caracter´ıstica evidente de nuestro universo en continua evoluci´ on, tanto el infinito como la autorreferencia son nociones te´oricas, sin relaci´ on aparente con el mundo natural. Cantor y G¨ odel (los pr´ıncipes del infinito y la autorreferencia respectivamente) fueron dos en1 [21], 2 [96],

[169], [144], [183] [98], [133], [146], [158], [196]

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2 —— Introducci´ on

tusiastas plat´ onicos de escasa devoci´ on a las ciencias naturales y de enorme influencia en las matem´ aticas contempor´ aneas.3 Para ilustrar las profundas convicciones teoplat´ onicas de Cantor, recordemos algunas de sus palabras: . . . en mi opini´ on la realidad y absoluta legalidad de los n´ umeros enteros es mucho mayor que la del mundo sensorial. El que as´ı sea, tiene una u ´nica y muy simple raz´ on, a saber, que los n´ umeros enteros existen en el grado sumo de realidad, tanto separados como en su totalidad actualmente infinita, en la forma de ideas eternas in Intellectus Divinus. ([134]; citado en [76]) . . . yo solo soy un instrumento al servicio del alt´ısimo, un instrumento que seguir´a actuando mucho despu´es de m´ı, de la misma forma que ya lo hizo antes hace miles de a˜ nos con Euclides y Arqu´ımedes. . . . ([41, pp 104-105]) . . . No puedo referirme a ellos [los ´ atomos] como existentes, ya sea en concepto o en realidad, no importa cu´ antas cosas hasta cierto punto u ´tiles se hayan logrado mediante esa ficci´ on. ([40, p 78], traducci´on inglesa [33]) Veintisiete siglos de debates no fueron suficientes para probar la consistencia (o la inconsistencia) de la hip´ otesis del infinito actual,4 que finalmente tuvo que ser legitimada por la v´ıa expeditiva de los axiomas.5 Las matem´ aticas contempor´ aneas est´ an fundadas en la creencia de que los conjuntos infinitos existen como totalidades completas.6 La teor´ıa de conjuntos es una teor´ıa estrictamente infinitista, una teor´ıa basada en, e inspirada por, la hip´ otesis del infinito actual. Para Georg Cantor, uno de sus m´ as relevantes fundadores, el infinito actual no era una simple hip´ otesis sino una firme convicci´on plat´ onica.7 La teor´ıa de conjuntos contiene, sin embargo, los instrumentos apropiados para poner en cuesti´ on la consistencia formal de la hip´ otesis del infinito actual. Aunque hasta ahora nunca han sido utilizados con esas intenciones cr´ıticas. Como veremos aqu´ı, ese es el caso de ω, el menor de los ordinales infinitos, y de las sucesiones y los conjuntos ω−ordenados. En este libro haremos un uso 3 Para

el caso de Cantor v´ease [56], [134], [42, pag. 141]; para el de G¨ odel [81, pags. 235-236], [83, pag. 359], [73], [58] [140], [100], [85] 4 La existencia de colecciones infinitas como totalidades completas. 5 Axioma del Infinito en las modernas teor´ ıas de conjunto, que, en pocas palabras, establece la existencia de un conjunto infinito numerable. 6 Por ejemplo, la lista ordenada de los n´ umeros naturales existir´ıa como una totalidad completa a pesar de que ning´ un u ´ltimo n´ umero la complete. 7 Tan firme como una roca en las propias palabras de Cantor (carta de Cantor a Heman, 21 de Junio de 1888)

Introducci´ on —— 3

extensivo de ellos. La auto-referencia en el lenguaje formal y coloquial es tambi´en una noci´on te´orica sobre la que no hay acuerdo general.8 Las paradojas de la autorreferencia han sido y siguen siendo una fuente interminable de discusiones. Una de esas paradojas, la paradoja del mentiroso,9 conduce (v´ıa Paradoja de Richard, como el propio G¨ odel reconoci´o [82, p. 56]) al c´elebre primer teorema de incompletitud de G¨ odel. Muchos l´ogicos lo consideran como el teorema m´ as importante de todos los tiempos. Desde nuestra perspectiva de las ciencias naturales eso suena algo exagerado. Por decirlo en pocas palabras, heredamos de los presocr´ aticos, entre otras cosas, un desaf´ıo prometedor (el problema del cambio) y dos conceptos cuestionables (la autorreferencia y el infinito actual). Con el paso del tiempo hemos ido olvidando el desaf´ıo y convirtiendo al infinito y a la autorreferencia en pilares fundamentales e incuestionables de la l´ogica y de las matem´ aticas contempor´ aneas. No todo el mundo est´ a de acuerdo con esa elecci´on, aunque la cr´ıtica militante es casi inexistente. Este libro est´ a principalmente dedicado a poner en cuesti´ on el m´ as molesto de esos conceptos: el infinito actual. Debemos recordar en este momento que la ciencia es excesivamente autoreverente y escasamente autocr´ıtica. Poner las convicciones y los intereses personales en frente del conocimiento objetivo de la realidad resulta m´ as frecuente de lo que se podr´ıa esperar. En esas condiciones, no es f´acil poner en cuesti´ on un supuesto fundamental bien asentado, incluso si ese supuesto es sospechoso de ser inconsistente. En mi opini´ on el Axioma del Infinito es uno de esos supuestos fundacionales inconsistentes. Las consecuencias de las matem´ aticas infinitistas son desastrosas porque promueven un modelo anal´ ogico, y por tanto continuo, del mundo f´ısico que est´ a claramente en conflicto con la naturaleza digital revelada hasta ahora por todas las observaciones f´ısicas: materia ordinaria, part´ıculas elementales, energ´ıa, cargas el´ectricas y no el´ectricas, parecen ser todas ellas entidades discretas con m´ınimos indivisibles. Es sorprendente la guerra de los f´ısicos contra los infinitos. Pagan un alto precio en la forma de interminables y tediosos c´ alculos para conseguir librarse de ellos. Mientras que, por otra parte, no dedican ni un solo minuto de su tiempo a poner en cuesti´ on 8 Adem´ as

de lenguaje y metalenguaje (lenguaje sobre el lenguaje) tendr´ıamos tambi´en auto-lenguaje, el lenguaje hablando aut´ onomamente de s´ı mismo. t´erminos informales: Esta frase es falsa.

9 En

4 —— Introducci´ on

la consistencia formal de la hip´ otesis del infinito actual que los fundamenta. Gracias a la supuesta existencia del infinito actual, las ciencias experimentales se ven obligadas a explicar un realidad que parece ser esencialmente discreta por medio de matem´ aticas indiscretas. Una tarea que podr´ıa ser imposible en ciertos niveles b´ asicos donde la discreci´on resulta esencial, como es el caso del nivel cu´ antico. La tragedia del infinito es que no hemos desarrollado unas matem´ aticas discretas adecuadas para explicar un mundo que parece ser esencialmente discreto. Incluso las matem´ aticas discretas que hemos desarrollado se han desarrollado en t´erminos de matem´ aticas indiscretas. Aparte de ciertas aplicaciones particulares, las matem´ aticas discretas suelen interpretarse como meras aproximaciones del verdadero mundo continuo de las matem´ aticas infinitistas. El problema es que no parece existir ning´ un mundo continuo. En cualquier caso, la hip´ otesis del infinito actual es s´ olo una hip´ otesis, y uno tiene el derecho y el deber de ponerla en cuesti´ on. Ese es el objetivo principal de este libro. Una colecci´ on de argumentos cr´ıticos sobre la hip´ otesis del infinito actual desarrollados durante los u ´ltimos veinte a˜ nos. Cada cap´ıtulo consta de un argumento completo e independiente, por lo que pueden ser le´ıdos en cualquier orden.10 Incluye tambi´en tres ap´endices, el primero trata sobre el problema del cambio para ilustrar las consecuencias de asumir la existencia del continuum espaciotiempo. El segundo introduce una alternativa no plat´ onica a las actuales teor´ıas de conjuntos. El tercero es una breve cr´ıtica del esencialismo plat´ onico (la cuna del infinito actual) desde la perspectiva de la biolog´ıa contempor´ anea. Aunque las discusiones sobre el infinito matem´ atico pueden parecer intimidantes al lector no especializado, este libro es cualquier cosa menos intimidante. Es un libro de ciencia b´ asica. La ciencia que se aprende y se ense˜ na en el bachillerato y primeros cursos de la Universidad. El problema es que se aprende y se ense˜ na como una especie de catecismo libre de toda cr´ıtica. La ciencia b´ asica raramente se pone en tela de juicio porque los cient´ıficos trabajan algunos pasos m´ as all´a. Pero la ciencia b´ asica tambi´en debe ser, al menos peri´ odicamente, cuestionada. Como ya se ha indicado, aqu´ı cuestionamos una de sus hip´ otesis b´ asicas, la hip´ otesis del infinito actual. 10 Obviamente,

la independencia de los cap´ıtulos tiene un coste narrativo en t´erminos de un excesivo n´ umero de repeticiones en el texto, por las que pido disculpas.

Convenciones —— 5

En la mayor´ıa de los cap´ıtulos, el infinito en cuesti´ on ser´ a el infinito numerable (el m´ as peque˜ no de los infinitos11 ) subsumido en el Axioma del Infinito. Pero tambi´en el infinito que legitima las sucesiones de infinitos crecientes12 . Por lo tanto, demostrar la inconsistencia del menor de los infinitos implica la invalidaci´ on de todos los dem´ as. Existe un acuerdo general en que una contradicci´ on es suficiente para demostrar la inconsistencia de la hip´ otesis de la que se deducen los resultados contradictorios. Excepto en el caso del infinito actual. Y esto no es una broma: en palabras de Cantor, algunas totalidades infinitas son inconsistentes debido a su excesiva infinitud [33]. Una raz´ on adicional para tratar exclusivamente con el menor de los infinitos.

11 El 12 La

infinito del conjunto de los n´ umeros naturales. ℵo sucesi´ on de los alefs: ℵo , ℵ1 , ℵ2 . . . , y la de las potencias ℵo , 2ℵo , 22 . . .

6 —— Introducci´ on

2.-Convenciones

1 Para facilitar las discusiones, todos los p´ arrafos de este libro aparecer´ an numerados consecutivamente (como este mismo). Los p´ arrafos ser´ an referidos mediante sus correspondientes n´ umeros sin par´entesis, tal como aparecen al principio de cada p´ arrafo. Por la misma raz´ on todas las ecuaciones ser´ an numeradas consecutivamente dentro de cada cap´ıtulo, aunque en este caso los n´ umeros ir´ an entre par´entesis y a la derecha de cada ecuaci´ on. Para referirnos a las ecuaciones usaremos sus correspondientes n´ umeros entre par´entesis. 2 Los teoremas, definiciones, conclusiones, etc ser´ an numerados con el mismo n´ umero del p´ arrafo en el que son enunciados. Por ejemplo, si un teorema se enuncia en el p´ arrafo 153 nos referimos a ´el como Teorema 153. 3 La mayor´ıa de las sucesiones y conjuntos que usaremos ser´ an ω−ordenados (como la sucesi´on 1,2,3, . . . de los n´ umeros naturales en su orden natural de precedencia). En unos pocos casos ser´ an ω ∗ −ordenados (como la sucesi´on creciente de los enteros negativos . . . -3, -2, -1). En muchos argumentos tambi´en haremos uso de sucesiones de instantes dentro de intervalos finitos de tiempo, esas sucesiones ser´ an siempre estrictamente crecientes y convergentes, siendo siempre el l´ımite de la sucesi´on el extremo derecho del correspondiente intervalo de tiempo. 4 En la mayor´ıa de los casos se utilizar´ a la palabra ’numerable’ para referirnos a la infinitud del conjunto N de los n´ umeros naturales y a la de cualquier otro conjunto o sucesi´on que se puede ponerse en correspondencia uno a uno con N. La palabra ’enumerable’ tambi´en se puede utilizar con el mismo significado. Aunque la palabra ’contable’ suele ser usada para referirse a conjuntos finitos o infinitos numerables, aqu´ı no la utilizaremos con el fin de evitar confusiones. Por u ´ltimo, los t´erminos ’no-contable’ o ’no-numerable’ se utilizar´ an para referirse a los infinitos mayores que el infinito numerable. 5 En todos las discusiones y argumentos, el tiempo y la distancia se su7

8 —— Convenciones

pondr´an eucl´ıdeas. Todas las supertareas se supondr´an realizadas en un intervalo finito de tiempo (ta , tb ), las sucesivas acciones ai de cada supertarea se supondr´an realizadas en los sucesivos instantes ti , y solo en ellos, de una sucesi´on ω−ordenada y estrictamente creciente de instantes htn i dentro del intervalo (ta , tb ), siendo tb el l´ımite de la sucesi´on. 6 Huelga decir que todos los argumentos de este libro son de car´ acter conceptual, incluso cuando hagan uso de artefactos materiales como m´ aquinas, cajas, bolas y cosas similares, todas las cuales deber´ an ser entendidas como dispositivos te´ oricos para facilitar las discusiones.

3.-El infinito actual

´n Introduccio 7 Este libro se ocupa exclusivamente del infinito actual, aunque algunas referencias al infinito potencial ser´ an inevitables. Empezaremos entonces introduciendo la distinci´on entre el infinito actual y el potencial. Una vez introducida, definiremos el infinito actual en t´erminos conjuntistas y la distinci´on entre cardinales y ordinales infinitos. Eso es todo lo que necesitamos para seguir los argumentos sobre la hip´ otesis de infinito actual que se exponen en el resto del libro. La mayor´ıa de esos argumentos est´ an relacionados con ω, el menor de los ordinales infinitos; el ordinal del conjunto N de los n´ umeros naturales en su orden natural de precedencia: N ={1, 2, 3, . . . } (v´ease m´ as abajo). 8 ’Infinito’ es una palabra com´ un que usamos para referirnos a la calidad de ser enorme, inmenso, ilimitado etc. En este sentido, y de acuerdo con Gauss1 el infinito es una manera de hablar. Pero la palabra ’infinito’ tambi´en tiene un significado matem´ atico preciso: un conjunto es infinito si se puede poner en correspondencia uno a uno con alguno de sus subconjuntos propios. Esta es la conocida definici´on de Dedekind que, junto con los trabajos de Cantor sobre los n´ umeros transfinitos, inauguraron la moderna matem´ atica transfinita a finales del siglo XIX. Aunque la historia del infinito matem´ atico hab´ıa comenzado veintisiete siglos antes. 9 Afortunadamente existe una excelente literatura sobre la historia del infinito,2 . No dar´e ni siquiera un sumario de esa historia, aunque podr´ıamos elegir arbitrariamente tres de sus protagonistas m´ as relevantes como referencias hist´ oricas: 1) Zen´ on de Elea (490-430 A.C.), fil´ osofo presocr´ atico que utiliz´ o por primera vez el infinito matem´ atico para defender la tesis de Parm´enides sobre la imposibilidad de cambio. Sabemos del trabajo 1 C.F.

Gauss, carta al astr´ onomo H.C. Shumacher, 12 de julio de 1831 ejemplo: [208], [124], [171], [22], [163], [50], [116], [135], [138], [110], [111], [1], [136], [49], [197], [14].

2 Por

9

10 —— El infinito actual

de Zen´ on (cerca de cuarenta argumentos, incluyendo sus famosas paradojas contra la posibilidad de cambio [2], [51]) a trav´es de su dox´ografos (Plat´ on, Arist´ oteles, Diogenes Laertius o Simplicius [51]). El infinito en los argumentos de Zen´ on parece ser el infinito actual y contable, aunque obviamente Zen´ on no est´ a haciendo matem´ aticas infinitistas sino argumentaciones l´ogicas en las que aparecen colecciones infinitas de puntos y de instantes. Los argumentos de Zen´ on funcionan correctamente s´ olo si esas colecciones se consideran como totalidades infinitas completas (v´ease el Cap´ıtulo 20 sobre las Dicotom´ıas de Zen´ on). 2) Arist´oteles (384-322 A.C.), uno de los pensadores m´ as influyentes en la cultura occidental. Fil´osofo y naturalista, introdujo la noci´on de correspondencia uno a uno precisamente cuando trataba de resolver algunas de las paradojas de Zen´ on. Luego introdujo la distinci´on fundamental entre el infinito potencial y el infinito actual, que aqu´ı analizaremos en t´erminos conjuntistas en la siguiente secci´ on. 3) Georg Cantor (1845-1918), matem´ atico alem´ an cofundador, junto con R. Dedekind y G. Frege, de la teor´ıa de conjuntos. Su trabajo sobre los n´ umeros transfinitos (cardinales y ordinales) fundamenta las modernas matem´ aticas transfinitas. Cantor inaugur´o el llamado para´ıso del infinito actual en el que, seg´ un D. Hilbert, los infinitistas habitar´an para siempre. 10 De Zen´ on a Arist´ oteles el u ´nico infinito fue el infinito actual, aunque esa noci´on estaba lejos de ser claramente establecida. De Arist´oteles a Cantor encontramos defensores de ambos tipos de infinitos (actual y potencial) aunque con una cierta hegemon´ıa del infinito potencial, particularmente desde el siglo XIII, una vez que Arist´oteles fue ’cristianizado’ por los escol´ asticos medievales. En esos tiempos preinfinitistas, se pod´ıan utilizar los mismos argumentos en apoyo de una o de la otra hip´ otesis (por ejemplo los argumentos basados en la correspondencia entre los puntos de una circunferencia y los puntos de uno de sus di´ ametros). Pero no hay todav´ıa una teor´ıa del infinito matem´ atico propiamente dicha. La primera teor´ıa matem´ atica del infinito propiamente dicha aparece al final del siglo XIX, siendo Dedekind, Bolzano y, especialmente, Cantor, sus creadores m´ as relevantes. Desde Cantor hasta la actualidad la hegemon´ıa del infinito actual ha sido casi absoluta y, adem´ as, libre de cr´ıticas serias.

Infinito actual y potencial —— 11

Infinito actual y potencial

11 La distinci´on entre el infinito actual y el infinito potencial la propuso Arist´oteles [11], [10]. La explicaremos a continuaci´ on, aunque en los t´erminos m´ as modernos de la teor´ıa de conjuntos. Huelga decir que el u ´nico infinito de las matem´ aticas transfinitas contempor´ aneas, incluyendo la definici´ on fundacional de Dedekind de los conjuntos infinitos, es el infinito actual.

12 Consid´erese la lista ordenada de los n´ umeros naturales en su orden natural de precedencia: 1, 2, 3, . . . De acuerdo con la hip´ otesis del infinito actual esa lista existe como una totalidad completa, es decir como una totalidad que contiene en el acto a todos los n´ umeros naturales. La elipsis (. . . ) en: N = {1, 2, 3, . . . } (1) representa a todos los n´ umeros naturales. N´otese que la lista ordenada de los n´ umeros naturales existe como una totalidad completa a pesar de que no existe un u ´ltimo n´ umero que complete la lista. 13 Para subrayar ese sentido de completitud consideremos la tarea de contar los n´ umeros naturales 1, 2, 3,. . . De acuerdo con la hip´ otesis del infinito actual es posible contar todos los n´ umeros naturales en un tiempo finito realizando la siguiente supertarea:3 Cu´entese cada uno de los sucesivos n´ umeros naturales 1, 2, 3,. . . en cada uno de los sucesivos instantes t1 , t2 , t3 ,. . . de una sucesi´on estrictamente creciente de instantes en el intervalo finito (ta , tb ), siendo tb el l´ımite de la sucesi´on. Por ejemplo la sucesi´on cl´ asica: 2n − 1 (2) tn = ta + (tb − ta ) 2n En esas condiciones, en el instante tb se habr´an contado todos los n´ umeros naturales. ¡Todos! 14 La tarea anterior de contar todos los n´ umeros naturales es un ejemplo de supertarea. Se discutir´an m´ as adelante en este libro. Mientras tanto, n´ otese que el hecho de emparejar los elementos de dos sucesiones infinitas no prueba que ambas sucesiones existan como totalidades completas. Las sucesiones podr´ıan ser tambi´en potencialmente infinitas. 15 La alternativa a la hip´ otesis del infinito actual es la hip´ otesis del infi3 Un

resumen de la noci´ on de supertarea puede verse, por ejemplo, en [154]. V´ease tambi´en el cap´ıtulo sobre la L´ ampara de Thomson en este libro.

12 —— El infinito actual

nito potencial, que rechaza la existencia de totalidades infinitas completas y por tanto la posibilidad de contar todos los n´ umeros naturales. Desde esa perspectiva, los n´ umeros naturales resultan del proceso interminable de contar: siempre es posible contar n´ umeros mayores que cualquier otro n´ umero dado. Pero es imposible completar el proceso de contarlos todos, de modo que la lista completa de n´ umeros naturales no tiene sentido alguno. 16 En resumen, la hip´ otesis del infinito actual establece que las totalidades infinitas son totalidades completas, incluso sin que exista un u ´ltimo elemento que las complete, como es el caso de la lista ordenada de los n´ umeros naturales. Desde esta perspectiva, es posible completar una sucesi´ on de pasos en los que no existe un u ´ltimo paso que complete la sucesi´on, o incluso sin un primer paso que la inicie, como en el caso de las sucesiones ω ∗ −ordenadas (v´ease m´ as abajo), por ejemplo la sucesi´on creciente de los enteros negativos . . . , -3, -2, -1. Desde la perspectiva del infinito potencial ambas posibilidades son imposibles. Desde esta perspectiva, las u ´nicas totalidades completas son las totalidades finitas. Tan grandes como se quiera, pero siempre finitas. 17 El infinito potencial (el infinito ’impropio’ o ’no genuino’, como Cantor lo llamaba [40, p. 70]) nunca ha merecido la atenci´ on de los matem´ aticos contempor´ aneos. El infinito en la definici´on de Dedekind de los conjuntos infinitos es el infinito actual. Los infinitos elementos de un conjunto infinito existen todos a la vez, como una totalidad completa. La definici´on de Dedekind est´ a, por tanto, basada en la violaci´on del viejo axioma eucl´ıdeo del todo y la parte [71]. La teor´ıa de conjuntos se ha construido sobre esa violaci´on. 18 La hegemon´ıa del infinito actual en las matem´ aticas contempor´ aneas es casi absoluta. Tan absoluta como la sumisi´on de la f´ısica a las matem´ aticas infinitistas. Tengo la impresi´on de que un n´ umero significativo de f´ısicos creen que se ha demostrado formalmente la existencia de totalidades infinitas completas. Obviamente, si ese fuera el caso no ser´ıa necesario el Axioma del Infinito para legitimar esas totalidades (v´ease m´ as abajo). La hip´ otesis del infinito actual es s´ olo una hip´ otesis. 19 Las tres pruebas m´ as influyentes sobre la existencia de totalidades infinitas actuales (las de Bolzano, Dedekind y Cantor) son ilustrativas de lo que podr´ıa llamarse infinitismo naif. Tambi´en explican por qu´e las matem´ aticas infinitistas tuvieron finalmente que establecer la existencia de los conjuntos infinitos actuales en t´erminos axiom´aticos.

El axioma del infinito —— 13

20 La prueba de Bolzano es como sigue (tomada de [136, p 112]): Una verdad es la proposici´ on: Plat´ on era griego. Ll´ amese a esta proposici´ on p1 . Pero hay otra verdad p2 , a saber, que la proposici´ on p1 es verdadera [Pero hay otra verdad p3 , a saber, que la proposici´ on p2 es verdadera]. Y as´ı ad infinitum. Por lo tanto, el conjunto de las verdades es infinito. El problema aqu´ı es que la existencia de un proceso sin fin (p1 es verdadera, por tanto p2 es verdadera, por tanto p3 es verdadera, por tanto . . . ) de ninguna manera prueba la existencia de su resultado final como una totalidad completa. 21 La prueba de Dedekind es muy parecida (tomada de [136, p 113]): Dado alg´ un pensamiento arbitrario s1 , hay un pensamiento independiente s2 , a saber que s1 puede ser objeto del pensamiento [hay un pensamiento independiente s3 , a saber, que s2 puede ser objeto del pensamiento ]. Y as´ı ad infinitum. Por tanto el conjunto de pensamientos es infinito. El comentario anterior a la prueba de Bolzano es tambi´en aplicable aqu´ı. Dedekind dio otra prueba algo m´ as detallada, aunque con el mismo defecto formal que la se acaba de citar, basada en su definici´on de conjunto infinito [59, p. 112]. 22 Y finalmente la ’prueba’ de Cantor ([95, p 25], [136, p. 117]): Cada infinito potencial presupone un infinito actual. O bien ([38, p. 404] traducci´on inglesa [164, p. 3]): ... en verdad el infinito potencial tiene solo una realidad prestada [derivada], en tanto que como tal concepto de infinito potencial siempre se˜ nala a un concepto previo y superior de infinito actual, de cuya existencia depende. Queda claro ahora por qu´e la existencia de un conjunto infinito actual tuvo que ser finalmente establecida por medio de un axioma.

El axioma del infinito 23 Nada en la naturaleza parece ser realmente infinito. Hasta ahora, todas las cosas que hemos sido capaces de observar y medir han sido finitas. Veintisiete siglos de discusiones, por otra arte, no fueron suficientes para probar la existencia de infinitos actuales. De modo que, finalmente, los infinitistas no tuvieron m´ as remedio que declarar su existencia en t´erminos axiom´aticos mediante el llamado Axioma del Infinito, uno de los axiomas fundacionales en todas las teor´ıas axiom´aticas de conjuntos (v´ease m´ as

14 —— El infinito actual

abajo). La teor´ıa de conjuntos es entonces la puerta de entrada del infinito en las matem´ aticas contempor´ aneas. 24 Puesto que los conjuntos estar´ an presentes en casi todos nuestros argumentos, parece conveniente hacer la siguiente consideraci´on sobre las diferentes formas en las que un elemento puede pertenecer a un conjunto. Solemos asumir que un determinado elemento pertenece o no pertenece a un conjunto determinado, aunque tambi´en podr´ıamos considerar los llamados conjuntos difusos [205], [64], cuyos elementos pueden tener diferentes grados de pertenencia. En este libro, sin embargo, trataremos exclusivamente con la pertenencia completa, i.e con conjuntos cuyos elementos le pertenecen de forma completa. 25 Dicho lo cual, recordemos que el Axioma del Infinito establece: ∃N (∅ ∈ N ∧ ∀x ∈ N (x ∪ {x} ∈ N ))

(3)

que se lee: existe un conjunto N tal que ∅ pertenece a N y para todo elemento x de N el elemento x ∪ {x} tambi´en pertenece a N . De una forma menos abstracta tambi´en se podr´ıa escribir: ∃N (0 ∈ N ∧ ∀x ∈ N (s(x) ∈ N ))

(4)

donde s(x) es el sucesor de x. En t´erminos aritm´eticos podr´ıamos escribir: s(0) = 1; s(1) = 2; s(2) = 3; . . .

(5)

De modo que, puesto en t´erminos informales, el Axioma del Infinito dice: existe un conjunto infinito numerable, donde numerable significa que se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto N = {1, 2, 3 . . . } de los n´ umeros naturales,4 e infinito significa infinito actual: todos los elementos de ese conjunto existen en el acto. 26 Por innecesario que pueda parecer, debemos recordar que un axioma es solo un axioma. Es decir, un enunciado que se puede aceptar o rechazar. Aunque la elecci´ on tendr´a consecuencias significativas en la teor´ıa resultante. En el caso de la hip´ otesis del infinito actual algunos autores relevantes como Kronecker, Poincar´e, Brouwer, Wittgenstein, Kleene, entre otros, la rechazaron. Otra cosa es la cr´ıtica contra el infinito actual una vez que la teor´ıa de conjuntos qued´o axiom´aticamente establecida y formalmente desarrollada. Esa cr´ıtica ha sido b´ asicamente inexistente durante los u ´ltimos sesenta a˜ nos, y los pocos intentos que se hicieron fueron 4 De

dos conjuntos que se pueden poner en correspondencia uno a uno se dice que son equipotentes.

Cardinales y ordinales —— 15

siempre ingenuos y frecuentemente basados en concepciones equivocadas de los n´ umeros transfinitos.

Cardinales y ordinales 27 Por la misma raz´ on que necesitamos axiomas y leyes fundamentales 5 en la ciencia, tambi´en necesitamos conceptos primitivos en el lenguaje, es decir, conceptos que no pueden ser definidos en t´erminos de otros conceptos, sin caer en definiciones circulares (los diccionarios son finitos). La mayor´ıa de los conceptos matem´ aticos b´ asicos pertenecen a esta categor´ıa: n´ umero, punto, l´ınea, plano, conjunto, y algunos otros. Por lo tanto, decir que el cardinal de un conjunto es el n´ umero de sus elementos es no decir nada. No obstante, todo el mundo sabe lo que queremos decir cuando decimos que el conjunto {a, b, c} tiene tres elementos, o que su cardinal es tres. Incluso lo que queremos decir cuando decimos que el cardinal de un conjunto numerable, como el conjunto N de los n´ umeros naturales, es ℵo (Alef-cero). 28 Aunque en t´erminos informales, diremos que el cardinal C de un conjunto X es el n´ umero de sus elementos; en s´ımbolos C = |X|. Por razones obvias, los cardinales de los conjuntos finitos se llaman finitos, y los cardinales de conjuntos infinitos se denominan infinitos. Aunque no lo haremos aqu´ı, se puede demostrar f´acilmente que el n´ umero de subconjuntos de un conjunto cuyo cardinal es C, es precisamente 2C (incluyendo el propio conjunto y el conjunto vac´ıo). 29 Cantor dio por sentada la existencia de la totalidad de los cardinales finitos (n´ umeros naturales) [39, pgs. 103-104]: El primer ejemplo de un agregado transfinito viene dado por la totalidad de los n´ umeros cardinales finitos v; llamamos a su n´ umero cardinal ’Alef-cero’ denotado por ℵo , definimos pues: ℵo = {v} donde {v} es la notaci´ on de Cantor para el cardinal del conjunto {v} de todos los cardinales finitos (|N| en notaci´ on moderna). Obviamente ℵo es un cardinal infinito. Cantor demostr´o que es el menor cardinal mayor que todos los cardinales finitos [39, § 6] (v´ease el Cap´ıtulo 16). 30 los sucesivos n´ umeros naturales 1, 2, 3, . . . se pueden definir como los cardinales de los sucesivos conjuntos finitos de la sucesi´on de conjuntos S = {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, . . . , o como los cardinales de cualquier sucesi´on 5 La

aristot´elica regresi´ on infinita de argumentos [9].

16 —— El infinito actual

de conjuntos finitos cuyos sucesivos t´erminos sean equipotentes con los sucesivos t´erminos de S (v´ease la definici´on operacional de Von Neumann de los n´ umeros naturales en el Ap´endice B). Los n´ umeros naturales se pueden seguir usando en t´erminos informales como los n´ umeros de contar 1, 2, 3,. . . Al fin y al cabo decimos que el cardinal finito de un conjunto es n despu´es de contar sus elementos, o despu´es de emparejarlos con los elementos de un conjunto que han sido previamente contados, o sucesivamente considerados de alguna manera, o incluso aritm´eticamente calculados o procesados. 31 Todos los conjuntos numerables, por otra parte, tienen el mismo cardinal ℵo . As´ı, como ya se ha indicado, el cardinal del conjunto N de los n´ umeros naturales es ℵo . El cardinal del conjunto potencia P (N), el conjunto de todos los subconjuntos de N (incluyendo N y el conjunto vac´ıo), umeno es ℵo sino 2ℵo , que es tambi´en el cardinal del conjunto R de los n´ ros reales. El cardinal del conjunto P (P (N)) de todos los subconjuntos de ℵo P (N) no es 2ℵo sino 22 . Lo mismo vale para el conjunto P (P (P (N))) de todos los subconjuntos de P (P (N)) y as´ı sucesivamente. Tenemos entonces una sucesi´on creciente de cardinales infinitos: ℵo

ℵo < 2ℵo < 22

2ℵo

< 22

< ...

(6)

En este libro trataremos exclusivamente con ℵo , excepto en un peque˜ no n´ umero de argumentos en el que aparecer´a el cardinal 2ℵo , llamado potencia del continuo. 32 Los n´ umeros ordinales son algo m´ as sutiles. Un ordinal es el tipo de orden de un conjunto bien ordenado.6 Todos los conjuntos finitos con el mismo n´ umero de elementos tienen el mismo ordinal, por ejemplo, el ordinal del conjunto {a, b, c} es el mismo que el ordinal del conjunto {2, 3, 1} debido a que sus elementos s´ olo pueden ordenarse como primero, segundo y tercero (independientemente de qu´e elemento es el primero, el segundo y el tercero). Y lo mismo se aplica a cualquier conjunto finito de n elementos. Los cardinales y ordinales de los sucesivos conjuntos finitos est´ an representados por los siguientes numerales (s´ımbolos):

6 Un

{} : Cardinal 0. Ordinal 0

(7)

{0} : Cardinal 1. Ordinal 1

(8)

{0, 1} : Cardinal 2. Ordinal 2

(9)

conjunto con una relaci´ on de orden total entre sus elementos y de tal manera que todos sus subconjuntos tiene un primer elemento.

Cardinales y ordinales —— 17

{0, 1, 2} :Cardinal 3. Ordinal 3 .. .. .. . . .

(10)

Esta es una caracter´ıstica importante de los conjuntos finitos: tienen un s´ olo cardinal y un solo ordinal, y usamos el mismo s´ımbolo (numeral) para ambos. De acuerdo con la terminolog´ıa de Cantor los ordinales finitos son llamados ordinales de la primera clase. 33 Las cosas son muy diferentes con los conjuntos infinitos. Todos los conjuntos numerables, por ejemplo, tienen el mismo cardinal ℵo , pero pueden ser bien-ordenados de infinitas maneras diferentes: {1, 2, 3, . . . } {2, 3, 4, . . . 1} {3, 4, 5, . . . 1, 2} {1, 3, 5, . . . 2, 4, 6, . . . } {1, 4, 7, . . . , 2, 5, 8, . . . 3, 6, 9 . . . } .. .

Ordinal Ordinal Ordinal Ordinal Ordinal .. .

ω ω+1 ω+2 ω2 ω3

siendo ω < ω + 1 < ω + 2 < . . . < ω2 < ω2 + 1 < . . . < ω3 < . . . 34 Los n´ umeros ordinales de los conjuntos numerables se denominan ordinales de la segunda clase. Hay dos tipos de n´ umeros ordinales de la segunda clase: 1) Ordinales de la primera especie: ordinales α que tienen un predecesor inmediato α′ tal que α = α′ +1, donde ’1’ es el primer ordinal finito. Todos los ordinales de la primera especie pueden escribirse, por tanto, en la forma α + n, siendo α infinito y n finito. 2) Ordinales de la segunda especie: estos ordinales son l´ımites de sucesiones infinitas de ordinales finitos o de ordinales infinitos de la primera especie. Por ejemplo: ω = l´ım(n); n = 1, 2, 3, . . .

(11)

ω2 = l´ım(ω + n); n = 1, 2, 3, . . .

(12)

ω7 = l´ım(ω6 + n); n = 1, 2, 3, . . .

(13)

n

n

n

Casi todos los argumentos de este libro ser´ an argumentos sobre ω, el primer ordinal de la segunda clase, segunda especie; el m´ as peque˜ no de los n´ umeros ordinales infinitos. 35 Por claridad y sencillez, en el resto del libro, diremos que un conjunto, o una sucesi´on, es α-ordenada para expresar que se trata de un conjun-

18 —— El infinito actual

to (o sucesi´on) bien ordenado, cuyo ordinal es α, siendo α alg´ un ordinal transfinito, que casi siempre ser´ a ω. 36 Los ordinales de la segunda clase definen un conjunto nuevo: el conjunto de todos los ordinales de la segunda clase (o conjunto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵo ), cuyo cardinal es ℵ1 [39, Teorema 16-F]. A su vez, el conjunto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵ1 es otro conjunto cuyo cardinal es ℵ2 . El conjunto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵ2 es otro conjunto cuyo cardinal es ℵ3 . Y as´ı sucesivamente. De acuerdo con Cantor, existen entonces dos sucesiones crecientes de cardinales infinitos: ℵo

ℵo < 2ℵo < 22

2ℵo

< 22

< . . . (Sucesi´on de las potencias)

ℵo < ℵ1 < ℵ2 < ℵ3 < . . .

(Sucesi´on de los alefs)

La famosa (y a´ un no resuelta) hip´ otesis del continuum afirma: ℵ1 = 2ℵo . La versi´ on generalizada afirma que, para todo i, el i-´esimo t´ermino de la primera sucesi´on es igual al i-´esimo t´ermino de la segunda. Afortunadamente no tendremos que abordar esa cuesti´ on en este libro. 37 Obviamente esto no es m´ as que una breve y esquem´ atica introducci´ on a la teor´ıa de Cantor de los n´ umeros transfinitos [39]. Pero es todo lo que necesitamos saber para seguir los argumentos que desarrollaremos aqu´ı. Como se se˜ nal´ o anteriormente, nuestra atenci´ on se centrar´ a de forma casi exclusiva en los objetos ω−ordenados (conjuntos y sucesiones), es decir en objetos cuyos elementos se ordenan de la misma manera que los n´ umeros naturales en su orden natural de precedencia. Objetos como, por ejemplo, la sucesi´on a1 a2 a3 , . . . Este tipo de orden (ω−orden de ahora en adelante) se caracteriza por: 1) Existe un primer elemento a1 . 2) Cada elemento an tiene un predecesor inmediato an−1 , excepto el primero a1 . 3) Cada elemento an tiene un sucesor inmediato an+1 . 4) Entre dos elementos sucesivos cualesquiera, an , an+1 no existe ning´ un otro elemento. 5) No existe u ´ltimo elemento, a pesar de lo cual los objetos ω−ordenados se consideran totalidades completas. 38 Ocasionalmente, tambi´en trataremos con objetos ω ∗ −ordenados, objetos cuyos elementos se ordenan de la misma forma que la sucesi´on creciente de los n´ umeros enteros negativos: . . . , -3, -2, -1. Este tipo de orden usa-

Cardinales y ordinales —— 19

remos la notaci´ on an∗ para referirnos al n-´esimo elemento por la cola. El ω ∗ −orden se caracteriza por: 1) Existe un u ´ltimo elemento a1∗ . 2) Cada elemento an∗ tiene un sucesor inmediato a(n−1)∗ , excepto el u ´ltimo a1∗ . 3) Cada elemento an∗ tiene un predecesor inmediato a(n+1)∗ . 4) Entre dos elementos sucesivos cualesquiera, an∗ , a(n+1)∗ no existe ning´ un otro elemento. 5) No existe primer elemento, a pesar de lo cual los objetos ω ∗ −ordenados se consideran totalidades completas. 39 Como ya se ha indicado, todos los n´ umeros transfinitos (cardinales y ordinales) se basan en la suposici´ on de que existe un conjunto numerable ω−ordenado. Por eso, casi todos los argumentos que siguen se ocupar´an u ´nicamente de objetos ω−ordenados. Si se demostrara que esa hip´ otesis infinitista es inconsistente, todo el edificio de las matem´ aticas transfinitas se vendr´ıa abajo como un castillo de naipes.

20 —— El infinito actual

4.-Reinterpretaci´on de las paradojas de la reflexividad

´n Introduccio 40 Si despu´es de emparejar cada elemento de un conjunto A con un elemento diferente de otro conjunto B, todos los elementos de B resultan emparejados, decimos que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad (el mismo n´ umero de elementos). Pero si uno o m´ as elementos de B resultan no emparejados y B es infinito, no se nos permite afirmar que ambos conjuntos tienen diferente cardinalidad. En este cap´ıtulo se discute por qu´e no se nos permite hacerlo. Como veremos, la existencia de inyecciones1 exhaustivas y no exhaustivas entre dos conjuntos infinitos podr´ıa estar indicando que ambos conjuntos tienen y no tienen la misma cardinalidad. As´ı, la distinci´on arbitraria de las inyecciones exhaustivas en detrimento de las no exhaustivas podr´ıa estar ocultando una contradicci´ on fundamental en la teor´ıa de conjuntos. 41 La mayor´ıa de las paradojas relacionadas con el infinito resultan de la violaci´on del Axioma eucl´ıdeo del Todo y la Parte,2 entre ellas las llamadas paradojas de la reflexividad, en las que los elementos de un todo son emparejados con los de una de sus partes propias.3 La paradoja de Galileo4 es un ejemplo muy conocido de paradoja reflexiva. Autores como Proclus, J. Filop´on, Thabit ibn Qurra al-Harani, R. Grosseteste, G. de Rimini, W. of Ockham etc. encontraron otros muchos ejemplos [171]. 42 La estrategia de emparejar los elementos de dos conjuntos no es precisamente una invenci´ on moderna, Arist´oteles ya la us´ o para tratar de 1 Una

inyecci´ on es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos A y B de tal manera que todos y cada uno de los elementos de A se emparejan con un elemento diferente de B. 2 La hip´ otesis de que el todo es m´ as que la parte es una de las nociones comunes que aparecen en el primer libro de los Elementos de Euclides [71, pag. 19]. 3 [171], [62]. 4 Los elementos del conjunto de los n´ umeros naturales se pueden emparejar con los elementos de uno de sus subconjuntos propios: el subconjunto de sus cuadrados: 1 ↔ 12 , 2 ↔ 22 , 3 ↔ 32 , 4 ↔ 42 , 5 ↔ 52 . . . [78].

21

22 —— Reinterpretaci´ on de las paradojas de la reflexividad

resolver la Dicotom´ıa de Zen´ on (en sus dos variantes).5 Y desde entonces ha sido usada de forma extensiva por numerosos autores con diferentes prop´ositos discursivos, aunque antes de Dedekind y Cantor (incluyendo el caso de Bolzano [25]) nunca se usaron como un instrumento para consumar la violaci´on del viejo axioma eucl´ıdeo. Por supuesto, la existencia de una biyecci´on entre dos conjuntos infinitos no prueba que ambos conjuntos sean infinitos actuales, porque tambi´en podr´ıan ser infinitos potenciales. 43 Las cosas empezaron a cambiar con Dedekind, que estableci´ o la definici´ on de conjunto infinito precisamente sobre la base de esa violaci´on: un conjunto es infinito si sus elementos se pueden emparejar con los elementos de alguno de sus subconjuntos propios [59]. Dedekind y Cantor inauguraron el llamado para´ıso del infinito actual, en el que las inyecciones exhaustivas (biyecciones o correspondencias uno a uno) juegan un papel capital.

¿Paradojas o contradicciones? 44 Una inyecci´ on exhaustiva entre dos conjuntos A y B es una correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos en la cual cada elemento de A queda emparejado con un elemento diferente de B, y todos los elementos de A y B resultan emparejados. Cuando al menos un elemento de B resulta no emparejado la inyecci´ on se llama no exhaustiva. Las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas pueden usarse para comparar la cardinalidad de los conjuntos finitos. Pero si los conjuntos comparados son infinitos entonces solo se permiten las inyecciones exhaustivas. Ninguna raz´ on ha sido dada nunca para justificar esa arbitraria distinci´on (v´ease m´ as abajo 47-50) salvo que, por definici´on, los conjuntos infinitos violan el axioma eucl´ıdeo. 45 Pero, puesto que las definiciones tambi´en pueden ser inconsistentes,6 los conjuntos infinitos podr´ıan haber sido definidos de manera inconsistente sobre la base de uno de los t´erminos de una contradicci´ on: existe una inyecci´on exhaustiva entre un conjunto infinito y una de sus subconjuntos propios. La otra parte de la contradicci´ on ser´ıa: existe una inyecci´on no exhaustiva entre el conjunto y el mismo subconjunto propio. Nadie ha explicado nunca por qu´e tener una inyecci´ on exhaustiva con un subconjunto propio y al mismo tiempo tener una inyecci´on no exhaustiva con el mismo 5 Arist´ oteles

acab´ o rechazando el m´etodo de los emparejamientos, proponiendo la distinci´ on entre infinito potencial e infinito actual [11], [10]. 6 Especialmente cuando la definici´ on est´ a basada en la violaci´ on de un axioma b´ asico, como es el caso de la definici´ on de conjunto infinito de Dedekind.

¿Paradojas o contradicciones? —— 23

subconjunto propio no es contradictorio. Simplemente se ha ignorado el problema y sobre la base de esa ignorancia se ha construido la teor´ıa de conjuntos. 46 Si la noci´ on de conjunto es primitiva (como parece ser) entonces s´ olo podr´ıamos realizar definiciones operativas de conjunto. Y si los conjuntos pueden tener diferentes cardinalidades, deber´ıamos establecer un m´etodo b´ asico adecuado para comparar cardinalidades antes de definir los tipos de conjuntos que podr´ıan definirse en funci´ on de sus cardinales, especialmente si el m´etodo de comparaci´on forma parte de la propia definici´on, como es el caso de la definici´on de conjunto infinito. Emparejar los elementos de dos conjuntos es el u ´nico m´etodo conocido para lograr este objetivo, antes de poder definir cualquier otra operaci´ on aritm´etica o conjuntista. Es en este nivel fundamental de la teor´ıa de conjuntos donde vamos a discutir si las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas son m´etodos apropiadas para sacar conclusiones sobre la cardinalidad de dos conjuntos cualesquiera. Por lo tanto, dilucidar esta cuesti´ on deber´ıa ser un requisito necesario antes de intentar cualquier definici´on que implique cardinalidades, como la definici´on de conjunto infinito. 47 Parece razonable asumir que si despu´es de emparejar cada elemento de un conjunto A con un elemento diferente de un conjunto B todos los elementos de B resultan emparejados, entonces A y B tienen el mismo n´ umero de elementos. Pero tambi´en parece razonable asumir, y por las mismas razones elementales, que si despu´es de emparejar cada elemento de A con un elemento diferente de B uno o m´ as elementos del conjunto B quedan sin emparejar, entonces A y B no tienen el mismo n´ umero de elementos. Es destacable que las inyecciones exhaustivas y las no exhaustivas hacen uso del mismo m´etodo b´ asico de emparejar elementos, sin llevar a cabo ninguna operaci´ on aritm´etica finita o transfinita. No estamos contando sino emparejando elementos, estamos discutiendo en el nivel fundacional m´ as b´ asico de la teor´ıa de conjuntos. 48 Conviene recordar en este punto que las singularidades aritm´eticas de los cardinales infinitos como ℵo = ℵo + ℵo y cosas por el estilo, se derivan todas ellas de la hipot´etica existencia (Axioma del Infinito) de los conjuntos infinitos, cuyos elementos, por definici´on, se pueden emparejar con los elementos de alguno de sus subconjuntos propios. As´ı, y bajo pena de razonamiento circular, de la existencia deducida de esas ’peculiaridades’ aritm´eticas (que podr´ıan ser usadas para justificar la existencia de inyecciones exhaustivas y no exhaustivas entre un conjunto infinito y alguno de

24 —— Reinterpretaci´ on de las paradojas de la reflexividad

sus subconjuntos infinitos), no podemos inferir la existencia de los conjuntos que permiten deducir esas peculiaridades aritm´eticas de los cardinales infinitos. Aqu´ı estamos simplemente discutiendo si el m´etodo de emparejar los elementos de dos conjuntos es apropiado para comparar sus respectivas cardinalidades; y si lo es, por qu´e las inyecciones no exhaustivas son rechazadas, porque ese rechazo podr´ıa estar ocultando una contradicci´ on fundamental. 49 Las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas deber´ıan tener la misma validez como instrumentos para comparar la cardinalidad de los conjuntos infinitos porque ambas usan exactamente el mismo m´etodo de comparaci´ on. Sin embargo, solo las inyecciones exhaustivas pueden usarse con ese prop´osito. El problema aqu´ı es que la existencia de inyecciones exhaustivas y no exhaustivas entre dos conjuntos infinitos podr´ıa estar indicando la existencia de una contradicci´ on elemental (que ambos conjuntos tienen y no tienen la misma cardinalidad), en ese caso la distinci´on de las inyecciones exhaustivas ser´ıa la distinci´on de un t´ermino de una contradicci´ on en detrimento del otro. 50 Como m´ınimo, la alternativa de considerar inconsistente a un conjunto porque existen inyecciones exhaustivas y no exhaustivas con los elementos del mismo subconjunto propio es tan leg´ıtima como la alternativa de considerar consistente a ese conjunto. Como m´ınimo, la selecci´ on arbitraria de una alternativa deber´ıa declararse expl´ıcitamente en el nivel fundacional de la teor´ıa, lo que no es el caso en las actuales teor´ıas de conjuntos. En esas teor´ıas se ignora sistem´aticamente la primera alternativa. Se podr´ıa argumentar que la definici´on de Dedekind implica asumir la existencia de conjuntos para los cuales existen inyecciones exhaustivas y no exhaustivas con al menos uno de sus subconjuntos propios, pero una simple definici´on no garantiza que el objeto definido sea consistente, y entonces la alternativa de la inconsistencia ha de ser tambi´en considerada. La propuesta de esa consideraci´on es el principal objetivo de esta discusi´on. Una consideraci´on que, hasta donde yo s´e, nunca ha sido seriamente planteada. 51 Sup´ongase, solo por un momento, que las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas fueran instrumentos v´alidos para comparar la cardinalidad de dos conjuntos cualesquiera. En esas condiciones, sea B un conjunto infinito. Por definici´on, existe un subconjunto propio A de B y una inyecci´on exhaustiva f de A en B que prueba que ambos conjuntos tienen el mismo n´ umero de elementos. Consid´erese ahora la inyecci´on g de A en B definida

¿Paradojas o contradicciones? —— 25

Todos emparejados

Todos emparejados

No emparejados

Emparejados

N

S 2

1 2 3 4 …

1 22 2 3 2 4 … 2

f(n ) = n

N

S 2

1 2,3 4 5,6,7,8 9 10,11,12 … 16 …

1 22 2 3 2 4 … 2

g(n ) = n 2

Figura 4.1: El sospechoso poder de la elipsis: los conjunto S y N tienen (izquierda) y no tienen (derecha) el mismo n´ umero de elementos.

por: g(x) = x, ∀x ∈ A

(1)

que, evidentemente, no es exhaustiva (los elementos del conjunto no vac´ıo B-A quedan sin emparejar). Las inyecciones f y g estar´ıan demostrando que A y B tienen (f ) y no tienen (g) el mismo n´ umero de elementos, i.e. que los conjuntos infinitos son inconsistentes. 52 Hemos de decidir, por tanto, si las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas tienen la misma validez como instrumentos para comparar la cardinalidad de dos conjuntos cualesquiera. Si la tienen, entonces los conjuntos infinitos son inconsistentes. Si no la tienen, se deber´ıa dar alguna raz´ on (no circular) para explicar por qu´e no la tienen. Y si no se pude dar ninguna raz´ on, entonces la distinci´on arbitraria a favor de las inyecciones exhaustivas deber´ıa ser declarada arbitrariamente por un nuevo axioma ad hoc. Hasta entonces, la fundamentaci´ on de la teor´ıa de conjuntos descansa sobre la base de uno de los t´erminos de una posible contradicci´ on.7 53 Como cabr´ıa esperar de una teor´ıa con tales fundamentos, las inconsistencias aparecieron nada m´ as iniciarse el desarrollo de la teor´ıa: se demostr´o que el conjunto de todos los ordinales (Burali-Forti) [28] y el conjunto de todos los cardinales (Cantor) eran inconsistentes. Seg´ un Cantor esos conjuntos eran inconsistentes por su excesiva infinitud.8 Se puede ser infinito, pero solo dentro de cierto l´ımites. Mediante las restricciones axiom´aticas apropiadas, fue finalmente establecido que ciertas totalidades 7 Por

incre´ıble que pueda parecer, la fundamentaci´ on axiom´ atica de la teor´ıa de conjuntos ha ignorado siempre este problema. 8 Carta a Dedekind citada en [56, pag. 245], [79], [75].

26 —— Reinterpretaci´ on de las paradojas de la reflexividad

infinitas, como la totalidad de los cardinales o la de los ordinales, no existen porque conducen a contradicciones. Es f´acil probar, como se ver´ a en el cap´ıtulo siguiente, que en una teor´ıa infinitista e informal (sin restricciones axiom´aticas) de conjuntos, como la teor´ıa de conjuntos de Cantor, cada conjunto de cardinalidad C origina nada menos que 2C totalidades infinitas inconsistentes. 54 En el Cap´ıtulo 18 veremos que el teorema de la reordenaci´on de Riemann tambi´en puede ser reinterpretado como una prueba de la inconsistencia de la hip´ otesis del infinito actual. En el resto del libro se desarrollan m´ as de veinte argumentos, todos ellos sugiriendo la misma conclusi´on.

5.-Extensi´on de la Paradoja de Cantor

´n Introduccio 55 La paradoja de Cantor no es una paradoja sino una verdadera inconsistencia relacionada con el conjunto de todos los cardinales. Por esta raz´ on, ese conjunto se rechaza de manera expl´ıcita en las modernas teor´ıas axiom´aticas de conjuntos. La siguiente discusi´on demuestra, sin embargo, que no solo el conjunto de todos los cardinales es inconsistente, prueba que en la teor´ıa informal de conjuntos de Cantor (naive set theory) cada conjunto de cardinalidad C origina por lo menos 2C conjuntos inconsistentes (cada uno de sus subconjuntos origina una totalidad inconsistente en ese marco no axiomatizado de la teor´ıa primitiva de conjuntos). 56 Aunque Burali-Forti fue el primero en publicar [27], [79] la prueba de una inconsistencia derivada de la existencia de un conjunto infinito, Cantor fue el primero en descubrir una de esas inconsistencias infinitistas: la paradoja del m´ aximo cardinal [79], [56]. No hay acuerdo sobre la fecha en la que Cantor descubri´ o su paradoja [79] (el rango de fechas propuesto va desde 1883 [156] a 1896 [87]). La paradoja (inconsistencia) de Burali-Forti del conjunto de todos los ordinales y la de Cantor del conjunto de todos los cardinales est´ an relacionadas con el tama˜ no de las totalidades consideradas, tal vez demasiado grandes para ser consistentes seg´ un Cantor. Parece algo ir´ onico que un conjunto infinito puede ser inconsistente precisamente por su excesivo tama˜ no. Por cierto, n´ otese el eufemismo de llamar paradoja a lo que realmente es una inconsistencia, es decir, un par de resultados contradictorios que seguramente derivan de una suposici´ on previa com´ un. ¿De qu´e suposici´ on? nos podr´ıamos tambi´en preguntar. ¿Tal vez de la hip´ otesis de que los conjuntos infinitos existen como totalidades completas? 57 En efecto, la explicaci´on m´ as simple para ambas paradojas es que sean realmente inconsistencias derivadas de la hip´ otesis del infinito actual, es decir de asumir la existencia de conjuntos infinitos como totalidades completas. Pero nadie se ha atrevido a analizar esa alternativa. Finalmente 27

28 —— Extensi´ on de la Paradoja de Cantor

fue aceptado que existen algunas totalidades infinitas (como la totalidad de los n´ umeros reales) mientras que otras (como la totalidad de los cardinales, o la totalidad de los ordinales, o el conjunto todos los conjuntos) no existen porque conducen a contradicciones.

La paradoja de Cantor 58 La versi´ on m´ as sencilla y breve de la paradoja1 de Cantor es la siguiente: Sea a U el conjunto de todos los conjuntos, el llamado conjunto universal2 y P (U ) su conjunto potencia, el conjunto de todos sus subconjuntos. Denotemos por |U | y |P (U )| sus respectivos cardinales. Siendo U el conjunto de todos los conjuntos debe contener a todos los conjuntos, podemos, pues, escribir: |U | ≥ |P (U )| (1) Por otra parte, y teniendo en cuenta el teorema de Cantor sobre el conjunto potencia [35], se verifica: |U | < |P (U )| (2) lo que contradice (1). Esta es nuestra versi´ on simplificada de la inconsistencia o paradoja de Cantor. 59 Como es bien sabido, Cantor no le dio importancia [75] a su paradoja y zanj´o la cuesti´ on asumiendo la existencia de dos tipos de totalidades infinitas, las consistentes y las inconsistentes [33]. Como se indic´ o m´ as arriba, en opini´ on de Cantor la inconsistencia de esas totalidades infinitas ser´ıa debida a su excesivo tama˜ no. Estar´ıamos ante la madre de todos los infinitos, el infinito absoluto que, seg´ un Cantor, conduce directamente a Dios, siendo precisamente la naturaleza divina de esa infinitud absoluta lo que la hace inconsistente para nuestras pobres mentes humanas [33]. 60 Como veremos de inmediato, es posible extender la paradoja de Cantor a otros conjuntos mucho m´ as modestos que el conjunto de todos los conjuntos. Pero ni Cantor ni sus sucesores consideraron tal posibilidad. Lo haremos aqu´ı. Ese es precisamente el objetivo de la discusi´on que sigue. Una discusi´on que se llevar´ a a cabo en el marco de la teor´ıa informal, y por tanto no axiomatizada, de conjuntos de Cantor. 1 Para

un an´ alisis detallado v´ease [79, pp. 66-74]. Por muy usual que pueda ser, la expresi´ on ’Paradoja de Cantor’ es como m´ınimo confusa, puesto que no es una paradoja sino una verdadera contradicci´ on. 2 La teor´ ıa informal de conjuntos (como la teor´ıa de Cantor) admite conjuntos como el conjunto universal U que est´ an prohibidos en las teor´ıas axiom´ aticas modernas.

Una extensi´ on de la Paradoja de Cantor —— 29

´ n de la Paradoja de Cantor Una extensio 61 Puesto que los elementos de un conjunto en la teor´ıa informal de conjuntos pueden ser conjuntos, conjuntos de conjuntos, conjuntos de conjuntos de conjuntos y as´ı sucesivamente, vamos a comenzar por definir la siguiente relaci´ on binaria R entre dos conjuntos: diremos que el conjunto A est´ a R-relacionado con el conjunto B, escrito A R B, si B contiene al menos un elemento que forma parte de la definici´on de al menos un elemento de A. Por ejemplo, si: A = { {{a, {b}}}, {c}, d, {{{{e}}}}, f }

(3)

B = {1, 2, b}

(4)

C = {1, 2, 3}

(5)

entonces A est´ a R-relacionado con B porque el elemento b de B forma parte de la definici´on del elemento {{a, {b}}} de A, pero A no est´ a Rrelacionado con C porque ning´ un elemento de C interviene en la definici´on de los elementos de A. 62 En esas condiciones sea X un conjunto cualquiera no vac´ıo, e Y uno de sus subconjuntos. A partir de Y se define el conjunto TY¯ de acuerdo con: TY¯ = {Z |¬∃V (V ∩ Y 6= ∅ ∧ Z R V )} (6) TY¯ es, por tanto, el conjunto de todos los conjuntos Z que no est´ an Rrelacionados con conjuntos V que contengan uno o m´ as elementos del conjunto Y . N´otese que si Y = ∅ entonces TY¯ es el inconsistente conjunto universal. 63 Es f´acil demostrar que TY¯ es un conjunto infinito. En efecto, sea n un n´ umero natural finito cualquiera y supongamos que |TY¯ | = n. Tendremos: TY¯ = {T1 , T2 , . . . Tn }

(7)

... Consideremos ahora el conjunto A = {{... n {{T1 }} n }}. Puede ser que A sea diferente de todos los Ti de TY¯ , o puede ser que A = Tk para un cierto k. Pero en el u ´ltimo caso tendr´ıa que existir un ´ındice h < n tal que ... B = {{ h {{T1 }}... }} sea diferente de todos los Ti de TY¯ , en caso contrario h tendremos |TY¯ | > n. En consecuencia o bien A o bien B ser´ a diferente de todos los Ti de TY¯ . Por otra parte, A y B son conjuntos cuyos elementos no est´ an R-relacionados con conjuntos que contienen uno o m´ as elementos del conjunto Y . Por lo tanto ambos pertenecen a TY¯ , y entonces |TY¯ | > n. Concluimos entonces que TY¯ solo puede ser infinito.

30 —— Extensi´ on de la Paradoja de Cantor

64 Sea ahora el conjunto P (TY¯ ), el conjunto potencia de TY¯ . Los elementos de P (TY¯ ) son todos ellos subconjuntos de TY¯ y por tanto conjuntos de conjuntos que no est´ an R-relacionados con conjuntos que contengan alg´ un elemento del conjunto Y : ∀D ∈ P (TY¯ ) : ¬∃V (V ∩ Y 6= ∅ ∧ D R V )

(8)

Consecuentemente, se verifica: ∀D ∈ P (TY¯ ) : D ∈ TY¯

(9)

P (TY¯ ) ⊆ TY¯

(10)

|P (TY¯ )| ≤ |TY¯ |

(11)

Y entonces: Podemos, pues, escribir: 65 Por otro lado, y de acuerdo con el teorema de Cantor, tenemos: |P (TY¯ )| > |TY¯ |

(12)

Nuevamente una contradicci´ on. Pero ahora X es cualquier conjunto no vac´ıo, e Y uno cualquiera de sus subconjuntos. Hemos probado, por tanto, el siguiente: Teorema 65 (de la Paradoja de Cantor).-En la teor´ıa de conjuntos de Cantor, cada conjunto de cardinal C da lugar a por lo menos 2C conjuntos infinitos inconsistentes 66 El argumento anterior no s´ olo demuestra que el n´ umero de totalidades infinitas inconsistentes es mucho mayor que el n´ umero de las consistentes, tambi´en sugiere que el tama˜ no excesivo de los conjuntos podr´ıa no ser la causa de la inconsistencia. Consideremos, por ejemplo, el conjunto X de todos los conjuntos cuyos elementos se definen exclusivamente por medio del n´ umero natural 1: X = {1, {1}, {1, {1}, {1, {1}}}, {{{1}}}, {{ 1, {1} }} . . . }

(13)

Un argumento similar a 62/65 probar´ıa que es una totalidad inconsistente, aunque en comparaci´on con el conjunto universal es una totalidad insignificante.3 67 N´otese que los conjuntos como el conjunto X definido en (13) son inconsistentes solo cuando se los considera desde el punto de vista del infinito 3 Recordemos,

por ejemplo, que entre dos n´ umeros reales cualesquiera existe un n´ umero infinito no numerable (2ℵo ) de otros n´ umeros reales diferentes. Lo que, como seguramente se dir´ıa Wittgenstein, llega a marear [202]

Una extensi´ on de la Paradoja de Cantor —— 31

actual. Es decir, cuando se los considera como totalidades completas. Y recu´erdese que, desde el punto de vista del infinito potencial, estos conjuntos no tienen sentido porque desde esta perspectiva las u ´nicas totalidades completas son las totalidades finitas, tan grandes como se quiera, pero siempre finitas. 68 Si hubi´eramos sabido de la existencia de tantas totalidades infinitas inconsistentes y no necesariamente tan enormes como el infinito absoluto, tal vez la teor´ıa transfinita de Cantor habr´ıa sido recibida de una manera diferente. Tal vez la noci´ on de infinito actual habr´ıa sido puesta en cuesti´ on en t´erminos de la teor´ıa de conjuntos; y quiz´as habr´ıamos descubierto la manera de probar su inconsistencia. Pero, como sabemos, ese no fue el caso. 69 La historia de la recepci´ on de la teor´ıa de conjuntos y la manera de tratar sus inconsistencias (todas ellos derivadas de la hip´ otesis de infinito actual y de la autorreferencia) es bien conocida. Desde los inicios del siglo XX se ha venido realizando un gran esfuerzo para fundar la teor´ıa de conjuntos sobre una base formal libre de inconsistencias. Aunque el objetivo solo pudo alcanzarse con la ayuda del adecuado parcheo axiom´atico. Desde entonces se han desarrollado al menos media docena de teor´ıas axiom´aticas de conjuntos.4 Varios cientos de p´ aginas son necesarias para explicar en detalle todas las restricciones axiom´aticas de las modernas teor´ıas axiom´aticas de conjuntos. Justo lo contrario de lo que cabr´ıa esperar de la fundamentaci´ on axiom´atica de una ciencia formal. 70 Como se se˜ nal´ o anteriormente, la explicaci´on m´ as simple de las inconsistencias de Cantor y de Burali-Forti es que sean verdaderas contradicciones derivadas de la inconsistencia de la hip´ otesis del infinito actual. Lo mismo se aplica al conjunto de todos los conjuntos y al el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de s´ı mismos (paradoja de Russell), aunque en este caso hay una causa adicional de inconsistencia relacionada con la autorreferencia. Todos los conjuntos involucrados en las paradojas de la teor´ıa informal de conjuntos fueron eliminados de la teor´ıa mediante las oportunas restricciones axiom´aticas. Nadie se atrevi´o ni siquiera a sugerir la posibilidad de que esas paradojas fueran contradicciones derivadas de la hip´ otesis del infinito actual; es decir, derivadas de asumir la existencia de conjuntos infinitos como totalidades completas. 4 Se

han producido tambi´en algunos intentos contempor´ aneos por recuperar la teor´ıa informal de conjuntos [104].

32 —— Extensi´ on de la Paradoja de Cantor

71 Lo cierto es que el conjunto de Cantor de todos cardinales, el conjunto de Burali-Forti de todos los ordinales, el conjunto de todos los conjuntos y el conjunto de Russell de todos los conjuntos que no son miembros de s´ı mismos, son todos ellos totalidades inconsistentes cuando se les considera desde la perspectiva de la hip´ otesis del infinito actual. Incluso el famoso problema de la parada de Turing est´ a relacionado con la hip´ otesis del infinito actual porque tambi´en se asume aqu´ı la existencia de todos los pares (programas, inputs) como una totalidad infinita completa [192]. Bajo la hip´ otesis del infinito potencial, por otro lado, ninguno de esas totalidades tiene sentido porque desde esa perspectiva s´ olo se pueden considerar totalidades finitas, indefinidamente extensibles, pero siempre finitas. 72 Como se indic´ o m´ as arriba, la Paradoja de Cantor (o la de BuraliForti) no es una paradoja sino una inconsistencia, un par de resultados contradictorios:  |U | ≥ |P (U )| (14) |U | < |P (U )|

Recu´erdese que estamos discutiendo en el marco de la teor´ıa cantoriana de conjuntos, en la que ninguna restricci´on axiom´atica hab´ıa sido hecha a´ un. En esas condiciones, dos resultados contradictorios (14) solo pueden derivarse de alguna hip´ otesis previa inconsistente. Pero la u ´nica hip´ otesis necesaria para llegar a (14) es la hip´ otesis del infinito actual. Resulta entonces chocante la conclusi´on de Cantor de que (14) es una consecuencia de la excesiva infinitud del conjunto implicado. Cualquier cosa antes que poner en cuesti´ on sus profundas convicciones infinitistas, tan firmes como una roca.

6.-El siguiente racional

´n Introduccio 73 El conjunto Q de los n´ umeros racionales, en su ordenamiento natural, est´ a densamente ordenado: entre cada dos n´ umeros racionales existe un n´ umero infinito de otros n´ umeros racionales diferentes. Pero siendo numerable [31], Q tambi´en puede ser ω−ordenado: entre cada dos n´ umeros racionales sucesivos no existe ning´ un otro n´ umero racional. El argumento que sigue se aprovecha de esta especie de esquizofrenia num´erica. Q+

´n Discusio

f

N

Q+

Recta racional positiva

q1 = f(1) 1 74 Por sencillez trataremos con el conjun2 q2 = f(2) to Q+ de los racionales positivos mayores q3 = f(3) 3 que cero, que tambi´en es numerable y densaq4 = f(4) 4 q5 = f(5) 5 mente ordenado. Sea entonces f una correspondencia biun´ıvoca entre el conjunto N de los n´ umeros naturales y el conjunto Q+ . Es evidente que f permite un ω-ordenamiento w-ordenado w-ordenado de Q+ : gracias a f el conjunto de todos los Densamente ordenada racionales positivos se puede escribir como Figura 6.1: ω -Ordenamiento de la recta racional positiva. {q1 , q2 , q3 , . . . }, siendo qi = f (i), ∀i ∈ N.

75 Sea ahora x una variable racional cuyo dominio es el intervalo racional (0, 1) y cuyo valor inicial xo es cualquier elemento de (0, 1). Consid´erese la siguiente sucesi´on hDi (x)i de definiciones recursivas de x: ( D1 (x) = xo (1) Di (x) = m´ın(Di−1 (x), |qi − q1 |), i = 2, 3, 4, . . . donde Di (x) es la i-´esima definici´on de x y m´ın(x, |qi − q1 |) el menor (en el orden denso usual de Q) de los dos valores entre par´entesis, siendo |qi − q1 | el valor absoluto de qi − q1 . Las sucesivas definiciones hDi (x)i definen a la variable x como |qi − q1 | si |qi − q1 | es menor que Di−1 (x), o como Di−1 (x) si no lo es. 33

34 —— El siguiente racional

76 Las definiciones, procedimientos y pruebas de infinitos pasos sucesivos, como la definici´on (1), son usuales en las matem´ aticas infinitistas (v´eanse, por ejemplo, el argumento de Cantor de 1874 o el conjunto ternario de Cantor, m´ as adelante en este libro). Por innecesaria que pueda parecer, impondremos a las sucesivas definiciones Di (x) la siguiente: Restricci´ on 76.-Cada definici´on Di (x) se llevar´ a a cabo si, y solo si, x queda definida como un n´ umero racional de su dominio (0, 1). En lo que sigue diremos que una definici´on Di (x) es posible si, y solo si, cumple la restricci´on anterior. 77 Es inmediato probar que para todo n´ umero natural v, las primeras v definiciones sucesivas hDi (x)ii=1,2,...v se pueden realizar. Evidentemente D1 (x) se puede realizar puesto que D1 (x) = xo , y xo ∈ (0, 1). Supongamos que, siendo n cualquier n´ umero natural, se pueden realizar las primeras n definiciones sucesivas hDi (x)ii=1,2,...n , lo que significa que x estar´ a definida con un cierto valor Dn (x) de su dominio (0, 1). Puesto que |qn+1 − q1 | es un n´ umero racional positivo bien definido, ser´ a, o no, menor que Dn (x). Consecuentemente Dn+1 (x) puede definir a x como |qn+1 − q1 | si este n´ umero es menor que Dn (x) o como Dn (x) si no lo es. En cualquier caso Dn+1 (x) define a x dentro de su dominio (0, 1). Por tanto, las primeras (n + 1) sucesivas definiciones hDi (x)ii=1,2,...n+1 tambi´en se pueden llevar a cabo. En consecuencia, para cualquier n´ umero natural v, es posible realizar las primeras v definiciones sucesivas hDi (x)ii=1,2,...v . 78 Empezaremos probando que una vez realizadas todas las posibles1 definiciones sucesivas hDi (x)i, el n´ umero racional q1 + x no es el menor racional mayor que q1 . As´ı es, cualquiera que sea el valor de x una vez realizadas todas las posibles definiciones sucesivas hDi (x)i, el n´ umero racional q1 + 0,1x, por ejemplo, es mayor que q1 y menor que q1 + x. N´otese que este argumento es una consecuencia del orden denso de Q+ . 79 Probaremos ahora, sin embargo, que una vez realizadas todas las posibles definiciones hDi (x)i, el n´ umero racional q1 + x es el menor racional mayor que q1 . Veamos que as´ı ha de ser. Supongamos que una vez realizadas todas las posibles definiciones sucesivas hDi (x)i el n´ umero racional q1 + x no es el menor racional mayor que q1 . En tal caso habr´ıa un n´ umero racional qv mayor que q1 y menor que q1 + x: q1 < qv < q1 + x 1 N´ otese

(2)

que si no fuera posible realizar todas las posibles definiciones sucesivas hDi (x)i, estar´ıamos ante la contradicci´ on elemental de una imposible posibilidad.

Discusi´ on —— 35

Por tanto, si restamos q1 a los tres miembros (todos ellos n´ umeros racionales propios) de las dos desigualdades tendremos: 0 < qv − q1 < x

(3)

lo que es imposible porque: a) El ´ındice v de qv es un n´ umero natural. b) De acuerdo con 77, es posible realizar las primeras v definiciones sucesivas hDi (x)ii=1,2,...v . c) Todas las posibles definiciones sucesivas Di (x) se han realizado. d) Por tanto, las primeras v definiciones sucesivas hDi (x)ii=1,2,...v se han realizado. e) Como consecuencia de Dv (x), podemos afirmar que x ≤ qv − q1 . f) Es imposible entonces que x > qv − q1 . Por tanto nuestra hip´ otesis inicial ha de ser falsa y q1 + x es el menor racional mayor que q1 . N´otese que esta incre´ıble conclusi´on es una consecuencia leg´ıtima del ω−orden de Q+ inducido por la biyecci´on f definida en 74. En efecto, es esa biyecci´ on la que hace posible considerar sucesivamente y uno a uno, todos los elementos qi de Q+ y calcular uno a uno todos los |qi − q1 |. 80 Una vez completada la sucesi´on de todas las posibles definiciones hDi (x)i, la variable x podr´ıa haber sido definida un n´ umero infinito de veces sin una u ´ltima definici´on. Por lo tanto ser´ıa imposible conocer el valor actual de x una vez completada la sucesi´on definiciones hDi (x)i. Pero, en cualquier caso, x continuar´ a siendo una variable racional definida con un cierto valor dentro de su dominio (0, 1). Por lo tanto, y por muy indeterminable que pueda ser ese valor, x seguir´a siendo una variable racional apropiadamente definida en su dominio racional (0, 1). Y eso es todo lo que necesitamos para que el argumento anterior sea conclusivo. 81 En caso contrario, si despu´es de completar la sucesi´on de todas las posibles definiciones hDi (x)i, la variable racional x hubiera perdido su condici´ on de variable racional apropiadamente definida dentro de su dominio (0, 1), tendr´ıamos que admitir que la compleci´ on de una sucesi´on infinita de definiciones posibles tiene efectos arbitrarios adicionales sobre el objeto definido. Pero si ese fuera el caso, los mismos efectos arbitrarios adicionales se podr´ıan esperar de cualquier otra definici´on, procedimiento o prueba consistente en un n´ umero infinito de sucesivos pasos, y entonces cualquier cosa podr´ıa esperarse de las matem´ aticas infinitistas.

36 —— El siguiente racional

82 Podr´ıamos incluso temporizar la sucesi´on de definiciones hDi (x)i realizando cada definici´on Di (x) en el preciso instante ti de una sucesi´on ω−ordenada y estrictamente creciente htn i = t1 , t2 , t3 . . . dentro del intervalo finito (ta , tb ), cuyo l´ımite es tb . En estas condiciones, x solo podr´ıa perder su condici´ on de variable racional apropiadamente definida en su dominio (0, 1) en el preciso instante tb , el primer instante despu´es de haber completado la sucesi´on de definiciones hDi (x)i. En efecto, siendo tb el l´ımite de htn i tendremos: ∀t ∈ [ta , tb ) :

(4)

∃v : tv ≤ t < tv+1

(5)

∴ en el instante t, x est´ a bien definida por Dv (x)

(6)

y por tanto en todo instante t de [ta , tb ), x es una variable racional bien definida en su dominio racional (0, 1). Por consiguiente, solo en el preciso instante tb podr´ıa x haber perdido su condici´ on de variable racional apropiadamente definida en su dominio (0, 1). En consecuencia, tendr´ıamos que admitir no solo que completar una sucesi´on infinita de definiciones, todas ellas posibles, tiene efectos adicionales arbitrarios sobre el objeto definido, sino que adem´ as esos efectos aparecen inesperadamente despu´es de completar la sucesi´on de definiciones. Y lo mismo se aplicar´ıa a cualquier otra definici´on, procedimiento o prueba compuesta por una sucesi´on infinita de pasos, todos ellos posibles.

7.-La l´ampara de Thomson

´n Introduccio 83 Aunque la cr´ıtica de Benacerraf al argumento de la l´ampara de Thomson est´ a bien fundada (v´ease m´ as abajo), queda muy lejos de ser completa. Como veremos aqu´ı, es posible considerar una nueva l´ınea argumental, solo incidentalmente considerada por Benacerraf, que se basa exclusivamente en la definici´on formal de la l´ ampara. Esa l´ınea argumental conduce a un resultado contradictorio que compromete la consistencia formal del ω−orden involucrado en todas las ω-supertareas. 84 Realizar una ω-supertarea (supertarea a partir de ahora) significa realizar una sucesi´ on ω−ordenada de acciones (tareas) en un tiempo finito. Las supertareas son artefactos te´oricos de cierta utilidad en la filosof´ıa de las Figura 7.1: Supertarea de Grematem´ aticas, particularmente en la discusio- gory. nes formales de ciertos problemas relacionados con el infinito.1 Aunque sus posibilidades e implicaciones f´ısicas tambi´en han sido discutidas.2 Aqu´ı solo trataremos con supertareas conceptuales. 85 Gregory of Rimini fue probablemente el primero en proponer c´omo se podr´ıa realizar una supertarea ([136], p. 53): Si Dios quisiera hacer crecer una piedra a˜ nadi´endole sucesivos ´ metros c´ ubicos de piedra -lo que El s´ı puede hacer- podr´ıa crear una piedra infinitamente grande. Para ello s´ olo necesita agregar un pie c´ ubico en alg´ un instante, otro pie c´ ubico media hora m´ as tarde, otro un cuarto de hora m´ as tarde, y as´ı sucesivamente ad ´ una piedra infinita al final infinitum. Entonces tendr´ıa ante El de una hora. 1 [191],

[26], [48], [154], [18], [200], [154] [150], [154], [165], [92], [94], [93], [150], [151], [152], [68], [153], [143], [5], [6], [155] [200], [103], [66], [67], [143], [65], [174]

2 [149],

37

38 —— La l´ ampara de Thomson

Pero el t´ermino ’supertarea’ fue introducido por J. F. Thomson en su seminal art´ıculo de 1954 [191]. El art´ıculo de Thomson fue motivado por el argumento de Black [23] sobre la imposibilidad de realizar infinitas acciones sucesivas y por las subsiguientes discusiones sobre ese argumento realizadas por R. Taylor [190] y J. Watling [198]. En su art´ıculo, Thomson intent´o probar la imposibilidad de realizar supertareas. El argumento de Thomson fue, a su vez, criticado en otro art´ıculo seminal, en este caso de P. Benacerraf [17]. El ´exito de la cr´ıtica de Benacerraf finalmente motiv´o la creaci´ on de una nueva teor´ıa infinitista independiente de la teor´ıa de conjuntos: la teor´ıa de supertareas. 86 Las posibilidades de realizar una infinidad no contable de acciones fueron examinadas, y descartadas, por P. Clark y S. Read [48]. Las supertareas han sido tambi´en consideradas desde la perspectiva del an´ alisis no est´ andar,3 aunque las posibilidades de realizar una hipertarea durante un intervalo hiperreal de tiempo no han sido discutidas, a pesar de que los intervalos finitos hiperreales se pueden dividir en una infinidad hipercontable de intervalos infinitesimales (particiones hiperfinitas).4 Pero la mayor´ıa de las supertareas son ω -supertareas, i.e. sucesiones ω−ordenadas de acciones realizadas durante un intervalo finito (o percibido como finito) de tiempo. 87 La idea b´ asica de la cr´ıtica Benacerraf contra el argumento de Thomson es la imposibilidad de derivar consecuencias formales sobre el estado final de la superm´ aquina que realiza la supertarea, a partir de la sucesi´on de estados que la m´ aquina atraviesa como consecuencia de la ejecuci´on de la supertarea. Pero, como veremos, el an´ alisis de Benacerraf del argumento de la l´ampara de Thomson es incompleto. 88 En efecto, si el mundo continua siendo el mismo mundo que era antes de la ejecuci´on de una supertarea, y si se sigue permitiendo pensar en t´erminos racionales en el mismo marco de las leyes de la l´ogica, entonces el argumento de Thomson se pueden reorientar hacia la definici´on formal de la m´ aquina que realiza la supertarea. Una definici´on que no depende del n´ umero de tareas realizadas con esa m´ aquina, una definici´on que, por consiguiente, tiene la misma validez antes durante y despu´es de realizar la supertarea. Asumimos pues que la ejecuci´on de una supertarea no cambia de forma arbitraria una definici´on leg´ıtima previamente establecida. 3 [131], 4 [187],

[130], [4], [119] [84], [107], [99], etc.

La l´ ampara de Thomson —— 39

´ mpara de Thomson La la 89 Como hizo Thomson en 1954, en la siguiente discusi´on usaremos una de esas: ... l´amparas de lectura que tienen un bot´on en la base. Si la l´ampara est´ a apagada y se presione el bot´on, la l´ampara se enciende, y si la l´ ampara est´ a encendida y se presione su bot´on la l´ampara se apaga. ([191], p. 5). Completemos la definici´on de Thomson con las dos siguientes condiciones sobre el funcionamiento (te´ orico) de la l´ampara: 1) La l´ampara de Thomson solo tiene dos estados: encendida y apagada 2) El estado de la l´ ampara (encendida/apagada) cambia si, y solo si, se pulsa su bot´ on. 3) Cada cambio de estado tiene lugar en un determinado y preciso instante. 4) La pulsaci´on del bot´ on y el correspondiente cambio de estado (encendida/apagada) de la l´ ampara son sucesos instant´aneos y simult´ aneos. 90 Supongamos ahora que se pulsa el bot´on de la l´ampara en cada uno de los infinitos instantes sucesivos ti , y s´ olo en ellos, de una sucesi´on estrictamente creciente y ω−ordenada de instantes htn i definidos dentro de un intervalo finito de tiempo (ta , tb ), siendo tb el l´ımite de la sucesi´on htn i. En el instante tb Figura 7.2: La l´ampara de Thomson. se habr´a completado una sucesi´on ω−ordenada hpn i de pulsaciones del bot´ on de la l´ ampara (cada pulsaci´on pi ejecutada en el instante ti ), y por tanto se habr´a completado una sucesi´on ω−ordenada de cambios de estado de la l´ ampara. O con otras palabras, en el instante tb se habr´a completado la supertarea de Thomson. Recu´erdese que esto es un argumento puramente conceptual, de modo que no nos preocupan los detalles f´ısicos. 91 Thomson intent´ o derivar una contradicci´ on de su supertarea especulando sobre el estado final de la l´ ampara en el instante tb en t´erminos de la sucesi´on de pulsaciones del bot´ on de la l´ampara completada a lo largo de la supertarea ([191], p. 5): [La l´ampara] no puede estar encendida, porque nunca la encend´ı sin volverla a apagar. No puede estar apagada porque la

40 —— La l´ ampara de Thomson

encend´ı la primera vez y luego nunca la apagu´e sin volverla a encender. Pero la l´ ampara debe estar o encendida o apagada. Esto es una contradicci´ on. 92 Es importante se˜ nalar, como se acaba de ver, que Thomson bas´ o su argumento en la sucesi´on de acciones llevadas a cabo con la l´ampara: nunca fue encendida sin apagarla despu´es, y viceversa. Lo que Thomson intentaba hacer es derivar el estado final de la l´ ampara, el estado de la l´ampara en el instante tb , de la sucesi´on de estados sufridos por la l´ampara durante la supertarea: la raz´ on por la que la l´ ampara no puede estar encendida es porque siempre fue apagada despu´es de encenderla. Y por la misma raz´ on no puede estar apagada. Esta manera de argumentar fue severamente criticada por Benacerraf. 93 La cr´ıtica de Benacerraf al argumento de Thomson es la siguiente: ([17], p. 768): Las u ´nicas razones que Thomson da para suponer que su l´ampara no estar´ a apagada en el instante tb [= 1 p.m.] valen solo para los instantes de tiempo anteriores a tb . Simplemente, las instrucciones de Thomson no cubren el estado de la l´ampara en el instante tb , aunque nos dicen cual deber´ a ser su estado en cada uno de los instantes entre ta y tb (incluyendo ta ). Ciertamente, la l´ampara debe estar encendida o apagada (siempre que no haya desaparecido en una bocanada de humo metaf´ısico), pero nada de lo que se nos dice implica cu´ al ha de ser ese estado. El argumento de que no puede estar en ninguno de ellos no viene al caso. Suponer que s´ı viene es suponer que una descripci´on del estado f´ısico de la l´ ampara en el instante tb (con respecto a la propiedad de estar encendida o apagada) es una consecuencia l´ogica de la descripci´ on de su estado (con respecto a la misma propiedad) en instantes anteriores a tb .(ta y tb aparecen respectivamente como t0 y t1 en el art´ıculo de Benacerraf). 94 En resumen, seg´ un Benacerraf, el problema planteado por Thomson no est´ a suficientemente descrito porque nada se indica sobre lo que sucede en tb [3]. Pero lo u ´nico que ha de ocurrir en tb es que la l´ampara de Thomson siga siendo la l´ ampara de Thomson. O con otras palabras, que la ejecuci´on de una supertarea no cambie las definiciones formales de los artefactos te´oricos implicados en ella. Como veremos, el estado de la l´ampara en el instante tb no es una ’consecuencia l´ ogica de la descripci´ on de su estado (con respecto a la misma propiedad) en instantes anteriores a tb ,’ es una

La l´ ampara de Thomson —— 41

consecuencia l´ ogica de ser una l´ ampara de Thomson. Esa ser´ a la clave de la argumentaci´ on que sigue. 95 Consid´erese el instante tb , el l´ımite de la sucesi´on htn i de instantes en los que se llevan a cabo la sucesi´on de pulsaciones hpn i del bot´on de la l´ampara que constituyen la supertarea. Ese instante es, por tanto, el primer instante despu´es de completar la sucesi´on de encendidos y apagados de la l´ampara. El primer instante en el que ya no se pulsa el bot´on de la l´ampara. Sea ahora Sb el estado de la l´ ampara en el instante tb . Siendo el estado de una l´ampara de Thomson, s´ olo puede ser encendida o apagada. Y esta conclusi´on no tiene nada que ver con el n´ umero de encendidos/apagados que previamente se hayan llevado a cabo. La l´ampara estar´ a encendida o apagada porque, siendo una l´ ampara de Thomson, s´ olo tiene esos dos estados. 96 Algunos infinitistas afirman, sin embargo, que en tb , despu´es de realizar la supertarea de Thomson, la l´ ampara puede estar en cualquier estado desconocido, incluso en un estado ex´otico. Pero una l´ampara que puede estar en un estado desconocido no es una l´ampara de Thomson: los u ´nicos estados posibles de una l´ ampara de Thomson son encendida y apagada. No hay otra alternativa sin violar arbitrariamente la leg´ıtima definici´on formal de la l´ampara de Thomson. Y suponemos que ninguna teor´ıa formal est´ a autorizada a violar arbitrariamente una definici´on formal, ni, obviamente, a cambiar de forma arbitraria la naturaleza del mundo. Ni que decir tiene que si ese fuera el caso, cualquier cosa se podr´ıa esperar de esa teor´ıa. 97 Otros piensan que el estado Sb es la consecuencia de completar la sucesi´on ω−ordenada de pulsaciones hpn i del bot´on de la l´ampara, puesto que esa sucesi´on de pulsaciones, y solo ella, se ha realizado. Pero si completar la sucesi´on de pulsaciones hpn i significa realizar todas y cada una de las infinitas pulsaciones sucesivas pi , y s´ olo ellas, entonces tenemos un problema. El problema de que ninguna pulsaci´on pi de hpn i origina Sb . Ninguna. As´ı es, si pv es una pulsaci´on cualquiera de hpn i, pv no puede ser la causa de Sb porque en tal caso el bot´ on de la l´ampara se habr´ıa pulsado s´ olo un n´ umero finito v de veces. O en otros palabras, si quitamos de hpn i todas las pulsaciones que no originan Sb , entonces las quitar´ıamos todas. 98 En esas condiciones, ¿c´omo puede decirse que la compleci´ on de la sucesi´on de pulsaciones hpn i, ninguno de cuyos elementos origina Sb , origina precisamente Sb ? ¿Es la compleci´ on de la sucesi´on de pulsaciones una pulsaci´on adicional diferente a todos los elementos de hpn i? Si ese fue-

42 —— La l´ ampara de Thomson

ra el caso, la sucesi´on de pulsaciones realizadas ser´ıa (ω + 1)-ordenada en lugar de ω−ordenada, pero las ω-supertareas son ω−ordenadas, no (ω +1)ordenadas. 99 En este punto algunos infinitistas proclaman que la l´ampara podr´ıa estar en el estado Sb por razones desconocidas. Pero, una vez m´ as, esa conclusi´ on viola la definici´on formal de la l´ ampara: la l´ampara de Thomson cambia de estado exclusivamente pulsando su bot´on, haciendo clic en su bot´on. Por lo que una l´ ampara que cambia de estado por razones desconocidas no es, por definici´on, una l´ ampara de Thomson. 100 En cualquier caso, la pregunta relevante sobre el estado Sb es: ¿en qu´e instante adquiere la l´ ampara de Thomson el estado Sb ? Es inmediato demostrar que ese instante s´ olo puede ser el preciso instante tb . En efecto, sabemos que la l´ ampara est´ a en el estado Sb en el instante tb , pero supongamos que la l´ ampara adquiere el estado Sb en un instante cualquiera t anterior a tb . Puesto que tb es el l´ımite de la sucesi´on htn i, tendremos: ∃v : tv ≤ t < tv+1

(1)

lo que significa que en el instante t se han realizado s´ olo un n´ umero finito v de pulsaciones. Por lo tanto, y teniendo en cuenta que t es un instante cualquiera del intervalo (ta , tb ), el instante preciso en el que se origina Sb no pertenece al intervalo (ta , tb ). En consecuencia, y siendo Sb el estado de la l´ampara de Thomson en el preciso instante tb , el estado Sb solo puede originarse en el preciso instante tb . 101 Pero tb no es el instante en que se completa la sucesi´on de pulsaciones; tb es el primer instante despu´es de completar esa sucesi´on. En realidad no existe un instante en el que se completa la sucesi´on de pulsaciones5 porque esa sucesi´on es ω−ordenada y las sucesiones ω−ordenadas no tienen u ´ltimo elemento. En tb la sucesi´on hpn i de pulsaciones, y por tanto la sucesi´on hSn i de cambios de estado de la l´ ampara, ya han sido completadas. En tb no se pulsa el bot´on de la l´ ampara. En tb no ocurre nada que pueda producir un cambio estado de la l´ ampara. 102 No tiene sentido discutir sobre el u ´ltimo t´ermino de una sucesi´on ω−ordenada sencillamente porque no existe el u ´ltimo t´ermino de una sucesi´ on ω−ordenada. Por el contrario, siempre podremos argumentar sobre el l´ımite, siempre que exista, de esa sucesi´on, que es un objeto bien definido 5 Lo

que a˜ nade un problema adicional: ¿c´ omo es posible completar una sucesi´ on de acciones en el intervalo (ta , tb ) si no se puede completar en ninguno de los instantes de (ta , tb )?

La l´ ampara de Thomson —— 43

aunque no forme parte de la sucesi´on. Del mismo modo, mientras que no tiene sentido discutir sobre el u ´ltimo instante en el que se puls´o el bot´on de la l´ampara de Thomson, el instante tb est´ a lleno de significado: es el l´ımite de la sucesi´on de instantes en los que se ejecutan las sucesivas pulsaciones del bot´on de l´ ampara de Thomson. Es el primer instante despu´es de completar la sucesi´on de pulsaciones del bot´on de la l´ampara de Thomson; es el primer instante en el que ya no se pulsa el bot´on de la l´ampara. 103 De acuerdo con 100-102, no puede afirmarse que Sb resulte de completar la sucesi´on hpn i de pulsaciones: la l´ampara de Thomson adquiere el estado Sb justo en el instante tb , pero en el instante tb ya se ha completado la sucesi´on de pulsaciones; tb es posterior a la finalizaci´ on de la sucesi´on de pulsaciones. La l´ ampara de Thomson adquiere el estado Sb en el preciso instante tb , pero nada ocurre en el preciso instante tb para que la l´ampara adquiera el estado Sb : a) En el instante tb la sucesi´on de pulsaciones ya ha concluido. b) En el instante tb no se pulsa el bot´on de la l´ampara. Sb es entonces un estado imposible, es la consecuencia de suponer que se puede completar una sucesi´on incompletable de acciones, incompletable en el sentido de que no existe un u ´ltimo elemento que complete la sucesi´on. 104 El hecho de que se puedan emparejar uno a uno los elementos de dos sucesiones incompletables, como en el caso de las sucesiones anteriores de clics y de instantes, no prueba que ambas sucesiones existan como totalidades infinitas completas: podr´ıan ser potencialmente infinitas. La posibilidad de emparejar los elementos de dos totalidades imposibles, no las hace posibles. 105 En este punto, todo lo que uno puede esperar de los infinitistas es ser declarado incompetente para entender el significado de la frase: ’el estado de la l´ ampara en tb es el resultado de completar la sucesi´ on ω−ordenada de pulsaciones hpn i, un resultado que se manifiesta por primera vez en tb ’. Pero, esperen un momento, ¿no es Sb el resultado de una pulsaci´on del bot´on de la l´ ampara? No olvide que l´ampara de Thomson s´ olo puede cambiar su estado si usted pulsa su bot´ on, si hace clic con ´el. Y que ambos sucesos, la pulsaci´on del bot´ on y el correspondiente cambio de estado, son sucesos instant´ aneos y simult´ aneos por definici´on. 106 Entonces, si Sb aparece por primera vez en el preciso instante tb y en tb no se pulsa el bot´ on de la l´ ampara ¿qu´e origina Sb ? ¿de d´ onde viene Sb ?

44 —— La l´ ampara de Thomson

107 En definitiva, Sb se ha de originar necesariamente en el instante tb , de lo contrario s´ olo un n´ umero finito de pulsaciones se habr´ıan realizado, seg´ un 100-102. Pero, por otra parte, no puede originarse en tb porque: 1) El estado de la l´ ampara solo cambia cuando se pulsa su bot´ on. 2) La pulsaci´on del bot´ on y el correspondiente cambio de estado de la l´ampara son sucesos instant´ aneos y simult´ aneos que ocurren en un instante determinado y preciso. 3) Siendo la pulsaci´on del bot´ on y el correspondiente cambio de estado sucesos instant´ aneos y simult´ aneos, y siendo el estado Sb originado en el preciso instante tb , el bot´on de la l´ampara tuvo que ser pulsado en ese preciso instante tb 4) Pero el bot´ on de la l´ ampara no se ha pulsado en tb . 108 Sb s´ olo podr´ıa ser, por consiguiente, el imposible u ´ltimo estado de una sucesi´on ω−ordenada de estados en la que no existe un u ´ltimo estado. El resultado de asumir la hip´ otesis del infinito actual del que se deriva la existencia de las sucesiones ω−ordenadas como totalidades completas, a pesar de que ning´ un u ´ltimo elemento las complete. 109 La l´ampara de Thomson es un dispositivo te´orico deliberadamente ideado para facilitar una discusi´on formal sobre la hip´otesis de infinito actual que legitima la existencia de sucesiones ω−ordenadas como totalidades completas [37], [39, Teorema 15-A]. Las supertareas son un ejemplo de tales sucesiones, y la contradicci´ on 107 sugiere claramente que la hip´ otesis en que la que se basan podr´ıa ser inconsistente.

´ quina de contar La ma 110 La m´ aquina de contar (CM ) que examinaremos en esta secci´ on plantea un problema similar al de la l´ ampara de Thomson que acabamos de analizar. Como su nombre sugiere, CM cuenta n´ umeros naturales, y lo hace contando los sucesivos n´ umeros 1, 2, 3. . . en cada uno de los sucesivos instantes t1 , t2 , t3 . . . de la sucesi´on htn i anterior. Cuenta cada n´ umero n en el preciso instante tn . Adem´ as la m´ aquina dispone de un LED azul que se enciende cuando, y solo cuando, la m´ aquina cuenta un n´ umero par; y se apaga cuando, y solo cuando, la m´ aquina cuenta un n´ umero impar. 111 La biyecci´ on f : f : htn i 7→ N

(2)

f (tn ) = n

(3)

La m´ aquina de contar —— 45

demuestra que en el instante tb nuestra m´ aquina habr´a contado todos los n´ umeros naturales. De modo que, si despu´es de realizar la supertarea, nuestra m´ aquina de contar CM sigue siendo la misma m´ aquina de contar que era antes de comenzar la supertarea, es decir, si la realizaci´ on de una supertarea no cambia la naturaleza del mundo ni implica la violaci´on arbitraria de las definiciones formales leg´ıtimas, como la de nuestra CM , entonces su LED azul s´ olo podr´ a estar encendido o apagado, simplemente porque un LED s´ olo puede estar encendido o apagado, independientemente del n´ umero de veces que haya sido encendido y apagado. 112 Supongamos entonces que el LED azul se encuentra encendido en el instante tb (un argumento similar se aplicar´ıa si estuviera apagado). Una de las dos siguientes alternativas, exhaustivas y mutuamente excluyentes, debe cumplirse: 1) El LED azul est´ a encendido porque CM cont´o un u ´ltimo n´ umero par. 2) El LED azul est´ a encendido por cualquier otra raz´ on conocida o desconocida. La primera alternativa es imposible si todos los n´ umeros naturales se han contado: cada n´ umero par tiene un inmediato sucesor impar y por tanto no existe un u ´ltimo n´ umero natural, ni par ni impar. La segunda alternativa implicar´ıa que se ha violado la definici´on formal de CM : su LED azul se enciende cuando, y solo cuando, la m´ aquina cuenta en n´ umero de par, lo que excluye la posibilidad de ser encendida por cualquier otra raz´ on, conocida o desconocida. 113 Si la lista ω−ordenada de los n´ umeros naturales existe como una totalidad completa a pesar de que no existe un u ´ltimo n´ umero que complete la lista, entonces nuestro modesto LED azul estar´ a y no estar´ a encendido. De otra forma se tendr´ıa que violar una leg´ıtima definici´on para justificar que nuestro LED pueda encenderse por cualquier raz´ on diferente de la raz´ on definida como la u ´nica raz´ on por la cual el LED puede encenderse, a saber la de contar un n´ umero par y solo la de contar un n´ umero par. Si ese fuera el caso, cualquier cosa se podr´ıa esperar de la hip´ otesis del infinito actual. 114 N´otese de nuevo que, como en el caso de la l´ampara de Thomson, la conclusi´on anterior sobre el estado del LED una vez contados todos los n´ umeros naturales no se deriva de las sucesivas acciones realizadas, sino del hecho de ser un LED con dos estados precisos y definidos (encendido y apagado) y de tal forma el LED se enciende si, y solo si, CM cuenta un

46 —— La l´ ampara de Thomson

n´ umero par.

8.-Revisi´on del argumento de Cantor de 1874

´n Introduccio 115 Se examinan aqu´ı las condiciones bajo las cuales el argumento de Cantor de 1874 sobre la naturaleza no contable de los n´ umeros reales se podr´ıa aplicar tambi´en al conjunto de los n´ umeros racionales. Ser´ a necesario, por tanto, demostrar que esas condiciones nunca se cumplen si se quiere evitar la amenaza de una contradicci´ on relacionada con la cardinalidad del conjunto de los n´ umeros racionales, que el propio Cantor demostr´o era numerable [31]. Se incluye tambi´en una breve variaci´ on del argumento de Cantor aplicado a los n´ umeros racionales.

Argumento de Cantor de 1874 116 En esta secci´ on se explica detalladamente la primera prueba de Cantor de la no numerabilidad del conjunto R de los n´ umeros reales, publicada en el a˜ no 1874 [31] en un breve art´ıculo que tambi´en inclu´ıa una prueba de la numerabilidad del conjunto A (tambi´en representado por Q) de los n´ umeros algebraicos y, por tanto, del conjunto Q de los n´ umeros racionales, un subconjunto de A (edici´ on francesa [32], edici´ on espa˜ nola [43]). 117 Supongamos que el conjunto R fuera numerable. En esas condiciones existir´ıa una biyecci´ on f entre el conjunto N de los n´ umeros naturales y R. En consecuencia, los elementos de R quedar´ıan ω−ordenados por f : r1 , r2 , r3 , . . .

(1)

siendo ri = f (i), ∀i ∈ N. Obviamente, la sucesi´on hrn i definida por f contendr´ıa todos los n´ umeros reales si R fuera en realidad numerable. 118 Consideremos ahora un intervalo real cualquiera (a, b). El argumento de Cantor de 1874 consiste en probar la existencia de un n´ umero real s en (a, b) que no est´ a en la sucesi´on ω−ordenada hrn i. La existencia de s probar´ıa que hrn i no contiene a todos los n´ umeros reales y que, por tanto, la hip´ otesis de la naturaleza contable de R es falsa. La prueba de Cantor 47

48 —— Revisi´ on del argumento de Cantor de 1874

es como sigue.

Ï(a1, b1)

Î(a1, b1)

Ï(a1, b1)

Ï(a1, b1)

Ï(a1, b1)

Ï(a1, b1)

Î(a1, b1)

Î(a, b)

Î(a, b)

Ï (a, b)

Ï (a, b)

Ï (a, b)

Î(a, b)

Ï (a, b)

119 Empezando por r1 , buscamos los dos primeros elementos de hrn i que caigan dentro de (a, b). Llamamos a1 al menor de ellos y b1 al mayor. Definimos el intervalo real (a1 , b1 ) (v´ease la Figura 8.1).

r1 , r2 , r3, r4, r 5, r6, r7 , ...

r7 , r8 , r9, r10, r 11, r12, r13 , ...

r3 > r6 a1 = r6 b1 = r3

r7 < r12 a2 = r7 b2 = r12

(a1, b1 ) = (r6 , r3 )

(a2, b2) = (r7 , r12 )

Figura 8.1: Definici´on de los dos primeros intervalos (a1 , b1 ), (a2 , b2 ).

120 Empezando por r1 , buscamos los dos primeros elementos de hrn i que caigan dentro de (a1 , b1 ). Llamamos a2 al menor de ellos y b2 al mayor. Definimos el intervalo real (a2 , b2 ). Evidentemente se verifica: (a1 , b1 ) ⊃ (a2 , b2 )

(2)

121 Empezando por r1 , buscamos los dos primeros elementos de hrn i que caigan dentro de (a2 , b2 ). Llamamos a3 al menor de ellos y b3 al mayor. Definimos el intervalo real (a3 , b3 ). Es evidente que se verifica: (a1 , b1 ) ⊃ (a2 , b2 ) ⊃ (a3 , b3 ).

(3)

122 Continuando con este procedimiento (R-procedimiento de ahora en adelante) se define la sucesi´on de intervalos reales anidados (R-intervalos): (a1 , b1 ) ⊃ (a2 , b2 ) ⊃ (a3 , b3 ) ⊃ . . .

(4)

cuyos extremos izquierdos a1 , a2 , a3 ,. . . forman una sucesi´on estrictamente creciente de n´ umeros reales, y cuyos extremos derechos b1 , b2 , b3 ,. . . forman una sucesi´on estrictamente decreciente tambi´en de n´ umeros reales, siendo todo elemento de la primera sucesi´on menor que todo elemento de la segunda. 123 Del ω−orden de hrn i y de la forma ordenada en la que el R-procedimiento define los sucesivos R-intervalos (empezando por r1 buscamos los dos primeros elementos. . . ), se sigue inmediatamente que si rn define un extremo ai o bi , entonces se ha de verificar i ≤ n. En consecuencia, podemos asegurar que, siendo rn un elemento cualquiera de hrn i, rn nunca podr´ a caer dentro de los sucesivos R-intervalos: (an , bn ) ⊃ (an+1 , bn+1 ) ⊃ (an+2 , bn+2 ) ⊃ . . .

(5)

Argumento de Cantor de 1874 —— 49

124 El n´ umero de R-intervalos podr´ a ser finito o infinito, y las dos posibilidades han de ser examinadas. Supongamos, en primer lugar, que el n´ umero de R-intervalos es finito.1 En este caso habr´ıa un u ´ltimo intervalo2 (an , bn ) en la sucesi´on de intervalos. Este u ´ltimo R-intervalo contendr´ıa como mucho un elemento rv de hrn i, en caso contrario ser´ıa posible definir como m´ınimo un nuevo R-intervalo (an+1 , bn+1 ). Sea, por tanto, s un elemento cualquiera de (an , bn ), diferente de rv en el caso de que rv exista. Evidentemente s es un n´ umero real que est´ a dentro de (a, b) y que no pertenece a la sucesi´on hrn i. En consecuencia, la sucesi´on hrn i no contiene a todos los n´ umeros reales, lo que prueba la falsedad de la hip´ otesis inicial sobre la naturaleza contable de R. 125 Supongamos ahora que el a1 a2 a3 a4 … L a < L b  b4 b3 b2 b1 n´ umero de R-intervalos es infini3 to. Puesto que la sucesi´on han i es estrictamente creciente y cualquier
b4 b3 b2 b1 a1 a2 a3 a4 La = Lb elemento de hbn i es una cota superior de la sucesi´on, ha de existir el Figura 8.2: Alternativas de convergencia para han i y hbn i. l´ımite La de han i. Por su parte, la sucesi´on hbn i es estrictamente decreciente y cualquier elemento de han i es una cota inferior de la misma, por tanto ha de existir el l´ımite Lb de hbn i. Teniendo ahora en cuenta que todo ai es menor que todo bi se ha de verificar: La ≤ Lb . 126 Supongamos que La < Lb . En este caso cualquiera de los infinitos elementos del intervalo real (La , Lb ) es un n´ umero real perteneciente a (a, b) que no pertenece a la sucesi´on hrn i, y por tanto una prueba de la falsedad de la hip´ otesis inicial sobre la naturaleza numerable de R. 127 Finalmente, supongamos que La = Lb = L. Es claro que L es un elemento de (a, b) que no pertenece a hrn i. En efecto, sup´ongase que L fuera un elemento rv de hrn i. De acuerdo con 123, rv no pertenece a ninguno de los sucesivos R-intervalos: (av , bv ) ⊃ (av+1 , bv+1 ) ⊃ (av+2 , bv+2 ) ⊃ . . . ,

(6)

mientras que L pertenece a todos ellos. Por tanto L no puede ser rv . El l´ımite L es un n´ umero real perteneciente a (a, b) que no est´ a en hrn i, y en consecuencia una prueba de la falsedad de la hip´ otesis inicial sobre la 1 Incluyendo

el caso de que el R-procedimiento no defina ning´ un R-intervalo. el intervalo completo (a, b) si el R-procedimiento no define ning´ un R-intervalo. 3 N´ otese que este caso implica la compleci´ on de un proceso con infinitos pasos sucesivos.

2O

50 —— Revisi´ on del argumento de Cantor de 1874

numerabilidad de R.

´ n racional del argumento de Cantor Versio 128 Esta secci´ on desarrolla un argumento completamente id´entico al de la secci´ on anterior, excepto que se aplica al conjunto Q de los n´ umeros racionales. 129 Supongamos que el conjunto Q de los n´ umeros racionales fuera numerable. En estas condiciones existir´ıa una biyecci´on f entre el conjunto N de los n´ umeros naturales y Q. En consecuencia, los elementos de Q se podr´ıan ω -ordenar por f : q1 , q2 , q3 , . . .

(7)

siendo qi = f (i), ∀i ∈ N. Obviamente, la sucesi´on hqn i definida por f contendr´ıa todos los n´ umeros racionales si Q fuera en realidad numerable. 130 Consideremos un intervalo racional cualquiera (a, b). Empezando por q1 , buscamos los dos primeros elementos de hqn i que caigan dentro de (a, b). Llamamos a1 al menor de ellos y b1 al mayor. Definimos el intervalo racional (a1 , b1 ). 131 Empezando por q1 , buscamos los dos primeros elementos de hqn i que caigan dentro de (a1 , b1 ). Llamamos a2 al menor de ellos y b2 al mayor. Definimos el intervalo racional (a2 , b2 ). Evidentemente se verifica: (a1 , b1 ) ⊃ (a2 , b2 )

(8)

132 Empezando por q1 , buscamos los dos primeros elementos de hqn i que caigan dentro de (a2 , b2 ). Llamamos a3 al menor de ellos y b3 al mayor. Definimos el intervalo racional (a3 , b3 ). Es evidente que se verifica: (a1 , b1 ) ⊃ (a2 , b2 ) ⊃ (a3 , b3 ).

(9)

133 Continuando con este procedimiento (Q-procedimiento de ahora en adelante) se define la sucesi´on de intervalos racionales anidados (Q-intervalos): (a1 , b1 ) ⊃ (a2 , b2 ) ⊃ (a3 , b3 ) ⊃ . . . (10) cuyos extremos izquierdos a1 , a2 , a3 ,. . . forman una sucesi´on estrictamente creciente de n´ umeros racionales, y cuyos extremos derechos b1 , b2 , b3 ,. . . forman una sucesi´on estrictamente decreciente tambi´en de n´ umeros racionales, siendo todo elemento de la primera sucesi´on menor que todo elemento de la segunda. 134 Del ω−orden de hqn i y de la forma ordenada en la que el Q-pro-

Versi´ on racional del argumento de Cantor —— 51

cedimiento define los sucesivos Q-intervalos (empezando por q1 buscamos los dos primeros elementos. . . ), se sigue inmediatamente que si qn define un extremo ai o bi , entonces se ha de verificar i ≤ n. En consecuencia, podemos asegurar que, siendo qn un elemento cualquiera de hqn i, qn nunca podr´ a caer dentro de los sucesivos Q-intervalos: (an , bn ) ⊃ (an+1 , bn+1 ) ⊃ (an+2 , bn+2 ) ⊃ . . .

(11)

135 El n´ umero de Q-intervalos podr´ a ser finito o infinito, y las dos posibilidades han de ser examinadas. Supongamos, en primer lugar, que el n´ ume4 ro de Q-intervalos es finito . En este caso habr´ıa un u ´ltimo Q-intervalo5 (an , bn ) en la sucesi´on de Q-intervalos. Este u ´ltimo Q-intervalo contendr´ıa como mucho un elemento qv de hqn i, en caso contrario ser´ıa posible definir como m´ınimo un nuevo Q-intervalo (an+1 , bn+1 ). Sea, por tanto, s un elemento cualquiera de (an , bn ), diferente de qv en el caso de que qv exista. Evidentemente s es un n´ umero racional que est´ a dentro de (a, b) y que no pertenece a la sucesi´on hqn i. En consecuencia, la sucesi´on hqn i no contiene a todos los n´ umeros racionales, lo que prueba la falsedad de nuestra hip´ otesis inicial sobre la naturaleza contable de Q. 136 Supongamos ahora que el n´ umero de Q-intervalos es infinito.6 Puesto que la sucesi´on han i es estrictamente creciente y cualquier elemento de hbn i es una cota superior de han i, ha de existir el l´ımite real La de han i. Por su parte, la sucesi´on hbn i es estrictamente decreciente y cualquier elemento de han i es una cota inferior de hbn i, por tanto ha de existir el l´ımite real Lb de hbn i. Teniendo ahora en cuenta que todo ai es menor que todo bi se ha de verificar: La ≤ Lb , siendo La y Lb dos n´ umeros reales (racionales o irracionales). 137 Supongamos que La < Lb . En este caso cualquiera de los infinitos racionales del intervalo real (La , Lb ) es un n´ umero racional perteneciente a (a, b) que no pertenece a la sucesi´on hqn i, y por tanto una prueba de la falsedad de nuestra hip´ otesis inicial sobre la naturaleza numerable de Q. 138 Finalmente supongamos que La = Lb = L. Resulta inmediato que L es un n´ umero real del intervalo real (a, b) que no est´ a en hqn i. En efecto, si L es irracional entonces est´ a claro que no pertenece a hqn i; supongamos entonces que L es racional, y supongamos tambi´en que es un elemento qv de hqn i. De acuerdo con 134, qv no pertenece a ninguno de los sucesivos 4 Incluyendo

el caso de que el Q-procedimiento no defina ning´ un Q-intervalo. el intervalo completo (a, b) si el Q-procedimiento no define ning´ un Q-intervalo. 6 N´ otese que este caso implica la compleci´ on de un proceso con infinitos pasos sucesivos.

5O

52 —— Revisi´ on del argumento de Cantor de 1874

intervalos: (av , bv ), (av+1 , bv+1 ), (av+2 , bv+2 ), . . .

(12)

mientras que L pertenece a todos ellos. Por tanto, L no puede ser qv . El l´ımite L es un n´ umero real (racional or irracional) en el intervalo real (a, b) que no est´ a en hqn i. En consecuencia, si L fuera racional entonces nuestra hip´ otesis inicial sobre la numerabilidad de Q tendr´ıa que ser falsa. 139 Acabamos de probar que las alternativas del argumento de Cantor de 1874 sobre la cardinalidad de los n´ umeros reales pueden ser tambi´en aplicadas al conjunto Q de los n´ umeros racionales, excepto la u ´ltima, que solo se puede aplicar si el l´ımite com´ un de la sucesi´on racional de extremos izquierdos y de la sucesi´on racional de extremos derechos de los Q-intervalos es un n´ umero racional. 140 Resulta evidente que si el argumento de Cantor de 1874 se pudiera extender a los n´ umeros racionales tendr´ıamos una contradicci´ on: el conjunto Q ser´ıa y no ser´ıa numerable. En consecuencia, para asegurar la imposibilidad de esa contradicci´ on se tendr´a que demostrar que para cualquier intervalo racional (a, b) y para cualquier reordenamiento de hqn i, el n´ umero de Q-intervalos nunca es finito y las sucesiones de los extremos izquierdos han i y derechos hbn i siempre tienen un l´ımite irracional com´ un. Hasta entonces, la consistencia de la teor´ıa de conjuntos infinitos estar´ a en juego.

Una variante del argumento de Cantor de 1874 141 El siguiente argumento es una variante de la primera prueba de Cantor de la naturaleza no numerable del conjunto de los n´ umeros reales examinada m´ as arriba. 142 Puesto que, de acuerdo con Cantor, el conjunto Q de los n´ umeros racionales es numerable podemos considerar una biyecci´on f entre este conjunto y el conjunto de los n´ umeros naturales N. Sea hqn i la sucesi´on ω−ordenada de n´ umeros racionales definida por: qi = f (i), ∀i ∈ N

(13)

Obviamente hqn i contiene a todos los n´ umeros racionales. 143 Sea x una variable racional cuyo dominio es el intervalo racional (a, b) y cuyo valor inicial es xo , un elemento cualquiera de (a, b). Sea hqn i la sucesi´on de n´ umeros racionales definida por (13). Consid´erese ahora la

Una variante del argumento de Cantor de 1874 —— 53

siguiente sucesi´on de definiciones recursivas hDi (x)i de x: D1 (x) = xo i = 2, 3, 4, . . .

(

Si qi ∈ (a, b) entonces Di (x) = m´ın(Di−1 (x), qi ) En otro caso Di (x) = Di−1 (x)

(14)

donde m´ın(Di−1 (x), qi ) es el menor (en el orden denso natural de Q) de los dos valores entre par´entesis. hDi (x)i compara x con los sucesivos elementos de hqn i que pertenecen a (a, b), y redefine a x como el elemento comparado cada vez que el elemento comparado es menor que el valor actual de x. 144 Aunque pueda parecer innecesaria, impondremos la siguiente restricci´on a las sucesivas definiciones (14): Restricci´ on 144.-Cada definici´on sucesiva Di (x) (14) se llevar´ a a cabo si, y solo si, x resulta definida como un n´ umero racional de su dominio (a, b). Probaremos a continuaci´ on que para cualquier n´ umero natural v es posible realizar las primeras v definiciones sucesivas (14). 145 La primera definici´on D1 (x) se puede realizar porque D1 (x) = xo , y xo ∈ (a, b). Supongamos que, siendo n un n´ umero natural cualquiera, las primeras n definiciones hDi (x)ii=1,2,...n se pueden realizar, de modo que Dn (x) ∈ (a, b). Puesto que qn+1 es un n´ umero racional bien definido, sabremos si est´ a en (a, b) y si es menor que Dn (x). Si este fuera el caso Dn+1 (x) = qn+1 ; si no lo fuera Dn+1 (x) = Dn (x). En ambos casos x resulta definida en su dominio (a, b). Esto prueba que Dn+1 (x) tambi´en se puede realizar. En consecuencia, para cualquier n´ umero natural v es posible realizar las primeras v definiciones (14). 146 Supongamos que mientras se puedan llevar a cabo las sucesivas definiciones (14) que cumplen la restricci´on 144, esas sucesivas definiciones se llevan a cabo. El valor de x una vez realizadas todas las posibles7 definiciones (14), cualquiera que sea el n´ umero finito o infinito de veces que ha sido redefinida, ser´ a un n´ umero racional dentro de su dominio (a, b) porque siempre fue definida dentro de su dominio (a, b). As´ı, podemos afirmar: Por indeterminable que pueda ser el valor de x una vez realizadas todas las posibles redefiniciones (14), ser´ a un cierto n´ umero racional r dentro de su dominio (a, b). 147 Obviamente una variable puede estar adecuadamente definida en su 7 Si

fuera imposible realizar todas las definiciones posibles estar´ıamos ante la contradicci´ on elemental de una posibilidad imposible.

54 —— Revisi´ on del argumento de Cantor de 1874

dominio aunque no conozcamos su valor actual. Algunos infinitistas argumentan, sin embargo, que aunque la restricci´on 144 se aplica a cada una de las infinitas definiciones sucesivas de x, una vez completada la sucesi´on infinita de esas definiciones no podemos asegurar que x siga siendo una variable racional apropiadamente definida dentro de su dominio (a, b), a pesar de que cada una de esas definiciones defini´o correctamente a x dentro de su dominio (a, b). Como si la compleci´ on de una sucesi´on infinita de definiciones tuviera efectos desconocidos adicionales sobre el objeto definido, como perder la condici´ on de ser una variable racional apropiadamente definida en su dominio. 148 Los mismos efectos desconocidos adicionales sobre los objetos definidos cabr´ıa esperar, entonces, en cualquier otro procedimiento, definici´on o prueba compuesta por infinitos pasos sucesivos, en ese caso las matem´ aticas infinitistas no tendr´ıan ning´ un sentido. Por ejemplo, en el argumento de Cantor de 1874 si el n´ umero de R-intervalos es infinito, y debido a esos desconocidos efectos adicionales de la compleci´ on sobre el objeto definido, no podr´ıamos asegurar que esos intervalos contin´ uen siendo los intervalos reales dentro de (a, b) que fueron definidos. 149 Si completar la sucesi´on infinita de definiciones (14) significa realizar todas y cada una de las definiciones de la sucesi´on (y s´ olo ellas), cada una de las cuales define a x dentro de su dominio (a, b), y si la compleci´ on de la sucesi´on de definiciones no tiene efectos desconocidos arbitrarios sobre x, entonces, una vez realizadas todas las definiciones posibles, x s´ olo puede estar definida como un cierto n´ umero racional r (cualquiera que sea) dentro de su dominio (a, b). 150 Consid´erese el intervalo racional (a, r) y un elemento cualquiera s dentro de (a, r). Es evidente que s ∈ (a, b) y s < r. Probaremos que s no puede ser un elemento de hqn i. En efecto, supongamos que s pertenece a la sucesi´on hqn i. Habr´ a entonces un elemento qv de hqn i tal que s = qv , y siendo s un elemento de (a, r) tendremos qv ∈ (a, r) y por tanto qv < r. Pero eso es imposible porque: 1) El ´ındice v de qv es un n´ umero natural. 2) De acuerdo con 145, para cada n´ umero natural v es posible llevar a cabo las primeras v definiciones (14). 3) Se han llevado a cabo todas las posibles definiciones (14). 4) Al menos las primeras v definiciones (14) se han llevado a cabo. 5) Dv (x) = m´ın(Dv−1 (x), qv ) y entonces Dv (x) ≤ qv . Por lo tanto

Una variante del argumento de Cantor de 1874 —— 55

r ≤ qv 6) Es imposible entonces que qv < r. En consecuencia s no puede ser un elemento de hqn i. 151 El n´ umero racional s prueba entonces la existencia de n´ umeros racionales dentro de (a, b) que no est´ an en hqn i, lo que a su vez prueba la falsedad de la hip´ otesis inicial sobre la naturaleza contable de Q. Ahora bien, teniendo en cuenta que Cantor demostr´o la naturaleza contable del conjunto Q, la conclusi´on final solo puede ser que Q es y no es numerable. Comentario 151-1.- La sucesi´on de definiciones (14) lleva a otros resultados contradictorios que el lector podr´ıa f´acilmente encontrar. Evidentemente los resultados contradictorios no se invalidan entre s´ı, simplemente muestran la existencia de contradicciones.8 Si, a partir de la misma hip´ otesis, dos argumentos independientes conducen a resultados contradictorios, ambos argumentos est´ an demostrando la inconsistencia de la hip´ otesis inicial. Un argumento no se puede refutar con otro argumento diferente porque este u ´ltimo argumento llegue a conclusiones opuestas al primero. Un argumento solo se pude refutar indicando d´ onde y por qu´e ese argumento falla.

8 Una

obviedad que es a menudo ignorada en las discusiones sobre el infinito actual.

56 —— Revisi´ on del argumento de Cantor de 1874

9.-Intercambios num´ericos

ω -Intercambios 152 Como veremos en este cap´ıtulo, es posible hacer desaparecer un n´ umero de una lista de n´ umeros si la lista es ω−ordenada y el n´ umero intercambia sucesivamente su posici´ on en la tabla (fila) con el n´ umero situado en la siguiente posici´ on de la tabla, mientras haya un n´ umero en la siguiente posici´ on de la tabla con el que intercambiar su posici´ on. Este resultado absurdo es una consecuencia inevitable de asumir que las listas ω−ordenadas existen como totalidades completas. El conflicto desaparece en las listas potencialmente infinitas. t1

t2

t3

t4

t5

t6 …

153 Consideremos la tabla ω−orde2 2 1 2 2 2 3 3 2 1 3 3 nada T de todos los n´ umeros natura4 4 3 3 4 1 les en su orden natural de preceden5 5 4 4 1 4 cia, y sean r1 = 1; r2 = 2; r3 = 3 . . . 1 6 5 5 5 5 6 6 6 6 1 6 sus sucesivas filas. Supongamos ahora 7 7 7 7 7 7 que intercambiamos el n´ umero 1 con el 8 8 8 8 8 8 n´ umero 2, y luego el n´ umero 1 con el n´ umero 3, y luego el n´ umero 1 con el Figura 9.1: Intercambios num´ericos en la n´ umero 4, y as´ı sucesivamente (Figura lista ordenada de los n´umeros naturales. 9.1). En s´ımbolos: ( ri = i + 1 (1) i = 1, 2, 3, . . . Ei (1) ri+1 = 1

donde Ei (1) representa el intercambio entre los n´ umeros 1 e i+1 de la tabla T. El objetivo de la siguiente discusi´on es analizar el destino del n´ umero 1 una vez realizados todos los posibles intercambios hEi (1)i definidos por (1). 154 Los sucesivos intercambios hEi (1)i estar´ an sometidos a la siguiente restricci´on: Restricci´ on 154.-Para cada n´ umero natural n, el intercambio 57

58 —— Intercambios num´ ericos

En (1) se llevar´ a a cabo si, y solo si, deja al n´ umero 1 situado en rn+1 y al n´ umero n+1 en rn . 155 Es inmediato probar que para cada n´ umero natural v es posible realizar los primeros v intercambios hEi (1)ii=1,2...v sin violar la Restricci´on 154. Es evidente que se puede realizar E1 (1) sin violar la Restricci´on 154, porque ese intercambio deja al n´ umero 1 en r2 y al n´ umero 2 en r1 . Supongamos que, siendo n un n´ umero natural cualquiera, se pueden realizar los primeros n intercambios hEi (1)ii=1,2...n sin violar la Restricci´on 154. Una vez realizados, el n´ umero 1 estar´ a situado en rn+1 y el n´ umero n+1 en rn . En consecuencia se puede realizar En+1 (1), porque deja al n´ umero 1 situado en rn+2 y al n´ umero (n + 2) en rn+1 . Este razonamiento inductivo prueba que para todo n´ umero natural v es posible realizar los primeros v intercambios hE(1)ii=1,2...v sin violar la Restricci´on 154. 156 Examinaremos las consecuencias de esta conclusi´on en las dos secciones siguientes mediante dos argumentos independientes.

Argumento de la supertarea 157 La teor´ıa de supertareas presupone la posibilidad de realizar infinitas acciones en un tiempo finito (ver [154] para m´ as detalles y los Cap´ıtulos 7 y 25 de este libro). La breve discusi´on que sigue analiza esta hip´ ote1 sis por medio de un supertarea condicionada elemental cuyas sucesivas acciones (tareas) consisten precisamente en la realizaci´ on de los sucesivos intercambios Ei (1) sujetos a la Restricci´on 154. Como consecuencia de esos sucesivos intercambios el n´ umero 1, originalmente colocado en la primera fila, ser´ a sucesivamente colocado en la 2a , 3a , 4a ... fila de T . 158 Sea htn i una sucesi´on estrictamente creciente y ω−ordenada de instantes en el intervalo real (ta , tb ) cuyo l´ımite es tb . Supongamos que cada posible intercambio Ei (1) se realiza en el preciso instante ti de htn i. Es evidente que en el instante tb se habr´an realizados todos los posibles intercambios Ei (1). El problema es: ¿en qu´e fila estar´ a el n´ umero 1 en el instante tb ? Si rv es cualquier fila de T , est´ a claro que 1 no est´ a en rv porque en tal caso los v primeros intercambios E(1)i=1,2,...v no se habr´ıan efectuado,2 lo que seg´ un 155 es imposible. Por lo tanto, y siendo rv una fila cualquiera de T , debemos concluir que en el instante tb el n´ umero 1 ha desaparecido de la tabla. En tb , por lo tanto, la Restricci´on 154 ha sido 1 En

una supertarea condicional cada tarea sucesiva se realiza si, y s´ olo si, se cumple una determinada condici´ on, en nuestro caso la Restricci´ on 154. 2 E (1) deja a 1 en la fila r v v+1 .

Argumento Modus Tollens —— 59

violada, a pesar de que ninguno de los intercambios realizados la ha violado. Mientras todos los n´ umeros mayores que 1 permanecen en la tabla, el n´ umero 1 ha desaparecido misteriosamente en una ’bocanada de humo infinitista’. 159 Cabe destacar que la conclusi´on sobre la desaparici´on del n´ umero 1 no se ha derivado de los sucesivos intercambios realizados. Simplemente hemos demostrado que una vez completada la supertarea, el n´ umero 1 no puede estar en ninguna de las filas de la tabla T , en caso contrario, si estuviera en una fila rv , no se habr´ıan realizado los primeros intercambios E1,2,...v (x), lo que va en contra de 155.

Argumento Modus Tollens 160 Consid´erense las dos siguientes proposiciones sobre la ejecuci´on de todos los posibles intercambios Ei (1): p: Una vez realizados todos los posibles intercambios Ei (1) el n´ umero 1 permanece en T . q: Una vez realizados todos los posibles intercambios Ei (1) el n´ umero 1 permanece en una cierta fila rv of T . Es claro que p ⇒ q porque si una vez realizados todos los posibles intercambios Ei (1) el n´ umero 1 est´ a en T , entonces estar´ a en una de sus filas rv , sea cual sea rv . 161 Probaremos ahora que q es falsa. Sea rv una fila cualquiera de T . Si una vez realizados todos los posibles intercambios Ei (1) el n´ umero 1 est´ a en rv entonces Ev (1) no se ha realizado. Pero esto es falso porque: 1) El ´ındice v de Ev (1) es un n´ umero natural. 2) De acuerdo con 155, para cada n´ umero natural v es posible realizar los primeros v intercambios hEi (1)i1,2,...v . 3) Todos los posibles intercambios Ei (1) se han realizado. 4) Al menos los primeros v intercambios hEi (1)i1,2,...v se han realizado. 5) Ev (1) coloc´ o el n´ umero 1 en la fila rv+1 . En consecuencia el n´ umero 1 no est´ a en rv . Por tanto, y siendo rv una fila cualquiera, hemos de concluir que q es falsa.

60 —— Intercambios num´ ericos

162 Podemos por tanto escribir: p⇒q

(2)

¬q ———— ∴ ¬p

(3) (4)

lo que significa que una vez realizados todos los posibles intercambios Ei (1) el n´ umero 1 ya no est´ a en T . O, alternativamente, que es imposible realizar todos los posible intercambios Ei (1).

La alternativa del infinito potencial 163 Terminaremos este cap´ıtulo analizando el problema de los intercambios hEi (1)i desde el punto de vista del infinito potencial. Puesto que desde ese punto de vista s´ olo tienen sentido las totalidades finitas (tan grandes como se desee, pero siempre finitas), consideremos un n´ umero finito n cualquiera y la tabla Tn de los primeros n n´ umeros naturales. Los intercambios hEi (1)i ahora se se definen por:  ri = i + 1 (5) i = 1, 2, 3, . . . n − 1. Ei (1) : r =1 i+1

y por tanto, solo se realizar´ an un n´ umero finito n − 1 de intercambios E1,2,...(n−1) (1), al final de los cuales el n´ umero 1 estar´ a situado en la u ´ltima fila de Tn .

164 As´ı, para todo n´ umero natural n los intercambios (5) en Tn son consistentes. Solo cuando ocurren en la supuesta tabla completa de todos los n´ umeros naturales se vuelven inconsistentes. En s´ımbolos:  ri = i + 1 (6) i = 1, 2, 3, . . . n − 1 Ei (1) : r =1 i+1

es consistente, mientras que:

i = 1, 2, 3, . . . Ei (1) :

 ri = i + 1 r

i+1

es inconsistente.

=1

(7)

10.-La diagonal de Cantor

´n Introduccio 165 El argumento de la diagonal de Cantor hace uso de una hipot´etica tabla T que se supone contiene todos los n´ umeros reales en el intervalo real (0, 1). Dicha tabla puede ser f´acilmente redefinida con el fin de garantizar que contiene por lo menos todos los n´ umeros racionales de (0, 1). En estas condiciones, ¿podr´ıan reordenarse las filas de T de tal manera que pudiera definirse una antidiagonal racional? En ese caso, y por la misma raz´ on que en el argumento original de Cantor, se habr´ıa probado que el conjunto de los n´ umeros racionales es no numerable. Y entonces tendr´ıamos una contradicci´ on, porque como el mismo Cantor tambi´en prob´o, el conjunto de los n´ umeros racionales es numerable. ¿Debe, por lo tanto, suspenderse el argumento de la diagonal de Cantor hasta que se demuestre la imposibilidad de tal reordenamiento? ¿Ser´ıa posible ese reordenamiento? La discusi´on que sigue aborda ambas cuestiones.

Teorema del n-´ esimo decimal 166 Empezaremos demostrando un resultado b´ asico relacionado con la representaci´on decimal de los n´ umeros racionales (se podr´ıa aplicar tambi´en a los n´ umeros irracionales) del que haremos uso m´ as adelante. Para ello, sea M el conjunto de todos los n´ umeros reales en el intervalo real (0, 1) expresados en notaci´ on decimal y completados, en los casos de un n´ umero finito de cifras decimales, con infinitos ceros a la derecha, as´ı en lugar de 0,25 escribiremos 0,25000. . . . El subconjunto de todos los n´ umeros racionales del conjunto M se denotar´a por MQ . 167 Vamos a demostrar el siguiente: Teorema 167 (del n-´ esimo decimal).-Para cada n´ umero natural n hay infinitos elementos diferentes en MQ con el mismo d´ıgito decimal dn en la misma n-´esima posici´ on de su representaci´on decimal. 61

62 —— La diagonal de Cantor

Demostraci´ on.-Consideremos un elemento cualquiera r0 de MQ de la forma: r0 = 0.d1 d2 . . . dn (1) donde cada di es una cifra decimal cualquiera (0,1,2,3. . . 9). A partir de r0 definimos la sucesi´on de n´ umeros racionales: r1 = 0.d1 d2 . . . dn 1000 . . .

(2)

r2 = 0.d1 d2 . . . dn 11000 . . .

(3)

r3 = 0.d1 d2 . . . dn 111000 . . .

(4)

... rk = 0.d1 d2 . . . dn 1 .(k) . . 1000 . . .

(5)

... La biyecci´on f entre N (el conjunto de los n´ umeros naturales) y MQ definida por: f (k) = rk , ∀k ∈ N (6) demuestra, que siendo n un n´ umero natural cualquiera, existe un subconjunto numerable f (N) de MQ , cada uno de cuyos elementos rk tiene una expansi´ on decimal finta de k + n decimales con la misma cifra decimal dn en la misma n-´esima posici´ on.

Cantor contra Cantor 168 El conjunto M de Cantor es la uni´ on de dos conjuntos disjuntos: el conjunto numerable MQ de todos los n´ umeros racionales en (0, 1) y el conjunto de MI de todos los n´ umeros irracionales en el mismo intervalo (0, 1). Siendo MQ numerable, existe una biyecci´on g entre N y MQ . Por otra parte supongamos, como hizo Cantor en 1891 [35], que M fuera numerable. En esas condiciones es evidente que, siendo MI infinito, tambi´en ser´ a numerable, en caso contrario (si fuera no numerable) su superconjunto M no podr´ıa ser (solo) numerable. Sea entonces h una biyecci´on entre N y MI . A partir de g y h se define una correspondencia uno a uno f entre N y M: ) f (2n − 1) = g(n) ∀n ∈ N (7) f (2n) = h(n) Podemos entonces considerar la tabla ω−ordenada T cuyas sucesivas filas r1 , r2 , r3 . . . son precisamente f (1), f (2), f (3) . . . . Por definici´on, y siendo MQ (supuestamente) numerable, T contiene una subtabla numerable con

Cantor contra Cantor —— 63

todos los n´ umeros racionales de (0, 1). 169 La diagonal de la tabla T de Cantor es el n´ umero real D = 0.d11 d22 d33 . . . cuyo n-´esimo decimal dnn es el n-´esimo decimal de la n-´esima fila rn de T . A partir de este n´ umero Cantor define otro n´ umero real en M , la antidiagonal D − de la siguiente manera: c´ ambiese cada decimal dnn por cualquier otro decimal diferente. Esto asegura que, siendo un n´ umero real del conjunto M , D − es diferente de todas las filas de T : se diferencia de cada fila rn al menos en su n-´esimo decimal. 170 En consecuencia, M no puede ser numerable, como se hab´ıa supuesto. Este es el argumento de la diagonal de Cantor, un impecable Modus Tollens (MT)1 [35]. En efecto, consideremos las dos siguientes proposiciones: p: M es numerable

(8)

q: T contiene todos los n´ umeros reales de (0, 1)

(9)

−

entonces, una vez probado que D es un n´ umero real del conjunto M que no est´ a en T tendremos: p⇒q

(10)

¬q ———— ∴ ¬p

(11) (12)

171 Ahora bien, puesto que D − es un n´ umero real de (0, 1), ser´ a racional o irracional. Pero si fuera racional, y por la misma raz´ on que en el caso de M , el subconjunto MQ de todos los n´ umeros racionales en M tambi´en ser´ıa no numerable. El problema es que Cantor hab´ıa demostrado ya que el conjunto Q de todos los n´ umeros racionales, y por lo tanto MQ , es numerable [31]. 172 De acuerdo con 171, si fuera posible reordenar las filas de T de tal manera que se pudiera definir una antidiagonal racional tendr´ıamos dos resultados contradictorios: el conjunto Q de los n´ umeros racionales ser´ıa y no ser´ıa numerable. Ambos resultados podr´ıan considerarse demostrados por Cantor, aunque el u ´ltimo s´ olo como una consecuencia inesperada (y hasta ahora desconocida) de su famoso m´etodo de la diagonal. En consecuencia, podemos afirmar la siguiente: Conclusi´ on 172.-El argumento de la diagonal de Cantor y todas sus consecuencias formales deber´ıan suspenderse hasta que 1 Las

cr´ıticas del argumento de la diagonal de Cantor invariablemente est´ an relacionados con diferentes aspectos que no guardan relaci´ on con la estructura formal de la demostraci´ on del Cantor.

64 —— La diagonal de Cantor

se demuestre, sin hacer uso circular del argumento de la diagonal, la imposibilidad de reordenar las filas de T de tal manera que pueda definirse una antidiagonal racional. 173 Sin esa demostraci´on, la teor´ıa de conjuntos est´ a bajo la amenaza de una contradicci´ on fundamental. Resulta entonces impactante que durante m´ as de un siglo nadie haya planteado ese problema (los reordenamientos de las filas de T ), incluyendo a miles de matem´ aticos y l´ogicos de todo el mundo.

Antidiagonales racionales 174 Examinaremos ahora las posibilidades y las consecuencias de reordenar las filas de T en el sentido indicado en 172. 175 Una vez asumida la existencia del conjunto de todos los cardinales finitos como una totalidad completa, Cantor demostr´o la existencia de sucesiones ω−ordenadas [37], [39, Th. 15-A]. En una sucesi´on ω−ordenada, como la anterior tabla T, cada uno de sus elementos estar´ a siempre precedido por un n´ umero finito de elementos y seguido por un n´ umero infinito de elementos. A continuaci´ on veremos una conflictiva consecuencia de esa inmensa asimetr´ıa. 176 Empezaremos definiendo el concepto de fila D-modular en la tabla T . En primer lugar, diremos que una fila ri de T es n-modular si su n-´esima cifra decimal es (n mod 10). Esto significa que una fila es, por ejemplo, 2348-modular si su 2348-´esima cifra decimal es 8; o que es 453-modular si su 453-´esima cifra decimal is 3. Si una fila rn es n-modular (siendo el mismo n en n-modular y en rn ) se dir´ a que es D-modular. Por ejemplo, las filas: r1 = 0.1007647464749943400034577774413 . . . (13) r2 = 0,2200045667778943000000000000000 . . .

(14)

r3 = 0,0030000000000000000000000000000 . . .

(15)

r9 = 0,1112223390000004340666666666333 . . .

(16)

r13 = 0,1234567890003000567585843456931 . . .

(17)

son todas ellas D-modulares. Una fila ri no D-modular se puede intercambiar con cualquier fila siguiente rj que sea i-modular (el n´ umero en rj pasa a ri , y el n´ umero en ri pasa a rj ), siempre que exista una fila siguiente i-modular. Llamaremos D-intercambios a esos intercambios de las filas de T.

Antidiagonales racionales —— 65

177 Consideremos ahora la siguiente permutaci´ on P de las filas hrn i de de tabla T . Para cada fila sucesiva ri en T : 1) Si ri es D-modular se deja como est´ a. 2) Si ri no es D-modular se D-intercambia con cualquier fila siguiente rj, j>i que sea i-modular, siempre que al menos una de las filas siguientes rj sea i-modular (se intercambiar´ a ri por rj y rj por ri ).

n t er

3) Si ri no es D-modular y no puede ser D-intercambiada se deja como est´ a. Obs´ervese que, gracias a la condici´ on j > i (en rj, j>i ), el D-intercambio de una fila no D-modular la convierte en D-modular y adem´ as permanecer´a Dmodular sin ser afectada por los siguientes D-intercambios.

ca

m.

136900987838344... 028282828282828... 133389745600000... 032967898354283...

136900987838344... 028282828282828... 133389745600000... 655489023467289...

...

...

655489023467289... 345787352637839...

032967898354283... 345787352637839...

...

...

D- i

Figura 10.1: Izquierda: r4 antes de ser D-intercambiada. Derecha: Una vez intercambiada, r4 es una fila D-modular.

178 Es inmediato demostrar, por Modus Tollens (MT), que como consecuencia de la permutaci´ on P cada fila de T se convierte en D-modular. En efecto, vamos a suponer que una fila rn no se convierte en D modular como consecuencia de P. Esto significa que rn no es D-modular ni pudo ser D-intercambiada con una fila siguiente n-modular. Ahora bien, todos las filas n-modulares tienen la misma cifra (n mod 10) en la misma n-´esima posici´ on de su representaci´ on decimal y, seg´ un el teorema 167 de la n-´esima cifra decimal, hay infinitos n´ umeros racionales con la misma cifra en la misma posici´ on de su representaci´on decimal, cualquiera que sea el cifra y la posici´ on. En consecuencia, puesto que n es finito, la fila rn estar´ a precedida por un n´ umero finito y seguida por un n´ umero infinito de filas n-modulares. Cualquiera de estas infinitas filas n-modulares se tuvo que haber D-intercambiado con rn . Por lo tanto, resulta imposible que rn no sea D-modular. En consecuencia (Modus Tollens), cada fila rn de T se convierte en D-modular como consecuencia de P. 179 Cabe destacar que el resultado demostrado en 178 es una consecuencia formal tanto del teorema 167 de la n-´esima cifra decimal como

66 —— La diagonal de Cantor

del hecho de que toda fila rn de T siempre est´ a precedida por un n´ umero finito de filas n-modulares y seguida por un n´ umero infinito de tales filas n-modulares. Esta inmensa asimetr´ıa es un efecto secundario e inevitable del ω−orden, que, como el propio Cantor demostr´o [39, Teorema 15-A], se deriva de asumir la existencia del conjunto de todos los cardinales finitos (n´ umeros naturales) como una totalidad completa (hip´ otesis del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito). 180 Para evitar discusiones innecesarias, subrayaremos la estructura formal de la demostraci´on 178. Consid´erense las dos siguientes proposiciones q1 y q2 sobre la permutaci´ on P: q1 : Una vez completada P, no todas la filas se convierten en D-modulares. q2 : Una vez completada P, al menos una fila rk no D-modular no pudo ser D-intercambiada. Resulta claro que q1 implica q2 : si P no convierte a todas las filas de T en D-modulares, entonces al menos una fila rk no D-modular no pudo ser D-intercambiada. Ahora bien, siendo k finito y teniendo en cuenta el teorema de la n-´esima cifra decimal 167, existen infinitas filas rn, n>k que siguen a rk y que son k-modulares, por tanto alguna de ellas tuvo que ser D-intercambiada con rk . En consecuencia la proposici´ on q2 es falsa, y por tanto tambi´en lo ser´ a q1 . En s´ımbolos: q1 ⇒ q2

(18)

¬ q2 ———— ∴ ¬ q1

(19) (20)

Queda claro entonces que, como en el caso del argumento de la diagonal de Cantor, la demostraci´on anterior tambi´en es un simple Modus Tollens (v´ease el comentario final). 181 Sea Tp la tabla resultante de la permutaci´ on P. Puesto que todas las filas de Tp son D-modulares, su diagonal D ser´ a el n´ umero racional 0.1234567890. Es inmediato ahora definir infinitas antidiagonales racionales a partir de D. Veamos c´ omo. Llamemos p0 al periodo 1234567890 de la diagonal D. Estamos interesados en per´ıodos de diez d´ıgitos ninguno de los cuales coincida en posici´ on con los d´ıgitos de p0 , como es el cac El n´ so, por ejemplo, de 0123456789 ´ o 4545454545 (= 45). umero de tales 10 per´ıodos es de 9 . Entre ellos vamos a elegir, los dos ejemplos anteriores, a los que nos referiremos como p1 y p2 respectivamente (p1 = 0123456789, p2 = 4545454545). Ahora definimos la siguiente sucesi´on de antidiagonales

Antidiagonales racionales —— 67

racionales hAn i: ∀n ∈ N : An = 0.p1 p1 . n. . p1 pb2

(21)

cuyos elementos no pueden estar en Tp por la misma raz´ on que la antidiagonal de Cantor: difiere de cada fila rn precisamente en su n-´esima cifra decimal. Y siendo todos ellos n´ umeros racionales, debemos concluir que MQ y su superconjunto Q son ambos no numerables. 182 La permutaci´ on P nos permite desarrollar otros argumentos cuyas conclusiones sugieren tambi´en la inconsistencia de la hip´ otesis del infinic y muchas otras, nunca to actual. Por ejemplo, est´ a claro que la fila 0.21, pueden convertirse en D-modulares, y entonces tendr´ıamos que admitir el absurdo de que P las hace desaparecer de la tabla. En efecto, sea n cualc es la n-´esima quier n´ umero natural y supongamos que, por ejemplo, 0.21 c estar´ fila de Tp . Puesto que n es finito, 0.21 a precedido por un n´ umero finito de filas n-modulares y seguido por un n´ umero infinito de filas n-modulares, c de acuerdo con el teorema 167 del n-´esimo decimal. En consecuencia, 0.21, 2 que no es n-modular, se intercambi´ o con alguna de esas filas n-modulares, y entonces no puede ser la n-´esima fila de Tp . Por lo tanto, y siendo rn c ¡ha desaparecido de una fila cualquiera de Tp , debemos concluir que 0.21 la tabla! 183 El absurdo anterior 182 es la clase de cosas que uno puede esperar de una lista en la que cada elemento tiene un n´ umero finito de predecesores y un n´ umero infinito de sucesores. Una lista en la que, a pesar de tener un n´ umero infinito de elementos sucesivos, es imposible alcanzar un elemento con un n´ umero infinito de predecesores (lo que, evidentemente, hace posible al argumento anterior). Una lista, en fin, que es a la vez completa (como la hip´ otesis del infinito actual requiere) e incompletable (porque no existe un u ´ltimo elemento que complete la lista).

184 La permutaci´ on P, se puede considerar incluso como un caso de supertarea (hipercomputaci´on): sea htn i una sucesi´on estrictamente creciente y ω−ordenada de instantes en un intervalo finito de tiempo (ta , tb ), siendo tb el l´ımite de la sucesi´on. Supongamos que P se aplica a cada fila ri justo en el preciso instante ti de htn i. Por lo tanto, ri se mantendr´a sin cambios si se trata de una fila D-modular (o si no es D-modular pero no se puede D-intercambiar) o ser´ a D-intercambiada por cualquier fila i-modular siguiente. En el instante tb la permutaci´ on P se habr´a aplicado a cada fila cada n-´esima cifra decimal de 0.c 21 se verifica (n mod 10) = 2 si n es impar, o (n mod 10) = 1 si es par.

2 Para

68 —— La diagonal de Cantor

de T como lo demuestra la biyecci´ on f (ti ) = ri . 185 Supongamos que en tb , una vez completada la hipercomputaci´on P, la tabla permutada Tp contiene una fila rn que no es D-modular. Esta fila, sea la que sea, estar´ a precedida por un n´ umero finito de filas y seguida por un n´ umero infinito de filas, un n´ umero infinito de las cuales son nmodulares, y por tanto D-intercambiables con rn . En consecuencia rn fue D-intercambiada. Por lo tanto rn solo puede ser D-modular en Tp . 186 Ser simult´ aneamente completo e incompletable (porque no hay u ´ltimo elemento que complete), como ocurre con los objetos ω−ordenados, podr´ıa ser, despu´es de todo, contradictorio.

Un nota final 187 Terminemos recordando que un argumento no puede ser refutado con otro argumento diferente. En palabras de W. Hodges: [101, p. 4] ¿C´omo puede alguien caer en un estado mental en el que se persuade a s´ı mismo de que es posible criticar un argumento sugiriendo otro argumento diferente que no llega a la misma conclusi´on? Esta estrategia inadmisible es usada frecuentemente en los debates relacionados al infinito, por ejemplo para refutar los argumentos de Cantor sobre la naturaleza no contable de los n´ umeros reales. Refutar un argumento significa indicar d´ onde y por qu´e ese argumento falla. Si dos argumentos conducen a conclusiones contradictorias, simplemente est´ an demostrando la existencia de una contradicci´ on.

11.-Intervalos racionales

´n Introduccio 188 En este cap´ıtulo se desarrollan dos argumentos relacionados con la cardinalidad del conjunto Q de los n´ umeros racionales. En el primero de ellos se define una sucesi´on de intervalos racionales positivos cuyos sucesivos elementos se definen por medio de una sucesi´on ω−ordenada de n´ umeros racionales positivos que contiene a todos los n´ umeros racionales positivos. Como veremos, estos intervalos contienen n´ umeros racionales positivos que no son miembros de la sucesi´on definidora pero que tendr´ıan que ser miembros de la sucesi´on definidora. En el segundo argumento redefiniremos un intervalo racional por sucesivas redefiniciones de su extremo derecho, de modo que el intervalo se hace progresivamente m´ as corto. El resultado es tambi´en una contradicci´ on relacionada con la cardinalidad del conjunto Q de los n´ umeros racionales.

´ n cantoriana Una particio 189 Como es sabido, el conjunto de los n´ umeros racionales en su natural orden de precedencia est´ a densamente ordenado. Por lo tanto, si a y b son dos n´ umeros racionales cualquiera, entonces el el intervalo (a, b) contiene infinitos n´ umeros racionales diferentes, independientemente de lo cerca que a est´e de b. O en otras palabras (y al contrario de lo que ocurre con cualquier n´ umero natural de la sucesi´on 1, 2, 3. . . ), ning´ un n´ umero racional tiene un sucesor inmediato en el orden natural de precedencia de los n´ umeros racionales. Esta propiedad trivial de los n´ umeros racionales ser´ a de capital importancia en el siguiente argumento. 190 Sea f una correspondencia uno a uno entre el conjunto N de los n´ umeros naturales y el conjunto numerable Q+ de los n´ umeros racionales positivos, y consideremos la sucesi´on ω−ordenada hqn i definida por: ∀i ∈ N : qi = f (i) 69

(1)

70 —— Intervalos racionales

Puesto que f es una biyecci´ on, est´ a claro que la sucesi´on hqn i contiene a todos los n´ umeros racionales. Obviamente el ω−orden de hqn i hace posible poder considerar sucesivamente, y uno a uno, todos sus elementos: q1 , q2 , q3 . . . , lo que a su vez hace posible el siguiente procedimiento. 191 Sea (a, b] cualquier intervalo cerrado por la derecha de n´ umeros racionales positivos. Siguiendo una estrategia similar a la del argumento de Cantor de 1874 [31], definiremos ahora una sucesi´on de intervalos disjuntos y adyacentes por medio de los sucesivos elementos q1 , q2 , q3 . . . de la sucesi´on hqn i de acuerdo con el siguiente procedimiento P : Consid´erense los sucesivos qi de hqn i en su ω−orden de precedencia q1 , q2 , q3 ,. . . . Para cada qi : Si, y solo si, qi pertenece a un intervalo (x, y] previamente definido, incluyendo el intervalo inicial (a, b], y qi no es un extremo de (x, y], entonces div´ıdase (x, y] en los dos intervalos disjuntos y adyacentes (x, qi ] y (qi , y]. Obviamente: (x, y] = (x, qi ] ∪ (qi , y]

(2)

(x, qi ] ∩ (qi , y] = ∅.

(3)

Tendremos finalmente una sucesi´on S de intervalos disjuntos y adyacentes: S = (a, x1 ](x1 , x2 ](x2 , x3 ] . . .

(4)

donde cada xi es un cierto elemento de hqn i. Evidentemente S es una partici´ on del intervalo inicial (a, b]: (a, b] = (a, x1 ] ∪ (x1 , x2 ] ∪ (x2 , x3 ] ∪ . . .

(5)

(a, x1 ] ∩ (x1 , x2 ] ∩ (x2 , x3 ] ∩ · · · = ∅

(6)

192 N´otese que: 1) Todo elemento qi 6= y en el interior de un intervalo previamente definido (x, y], incluyendo (a, b], divide a ese intervalo en dos intervalos disjuntos y adyacentes (x, qi ], (qi , y], siendo qi su extremo com´ un. 2) Los sucesivos intervalos de S se definen de dos en dos, siendo cada nueva pareja de intervalos el resultado de dividir un intervalo previo, incluyendo (a, b], en dos intervalos disjuntos y adyacentes. Por consiguiente los intervalos definidos en cada paso del procedimiento P forman una partici´ on del intervalo inicial (a, b]. 3) Cuando P considera al elemento qv de hqn i, estar´ an definidos un n´ umero finito de intervalos disjuntos y adyacentes que, como m´ axi-

Una partici´ on cantoriana —— 71

mo, es 2(v − 1. Si qv ∈ (a, b], entonces qv pertenecer´a a uno de esos intervalos, porque esos intervalos forman una partici´ on de (a, b]. 4) Cada vez que un elemento qv de hqn i divide un intervalo (xi , xj ), los extremos de este intervalo contin´ uan siendo extremos de los nuevos intervalos: xi en (xi , qv ] y xj en (qv , xj ]. 5) Como consecuencia de los cuatro puntos anteriores, una vez que un elemento qv de hqn i ha sido usado para dividir un intervalo en dos nuevos intervalos disjuntos y adyacentes, ese elemento continuar´ a siendo el extremo com´ un de dos intervalos disjuntos y adyacentes. 6) Puesto que a ∈ / (a, b) y a es menor que cualquier elemento dentro de (a, b), es imposible dividir un intervalo cuyo extremo izquierdo es a en dos nuevos intervalos de modo que el primero de ellos tenga un extremo izquierdo menor que a. Por lo tanto siempre habr´a un primer intervalo cuyo extremo izquierdo es a. 193 De acuerdo con 192-6, la sucesi´on S definida por el procedimiento P debe contener necesariamente un primer intervalo cuyo extremo izquierdo es a. Sea (a, x] ese intervalo, donde x es un cierto elemento de hqn i. Puesto que todos los intervalos racionales son densamente ordenados, entre a y x existen infinitos racionales diferentes. Sea c un elemento cualquiera del intervalo (a, x] diferente de x. Como veremos ahora, c no puede ser un elemento de la sucesi´on hqn i. 194 Sup´ongase que c es un cierto elemento qv de hqn i. De acuerdo con 1923, cuando P considera qv solo un n´ umero finito K ≤ 2(v − 1) de intervalos disjuntos y adyacentes habr´an sido definidos. Por otra parte tendr´ıamos: qv ∈ (a, z) ⊂ (a, x]

(7)

lo que es imposible, porque de acuerdo con 192-5, qv solo podr´ıa ser el extremo com´ un de dos de los K intervalos disjuntos y adyacentes definidos en el v-´esimo paso de P . Hemos de concluir que el n´ umero racional positivo c ∈ (a, x] no puede ser un elemento de hqn i. Lo que prueba la siguiente: Conclusi´ on 194.-La sucesi´on hqn i, que contiene todos los n´ umeros racionales positivos, no contiene todos los n´ umeros racionales positivos. 195 Es destacable el hecho de que, para deducir la conclusi´on 194, no necesitamos saber si P define un n´ umero finito o infinito de intervalos. Esta conclusi´on es una consecuencia inevitable de suponer que el conjunto Q+

72 —— Intervalos racionales

es densamente ordenado y a la vez numerable, lo que permite ω-ordenar sus elementos y considerarlos sucesivamente, uno a uno. Como el lector podr´ıa f´acilmente comprobar, el procedimiento P conduce a otros resultados contradictorios que implican a la hip´ otesis del infinito actual.

Un intervalo racional menguante 196 Siendo numerable el conjunto Q de los n´ umeros racionales, existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto N de los n´ umeros naturales y Q. Por lo tanto la sucesi´on ω−ordenada hf (i)i = f (1), f (2), f (3),. . . contiene todos los n´ umeros racionales. Definamos ahora un a-intervalo como un intervalo abierto cualquiera de n´ umeros racionales cuyo extremo izquierdo es el n´ umero racional a. Sea Ia uno de esos a-intervalos. Diremos que Ia es a-definido si es redefinido como un nuevo a-intervalo. Consid´erese entonces la siguiente sucesi´on hDi (Ia )i de a-definiciones de Ia : D1 (Ia ) = Ia i = 2, 3, 4, . . .

 Si f (i) ∈ Ia Entonces Di (Ia ) = (a, f (i))

Si f (i) ∈ / Ia Entonces Di (Ia ) = Di−1 (Ia )

(8) (9)

197 Es inmediato demostrar que para todo n´ umero natural v es posible realizar las primeras v a-definiciones hD(Ia )i1,2,...v del a-intervalo Ia . En efecto, es claro que D1 (Ia ) se puede realizar puesto que D1 (Ia ) = Ia . Supongamos que para cualquier n´ umero natural n es posible realizar las primeras n a-definiciones hD(Ia )i1,2,...n , de modo que Ia = (a, x) y x es o bien uno de los primeros n elementos de hf (i)i o b. Puesto que f (n + 1) es un n´ umero racional pertenecer´a, o no, a (a, x). En el primer caso Ia puede a-definirse como (a, f (n + 1)); en el segundo como (a, x). Por consiguiente, es posible tambi´en realizar las primeras n+1 a-definiciones hD(Ia )i1,2,...(n+1) Esto prueba que para todo n´ umero natural v es posible realizar las primeras v definicioneshD(Ia )i1,2,...v de Ia . 198 Supongamos ahora que mientras las sucesivas a-definiciones Di (Ia ) se pueden llevar a cabo, se llevan a cabo. Una vez realizadas todas las posibles a-definiciones Di (Ia ), el a-intervalo Ia seguir´a siendo un a-intervalo, y uno que ha sido a-definido un cierto n´ umero de veces. De lo contrario tendr´ıamos que aceptar que la ejecuci´on de una sucesi´on infinita de definiciones tiene consecuencias arbitrarias e inesperadas sobre el objeto definido, y lo mismo cabr´ıa esperar en cualquier otra definici´on, procedimiento o prueba formada por un n´ umero infinito de pasos sucesivos, lo que

Discusi´ on —— 73

invalidar´ıa a todas las matem´ aticas infinitistas. Por consiguiente, una vez completadas todas las posibles a-definiciones del a-intervalo Ia , y por indeterminable que pueda ser su extremo derecho, Ia ser´ a un cierto a-intervalo (a, x). Y eso es todo lo que necesitamos saber para proseguir nuestro argumento. 199 Sea c un elemento cualquiera de Ia = (a, x). Obviamente c es un n´ umero racional, pero no puede ser un elemento de la sucesi´on hqn i. En efecto, supongamos que c es un cierto elemento qv de hqn i. Puesto que qv ∈ (a, x), esto implicar´ıa que Dv (Ia ) no se ha llevado a cabo porque Dv (Ia ) habr´ıa a-redefinido a Ia como (a, qv ) y entonces ser´ıa imposible qv ∈ (a, x), porque (a, x) es un subintervalo de (a, qv ). Pero, por otra parte, v es un n´ umero natural, y de acuerdo con 197, las primeras v adefiniciones D1,2,...v (Ia ) se han llevado a cabo. Esto prueba la falsedad de nuestra hip´ otesis inicial sobre c, en consecuencia c no es un elemento de hqn i. El problema es que, siendo Q numerable, hqn i contiene a todos los n´ umeros racionales. Hemos de concluir, pues, que hqn i contiene y no contiene a todos los n´ umeros racionales.

´n Discusio 200 Los Beitr¨ age (’Contributions’)1 , de Cantor publicados en 1895 (Parte I, [36]) y 1897 (Paret II, [37]) contienen los fundamentos de la teor´ıa de los cardinales y ordinales transfinitos. El ep´ıgrafe 6 del primer art´ıculo empieza asumiendo la existencia del conjunto de todos los cardinales finitos como una totalidad completa (aunque m´ as que como una hip´ otesis es introducida como un ejemplo de ’conjunto transfinito’ cuya existencia como una totalidad completa Cantor dio por sentada). Esta hip´ otesis impl´ıcita (equivalente al moderno Axioma del Infinito) es la u ´nica hip´ otesis en la teor´ıa de Cantor de los n´ umeros transfinitos. A partir de ella, Cantor dedujo la existencia de sucesiones crecientes de ordinales transfinitos (Teoremas §15 A-K) y cardinales transfinitos (Teoremas §16 D-F). La consistencia de la teor´ıa de Cantor descansa, pues, en la consistencia de esa u ´nica hip´ otesis fundacional. 201 En el a˜ no 1874 Cantor demostr´o por primera vez que el conjunto de los n´ umeros reales no es numerable [31], [32], [43]. Dos de las tres alternativas finales de la prueba de Cantor se pueden aplicar tambi´en al conjunto de los n´ umeros racionales. En consecuencia, es necesario demostrar que esas alternativas nunca son satisfechas por el conjunto de los n´ umeros raciones. 1 Traducci´ on

inglesa [39].

74 —— Intervalos racionales

En otro caso ese conjunto ser´ıa y no ser´ıa numerable- Hasta ahora, y hasta donde yo s´e, este problema ni siquiera ha sido planteado. 202 En el a˜ no 1891 Cantor demostr´o por segunda vez que el conjunto de los n´ umeros reales no es numerable, ahora con su famoso m´etodo de la diagonal, un impecable Modus Tollens [35]. La antidiagonal de Cantor es un n´ umero real del intervalo (0, 1), y siendo real ser´ a racional o irracional. Si fuera racional tendr´ıamos el mismo problema que con su argumento de 1874. Por tanto, se deber´ıa demostrar formalmente que ninguna permutaci´on de las ℵo filas de la tabla de Cantor origina una diagonal racional (las antidiagonales racionales se deducen inmediatamente de las diagonales racionales). 203 El referido argumento de Cantor de 1874 empieza demostrando que el conjunto de los n´ umeros algebraicos (y por tanto el conjunto des los n´ umeros racionales) es numerable. Algunos a˜ nos despu´es, en 1885, Cantor public´o un corolario inmediato de ese resultado: las particiones no numerables de la recta real son imposibles, por la u ´nica raz´ on de que si fueran posibles entonces el conjunto de los n´ umeros racionales ser´ıa no numerable [34]. Por consiguiente, y como en los argumentos de Cantor de 1874 y 1891, y por las mismas razones, deber´ıamos demostrar la imposibilidad de las particiones no contables de la recta real mediante un argumento independiente del corolario de Cantor. 204 En conclusi´on, y para asegurar que la teor´ıa de conjuntos est´ a libre de inconsistencias relacionadas con la cardinalidad del conjunto de los n´ umeros racionales, los argumentos de Cantor de 1784, 1885 y 1891 deber´ıa ser completados en el sentido indicado en 201-203. 205 Por otra parte los argumentos anteriores sobre intervalos racionales demuestran dos contradicciones relacionadas con la cardinalidad del conjunto de los n´ umeros racionales, lo que u ´nicamente puede significar que ese conjunto es y no es numerable. Si ese fuera el caso, y de acuerdo con 200, la supuesta existencia de los conjuntos infinitos como totalidades completas ser´ıa inconsistente, simplemente porque esa hip´ otesis es la u ´nica hip´ otesis de la teor´ıa de los n´ umeros transfinitos.

12.-Particiones no contables

´n Introduccio 206 El argumento de Cantor de 1874 y el argumento de la diagonal del mismo autor demostraron que el conjunto de los n´ umeros reales no es numerable. Aunque el argumento de la diagonal ha recibido varias cr´ıticas, creo que ambos argumentos est´ an bien fundados y de hecho prueban que el conjunto de los n´ umeros reales no puede ser numerable. Ambos argumentos, sin embargo, tambi´en podr´ıan aplicarse al conjunto de los n´ umeros racionales, el primero de ellos con ciertas limitaciones. 207 Obviamente, si fuera posible aplicar alguno de esos argumentos al conjunto Q de los n´ umeros racionales, estar´ıamos frente a una contradicci´ on fundamental: ese conjunto ser´ıa y no ser´ıa numerable. Y la causa de esta contradicci´ on s´ olo podr´ıa ser la hip´ otesis del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito. 208 Por consiguiente, el Axioma del infinito estar´ a en cuesti´ on hasta que se pruebe la imposibilidad de satisfacer los requisitos de ambos argumentos de Cantor para que puedan ser aplicados al conjunto de los n´ umeros racionales. Y esto es un hecho, no una hip´ otesis m´ as o menos discutible. Durante m´ as de un siglo nadie haya hecho notar que, en efecto, ser´ a necesario demostrar esa imposibilidad para garantizar la consistencia del Axioma del Infinito. Lo que tambi´en es un hecho. Y uno realmente chocante, teniendo en cuenta el elevado n´ umero de personas que han estudiado ambos argumentos, particularmente el argumento de la diagonal. 209 Como veremos en este cap´ıtulo, existe un tercer argumento de Cantor [34] relacionado con la cardinalidad del conjunto Q de los n´ umeros racionales, y que tambi´en podr´ıa utilizarse para poner a prueba la consistencia de la hip´ otesis de infinito actual.

La prueba de Cantor de 1885 210 Para resumir el argumento de Cantor de 1885 sobre la existencia de particiones no contables, supongamos que la recta real se divide en una 75

76 —— Particiones no contables

sucesi´on no contable Pα de intervalos adyacentes: (xa , ya ](xb , yb ](xc , yc ] . . . ,

(1)

xb = y a , xc = y b , . . .

(2)

Siendo cada (xα , yα ] un intervalo real, contiene infinitos n´ umeros racionales. Y siendo: (xp , yp ] ∩ (xu , yu ] = ∅, para todo par de intervalos de Pα

(3)

podr´ıamos seleccionar un n´ umero racional qh dentro de cada intervalo (xh , yh ] de la partici´ on Pα y finalmente tendr´ıamos un conjunto no numerable de diferentes n´ umeros racionales, lo cual es imposible porque el conjunto de n´ umeros racionales es numerable. 211 Como acabamos de ver, la prueba de Cantor de 1885 se basa en un resultado infinitista anterior, a saber, que el conjunto Q de los n´ umeros racionales es numerable, un resultado que hab´ıa sido previamente probado por el mismo Cantor [31]. Por lo tanto, la prueba de Cantor de 1885 no es una prueba independiente en el sentido de que no demuestra la imposibilidad de definir una partici´ on no-contable en la recta real, simplemente manifiesta que esa partici´ on entrar´ıa en conflicto con la cardinalidad numerable de los n´ umeros racionales. Por consiguiente, si fuera posible definir una partici´ on no-contable en la recta real estar´ıamos ante una contradicci´on fundamental que implica de nuevo la cardinalidad de Q, y por tanto la consistencia de la hip´ otesis del infinito actual de la cual se deriva esa conclusi´on. 212 As´ı, por tercera vez, nos enfrentamos a un hecho sorprendente: ¿c´omo es posible que durante m´ as de un siglo nadie haya tratado de definir una partici´ on no numerable en la recta real, o de demostrar la imposibilidad de tal partici´ on? Como el lector podr´ a imaginar, en la siguiente secci´ on trataremos de definir una tal partici´ on.

Particiones en la recta real 213 El Conjunto Ternario de Cantor (tambi´en conocido como Polvo de Cantor) es un objeto matem´ atico bien conocido que solemos descubrir en los cursos introductorios de c´ alculo, an´ alisis matem´ atico o geometr´ıa fractal [123]. La definici´on del Conjunto Ternario de Cantor es un ejemplo apropiado de procedimiento infinitista de infinitos pasos sucesivos que, adem´ as, se asemeja al procedimiento H (v´ease 217) que ser´ a usado en el siguiente argumento. Como veremos, H permite definir una partici´ on en la recta real con la u ´nica ayuda de los elementos del intervalo real (0, 1).

Particiones en la recta real —— 77

Figura 12.1: Los primeros cinco pasos de la sucesi´on infinita de pasos que definen el conjunto ternario de Cantor.

214 Pero recordemos ahora como se define el Conjunto Ternario de Cantor. Considere el intervalo real cerrado [0, 1]. Si eliminamos el tercio central abierto (1/3, 2/3) de este intervalo tendremos dos intervalos cerrados: [0, 1/3], [2/3, 1]

(4)

Si eliminamos el tercio central abierto de cada uno de estos intervalos, (1/9, 2/9) y (7/9, 8/9), obtendremos cuatro intervalos cerrados [0, 1/9], [2/9, 1/3], [2/3, 7/9], [8/9, 1]

(5)

Si ahora quitamos el tercio central abierto de cada uno de estos intervalos se obtienen ocho intervalos cerrados, cuyos tercios centrales abiertos pueden de nuevo ser eliminados, y as´ı sucesivamente. Al seguir este procedimiento ad infinitum definiremos el Conjunto Ternario de Cantor (Figura 12.1). 215 Antes de empezar nuestra discusi´on, parece conveniente recordar que el procedimiento anterior de infinitos pasos sucesivos es considerado como una totalidad completa de pasos cuyo resultado final es un conjunto completamente definido: el conjunto ternario de Cantor. 216 En el siguiente argumento, y para evitar discusiones innecesarias, usaremos la notaci´ on matem´ atica est´ andar en lugar de la notaci´ on inform´atica, aunque esta u ´ltima ser´ıa m´ as simple. Consideremos dos conjuntos id´enticos A = B = (0, 1) de n´ umeros reales, y dos conjuntos id´enticos de ´ındices I y J cuyos elementos ser´ an referidos como a, b, c, d, e,. . . y cuya cardinalidad es 2ℵo . Siendo (0, 1) e I de la misma cardinalidad, los elementos de (0, 1) se pueden indexar como ra , rb , rc , rd ,. . . Consideremos tambi´en las variables reales u e v inicialmente definidas como u = v = 0. 217 Definimos ahora el siguiente procedimiento H que consiste en repetir el mismo paso condicional hasta que la condici´ on sea satisfecha:

78 —— Particiones no contables

Paso: Si A = ∅, o I = ∅ fin del procedimiento. Si no: ⌈ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ⌊

Elegir como α cualquier elemento de J I = J − {α} J =I Elegir como rα cualquier elemento de B A = B − {rα } B=A Si u + rα ∈ / R fin del procedimiento. Si no: v = u + rα (xα , yα ] = (u, v] Pα = {(xα , yα ]} u=v

Siguiente paso 218 Cada paso de H consiste en eliminar un ´ındice cualquiera α de I (haciendo uso del conjunto intermediario J) que servir´ a para indexar y eliminar del conjunto A (haciendo uso del conjunto intermediario B) uno cualquiera de sus elementos rα , que se utilizar´ a despu´es para definir un nuevo intervalo real (xα , yα ] disjunto y adyacente al intervalo previamente definido, siempre que no sea el primer intervalo definido. Este nuevo intervalo define el conjunto Pα , cuyo u ´nico elemento es ese intervalo. Puesto que la suma de dos n´ umeros reales, como u + rα , es un n´ umero real, el procedimiento H vac´ıa completamente los conjuntos I, J, A y B. 219 Definimos ahora la siguiente partici´ on P en la recta real: [ [ Pα = {(xα , yα ]} = {(xa , ya ], (xb , yb ], (xc , yc ], (xd , yd ], . . . } P = α

(6)

α

cuyos elementos son intervalos reales adyacentes y disjuntos puesto que xb = ya , xc = yb , xd = yc . . . . Por tanto: (xh , yh ] ∩ (xs , ys ] = ∅, ∀h, s ∈ I; h 6= s

(7)

(xh , yh ] ∪ (xi , yi ] = (xh yi ]

(8)

siendo (xh , yh ] y (xi , yi ] adyacentes y disjuntos. De acuerdo con su defi-

Particiones en la recta real —— 79

nici´ on, y teniendo en cuenta que cada elemento de (0, 1) es diferente de cualquier otro, los intervalos de la partici´ on P tambi´en satisfacen::    yh − xh = rh ∈ (0, 1) (9) ∀(xh , yh ], (xs , ys ] ∈ P ys − xs = rs ∈ (0, 1)   r 6= r h

s

lo que, por otro lado, significa que cada intervalo de la partici´ on P tiene una longitud diferente, mayor que cero.

rf

rc

rb rg

rd

0

re 1

...

xa

xb xc qa qb qc

xd

xe xf xg ...

qd qe qf qg ...

Figura 12.2: Cada intervalo real (xh , yh ] de P tiene una longitud diferente yh − xh definida por un elemento diferente rh de (0, 1). Eligiendo un n´ umero racional qh en cada intervalo (xh , yh ] obtendremos un conjunto de n´ umeros racionales de la misma cardinalidad que P , y por tanto que (0, 1).

220 Cada intervalo (xh , yh ] de P define un n´ umero real yh −xh = rh dentro del intervalo real (0, 1), que es precisamente el n´ umero real rh usado para definir (xh , yh ] y solo (xh , yh ], porque rh es eliminado de A una vez definido (xh , yh ]. As´ı, es inmediato definir una biyecci´on entre P y (0, 1). En efecto, consid´erese la correspondencia f : f : P ↔ (0, 1) f ((xh , yh )) = yh − xh = rh

(10) (11)

Puesto que, de acuerdo con la definici´on 217, cada yp − xp es un elemento diferente de (0, 1), y teniendo en cuenta (9), la correspondencia f es una funci´on inyectiva. Tambi´en es exhaustiva, en caso contrario habr´ıamos encontrado dos n´ umeros reales u y rα (v´ease la definici´on anterior del procedimiento H) cuya suma no es un n´ umero real, lo que es imposible porque el cuerpo de los n´ umeros reales es cerrado respecto a la suma. Por consiguiente f es una correspondencia uno a uno (biyecci´on). Por lo tanto la partici´ on P y el intervalo real (0, 1) tienen la misma cardinalidad: 2ℵo .

80 —— Particiones no contables

221 Ahora, siguiendo la sugerencia de Cantor, s´ olo tendr´ıamos que elegir un n´ umero racional qh cualquiera dentro de cada intervalo1 (xh , yh ] de la partici´ on P y tendr´ıamos un conjunto no numerable de n´ umeros racionales{qa , qb , qc ,. . . }. En consecuencia, y teniendo en cuenta que se ha demostrado tambi´en que el conjunto de los n´ umeros racionales Q es numerable, tendr´ıamos una nueva contradicci´ on relacionada con la cardinalidad de Q. 222 Por tercera vez, al completar un argumento incompleto de Cantor, hemos encontrado una contradicci´ on fundamental que implica a la cardinalidad del conjunto Q de los n´ umeros racionales. Como en los casos anteriores, esta nueva contradicci´ on apunta hacia inconsistencia de la hip´ otesis del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito. Es de hecho este axioma el que hace leg´ıtima la existencia de los conjuntos infinitos como totalidades completas y, por tanto, la completitud de los procedimientos de infinitos pasos, como el definido en 217, del que deriva la contradicci´ on. 223 Evidentemente, la afirmaci´on de que en realidad es imposible completar en t´erminos f´ısicos cualquier procedimiento infinito, como el procedimiento anterior H, no tiene ning´ un efecto sobre el argumento, sobre todo por las dos razones siguientes: 1.- Como la mayor´ıa de los argumentos infinitistas, el argumento 216221 tambi´en es una discusi´on conceptual no relacionada con el mundo f´ısico. La consistencia formal de la hip´ otesis de infinito actual no depende de las posibilidades reales de llevar a cabo tal o cual procedimiento, sino de la existencia de contradicciones formalmente derivadas de esa hip´ otesis. Los resultados contradictorios en los sistemas formales dependen exclusivamente de la consistencia formal de sus supuestos fundacionales, independientemente de las posibilidades de llevar f´ısicamente a cabo los finitos o infinitos pasos involucrados en los correspondientes argumentos. 2.- Las matem´ aticas infinitistas dan por sentada la compleci´ on de todas las definiciones y procedimientos consistentes en una infinidad de pasos y consideran los objetos resultantes como totalidades infinitas completas, como en el ejemplo introductorio del conjunto ternario de Cantor. El argumento 216-221 no puede ser una excepci´on.

1 Cada

intervalo real contiene un subconjunto infinito y densamente ordenado de n´ umeros racionales.

13.-Cajas y conjuntos

´n Introduccio 224 Desde el punto de vista plat´ onico (la perspectiva dominante en las matem´ aticas contempor´ aneas), todos los intentos de definir el concepto de conjunto han sido circulares, de modo que ahora se considera una noci´on primitiva, es decir, un concepto que no puede ser definido en t´erminos de otros conceptos m´ as b´ asicos. 225 Desde un punto de vista no plat´ onico, sin embargo, es posible definir la noci´on de conjunto como una elaboraci´ on mental. Por ejemplo, Charles Dogson (m´ as conocido como Lewis Carroll) propuso el siguiente concepto [44, p. 31]: La clasificaci´ on, o la formaci´ on de clases, es un proceso mental, en el que imaginamos que hemos reunido, en un grupo, ciertas cosas. Ese grupo se llama una clase. La definici´on de Carroll conduce inmediatamente a la siguiente: Un conjunto es un objeto te´ orico que resulta de la agrupaci´ on mental de elementos arbitrarios previamente definidos. Puede demostrarse que esta definici´on no es compatible con la autorreferencia, una fuente de inconsistencias en la teor´ıa primitiva (cantoriana) de conjuntos. Pero este tipo de definiciones no plat´ onicas son absolutamente desconocidos en las matem´ aticas contempor´ anea. Introduciremos algunas de ellas en el Ap´endice B.

Vaciando cajas y conjuntos 226 Consideremos una caja BX que contiene una colecci´on ω−ordenada de bolas etiquetados como b1 , b2 , b3 , . . . Y consideremos tambi´en un conjunto ω−ordenado B cuyos elementos son tambi´en una colecci´on numerable de bolas etiquetadas como b1 , b2 , b3 ,. . . : B = {b1 , b2 , b3 . . . } 81

(1)

82 —— Cajas y conjuntos

227 A partir de B definimos la siguiente sucesi´on ω−ordenada hBn i de conjuntos:  B1 = B − {b1 } (2) B = B i i−1 − {bi }, i = 2, 3, 4, . . .

hBn i es, por tanto, la sucesi´on de conjuntos anidados: B1 ⊃ B2 ⊃ B3 ⊃ . . .

(3)

cada uno de cuyos miembros Bn = {bn+1 , bn+2 , bn+3 , . . . } es un conjunto numerable. 228 Sea ahora [ta , tb ] un intervalo finito cualquiera de tiempo y htn i una sucesi´on ω−ordenada y estrictamente creciente de instantes en [ta , tb ], cuyo l´ımite es tb . Supongamos que en cada instante ti de htn i se retira de la caja BX la bola bi . Sea BX(ti ) el estado de la caja (la colecci´on restante de bolas dentro de la caja) en el instant´ anea ti , una vez retirada la bola bi . La extracci´on de las sucesivas bolas se puede expresar de una forma semejante a (2:)  BX(t1 ) = BX(ta ) − b1 (4) BX(t ) = BX(t ) − b , i = 2, 3, 4, . . . i

i−1

i

229 La biyecci´ on f (ti ) = bi demuestra que en el instante tb se habr´an retirado todas las bolas de la caja y BX estar´ a vac´ıa. Comparando (2) con (4) tendremos: BX(ti ) = Bi , ∀i ∈ N (5) 230 Existe, sin embargo, una diferencia fundamental entre la sucesi´on de conjuntos hBn i y la sucesi´on de estados hBX(ti )i: en cada una de las sucesivas sustracciones de bolas (4) la caja BX es siempre es la misma caja BX, mientras que los conjuntos definidos por cada una de las sucesivas sustracciones de bolas (2) son todos ellos diferentes. Como consecuencia tendremos una caja final vac´ıa pero no un conjunto final vac´ıo. ¿C´omo es esto posible? ¿D´ onde se rompe la simetr´ıa? Abordaremos este problema en el Cap´ıtulo 19. 231 Mientras tanto, n´ otese que en cada instante t de [ta , tb ) la caja contiene ℵo bolas, y que en el instante tb est´ a vac´ıa. Veamos que as´ı es, puesto que tb es el l´ımite de la sucesi´on htn i, tendremos: ∀t ∈ [ta , tb ) : ∃v : tv ≤ t < tv+1

(6)

y entonces en el instante t solo se han retirado de la caja las primera v

Capturando una falacia —— 83

bolas b1 , b2 , . . . bv , de modo que en el instante t la caja BX a´ un contiene un n´ umero infinito de bolas bv+1 , bv+2 , bv+3 ,. . . As´ı pues, en todo instante t de (ta , tb ) la caja contiene ℵo bolas. En estas condiciones, la u ´nica forma de que la caja quede vac´ıa en el instante tb ser´ıa retirando simult´ aneamente un n´ umero infinito de bolas en el preciso instante tb . ¿C´omo es esto posible si en el instante tb ya no se retira ninguna bola de la caja? ¿C´omo es posible si las bolas se retiran una a una y con un intervalo de tiempo mayor que cero entre cada dos sucesivas extracciones? ¿C´omo es posible que en esas condiciones la caja nunca contenga . . . 5, 4, 3, 2, 1, 0 bolas? 232 Aunque no es muy habitual, es absolutamente leg´ıtimo redefinir un conjunto cualquier n´ umero finito o infinito de veces. Ninguna ley de la l´ogica ni axioma fundamental de la teor´ıa de conjuntos se viola por la redefinici´on de un conjunto, de la misma forma que no se violan cuando se redefine una variable. As´ı pues, consideremos la siguiente sucesi´on de redefiniciones de los conjuntos de X e Y , a partir de la sucesi´on hBn i: ( X = Bi i = 1, 2, 3 . . . (7) Y = B2 Mientras que la sucesi´on de redefiniciones del conjunto Y no plantea ning´ un problema, y finalmente tendremos Y = B2 , las sucesivas redefiniciones del conjunto X plantea el siguiente problema: las redefiniciones 7 s´ olo pueden 1 dejar a X definido como el conjunto vac´ıo, mientras que ninguno de sus infinitas redefiniciones lo define como el conjunto vac´ıo, ya que todos los conjuntos Bi son numerables. 233 En el cap´ıtulo siguiente tendremos la oportunidad de analizar otro conflicto m´ as serio relacionado con una sucesi´on (finita o infinita) de redefiniciones de un conjunto.

Capturando una falacia 234 En el siguiente argumento conceptual haremos uso de la misma caja BX con la misma colecci´ on de bolas etiquetadas hbn i. Aunque la caja estar´ a provista de siguiente: Mecanismo de cierre 234.-Un sensor de masa es regulado de forma que cerrar´a autom´ aticamente la caja si contiene k bolas, siendo k un n´ umero natural aleatoriamente elegido por el mecanismo de cierre una vez encendido. 1 De

lo contrario s´ olo un n´ umero finito de definiciones se habr´ıan realizado, porque cualquier elemento bn perteneciente a X estar´ıa demostrando que la n-´esima redefinici´ on (que define a X como {bn+1 , bn+2 , bn+3 , . . . }) no se habr´ıa efectuado.

84 —— Cajas y conjuntos

Haremos tambi´en uso de la misma sucesi´on de instantes htn i y supondremos que el mecanismo de cierre se activa antes de t1 . 1

2

t1

t?

3

b1

BX

BX

BX

Figura 13.1: 1.-Extracci´on de bolas de la caja BX. 1.-La caja BX y su cierre autom´atico en el preciso instante t1 de extraer la primera bola b1 . 2.-La caja se cierra de forma autom´ atica cuando contiene k bolas. 3.-La caja no se cierra y est´ a vac´ıa en el instante tb porque todas sus bolas se extrajeron simult´ aneamente.

235 Supongamos ahora que, mientras la caja est´ a abierta, en cada preciso instante ti de htn i se extrae de la caja la bola bi . Es destacable de esta forma de retirar las bolas, que entre la extracci´on de la cada bola bi y la extracci´on de la bola siguiente bi+1 siempre pasa un tiempo mayor que cero (ti+1 − ti ). As´ı pues, la extracci´on de las bolas se realiza de una en una, una despu´es de la otra y con un intervalo no nulo de tiempo entre cada dos extracciones sucesivas. 236 Si el mecanismo de cierre 234 funciona como tiene que funcionar entonces, y teniendo en cuenta que las bolas son extra´ıdas una a una, y con un intervalo de tiempo no nulo entre cada dos extracciones sucesivas, en el instante tb la caja BX solo puede estar cerrada con un cierto n´ umero k de bolas en su interior. A pesar de ello, analizaremos tambi´en la posibilidad de que en el instante tb la caja est´e vac´ıa y abierta. 237 Analicemos en primer lugar el caso en el que la caja BX est´ a cerrada en el instante tb . Esta alternativa es posible solo si la caja contiene un n´ umero finito k de bolas, pero esta conclusi´on plantea los siguientes problemas: a) Teniendo en cuenta la forma ω−ordenada en la que las bolas han sido sucesivamente extra´ıdas una a una (b1 , b2 , b3 , . . . ), las k bolas que quedan en la caja solo podr´ıan ser las imposibles u ´ltimas k bolas de una colecci´ on ω−ordenada de bolas etiquetadas hbn i. b) La caja BX tuvo que cerrarse en un instante t∗ anterior a tb porque en tb todas las bolas habr´ıan sido extra´ıdas (como probar´ıa la biyecci´ on f (ti ) = bi ).

Magia infinitista —— 85

c) Siendo tb el l´ımite de la sucesi´on ω−ordenada htn i, existe un n´ umero natural v tal que tv ≤ t∗ < tv+1 . Por tanto en el instante t∗ solo se han retirado de la caja un n´ umero v de bolas y quedan por retirar un n´ umero infinito de ellas. d) Es imposible por tanto que en el instante tb la caja BX est´e cerrada con un n´ umero finito de bolas. 238 Supongamos ahora que en el instante tb la caja est´ a vac´ıa y abierta. Teniendo en cuenta que el n´ umero k utilizado por el mecanismo de cierre para determinar cuando se debe cerrar la caja puede ser cualquier n´ umero natural, esta alternativa s´ olo es posible si la caja nunca contiene un n´ umero k de bolas para cualquier k en N. Ahora bien, el menor cardinal mayor que todos los cardinales finitos es ℵo , que es tambi´en el cardinal de la colecci´on de bolas; y el menor ordinal infinito mayor que todo los ordinales finito es ω , precisamente el ordinal de la sucesi´on ω−ordered de bolas hbn i. Por lo tanto, esta alternativa s´ olo puede ocurrir si un n´ umero infinito de bolas se retiran simult´ aneamente de la caja, lo que va en contra del hecho de que todas las bolas han sido sucesivamente extra´ıdas, una a una y con un intervalo no nulo de tiempo entre dos extracciones sucesivas cualesquiera. 239 El argumento 234-238 parece poner en cuesti´ on la consistencia de la hip´ otesis del infinito actual de la que se puede inferir que las sucesiones o listas ω−ordenadas existen como totalidades completas a pesar de que ning´ un u ´ltimo elemento completa la lista.

Magia infinitista 240 Consideremos de nuevo la colecci´on de bolas etiquetadas hbn i y, en el lugar de la caja BX, un cilindro hueco AB capaz de contener todas las bolas de la colecci´ on hbn i. El hueco del cilindro y las bolas, todas ellas id´enticas, tienen el mismo di´ ametro. Ahora supongamos que en cada uno de los sucesivos instantes ti de htn i cada una de las sucesivas bolas bi se introduce en AB a trav´es es extremo izquierdo A, como se muestra en la Figura 13.2.

A

...

B

b3 b2 b1 Figura 13.2: Cada una de las sucesivas bolas bi de hbn i ser´a sucesivamente introducida en el interior del cilindro AB.

86 —— Cajas y conjuntos

241 En el instante tb la colecci´ on completa de bolas hbn i se habr´a introducido en el interior del cilindro AB, como demuestra la correspondencia uno a uno f (ti ) = bi . 242 Supongamos ahora que, una vez completada la supertarea anterior, el extremo izquierdo A del cilindro se eleva con respecto a su extremo derecho B. El cilindro se inclinar´a de tal manera que todas las bolas bi de hbn i pueden rodar libremente en la direcci´ on de A hacia B. Como era de esperar, en estas condiciones las sucesivas bolas bi de hbn i abandonar´an sucesivamente el cilindro a trav´es de su extremo derecho B (Figura 13.3 arriba). A B b3 b b 2 1

B A

? Figura 13.3: Al inclinar el cilindro en un sentido las sucesivas bolas bi ir´an abandonando el cilindro a trav´ es de su extremo derecho B (arriba). Pero, ¿qu´ e pasar´ a si inclinamos el cilindro en el sentido contrario? (abajo)

243 Si, por el contrario, es el extremo derecho B del cilindro el que se elevada con respecto a su extremo izquierdo A, las bolas en el interior del cilindro rodar´ an libremente en la direcci´ on de B hacia A. Como en 242, una primera bola saldr´a del cilindro. Pero cualquiera que sea esta bola, ser´ a una bola etiquetada bv , lo que demostrar´ıa que solo se introdujeron en el cilindro un n´ umero finito v de bolas. La alternativa es que ning´ un bola sale del cilindro, en ese caso todas las bolas que se introdujeron habr´ıan desaparecido m´ agicamente. El problema es que la magia no pertenece a las ciencias formales (Figure 13.3 abajo). 244 El cilindro y las bolas etiquetadas hbn i conducen a otros conflictos infinitistas. Por ejemplo, si introducimos una varilla r´ıgida por su extremo izquierdo atravesar´ıamos el cilindro sin golpear ninguna bola, en caso contrario habr´ıamos golpeado la (imposible) u ´ltima bola de una colecci´on ω−ordenada de bolas.

14.-Una fuente irracional de n´ umeros racionales

´ meros n-expofactoriales Nu 245 En este cap´ıtulo se introducen los n´ umeros expofactoriales y n-expofactoriales, as´ı como el m´etodo de las sucesivas expansiones decimales, con el que resulta posible definir un n´ umero racional diferente a partir de la expansi´ on decimal infinita de cada n´ umero irracional del intervalo (0, 1). Evidentemente, esta conclusi´on contradice otros resultados bien conocidos sobre la cardinalidad del conjunto Q de los n´ umeros racionales. 246 Aunque el m´etodo de las sucesivas expansiones decimales que usaremos en la secci´ on siguiente funciona con cualquier n´ umero natural, elegiremos n´ umeros naturales inimaginablemente grandes: los n´ umeros nexpofactoriales que definiremos inmediatamente en 249. 247 El expofactorial1 de un n´ umero natural n, escrito n! (n´ otese que el s´ımbolo factorial ’ !’ aparece como super´ındice), es el factorial n! elevado a una torre de exponentes de orden n! del mismo exponente n!: n! (.n!. .) n! n! n! = n! O en la notaci´ on de Knuth’s: n! = n! ↑↑ n!

(1)

248 Estos n´ umeros crecen tan deprisa que mientras el expofactorial de 2 (en s´ımbolos 2! ) es 16, el expofactorial de 3 (en s´ımbolos 3! ) es pr´ acticamente incalculable incluso con la ayuda de los ordenadores m´ as potentes. 1 La

primera vez que consider´e este tipo de n´ umeros ignoraba que ya hab´ıan sido definidos por C. A. Pickover ([148] citado en [199]) con el nombre de superfactoriales y el s´ımbolo n$, elQ mismo nombre y los mismos s´ımbolos usados por Sloane y Plouffe para definir n$ = n e mi notaci´ on y nombre original. k=1 k! [199]. Dicho lo cual, mantendr´

87

88 —— Una fuente irracional de n´ umeros racionales

Los dos primeros pasos en el c´ alculo de 3! ser´ıan 66 66

66

!

646656 66

= 66

3 =6

26591197721532267796824894043879... 66

= 66

donde el exponente incompleto del u ´ltimo t´ermino de la parte derecha tiene nada menos que 36306 cifras (unas diez p´ aginas de texto est´ andar como este). Y a´ un quedan cuatro pasos para terminar el c´alculo. En efecto, el expofactorial de cualquier n´ umero natural mayor que 2 es tan inmenso que posiblemente nunca ser´ a calculado con exactitud (no se trata de una anodina potencia de diez sino de una precisa sucesi´on de cifras diferentes). 249 Los expofactoriales son insignificantes comparados con los n-expofactoriales, recursivamente definidos a partir de los expofactoriales de la siguiente forma: el 2-expofactorial de un n´ umero natural n, escrito n ! 2 , es el expofactorial n! elevado a una torre de potencias de orden n! del mismo exponente n! ; el 3-expofactorial de n, escrito n ! 3 , es el 2-expofactorial de n elevado a una torre de potencias de orden n ! 2 del mismo exponente n ! 2 ; el 4-expofactorial de n, escrito n ! 4 , es el 3-expofactorial de n elevado a una torre de potencias de orden n ! 3 del mismo exponente n ! 3 ; y as´ı sucesivamente: n! (.n. .)

n! 2 (.n. .)

!

n! n

!2

=n

!

n! 3 (.n. .)

!2

!3

n! 2 n

!3

=n

n! 3

!2

n

!4

=n

!3

...

O en la notaci´ on de Knuth’s: n!2 = n! ↑↑ n! !3

!2

(2) !2

(3)

n!4 = n!3 ↑↑ n!3

(4)

n = n ↑↑ n !5

!4

n = n ↑↑ n

!4

(5)

... La enormidad de, por ejemplo, 9 ! 9 (9-expofactorial de 9) queda muy lejos del alcance de la imaginaci´ on humana. Tres s´ımbolos de la aritm´etica !9 est´ andar, 9 , es todo lo que necesitamos para definir un n´ umero finito tan inmenso que la expresi´ on escrita de su secuencia precisa de cifras requerir´ıa un volumen de papel trillones y trillones de veces mayor que el volumen de todo el universo visible. Usando el sistema de numeraci´on hexadecimal, el n´ umero F ! F ser´ıa inconcebiblemente mayor.

Una fuente irracional de n´ umeros racionales —— 89

250 En la discusi´on que sigue se har´ a uso del 9-expofactorial de 9. Por sencillez, lo denotaremos con la letra ’h’ (por ’huge’ inmenso en ingl´es). Por tanto, en lo que sigue h estar´ a representando a 9 ! 9 .

´ meros racionales Una fuente irracional de nu 251 Los n´ umeros reales del intervalo (0, 1) con una expansi´ on decimal infinita se definen aritm´eticamente como: r = 0.d1 d2 d3 . . . = d1 × 10−1 + d2 × 10−2 + d3 × 10−3 + . . .

(6) (7)

donde la sucesi´on de d´ıgitos decimales d1 d2 d3 . . . es ω−ordenada, como el conjunto N de los n´ umeros naturales en su orden natural de precedencia 1, 2, 3, . . . 252 De acuerdo con la hip´ otesis del infinito actual, subsumida en el Axioma del Infinito, la expresi´ on decimal infinita 0.d1 d2 d3 . . . de cualquier n´ umero real en el intervalo (0, 1) existe como una totalidad completa y ω−ordenada: tiene siempre una primera cifra decimal (decimal de ahora en adelante), d1 , y cada decimal dn (excepto d1 ) tiene un predecesor inmediato dn−1 y un sucesor inmediato dn+1 , de modo que no existe un u ´ltimo decimal, y donde predecesor (sucesor) inmediato significa que entre dos decimales sucesivos cualesquiera no existe ning´ un otro decimal. Puesto que el argumento que sigue solo trata con infinitos ω−ordenados, a partir de ahora nos referiremos a ellos simplemente como infinitos. 253 Un punto destacable es que ω, el ordinal de las sucesiones ω-ordenadas, es el menor de los ordinales infinitos. Por tanto, si r y s son dos n´ umeros reales del intervalo (0, 1) que coinciden en sus primeras ω sucesivas cifras decimales, entonces ambos n´ umeros son id´enticos. Por el contrario, y teniendo en cuenta que entre cualquier ordinal finito y ω solo existen otros ordinales finitos, si r y s son diferentes entonces solo pueden coincidir en un n´ umero finito de sus primeras cifras decimales sucesivas. 254 Sea N el conjunto de los n´ umeros naturales, h el 9-expofactorial de 9 (en s´ımbolos 9 ! 9 ), y mα un elemento cualquiera del conjunto MI de los n´ umeros irracionales del intervalo (0, 1). La expansi´ on decimal de mα : mα = 0.d1 d2 d3 . . .

(8)

define la siguiente sucesi´on ω-ordenada hqα,nh i de n´ umeros racionales: qα,h = 0.d1 d2 . . . dh qα,2h = 0.d1 d2 . . . dh dh+1 . . . d2h

(9) (10)

90 —— Una fuente irracional de n´ umeros racionales

qα,3h = 0.d1 d2 . . . dh dh+1 . . . d2h d2h+1 . . . d3h ... qα,nh = 0.d1 d2 . . . dh dh+1 . . . d2h d2h+1 . . . d3h d3h+1 . . . dnh

(11) (12)

... siendo qα,nh (para todo n en N) el n´ umero racional del intervalo (0, 1) cuya expansi´ on decimal finita 0.d1 d2 . . . dnh coincide con las nh primeras cifras decimales de mα . Por esta raz´ on, mα ser´ a considerado como la fuente de la sucesi´on hqα,nh i, y α aparecer´a en los sub´ındices de todos los qα,nh . El racional qα,(n+1)h es la la h-expansi´ on de qα,nh porque qα,nh se ampl´ıa con los siguientes h cifras sucesivas (empezando por dnh+1 ) de la fuente mα para definir qα,(n+1)h . No olvide la grandeza inimaginable de h = 9 ! 9 . 255 Desde la perspectiva del infinito actual, el resultado de definir los infinitos n´ umeros naturales mediante sucesivas adiciones de una unidad al primer n´ umero natural 1 un n´ umero infinito de veces (1+1, 2+1, 3+1, . . . ), define una infinidad de n´ umeros finitos cada vez mayores, pero sin llegar a un n´ umero infinito.2 O dicho con otras palabras, de acuerdo con la ortodoxia infinitista, la adici´ on a una unidad inicial de un n´ umero infinito de unidades sucesivas no origina un n´ umero de tama˜ no infinito sino infinitos n´ umeros finitos, cada uno una unidad mayor que su predecesor inmediato. Lo mismo ocurrir´ıa si en lugar de una unidad a˜ nadimos cualquier n´ umero finito de unidades. 256 En consecuencia, y siendo h un n´ umero natural, el resultado de a˜ nadir h nuevas cifras decimales un n´ umero infinito de veces sucesivas a qα,h , origina una infinidad de expansiones decimales finitas (n´ umeros racionales), explosivamente crecientes pero siempre finitas (nh para todo n ∈ N), sin llega a originar una expansi´ on decimal infinita. 257 Esta hip´ otesis infinitista ser´ a esencial para el argumento que sigue puesto que legitimiza la existencia real de todos y cada uno de los infinitos n´ umeros racionales en hqα,nh i todos ellos con un n´ umero finito de decimales, nh por cada n en N. De la misma manera que el conjunto N de los n´ umeros naturales contienen infinitos n´ umeros finitos, cada uno de ellos una unidad mayor que su inmediato predecesor, hqα,nh i contiene infinitos n´ umeros racionales con una expansi´ on decimal finita (nh para cada n´ umero natural n), cada uno con h decimales m´ as que su inmediato predecesor. Pura ortodoxia infinitista. 2 La

misma conclusi´ on se deriva de la definici´ on recursiva formal de los n´ umeros naturales en la teor´ıa de conjuntos.

Una fuente irracional de n´ umeros racionales —— 91

258 Sea P el conjunto de todos los pares (mα , qα,h ) cuyo primer elemento es un n´ umero irracional diferente mα dentro del conjunto MI de todos los irracionales del intervalo (0, 1), y cuyo segundo componente es el n´ umero racional qα,h del intervalo (0, 1) formado por las primeras h cifras sucesivas d1 , d2 , . . . dh de mα :  mα = 0.d1 d2 . . . dh dh+1 · · · ∈ MI (13) (mα , qα,h ) ∈ P ⇔ q = 0.d d . . . d α,h

1 2

h

Aunque el primer elemento mα de cada par es un n´ umero irracional diferente, el segundo qα,h estar´ a repetido un cierto n´ umero de veces en los pares del conjunto P .

259 Obs´ervese que si no hay n´ umeros irracionales en (0, 1) con las mismas primeras h cifras decimales, entonces el segundo elemento de cada par de P ser´ıa un n´ umero racional diferente. En estas condiciones ser´ıa innecesaria la discusi´on que sigue: habr´ıa tantos racionales como irracionales dentro de (0, 1) 260 Sea ahora qα,h uno cualquiera de los n´ umeros racionales repetidos en P , y sea Pα el subconjunto de P de todos los pares (mϕ , qϕ,h ) cuyo segundo componente racional qϕ,h coincide con qα,h : Pα = {(mϕ , qϕ,h ) |(mϕ , qϕ,h ) ∈ P ∧ qϕ,h = qα,h }

(14)

Por sencillez, los racionales repetidos en Pα ser´ an llamados Pα -repeticiones de ahora en adelante. 261 Por definici´on, los n´ umeros irracionales de las parejas de Pα son todos los irracionales del intervalo (0, 1) que tienen las mismas h primeras cifras decimales. Obviamente, algunos de estos n´ umeros tambi´en tendr´an las mismas 2h primeras cifras decimales, y otros no.3 De los primeros, algunos tendr´an los mismos 3h primeros decimales, y otros no. Y as´ı sucesivamente. 262 De acuerdo con 261, si reemplazamos cada racional repetido en Pα , por su h-expansi´ on, el n´ umero de los racionales repetidos disminuir´ıa. Y si sustituimos los racionales repetidos que queden por su correspondientes h-expansiones, el n´ umero Pα -repeticiones disminuir´ıa de nuevo. Y as´ı sucesivamente. El problema es que despu´es de cada sustituci´on tendr´ıamos 3 C´ ambiese,

por ejemplo, cualquier decimal d(h+i)01 de hRi i1≤i≤n el resultado de aplicar una de las propiedades asociativa, conmutativa o distributiva a su predecesor inmediato Ri−1 . Sea hSv,i i1≤i≤n la correspondiente sucesi´on de sus sumas, i.e. cada Sv,i es la suma de los primeros v sumandos de S reordenados como Ri . 337 Si para un cierto ´ındice i tuvi´eramos: Sv,i−1 6= Sv,i

(3)

tendr´ıamos que concluir que por una simple aplicaci´ on de la propiedad conmutativa (asociativa o distributiva) a una suma de un n´ umero finito de sumandos es posible cambiar el resultado de la suma, en cuyo caso la propiedad aplicada no ser´ıa satisfecha en el cuerpo de los n´ umeros reales. La desigualdad (3) es, por tanto, imposible para cualquier n´ umero natural (y por tanto finito) v. 338

Se verifica entonces el siguiente: Teorema del reordenamiento consistente.-Para cualquier v en N, la suma de los primeros v t´erminos de cualquier serie condicionalmente convergente es siempre la misma, sea cual sea el reordenamiento de los sumandos. En consecuencia, podemos confirmar que s´ olo cuando el n´ umero de sumandos es infinito la suma depende el reordenamiento de los sumandos. Debemos concluir entonces que es el n´ umero infinito de sumandos la causa de la conclusi´on de Riemann. 339 De acuerdo con el teorema del reordenamiento de Riemann, si S es cualquier serie condicionalmente convergente y r cualquier n´ umero real la suma de sus infinitos t´erminos es y no es igual a r, dependiendo del orden en el que se sumen los t´erminos. Este es el tipo de resultado que uno podr´ıa esperar si la hip´ otesis del infinito actual fuese inconsistente. El teorema del reordenamiento de Riemann podr´ıa ser reinterpretado, por lo tanto, como una prueba de la inconsistencia de la hip´ otesis del infinito actual. Y esa

Discusi´ on —— 121

posibilidad, tan leg´ıtima como cualquiera otra, deber´ıa ser expl´ıcitamente declarada en el enunciado del teorema.

122 —— Reinterpretaci´ on del teorema de la reordenaci´ on de Riemann

19.-Inconsistencia de los conjuntos anidados

´ n vac´ıa Teorema de la interseccio 340 Sea A = {a1 , a2 , a3 . . . } un conjunto ω−ordenado cualquiera y consid´erese la siguiente definici´on recursiva: ( A1 = A − {a1 } (1) Ai = Ai−1 − {ai }; i = 2, 3, 4, . . . que origina la sucesi´on ω−ordenada de conjuntos anidados: S = hAn i; A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . .

(2)

siendo cada conjunto numerable An = {an+1 , an+2 , an+3 , . . . } un subconjunto propio de todos sus predecesores y un superconjunto de todos sus sucesores. A 1

341 El siguiente teorema es una versi´ on numerable del llamado Teorema de los Conjuntos Anidados.1 Teorema de la intersecci´ on vac´ıa.La sucesi´on S de conjuntos hAn i definida en 340 satisface: \ Ai = ∅ (3) i

La prueba es inmediata: si alg´ un elemento ak perteneciera a la intersecci´ on entonces la definici´on (1) solo habr´ıa definido un n´ umero finito (igual o menor que k) de conjuntos, puesto que ak no pertenece a Ak , Ak+1 , Ak+2 , . . . .

A2 A3

...

?

Figura 19.1: Diagrama de Ven del TIV: Todos los conjuntos est´ an anidados y cada uno de ellos ocupa un ´ area conc´ entrica mayor que cero porque todos ellos son numerables. Sin embargo, la zona conc´ entrica com´ un es nula.

342 El teorema de la intersecci´ on vac´ıa (TIV para abreviar) es un resulta1 La

versi´ on original, tambi´en llamada Teorema de la Intersecci´ on de Cantor, trata con conjuntos compactos y la conclusi´ on es la contraria, es decir que la intersecci´ on es no vac´ıa.

123

124 —— Inconsistencia de los conjuntos anidados

do trivial de las matem´ aticas infinitistas. Hasta donde yo s´e, nunca ha sido utilizado en discusiones formales sobre la naturaleza del infinito. El teorema afirma simplemente que los conjuntos hAn i no tiene ning´ un elemento com´ un. Las consecuencias del hecho de que cada Ai sea un subconjunto propio numerable de todos sus predecesores nunca han sido examinadas. En la siguiente discusi´on tendremos la oportunidad de examinar algunas de esas implicaciones.

t1

ta À0 bolas

BX

b1

À0 bolas

BX

t2

b2

À0 bolas

BX

t3

b3

À0 bolas

BX

...

Figura 19.2: Retirando una a una las bolas de una caja que contiene ℵo bolas.

343 Antes de comenzar nuestra discusi´on, examinemos una versi´ on f´ısica elemental del TIV. Sea BX un caja que contiene una colecci´on numerable de bolas etiquetadas como b1 , b2 , b3 , . . . y sea htn i una sucesi´on ω−ordenada de instantes dentro del intervalo real (ta , tb ) cuyo l´ımite es precisamente tb . Consideremos ahora la siguiente supertarea: en cada instante ti se retira de la caja la bola bi , y solo ella. La correspondencia uno a uno f entre htn i y hbn i definida por f (ti ) = bi demuestra que en tb se habr´an retirado todas las bolas de la caja BX. 344 De acuerdo con la forma de retirar las bolas, de una en una y de modo que entre la retirada de una bola bn y la retirada de la siguiente bn+1 siempre transcurre un intervalo de tiempo tn+1 − tn mayor que cero, se podr´ıa esperar que justo antes de completar la retirada de todas las bolas de la caja, la caja contendr´a . . . 5, 4, 3, 2, 1 bolas. Nada m´ as lejos de la (infinitista) verdad: antes de estar vac´ıa, la caja nunca contendr´a un n´ umero finito n de bolas, cualquiera que sea n, simplemente porque esas bolas ser´ıan las imposibles u ´ltimas n bolas de una colecci´on ω−ordenada de bolas etiquetadas; y los sucesivos instantes en los que las sucesivas bolas fueran sucesivamente retiradas, ser´ıan los imposibles u ´ltimos n instantes de una sucesi´on ω−ordenada de instantes. 345 Sea f (t) es el n´ umero de bolas dentro de la caja en cualquier instante t del intervalo [ta , tb ], es decir, el n´ umero de bolas que quedan por retirar en el preciso instante t. Como consecuencia del ω−orden, tendremos la

Teorema de la intersecci´ on vac´ıa —— 125

inevitable dicotom´ıa siguiente: f (t) =

( ℵo , ∀t ∈ [ta , tb )

0 si t = tb

(4)

En otro caso, si para alg´ un t en [ta , tb ) tuvi´eramos f (t) = n, siendo n un n´ umero natural cualquiera, entonces existir´ıan los imposible n u ´ltimos t´erminos de una sucesi´on ω−ordenada.

! t " [ta, tb):

En el instante t b :

Ào bolas

0 bolas

BX

BX

Figura 19.3: La dicotom´ıa Alef-cero o cero.

346 Teniendo en cuenta la correspondencia uno a uno f (ti ) = bi , todas las bolas hbn i se retiran una a una de la caja BX, una despu´es de la otra y de tal forma que un intervalo de tiempo ∆i t = ti+1 −ti mayor que cero siempre transcurre entre la extracci´on de dos bolas sucesivas bi , bi+1 , ∀i ∈ N. Pero de acuerdo con la dicotom´ıa anterior (4), esto es imposible porque el n´ umero de bolas que quedan por retirar de la caja tiene que cambiar directamente 2 de ℵo a 0, y esto s´ olo es posible si se retiran simult´ aneamente ℵo bolas. 347 Evidentemente, la caja BX desempe˜ na el papel del conjunto A y las sucesivas eliminaciones de las bolas representan las sucesivas etapas de la definici´on recursiva (1). Puesto que los sucesivos elementos a1 , a2 , a3 , . . . de A se retiran sucesivamente a fin de definir los sucesivos t´erminos A1 , A2 , A3 , . . . de la sucesi´on S, podr´ıamos escribir: A/i = {a/1 , a/2 , . . . a/i , ai+1 , ai+2 , . . . }

(5)

donde a/1 , a/2 , . . . a/i simplemente indican los sucesivos elementos a1 , a2 , . . . ai de A que se han ido utilizando para definir los sucesivos miembros A2 , A3 , . . . Ai de la sucesi´on S. 348 Como en el caso de la caja BX, y por las mismas razones, si cen2 Sin

estados intermedios finitos en los que s´ olo quede un n´ umero finito de bolas por retirar.

126 —— Inconsistencia de los conjuntos anidados

tramos nuestra atenci´ on en el n´ umero de elementos que permanecen sin marcar en (5) a medida que progresa la definici´on recursiva (1), entonces es inmediato llegar a la conclusi´on de que ese n´ umero s´ olo puede tomar dos valores: ℵo y 0. 349 La dicotom´ıa ℵo ´ o 0 implica que el n´ umero de elementos no marcados en (5) cambia directamente de ℵo a 0, y eso solo es posible si se marcan simult´ aneamente ℵo elementos, i.e. definiendo de forma simult´ anea ℵo conjuntos de la sucesi´on S, lo que evidentemente es incompatible con la recursividad de esa definici´on, de la misma manera que retirar simult´ aneamente ℵo bolas de la caja es incompatible con la sucesividad de las extracciones. 350 Existe, sin embargo, una diferencia significativa entre la extracci´on de las bolas de BX y la definici´on recursiva (1): mientras que la caja BX es siempre la misma caja BX a medida que las bolas se retiran de ella sucesivamente (lo que pone en evidencia la falacia de la extracci´on), el conjunto A origina una sucesi´on de conjuntos: a partir de A1 , cada conjunto Ai origina un nuevo conjunto Ai+1 cuando el elemento ai+1 se retira de ´el para definir el t´ermino siguiente de la sucesi´ on. As´ı, el conjunto A se disuelve en una sucesi´on infinita y completa de conjuntos en la que no existe un u ´ltimo conjunto que complete la sucesi´on, lo que esconde la falacia de que se pueden eliminar uno a uno todos los elementos de una colecci´on sin que nunca queden . . . 3, 2, 1 elementos por retirar. 351 Ante la evidencia del hecho de que retirando una a una las bolas de una caja que contienen un n´ umero finito o infinito de bolas, inevitablemente se ha de obtener una caja que contiene sucesivamente . . . , 5, 4, 3, 2, 1, 0 bolas, algunos infinitists dicen que mientras que se pueden agregar una a una infinitas bolas a una caja inicialmente vac´ıa, no se pueden retirar una a una esas mismas bolas de la caja, simplemente porque la sustracci´on de cardinales transfinitos no siempre est´ a definida.3 352 Es evidente, sin embargo, que aqu´ı no estamos restando cardinales, no estamos realizando operaciones aritm´eticas sino retirando las bolas de una caja. ¿Qu´e pensar de una teor´ıa formal que proh´ıbe retirar bolas de una caja porque con ello la teor´ıa queda en entredicho? Es dif´ıcil creer que los mismos te´oricos que permite eliminar cualquier elemento de cualquier conjunto proh´ıban argumentar sobre la extracci´on de bolas de una caja que contiene una colecci´ on de bolas etiquetadas. 3 La

sustracci´ on de cardinales no est´ a siempre definida porque conduce a contradicciones.

Inconsistencia de los conjuntos anidados —— 127

Inconsistencia de los conjuntos anidados 353 La discusi´on anterior sobre el TIV sugiere que este teorema no es tan trivial como parece. De hecho, motiva la breve discusi´on que sigue, cuyo principal objetivo es poner en tela de juicio la consistencia formal de la la hip´ otesis del infinito actual. 354 En este punto, parece conveniente recordar que Cantor dio por sentada la existencia del conjunto de todos los cardinales finitos (n´ umeros naturales) como una totalidad infinita completa (Axioma del Infinito en t´erminos modernos), y que de esa suposici´ on inicial deriv´o correctamente la sucesi´on infinita de n´ umeros ordinales transfinitos de la segunda clase, siendo ω el menor de todos ellos [39, Theorem 15-K]. Por lo tanto cualquier resultado que afecte a la consistencia formal de ω afectar´a a toda la sucesi´on de ordinales transfinitos, as´ı como a la consistencia formal de la hip´ otesis de infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito. 355 Empecemos asumiendo el Axioma del Infinito y, por tanto, la existencia de conjuntos de ω−ordenados y de sucesiones ω−ordenadas como totalidades infinitas completas. 356 Consid´erese de nuevo la sucesi´on anterior de conjuntos S = A1 , A2 , A3 ,. . . Partiendo de S definiremos la sucesi´on de conjuntos S ∗ mediante:   n = 1 : S ∗ = A1   i=n n = 1, 2, 3, . . . (6) \   n > 1 : Ai 6= ∅ ⇒ A˜ nadir An a S ∗  i=1

357 Como en anteriores argumentos en este libro, se podr´ıa demostrar f´acilmente por inducci´on o por Modus Tollens, que para cualquier n´ umero natural v es posible llevar a cabo las primeras v definiciones sucesivas (6). La prueba inductiva es como sigue. Es claro que la primera definici´on (6) S ∗ = A1 se puede realizar. Sup´ongase que, siendo n cualquier n´ umero natural, las primeras n definiciones sucesivas (6) se pueden realizar, de modo que S ∗ es definida como la sucesi´on A1 , A1 ,. . . Ak≤n . puesto que An+1 es un conjunto bien definido, la sucesi´on: A1 , A2 , . . . Ak≤n , An+1

(7)

es una sucesi´on bien definida de conjuntos, y por tanto la intersecci´ on: A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak≤n ∩ An+1

(8)

es un conjunto bien definido, que es todo lo que necesitamos para llevar a cabo la (n + 1)-´esima definici´on. En consecuencia, las primeras (n + 1)

128 —— Inconsistencia de los conjuntos anidados

definiciones sucesivas (6) se pueden realizar. Hemos probado entonces que la primera definici´on (6) se puede realizar, y que si para cualquier n´ umero natural n las primeras n definiciones sucesivas (6) se pueden realizar, entonces las primeras (n + 1) definiciones sucesivas (6) tambi´en se pueden realizar. Lo que prueba que para cualquier n´ umero natural v las primeras v definiciones sucesivas (6) se pueden realizar. 358 Supongamos que mientras las sucesivas definiciones (6) pueden llevarse a cabo, se llevan a cabo. Una vez que todas las posibles definiciones (6) se han llevado a cabo, la sucesi´on S ∗ estar´ a formada por un n´ umero determinado (finito o infinito) de conjuntos que, por definici´on, tienen una intersecci´ on no vac´ıa. Sea, por lo tanto, av cualquier elemento de esa intersecci´ on. Evidentemente, tendremos: av ∈ / Av

(9)

Y por tanto Av no es un miembro de la sucesi´on S ∗ . 359 Es inmediato demostrar, sin embargo, que Av s´ı es un miembro de S ∗: 1) El sub´ındice v en Av es un n´ umero natural. 2) De acuerdo con 357, son posibles las primeras v definiciones 3) Todas las posibles definiciones (6) se han llevado a cabo. 4) Las primeras v definiciones se han llevado a cabo. 5) La v-´esima definici´on (6) a˜ nade Av a S ∗ porque: A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Av = Av 6= ∅

(10)

6) En consecuencia Av es un miembro de S ∗ . 360 Hemos deducido, por lo tanto, una contradicci´ on de nuestra hip´ otesis inicial: el conjunto Av est´ a y no est´ a en la sucesi´on de S ∗ . 361 La alternativa a la contradicci´ on anterior es otra contradicci´ on a´ un m´ as elemental: despu´es de haber realizado todas las posibles definiciones (6), no se han realizado todas las posibles definiciones (6). 362 Tambi´en se podr´ıa argumentar que S ∗ es definida un n´ umero infinito de veces y que aunque todas y cada una de las definiciones (6) definen a S ∗ como una sucesi´on de conjuntos cuya intersecci´ on es no vac´ıa, la compleci´ on de la sucesi´on de definiciones (6) convierte a S ∗ en una sucesi´on de conjuntos cuya intersecci´ on es vac´ıa. Como si la compleci´ on de una sucesi´on ω−ordenada de definiciones, como tal compleci´ on, tuviera consecuencias arbitrarias adicionales sobre el objeto definido. Las mismas consecuencias

Inconsistencia de los conjuntos anidados —— 129

arbitrarias adicionales podr´ıan esperarse en cualquier otra definici´on, procedimiento o prueba que consista en una sucesi´on ω−ordered de pasos. En esas condiciones, cualquier cosa podr´ıa esperarse en las matem´ aticas infinitistas. 363 M´as a´ un, temporizando la definici´on (6) de modo que cada i-´esimo paso se realice en el preciso instante ti de una sucesi´on estrictamente creciente de instantes htn i del intervalo (ta , tb ) y cuyo l´ımite es tb , se podr´ıa probar f´acilmente que solo en el instante tb , una vez completada la sucesi´on de definiciones (6), podr´ıa S ∗ ser convertida en una sucesi´on de conjuntos cuya intersecci´ on es vac´ıa. Lo que confirmar´ıa, por una parte que la compleci´ on de una sucesi´on ω−ordenada de pasos, como tal compleci´ on, tiene efectos arbitrarios adicionales sobre los objetos resultantes; y por la otra que esos efectos arbitrarios ocurren en el preciso instante (tb ), un instante en el que ya no se realiza ning´ un paso.

130 —— Inconsistencia de los conjuntos anidados

20.-Dicotom´ıas de Zen´on

Definiciones introductorias 364 En este cap´ıtulo se introduce una versi´ on formal de la Dicotom´ıa de Zen´ on en sus dos variantes (aqu´ı referidas como Dicotom´ıa I y II) basadas en la sucesividad del ω−orden (Dicotom´ıa I) y del ω ∗ −orden (Dicotom´ıa II). Cada una de las versiones formalizadas conduce a una contradicci´ on. 365 En la segunda mitad del siglo XX, se propusieron varias soluciones a algunas de las paradojas de Zen´ on con la ayuda de la aritm´etica transfinita de Cantor, la topolog´ıa, la teor´ıa de la medida y m´ as recientemente la teor´ıa interna de conjuntos1 (una rama del an´ alisis no est´ andar). Tambi´en vale la pena destacar las soluciones propuestas por P. Lynds2 en el marco de la mec´ anica cl´ asica y en el de la mec´ anica cu´ antica. Sin embargo, algunas de estas soluciones han sido contestadas. Y en la mayor´ıa de los casos, las soluciones propuestas no explican donde fallan los argumentos de Zen´ on. Adem´as, algunas de esas soluciones dieron lugar a una nueva colecci´on de problemas tan excitantes como las paradojas originales de Zen´ on.3 En la discusi´on que sigue se propone una nueva forma de discutir las dicotom´ıas de Zen´ on basada en la noci´ on de ω−orden, el orden inducido por ω, el primer ordinal transfinito. 366 Como es bien sabido, en una sucesi´on ω−ordenada hay un primer elemento y cada elemento tiene un sucesor inmediato y un predecesor inmediato, excepto el primero. Seg´ un la hip´ otesis del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito, una sucesi´on ω−ordenada es una totalidad completa a pesar de que ning´ un u ´ltimo elemento la complete.4 La sucesi´on de n´ umeros naturales en su orden natural de precedencia es un ejemplo de sucesi´on ω−ordenada. 1 [90],

[91], [206], [92], [94], [93], [131], [130] [118] 3 [145], [4], [154], [165], [106] [174] 4 Cantor demostr´ o la existencia de sucesiones ω−ordenadas suponiendo la existencia del conjunto de todos los cardinales finitos como una totalidad completa [39, Teorema 15-A]. 2 [117],

131

132 —— Dicotom´ıas de Zen´ on

367 Una sucesi´on ω ∗ −ordenada se caracteriza por tener un u ´ltimo elemento y porque cada elemento tiene un predecesor inmediato y un sucesor inmediato, excepto el u ´ltimo. Desde la misma perspectiva infinitista, las sucesiones ω ∗ −ordenadas se consideran totalidades completas a pesar de que no hay un primer elemento por el que comenzar la sucesi´on. La sucesi´ on creciente de los enteros negativos, . . . , -3, -2, -1, es un ejemplo de sucesi´on ω ∗ −ordenada. 368 Consideremos ahora una part´ıcula P movi´endose sobre el eje X desde el punto -1 hasta el punto 2 a una velocidad v constante y finita (Figura 20.1). Supongamos que P se encuentra en el punto 0 en el preciso instante t0 . En el instante t1 = t0 + 1/v estar´ a exactamente en el punto 1. Consideremos ahora la siguiente sucesi´on ω−ordenada de Z-puntos [194] en el intervalo (0, 1) definida por: 2n − 1 , ∀n ∈ N (1) 2n y la sucesi´on ω ∗ −ordenada de Z*-puntos en el mismo intervalo definida por: 1 ∗ zn∗ = n , ∀n ∈ N (2) 2 donde zn∗ ∗ representa al n-´esimo elemento por la cola de la sucesi´on ω ∗ −ordenada de Z*-puntos. zn =

-1

V

0

1/2

1

P

2 X

Z*-puntos

Z-puntos

Figura 20.1: Z-puntos y Z ∗ -puntos.

369 Aunque los puntos del eje X est´ an densamente ordenados, los Z*puntos y los Z-puntos no lo est´ an. Entre dos Z-puntos sucesivos cualesquiera zn , zn+1 no hay ning´ un otro Z-punto (ω-sucesividad), y entre ellos existe una distancia mayor que cero (ω-separaci´on). Lo mismo ocurre con los Z*-puntos. Debido a la ω-sucesividad y a la ω-separaci´on, los Z-puntos y los Z*-puntos solo pueden ser atravesados en forma sucesiva, uno cada vez, uno tras otro. Y de tal manera que entre dos Z*-puntos sucesivos, o dos Z-puntos sucesivos, siempre se ha de atravesar una distancia mayor que cero. Este tipo de sucesividad jugar´ a un papel capital en los siguientes argumentos.

Dicotom´ıa II de Zen´ on —— 133

370 A medida que P pasa sobre los puntos del intervalo real [0, 1] debe atravesar los sucesivos Z*-puntos y los sucesivos Z-puntos. No tiene sentido preguntarse sobre el instante en el que se empiezan a atravesar los sucesivos Z*-puntos porque no existe un primer Z*-punto que atravesar. Lo mismo podr´ıa decirse del instante en el que termina la traves´ıa de los Z-puntos, en este caso porque no existe un u ´ltimo Z-punto que atravesar. Por esta raz´ on centraremos nuestra atenci´ on en el n´ umero de Z*-puntos que ya han sido atravesados y en el n´ umero de puntos Z que a´ un quedan por atravesar en cualquier instante t dentro del intervalo [to , t1 ]. 371 En este sentido, y siendo t un instante cualquiera de [to , t1 ], sea Z ∗ (t) el n´ umero de Z*-puntos atravesados en el instante t. Y sea Z(t) el n´ umero de Z-puntos que a´ un quedan por atravesar en el instante t. La discusi´on que sigue examina la evoluci´ on de Z ∗ (t) y Z(t) a media que P se mueve desde el punto 0 al punto 1. Ambas discusiones son versiones formales de la dicotom´ıa II y de la Dicotom´ıa I de Zen´ on respectivamente.5 372 La estrategia de emparejar los Z*-puntos (o los Z-puntos) con los sucesivos instantes de una sucesi´on infinita estrictamente creciente de instantes fue originalmente utilizada por Arist´oteles [11] al intentar resolver las dicotom´ıas de Zen´ on. Aunque Arist´ oteles termin´o por rechazar su estrategia original, esa estrategia es la preferida en la actualidad para resolver ambas paradojas. Como se ver´ a, sin embargo, la sucesividad de los Z*puntos y de los Z-puntos lleva a una conclusi´on conflictiva.

´n Dicotom´ıa II de Zeno 373 Comencemos analizando la forma en la que P atraviesa los Z*-puntos. Puesto que la sucesi´on de Z*-puntos es ω ∗ −ordenada no existe un primer elemento, y por tanto tampoco existen los n primeros elementos, para cualquier n´ umero finito n. En consecuencia, y teniendo cuenta que P est´ a en el punto 0 en el instante t0 y en el punto 1 en t1 , tendremos: ( t = t0 : Z ∗ (t) = 0 ∀t ∈ [t0 , t1 ] (3) t > t0 : Z ∗ (t) = ℵo Por tanto, no existe ning´ un instante t dentro de [t0 , t1 ] en el cual Z ∗ (t) = n, sea cual sea el n´ umero finito n, de otra forma existir´ıan los primeros n elementos de una sucesi´on ω ∗ −ordenada. N´otese que Z ∗ (t) est´ a bien definida en todo el intervalo [t0 , t1 ]. As´ı, la ecuaci´ on (3) expresa una dicotom´ıa: Z ∗ (t) solo puede tomar dos valores en todo el intervalo [t0 , t1 ]: 0 ´o ℵo . 5 V´ ease,

por ejemplo,, [29], [30], [195], [165], [106], [197], [51], [129].

134 —— Dicotom´ıas de Zen´ on

374 De acuerdo con 373 y en relaci´ on con el n´ umero de Z*-puntos atravesados, P puede exhibir solamente dos estados sucesivos: el estado P ∗ (0) en el cual ha atravesado cero Z*-puntos, y el estado P ∗ (ℵo ) en el cual ha atravesado ℵo Z*-puntos (ω-dicotom´ıa). Ahora bien, teniendo en cuenta la sucesividad de los de Z*-puntos y el hecho de que entre dos Z*-puntos sucesivos cualesquiera existe siempre una distancia mayor de cero (ω-separaci´ on), para atravesar dos Z*-puntos, cualesquiera que sean, se ha de atravesar una distancia mayor de cero. Y atravesar una distancia mayor de cero a la velocidad finita v de P significa que la traves´ıa ha de durar un tiempo mayor que cero. 375 Aunque es imposible calcular ni la duraci´on exacta de la transici´on P ∗ (0)-P ∗ (ℵo ) ni la distancia que P ha de atravesar mientras realiza esa transici´on (no hay ni un primer momento ni un primer punto en el que comienza la transici´on), hemos probado en 374 que, por muy indeterminable que sea, esa distancia y esa duraci´on tienen que ser mayores que cero. Probaremos ahora que no pueden ser mayores que cero. 376 Sea d cualquier n´ umero real mayor que 0 y consid´erese el intervalo real (0, d). De acuerdo con la dicotom´ıa anterior, en cualquier punto x dentro de (0, d) nuestra part´ıcula P ya habr´a atravesado ℵo Z*-puntos. En consecuencia d es mayor que la distancia que P debe atravesar durante la transici´on P ∗ (0)-P ∗ (ℵo ). Ahora bien, puesto que d es cualquier n´ umero real mayor que cero, debemos concluir que la distancia que P debe atravesar durante esa transici´on es menor que cualquier n´ umero real mayor que cero. Lo que solo es posible si esa distancia es nula. La misma conclusi´on, y por las mismas razones, se puede deducir para la cantidad de tiempo durante la cual se realiza la transici´on P ∗ (0)-P ∗ ℵo . 377 De acuerdo con 374 y con 376, P necesita recorrer una distancia mayor que cero durante un tiempo mayor que cero (ω-separaci´on) para para realizar la transici´on P ∗ (0)-P ∗ (ℵo ), pero ni esa distancia ni ese tiempo pueden ser mayores que cero porque han de ser menores que cualquier n´ umero real mayor que cero (ω-dicotom´ıa). N´otese que esta no es una cuesti´ on de indeterminaci´on sino de imposibilidad. Si se tratara de una cuesti´ on de indeterminaci´on existir´ıa un conjunto soluciones posibles, aunque no podr´ıamos determinar cu´ ales de ellas es la soluci´ on correcta. En nuestro caso el conjunto de soluciones est´ a simplemente vac´ıo. 378 En resumen: a) La transici´on P ∗ (0)-P ∗ (ℵo ) tiene lugar (hip´ otesis del infinito actual). ∗ ∗ b) La transici´on P (0)-P (ℵo ) solo puede ocurrir durante una distancia

Dicotom´ıa I de Zen´ on —— 135

y un tiempo mayores que cero (ω-separaci´on). c) La transici´on P ∗ (0)-P ∗ (ℵo ) no puede ocurrir durante una distancia y un tiempo mayores que cero (ω-dicotom´ıa).

´n Dicotom´ıa I de Zeno 379 Examinaremos ahora la forma en la que P atraviesa los Z-puntos entre el punto 0 y el punto 1. Siendo Z(t) el n´ umero de Z-puntos por atravesar en el preciso instante t de [t0 , t1 ], ese n´ umero s´ olo puede tomar dos valores: ℵo ´ o 0. En efecto, supongamos que existe un instante t en [t0 , t1 ] en el que el n´ umero de Z-puntos que P a´ un ha de atravesar es un n´ umero finito n > 0. Eso implicar´ıa la imposible existencia de los u ´ltimos n puntos de una sucesi´on ω−ordenada de puntos. En consecuencia tenemos una nueva dicotom´ıa: ( t < t1 : Z(t) = ℵo ∀t ∈ [t0 , t1 ] (4) t = t1 : Z(t) = 0 Por tanto, no existe un instante t en el cual Z(t) = n, sea cual sea el n´ umero finito n. N´otese que Z(t) est´ a bien definida en todo el intervalo [t0 , t1 ]. As´ı, la ecuaci´ on (4) expresa una nueva dicotom´ıa: Z(t) solo puede tomar dos valores: o bien ℵo o bien 0. 380 De acuerdo con 379 y en relaci´ on con el n´ umero de Z-puntos que a´ un han de ser atravesados, P s´ olo puede presentar dos estados sucesivos: el estado P (ℵo ) en el que ese n´ umero es ℵo y el estado P (0) en el que ese n´ umero es 0. El n´ umero de Z-puntos que P ha de atravesar disminuye directamente desde ℵo hasta 0, sin estados intermedios finitos en los que s´ olo queden un n´ umero finito de Z-puntos por atravesar. 381 Teniendo en cuenta la sucesividad de los de Z-puntos y el hecho de que entre dos Z-puntos sucesivos cualesquiera existe siempre una distancia mayor de cero (ω-separaci´on), para atravesar dos Z-puntos, cualesquiera que sean, se ha de atravesar una distancia mayor de cero. Y atravesar una distancia mayor de cero a la velocidad finita v de P significa que la traves´ıa ha de durar un tiempo mayor que cero. 382 Aunque es imposible calcular la duraci´on exacta de la transici´on P (ℵo )-P (0) (no existe un u ´ltimo instante en el que acaba la transici´on), hemos probado en 381 que, por muy indeterminable que sea, esa duraci´on tiene que ser mayor que cero. Probaremos ahora que no puede ser mayor que cero. Lo mismo puede decirse de la distancia que P ha de atravesar mientras realiza la transici´on P (ℵo )-P (0).

136 —— Dicotom´ıas de Zen´ on

383 Sea τ cualquier n´ umero real mayor que 0, y consid´erese el intervalo real de tiempo (0, τ ) y un instante cualquiera x dentro de (0, τ ). El n´ umero de Z-puntos por atravesar en el instante t1 −x es ℵo (ω-dicotom´ıa). En consecuencia, τ , es mayor que el tiempo que tarda P en realizar la transici´on P (ℵo )-P (0). Ahora bien, puesto que τ es cualquier n´ umero real mayor que cero, hemos de concluir que el tiempo necesario para realizar esa transici´on es menor que cualquier n´ umero real mayor que cero. Lo que solo es posible si ese tiempo es nulo. La misma conclusi´on, y por las mismas razones, se pueden deducir para la distancia que P ha de atravesar mientras realiza la transici´on P (ℵo )-P (0). 384 De conformidad con 381 y 383, el tiempo y la distancia durante la cual se realiza la transici´on P (ℵo )-P (0) deben ser mayores que cero (ωseparaci´on), pero no pueden ser mayores que cero porque son menores que cualquier n´ umero real mayor que cero (ω-dicotom´ıa). N´otese de nuevo que no es una cuesti´ on de indeterminaci´on sino de imposibilidad. Si se tratara de una cuesti´ on de indeterminaci´ on existir´ıa un conjunto soluciones posibles, aunque no podr´ıamos determinar cu´ ales de ellas es la soluci´ on correcta. En nuestro caso ese conjunto est´ a simplemente vac´ıo. 385 En resumen: a) La transici´on P (ℵo )-P (0) tiene lugar (hip´ otesis del infinito actual). b) La transici´on P (ℵo )-P (0) solo puede ocurrir durante una distancia y un tiempo mayores que cero (ω-separaci´on). c) La transici´on P (ℵo )-P (0) no puede ocurrir durante una distancia y un tiempo mayores que cero (ω-dicotom´ıa).

´n Conclusio 386 De acuerdo con la hip´ otesis del infinito actual, los Z-puntos y los Z*-puntos existen como totalidades completas. Por lo tanto las transiciones P ∗ (0)-P ∗ (ℵo ) y P (ℵo )-P (0) tienen lugar. Ahora bien, las transiciones P ∗ (0)-P ∗ (ℵo ) y P (ℵo )-P (0) solo pueden ocurrir durante una distancia y un tiempo mayores que cero (ω-separaci´on). El problema es que no pueden ocurrir durante una distancia y un tiempo mayores que cero porque ese tiempo y esa distancia han de ser menores que cualquier n´ umero real mayor que cero (ω-dicotom´ıa). 387 Las contradicciones anteriores son consecuencias directas del ω−orden y del ω ∗ −orden que, a su vez, son consecuencias directas de asumir la existencia de totalidades infinitas completas. Es entonces ese supuesto, la hip´ otesis de infinito actual, la causa u ´ltima de las dos contradicciones.

21.-La m´aquina de Hilbert

El Hotel de Hilbert 388 En la discusi´on que sigue haremos uso de una superm´ aquina inspirada en el emblem´ atico Hotel de Hilbert. Pero antes vamos a relatar alguna de las prodigiosas, y sospechosas, habilidades del ilustre Hotel.

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Figura 21.1: Una manera infinitista de hacer dinero.

389 Su director, por ejemplo, ha descubierto una fant´astica manera de hacerse rico: pide un euro a R1 (el hu´esped de la habitaci´ on 1); R1 recupera su euro pidiendo un euro a R2 (el hu´esped de la habitaci´ on 2); R2 recupera su euro pidiendo un euro a R3 (el hu´esped de la habitaci´ on 3); y as´ı sucesivamente. Al final, todos los hu´espedes recuperan sus euros, porque no hay un u ´ltimo hu´esped perdiendo su dinero. El astuto director exige entonces un segundo euro a R1 , que recupera de nuevo su euro pidiendo un euro a R2 , que recupera de nuevo su euro pidiendo un euro a R3 , y as´ı sucesivamente. Miles de euros procedentes de la nada (infinitista) hacia el bolsillo del afortunado director. 390 El Hotel de Hilbert es incluso capaz de violar las leyes de la termodin´ amica haciendo posible el funcionamiento de un perpetuum mobile: s´ olo tendr´ıa que alimentar la m´ aquina adecuada con las calor´ıas obtenidas de las sucesivas habitaciones del prodigioso hotel de la misma manera que 137

138 —— La m´ aquina de Hilbert

su director obtiene sus euros. 391 Por incre´ıble que parezca, los infinitistas justifican todas esas patolog´ıas absurdas, y muchas otras, en nombre de las peculiaridades del infinito actual. Prefieren asumir cualquier comportamiento patol´ ogico del mundo antes de examinar la consistencia del pat´ ogeno. En la siguiente discusi´on, sin embargo, obtendremos una contradicci´ on que no puede ser f´acilmente subsumida en la pintoresca naturaleza del infinito actual.

Figura 21.2: La m´aquina de Hilbert a punto de realizar el primer L-deslizamiento.

Definiciones 392 En la siguiente discusi´on conceptual haremos uso de un dispositivo te´orico, inspirado en el emblem´ atico Hotel de Hilbert, al que nos referiremos como m´ aquina de Hilbert, compuesto por los siguientes elementos (v´ease la Figura 21.2): 1) Un alambre horizontal infinito dividido en dos partes infinitas, la parte izquierda y la parte derecha: a) La parte derecha se divide en una sucesi´on ω−ordenada de secciones adyacentes hSn i de igual longitud que se etiquetan de izquierda a derecha como S1 , S2 , S3 , . . . Ser´ an referidas como secciones derechas. b) La parte izquierda est´ a tambi´en dividida en una sucesi´on ω−ordenada de secciones adyacenteshSn′ i iguales y de la misma longitud que las secciones derechas, ahora etiquetadas de derecha a izquierda como . . . , S3′ , S2′ , S1′ ; siendo S1′ adyacente a S1 . Ser´ an referidas como secciones izquierdas. 2) Una sucesi´on ω−ordenada de bolas etiquetadas hbn i ensartadas en el alambre y capaces de deslizarse sobre ´el como las bolas de un ´abaco, estando cada bola bi inicialmente insertada en el centro de la secci´ on derecha Si .

La contradicci´ on de la m´ aquina de Hilbert —— 139

3) Todas las bolas est´ an mec´ anicamente ligadas por un mecanismo de deslizamiento que desliza simult´ aneamente todas las bolas la misma distancia sobre el alambre. 4) El mecanismo de deslizamiento est´ a ajustado de forma que desliza simult´ aneamente todas las bolas exactamente una secci´ on hacia la izquierda (L-deslizamientos). 5) La m´ aquina tambi´en est´ a equipada con un sensor de bolas que examina si cada bola est´ a insertada en el alambre despu´es de realizar cada L-deslizamiento, si ese no es el caso se deshace el u ´ltimo Ldeslizamiento de modo que cada bola recupere su posici´ on previa, despu´es de lo cual la m´ aquina se detiene. 393 Puesto que las secciones hSi′ i del lado izquierdo del alambre son ′ justo a ω−ordenadas cada secci´ on Sn′ tiene un sucesor inmediato Sn+1 su izquierda. De acuerdo con la hip´ otesis del infinito actual todas esas secciones izquierdas existen como una totalidad infinita completa, a pesar de que no hay una u ´ltima secci´ on que complete la sucesi´on. 394 Empecemos por demostrar que para cada n´ umero natural v es posible realizar los primeros v L-deslizamientos. Es evidente que el primer L-deslizamiento puede llevarse a cabo: b1 se mueve a S1′ y cada bi, i>1 a Si−1 . Supongamos que, siendo n un n´ umero natural cualquiera, se pueden realizar los primeros n L-deslizamientos. Como consecuencia de esos primeros n L-deslizamientos, y teniendo en cuenta que cada uno de ellos mueve todas las bolas exactamente una secci´ on hacia la izquierda, la bola b1 estar´ a colocada n secciones a la izquierda de su posici´ on inicial S1 , ′ on cada bola bi,i>1 es decir en la secci´ on izquierda Sn . Por la misma raz´ estar´ a colocada n secciones a la izquierda de su posici´ on inicial. En esas ′ condiciones b1 puede moverse a Sn+1 y cada bi, i>1 a la secci´ on previamente ocupada por bi−1 . Por lo tanto, el (n + 1)-´esimo L-deslizamiento tambi´en puede llevarse a cabo. Lo que demuestra que para cada n´ umero natural v los primeros v L-deslizamientos pueden llevarse a cabo.

´ n de la ma ´ quina de Hilbert La contradiccio 395 Supongamos que mientras los sucesivos L-deslizamientos se pueden realizar, se realizan. Es entonces inmediato el siguiente: Teorema 395.-Una vez realizados todos los posibles L-deslizamientos todas las bolas permanecen ensartadas en el alambre. Demostraci´ on.-Es una consecuencia inmediata de la definici´on de la M´aquina de Hilbert: su sensor de bolas deshar´ıa cualquier L-deslizamiento a con-

140 —— La m´ aquina de Hilbert

secuencia del cual una bola quedara fuera del alambre y la maquina se parar´ıa con todas las bolas insertadas en el alambre. N´otese que la definici´on de la M´aquina de Hilbert se ha de verificar siempre: antes, durante y despu´es de ejecutar todos los posibles L-deslizamientos. 396 Pero tambi´en es inmediato el siguiente: Teorema 396.-Una vez realizados todos los posibles L-deslizamientos ninguna bola queda ensartada en el alambre. Demostraci´ on.-Supongamos que una vez realizados todos los posibles Ldeslizamientos una bola cualquiera bv se encuentra ensartada en la secci´ on derecha Sk . Debe ser k < v ya que todos los L-deslizamientos son hacia la izquierda, en la direcci´ on hacia la cual los ´ındices de hSn i disminuyen. Puesto que bv estaba inicialmente en Sv s´ olo un n´ umero finito v−k de L-deslizamientos se habr´ıan realizado, y por tanto no habr´ıa sido posible realizar los primeros v − k + 1 L-deslizamientos, lo que va en contra de 394 porque v − k + 1 es un n´ umero natural. Un razonamiento similar puede aplicarse si bv se encuentra finalmente en una secci´ on izquierda Sn′ , lo que significa que se realizaron v + n − 1 L-deslizamientos ; en este caso los primeros v+n primeros deslizamientos no se habr´ıan podido realizar, lo que tambi´en va en contra de 394. As´ı, puesto que bv es una bola cualquiera, si todas los posibles L-deslizamientos se han realizado, ninguna bola permanece ensartada en el alambre. 397 Un punto a destacar del argumento anterior es que no se necesita conocer si el n´ umero de L-deslizamientos realizados es finito o infinito. Solo hace falta asumir, bajo la hip´ otesis del infinito actual, que se han realizado todos los L-deslizamientos posibles.

´n Discusio

s'5 s'4 s'3 s'2 s'1 s1 s2 s3 s4 s5

398 Compararemos el funcionamiento de B1 B2 B3 B4 B5 la m´ aquina de Hilbert anterior (Hω a parInicio tir de ahora) con el funcionamiento de una Stop versi´ on finita de la misma (simb´ olicamente B1 B2 B3 B4 B5 Hn ). Esta m´ aquina finita tiene un n´ umero finito n tanto de secciones derechas como Figura 21.3: Una m´aquina finita de 5 secciones. de secciones izquierda (Figura 21.3). Una sucesi´on finita de n bolas se encuentran inicialmente colocadas en el lado derecho del alambre, cada bola bi ensartada en el centro de la secci´ on derecha Si . Es inmediato demostrar que Hn s´ olo puede realizar n L-des′ , el sensor de lizamientos: como no existe una secci´ on de izquierda Sn+1 ′ bolas detiene la m´ aquina con cada secci´ on izquierda Si ocupada por bola

Discusi´ on —— 141

bn−i+1 y con todas las secciones derechas vac´ıa, y esto es todo. Ninguna contradicci´ on se deriva del funcionamiento de Hn . As´ı, para cualquier n´ umero natural n, la correspondiente m´ aquina Hn es un artefacto te´orico consistente. S´ olo la m´ aquina infinita de Hilbert Hω es inconsistente. 399 Lo que la contradicci´ on 395-396 prueba no es el funcionamiento inconsistente de una superm´ aquina. Lo que demuestra es la inconsistencia del propio ω−orden. Tal vez no deber´ıamos sorprendernos por esta conclusi´on. Despu´es de todo, una sucesi´on ω−ordenada es a la vez completa (como el infinito actual requiere) e incompletable (no hay un u ´ltimo elemento que la complete). Por otro lado, y como Cantor demostr´o [37], [39], el ω−orden es una consecuencia inevitable de asumir la existencia de conjuntos infinitos como totalidades completas. Una existencia axiom´aticamente establecida en nuestros d´ıas por el Axioma del Infinito, en todas las teor´ıas axiom´aticas de conjuntos, incluyendo sus m´ as populares versiones ZFC y BNG [188], [186]. Es por tanto ese axioma la causa de la contradicci´ on 395-396.

142 —— La m´ aquina de Hilbert

22.-Curvas de Jordan infinitas

´n Introduccio 400 La sucesi´on ω−ordenada hxn i de puntos en el intervalo real (0, 1) definida por: 2n − 1 xn = (1) 2n es un ejemplo de ω-partici´ on de un segmento finito. Cada par de puntos sucesivos xn , xn+1 define una parte de la partici´ on. Las sucesivas partes son disjuntas y adyacentes, de modo que el extremo derecho de una coincide con el extremo izquierdo de la siguiente: [x1 , x2 ), [x2 , x3 ), [x3 , x4 ), . . .

x1

x2

x3

x4

x5

x6

(2)

x7 ...

Figura 22.1: Partici´on de una recta.

401 Como es bien sabido, al menos desde el siglo XVIII, las ω-particiones de segmentos lineales finitos son posibles solo si las sucesivas partes adyacentes de la partici´ on son de una longitud decreciente, en caso contrario la longitud de la l´ınea tendr´ıa que ser infinita [15]. Esta inevitable restricci´on origina una inmensa asimetr´ıa en la partici´ on. En efecto, cualquiera que sea la longitud del segmento AB ω-particionado y cualquiera que sea la ω-partici´ on, todas sus partes, excepto un n´ umero finito de ellas, estar´ an necesariamente dentro de un intervalo final CB arbitrariamente peque˜ no. 402 A modo de ilustraci´on, consideremos una ω-partici´ on de un segmento 10 de recta AB de longitud igual a 9,3 × 10 a˜ nos luz, el supuesto di´ ametro del universo visible. Cualquiera que sea la ω-partici´ on de este enorme segmento lineal todas sus infinitas partes, salvo un n´ umero finito de ellas, inevitablemente se encuentran dentro de un intervalo final CB inconcebible menor que, por ejemplo, la longitud de Planck (∼ 10−33 cm). No hay forma de realizar una partici´ on m´ as equitativa si la partici´ on tiene que 143

144 —— Curvas de Jordan infinitas

ser ω−ordenada, la m´ as peque˜ na de las particiones infinitas (Figura 22.2). As´ı, las ω-particiones son ω-asim´etricas. Y siendo ω el menor ordinal infinito, cualquier partici´ on infinita ha de contener al menos una partici´ on ω−ordenada. Infinitas partes en CB cuya longitud es m enor que la distancia -33 de Planck: 10 cm

A

m 1 m 2 m 3 €46

CB

Núm ero finito de partes en AC 10

cuya longitud es 9,3x10

años luz

Figura 22.2: ω-asimetr´ıa espacial en la ω -partici´on de un segmento AB cuya longitud es el di´ ametro del universo visible.

403 La consecuencia antiest´etica de la asimetr´ıa anterior se vuelve algo m´ as controvertida si el objeto particionado es una l´ınea cerrada como las curvas de Jordan. El objetivo de la siguiente discusi´on ser´ a precisamente examinar una de esas particiones.

´ n infinita de una curva de Jordan Particio 404 Sea f (x) una funci´ on real cuya gr´ afica es una curva de Jordan1 J e en J. en el plano eucl´ıdeo R2 . Sean a y b los puntos extremos del arco ab e Escribiremos L(a, b) para representar la longitud de ab: Z bq 1 + (f (x)′ )2 dx (3) L(a, b) = a

405 Sup´ongase que la longitud de J es infinita. En esas condiciones sea r cualquier n´ umero real propio mayor que 0 y sup´ongase que J se divide a partir de un punto cualquiera x1 , y en el sentido de las agujas del reloj, en g g un cierto n´ umero de partes adyacentes xg 1 x2 , x 2 x3 , x 3 x4 . . . de modo que g cada parte x x tenga un longitud finita igual o mayor que r: i i+1 L(xi , xi+1 ) ≥ r, ∀i ∈ I

1 Una

(4)

curva de Jordan es una curva simple y cerrada que equivale topol´ ogicamente a un c´ırculo unidad, i.e. una curva que no se corta a s´ı misma.

Partici´ on infinita de una curva de Jordan —— 145

donde I es el conjunto de los ´ındices de la partici´ on. 406 Las partes de una partici´ on son disjuntas y adyacentes, de manera que el extremo izquierdo de una cualquiera de las partes coincide con el extremo derecho de la siguiente. En estas condiciones, cada parte tiene una sucesora inmediata (excepto la u ´ltima, si existe una u ´ltima parte) y una predecesora inmediata (excepto la primera). Por lo tanto, las particiones tienen ordinalidad. Son α ordenadas, siendo α un ordinal finito o infinito. 407 Evidentemente la partici´ on hxi ii∈I ha de ser infinita porque de otro modo, y siendo finita la longitud de cada parte, J tendr´ıa una longitud finita. Adem´as, y de acuerdo con Cantor [34], hxi ii∈I no puede ser infinita no numerable. Para ver que as´ı ha de ser, consid´erese la sucesi´on de n´ umeros reales hri ii∈I definida por: r1 = x1

(5)

ri+1 = ri + L(xi , xi+1 ), ∀i ∈ I

(6)

La biyecci´on f entre hxi ii∈I y hri ii∈I definida por f (xi ) = ri prueba que ambas sucesiones tienen la misma cardinalidad. As´ı, si la primera fuera infinita no numerable tambi´en lo ser´ıa la segunda. Pero hri ii∈I no puede ser infinita no numerable porque si ese fuera el caso podr´ıamos elegir un n´ umero racional diferente qi en cada intervalo real [ri , ri+1 ) y tendr´ıamos un conjunto no numerable de n´ umeros racionales distintos, lo que, de acuerdo con Cantor, es imposible. 408 En el cap´ıtulo 12 se examinaron las posibilidades de las particiones no numerables y se demostr´o que la conclusi´on de Cantor podr´ıa no ser la conclusi´on correcta. En cualquier caso, y siendo ω el menor de los ordinales infinitos, el ordinal de cualquier partici´ on infinita tiene que ser ω o mayor que ω , lo que significa que contiene al menos un subpartici´on ω−ordenada. 409 Por consiguiente el ordinal de la partici´ on hxi ii∈I tiene que ser ω o mayor que ω. Es inmediato demostrar, sin embargo, que no puede ser ni ω ni mayor que ω. 410 Consid´erese un punto y en el sentido contrario al de las agujas del reloj y tal que: L(y, x1 ) = r/2 (7) De (4) deducimos que y s´ olo puede pertenecer a la u ´ltima parte de hxi ii∈I . Por tanto, esta partici´ on no puede ser ω−ordenada porque las particiones ω−ordenadas no tienen una u ´ltima parte.

146 —— Curvas de Jordan infinitas

y x1

x2 x3

x w+1

z

r/2

x4

...

xw

...

r/2

Figura 22.3: Partici´on infinita de una curva de Jordan en el plano eucl´ıdeo R2 .

411 Supongamos entonces que el ordinal de la partici´ on hxi ii∈I es mayor que ω. En esas condiciones tendr´a que existir una parte xg ω xω+1 . Ahora bien, de acuerdo de nuevo con (4), el punto z situado en el sentido contrario al de las agujas del reloj con relaci´ on a xω y tal que L(z, xω ) = r/2 solo puede pertenecer a la parte que antecede de forma inmediata a xg ω xω+1 , lo que es imposible. Esto prueba que el ordinal de hxi ii∈I no puede ser mayor que ω. 412 Acabamos de probar que el ordinal de la partici´ on hxi ii∈I ha de ser ω o mayor que ω, pero no puede ser ni ω ni mayor que ω. En consecuencia, las curvas de Jordan de longitud infinita son objetos inconsistentes..

23.-Infinito uno a uno

´ n unario El sistema de numeracio 413 Tal vez la forma m´ as primitiva de representar n´ umeros [203] es lo que ahora llamamos el sistema unario de numeraci´on (SUN). Como su nombre indica, s´ olo se necesita un numeral1 para representar cualquier n´ umero natural. Aqu´ı vamos a utilizar el numeral ’1’. Los sucesivos n´ umeros naturales se escribir´an entonces: 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, . . .

(1)

414 Aunque, por razones obvias, el SUN no es el m´ as adecuado para el c´alculo complejo, es el sistema que mejor representa la esencia de los n´ umeros naturales: cada n´ umero natural es exactamente una unidad mayor que su predecesor inmediato. En consecuencia, la expresi´ on unaria de cada n´ umero natural tiene exactamente un numeral m´ as que la expresi´ on unaria de su inmediato predecesor. El SUN sugiere, adem´ as, una definici´on aritm´etica recursiva de los n´ umeros naturales: a partir del primero de ellos, el n´ umero 1, a˜ nadir una unidad para definir el siguiente. 415 De acuerdo con la hip´ otesis del infinito actual, los infinitos n´ umeros naturales existen como una totalidad completa. El resultado de la definici´on de los sucesivos n´ umeros naturales (todo finitos) mediante la adici´ on de una unidad al primer n´ umero natural un n´ umero infinito de veces sucesivas, es una infinidad de n´ umeros finitos cada uno una unidad mayor que su predecesor inmediato, a pesar de lo cual no se llega a alcanzar un n´ umero infinito. O en t´erminos del SUN, de acuerdo con la ortodoxia infinitista es posible definir infinitas cadenas finitas de ’1’s cada una con un ’1’ m´ as que la anterior, sin originar nunca una cadena con un n´ umero infinito de ’1’s. 416 Pongamos a prueba la hip´ otesis anterior sobre la existencia de una 1 El

numeral de un n´ umero no es un n´ umero sino el s´ımbolo que se utiliza para referirse al n´ umero. As´ı, el n´ umero ’5’ es el s´ımbolo para el n´ umero 5 en el sistema normal (decimal) de numeraci´ on.

147

148 —— Infinito uno a uno

Cabezal de escritura

1111

Cinta

… … …

Figura 23.1: La m´aquina unaria de escribir a punto de escribir el quinto numeral.

infinitud actual de n´ umeros finitos, cada uno una unidad mayor que su predecesor inmediato. Para ello, consideremos una m´ aquina unaria de escribir (MUE) capaz de escribir cadenas horizontales de ’1’s de cualquier longitud finita. Ahora hagamos trabajar a MUE de acuerdo con las siguientes condiciones: a) En una cinta vac´ıa, MUE escribe un primer numeral ’1’. b) MUE escribe un nuevo numeral ’1’ a la derecha del u ´ltimo ’1’ previamente escrito si, y s´ olo si, el resultado es una cadena finita de ’1’s, es decir, la expresi´ on unaria de un n´ umero natural. De lo contrario MUE se detiene. 417 Es inmediato demostrar por inducci´on el siguiente: Teorema 417.-Para todo n´ umero natural v, MUE puede escribir una cadena finita Sv = 11 .(v) . . 1 de v numerales ’1’. Demostraci´ on.-Dado que 1 is una cadena finita, MUE puede escribir la primera cadena S1 = 1. Supongamos que MUE puede escribir la cadena Sn = 11 .(n) . . 1 de n numerales ’1’, siendo n cualquier n´ umero natural. Puesto que n + 1 es tambi´en finito, MUE puede escribir un nuevo numeral ’1’ a la derecha de Sn , i.e. una cadena finita Sn+1 = 11 (n+1) . . . 1 de n+1 numerales. As´ı, MUE puede escribir la primera cadena S1 y si para cualquier n´ umero (n) natural n, puede escribir una cadena Sn = 11 . . . 1 de n numerales ’1’ tambi´en puede escribir una cadena Sn+1 = 11 (n+1) . . . 1 de n + 1 numerales. Esto prueba que para todo n´ umero natural v, MUE puede escribir una cadena Sv = 11 .(v) . . 1de v numerales ’1’. 418 Supongamos ahora que mientras MUE pueda escribir un nuevo numeral ’1’ a la derecha del u ´ltimo ’1’ previamente escrito, lo escribe. Sea S la cadena resultante una vez que todos los numerales posibles han sido escritos. En primer lugar destaquemos que estamos asumiendo la posibilidad de llevar a cabo todas las acciones posibles de una sucesi´on de acciones sucesivas, precisamente porque son posibles. De lo contrario estar´ıamos ante una contradicci´ on b´ asica, la de una posibilidad imposible. Por lo tanto, estamos asumiendo la Primera Ley de la l´ogica, seg´ un la cual si algo es posible, entonces es posible.

El sistema de numeraci´ on unario —— 149

419 La cadena S no puede tener un n´ umero infinito de numerales, porque MUE escribe un nuevo numeral si, y s´ olo si, la cadena resultante tiene un n´ umero finito de numerales. Pero S tampoco puede tener un n´ umero finito de numerales. En efecto, supongamos que S tiene v numerales, siendo v cualquier n´ umero natural. Esto implicar´ıa que MUE no escribi´o el (v + 1)−´esimo numeral, lo cual, y siendo v + 1 un n´ umero finito, es imposible de acuerdo con el Teorema 417, si todos los posibles ’1’s han sido escritos. 420 El argumento anterior se puede convertir f´acilmente en una supertarea. En efecto, sea htn i una sucesi´on ω−ordenada y estrictamente creciente de instantes dentro del intervalo de tiempo finito (ta , tb ) cuyo l´ımite es tb . Supongamos que en el instante t1 MUE escribe un primer numeral ’1’ en una cinta vac´ıa y despu´es en cada instante sucesivo ti, i>1 de htn i escribe un nuevo numeral a la derecha del escrito previamente si, y solo si, la cadena de 1s resultante es finita. En otro caso MUE se detiene. En el instante tb tendremos una cadena S de numerales que no puede ser ni finita ni infinita. 421 En efecto, si fuera finita tendr´ıa un n´ umero finito n de numerales y por tanto MUE habr´ıa sido detenida antes de escribir el (n+1)-´esimo numeral, lo que no es imposible porque n+1 es tambi´en finito y por tanto MUE tambi´en puede escribir el (n+1)-´esimo numeral ’1’. 422 Si S es infinita, aparte de violar la condici´ on bajo la cual se ha de llevar a cabo la supertarea, un n´ umero infinito de numerales tuvo que ser escrito en el instante tb , cuando la supertarea ya hab´ıa terminado. En efecto, en cualquier instante anterior t del intervalo (ta , tb ) MUE ha escrito s´ olo un n´ umero finito de numerales, teniendo en cuenta que tb es el l´ımite de htn i tendremos: ∃v ∈ N : tv ≤ t < tv+1 (2) y por tanto, en el instante t MUE solo ha escrito un n´ umero finito v de numerales. Y as´ı para todo t en (ta , tb ). Por tanto no existe ning´ un instante en (ta , tb ) en el cual MUE haya escrito un n´ umero infinito de numerales. En consecuencia, si S es infinita, en el instante tb , el primer instante en el que MUE se encuentra ya detenida, MUE tiene que escribir un n´ umero infinito de numerales. 423 Los infinitistas defienden que todos los n´ umeros naturales se pueden contar en un intervalo finito de tiempo: contando cada n´ umero natural n en el preciso instante tn de la sucesi´on de instantes htn i (Cap´ıtulo 3, 13). Resulta curioso que todos los n´ umeros naturales puedan ser contados pero no escritos en el SUN, siendo ambos procesos totalmente equivalentes

150 —— Infinito uno a uno

en t´erminos formales. Excepto en que la escritura deja un resultado final inc´ omodo en la forma de una cadena de numerales (S) que no puede ser ni finita ni infinita. 424 Este es el tipo de resultado que uno puede esperar cuando se asume que es posible a˜ nadir un n´ umero infinito de veces un nuevo ’1’ a una cadena inicial S1 = 1 sin que la cadena se haga infinita. O lo que es lo mismo, cuando se asume la posibilidad de a˜ nadir un n´ umero infinito de unidades sucesivas a una primera unidad (el primer n´ umero natural) sin llegar a un n´ umero infinito. 425 Hay otra manera m´ as expl´ıcita de hacer evidente la falacia de agregar infinitas unidades sucesivas a una primera unidad sin llegar nunca a un n´ umero infinito. O, alternativamente, la falacia de escribir infinitos numerales ’1’ sucesivos a la derecha de un primer numeral ’1’ sin llegar nunca a una cadena infinita de numerales ’1’. Es la siguiente supertarea acondicionada. t1

t2 b1

BX

tb

t3 b2

BX

?

b3

BX

...

BX

Figura 23.2: A˜nadiendo bolas a una caja BX inicialmente vac´ıa.

426 Sea BX una caja vac´ıa, hbn i una colecci´on ω−ordenada de bolas etiquetadas y htn i una sucesi´on estrictamente creciente de instantes en el intervalo (ta , tb ) cuyo l´ımite es tb . Ahora consid´erese la siguiente supertarea condicionada: En cada uno de los sucesivos instantes ti de htn i a˜ nadir la bola bi si y s´ olo si, el n´ umero de bolas en la caja BX es finito. 427 En el instante tb habr´a terminado nuestro supertarea y BX contendr´a un cierto n´ umero de bolas. De acuerdo con la la hip´ otesis del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito, existe una totalidad completa de infinitos n´ umeros naturales finitos, 1, 2, 3, . . . , cada una unidad mayor que su predecesor inmediato. La colecci´on de bolas hbn i y la sucesi´on de instantes htn i tambi´en existen como totalidades completas. Todas estas colecciones y sucesiones completas de n´ umeros naturales, de bolas y de instantes son legitimadas por el Axioma del Infinito. A su vez, esas colecciones y sucesiones legitiman la realizaci´ on de nuestro supertarea en el intervalo de tiempo (ta , tb ).

La tabla monaria de los n´ umeros naturales —— 151

428 Consideremos las dos siguientes alternativas, exhaustivas y mutuamente excluyentes, con respecto al n´ umero de bolas en la caja BX en el instante tb : 1) En el instante tb , la caja BX contiene un n´ umero finito de bolas. 2) En el instante tb , la caja BX contiene un n´ umero infinito de bolas. 429 Sea v cualquier n´ umero natural y supongamos que en el instante tb la caja BX contiene v bolas. Puesto que v + 1 es tambi´en un n´ umero natural finito, la bola bv+1 tambi´en fue a˜ nadida a BX en el instante tv+1 . As´ı, en tb la caja BX no puede contener v bolas, y siendo v cualquier n´ umero natural finito podemos concluir que en el instante tb la caja BX no puede contener un n´ umero finito de bolas. 430 En el instante tb la caja BX tampoco puede contener un n´ umero infinito de bolas. En efecto: 1) BX contendr´a un n´ umero infinito de bolas si la condici´ on, a˜ nadir una bola a la caja si, y solo si, la caja contiene un n´ umero finito de bolas, ha sido violada. O si existe un n´ umero natural finito v tal que v + 1 sea infinito, lo que obviamente no es el caso. 2) Siendo tb el l´ımite de la sucesi´on htn i, en cada instante t del intervalo (ta , tb ) la caja BX contienen un n´ umero finito v de bolas: ∃v ∈ N : tv ≤ t < tv+1

(3)

Por tanto, la u ´nica manera de que BX contenga un n´ umero infinito de bolas en el instante tb es a˜ nadiendo infinitas bolas precisamente en el instante tb , lo que es imposible porque en el instante tb todas las bolas han sido ya a˜ nadidas a la caja, como demuestra la biyecci´on f (ti ) = bi . En el instante tb ninguna bola se a˜ nade a la caja BX. 431 La conclusi´on sobre la caja y las bolas es, por tanto, muy clara: Si la lista de los n´ umeros naturales existe como una totalidad infinita y completa, entonces la caja BX no puede contener ni un n´ umero finito ni un n´ umero infinito de bolas .

´ meros naturales La tabla monaria de los nu 432 Consideremos ahora la siguiente tabla ω−ordenada T de los n´ umeros naturales en su orden natural de precedencia y escritos en el sistema unario de numeraci´on: Fila F1 : 1

152 —— Infinito uno a uno

Fila F2 : 11 Fila F3 : 111 Fila F4 : 1111 Fila F5 : 11111 ... La n-´esima fila de T , simb´ olicamente rn , corresponde a la representaci´on unaria del n´ umero n, estando por consiguiente formada por n numerales ’1’. Seg´ un la hip´ otesis del infinito actual, las infinitas filas de T , una para cada n´ umero natural, existen todas en el acto, como una totalidad completa. 433 El n´ umero de filas de la tabla T es igual al n´ umero de n´ umeros naturales, es decir, ℵo , el cardinal del conjunto de los n´ umeros naturales. Seg´ un la ortodoxia infinitista, ℵo es el menor cardinal infinito, el menor n´ umero mayor que todos los n´ umeros naturales finitos (v´eanse los Cap´ıtulos 3 y 16 sobre el infinito actual y alef-cero). 434 La primera columna de T tiene ℵo elementos, uno para cada fila; uno para cada n´ umero natural. Dado que cada elemento de esta columna pertenece a una fila diferente y ninguna otra columna tiene m´ as elementos 2 que ella , podemos decir que esta primera columna define el n´ umero de filas de T en el sentido de que el primer elemento de cada fila es un elemento diferente de la primera columna, y por tanto es posible definir una biyecci´on entre las filas de T y los elementos de su primera columna. Sin embargo, mientras que el n´ umero de filas de T est´ a completamente definido por el n´ umero de elementos de su primera columna, el n´ umero de columnas de T es mucho m´ as problem´atico, como veremos inmediatamente. 435 Estando cada fila rn compuesta por exactamente n numerales ’1’, y siendo cada uno de esos numerales un elemento de una columna diferente de T , esa fila garantiza la existencia de al menos n columnas en T . Es en este sentido que diremos que rn define exactamente n columnas: ... r4 = 1111

r4 define 4 columnas

... r9 = 111111111

r9 define 9 columnas

... 436 Empecemos demostrando que el n´ umero de columnas de la tabla T 2 Se

podr´ıa demostrar f´ acilmente que cada columna de T tiene ℵo elementos

La tabla monaria de los n´ umeros naturales —— 153

no puede ser finito. En efecto, sea n cualquier n´ umero natural. T no puede tener n columnas porque en ese caso el n´ umero n + 1 no pertenecer´ıa a la tabla: la representaci´ on unaria de ese n´ umero es una cadena de n + 1 numerales ’1’ y, por tanto, una fila de T que define n + 1 columnas. En consecuencia, cualquiera que sea el n´ umero n, T no puede tener n columnas. 437 Y ahora probaremos que el n´ umero de columnas de T no puede ser infinito tampoco. Puesto que cada fila es la expresi´ on unaria de un n´ umero natural y todos los n´ umeros naturales son finitos, cada fila rn consistir´a en una cadena finita de n numerales ’1’. Por lo tanto cada fila de T define un n´ umero finito de columnas. O con otras palabras, ninguna fila de T define un n´ umero infinito de columnas. Pero si ninguna fila define un n´ umero infinito de columnas, T no puede tener un n´ umero infinito de columnas, a menos que el n´ umero de columnas de T est´e definido, no por una fila, sino por un grupo de filas. Examinaremos a continuaci´ on esa posibilidad. 438 Supongamos que el n´ umero infinito de columnas (C de ahora en adelante) de T no est´ a definido por una fila en particular sino por un grupo de filas, incluso por toda la tabla. Es evidente que si hace falta un grupo de filas (o toda la tabla) para definir C, entonces al menos dos de las filas del grupo contribuir´an conjuntamente a la definici´on. Donde contribuir conjuntamente significa que cada fila define columnas que la otra no define y viceversa. Sean rk y rn dos cualesquiera de esas filas ’contribuyentes’. Si rk y rn contribuyen juntas a definir C, entonces rk definir´a algunas columnas que rn no define, y viceversa. En otro caso solo una de ellas ser´ıa necesaria para definir C. 439 Ahora bien, puesto que k y n son n´ umeros naturales, tendremos o bien k < n o bien k > n. Supongamos que k < n, en este caso rk define las primeras k columnas de T y rn las primeras n columnas de T de modo que, aunque rn define (n − k) columnas que rk no define, todas las columnas definidas por rk tambi´en est´ an definidas por rn . Esto prueba la imposibilidad de que dos filas diferentes de un grupo de filas (incluyendo toda la tabla) contribuyan conjuntamente a definir C. 440 Y las cosas pueden empeorar con respecto a la definici´on del n´ umero de columnas de T . Sea htn i una sucesi´on ω−ordenada creciente de instantes en el intervalo real [ta , tb ) cuyo l´ımite es tb , y consid´erese la siguiente supertarea condicionada: Supertarea 441.-En cada instante ti de htn i elim´ınese de T la

154 —— Infinito uno a uno

fila ri si, y solo si, las filas restantes definen el mismo n´ umero de columnas que si ri no se elimina. En otro caso term´ınese la supertarea. 441 En cualquier caso, en el instante tb la supertarea se habr´a completado, y tendremos las dos siguientes alternativas, mutuamente excluyentes: 1) En el instante tb no todos las filas han sido eliminadas. 2) En el instante tb todas las filas han sido eliminadas. De acuerdo con la primera alternativa y teniendo en cuenta la forma sucesiva en la que se eliminaron las filas, habr´a una primera fila rn que no se ha eliminado porque su eliminaci´ on habr´ıa cambiado el n´ umero de columnas de T . Pero eso es imposible porque todas las columnas definidas por rn tambi´en est´ an definidas por rn+1 . La primera alternativa es por tanto falsa. Debemos concluir, en consecuencia, que la segunda alternativa es verdadera, lo que significa que ¡T tiene el mismo n´ umero de columnas que una tabla vac´ıa! 442 Mientras que, de acuerdo con la hip´ otesis del infinito actual subsumida por el Axioma del Infinito, T es una totalidad completa y bien definida compuesta por infinitas filas, el argumento 436/441 demuestra que el n´ umero de sus columnas no puede ser ni finito ni infinito, lo que parece algo contradictorio

24.-Temporizando el infinito

´n Introduccio 443 Las matem´ aticas no suelen ocuparse de la forma en la que las infinitos pasos sucesivos de, por ejemplo, una definici´on recursiva ω−ordenada se podr´ıan de hecho llevar a cabo. Simplemente supone que son llevados a cabo en su completa totalidad. Pero las definiciones o los procedimientos matem´ aticos compuestos por cualquier n´ umero finito o infinito de pasos sucesivos podr´ıan ser f´acilmente temporizados mediante una sucesi´on de instantes de la misma ordinalidad que la sucesi´on de pasos y una correspondencia uno a uno entre ambas sucesiones. Evidentemente, la correspondencia entre instantes y pasos no tiene ning´ un efecto sobre el resultado de la definici´on o del procedimiento temporizado. Simplemente establece los sucesivos instantes en los que cada uno de los sucesivos pasos podr´ıan tener lugar. Examinaremos aqu´ı la diferencia entre definir una sucesi´on infinita de objetos sin un u ´ltimo objeto que complete la sucesi´on, y redefinir un n´ umero infinito de veces el mismo objeto.

Definiciones recursivas 444 Sea han i una sucesi´on ω−ordenada a1 , a2 , a3 , . . . y consid´erese la siguiente sucesi´on ω−ordenada de definiciones recursivas: ( A1 = {a1 } (1) Ai = Ai−1 ∪ {ai } De acuerdo con la hip´ otesis del infinito actual, el resultado de la sucesi´on de definiciones (1) es una sucesi´on ω−ordenada hAn i de conjuntos anidados A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . que existe como una totalidad completa. Obviamente, eso implica asumir la compleci´ on de los infinitos pasos sucesivos de (1). 445 Sea ahora (ta , tb ) un intervalo de tiempo cualquiera y htn i una sucesi´ on ω−ordenada y estrictamente creciente de instantes dentro de (ta , tb ) cuyo l´ımite es tb , como es, por ejemplo, el caso de la sucesi´on cl´asica: tn = ta + (tb − ta )(2n − 1)/2n 155

(2)

156 —— Temporizando el infinito

La definici´on de htn i supone que el tiempo es infinitamente divisible, lo que podr´ıa, o no, ser el caso en el mundo f´ısico. Esto no es, sin embargo, un impedimento para las teor´ıas infinitistas formales, porque podr´ıa suponerse que se desarrollan en un universo conceptual en que el tiempo se define arbitrariamente como infinitamente divisible. 446 La sucesi´on de definiciones (1) puede ser temporizada por la sucesi´on htn i de una forma elemental: suponiendo que cada n-´esimo paso tiene lugar en el preciso instante tn . La correspondencia uno a uno f definida por: f : hti i ↔ hAi i f (ti ) = Ai , ∀i ∈ N

(3) (4)

demuestra que en el instante tb tendremos la misma totalidad ω−ordenada hAn i definida en (1). N´otese que cada paso sucesivo de la definici´ on (1) define un nuevo conjunto, y que finalmente tendremos una sucesi´on de infinitos conjuntos sin un u ´ltimo conjunto que complete la sucesi´on.

´ n conflictiva Una definicio 447 Temporizar las definiciones matem´ aticas compuestas por un n´ umero infinito de pasos pone de manifiesto algunas insuficiencias importantes en la supuesta completitud de las totalidades ω−ordenadas implicadas. Examinaremos una de ellas a continuaci´ on. 448 Sean x e y de dos variables naturales (cuyo dominio es el conjunto de los n´ umeros naturales) y consid´erense las siguientes sucesiones ω−ordenadas de (re)definiciones de ambas variables hDn (x)i y hDn (y)i  Dn (y) = 1 (5) En cada sucesivo instante tn de htn i  Dn (x) = n

siendo n la misma en tn que en Dn (x) = n. Evidentemente, y es siempre definida con el mismo valor 1, mientras que en cada sucesivo instante tn , x es definida con un valor diferente: el ´ındice n de tn . Puesto que tb es el l´ımite de htn i, en el instante tb las sucesiones hDn (x)i y hDn (y)i se habr´an completado. Por tanto, tb es el primer instante en el cual las variables x e y ya no se vuelven a redefinir. 449 Ahora vamos a probar que x e y permanecen bien definidas en todo el intervalo [t1 , tb ). En efecto, sea t cualquier instante dentro de [t1 , tb ). Evidentemente, se verifica t1 ≤ t < tb . As´ı que, si t = t1 tendremos x = 1; y = 1. Y si t1 < t, habr´a un ´ındice v tal que tv ≤ t < tv+1 porque htn i

Una definici´ on conflictiva —— 157

es una sucesi´on ω−ordenaday estrictamente creciente cuyo l´ımite es tb . En este caso tenemos x = v; y = 1. Esto demuestra que ambas variables se mantienen bien definidas en todo el intervalo [t1 , tb ). 450 Puesto que x e y permanecen bien definidas a lo largo del intervalo completo [t1 , tb ) y ninguna otra definici´on ocurre ni en tb ni despu´es de tb , podemos concluir que ambas variables permanecen bien definidas en todo el intervalo cerrado [t1 , tb ]. y bien definida x bien definnida

...

x indefinida

... ...

ta

tb

t

Figura 24.1: Justo en el instante tb la variable natural x resulta indefinida, aunque nada ocurre en tb que pueda ’indefinir’ a x.

451 Es inmediato demostrar, sin embargo, que x no est´ a definida en tb . Aunque siempre se defini´o como un n´ umero natural, su valor actual en tb no puede ser un n´ umero natural, de lo contrario, y teniendo en cuenta que ha sido sucesivamente definida como los sucesivos n´ umeros naturales en su orden natural de precedencia, ese n´ umero ser´ıa el imposible u ´ltimo n´ umero de natural, o bien solo un n´ umero finito de definiciones se habr´an realizado. Obs´ervese que esta no es una cuesti´ on de indeterminaci´on sino de imposibilidad: no existe ning´ un n´ umero natural v tal que el valor de x en tb fuera v. Ninguno. Por lo tanto, no sabemos nada sobre el valor actual de x en el instante tb . Despu´es de infinitas definiciones correctas, x consigue quedar indefinida en el preciso instante tb . El problema es que en tb no ocurre nada que pueda dejar a x indefinida. 452 De acuerdo con 450 y 451, tendremos que concluir que, como consecuencia de haber sido definida correctamente un n´ umero infinito de veces, en el instante tb la variable x est´ a y no est´ a definida.

158 —— Temporizando el infinito

25.-Divisibilidad del espaciotiempo

El menor ordinal infinito 453 El primer ordinal infinito1 ω es el menor ordinal mayor que todos los ordinales finitos, es el l´ımite de la sucesi´on de todos los ordinales finitos 1, 2, 3, . . . . El ordinal ω define un tipo de buen orden llamado ω−orden:2 un conjunto o sucesi´on es ω−ordenada si tiene un primer elemento y cada elemento tienen un sucesor inmediato3 y un predecesor inmediato, excepto el primero, que no tiene predecesores. En consecuencia no existe u ´ltimo elemento en una sucesi´on o conjunto ω−ordenado. El conjunto de los n´ umeros naturales en su orden natural de precedencia {1, 2, 3, . . . } es un ejemplo bien conocido de conjunto ω−ordenado. 454 El ω ∗ −orden es el reflejo sim´etrico del ω−orden: una sucesi´on o conjunto es ω ∗ −ordenado si tiene un u ´ltimo elemento y cada elemento tiene un predecesor inmediato y un sucesor inmediato, excepto el u ´ltimo, que no tiene sucesores. En consecuencia no existe el primer elemento: ω ∗ −orden

ω−orden

}| {z }| { z . . . t3∗ , t2∗ , t1∗ | t1 , t2 , t3 , . . .

(1)

donde 1∗ , 2∗ , 3∗ , . . . significan primero por la cola, segundo por la cola, tercero por la cola, etc. El conjunto Z− de los enteros negativos en su orden natural de precedencia {. . . , −3, −2, −1} es un ejemplo bien conocido de conjunto ω ∗ −ordenado. 455 De acuerdo con la definici´on 453 de ω−orden, cada elemento de un conjunto ω−ordenado tiene un n´ umero finito de predecesores y un n´ ume1 De

acuerdo con la terminolog´ıa cl´ asica de Cantor [39], los ordinales finitos como 1, 2, 3,. . . , son ordinales de la primera clase, mientras que los ordinales transfinitos, como ω, ω +1, ω +2, . . . , son de la segunda clase. Un ordinal de la segunda clase es de la segunda especie si, como ω, es el l´ımite de una sucesi´ on infinita de ordinales; es de la primera especie si es de la forma α + n, donde α es un ordinal de la segunda clase y segunda especie y n un ordinal finito. 2 En t´ erminos formales un conjunto es ω−ordenado si est´ a bien ordenado y su ordinal es ω. 3 Entre un elemento y su sucesor inmediato no existe ning´ un otro elemento de la sucesi´ on.

159

160 —— Divisibilidad del espaciotiempo

ro infinito de sucesores. En el caso del ω ∗ −orden cada elemento de una sucesi´on ω ∗ −ordenada tiene un n´ umero finito de sucesores y un n´ umero infinito de predecesores. Esta inmensa asimetr´ıa en el n´ umero de predecesores y sucesores (ω-asimetr´ıa) es un hecho bien conocido, aunque suele ser ignorado en la literatura infinitista. 456 La mayor´ıa de los argumentos que usaremos en este cap´ıtulo son similares a los que desarrollamos en el Cap´ıtulo sobre dicotom´ıas, aunque ahora el objetivo es analizar la supuesta divisibilidad infinita del espacio y el tiempo. La discusi´on podr´ıa ser desarrollada en t´erminos de puntos, en t´erminos de instantes, y en t´ermino de puntos e instantes. Siendo las tres similares, solo analizaremos el caso de los instantes. Pero antes de hacerlo, vamos a examinar un extravagante asimetr´ıa infinitista. 457 Sea htn i una sucesi´on cualquiera estrictamente creciente y ω−ordenada de instantes definida dentro del intervalo finito real (ta , tb ) cuyo l´ımite es tb . Y sea S una supertarea cuyas infinitas acciones han i son realizadas en los sucesivos instantes de htn i, cada acci´ on ai realizada en el preciso instante ti . En consecuencia, en el instante tb ya se han realizado todas las acciones han i. N´otese que no hay un u ´ltimo instante en el que la supertarea se acaba, sino un primer instante tb en la que la supertarea ya se ha terminado. 458 Conviene recordar que el l´ımite tb no es el instante en el cual termina S 4 sino el primer instante despu´es de que S haya terminado, el primer instante despu´es de que se hayan realizado todas las acciones de han i. Siendo tb el l´ımite de htn i, en cualquier instante t anterior a tb y arbitrariamente cercano a ´el, solo un n´ umero finito de acciones se habr´an realizado, mientras que un n´ umero infinito de ellas quedan a´ un por realizar (ω -asimetr´ıa). 459 Para comprender la colosal magnitud de la ω-asimetr´ıa anterior, sup´ongase que el intervalo [ta , tb ] es trillones de veces mayor que la edad del universo y consid´erese, por otra parte, un intervalo de tiempo τ = 0,000 . . . 001 segundos tan peque˜ no que ser´ıan necesarios trillones y trillones de p´ aginas de texto est´ andar para escribir todos los ceros entre la coma decimal y la u ´ltima cifra 1, un n´ umero de p´ aginas tan inmenso que no 5 cabr´ıan en el universo visible actual . Pues bien, solo un n´ umero finito de tareas se habr´a realizado durante los trillones de a˜ nos transcurridos entre ta y tb − τ , mientras que un n´ umero infinito de acciones, pr´ acticamente todas 4 No

existe un instante en el que S termina porque han i es ω−ordenada y las sucesiones ω−ordenadas no tienen u ´ltimo elemento. esfera de 93000 billones de a˜ nos luz.

5 Una

Dicotom´ıas del espaciotiempo —— 161

ellas, tendr´an que ser realizadas durante el inimaginablemente peque˜ no interval de tiempo τ . M´as que antiest´etica, la ω -asimetr´ıa es repulsiva. 460 Y las cosas pueden empeorar. Supongamos que eliminamos de [ta , tb ] todos los instantes en los que a´ un quedan por realizar un n´ umero infinito de tareas de la supertarea S. Habr´ıa que eliminar todos los instantes de [ta , tb ], excepto tb . En efecto, sea t un instante cualquiera de [ta , tb ] diferente de tb . Puesto que tb es el l´ımite de htn i, tendremos: ∃v ∈ N : tv ≤ t < tv+1

(2)

De modo que en el instante t solo se habr´an realizado un n´ umero finito v de tareas de la supertarea S y entonces a´ un quedan por realizar un n´ umero infinito de tales tareas. Por tanto t ha de ser eliminado de [ta , tb ]. En consecuencia, y siendo t un elemento cualquiera de [ta , tb ] diferente de tb , todos los instantes de [ta , tb ], excepto tb , han de ser eliminados de ese intervalo. Por lo tanto, en tb , el primer instante despu´es de completar la supertarea, a´ un quedan por realizar un n´ umero infinito de tareas de S.

Dicotom´ıas del espaciotiempo 461 Consid´erese un intervalo finito cualquiera de tiempo [ta , tb ] y dentro de ´el dos sucesiones de instantes, la sucesi´on ω−ordenada de t-instantes: 2i − 1 (tb − ta ), ∀i ∈ N (3) 2i cuyo l´ımite superior es tb y la sucesi´on ω ∗ −ordenada de t∗ -instantes: 1 ht∗i∗ i : t∗i∗ = ta + i (tb − ta ), ∀i ∈ N (4) 2 cuyo l´ımite inferior es ta y donde i∗ representa el i-´esimo elemento por la cola de la sucesi´on ω ∗ −ordenada ht∗i∗ ii∈N . hti i : ti = ta +

462 Examinaremos ahora la forma en la que transcurren los sucesivos t∗ instantes de ht∗n∗ i y los sucesivos t-instantes de htn i a medida que el tiempo pasa de ta a tb , para lo cual consideraremos los dos siguientes funciones: f ∗ (t) = n´ umero de t∗ -instantes transcurridos en t, ∀t ∈ [ta , tb ]

(5)

f (t) = n´ umero de t-instantes por transcurrir en t, ∀t ∈ [ta , tb ]

(6)

463 De acuerdo con las definiciones de ω ∗ −orden y de ω−orden, podemos escribir: ( ( 0 if t = ta ℵo if t < tb ∗ f (t) = f (t) = (7) ℵo if t > ta 0 if t = tb En caso contrario, si siendo n un n´ umero natural, existiera un instante t

162 —— Divisibilidad del espaciotiempo

tal que f ∗ (t) = n, o bien f (t) = n, entonces existir´ıan los imposibles n primeros t´erminos de una sucesi´on ω ∗ −ordenada, o bien los imposibles n u ´ltimos t´erminos de una sucesi´on ω−ordenada. 464 De acuerdo con 463, las funciones f ∗ y f est´ an bien definidas para todo t en [ta , tb ]; hacen corresponder cada elemento de [ta , tb ] con un elemento del conjunto {0, ℵo }: f ∗ : [ta , tb ] 7→ {0, ℵo } (8) f : [ta , tb ] 7→ {0, ℵo }

(9)

465 La funci´ on f ∗ define, por tanto, una dicotom´ıa, (t∗ -dicotom´ıa): ◮ Con relaci´ on al n´ umero de t∗ -instantes transcurridos a medida que el tiempo pasa de ta a tb solo dos valores son posibles: 0 y ℵo . La funci´on f tambi´en define una dicotom´ıa, (t-dicotom´ıa): ◮ Con relaci´ on al n´ umero de t-instantes que quedan por transcurrir a medida que el tiempo pasa de ta a tb solo son posibles dos valores: ℵo y 0. À0

0

tb

ta

Prohibido

Prohibido

1 2 3

tb

ta 3 2 1 0

À0

Figura 25.1: t∗ -dicotom´ıa (izquierda) y t-dicotom´ıa (derecha)

466 Con respecto al n´ umero de t∗ -instantes transcurridos desde ta , el paso del tiempo desde ta a tb solo puede exhibir dos estados: el estado S ∗ (0) en el cual no ha transcurrido todav´ıa ning´ un t∗ -instante, y el estado S ∗ (ℵo ) en el cual una infinidad contable (ℵo ) de t∗ -instantes ha transcurrido ya. No son posibles los estados finitos intermedios S ∗ (n) en los cuales solo hayan transcurrido un n´ umero finito n de t∗ -instantes. El paso del tiempo llega ser S ∗ (ℵo ) directamente a partir S ∗ (0). De igual manera, con respecto al n´ umero de t-instantes a´ un por transcurrir, el paso del tiempo desde ta hasta tb solo puede exhibir dos estados: S(ℵo ) y S(0), sin estados finitos intermedios S(n) en los que solo quedaran por transcurrir un n´ umero finito

Divisibilidad del espaciotiempo —— 163

n de t-instantes. El paso del tiempo alcanza el estado S(0) directamente a partir de S(ℵo ). 467 Si bien la transici´on S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) no plantea problemas adicionales, se podr´ıa argumentar que la transici´on S(ℵo ) → S(0) no tiene sentido porque la resta de cardinales infinitos no siempre est´ a permitida en la aritm´etica transfinita. Esto es tan absurdo como decir que el tiempo no pasa porque los cardinales transfinitos no siempre se pueden restar (la sustracci´ on de cardinales transfinitos puede conducir a contradicciones). En cualquier caso, lo que no tendr´ıa sentido ser´ıa el an´ alisis aritm´etico de esa transici´on. Pero el an´ alisis aritm´etico no tiene nada que ver con el tipo de razonamiento que hemos usado y que seguiremos usando en la siguiente discusi´ on. Un razonamiento que se basa exclusivamente en una consecuencia del ω−orden y del ω ∗ −orden: que siendo n un n´ umero natural cualquiera, no existen ni los primeros n elementos de una sucesi´on ω ∗ −ordenada ni los u ´ltimos n elementos de una sucesi´on ω−ordenada. 468 Si el tiempo pasa, como ha de pasar, de ta a tb , entonces los sucesivos t-instantes tambi´en pasar´an, y en el instante tb todos ellos habr´an pasado. La transici´on tiene lugar, tengamos o no una definici´on apropiada de la sustracci´on de cardinales. Y si tiene lugar, tendr´a una duraci´on igual o mayor que cero. Eso es todo lo que necesitaremos saber para llevar a cabo el siguiente an´ alisis l´ ogico de la transici´on S(ℵo ) → S(0).

Divisibilidad del espaciotiempo 469 Examinaremos ahora la duraci´on de las transiciones: S ∗ (0) → S ∗ (ℵo )

(10)

S(ℵo ) → S(0)

(11)

De acuerdo con (7) el n´ umero de t∗ -instantes transcurridos desde ta y el n´ umero de t-instantes a´ un por transcurrir desde ta est´ an bien definidos en todo el intervalo [ta , tb ]. Por otra parte, ambas transiciones han de tener lugar dentro del mismo intervalo de tiempo [ta , tb ]. 470 Aunque el intervalo real [ta , tb ] est´ a densamente ordenado, las su∗ an. Estas sucesiones son cesiones hti∗ i y hti i contenidas en ´el, no lo est´ ω ∗ −ordenadas y ω−ordenadas respectivamente, lo que significa que los t∗ -instantes y los t-instantes son estrictamente sucesivos; es decir, entre cualquier t∗ -instante y su inmediato sucesor no existe ning´ un otro t∗ -instante; y lo mismo vale para los t-instantes. De esa forma, los t∗ -instantes y los t-instantes solo pueden transcurrir sucesivamente, uno cada vez, y

164 —— Divisibilidad del espaciotiempo

de tal modo que entre dos cualesquiera de esos sucesivos instantes t∗n , t∗n+1 siempre transcurre un tiempo mayor que cero, t∗n+1 - t∗n > 0 (ω-separaci´on). En consecuencia, el n´ umero de t∗ -instantes transcurridos desde ta solo puede aumentar de uno en uno, desde 0 hasta ℵo . Lo mismo vale para la forma en la que el n´ umero de t-instantes por transcurrir disminuye desde ℵo hasta 0. Esta sucesividad jugar´ a un papel decisivo en la discusi´on que sigue. 471 Como consecuencia de la t∗ -dicotom´ıa, el n´ umero de t∗ -instantes transcurridos desde ta debe incrementarse uno a uno desde 0 hasta ℵo sin atravesar la sucesi´on creciente de n´ umeros naturales 1, 2, 3, . . . . An´alogamente, el n´ umero de t-instantes por transcurrir debe decrecer de uno en uno, desde ℵo hasta 0 sin atravesar la sucesi´on decreciente de n´ umeros naturales . . . , 3, 2, 1 (v´ease la Figura 25.2).

1 0 1* 2* 3* 3 2 4* 4 5

Z-Reloj

…

*

Número de t*-instantes transcurridos

t*-instantes

ta FR

t-instantes

À0

tb

…

5

Número de t-instantes por transcurrir

Figura 25.2: A medida que el tiempo (flecha roja FR) pasa desde ta hasta tb la flecha de los t∗ -instantes ha de girar en sentido de las agujas del reloj desde 0 hasta ℵo sin pasar sobre los sucesivos radios 1*, 2*, 3*, . . . . Al mismo tiempo, la flecha de los t-instantes ha de girar en sentido de las agujas del reloj desde ℵo hasta 0 sin pasar sobre los sucesivos radios . . . 3, 2, 1.

472 La duraci´on de la transici´on S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) es, de acuerdo con 470, el intervalo de tiempo dentro de [ta , tb ] durante el cual el n´ umero de t∗ -instantes transcurridos desde ta aumenta, de uno en uno y con un intervalo de tiempo no nulo entre cada aumento (ω-separaci´on), desde cero hasta alef-cero. De forma similar, la duraci´on de la transici´on S(ℵo ) → S(0) es el intervalo de tiempo dentro de [ta , tb ] durante el cual el n´ umero de t-instantes que todav´ıa han de transcurrir disminuye, uno a uno y con un intervalo de tiempo no nulo entre cada disminuci´ on (ω-separaci´on), desde alef-cero hasta cero.

Divisibilidad del espaciotiempo —— 165

473 Puesto que entre dos t∗ -instantes sucesivos siempre transcurre un intervalo de tiempo mayor que cero (ω-separaci´on), la transici´on S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) durar´a necesariamente un intervalo de tiempo mayor de cero. La misma conclusi´on, y por las mismas razones, se habr´a de aplicar a la transici´ on S(ℵo ) → S(0). 474 Es importante destacar que no estamos calculando la duraci´on exacta de las transiciones S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) y S(ℵo ) → S(0) sino demostrando que ambas han de ser necesariamente mayores que cero. La duraci´on exacta de esas transiciones no se puede calcular porque no existen ni el primer instante en el que se inicia la transici´on S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) ni el u ´ltimo instante en el que termina la transici´on S(ℵo ) → S(0). Pero por muy indeterminables que sean, ambas transiciones han de ser mayores que cero por las razones dada en 473. Probaremos ahora, sin embargo, que no pueden ser mayores que cero. 475 Supongamos que la transici´on S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) dura un tiempo τ , siendo τ cualquier n´ umero real positivo. Sea τ ′ cualquier instante del intervalo real (0, τ ). De acuerdo con la t∗ -dicotom´ıa, el n´ umero de t∗ -instantes transcurridos en el instante ta + τ ′ es ℵo , y por tanto la transici´ on S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) ya ha terminado. En consecuencia, la transici´on ∗ S (0) → S ∗ (ℵo ) dura un tiempo menor que τ . Y siendo τ cualquier n´ ume∗ ∗ ro real mayor que 0, hemos de concluir que la duraci´on de S (0) → S (ℵo ) es menor que cualquier n´ umero real mayor que cero. Y eso solo es posible si esa duraci´on es nula. 476 Un argumento similar a 475 prueba que la transici´on S(ℵo ) → S(0) ha de ser tambi´en instant´ anea. Se podr´ıa argumentar que la transici´on S(ℵo ) → S(0) dura un tiempo tb - ta , pero eso es imposible porque en el instante ta + τ , siendo τ cualquier n´ umero real positivo menor que tb − ta , el n´ umero de t-instantes por transcurrir es ℵo , y entonces la transici´on S(ℵo ) → S(0) no ha comenzado a´ un. Por tanto tarda un tiempo menor que tb − ta . 477 De acuerdo con 475 y 476, un n´ umero infinito de t∗ -instantes sucesivos, y un n´ umero infinito de t-instantes sucesivos han de transcurrir simult´ aneamente. Pero eso es imposible porque los t∗ -instantes y los tinstantes sucesivos no pueden transcurrir de forma simult´ anea: entre dos cualesquiera de esos sucesivos t∗ -instantes t∗n , t∗n+1 (o t-instantes tn , tn+1 ) siempre transcurre un intervalo de tiempo mayor que cero: el intervalo

166 —— Divisibilidad del espaciotiempo

∆ n t∗ : ∆n t∗ = t∗n+1 − t∗n =

tb − ta >0 2n+1

(12)

o el intervalo ∆n t: tb − ta >0 (13) 2n+1 Las transiciones S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) y S(ℵo ) → S(0) han durar tiempos mayores que cero pero no pueden durar tiempos mayores que cero (475-476). Tenemos pues dos contradicciones que prueban la imposibilidad de dividir cualquier intervalo finito de tiempo en una infinitud actual de partes ω ∗ −ordenadas y en una infinitud actual de partes ω−ordenadas (v´ease el Z-reloj de la Figura 25.2). ∆n t = t(n+1) − tn =

478 Como u ´ltimo recurso, algunos infinitists afirman que no tienen sentido tratar de calcular la duraci´on de las transiciones S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) y S(ℵo ) → S(0) simplemente porque no hay ni primer elemento en las sucesiones ω ∗ −ordenadas ni u ´ltimo elemento en las sucesiones ω−ordenadas. Pero aqu´ı no hemos estado tratando de calcular la duraci´on de esas transiciones, nos hemos limitado a tratar de demostrar que tienen que durar un tiempo mayor que cero (ω-separaci´on), pero que no pueden durar un tiempo mayor que cero (ω-dicotom´ıa). 479 Cualquier partici´ on numerable del tiempo ha de ser α−ordenada o ∗ α -ordenada, siendo α un ordinal de la segunda clase (y primera o segunda especie). As´ı, tendremos: α=ω (14) o bien: α = ω+β

(15)

donde β es un ordinal de la segunda clase (primera o segunda especie). Por tanto, cualquier partici´ on transfinita del tiempo ha de contener una imposible partici´ on ω−ordenada (u ω ∗ −ordenada). Las particiones numerables del tiempo son, por tanto, imposibles. Y puesto que cualquier divisi´on no numerable contiene infinitas divisiones numerables, hemos de concluir que el tiempo no es infinitamente divisible en t´erminos consistentes. 480 Si en lugar del paso del tiempo y de las sucesiones de t∗ -instantes y de t-instantes, hubi´eramos considerado el movimiento linear uniforme de una part´ıcula atravesando los Z ∗ puntos hzn∗ i y los Z-puntos hzn i definidos

Divisibilidad del espaciotiempo —— 167

en el intervalo [0, 1] de la recta real por: 1 , ∀i ∈ N 2i

(16)

2i − 1 , ∀i ∈ N 2i

(17)

hzi∗∗ i : zi∗∗ = hzi i : zi =

habr´ıamos llegado a la misma conclusi´on, y por las mismas razones, sobre la infinita divisibilidad del espacio que a la que hemos llegado sobre la infinita divisibilidad del tiempo. 481 Las conclusiones anteriores sobre la divisibilidad del espacio y el tiempo no s´ olo se aplican al espacio y al tiempo, sino a la propia noci´on de continuo densamente ordenado.

168 —— Divisibilidad del espaciotiempo

Ap´endice A El problema del cambio

´n Introduccio 482 El cambio es una caracter´ıstica omnipresente de nuestro universo en continua evoluci´ on. Pero el cambio es tambi´en la cuesti´ on m´ as peliagu1 da con la que el hombre se ha enfrentado. Tan peliaguda que podr´ıa ser inconsistente, como se viene reclamando al menos desde los tiempos presocr´ aticos.2 Evidentemente, si ese fuera el caso, la tarea de explicar el mundo en t´erminos consistentes ser´ıa imposible. En este ap´endice probaremos que, en efecto, el cambio es inconsistente en el continuum espaciotiempo, aunque podr´ıa encontrar una soluci´ on en ciertos espaciotiempos discretos como los de los aut´ omatas celulares. 483 Por sencillez, y para evitar complicaciones innecesarias, discutiremos aqu´ı el problema de los cambios causales en objetos f´ısicos macrosc´opicos. As´ı, si O es uno de esos objetos macrosc´opicos, diremos que O cambia del estado Sa al estado Sb si existe un conjunto de leyes (f´ısicas) L tales que, bajo las mismas condiciones C y como consecuencia de esas leyes y condiciones, el estado de O es Sa en el instante ta y Sb en un instante posterior tb . En s´ımbolos:  Sa 7→ Sb (1) Cambio causal L(S , C, t ) = (S , t ) a

a

b

b

Puesto que u ´nicamente trataremos con cambios causales (1), de ahora en adelante ser´ an referidos simplemente como cambios.

484 El cambio Sa 7→ Sb puede ser directo, sin estados intermedios, en tal caso hablaremos de cambio can´ onico. Puede ser tambi´en el resultado de 1 Para

una visi´ on general del problema v´ease [139], [168] y el punto de vista particular de H. Bergson en [19], [20] s´ olo autores presocr´ aticos como Parm´enides o Zen´ on de Elea afirmaron la imposibilidad del cambio, autores modernos como J.E. McTaggart tambi´en defendieron esa imposibilidad [132]

2 No

169

170 —— A.-El problema del cambio

una sucesi´on ordenada de cambios can´ onicos: {Si } : Sa ≡ S1 7→ S2 7→ S3 7→ . . . 7→ Sn ≡ Sb

(2)

N´otese que cada elemento Sn de la sucesi´on {Si } ha de tener un predecesor inmediato Sn−1 (excepto el primero de ellos S1 ) de modo que Sn pueda ser el resultado causal de Sn−1 : ∀Sn>1 : L(Sn−1 , Cn−1 , tn−1 ) = (Sn , tn )

(3)

El objetivo de nuestra discusi´on ser´ an exclusivamente los cambios can´ onicos, sean o no parte de una sucesi´on de cambios can´ onicos. Pero antes de centrar nuestra atenci´ on exclusivamente en los cambios can´ onicos debemos analizar una segunda posibilidad de que ocurra un cambio. 485 En efecto, seg´ un algunos infinitistas un cambio tambi´en podr´ıa ser el resultado de completar una sucesi´on densamente ordenada de cambios no can´ onicos (una sucesi´on en la que entre dos cambios cualesquiera ocurren un n´ umero infinito de otros cambios3 ). Por esa raz´ on antes de discutir el problema del cambio can´ onico vamos a demostrar la imposibilidad de que un cambio se produzca como consecuencia de completar una sucesi´on densamente ordenada de cambios. Recordemos que la infinitud de una sucesi´on densamente ordenada puede ser numerable, como en el caso de los n´ umeros racionales, o no numerable, como en el caso de los n´ umeros reales y el continuum espaciotiempo donde se supone que todos los cambios f´ısicos tienen lugar. Por esta raz´ on, en lo que sigue siempre nos referiremos al orden denso de los n´ umeros reales, cuya cardinalidad es 2ℵo . 486 En primer lugar, es evidente que en una sucesi´on densamente ordenada de cambios ning´ un cambio puede ser can´ onico. En efecto, si [Sa , Sb ] es una sucesi´on densamente ordenada de cambios y Sλ es cualquier elemento de la sucesi´on, entonces es imposible que Sλ resulte del cambio can´ onico de un estado Sµ predecesor inmediato de Sλ , simplemente porque en una sucesi´on densamente ordenada ning´ un elemento tiene un predecesor inmediato. Por lo tanto, Sµ no puede preceder inmediatamente a Sλ , luego el cambio can´ onico: L(Sµ , Cµ , tµ ) = (Sλ , tλ ) (4) es imposible 487 Supongamos que Sa 7→ Sb ocurre a trav´es de una sucesi´on densa3 Es

dif´ıcil de explicar en t´erminos f´ısicos qu´e diablos podr´ıa ser una sucesi´ on de cambios no can´ onicos.

Introducci´ on —— 171

mente ordenada de cambios [Sa , Sb ]. El estado Sb resulta, por tanto, de la compleci´ on de una sucesi´on densamente ordenada y numerable de cambios. As´ı, el estado de nuestro objeto O ser´ a Sa en un cierto instante ta y Sb en otro cierto instante posterior tb . En esas condiciones, sea f (t), para todo t en [ta , tb ], el n´ umero de cambios que, en el instante t, a´ un se han de realizar para alcanzar Sb . Es inmediato que f (t) solo puede tomar dos valores: o bien 2ℵo o bien 0. Si no fuera as´ı, si f (t) pudiese tomar un valor finito n, entonces existir´ıan los imposibles u ´ltimos n cambios de una sucesi´on densamente ordenada de cambios. 488 De acuerdo con 487, f (t) define una dicotom´ıa: el n´ umero de cambios que quedan por realizar en cada instante t de [ta , tb ] para llegar a Sb solo un instante en [ta , tb ] en el que puede ser 2ℵo o 0. Por tanto no existe ning´ solo quede un n´ umero finito de cambios por realizar para que O alcance el estado Sb . Con otras palabras, ese n´ umero ha de cambiar directamente ℵo umero infinito de cambios han de ocurrir de 2 a 0. En consecuencia, un n´ simult´ aneamente. 489 Probaremos ahora que los cambios instant´aneos (de una duraci´on nula) son imposibles en el continuum espaciotiempo. Como veremos, la raz´ on de esa imposibilidad es que si t es un instante cualquiera de una sucesi´ on densamente ordenada de instantes entonces t no tiene un predecesor inmediato p(t) ni un sucesor inmediato s(t). 490 Sup´ongase que el cambio Sa 7→ Sb tiene lugar en un cierto instante t del continuum espaciotiempo. El cambio ser´ıa instant´aneo si el estado de O es Sa en el instante t y Sb en un hipot´etico sucesor inmediato s(t) de t, de modo que el tiempo que transcurre entre t y s(t) fuese nulo. Pero en el continuum espaciotiempo esto es imposibles porque t no tiene sucesor inmediato s(t), de modo que entra cada dos instantes diferentes cualesquiera de ese continuum espaciotiempo siempre transcurre una cantidad no nula de tiempo. 491 Acabamos de probar que los cambios instant´aneos son imposibles en el continuum espaciotiempo. Por lo tanto, y de acuerdo con 488, las sucesiones densamente ordenadas de cambios son imposibles en ese continuum. 492 Proponer la coexistencia de Sa y Sb en un determinado instante como una soluci´ on al problema de cambio Sa 7→ Sb significa plantear el problema del cambio en t´erminos del cambio Sa 7→ (Sa Sb ), donde (Sa Sb ) representa la supuesta coexistencia de estados. Y lo mismo se aplicar´ıa a los cambios Sa 7→ (Sa (Sa Sb )), Sa 7→ (Sa (Sa (Sa Sb ))), etc.

172 —— A.-El problema del cambio

El problema del cambio 493 Consideremos un cambio can´ onico cualquiera Sa 7→ Sb de un objeto cualquiera O. Empezaremos probando que ese cambio ha de ser instant´aneo, es decir de una duraci´on nula. Supongamos que durara un tiempo t > 0, siendo t cualquier n´ umero real positivo. Para todo t′ en el intervalo real (0, t), el estado del objeto O ser´ a o bien Sa o bien Sb . Si fuera Sa entonces el cambio no habr´ıa comenzado a´ un y su duraci´on ser´ıa menor que t. Si fuera Sb el cambio ya habr´ıa terminado y su duraci´on ser´ıa tambi´en menor que t. Pero O ha de estar en uno de esos dos estados porque Sa 7→ Sb es un cambio can´ onico. En consecuencia, la duraci´on del cambio can´ onico Sa 7→ Sb es menor que cualquier n´ umero real mayor que cero. El cambio ha de ser, por tanto, instant´ aneo. 494 Hasta ahora hemos probado que: 1) Los cambios causales no pueden ocurrir a trav´es de una sucesi´on densamente ordenada de cambios (v´ease 488-491). 2) Los cambios can´ onicos tienen lugar instant´aneamente (v´ease 493). 3) Los cambios instant´ aneos son imposibles en el continuum espaciotiempo (v´ease 490). Hemos de concluir por tanto: Teorema del cambio.-El cambio es consistentemente imposible en el continuum espaciotiempo. 495 Siendo el cambio tan omnipresente en nuestro universo actual, el teorema del cambio podr´ıa estar indicando que el continuum espaciotiempo no es la mejor representaci´ on del espacio y del tiempo. El espacio y el tiempo, de hecho, podr´ıan ser de car´ acter discreto. En la siguiente secci´ on analizaremos la posibilidad de que el cambio pueda ocurrir en los espaciotiempos discretos. 496 Antes de analizar la posibilidad del cambio en espaciotiempos discretos, vamos a resumir el argumento anterior 485-494 en t´erminos espaciales (el espacio est´ a tambi´en involucrado en muchos cambios f´ısicos, por ejemplo en el movimiento o cambio de posici´ on). En el continuo espaciotiempo, los puntos del espacio no tienen sucesor inmediato y esto plantea una dificultad adicional al problema del cambio. En efecto, el argumento 485-494 puede ser completamente reescrito en t´erminos geom´etricos mediante la sustituci´on del concepto de instante por el concepto de punto y del concepto de instantaneidad temporal por el concepto de extensi´on espacial nula.

El problema del cambio —— 173

Figura A.1: El problema del cambio.

497 Consideremos un cambio de posici´ on realizado por una masa puntual P a una velocidad finita v desde el punto a hasta el punto b a trav´es del intervalo real [a, b] del continuum espacial. Puesto que ning´ un punto en [a, b] tiene sucesor inmediato, el recorrido desde a y b s´ olo puede tener lugar a trav´es de una sucesi´on densamente ordenada (y no numerable) de puntos. Sea f (x) el n´ umero de puntos que a´ un le quedan por atravesar a P en cualquier punto x dentro de [a, b] para llegar a b. Esta funci´on s´ olo puede tomar dos valores: f (x) = 2ℵo para todo x en [a, b)

(5)

f (x) = 0 en el punto b

(6)

498 De acuerdo con 497, f (x) est´ a bien definida a lo largo de todo el intervalo [a, b] y por tanto define una dicotom´ıa: el n´ umero de puntos por recorrer en cada punto x de [a, b] para llegar al punto b, s´ olo puede ser ℵo un punto x en [a, b] en el que s´ olo 2 ´o 0. En consecuencia, no hay ning´ quede un n´ umero finito, o numerable infinito, de puntos por atravesar para alcanzar b. O en otras palabras, ese n´ umero tiene que cambiar directamente umero de puntos que a´ un ha desde 2ℵo a 0. Por lo tanto, con respecto al n´ de atravesar para alcanzar b, la masa puntual P solo tiene dos estados: el umero es 2ℵo , y el estado P (0) en el que ese estado P (2ℵo ) en el que ese n´ mismo n´ umero es 0. 499 Supongamos que la transici´on desde P (2ℵo ) a P (0) tiene lugar a lo largo de una distancia d, siendo d cualquier n´ umero real positivo, incluyendo b−a. En cualquier x del intervalo (0, d) el n´ umero de puntos que quedan por atravesar para alcanzar b s´ olo puede ser 2ℵo (dicotom´ıa de f (x)) y entonces la transici´on no ha comenzado. Por tanto, la transici´on de P (2ℵo ) a P (0) ocurre a lo largo de una distancia menor que d, y por consiguiente

174 —— A.-El problema del cambio

menor que cualquier n´ umero real mayor que cero. En consecuencia ocurre a lo largo de una distancia nula. 500 Por la misma falta de sucesividad que en el caso de los intervalos de tiempo, todos los intervalos de espacio entre dos puntos diferentes tienen siempre una longitud mayor que cero. Por tanto los intervalos de extensi´on nula entre dos puntos diferentes son imposibles en el continuum espacial. Por consiguiente, el cambio de posici´ on a una velocidad finita desde el punto a hasta el punto b es consistentemente imposible en el continuum espacial. 501 N´otese que no hemos estado tratando de calcular la distancia exacta a lo largo de la cual ocurre la transici´on de P (2ℵo ) a P (0). Hemos estado tratando de demostrar que ese distancia ha de ser nula (dicotom´ıa 2ℵo ´o 0) y que los distancias nulas entre dos puntos distintos del continuum espacial son imposibles.

´ matas celulares Un modelo discreto: auto 502 Los modelos similares a los aut´ omatas celulares (cellular automata like model, CALM) proporcionan una nueva e interesante perspectiva para analizar la forma en la que el universo podr´ıa estar evolucionando. En particular proporciona un espaciotiempo discreto en el que ser´ıa posible un nuevo an´ alisis de algunos de los problemas aparentemente irresolubles o parad´ojicos de la f´ısica contempor´ anea. Como veremos en la breve discusi´ on que sigue, veintisiete siglos despu´es de que fuera planteado, el viejo problema del cambio podr´ıa encontrar una primera soluci´ on consistente en el marco discreto del espaciotiempo de los CALMs.

Espacio continuo

Espacio discreto Cada qusit tiene un sucesor inmediato

Ningún punto tiene sucesor inmediato a

b

Entre dos puntos cualesquiera siempre existe una distancia mayor que cero.

ab

c

Distancia ab = 0 Distancia ac = 5 Distancia bc = 4

Figura A.2: Espacio discreto versus espacio continuo.

503 En los CALMs el espacio est´ a exclusivamente formado por unidades

Un modelo discreto: aut´ omatas celulares —— 175

m´ınimas indivisibles: qusits (quantum space units)). El tiempo tambi´en est´ a compuesto por una sucesi´on de unidades m´ınimas indivisibles: qutits (quantum time units). No existe ninguna extensi´on espacial entre un qusit y su sucesor inmediato en cualquier direcci´ on espacial. De forma similar, ning´ un tiempo pasa entre un qutit y su sucesor inmediato. Cada qusit puede exhibir diferentes estados, definidos cada uno de ellos por un cierto conjunto de variables. El estado de todos los qusits cambia simult´ aneamente en los sucesivos qutits de acuerdo con las leyes que dirigen la evoluci´ on del aut´ omata. Una vez cambiado, el estado de cada qusit permanece inalterado durante un qutit. En lo que sigue asumiremos que este es el caso, aunque en el lugar de un qutit el estado de cada qusit podr´ıa mantenerse durante un cierto n´ umero (entero) de qutits. 504 Sean u, v, c, . . . z las variables que definen el estado de los qusits de un cierto CALM A. Representemos el n-´esimo estado de cada qusit σi de A por σi (un , vn , . . . zn ), donde un , vn . . . zn son los valores particulares de las variables de estado en el n-´esimo qutit. Sea finalmente L el conjunto de leyes que controlan la evoluci´ on del aut´ omata. L determina la forma en que el estado de cada qusit σi cambia de un qutit al siguiente, teniendo para ello en cuenta el estado previo de σi y el de cualquier otro qusit que interaccione con ´el, lo que puede incluir a todos los qusits del aut´ omata. Los estados de todos los qusits σi definen las condiciones Ci bajo las cuales operan las leyes L. 505 El ’motor’ del aut´ omata cambia simult´ aneamente el estado de cada uno de los qusits en cada qutit sucesivo, y lo mantiene en ese estado exactamente un qutit. As´ı, para cada σi particular podremos escribir: L(σi (ui,n . . . , zi,n ), Cn , τn ) = (σi (ui,n+1 . . . , zi,n+1 ), τn+1 ) L(σi (ui,n+1 . . . , zi,n+1 ), Cn+1 , τn+1 ) = (σi (ui,n+2 . . . , zi,n+2 ), τn+2 ) L(σi (ui,n+2 . . . , zi,n+2 ), Cn+2 , τn+2 ) = (σi (i, un+3 . . . , zi,n+3 ), τn+3 ) L(σi (ui,n+3 . . . , zi,n+3 ), Cn+3 , τn+3 ) = (σi (ui,n+4 . . . , zi,n+4 ), τn+4 ) ... 506 Siendo discretos tanto el espacio como el tiempo, cada qutit τn tiene un predecesor inmediato τn−1 y un sucesor inmediato τn+1 , de modo que ning´ un otro qutit pasa entre τn−1 y τn y tampoco entre τn y τn+1 . O con otras palabras: ning´ un tiempo transcurre entre dos qutits sucesivos. Esta simple caracter´ıstica de los CALMs es suficiente para resolver el problema del cambio: el espaciotiempo discreto permite los cambios instant´aneos, el estado An en el qutit τn cambia al estado An+1 en el siguiente qutit τn+1 .

176 —— A.-El problema del cambio

Y eso es posible porque el estado de cada qusit se redefine en cada qutit y es mantenido durante un qutit. Podr´ıamos decir, como m´ınimo, que en los modelos del tipo aut´ omata celular, el problema del cambio no se plantea. 507 No olvidemos que nuestra percepci´on sensorial del mundo es absolutamente continua. Por eso estamos acostumbrados a pensar en t´erminos de un espaciotiempo continuo. Pr´acticamente la u ´nica forma de pensar en los u ´ltimos veintisiete siglos. Todos nuestros modelos del mundo f´ısico han supuesto que su naturaleza era continua. Es entonces casi inevitable extrapolar esta forma de pensar al nuevo paradigma discreto, lo que obviamente ser´ıa catastr´ ofico. Pensar en t´erminos f´ısicos discretos seguramente requerir´ a un largo proceso de reeducaci´on. 508 Un electr´ on, por ejemplo, puede estar A B en el estado S1 en un cierto instante t1 y en el estado S2 en otro instante posterior t2 , sin D pasar por estados intermedios entre S1 y S2 t 2 (salto cu´ antico). Se trata, pues, de un cambio A B can´ onico. En el continuum espaciotiempo, el D intervalo (t1 , t2 ) debe ser siempre mayor que cero y durante ese tiempo el electr´ on no puede B A estar ni en S1 ni en S2 . Durante ese tiempo D el electr´ on simplemente no puede existir. De- t 1 be desaparecer en t1 y reaparecer en t2 . En Figura A.3: En el espaciotiempo el espacio-tiempo digital de un CALM todo lo discreto de un CALM, el disco D que tendr´ıamos que hacer es considerar dos qu- cambia de A a B sin pasar entre A y B (pi´ ensese, por ejemplo, en tits sucesivos, τ1 y τ2 . En τ1 nuestro electr´ on un salto cu´antico). estar´ıa en el estado S1 , y en τ2 en el estado S2 . 509 A t´ıtulo de ejemplo, sup´ongase que: - El universo tiene 2,66 × 10185 qusits. - El universo contiene 1080 part´ıculas elementales. - Cada part´ıcula est´ a definida por p variables. - Cada part´ıcula est´ a, de alguna manera, presente en cada qusit. Sea U-CALM un 3D-CALM de 2, 66 × 10185 qusits en el que el estado de cada qusit se define por p × 1080 variables de estado. Si fuera posible construir U-CALM, quiz´as podr´ıamos observar la autoorganizaci´ on y evoluci´ on de un objeto similar a nuestro universo. 510 El problema es que U-CALM no se puede construir dentro del universo ni haciendo uso de todas sus part´ıculas elementales. Otra cosa ser´ıa su

Un modelo discreto: aut´ omatas celulares —— 177

an´ alisis te´orico, U-CALM ser´ıa incomparablemente menos complejo que, por ejemplo, cualquier matriz de infinitos elementos (que son usuales en matem´ aticas y en f´ısica te´ orica). Se podr´ıa modelar el universo siempre que conoci´eramos las leyes b´ asicas que lo hacen autoorganizarse y evolucionar. En estas circunstancias, simular no significa reproducir la historia exacta del universo: las interacciones recursivas de los qusits y las din´ amicas no lineales resultantes abrir´ıan la puerta de lo inesperado y de la creatividad, como ocurre con la biosfera terrestre. 511 En cualquier caso, y como indic´ abamos en 510, podr´ıamos teorizar sobre UCALM, podr´ıamos usarlo como un referente te´orico para comprender la esencia, la magnitud y las posibilidades de los universos reales. Con todo lo colosal que pueda parecer, U-CALM ser´ıa un objeto finito y por tanto formado por un n´ umero de elementos incomparablemente menor que el n´ umero de puntos (2ℵo ) de un simple in- Figura A.4: Si fuera posible, un 3Dtervalo tan peque˜ no como (0, 1) en el con- CALM podr´ıan servir para simular la auto-organizaci´ on y la evoluci´ on del tinuum espaciotiempo. Adem´ as, mientras universo. que los puntos de (0, 1) no tienen significado f´ısico alguno, cada elemento de U-CALM rebosar´ıa significaci´on f´ısica. 512 Para finalizar esta cap´ıtulo, imaginemos que construimos un juego de ordenador muy avanzado en el que los personajes evolucionan hasta hacerse conscientes de su propia inteligencia. Si intentaran explicar su universo digital, seguramente tendr´ıan el mismo tipo de problemas que tenemos nosotros cuando pretendemos explicar los incesantes cambios que observamos en el nuestro.

178 —— A.-El problema del cambio

Ap´endice B Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos

´n Introduccio 513 En mi opini´ on, las teor´ıas modernas de conjuntos son excesivamente tortuosas y complicadas principalmente debido a las tres razones siguientes: 1) El escenario plat´ onico donde todas ellas se han fundado y desarrollado, lo que significa que los conjuntos son considerados objetos plat´ onicos que existen con independencia de la mente humana. 2) Las restricciones necesarias para evitar la autorreferencia, otra asunci´on plat´ onica de origen presocr´ atico. Asumir la autorreferencia sem´ antica implica asumir la existencia de autolenguajes, de lenguajes con la capacidad de referirse a s´ı mismos. Desde la perspectiva no plat´ onica, por el contrario, solo el hombre puede referirse a otros objetos, incluy´endose a s´ı mismo. Desde esta perspectiva la autorreferencia es una habilidad exclusivamente humana y, en consecuencia, solo se consideran el lenguaje y los sucesivos metalenguajes. 3) La hip´ otesis del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito, de acuerdo con la cual los conjuntos infinitos existen como totalidades completas. Este ap´endice sugiere otra alternativa fundacional lejos del escenario plat´ onico: el escenario natural de de las actividades intencionales de la mente humana. 514 La discusi´on que sigue se fundamenta de hecho en una definici´on natural (no plat´ onica) de conjunto. Tambi´en introduce el concepto de sucesi´ on incompletable, a trav´es de la definici´on de conjunto sucesor. Las sucesiones incompletables de conjuntos sucesores se utilizan entonces para definir la sucesi´on de cardinales finitos y la de conjuntos potencialmente infinitos. 179

180 —— B.-Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos

´ n natural de conjunto Una definicio 515 Suponemos aqu´ı que los conjuntos y los n´ umeros naturales son objetos te´oricos elementales que resultan de nuestra actividad mental intencionada. Por lo tanto no tienen existencia independiente de la mente. 516 Tal vez el proceso intencional m´ as b´ asico de nuestra mente consista en considerar (centrar nuestra atenci´ on en) cualquier objeto o grupo de objetos. Existen, a su vez, dos formas b´ asicas de considerar objetos: o sucesiva o simult´ aneamente. La primera lleva al concepto de n´ umero natural; la segunda al concepto de conjunto. 517 Cuando consideramos sucesivamente diferentes objetos, en cierto modo los estamos contando. Un n´ umero natural es una especie de medida de la cantidad de objetos considerados sucesivamente (v´ease m´ as abajo). Por otro lado, si consideramos esos objetos de forma simult´ anea los estamos agrupando en una totalidad que es un nuevo objeto diferente de cada uno de los objetos considerados. En consecuencia, vamos a proponer la siguiente definici´on natural de conjunto en cierta forma sugerida por por Lewis Carroll [45]: Definici´ on de conjunto.-Un conjunto es el objeto te´orico que resulta de un agrupamiento mental de objetos arbitrarios previamente definidos. Obviamente el mundo f´ısico est´ a lleno de grupos naturales de objetos, por ejemplo el conjunto de todos los iones de un cierto cristal de pirita. La mente humana tiene la habilidad de reconocer esos grupos naturales, pero tambi´en tiene la capacidad de definir otros muchos grupos que pueden incluir objetos abstractos e imaginarios. 518 Obviamente, la Definici´ on 517 es de tipo constructivo: s´ olo indica la forma en la que se construyen los conjuntos: por procesos mentales de agrupamiento. Al ser constructiva, la definici´on no es sem´ anticamente circular. Los conjuntos se definen como objetos te´oricos porque la mente humana s´ olo puede construir objetos te´ oricos. Adem´as, la Definici´ on 517 requiere que los elementos que se van a agrupar han de estar previamente definidos (ya sea por enumeraci´on o por comprensi´on). Parece un requisito razonable, de lo contrario no sabr´ıamos qu´e estamos agrupando, qu´e estamos definiendo. 519 Por otra parte, ese simple requisito (ser definidos antes de ser agrupados) invalida a los conjuntos autorreferentes. En efecto, de acuerdo con ´el un conjunto no puede pertenecerse a s´ı mismo, ya que no existe como un

Una definici´ on natural de conjunto —— 181

elemento que se pueda agrupar hasta que el conjunto se haya definido. Paradojas como la de Cantor (conjunto de todos los cardinales), Burali-Forti (conjunto de todos los ordinales) y Russell (conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a s´ı mismos), ni siquiera se plantean porque sus correspondientes conjuntos son inmediatamente descartados como consecuencia de la propia definici´on 517. 520 Comparemos ahora esta definici´on constructiva de conjunto de los dos siguientes intentos plat´ onicos de G. Cantor: a) Por un ’conjunto’ o ’agregado’ por lo general entiendo una multiplicidad que puede ser pensada como una unidad, es decir, cualquier totalidad de elementos definidos que, mediante una ley, se pueden poner en una totalidad, y creo que en esto estoy definiendo algo que est´ a relacionado con el eidos plat´ onico o idea. ([40, page 93]) b) Por un ’conjunto’ (Menge) hemos de entender cualquier colecci´on en una totalidad M de objetos m definidos y separados de nuestra intuici´ on o nuestro pensamiento. ([36, p. 481], [39, . 85]) 521 Puesto que ’multiplicidad’ y ’colecci´on’ son sin´ onimo de ’conjunto’ ambas definiciones son circulares. La circularidad tampoco pudo evitarse en los intentos posteriores de definir la noci´on plat´ onica de conjuntos, que fue finalmente declarada como no definible, i.e. como un concepto primitivo que no puede definirse en t´erminos de otros conceptos m´ as b´ asicos. La imposibilidad de definir conjuntos plat´ onicos probablemente indica que los conjuntos no son los objetos plat´ onicos que se hab´ıan supuesto, sino productos de nuestra actividad mental intencionada. 522 Afortunadamente, la mayor´ıa de los s´ımbolos, convenciones y operaciones de las teor´ıas axiom´aticas de conjuntos pueden mantenerse en las teor´ıas no plat´ onicas de conjuntos. Particularmente las nociones de pertenencia, subconjunto, conjunto vac´ıo, uni´ on, intersecci´ on, correspondencias y similares. Por el contrario, la mayor´ıa de los axiomas necesarios en las teor´ıas plat´ onicas de conjuntos son innecesarios en las teor´ıas no plat´ onicos. 523 Como veremos en este ap´endice, uno de los conceptos m´ as importantes en una teor´ıa constructiva de conjuntos es el de conjunto sucesor, que se deriva de forma inmediata de la Definici´ on 517. En efecto, es inmediato demostrar el siguiente: Teorema del conjunto sucesor.-Cada conjunto A define un conjunto nuevo, su conjunto sucesor s(A), del cual ´el es un ele-

182 —— B.-Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos

mento. Demostraci´ on.-Una vez definido un conjunto A, tendremos a nuestra disposici´ on un nuevo objeto, el conjunto A, y seg´ un la Definici´ on 517, podremos agruparlo con otros elementos arbitrarios previamente definidos. Por ejemplo con los elementos que se utilizaron para definir A. As´ı podremos definir un nuevo conjunto s(A) de la forma: s(A) = A ∪ {A}

(1)

s(A) es el conjunto sucesor del conjunto A. Como veremos el concepto de sucesor puede utilizarse para definir, tambi´en en t´erminos constructivos, los sucesivos n´ umeros naturales. 524 Por incompletable entendemos aqu´ı algo que no solo es incompleto sino que adem´ as no se puede completar. En consonancia con esa idea, definiremos la noci´ on de sucesi´ on incompletable de la siguiente manera: Definici´ on 524.-Una sucesi´on incompletable es aquella que no puede ser considerada como una totalidad completa, en el sentido de que siempre podemos incrementar la sucesi´on de elementos considerados a˜ nadiendo nuevos elementos. 525 El concepto de conjunto sucesor permite definir sucesiones incompletables de conjuntos. En efecto, supongamos que las sucesivas definiciones de conjuntos sucesores de un conjunto inicial A: A, s(A), s(s(A)), . . . s(s(s(. . . (A) . . . ))

(2)

conducen a un conjunto final X: X = s(s(s(s(s(. . . (A) . . . )))))

(3)

cuyo sucesor s(X) no se puede definir. Cualquiera que sea el conjunto X, ser´ a un objeto bien definido y, de acuerdo con la Definici´ on 517, lo podremos agrupar con cualquier grupo de elementos previamente definidos, incluyendo los propios elementos de X, para formar un nuevo conjunto. En consecuencia, podemos definir: s(X) = X ∪ {X} = s(s(s(s(s(s(. . . (A) . . . ))))))

(4)

Por lo tanto, es falso que el conjunto sucesor de X no pueda ser definido. As´ı, la sucesi´on de los sucesivos sucesores del conjuntos A es de hecho incompletable porque siempre se puede aumentar la sucesi´on de conjuntos considerados considerando un nuevo elemento, a saber, con el conjunto sucesor del u ´ltimo conjunto definido. Podemos por tanto establecer el si-

Conjuntos y n´ umeros —— 183

guiente: Teorema de la sucesi´ on de sucesores.-La sucesi´on de conjuntos sucesores de un conjunto cualquiera es incompletable.

´ meros Conjuntos y nu 526 Aunque se han llevado a cabo varios intentos constructivos y formales para definir el concepto de n´ umero, este concepto podr´ıa ser de hecho primitivo, no definible en t´erminos de otros conceptos m´ as b´ asicos. En cualquier caso, podemos asumir que dos conjuntos tienen el mismo n´ umero de elementos si se puede establecer entre ellos una correspondencia uno a uno. Todos los conjuntos que se pueden poner en una correspondencia uno a uno entre s´ı definen una clase de conjuntos, y por tanto un n´ umero: el cardinal de todos los conjuntos de esa clase. El cardinal de un conjunto A se suele representar por |A|. 527 Contar los elementos de un conjunto A significa finalmente considerar sucesivamente cada uno de sus elementos sucesivos. Podr´ıamos definir un n´ umero (nombre, n´ umero y caracter´ısticas) cada vez que consideramos un nuevo elemento de A como una indicaci´ on de la cantidad de los elementos considerados, como una indicaci´ on del tama˜ no del conjunto. Aunque en este contexto, n´ umero, cantidad y tama˜ no son sem´ anticamente indistinguibles, y por tanto el intento de definici´on tambi´en es circular. Despu´es de todo, quiz´as solo sean posibles las definiciones operativas del concepto de n´ umero. Presentaremos inmediatamente una de ellas. 528 Uno de las sucesiones incompletables mejor conocida es la siguiente, basada en la noci´ on de conjunto vac´ıo ∅: ∅=∅

(5)

s(∅) = ∅ ∪ {∅} = {∅}

(6)

s(s(∅)) = {∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}}

(7)

s(s(s(∅))) = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

(8)

... 529 Llamamos cardinales finitos, o n´ umeros naturales, a los cardinales de los conjuntos (definici´on de Von Neumann de 1923 [142]): |∅| = 0

(9)

|{∅}| = 1

(10)

|{∅, {∅}}| = 1 + 1 = 2

(11)

|{∅, {∅}, {∅, {∅}}| = 2 + 1 = 3

(12)

184 —— B.-Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos

|{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}, | = 3 + 1 = 4

(13)

... donde escribimos +1 para indicar que un nuevo elemento se ha a˜ nadido al conjunto precedente para definir el nuevo conjunto y su correspondiente nuevo cardinal finito. Por claridad escribiremos la anterior sucesi´on de cardinales como: |∅| = 0

(14)

|{∅}| = |{0}| = 1

(15)

1

|{∅, s (∅)}| = |{0, 1}| = 1 + 1 = 2

(16)

|{∅, s1 (∅), s2 (∅)}| = |{0, 1, 2}| = 2 + 1 = 3

(17)

1

2

3

|{∅, s (∅), s (∅), s (∅)}| = |{0, 1, 2, 3}| = 3 + 1 = 4

(18)

...

(19)

donde s2 (∅) es s(s(∅)), s3 (∅) es s(s(s(∅))) y as´ı sucesivamente. N´otese que cada cardinal n se define recursivamente en t´erminos del u ´ltimo cardinal definido n − 1, excepto el primero de ellos 0. 530 N´otese tambi´en que la definici´on anterior de los sucesivos cardinales finitos, o n´ umeros naturales, es s´ olo una definici´on operativa. En consecuencia seguimos sin tener una definici´on apropiada de n´ umero. Por lo tanto, decir que el cardinal de un conjunto es el n´ umero de sus elementos es no decir nada desde un punto de vista estrictamente formal. Pero tenemos que definir el cardinal de un conjunto como el n´ umero de sus elementos, aun cuando el concepto de n´ umero no est´e apropiadamente definido, sino aceptado como un concepto primitivo que admite definiciones operativas. 531 De acuerdo con 524 la sucesi´on anterior (14)-(19) es incompletable, de modo que no existe un u ´ltimo cardinal finito. En efecto, cualquiera que sea el cardinal finito n que consideremos tendremos: n = |{∅, s1 (∅), s2 (∅), . . . sn−1 (∅)}|

(20)

y puesto que la sucesi´on de conjuntos sucesores es incompletable de acuerdo con 525, el conjunto sucesor de sn−1 (∅) existe, y entonces podemos escribir: sn (∅) = sn−1 (∅) ∪ {sn−1 (∅)} 1

2

= {∅, s (∅), s (∅), . . . s

n−1

(21) n

(∅), s (∅)}

(22)

De acuerdo con (14)-(19) el conjunto sn (∅) define el cardinal finito n + 1: |sn (∅)| = |{∅, s1 (∅), s2 (∅), . . . sn (∅)}| = |{0, 1, 2, . . . n}| = n + 1

(23)

Conjuntos y n´ umeros —— 185

Podemos por tanto afirmar que siendo n un cardinal finito (n´ umero natural) de la sucesi´on incompletable (14)-(19), n + 1 es tambi´en un cardinal finito de la sucesi´on incompletable (14)-(19). Podemos, por consiguiente, escribir: Teorema de la sucesi´ on de cardinales.-Si n es un n´ umero natural finito, y por tanto el cardinal de un conjunto de la sucesi´ on incompletable de sucesores del conjunto vac´ıo, entonces n + 1 es tambi´en un n´ umero natural finito y el cardinal de un conjunto de esa misma sucesi´on de sucesores del conjunto vac´ıo. 532 Vale la pena se˜ nalar que esta forma constructiva de definir los n´ umeros naturales basada en la definici´on 517 no plantea ning´ un problema de existencia y, por consiguiente, no es necesaria la ayuda de axiomas auxiliares (como los axiomas de Peano). Esto es as´ı porque no estamos tratando de definir el conjunto de los n´ umeros naturales como una totalidad completa independiente de la mente, sino como una sucesi´on incompletable y operacional de t´erminos sucesivos. 533 Dado que todos los conjuntos de la misma cardinalidad son equipotentes, podemos decir que un n´ umero natural n es el sucesor inmediato de otro n´ umero natural m (o m el predecesor inmediato de n) si n es el cardinal del conjunto sucesor de cualquier conjunto cuyo cardinal sea m. O en otros palabras, si n = m + 1. Es evidente que si n es el sucesor inmediato de m entonces es tambi´en sucesor (aunque no inmediato) de todos los predecesores de m. Ser ’sucesor de’ induce una relaci´ on de orden < en el conjunto de los cardinales finitos que coincide con el orden natural de precedencia de los n´ umeros naturales (el orden natural de contar): m < n si y s´ olo si n es un sucesor de m. 534 Consideremos ahora el conjunto Nn de los primeros n n´ umeros naturales: Nn = {1, 2, 3, . . . n} (24) y demostremos el siguiente: Teorema 534.-El cardinal del conjunto Nn de los n primeros n´ umeros finitos es precisamente n Demostraci´ on.-Por definici´on, n es el cardinal del conjunto A = {∅, s1 (∅), s2 (∅), . . . sn−1 (∅)} Sea f una funci´ on de Nn en A definida por:

(25)

186 —— B.-Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos

( f (1) = ∅

f (i) = si−1 (∅), i = 2, 3, 4, . . .

(26)

Es claro que f es una biyecci´ on. Por tanto Nn y A son equipotentes, i.e. el cardinal de Nn es n. 535 Como consecuencia de la forma recursiva en la que son definidos, los elementos de Nn exhiben un tipo de orden al que llamaremos orden natural y que denotaremos por n-orden, cuyas principales caracter´ısticas son: 1) Existe un primer elemento: el u ´nico sin predecesores (1). 2) Existe un u ´ltimo elemento: el u ´nico sin sucesores (n). 3) Cada elemento k tiene un sucesor inmediato k + 1, excepto el u ´ltimo de ellos. 4) Cada elemento k tiene un predecesor inmediato k − 1, excepto el primero. N´otese que el n-orden es lo mismo que el ω−orden, excepto que en el ω−orden no hay un u ´ltimo elemento. As´ı, los conjuntos ω−ordenados son totalidades completas (como exige el infinito actual) aunque no exista un u ´ltimo elemento que los complete. Evidentemente ese no es el caso de los conjuntos n-ordenadoa.

Conjuntos finitos 536 Como es bien sabido, la hip´ otesis del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito afirma la existencia de un conjunto equipotente con el conjunto de todos los cardinales considerado como una totalidad completa, como si la sucesi´on anterior (5)-(8) pudiera, en efecto, ser realmente completada. Por el contrario, en una teor´ıa no-plat´ onica de conjuntos esa sucesi´on es incompletable y entonces no puede ser considerada como una totalidad completa. Esa sucesi´on es un ejemplo de objeto potencialmente infinito. En la secci´ on siguiente nos ocuparemos de ellos. En esta centraremos nuestra atenci´ on en los conjuntos finitos. Para empezar, consideremos la siguiente definici´on elemental, basada en las sucesiones anteriores de conjuntos sucesores y cardinales finitos: Definici´ on 536.-Un conjunto es finito si y s´ olo si, tiene un cardinal finito. Los teoremas y definiciones anteriores permiten demostrar los siguientes resultados sobre los conjuntos finitos.

Conjuntos finitos —— 187

537 Teorema del ordenamiento finito 1.-Todo conjunto finito puede ser n-ordenado. Demostraci´ on.-Sea A ser un conjunto finito. De acuerdo con la Definici´ on 536 habr´a un cardinal finito n tal que |{A}| = n. Siendo A equipotente con todos los conjuntos de la misma cardinalidad ser´ a equipotente con el conjunto n-ordenado Nn de los n primeros cardinales finitos, cuyo cardinal es n, de acuerdo con 534. Por tanto existe una correspondencia de uno a uno f entre el conjunto Nn y A. Por consiguiente, podemos escribir: A∗ = {f (1), f (2), f (3), . . . , f (n)}

(27)

que es la versi´ on n-ordenada del conjunto A. 538 Teorema del ordenamiento finito 2.-Todo conjunto finito es n-ordenado. Demostraci´ on.- De acuerdo con el teorema del ordenamiento finito 1, cualquier conjunto finito A de cardinal n puede ser n-ordenado mediante una biyecci´on f entre Nn y A, de modo que podemos escribir: A∗ = {f (1), f (2), . . . , f (n)}

(versi´ on n-ordenada de A)

(28)

Puesto que la sucesi´on f (1), f (2),. . . f (n) contiene todos los elementos del conjunto A, el ordenamiento de este conjunto solo puede ser uno de los posibles reordenamientos de f (1), f (2),. . . f (n), i.e una de las n! permutaciones de f (1), f (2),. . . f (n). Puesto que cada permutaci´ on de f (1), f (2),. . . f (n) cambia los elementos indexados pero no el conjunto n-ordenado de ´ındices {1, 2, . . . n}, cada permutaci´ on ser´ a n-ordenada. Por tanto A es un conjunto n-ordenado. 539 Teorema del siguiente cardinal.-Si A es un conjunto finito de cardinal n, entonces su conjunto sucesor S(A) = A ∪ {A} es un conjunto finito de cardinal n + 1. Demostraci´ on.-Puesto que el cardinal de A es n y, seg´ un 534, el cardinal de Nn tambi´en es n, existir´ a una biyecci´ on f entre A y Nn = {1, 2, 3, . . . n}. La biyecci´on g definida por: g : A ∪ {A} 7→ {1, 2, 3, . . . n, n + 1}

(29)

∀a ∈ A : g(a) = f (a)

(30)

g(A) = n + 1

(31)

prueba que S(A) es un conjunto finito cuyo cardinal es n + 1. 540

Teorema de la extensi´ on finita.-Si A es un conjunto finito y b

188 —— B.-Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos

un elemento que no pertenece a A entonces el conjunto A ∪ {b} es tambi´en finito. Demostraci´ on.-Sea f una correspondencia entre los conjuntos A ∪ {b} y s(A) definida por: f (a) = a, ∀a ∈ A

(32)

f (b) = A

(33)

Evidentemente f es una biyecci´ on entre A ∪ {b} y s(A). Por tanto ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad. Sea n el cardinal de A, de acuerdo con el teorema 539 del siguiente cardinal, el cardinal de s(A) es el cardinal finito n + 1. El cardinal de A ∪ {b} ser´ a tambi´en n + 1. En consecuencia A ∪ {b} es un conjunto finito. 541 Teorema de la uni´ on finita.-Si A y B son dos conjuntos finitos entonces el conjunto A ∪ B es tambi´en finito. Demostraci´ on.-Es una consecuencia inmediata del teorema 540 de la extensi´ on finita. Siendo B finito ser´ a n-ordenado y sus elementos se pueden escribir b1 , b2 , . . . bk . De acuerdo con 540 los sucesivos conjuntos: A ∪ {b1 }

(34)

A ∪ {b1 } ∪ {b2 } .. .

(35)

A ∪ {b1 } ∪ {b2 } · · · ∪ {bk } = A ∪ B

(37)

(36)

son todos ellos finitos. 542 Teorema del infinito.-El conjunto N de los cardinales finitos definido seg´ un (14)-(19) no es finito. Demostraci´ on.-Supongamos que es finito. De acuerdo con la Definici´ on 536 tendr´a un cardinal finito n, que es tambi´en el cardinal del (n − 1)th conjunto sucesor sucesivo de {∅} en (5)-(8). De acuerdo con 531 esta sucesi´on es incompletable de modo que su n-´esimo t´ermino, y por tanto el cardinal finito n + 1, tambi´en existen. Por tanto n no es el cardinal de N. Lo que prueba que ning´ un cardinal finito n puede ser el cardinal del conjunto N. Por tanto N no es finito.

Conjuntos potencialmente infinitos 543 Hasta donde yo s´e, los conjuntos potencialmente infinitas nunca han merecido la atenci´ on de los matem´ aticos. Probablemente porque las teor´ıas de conjuntos son teor´ıas infinitistas, fundadas y desarrolladas por infini-

Conjuntos potencialmente infinitos —— 189

tistas que asumen la hip´ otesis del infinito actual. Desde el punto de vista constructivo anterior podr´ıamos considerar la capacidad de nuestra mente para llevar a cabo procesos sin fin, incompletables, como el de contar o definir en t´erminos recursivos. Los objetos resultantes de esos procesos incompletables podr´ıan ser utilizados para definir conjuntos en el sentido de la Definici´ on 517. Pero esos conjuntos nunca podr´ıan ser considerados como totalidades completas y acabadas, como es el caso de los conjuntos finitos. Esas totalidades incompletables representar´ıan la versi´ on te´orico-conjuntista del infinito potencial introducido por Arist´oteles hace veinticuatro siglos [11, Libro VIII]. 544 La siguiente, podr´ıa ser una definici´on operativa de conjunto potencialmente infinito: Definici´ on 544.-Un conjunto X es potencialmente infinito si para cualquier conjunto finito A existe un subconjunto B de X tal que |A| < |B|. 545 Una consecuencia inmediata de la Definici´ on 544 es el siguiente Teorema 545.-Los conjuntos potencialmente infinitos no tienen cardinal definido. Demostraci´ on.-Sea X es un conjunto potencialmente infinito cualquiera. Supongamos que tiene un cardinal finito n. Consideremos el conjunto Nn de los primeros n cardinales finitos, cuyo cardinal es n de acuerdo con 534. De acuerdo con la Definici´ on 544 y siendo Nn finito, existir´a un subconjunto finito B de X tal que |Nn | < |B|. Por lo tanto, n no puede ser el cardinal de X. En consecuencia, ning´ un cardinal finito n es el cardinal del conjunto potencialmente infinito X. 546 En el universo de los conjuntos no plat´ onicos, un conjunto s´ olo puede ser finito (con un cardinal finito) o potencialmente infinito (sin cardinal definido). El teorema del infinito prueba que el conjunto de los cardinales finitos no es finito. Veamos ahora que es potencialmente infinito. Teorema 546.-El conjunto de los cardinales finitos es potencialmente infinito Demostraci´ on.-Sea A un conjunto finito cualquiera y sea n su cardinal. El conjunto B de los primeros n + 1 cardinales finitos verifica: B = {1, 2, . . . , n, n + 1} ⊂ {1, 2, . . . , n, n + 1, n + 2}

(38)

es, por tanto, un subconjunto propio de N. Y evidentemente |A| < |B|. Por consiguiente, y de acuerdo con la Definici´ on 544, N es potencialmente infinito.

190 —— B.-Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos

547 Finalmente probaremos el siguiente resultado b´ asico: Teorema 547.-Si X es un conjunto potencialmente infinito y A cualquiera de sus subconjuntos finitos entonces el conjunto X − A tambi´en es potencialmente infinito. Demostraci´ on.-Evidentemente, tendremos: X = A ∪ (X − A)

(39)

De modo que si X − A fuera finito, y teniendo en cuenta el teorema 541 de la uni´ on finita, el conjunto X tambi´en ser´ıa finito. En consecuencia X − A ha de ser potencialmente infinito.

Ap´endice C Platonismo y biolog´ıa

Los seres vivos como objetos extravagantes 548 En 1973, Dobzhansky public´o un famoso art´ıculo cuyo t´ıtulo resume el pensamiento biol´ ogico contempor´ aneo [63]: Nada en biolog´ıa tiene sentido si no es bajo el prisma de la evoluci´ on Creo que hubiera sido m´ as apropiado escribir reproducci´ on en lugar de evo1 luci´ on. Y no s´ olo porque la evoluci´ on es alimentada por la reproducci´ on. Es porque solo la reproducci´ on puede dar cuenta de las extravagancias de los seres vivos. 549 Los seres vivos son, en efecto, objetos extravagantes, es decir, objetos con propiedades que no pueden ser derivadas exclusivamente de las leyes f´ısicas. Tener plumas rojas, o plumas amarillas, o saltar para moverse, o o ser devorado por la hembra a cambio de copular con ella, son algunos ejemplos (y la lista ser´ıa interminable) de propiedades que no pueden ser derivadas exclusivamente de las leyes f´ısicas, sino de la peculiar historia competitiva y reproductiva de cada organismo. As´ı, los seres vivos est´ an sometidos a una ley biol´ ogica que domina sobre todas las leyes f´ısicas, la Ley de la Reproducci´ on: Reprod´ ucete como puedas. 550 La naturaleza informada de los seres vivos [113] y la ley de la reproducci´ on permiten la fijaci´on de extravagancias arbitrarias. El ´exito en la reproducci´ on depende de ciertas caracter´ısticas de los seres vivos que con frecuencia nada tienen que ver con la eficacia en el cumplimiento de las leyes f´ısicas sino con preferencias arbitrarias como cantar, o bailar o tener colores brillantes. Aunque, por otro lado, para lograr la reproducci´ on es 1 Por

supuesto, la evoluci´ on es un proceso natural y negarlo es tan est´ upido como negar la fotos´ıntesis o la glucolisis. Otra cosa es su explicaci´ on te´ orica. Como cualquier teor´ıa cient´ıfica, la teor´ıa de la evoluci´ on org´ anica no est´ a terminada, existen, por el contrario, un buen n´ umero de discusiones abiertas. V´ease, por ejemplo [179], [24], [184], [160], [167], [125], [69], [159], [47], [86], [166], [46] etc.

191

192 —— C.-Platonismo y biolog´ıa

necesario previamente estar vivo, lo que a su vez implica un mont´on de capacidades funcionales relacionadas con el nicho ecol´ogico particular de cada ser vivo. Pero esto en realidad es secundario: por muy adaptado y eficaz que sea un organismo, si no se reproduce, toda su excelencia f´ısica ser´ a inmediatamente eliminada de la biosfera. La Ley de Reproducci´ on abre la puerta a las innovaciones en los seres vivos, y a partir de ah´ı se puede esperar casi cualquier cosa. Incluso escribir esto.

Conocimiento abstracto y biolog´ıa 551 Los seres vivos son invariablemente definidos como sistemas eficientemente adaptados a su entorno. Generalmente no se presta atenci´ on a su naturaleza extravagante, aunque ser extravagante es una caracter´ıstica muy notable. Nosotros, los seres vivos, somos los u ´nicos objetos extravagantes (conocidos) en el universo. Por cierto, esas extravagancias s´ olo podr´ıan ser el resultado de una evoluci´ on caprichosa, no de un dise˜ no inteligente como defienden los creacionistas. Evoluci´ on caprichosa restringida por las leyes f´ısicas que rigen el mundo. Uno de las m´ as recientes extravagancias aparecidas en la biosfera es la conciencia exhibida por la mayor´ıa de los seres humanos. Seguramente esa sensaci´on de subjetividad individual es responsable de algunas formas peculiares de interpretar el mundo, como es el caso del esencialismo plat´ onico, la creencia de que las ideas existen independientemente de la mente que las elabora. 552 Los animales tienen la capacidad de componer representaciones abstractas de su entorno, particularmente de todos aquellos objetos y procesos que intervienen en su supervivencia y reproducci´ on. Un leopardo, por ejemplo, tiene en su cerebro la idea (abstracta) de gacela, sabe qu´e hacer con una gacela (como muy bien saben las gacelas), cualquiera que sea la gacela particular con la que se encuentre. La idea abstracta de gacela y la de cualquier otra cosa, se elabora en el cerebro por medio de diferentes componentes (los llamados ´ atomos de conocimiento) que no s´ olo sirven para formar la idea de gacela, sino de muchas otras ideas abstractas. Y no s´ olo ideas, las percepciones sensoriales tambi´en son elaboradas en t´erminos at´omicos y abstractos por un proceso similar,2 lo que seguramente tambi´en sirve para filtrar los detalles irrelevantes e in´ utiles de la informaci´ on altamente variable que llega desde el mundo f´ısico, y as´ı para identificar con seguridad suficiente los objetos y procesos (biol´ ogicamente) significativos que forman parte de sus nichos ecol´ ogicos. 2 [207],

[137].

Conocimiento abstracto y biolog´ıa —— 193

553 Tener la habilidad de componer representaciones abstractas del mundo es indispensable para los animales a fin de sobrevivir y reproducirse, Y un error en este asunto puede costar el m´ as elevado de los precios. Una pelota rodando hacia un Figura C.1: El perro conoce la l´ogica precipicio no se detendr´a para evitar caer; del mundo f´ısico. La bola no. pero el perro que corre detr´ as de ella s´ı lo har´ a; los perros conocen gravedad y sus consecuencias. Los animales interact´ uan con su entorno y necesitan conocer sus singularidades, su forma peculiar de ser y evolucionar, es decir, su l´ogica f´ısica; y a´ un su l´ogica matem´ atica.3 554 Los animales necesitan representaciones abstractas del mundo f´ısico, lo que no es un detalle sin importancia (el mantenimiento y el funcionamiento continuo de esta representaci´ on interna del mundo gasta hasta el 80 % de la energ´ıa total consumida por un cerebro humano [157].) Debe ser una representaci´ on precisa y eficiente, si no ser´ıa imposible la vida animal. Es a trav´es de sus propias acciones y experiencias, incluyendo la imitaci´ on e 4 innovation como los animales desarrollan su representaci´on neurobiol´ogica del mundo en t´erminos simb´ olicos y abstractos. El funcionamiento del cortex cerebral depende m´ as de las conexiones neuronales desarrolladas a trav´es de la historia de los est´ımulos recibidos por cada individuo que de la intervenci´ on de tal o cual gen en tal o cual ´area de su cerebro [70], [112]. Resulta, pues, indiscutible que: El conocimiento abstracto construido sobre la acci´on y experiencia de los individuos es indispensable para la vida animal. 555 Percepci´ on y cognici´ on son procesos neuronales constructivos en el que participan unidades elementales de conocimiento abstracto. Los procesos tienen lugar en zonas diferentes del cerebro, como ahora estamos empezando a conocer con cierto detalle.5 Este modo de funcionamiento parece incompatible con el esencialismo plat´ onico. En consecuencia, los conceptos e ideas parecen elaboraciones cerebrales m´ as que entidades trascendentes con las que tenemos la capacidad de contactar. A trav´es de nuestras acciones y experiencias cognitivas personales (que adem´ as tienen 3 Los

primates y los seres humanos podr´ıan disponer de redes neuronales para tratar con los n´ umeros [60], [61], [97]. 4 [108], [80], [161], [201] 5 [162], [53], [178], [54], [109], [55], [172]

194 —— C.-Platonismo y biolog´ıa

car´ acter acumulativo transpersonal a trav´es de la herencia cultural y de las redes culturales) hemos finalmente desarrollado el gran sistema cognitivo que llamamos ciencia. 556 La consciencia de las ideas y la capacidad de pensamiento recursivo (quiz´as una capacidad exclusivamente humana6 ) podr´ıan haber promovido el nacimiento y la persistencia del esencialismo plat´ onico. Pero esa forma de pensar es simplemente incompatible con la biolog´ıa evolutiva [128] y con la neurobiolog´ıa. Parece razonable que Plat´ on fuera plat´ onico en tiempos de Plat´ on, pero ciertamente sorprende la persistencia de esa vieja manera de pensar en la comunidad de matem´ aticos contempor´ aneos. Aunque, como podr´ıa esperarse, tambi´en existe un cierto nivel de desacuerdo sobre este asunto.7 Es notable el hecho de que muchos autores no plat´ onicos, como Wittgenstein, estuviesen en contra tanto del infinito actual como de la autorreferencia [126], dos conceptos capitales en la historia de las matem´ aticas plat´ onicas. 557 El lector puede llegar a sus propias conclusiones sobre las consecuencias que la anterior cr´ıtica biol´ ogica de esencialismo plat´ onico podr´ıa tener sobre la autorreferencia y el infinito actual. Aunque, evidentemente, tambi´en puede mantener que no conoce a trav´es de redes neuronales y persistir en sus h´ abitos plat´ onicos. Pero para aquellos de nosotros que creemos en la naturaleza org´ anica de nuestro cerebro y en su capacidad de percibir y conocer modelada a trav´es de m´ as de 3600 millones de a˜ nos de evoluci´ on org´ anica, el platonismo ya no tiene sentido. El infinito actual y la autorreferencia podr´ıan perder todo su significado fuera del escenario plat´ onico 558 En mi opini´ on, la hip´ otesis del infinito actual no es solo in´ util para explicar el mundo natural, tambi´en es muy molesta en ciertas disciplinas como la gravedad cu´ antica o la electrodin´ amica cu´ antica (renormaliza8 9 10 ci´on ). La f´ısica e incluso las mathematicas podr´ıan funcionar sin ella.11 Las ciencias experimentales como la qu´ımica, la biolog´ıa y la geolog´ıa nunca han estado relacionadas con el infinito actual. El infinito potencial es 6 [52],

[97] [114], [121], [13] 8 [77], [105], [116], [204], [170], [182], [8]. 9 [175], [177] 10 [141], [176] 11 Excepto la aritm´ etica transfinita y otras ´ areas relacionadas, la mayor parte de las matem´ aticas contempor´ aneas son compatibles con el infinito potencial, incluyendo conceptos clave como los de l´ımite o integral 7 [120],

Conocimiento abstracto y biolog´ıa —— 195

suficiente.12 Incluso el n´ umero de sitios distinguibles en el universo podr´ıa ser finito [102]. La materia, la energ´ıa o la carga el´ectrica parecen ser entidades discretas con m´ınimos indivisible; el espacio y el tiempo tambi´en podr´ıan ser de naturaleza discreta, como se sugiere en algunas ´areas de la f´ısica contempor´ anea.13 559 M´as all´ a de la escala de Planck la naturaleza parece perder todo su sentido f´ısico. Como la autorreferencia y el infinito actual, el espaciotiempo continuo podr´ıa ser s´ olo un recurso ret´ orico in´ util. Finalmente, el lector puede imaginar la enorme simplificaci´on de las matem´ aticas y la f´ısica, una vez liberada de la carga del infinito actual y de la autorreferencia. Tal vez debi´eramos dar una oportunidad a la navaja de Ockham.

12 Algunos

teor´ıas cosmol´ ogicas contempor´ aneas, como la teor´ıa de los multiversos [57] o la teor´ıa del Universo c´ıclico [185], hacen uso del infinito, pero de una manera bastante imprecisa 13 [88], [89] [193], [74], [180], [12] [181], [7], [122], [189], [16], [115], [16], [189]

196 —— C.-Platonismo y biolog´ıa

Bibliograf´ıa

[1] Amir D. Aczell, The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah and the Search for Infinity, Pockets Books, New York, 2000. [2] Antonio Alegre Gorri, Estudios sobre los presocr´ aticos, Anthropos, Barcelona, 1985. [3] L. V. Allis and T. Koetsierx, On Some Paradoxes of the infinite, British Journal for the Philosophy of Science 46 (1991), 235 – 47. [4] Joseph S. Alper and Mark Bridger, Mathematics, Models and Zeno’s Paradoxes, Synthese 110 (1997), 143 – 166. [5]

, On the Dynamics of Perez Laraudogotia’s Supertask, Synthese 119 (1999), 325 – 337.

[6] Joseph S. Alper, Mark Bridger, John Earman, and John D. Norton, What is a Newtonian System? The Failure of Energy Conservation and Determinism in Supertasks, Synthese 124 (2000), 281 – 293. [7] Jan Ambjorn, Jerzy Jurkiewicz, and Renate Loll, El universo cu´ antico autoorganizado, Investigaci´ on y Ciencia 384 (2008), 20–27. [8] Charis Anastopoulos, Particle or Wave. The evolution of the concept of matter in modern physics, Princeton University Press, New Jersey, 2008. [9] Aristotle, Prior and Posterior Analytics, Clarendon Press, Oxford, 1949. [10] Arist´ oteles, Metaf´ısica, Espasa Calpe, Madrid, 1995. [11]

, F´ısica, Gredos, Madrid, 1998.

[12] John Baez, The Quantum of Area?, Nature 421 (2003), 702 – 703. [13] Mark Balaguer, Platonism and Anti-platonism in Mathematics, Oxford University Press, New York, 2001. [14] John D. Barrow, The Infinite Book, Vintage Books(Random House), New York, 2006. [15] George Bekeley, A Treatise Concerning the Principles of Human Knowledge, Renascence Editions, http://darkwing.uoregon.edu/ bear/berkeley, 2004. [16] Jacob D. Bekenstein, La informaci´ on en un universo hologr´ afico, Investigaci´ on y Ciencia (2003), no. 325, 36 – 43. [17] Paul Benacerraf, Tasks, Super-tasks, and Modern Eleatics, Journal of Philosophy LIX (1962), 765–784.

197

198 ——- Referencias bibliogr´ aficas

[18] Paul Benacerraf and H. Putnam, Introduction, Philosophy of Mathematics: Selected Readings (Cambridge) (P. Benacerraf and H. Putnam, eds.), Cambridge University Press, 1964, pp. 1–27. [19] Henri Bergson, Creative Evolution, Dover Publications Inc., New York, 1998. [20] Henri Bergson, The Cinematographic View of Becoming, Zeno’s Paradoxes (Wesley C. Salmon, ed.), Hackett Publishing Company, Inc, Indianapolis/Cambridge, 2001, pp. 59 – 66. [21] Alberto Bernab´e, Introducci´ on y notas, Fragmentos presocr´ aticos (Alberto Bernab´e, ed.), Alianza, Madrid, 1988. [22] Jo¨el Biard, Logique et physique de l’infini au Xive si`ecle, Infini des math´ematiciens, infinit des philosophes (Fran ¸coise Monnoyeur, ed.), Belin, Paris, 1992. [23] M. Black, Achilles and the Tortoise, Analysis XI (1950 - 51), 91 – 101. [24] Ernest Boesiger, Teor´ıas evolucionistas posteriores a Lamrck y Darwin, Estudios sobre la filosof´ıa de la biolog´ıa (Francisco J. Ayala and Theodosius Dobzhansky, eds.), Ariel, 1983, pp. 45–74. [25] Bernard Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, B. van Rootselaar, Hamburg, 1975. [26] David Bostock, Aristotle, Zeno, and the potential Infinite, Proceedings of the Aristotelian Society 73 (1972), 37 – 51. [27] R. Bunn, Los desarrollos en la fundamentaci´ on de la matem´ atica desde 1870 a 1910, Del c´ alculo a la teor´ıa de conjuntos, 1630-1910. Una introducci´ on hist´ orica (I. Grattan-Guinness, ed.), Alianza, Madrid, 1984, pp. 283–327. [28] Cesare Burali-Forti, Una questiones sui numeri transfiniti, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 11 (1897), 154–164. [29] Florian Cajori, The History of Zeno’s Arguments on Motion, American Mathematical Monthly XXII (1915), 1–6, 38–47, 77–82, 109–115, 143–149, 179,–186, 215–220, 253–258, 292–297, http://www.matedu.cinvestav.mx/librosydocelec/Cajori.pdf. [30]

, The Purpose of Zeno’s Arguments on Motion, Isis III (1920-21), 7–20.

¨ [31] Georg Cantor, Uber eine eigenschaft aller reallen algebraishen zahlen, Journal f¨ ur die reine und angewandte Mathematik 77 (1874), 258–262. [32]

, Sur une propri´et´e du syst`eme de tous les nombres alg´ebriques r´eels, Acta Mathematica 2 (1874/1883), 305–310.

[33]

, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, Mathematishen Annalen 21 (1883), 545 – 591.

[34]

¨ , Uber verschiedene Theoreme asu der Theorie der Punktmengen in einem n-fach ausgedehnten stetigen Raume Gn, Acta Mathematica 7 (1885), 105–124.

[35]

¨ , Uber Eine elementare frage der mannigfaltigkeitslehre, Jahresberich der Deutschen Mathematiker Vereiningung, vol. 1, 1891.

[36]

, Beitr¨ age zur Begr¨ undung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen XLVI (1895), 481 – 512.

Referencias bibliogr´ aficas ——- 199

[37]

, Beitr¨ age zur Begr¨ undung der transfiniten Mengenlehre, Mathematishe Annalen XLIX (1897), 207 – 246. , Gesammelte Abhandlungen, Verlag von Julius Springer, Berlin, 1932.

[38] [39]

, Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers, Dover, New York, 1955.

[40]

, Foundations of a General Theory of Manifolds, The Theoretical Journal of the National Caucus of Labor Committees 9 (1976), no. 1-2, 69 – 96.

[41]

, On The Theory of the Transfinite. Correspondence of Georg Cantor and J. B: Cardinal Franzelin, Fidelio III (1994), no. 3, 97 – 110.

[42]

, Fundamentos para una teor´ıa general de conjuntos, Cr´ıtica, Barcelona, 2005.

[43]

, Sobre una propiedad de la colecci´ on de todos los n´ umeros reales algebraicos, Fundamentos para una teor´ıa general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta (Jos´e Ferreir´ os, ed.), Cr´ıtica, Madrid, 2006, pp. 179–183.

[44] Lewis Carroll, El juego de la L´ ogica, 6 ed., Alianza, Madrid, 1982. [45]

, A trav´es del espejo: y lo que Alicia encontr´ o al otro lado, Alianza, Madrid, 2003.

[46] Sean B. Carroll, Benjamin Proud’home, and Nicolas Gompel, La regulaci´ on de la evoluci´ on, Investigaci´ on y Ciencia 382 (2008), 24–31. [47] Carlos Castrodeza, Los l´ımites de la historia natural. Hacia una nueva biolog´ıa del conocimiento, Akal, Madrid, 2003. [48] P. Clark and S. Read, Hypertasks, Synthese 61 (1984), 387 – 390. [49] Brian Clegg, A Brief History of Infinity. The Quest to Think the Unthinkable, Constable and Robinson Ltd, London, 2003. [50] Jonas Cohn, Histoire de l’infini. Le probl`eme de l’infini dans la pens´ee occidentale jusqu’‘a Kant, Les´editions du CERF, Paris, 1994. [51] Giorgio Colli, Zen´ on de Elea, Sexto Piso, Madrid, 2006. [52] Michael C. Corballis, Pensamiento recursivo, Mente y Cerebro 27 (2007), 78–87. [53] Antonio Damasio, Creaci´ on cerebral de la mente, Investigaci´ on y Ciencia (2000), 66–71. [54] Antonio Damasio, El error de Descartes, Cr´ıtica, Barcelona, 2003. [55]

, Y el cerebro cre´ o al hombre, Destino, Barcelona, 2010.

[56] Josep W. Dauben, Georg Cantor. His mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1990. [57] P. C. W. Davies, Multiverse Cosmological Models, Modern Physics Letters A 19 (2004), 727–743. [58] John W. Dawson, Logical Dilemmas. The life and work of Kurt G¨ odel, A K Peters Ltd., Wellesley MA, 1997.

200 ——- Referencias bibliogr´ aficas

[59] Richard Dedekind, Qu´e son y para qu´e sirven los n´ umeros (was sind Und was sollen die Zahlen(1888)), Alianza, Madrid, 1998. [60] Stanislas Dehaene, Nicolas Molkoand Laurent Cohen, and Anna J. Wilson, Arithmetic and the Brain, Current Opinion in Neurobiology 14 (2004), 218–224. [61] Stanilas Dehane, Bases biol´ ogicas de la aritm´etica elemental, Mente y Cerebro 25 (2007), 62–67. [62] Jean-Paul Delahaye, El car´ acter parad´ ojico del Infinito, Investigaci´ on y Ciencia (Scientifc American) Temas: Ideas del infinito (2001), no. 23, 36 – 44. [63] Theodosius Dobzhansky, Nothing in biology makes sense except in the light of evolution, American Biology Teacher 35 (1973), 125–129. [64] Didier Dubois and Henri Prade, Fuzzy Sets and Systems, Academic Press, New York, 1988. [65] John Earman, Determinism: What We Have Learned and What We Still Don’t Know, Freedom and Determinism (Michael O’Rourke and David Shier, eds.), MIT Press, Cambridge, 2004, pp. 21–46. [66] John Earman and John D. Norton, Forever is a Day: Supertasks in Pitowsky and Malament-hogarth Spacetimes, Philosophy of Science 60 (1993), 22–42. [67]

, Infinite Pains: The Trouble with Supertasks, Paul Benacerraf: The Philosopher and His Critics (S. Stich, ed.), Blackwell, New York, 1996.

[68]

, Comments on Laraudogoitia’s ’classical Particle Dynamics, Indeterminism and a Supertask’, The British Journal for the Phylosophy of Science 49 (1998), no. 1, 122 – 133.

[69] Niles Eldredge, S´ıntesis inacabada. Jerarqu´ıas biol´ ogicas y pensamiento evolutivo moderno, Fondo de Cultura Econ´ omica, Mexico, 1997. [70] Michael J. Hawrylycz et al., An anatomically comprehensive atlas of the adult human brain transcriptome, Nature 489 (2012), 391–399. [71] Euclides, Elementos, Gredos, Madrid, 2000. [72] Theodore G. Faticoni, The mathematics of infinity: A guide to great ideas, John Wiley and Sons, Hoobken, New Jersey, July 2006. [73] Solomon Feferman, Kurt G¨ odel: Conviction and Caution, G¨ odel’s Theorem (S. G. Shanker, ed.), Routledge, London, 1991, pp. 96–114. [74] Jos´e L. Fern´ andez Barb´ on, Geometr´ıa no conmutativa y espaciotiempo cu´ antico., Investigaci´ on y Ciencia (2005), no. 342, 60–69. [75] Jos´e Ferreir´ os, El nacimiento de la teor´ıa de conjuntos, Universidad Aut´ onoma de Madrid, Madrid, 1993. [76]

, Matem´ aticas y platonismo(s), Gaceta de la Real Sociedad Matem´ atica Espa˜ nola 2 (1999), 446–473.

[77] Richard Feynman, Superstrings: A Theory of Everything?, Superstrings: A Theory of Everything? (Paul Davis and Julian Brown, eds.), Cambridge University Press, Cambridge, 1988. [78] Galileo Galilei, Consideraciones y demostraciones matem´ aticas sobre dos nuevas ciencias, Editora Nacional, Madrid, 1981.

Referencias bibliogr´ aficas ——- 201

[79] Alejandro R. Garciadiego Dantan, Bertrand Rusell y los or´ıgenes de las paradojas de la teor´ıa de conjuntos, Alianza, Madrid, 1992. [80] Valeria Gazzola, Lisa Aziz-Zadih, and Christian Keysers, Empathy and the Somatotopic Auditory Mirror System in Humans, Current Biology 19 (2006), 1824–1829. [81] Kurt G¨ odel, La l´ ogica matem´ atica de Russell, Obras completas (Jes´ us Moster´ın, ed.), Alianza, Madrid, 2 ed., 1989, pp. 313–350. [82] Kurt G¨ odel, Obras Completas, ch. Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines, pp. 53–87, Alianza, Madrid, 1989. [83] Kurt G¨ odel, ¿qu´e es el problema del continuo de Cantor? Suplemento a la segunda edici´ on, Obras completas (Jes´ us Moster´ın, ed.), Alianza, Madrid, 2 ed., 1989, pp. 424–426. [84] Robert Goldblatt, Lectures on the Hyperreals: An Introduction to Nonstandard Analysis, Springer-Verlag, New York, 1998. [85] Rebecca Goldstein, Incompleteness. The Proof and Paradox of Kurt G¨ odel, W. W. Norton and Company, New York, 2005. [86] Stephen Jay Gould, Acabo de llegar: el final de un principio en la historia natural, Cr´ıtica, Barcelona, 2003. [87] I. Grattan-Guinness, Are there paradoxes of the set of all sets?, International Journal of Mathematical Education, Science and Technology 12 (1981), 9–18. [88] Brian Green, El universo elegante, Editorial Cr´ıtica, Barcelona, 2001. [89]

, The Fabric of the Cosmos. Space, Time, and the Texture of Reality, Alfred A. Knopf, New York, 2004.

[90] Adolf Gr¨ unbaum, Modern Science and Refutation of the Paradoxes of Zeno, The Scientific Monthly LXXXI (1955), 234–239. [91]

, Modern Science and Zeno’s Paradoxes, George Allen And Unwin Ltd, London, 1967.

[92]

, Modern Science and Refutation of the Paradoxes of Zeno, Zeno’s Paradoxes (Wesley C. Salmon, ed.), Hackett Publishing Company, Inc, Indianapolis/Cambridge, 2001, pp. 164 – 175.

[93]

, Modern Science and Zeno’s Paradoxes of Motion, Zeno’s Paradoxes (Wesley C. Salmon, ed.), Hackett Publishing Company, Inc, Indianapolis/Cambridge, 2001, pp. 200 – 250.

[94]

, Zeno’s Metrical Paradox of Extension, Zeno’s Paradoxes (Wesley C. Salmon, ed.), Hackett Publishing Company, Inc, Indianapolis/Cambridge, 2001, pp. 176 – 199.

[95] Michael Hallet, Cantorian set theory and limitation of size, Oxford University Press, 1984. [96] Charles Hamblin, Starting and Stopping, The Monist 53 (1969), 410 –425. [97] Marc D. Hauser, Mentes animales, El nuevo humanismo y las fronteras de la ciencia (John Brockman, ed.), Kair´ os, Barcelona, 2007, pp. 113–136.

202 ——- Referencias bibliogr´ aficas

[98] Georg Wilhelm Frederich Hegel, L´ ogica, Folio, Barcelona, 2003. [99] James M. Henle and Eugene M. Kleinberg, Infinitesimal Calculus, Dover Publications Inc., Mineola, New York, 2003. [100] Jaakko Hintikka, On G¨ odel, Wadsworth / Thomson Learning, Inc., Belmont CA, 2000. [101] Wilfrid Hodges, An Editor Recalls some Hopeless Papers, The Bulletin of Symbolic Logic 4 (1998), no. 1, 1–16. [102] Craig J. Hogan, El libro del Big Bang, Alianza, Madrid, 2005. [103] M. L. Hogarth, Does General Relativity Allow an Observer to view an Eternity in a Finite Time?, Foundations of Physics Letters 5 (1992), 173 – 181. [104] M. Randall Holmes, Alternative Axiomatic Set Theories, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Edward N. Zalta, ed.), Standford University, 2007. [105] Gerard’t Hooft, Part´ıculas elementales, Cr´ıtica, Barcelona, 1991. [106] Nick Huggett, Zeno’s Paradoxes, The Stanford Encyclopaedia of Philosophy(Summer 2004 Edition) (Edward N. Zalta(ed.), ed.), Stanford University, ¡http://plato.stanford.edu/archives/sum2004/entries/paradox-zeno/¿, 2004. [107] H. Jerome Keisler, Elementary Calculus. An Infinitesimal Approach, second ed., Author, http://www.wisc.edu/ keisler/keislercalc.pdf, September 2002. [108] Evelyne Kohler, Christian Keysers, Alessandra Ulmit´ a, Leonardo Fogassi, Vittorio Gallese, and Giacomo Rizzolati, Hearing Sounds, Understanding Actions: Action Representation in Mirror Neurons, Science 297 (2002), 846–848. [109] Dharshan Kumara, Jennifer J. Summerfield, Demis Hassabis, and Eleonor A. Maguire, Tracking the Emergence of Conceptual Knowledge during Human Decision Making, Neuron 63 (2009), 889–901. [110] Shaughan Lavine, Understanding the Infinite, Harvard University Press, Cambridge MA, 1998. [111] Marc Lchi`eze-Rey, L’ infini. De la philosophie ` a l’astrophysique, Hatier, Paris, 1999. [112] Ed Leind and Mike Hawrylycz, The genetic geography of the brain, Scientific American (2014), 71–77. [113] Antonio Leon, Living beings as informed systems: towards a physical theory of information, Journal of Biological Systems 4 (1996), no. 4, 565 – 584. [114] Bernard Linsky and Edward N. Zalta, Naturalized Platonism vs Platonized Naturalism, The Journal of Philosophy XCII/10 (1995), 525–555. [115] Seth Loyd and Y. Jack Ng, Computaci´ on en agujeros negros, Investigaci´ on y Ciencia (Scientifc American) (2005), no. 340, 59 – 67. [116] Jean Pierre Lumient and Marc Lachi`eze-Rey, La physique et l’infini, Flammarion, Paris, 1994. [117] Peter Lynds, Time and Classical and Quantum Mechanics: Indeterminacy vs. Discontinuity, Foundations of Physics Letters 16 (2003), 343 – 355.

Referencias bibliogr´ aficas ——- 203

[118] Peter Lynds, Zeno’s Paradoxes: A Timely Solution, philsci-archives (3003), 1 – 9, http://philsci-archives.pitt.edu/archive/00001197. [119] William I. Maclaughlin, Thomson’s Lamp is Dysfunctional, Synthese 116 (1998), no. 3, 281 – 301. [120] Penelope Maddy, Perception and Mathematical Intuition, The Philosophical Review 89 (1980), 163–196. [121]

, Naturalism in Mathematics, Oxford University Press, New York, 1997.

[122] Shahn Majid, Quantum space time and physical reality, On Space and Time (Shahn Majid, ed.), Cambridge University Press, New York, 2008. [123] Benˆ oit Mandelbrot, Los objetos fractales. forma, azar y dimensiones, Tusquets, Barcelona, 1987. [124] Eli Maor, To Infinity and Beyond. A Cultural History of the Infinite, Pinceton University Press, Princeton, New Jersey, 1991. [125] Lynn Margulis, Teor´ıa de la simbiosis: las c´elulas como comunidades microbianas, Evoluci´ on ambiental (Lynn Margulis and Lorraine Olendzenski, eds.), Alianza, Madrid, 1996, pp. 157–182. [126] Mathieu Marion, Wittgenstein, finitism and the foundations of mathematics, Clarendon Press Oxford, Oxford, 1998. [127] James Clerk Maxwell, Materia y movimiento, Cr´ıtica, Barcelona, 2006. [128] Ernst Mayr, The Growth of Biological Thought, Harvard University Press, Cambirdge MA, 1982. [129] Joseph Mazur, The Motion Paradox, Dutton, 2007. [130] William I. McLaughlin, Una resoluci´ on de las paradojas de Zen´ on, Investigaci´ on y Ciencia (Scientifc American) (1995), no. 220, 62 – 68. [131] William I. McLaughlin and Silvia L. Miller, An Epistemological Use of non-standard Analysis to Answer Zeno’s Objections Against Motion, Synthese 92 (1992), no. 3, 371 – 384. [132] J. E. McTaggart, The unreality of time, Mind 17 (1908), 457 – 474. [133] Brian Medlin, The Origin of Motion, Mind 72 (1963), 155 – 175. [134] H. Meschkowski, Georg Cantor. Leben, Werk und Wirkung, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1983. [135] Andreas W. Moore, Breve historia del infinito, Investigaci´ on y Ciencia (Scientifc American) (1995), no. 225, 54 – 59. [136]

, The Infinite, Routledge, New York, 2001.

[137] Francisco Mora, C´ omo funciona el cerebro, Alianza, Madrid, 2007. [138] Richard Morris, Achilles in the Quantum Universe, Henry Holt and Company, New York, 1997. [139] Chris Mortensen, Change, Stanford Encyclopaedia of Philosophy (E. N. Zalta, ed.), Stanford University, URL = http://plato.stanford.edu, 2002.

204 ——- Referencias bibliogr´ aficas

[140] Jes´ us Moster´ın, Los l´ ogicos, Espasa Calpe, Madrid, 2000. [141] Jan Mycielski, Analysis without actual Infinite, The Journal of Symbolic Logic 46 (1981), no. 3, 625 – 633. [142] John Von Neumann, On the introduction of transfinite numbers, From Frege to G¨ odel. A sourcebook in mathematical logic 1879-1931 (Jean Van Heijenoort, ed.), Harvard University Press, 2011, pp. 346–354. [143] John D. Norton, A Quantum Mechanical Supertask, Foundations of Physics 29 (1999), 1265 – 1302. [144] Javier Ordo˜ nez, Victor Navarro, and Jos´e Manuel S´ anchez Ron, Historia de la Ciencia, Espasa Calpe, Madrid, 2004. [145] Alba Papa-Grimaldi, Why mathematical solutions of Zeno’s paradoxes miss the point: Zeno’s one and many relation and Parmenides prohibition, The Revew of Metaphysics 50 (1996), 299–314. [146] Derek Parfit, Reasons and Persons, The Clarendon Press, Oxford, 1984. [147] Parm´enides, Acerca de la naturaleza, De Tales a Dem´ ocrito. Fragmentos presocr´ aticos (Alberto Bernab´e, ed.), Alianza, Madrid, 1988, pp. 159 – 167. [148] Clifford A. Pickover, Keys to Infinity, Wiley, New York, 1995. [149] I. Pitowsky, The Physical Church Thesis and Physical Computational Complexity, Iyyun 39 (1990), 81 –99. [150] Jon P´erez Laraudogoitia, A Beautiful Supertask, Mind 105 (1996), 49–54. [151]

, Classical Particle Dynamics, Indeterminism and a Supertask, British Journal for the Philosophy of Science 48 (1997), 49 – 54. , Infinity Machines and Creation Ex Nihilo, Synthese 115 (1998), 259 –

[152] 265. [153]

, Why Dynamical Self-excitation is Possible, Synthese 119 (1999), 313 – 323.

[154]

, Supertasks, The Stanford Encyclopaedia of Philosophy (E. N. Zaltax, ed.), Standford University, URL = http://plato.stanford.edu, 2001.

[155] Jon P´erez Laraudogoitia, Mark Bridger, and Joseph S. Alper, Two Ways of Looking at a Newtonian Supertask, Synthese 131 (2002), no. 2, 157 – 171. [156] W. Purkert, Cantor’s view on the foundations of mathematics, The history of modern mathematics (D. Rowe and J. McClearly, eds.), Academic Press, New York, 1989, pp. 49–64. [157] Marcus E. Raichle, The Brain’s Dark Energy, Science 319 (2006), 1249–1250. [158] Nicholas Rescher, Process Philosophy, Stanford Encyclopedia of Philosophy (Edward N.. Zalta, ed.), Stanford University, URL = http://plato.stanford.edu, 2002. [159] Robert J. Richards, El significado de la evoluci´ on. La construcci´ on morfol´ ogica y la reconstrucci´ on ideol´ ogica de la teor´ıa de Darwin, Alianza, Madrid, 1998. [160] Mark Ridley, La evoluci´ on y sus problemas, Pir´ amide, Madrid, 1985.

Referencias bibliogr´ aficas ——- 205

[161] Giacomo Rizzolati, Leonardo Fogassi, and Vittorio Gallese, Neuronas espejo:, Investigaci´ on y Ciencia 364 (2007), 14–21. [162] Adina L. Roskies, The Binding problem, Neuron 24 (1999), 7–9. [163] Brian Rotman, The Ghost in Turing Machine, Stanford University Press, Stanford, 1993. [164] Rudy Rucker, Infinity and the Mind, Princeton University Press, Princeton, 1995. [165] Wesley C. Salmon, Introduction, Zeno’s Paradoxes (Wesley C. Salmon, ed.), Hackett Publishing Company, Inc, Indianapolis, Cambridge, 2001, pp. 5 – 44. [166] Javier Sampedro, Deconstruyendo a Darwin, Cr´ıtica, 2007. [167] M´ aximo Sand´ın, Lamarck y los mensajeros. La funci´ on de los virus en la evoluci´ on, Istmo, Madrid, 1995. [168] Steven Savitt, Being and Becoming in Modern Physics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Edward N. Zalta, ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2008. [169] Erwin Schr¨ odinger, La naturaleza y los griegos, Tusquets, Barcelona, 1996. [170] Bruce A. Schumm, Deep Down Things. The Breathtaking Beauty of Particle Physics, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, 2004. [171] Jan Sebestik, La paradoxe de la r´eflexivit´edes ensembles infinis: Leibniz, Goldbach, Bolzano., Infini des math´ematiciens, infini des philosophes (Fran ¸coise Monnoyeur, ed.), Belin, Paris, 1992, pp. 175–191. [172] Sebastian Seung, Connectome. how the brain’s wiring makes us who we are, Houghton Mifflin Harcourt, New York, 2012. [173] Waclaw Sierpinski, Cardinal and ordinal numbers, PWN-Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1965. [174] Z. K. Silagadze, Zeno meets modern science, Philsci-archieve (2005), 1–40. [175] Hourya Sinaceur, Le fini et l’infini, Infini des math´ematiciens, infini des philosophes (Fran ¸coise Monnoyeur, ed.), Belin, Paris, 1992. [176]

, ¿existen los n´ umeros infinitos?, Mundo Cient´ıfico(La Recherche) Extra: El Universo de los n´ umeros (2001), 24 – 31.

[177] Hourya Sinaceur and J. M. Salanski(eds.), Le labyrinthe du continu, Springer-Verlag, Berlin, 1992. [178] Wolf Singer, Consciousness and the Binding Problem, Annals of the New York Academy of Sciences 929 (2001), 123–146. [179] J. Maynard Smith, D. Bohm, M. Green, and C. H. Waddington, El status del neodarwinismo, Hacia una Biolog´ıa Te´ orica (C. H. Waddington, ed.), Alianza, Madrid, 1976, pp. 295 – 324. [180] Lee Smolin, Three roads to quantum gravity. A new understanding of space, time and the universe, Phoenix, London, 2003. ´ [181] Lee Smolin, Atomos del espacio y del tiempo, Investigaci´ on y Ciencia (Scientifc American) (2004), no. 330, 58 – 67.

206 ——- Referencias bibliogr´ aficas

[182]

, The trouble with physics, Allen Lane. Penguin Books, London, 2007.

[183] Carlos Sol´ıs and Luis Sell´es, Historia de la ciencia, Espasa Calpe, Madrid, 2005. [184] Steven M. Stanley, El nuevo c´ omputo de la evoluci´ on, Siglo XXI, Madrid, 1986. [185] Paul Steinhardt, El universo c´ıclico, El nuevo humanismo y las froteras de la ciencia (John Brockman, ed.), Kair´ os, Barcelona, 2008, pp. 363–379. [186] Robert R. Stoll, Set Theory and Logic, Dover, New York, 1979. [187] K. D. Stroyan, Foundations of Infinitesimal Calculus, Academic Press, Inc, New York, 1997. [188] Patrrick Suppes, Axiomatic Set Theory, Dover, New York, 1972. [189] Leonard Susskind, Los agujeros negros y la paradoja de la informaci´ on, Investigaci´ on y Ciencia (Scientifc American) (1997), no. 249, 12 – 18. [190] Richard Taylor, Mr. Black on Temporal Paradoxes, Analysis 12 (1951 - 52), 38 – 44. [191] James F. Thomson, Tasks and Supertasks, Analysis 15 (1954), 1–13. [192] Alan M. Turing, On Computability Numbers, With an Application to the Entscheidungsproblem, Proc. London Math. Soc. Series 2 43 (1937), 230 – 265. [193] Gabriele Veneziano, El universo antes de la Gran Explosi´ on, Investigaci´ on y Ciencia (Scientifc American) (2004), no. 334, 58 – 67. [194] Gregory Vlastos, Zeno’s Race Course, Journal of the History of Philosophy IV (1966), 95–108. [195]

, Zeno of Elea, The Encyclopaedia of Philosophy (Paul Edwards, ed.), McMillan and Free Press, New York, 1967.

[196] G. H. Von Wright, Time, Change and Contradiction, Cambridge University Press, Cambridge, 1968. [197] David Foster Wallace, Everything and more. Acompact history of infinity, Orion Books Ltd., London, 2005. [198] John Watling, The sum of an infinite series, Analysis 13 (1952 - 53), 39 – 46. [199] Eric W. Weistein, Superfactorial, Eric Weisstein World of Mathematics, Wolfram Research Inc., http://mathworld.wolfram.com, 2009. [200] H. Weyl, Philosophy of Mathematics and Natural Sciences, Princeton University Press, Princeton, 1949. [201] Klaus Wilhelm, La cultura entre los primates, Mente y Cerebro 29 (2008), 66–71. [202] Ludwig Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, Basil Blackwell, Oxford, 1978. [203] Stephen Wolfram, Mathematical notation: Past and future. http://www.stephenwolfram.com/publications, Wolfram Media Inc, 2010 (English). [204] F. J. Yndur´ ain, Electrones, neutrinos y quarks, Cr´ıtica, Barcelona, 2001.

Referencias bibliogr´ aficas ——- 207

[205] Lofty A. Zadeh, Fuzzy Sets, Information and Control 8(3) (1965), 338–353. [206] Mark Zangari, Zeno, Zero and Indeterminate Forms: Instants in the Logic of Motion, Australasian Journal of Philosophy 72 (1994), 187–204. [207] Semir Zeki, Una visi´ on del cerebro, Ariel, Barcelona, 1995. [208] Paolo Zellini, Breve storia dell’infinito, Adelphi Edicioni, Milano, 1980.

208 ——- Referencias bibliogr´ aficas

´Indice alfab´etico

a-Intervalo, 72 Alef-cero, 15 Como un n´ umero primo, 117 Definici´ on, 106 Propiedades, 107 Alef-cero y la potencia del continuo, 117–119 Antidiagonal de Cantor, 63 Antidiagonales racionales, 64–68 Argumento de Faticoni, 102 Argumento de la m´ aquina de Hilbert, 143–145 Argumento de Thomson, 40 Argumento del siguiente racional, 33–35 Argumentos inductivos El siguiente racional, 34 Intercambio de n´ umeros, 58 La m´ aquina de escribir unaria, 152 La m´ aquina de Hilbert, 143 S-Disociaciones, 113 Variaci´ on del argumento de Cantor de 1874, 53 Argumentos Modus Tollens Antidiagonales racionales, 66 Diagonal de Cantor, 63 F-Duplicaciones, 118 Intercambio de n´ umeros, 59 P-Disociaciones, 115 Permutaci´ on P , 65 S-disociaciones, 113 Arist´ oteles, 10, 11, 193 Arist´ oteles y las biyecciones, 135 Autorreferencia, 31, 183 Axioma del Infinito, 3, 5, 13, 14, 111 Axioma del Todo y la Parte, 21, 106 Axiomas, 105 Benacerraf, P., 37, 38 Bergson, H., 173 Black, M., 38 Bolzano, B.P.J.N., 10 Prueba del infinito actual, 13 Brouwer, L.E.J., 14 Los cambios instant´ aneos son imposibles en el continuum espaciotiempo,

176 Cambios causales, 173 Cambios en CALMs, 180 Cambios instant´ aneos, 175 Cambios instant´ aneos en CALMs, 180 Cantor y G¨ odel, 1 Cantor, G., 10, 12 ℵo es el cardinal menor infinito, 111 Argumento de 1874, 47–50 Argumento de 1885, 74 Argumento de la diagonal, 62–63 Beitr¨ age, 105 Definici´ on de conjunto, 185 El menor cardinal finito, 15 Paradoja del m´ aximo cardinal, 25, 27–28 Prueba del infinito actual, 13 Pruebas pendientes, 74 Teorema 15 A, 133 Teorema 16-F, 18 Teorema de la intersecci´ on, 125 Teoremas sobre alef-cero, 15 Totalidad de los cardinales finitos, 15 Capturando una falacia, 85–87 Cardinales transfinitos, 16 Sucesiones crecientes, 18 Carroll, L., 83 Clark, P., 38 Completo e incompletable, 68 Concepci´ on no plat´ onica de n´ umero, 98 Concepci´ on plat´ onica de n´ umero, 97 Conceptos primitivos, 15, 105 Conclusi´ on de la antidiagonal de Cantor, 63 Conjunto bien ordenado, 16 Conjunto densamente ordenado, 33 Conjunto sucesor, 185 Conjunto universal, 28 Conjuntos autorreferentes, 184 Conjuntos difusos, 14 Conjuntos finitos Definici´ on, 190 Propiedades, 191–192 Conjuntos plat´ onicos, 83

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Conjuntos potencialmente infinitos, 193–194 Continuum espaciotiempo, 98 Correspondencias uno a uno, 10 Cr´ıtica de Benacerraf de la l´ ampara de Thomson, 40 Curvas de Jordan, 148 F-Duplicaciones de un producto infinito, 117 P-Disociaciones de potencias, 115 S-Disociaciones de conjuntos numerables, 112 Dedekind, J.W.R., 10, 12 Definici´ on de conjunto infinito, 9, 11, 22, 24 Prueba del infinito actual, 13 Definici´ on de Dedekind de los conjuntos infinitos, 12 Definici´ on de Von Neumann de los n´ umeros naturales, 187 Definici´ on natural de conjunto, 184 Definici´ on no plat´ onica de conjunto, 83 Definici´ on operativa de cardinales finitos, 107 Definici´ on recursiva de los n´ umeros naturales, 92, 151 Definiciones circulares de conjunto, 185 Definiciones operacionales, 105 Diagonal de Cantor, 63 Dicotom´ıa cero o alef-cero, 127 Dicotom´ıas del espaciotiempo, 165–167 Diferencias entre cajas y conjuntos con infinitos elementos, 84 Diogenes Laertius, 10 Divisibilidad del espaciotiempo, 167–171 Dobzhansky, T., 195 Dogson, C., 83 ¿Es Alef-cero un n´ umero primo?, 111–117 h-Expansiones de n´ umeros racionales, 92 El Hotel de Hilbert, 141 Una forma de violar las leyes f´ısicas, 141 El problema del cambio, 1, 173 Elementos de Euclides, 105 Emparejando racionales con irracionales, 92–97 Escala de Planck, 199 Escol´ asticos medievales, 10 Esencialismo plat´ onico, 196 Espaciotiempo continuo, 1 Estado final de la l´ ampara de Thomson, 41–44 Estrategia inadmisible, 68 Euclides, 21

Expansi´ on decimal infinita, 91 Extensi´ on del argumento de Cantor de 1874, 50–52 Fila D-modular, 64 Fila n-modular, 64 Filopon, 21 Frege, G., 10 Funci´ on inyectiva, 21 Gauss, C.F., 9 Grosseteste, R., 21 Guerra de los infinitos, 3 Hegel, H.W.F., 1 Hegemon´ıa del infinito actual, 10, 12 Hegemon´ıa del infinito potencial, 10 Hilbert, D., 10 Hip´ otesis del continuum, 18 Hodges, W., 68 Inconsistencia de Galileo, 24 Inconsistencia de los conjuntos anidados, 129–130 Inductive arguments Redefinitions of a rational interval, 72 Infinitismo naif, 12 Infinito absoluto, 28 Infinito actual, 11 Infinito actual y potencial, 11–13 Infinito potencial, 11, 12, 32, 60, 193 Intervalos racionales Primera contradicci´ on, 72 Segunda contradicci´ on, 73 Inyecci´ on exhaustiva, 22 Kleene, S., 14 Kronecker, L., 14 L´ ampara de Thomson, 39 La m´ aquina de contar, 44 La m´ aquina de escribir unaria, 151 Ley de la Reproducci´ on, 195 Leyes fundamentales, 105 Longitud de una curva, 148 Los animales y el conocimiento abstracto, 196, 197 Los n´ umeros racionales son y no son numerables, 52–55, 96 Los seres vivos como sistemas informados, 195 Lynds, P., 133 M´ aquina de Hilbert finita, 144 Magia infinitista, 87, 88

´Indice alfab´ etico ——- 211

Maxwell, C., 1 McTaggart, J.M.E., 1, 173 Met´ afora del perro y la bola, 197 N´ umero como concepto primitivo, 187 N´ umeros algebraicos, 47 N´ umeros cardinales, 187 N´ umeros expofactoriales, 89 N´ umeros n-expofactoriales, 90 N´ umeros racionales Primera contradicci´ on, 55 Segunda contradicci´ on, 67 Tercera contradicci´ on, 82 Cuarta contradicci´ on, 97 Naturaleza discreta, 3 Numeral de un n´ umero, 151 ω El primer ordinal infinito, 17, 163 ω-Asimetr´ıa, 147, 164 ω-Asimetr´ıa de las supertareas, 164 ω-Asimetr´ıa espacial, 147 ω-Sucesividad, 134 omega-Separaci´ on, 134 Objetos ω-ordenados, 18 Objetos ω ∗ -ordenados, 19 Obra fundacional de Cantor, 105 Ockham, W. of, 21 Operadores de conjuntos, 94 Orden denso de los n´ umeros racionales, 69 Orden inducido por el conjunto sucesor, 189 Orden natural, 190 Orden natural versus ω-orden, 190 Ordinales de la primera clase, 17 Ordinales de la segunda clase, 17 Ordinales finitos, 16 Ordinales transfinitos, 16–19 Primera especie, 17 Segunda especie, 17 Ortodoxia infinitista, 92 Para´ıso del infinito actual, 22 Para´ıso infinitista, 10 Paradoja de Burali-Forti, 25, 27, 185 Paradoja de Cantor, 28, 185 Paradoja de Galileo, 21 Paradoja de Richard, 3 Paradoja de Russell, 31, 185 Paradoja del mentiroso, 3 Paradojas de la autorreferencia, 3 Paradojas de la reflexividad, 21–25 Parm´enides, 9, 173 Parmenides, 1 Partici´ on al modo de Cantor, 70 Partici´ on infinita de una curva de Jordan, 148–150

Particiones ω-ordenadas, 147 Particiones en la recta real, 79–82 Plat´ on, 10 Platonismo y biolog´ıa, 198 Poincar´e, H., 14 Potencia del continuum, 16 Primer teorema de incompletitud de G¨ odel, 3 Problema de la parada de Turing, 32 Proclus, 21 Pruebas del infinito actual, 13 Qusits (quantum space units, 178 Qutits (quantum time units), 178 Racionalidad de la diagonal de Cantor, 63 Read, S., 38 Regresi´ on infinita, 15 Regresi´ on infinita de argumentos, 105 Reinterpretaci´ on del argumento de Faticoni, 103 Renormalizaci´ on, 98 Rimini, G. of, 21, 37 Seres vivos como objetos extravagantes, 195 Serie condicionalmente convergente, 121 Simplicius, 10 Sistema unario de numeraci´ on, 151 Soluciones a las paradojas de Zen´ on, 133 Sucesi´ on de cardinales infinitos, 16 Sucesi´ on de conjuntos sucesores, 186 Sucesi´ on densamente ordenada de cambios, 174 Sucesiones α-ordenadas, 18 Sucesiones incompletables, 186 Sucesiones racionales a partir de un n´ umero irracional, 91 Supertareas Antidiagonales racionales, 67 Capturando una falacia, 86 Concepto, 37 Contando los n´ umeros naturales, 11 Definiendo ℵo , 108 Eliminando filas de una tabla, 157 Intercambio de n´ umeros, 58 La caja y las bolas, 154 La m´ aquina de contar, 44 La m´ aquina de escribir unaria, 153 ω-Asimetr´ıa, 164 permutaci´ on P, 67 Supertarea de Gregory, 37 Supertarea de la l´ ampara de Thomson, 39 Vaciando cajas, 84 Y el an´ alisis no est´ andar, 38

212 ——- ´Indice alfab´ etico

Y el infinito no contable, 38 Tabla unaria de los n´ umeros naturales, 155 Taylor, R., 38 Temporizar procedimientos infinitos, 159 Teor´ıa de supertareas, 38 Teor´ıa informal de conjuntos, 28 Teor´ıas axiom´ aticas de conjuntos, 31 Teorema de la extensi´ on finita, 191 Teorema de la intersecci´ on vac´ıa, 125 Teorema de la reordenaci´ on de Riemann, 26, 121 Teorema de la sucesi´ on de cardinales, 189 Teorema de la sucesi´ on de sucesores, 187 Teorema de la uni´ on finita, 192 Teorema de los conjuntos anidados, 125 Teorema de Tarski-Bernstein, 99 Teorema de Tarski-Sierpinski, 99 Teorema del cambio, 176 Teorema del infinito, 192 Teorema del n-´esimo decimal, 61 Teorema del ordenamiento finito 1, 191 Teorema del ordenamiento finito 2, 191 Teorema del reordenamiento consistente, 122 Teorema del reordenamiento de Riemann, 121 Teorema del siguiente cardinal, 191 Teoremas sobre sustracci´ on de cardinales, 99 Thabit ibn Qurra al-Harani, 21 Thomson, J.F., 37 Totalidades completas, 12 Tragedia del infinito, 4 U-CALM, 180 Un intervalo racional menguante, 72 Una sospechosa diferencia, 128 Versi´ on conjuntista del teorema de Riemann, 101 Versi´ on f´ısica del teorema de la intersecci´ on vac´ıa, 126 Von Neumann, J., 16 Watling, J., 38 Wittgenstein, L., 14 Z-puntos y Z*-puntos, 134 Z-reloj, 168 Zen´ on de Elea, 9, 173