El Filali Cours Physique Pcsi PDF

 

CENT RE DE DES S CL CLAS ASSE SES S PR PRÉP ÉPAR ARAT ATOI OIRE RES S CENTRE

COUR CO URS S DE PH PHYS YSIQ IQUE  UE 

PCSI/MPSI/TSI

ÉLECTRONIQUE - MÉCANIQUE -OPTIQUE  THERMODYNAMIQUE- ÉLECTROMAGNÉTISME 

SAID EL FILALI 

 

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3 octobre 2018

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TABLE DES MATIÈRES

I    ÉLECTRONIQUE 

 

1   LOIS GÉNÉRALES GÉNÉRALES DANS LE CADRE DE L’A.R.Q L’A.R.Q.P  .P  1.1   INTRODUCTION   INTRODUCTION   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2   Courant électrique   électrique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1   Définition   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2  Bilan de charges   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3  Loi des nœuds   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3   Tension électrique, loi des mailles   . . . . . . . . . . . . 1.4   La puissance électromagnétique reçue reçue par un dipôle   dipôle   . 1.5   Caractère générateur et récepteur  . . . . . . . . . . . .

19  . . . . . . . .

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21   21   22   22   22   22   23   23   24

2    ÉLÉME 2   ÉLÉMENTS NTS DE CIRCUI CIRCUITS TS LINÉAIRES EN RÉGIME CONTINU OU QUASI-PERMAN QUASI-PERMANE  E  2.1   Définition   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   25 2.2   Modélisation de dipoles passifs linéaires  R , C  et   L   . . . . . . . . . . . . . . . .   25 2.2.1   Le conducteur ohmique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   25 2.2.1.1   Modélisation   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   25 2.2.1.2  Association des conducteurs ohmiques   . . . . . . . . . . . . .   26 2.2.1.3   Effet   JOULE   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   26 2.2.2   Le condensateur   condensateur   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.1   Modélisation   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.2  Association des condensateurs   . . . . . . . . 2.2.2.3   Aspect énergétique    . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3  La bobine   bobine   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.1   Modélisation   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.2   Aspect énergétique    . . . . . . . . . . . . . . 2.3   Divise Diviseurs urs de tension et de courant. courant.   . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1   Diviseurs de courant    . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2   Diviseurs de tension  tension   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4   Modélisations linéaires d’un dipôle actif    . . . . . . . . . . .   Norton)    . 2.4.1  Générateur de courant (représentation de  Norton) 

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27 27 27 28 28 28 29 29 29 30 30 31

2.4.2 tension (représentation de  Thevenin)  de  Thevenin 2.4.3  Générateur  Équivalencede entre les deux modélisations   . . . . . )   .   .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..    31 31 2.5   Sources libres. Sources liées   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   32 3

 

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TABLE DES MATIÈRES

2.6  Théorème 2.6  Théorème de Millman   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   32 3    Régime transitoire    3  3.1   Cas du circuit circuit (R-C) (R-C) :   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1  Charge du condensateur (régime forcé) :   . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.1  L’équation différentielle :   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.2  Détermination expérimentale de la constante de temps  τ  :   . 3.1.1.2.1 pente àde  l’origine  l’origine   3.1.1.2.2  La  la valeur  u (τ)   . .   .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  u( montée    . . . . . . . . . . . . 3.1.1.2.3  Temps de montée   3.1.1.3  Le portrait de phase :   . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.3.1   Définitions   . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.3.2  Représentation dans le plan de phase    3.1.1.4  Aspect énergétique :   . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2  Décharge du condensateur (régime libre) :  :  . . . . . . . 3.1.2.1  Équation différentielle et solution :   . . . . . . 3.1.2.2  L’équation de la trajectoire de phase :   . . . . . 3.2   Cas du circuit circuit (R-L) (R-L) :  : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1  Régime forcé :   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.1  L’équation différentielle et solution   . . . . . . phase   . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.2  Portrait de phase   3.2.1.3   Aspect énergétique    . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2  Régime libre :   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3  Circuit (RLC) série :   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1  Régime libre :   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.1   Régime apériodique    ∆′   >  0  :   . . . . . . . . 3.3.1.2   Régime critique    ∆′   =  0  :   . . . . . . . . . . 3.3.1.3   Régime pseudopériodique    ∆′   <  0  :   . . . . 3.3.2  Régime forcé :   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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33    33   34   34   34

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34 35 36 37 37 37 37 38 38 38 39 39 39 41 41 42 42 42 43 44 47 51

4   Régime alternatif alternatif sinusoidal    57  4.1   Amplitude complexe ,Impedance et admittance complexes   . . . . . . . . . . .   57 4.1.1   Amplitude complexe   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2   Impéda Impédance nce complexe et admittance admittance complexe :   . . . . . . . . 4.1.2.1  Définitions :   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2.2   Applications :   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . resistor    . . . . . . . . . . . . 4.1.2.2.1  Impédance d’un resistor   4.1.2.2.2  Impedance d’une bobine idéale   idéale    . . . . . . . . 4.1.2.2.3  Impedance d’un condensateur    . . . . . . . . 4.2   Étude du circuit circuit RLC série en régime sinusoidal sinusoidal forcé    . . . . . . . . 4.2.1  Régime transitoire et régime permanent   permanent   . . . . . . . . . . . . 4.2.2   Étude de l’impedance   l’impedance   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3  Résonance en tension aux bornes du condensateur (Charge)    4.2.3.1  Équation différentielle et solution   . . . . . . . . . . .

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57 59 59 60 60 60 61 61 61 62 63 63

 U c   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   64  U   Étude de l’amplitude  4.2.3.2 4.2.3.3   La bande passante passante à -3dB pour la charge   charge   . . . . . . . . . . . .   65 4.2.3.4  Étude du déphasage  φ  φ   =  ϕ c ϕe   . . . . . . . . . . . . . . . . . .   66

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TABLE DES MATIÈRES

intensité   . . . . . . . 4.2.4  Résonance en intensité   4.2.4.1  Étude de l’amplitude  I   I m   . . 4.2.4.2  La bande passante à -3dB   -3dB   . 4.2.4.3  Étude du déphasage  ϕ  ϕ   =  ϕ i  4.3   La puissance :   . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1  Facteur de puissance :   . . . . . . . 4.3.2   Adaptation d’impedance :  : . . . . . .

. . . . . . . . . . . . ϕe   . . . . . . . . . . . . . .

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5   Diagra Diagrammes mmes de BODE des filtres du premier premier et second ordre    5.1  Fonction de transfert    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1   Définitions   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2   Exemples   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3  Lien entre la fonction de transfert et l’équation différentielle    . . 5.1.4  Diagrammes de BODE    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2   Filtrage   Filtrage    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1   Introduction   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2  Principaux types de filtres   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3   Filtre Filtress du premier premier ordre   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1   Filtre passe-ba passe-bass du premier ordre  ordre    . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1.1 d’unde exemple :   . . le :  . .gain . . :.   .. ..  Diagramme Bode pour 5.3.1.2  L’étude 5.3.1.3  Diagramme de Bode pour la phase :   . 5.3.2  Filtre passe-haut du premier ordre    . . . . . . : . . . . . . . . . 5.3.2.1  L’étude d’un exemple :  5.3.2.2  Diagramme de Bode pour le gain :   . . 5.3.2.3  Diagramme de Bode pour la phase :   . 5.4   Filtre Filtress du deuxième deuxième ordre   . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1   Filtre passe-bas   . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1.1  L’étude d’un exemple    . . . . . . . . . 5.4.1.2   Diagramme de  Bode pour   Bode pour le gain  gain   . . .   Bode pour la phase   . . 5.4.1.3   Diagramme de  Bode pour

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73    73   73   73   74   74   75   75   76   76   76

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67 67 68 69 70 70 72

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77 77 78 79 79 79 80 81 81 81 81 82

5.4.2   Filtre   . . exemple  . . . . . .  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  L’étude d’un 5.4.2.1passe-haut    Bode pour le gain  5.4.2.2   Diagramme de  Bode pour gain   . . . . . 5.4.2.3   Diagramme de  Bode pour   Bode pour la phase   . . . . 5.4.3   Filtre passe-bande   passe-bande   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3.1  L’étude d’un exemple    . . . . . . . . . . .   Bode pour le gain  gain   . . . . . 5.4.3.2   Diagramme de  Bode pour 5.4.3.3   Diagramme de  Bode pour   Bode pour la phase   . . . . 5.4.4   Filtre coupe coupe (ou réjecteur) de bande  bande    . . . . . . . 5.4.4.1  L’étude d’un exemple    . . . . . . . . . . . 5.4.4.2   Diagramme de  Bode pour   Bode pour le gain  gain   . . . . . 5.4.4.2.1  Comportement asymptotique   .

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83 83 84 84 85 85 86 88 88 88 89 89

5.4.4.2.2 graphique de  5.4.4.2.3  Représentation  La bande passante    . . . . .du . .gain . . .pour . . . quelques . . . . . .  valeurs 89 5.4.4.3   Diagramme de  Bode pour   Bode pour la phase   . . . . . . . . . . . . . . . .   90 3 octobre 2018

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TABLE DES MATIÈRES

6   Filtrage age linéaire des signaux périodiques  périodiques  6    Filtr 6.1   Composition en fréquence d’un signal   . . . . . . . . 6.1.1  Représentation temporelle et fréquentielle   . 6.1.2   Exemples   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2.1   Signal sinusoidal   sinusoidal   . . . . . . . . . . . 6.1.2.2  Signal carré impair  . . . . . . . . . . pair   . . . . . . . . . . . 6.1.2.3  Signal carré pair  

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93    93   93   96   96   97   98

symétriques   . . . . . . . . .   98 6.1.2.4  Signal triangulaire pair de pentes symétriques  6.1.2.5  Signal dent de scie   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   99 6.1.2.6  6.1.2.6  Signal  Signal sinusoidal pair redressé monoalternance   monoalternance    . . . . . . . .   99 6.1.2.7  Signal  Signal sinusoidal pair redressé doublealternance    . . . . . . .   100 6.1.2.7  6.1.2.8  6.1.2.8  Signal  Signal rectangulaire pair de rapport cyclique  α  α  quelconque    .   100 6.1.3  L’aspect énergétique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   100 6.2   Traitement d’un signal périodique par un système linéaire   linéaire   . . . . . . . . . . .   101 6.2.1   Rappel    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   101 6.2.2   Applica Application tion 1 : CNC 2009 Filière MP   MP    . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   102

II MÉ MÉCA CANI NIQU QUE  E 

 

107 

1 DESCRIPTION DESCRIPTION DU MOUVEM MOUVEMENT ENT D’UN POINT POINT MATÉRIEL  MATÉRIEL  1.1   Repères d’espace et du temps. Référentiel   Référentiel   . . . . . . . . . . . 1.1.1   Repérage dans l’espace   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2  Repérage dans le temps   . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3   Référentiel   Référentiel   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2  Cinématique du point matériel   matériel   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1  Définition du point matériel    . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2  Vecteurs position,vitesse et accélération   . . . . . . . . 1.2.3  Exemples de bases de projection   . . . . . . . . . . . . 1.2.3.1  Coordonnées cartésiennes   . . . . . . . . . . . Vecteur déplac déplacement ement élément élémentaire aire   . 1.2.3.1.1   Vecteur 1.2.3.1.2   Vecteur Vecteur vitess vitesse e . . . . . . . . . . . .

 

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109  .   109 .   109 .   110 .   110 .   111 .   111 .   111 .   112 .   112 .   112 .   113

Vecteur accélé accélération ration  . . . . . . . . . 1.2.3.1.3   Vecteur 1.2.3.2   Coordonnées cylindriques  cylindriques   . . . . . . . . . . . . 1.2.3.2.1   Définitions   . . . . . . . . . . . . . . . Vecteur déplac déplacement ement élément élémentaire aire   . 1.2.3.2.2   Vecteur 1.2.3.2.3   Vecteur Vecteur vitess vitesse e . . . . . . . . . . . . Vecteur accélé accélération ration  . . . . . . . . . 1.2.3.2.4   Vecteur 1.2.3.3   Coordonnées sphériques   . . . . . . . . . . . . 1.2.3.3.1   Définitions   . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.3.2   Vecteur Vecteur déplac déplacement ement élément élémentaire aire   . Vecteur vitess vitesse e . . . . . . . . . . . . 1.2.3.3.3   Vecteur 1.2.3.4   Coordonnées curvilignes   . . . . . . . . . . . . 1.2.3.4.1   Définitions   . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2.3.4.2   Expre Expressi ssion on du rayo rayon n de cour courbur bure e   . . . . . . . . . .   119 mouvement   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   123 1.2.4  Exemples de mouvement   1.2.4.1  Mouvement rectiligne à accélération constante    . . . . . . . .   123 3 octobre 2018

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sinusoidal   . 1.2.4.2  Mouvement rectiligne sinusoidal   1.2.4.3   Mouvement circulaire   circulaire   . . . . . . . 1.2.4.4   Mouvement helicoidal   helicoidal   . . . . . . . 1.2.4.5   Mouvement cycloide   cycloide   . . . . . . . .

TABLE DES MATIÈRES

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.   123 .   125 .   128 .   130

2    DYNAMI DYNAMIQUE QUE DU POINT MATÉRIEL MATÉRIEL DANS UN RÉFÉRENTIEL RÉFÉRENTIEL GALILÉEN   GALILÉEN   133  2  2.1   Quelques forces usuelles   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   133 de  Principe Newton  d’inertie  Newton  . . . . . .  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2.2  Lois 2.2.1 fondamentale e de la dynamique  dynamique    . . . . . . . . . . . . 2.2.2   La relation fondamental 2.2.3  Principe des actions réciproques   . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3   Applications (énoncés voir TD )  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Étude e d’un projectile projectile avec et sans frottement   frottement   . . . . . . . . . . 2.3.1   Étud 2.3.2   Pa Particu rticule le soumise à un frottement fluide fluide de type : f   = k .V 2 . . simple   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3  Le pendule simple   2.3.4   Mouvement d’une particule chargé dans un champ champ uniforme   uniforme    .

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.. . . . . . . .

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.. . . . . . . .

..    133 133 .   134 .   134 .   135 .   135 .   138 .   139 .   141

3  3    MOUVEMENT DE PARTICULES PARTICULES CHARGÉES DANS UN CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQ  3.1   Force de Lorentz   Lorentz   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   145 3.1.1   Rappel    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   145 3.1.2   Propri Propriété été de la force magnétique  magnétique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   146 Applications  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   146 3.2   Applications  3.2.1   Mouvement dans un champ électrostatique uniforme dans le vide.   . .   146 magnétostatique uniforme dans le vide.   .   152 3.2.2   Mouvement dans un champ magnétostatique 3.2.3  Mouvement d’un proton dans un cyclotron  cyclotron   . . . . . . . . . . . . . . . .   154 3.2.4  Rayonnement d’une particule chargée   chargée    . . . . . . . . . . . . . . . . . .   159 Mouvement ent dans un champ électromagné électromagnétique tique uniforme dans le vide.   164 3.2.5   Mouvem 3.3   Mouvement d’une particule particule chargée dans un métal  métal    . . . . . . . . . . . . . . .   166 3.3.1  Modèle de DRUDE   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   166 3.3.2   Vecteur densité de courant électrique. Loi d’Ohm locale   locale   . . . . . . . .   167 cylindrique    . . . . . . . . . . .   169 3.3.3  Résistance électrique d’un conducteur cylindrique   Laplace   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   170 3.4  Force de Laplace   4   THÉORÈME DU MOMENT MOMENT CINÉTIQUE    4.1   Le moment cinétique cinétique ,moment d’une d’une force   force   . . . . . . . . . . 4.1.1  Définition du moment cinétique   cinétique    . . . . . . . . . . . . 4.1.2  Propriété du moment cinétique    . . . . . . . . . . . . force   . . . . . . . . . . . 4.1.3  Définition du moment d’une force   4.1.4   Propri Propriété été du moment d’une force   force   . . . . . . . . . . . 4.1.5  Théorème du moment cinétique   cinétique   . . . . . . . . . . . . 4.2   Applications  Applications  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1   Pendule simple   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2  Propriétés de la trajectoire d’un satellite artificiel   . . 4.2.3  Pendule de HOLWECK LEIAY    . . . . . . . . . . . . .

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175 .   175 .   175 .   175 .   177 .   177 .   177 .   178 .   178 .   179 .   181

COUPLES    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   183 4.3   Les 4.3.1  Couple de force    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   183 4.3.2  Couple de torsion   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   184 3 octobre 2018

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TABLE DES MATIÈRES

5   PUISSANCE ET TRAVAIL TRAVAIL D’UNE FORCE. THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE  187  5.1   Puissance et travail d’une force    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   187 5.1.1   Définitions   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   187 5.1.2   Exemples   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   187 5.1.2.1  Travail du poids   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   187 5.1.2.2   Trava Travail il de la tensio tension n d’un ressort  . . . . . . . . . . . . . . . . .   188 5.1.2.3  Travail de la force de Lorentz (Force magnétique)   magnétique)   . . . . . . .   188 5.1.2.4   Trava Travail il de la force newtonienne  newtonienne    . . . . . . . . . . . . . . . . .   189 5.2   Énergie cinétique. Théorème Théorème de l’énergie cinétique   . . . . . . . . . . . . . . .   190 5.3   Force conservatives. Énergie potentielle   potentielle    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   192 5.3.1   Définition   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   192 5.3.2   Exemples   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   192 5.4   Énergie mécanique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   193 5.4.1  Théorème de l’énergie mécanique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   193 important   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   194 5.4.2  Cas particulier important   5.5   Applications :Équilibre d’un point matériel dans un champ champ de forces conservatives194 conservatives194 5.5.1   Barrière d’énergie potentielle   potentielle    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   194 5.5.2   Cuvette d’énergie potentielle    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   195 5.5.3  Cas de l’oscillateur harmonique   harmonique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   195 5.5.4   Exemple général   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   196 5.5.5  Équilibre d’un point matériel soumis à l’action des forces conservatives196 conservatives 196 5.5.5.1   Condition d’équilibre    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   196 5.5.5.2  Condition de stabilité    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   197 5.5.5.3  Critère de stabilité   stabilité   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   197 6   OSCILLATEUR TEUR LINÉAIRE LINÉAIRE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ  6    OSCILLA 6.1  Rappel sur l’oscillateur harmonique   harmonique   . . . . . . . . . . . 6.2   régime libre d’un oscillateur linéaire amorti amorti   . . . . . . 6.2.1  Forme canonique de l’équation différentielle   . . 6.2.2  Différents régimes libres amortis   . . . . . . . . apériodique    . . . . . . . . . . . 6.2.2.1   Régime apériodique  

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201 .   201 .   202 .   202 .   204 .   204

. . . . . . . ϕF    . . . . . . . . . . . . .

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.   205 .   206 .   207 .   208 .   208 .   209 .   210 .   210 .   211 .   212 .   212 .   212

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6.2.2.2   Régime critique    . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2.3   Régime pseudo-périodique    . . . . . . . . . 6.2.3   Décrément logarithmique  . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4   Interprétation physique    . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4.1  Facteur de qualité   qualité    . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4.2  Temps de relaxation   . . . . . . . . . . . . . 6.3   Oscillations forcées -Résonance    . . . . . . . . . . . . . . .  ϕ   =  ϕ x  6.3.1   Détermination de l’amplitude  X   X  et la phase  ϕ 6.3.2   Étude de la résonance résonance d’amplitude d’amplitude :   . . . . . . . . 6.3.3   Calcul énergétique :  :  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3.1  Énergie perdue :   . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3.2  Énergie gagnée :   . . . . . . . . . . . . . . .

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6.3.4   Résonance de vitesse   vitesse   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   212 6.3.5   Bande passante    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   213 6.4   Analogie :Electrique/Mécanique   :Electrique/Mécanique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   215 3 octobre 2018

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TABLE DES MATIÈRES

7   CONSERVATIVES ATIVES,, MOU  7    MOUVEMENTS DANS UN CHAMP DE FORCES CENTRALES CONSERV 7.1   Généralités sur les forces centrales   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   221 7.1.1   Définition   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   221 cinétique, Loi des aires  aires   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   222 7.1.2   Moment cinétique, 7.1.2.1  Conservation du moment cinétique    . . . . . . . . . . . . . . .   222 7.1.2.2  Planéité de la trajectoire    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   222 Vitesse sse aréolaire aréolaire , Loi des aires  aires  . . . . . . . . . . . . . . . . . .   223 7.1.2.3   Vite 7.1.3  Formules de Binet   Binet   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   223 7.2  Forces centrales conservatives   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   224 7.3   Cas du champ newtonien   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   226 7.3.1  L’approche énergétique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   226 7.3.2  L’équation de la trajectoire   trajectoire   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   227 7.3.2.1  Relation fondamentale de la dynamique   . . . . . . . . . . . . .   227 7.3.2.2  Vecteur Range-Lenz   Range-Lenz    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   228 7.3.2.3  L’étude de quelques trajectoires   . . . . . . . . . . . . . . . . .   230 circulaire   . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   230 7.3.2.3.1  Trajectoire circulaire   7.3.2.3.2  Trajectoire elliptique   elliptique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   231 7.3.2.3.3  Vitesse de libération   . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   232 232 7.3.2.3.4  Rayon de la trajectoire circulaire d’un satellite géostationnaire 232 8    MÉCAN MÉCANIQUE IQUE DANS UN RÉFÉRENTIEL RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN    8  8.1   Introduction   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cinématique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2  L’étude cinématique   8.2.1  Axe instantané de rotation   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1.1  L’étude d’un exemple    . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1.2  Relation fondamentale de la dérivation vectorielle   vectorielle   . . 8.2.2   Composition des vitesses   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3  Composition des accélérations   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3   Dynamique dans un référentiel non galiléen   . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1   RFD dans un référentiel référentiel non galiléen : forces d’inertie   d’inertie   . . . . d’entrainemment    . . . . . . . . . . . . . 8.3.2  L’énergie potentielle d’entrainemment   8.3.3   Applications   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3.1   Préliminaire   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3.2  Définition du poids   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . statique    . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3.3  Effet de marée statique   8.3.3.3.1  Expression analytique    . . . . . . . . . . . . . 8.3.3.3.2  La marée océanique   . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3.4  Déviation vers l’est    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3.5  Pendule de Foucault   Foucault   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9    SYSTÈM SYSTÈME E DE DEUX POINTS POINTS MATÉRIELS  MATÉRIELS  9  9.1   Grandeurs cinématiques   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . système    . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1   Barycentre du système   9.1.2   Repère Barycentrique   . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

233  .   233 .   234 .   234 .   234 .   235 .   236 .   237 .   238 .   238 .   239 .   240 .   240 .   241 .   243 .   243 .   244 .   247 .   247

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

249  .   249 .   249 .   250

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9.1.3   Quantité de mouvement    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   251 9.1.3.1  Dans le repère    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   251 9.1.3.2  Dans le repère    ⋆ ;,masse réduite   réduite   . . . . . . . . . . . . . . . .   251

  RR  R  R

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9.2   Grandeurs cinétiques   . . . . . . . . . . . . 9.2.1  Le moment cinétique du système    . 9.2.1.1  Dans le repère    ⋆ . . . . . 9.2.1.2  Dans le repère    . . . . . . 9.2.2  L’énergie cinétique du système    . . 9.2.2.1  Dans le repère    ⋆ . . . . . 9.2.2.2  Dans le repère    . . . . . .

TABLE DES MATIÈRES

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.   252 .   252 .   252 .   252 .   252 .   252 .   252

9.3   Dynamique du système    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1  Relation fondamentale de la dynamique    . . . . . . . . . . . . . Théorème me du moment cinétique cinétique dans un référentiel référentiel galiléen  galiléen . . 9.3.2   Théorè 9.3.2.1  Moment des forces en un point O fixe dans .   . . . . . forces en G baryc barycentre  entre    . . . . . . . . . . . 9.3.2.2   Moment des forces barycentrique   . . . . . 9.3.2.3  Théorème du moment cinétique barycentrique   9.3.3  Puissance des forces intérieures  intérieures   . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème me de l’énerg l’énergie ie cinétique dans un référentiel galiléen galiléen   . 9.3.4   Théorè d’interaction   . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.5  L’énergie potentielle d’interaction  9.3.6    Énergie mécanique   mécanique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.6  9.4   Cas d’un système système isolé de deux points matériels matériels   . . . . . . . . . . . . 9.4.1   Conséquences   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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.   253 .   253 .   254 .   254 .   254 .   255 .   255 .   255 .   256 .   256 .   256 .   257

  RR  R  R   RR  R  R

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 R

équivalent    . . . . . . . . . . . . .   257 9.4.2  Réduction canonique :Mobile réduit équivalent   10 MÉCANIQUE MÉCANIQUE DU SOLIDE    259  10.1CINÉMATIQUE 10.1 CINÉMATIQUE DU SOLIDE    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   259 10.1.1 10.1.1Définition Définition d’un solide   solide    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   259 10.1.2Barycentre Barycentre d’un solide. Repère barycentrique   barycentrique   . . . . . . . . . . . . . .   259 10.1.2 10.1.3Cinématique Cinématique du solide    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   262 10.1.3 10.1.4 10.1.4Mouvement Mouvement d’un solide   solide   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   263 10.1.4.1 10.1.4.1mouvement mouvement de translation  translation   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   263 10.1.4.2 10.1.4.2mouvemen mouvementt de rotat rotation ion autour d’un axe fixe  fixe    . . . . . . . . . .   264 10.1.4.3Description Description du mouvement instantanée le plus général d’un solide 264 264 10.1.4.3 10.2 10.2MODÉLISATION MODÉLISATION DES EFFORTS ENTRE SOLIDES EN CONTACT   CONTACT   . . . . . . .   264 10.2.1Solide Solide en contact    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   264 10.2.1 10.2.2Vitesse Vitesse de glissement   glissement   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 10.2.3 10.2.3Vecteur Vecteur rotation relative   relative    . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4Lois Lois de Coulomb pour le frottement de glissement    . 10.2.4 10.2.5 10.2.5La La puiss puissance ance totale des actio actions ns de conta contact  ct    . . . . . . 10.2.5.1Expres Expression sion de la puissance pour un solide  solide    . 10.2.5.1 10.2.5.2 10.2.5.2Puissance Puissance totale des actions de contact   contact   . . . 10.2.5.3Modèle Modèle des liaisons parfaites   . . . . . . . . . 10.2.5.3 10.2.5.4Définition Définition   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.5.4 10.2.5.5 10.2.5.5Exemples Exemples   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 DYNAMIQUE D’UN SOLIDE   10.3DYNAMIQUE SOLIDE    . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1Théorème Théorème de la résultante cinétique    . . . . . . . . . 10.3.1 10.3.2 10.3.2Le Le moment cinétique  cinétique    . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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.   265 .   266 .   267 .   267 .   267 .   268 .   269 .   269 .   269 .   269 .   269 .   270

10.3.2.1 10.3.2.1Définition Définition   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   270 10.3.2.2 10.3.2.2Le Le torseur cinétique   cinétique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   271 10.3.2.3 10.3.2.3Le Le théorème de  KŒNIG relatif   KŒNIG relatif moment cinétique   cinétique   . . . . . . .   271 3 octobre 2018

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TABLE DES MATIÈRES

10.3.3L’énergie L’énergie cinétique d’un solide   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 10.3.3.1Définition Définition l’énergie cinétique   cinétique   . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3.1 10.3.3.2 10.3.3.2Le Le théorème de  KŒNIG relatif   KŒNIG relatif à l’énergie cinétique   . . 10.3.4Le Le moment d’une force   force   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 10.3.5 10.3.5Mouvem Mouvement ent d’un solide autour autour d’un axe de direct direction ion fixe   . . . . 10.3.5.1 10.3.5.1Cinétique Cinétique d’un solide ayant un point de vitesse nulle    . 10.3.5.1.1Le Le moment d’inert d’inertie. ie. Théorème de Huygen Huygenss   . . 10.3.5.1.1

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.   272 .   272 .   273 .   273 .   274 .   274 .   274

10.3.5.1.1.1 10.3.5.1.1.1Le Le moment d’inertie d’un point matériel M   M   . . .   274 10.3.5.1.1.2Le Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe 274 274 10.3.5.1.1.2 10.3.5.1.1.3 10.3.5.1.1.3Théorème Théorème de Huygens   . . . . . . . . . . . . . . .   275 10.3.5.1.2Le Le moment cinétique  cinétique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   275 10.3.5.1.2 10.3.5.1.3 10.3.5.1.3L L’énergie cinétique  cinétique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   276 10.3.5.2Mouvem Mouvement ent d’un solide en rotation autour d’un axe fixe dans un référentie 10.3.5.2 10.3.5.2.1Théorème 10.3.5.2.1 Théorème scalaire du moment cinétique   cinétique   . . . . . . . .   277 10.3.5.2.2Théorème Théorème de l’énergie cinétique    . . . . . . . . . . . .   277 10.3.5.2.2 10.3.5.2.3 10.3.5.2.3Théorème Théorème de l’énergie mécanique    . . . . . . . . . . .   278 10.4 Application  Application : le pendule pesant (CNC 2014 MP P1)  P1)    . . . . . . . . . . . . . . .   278 10.4 10.5 10.5 Autres  Autres Applications   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   282 HOMOGÈNE    . . . . . . . . . . . . . . .   282 10.5.1MOUVEMENT D’UNE BARRE HOMOGÈNE  10.5.1.1Étude cinématique du mouvement  mouvement    . . . . . . . . . . . . . . . .   282 10.5.1.2É .2Étude tude énergétique énergétique du mouvemen mouvementt , relati relation on entre V et  θ   θ    . . .   283 10.5.1 10.5.1.3Étude dynamique du mouvement, verification de l’hypothèse initiale de co  10.5.2OSCILLATIONS MÉCANIQUES   MÉCANIQUES    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   284 10.5.2.1Étude dynamique : équation différentielle du mouvement  . . . .   284 10.5.2.2Petites oscillations   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   284 10.5.2.3Aspect énergétique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   285 10.5.2.4Moment d’inertie du pendule composé    . . . . . . . . . . . . .   286 10.5.2.5Étude dynamique : équation différentielle du mouvement  . . . .   286 10.5.2.6Simplification : retour au cas du pendule simple  simple    . . . . . . . .   286 PENDULE    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   286 10.5.3ÉTUDE D’UN PENDULE 

III    OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE  1 APPROXIMA APPROXIMATION TION DE L’OPTIQ L’OPTIQUE UE GÉOMÉTRIQUE  GÉOMÉTRIQUE  1.1   Notio Notion n du rayon lumineux  lumineux   . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1   Généralités   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2  Limite du modèle    . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2   Réflexion et réfraction  réfraction   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1   Réflexion   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2   Réfraction   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Étude e de la réfraction  réfraction   . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3   Étud 1.2.3.1   Cas  n 1  <  n 2   :   . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.2   Cas  n 1  >  n 2   . . . . . . . . . . . . . . . .

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289  . . . . . . . . .

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291 .   291 .   291 .   292 .   292 .   292 .   293 .   294 .   294 .   295

1.2.4  Étude du prisme   prisme   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   297 1.2.4.1  Formules générales   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   298 1.2.4.2   Conditions d’émergence   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   299 3 octobre 2018

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TABLE DES MATIÈRES

1.2.4.3  Minimum de déviation   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   299 2   L’IMAGE DANS LES CONDITIONS DE GAUSS  GA USS  2    FORMATION DE L’IMAGE 2.1   Systèmes optiques centrés   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1   Définition   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2  Espace objet - Espace image :   . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2.1   Système dioptrique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . catoptrique   . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2.2   Système catoptrique   2.2   Notion de stigmatisme stigmatisme et applanitisme   applanitisme    . . . . . . . . . . . . 2.3   Lentille Lentilless sphériques sphériques minces dans les conditions de  GAUSS   GAUSS   2.3.1   Définitions :   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   GAUSS   :   . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2   Conditions de  GAUSS 2.3.3   Stigmatisme approché :  : . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4  Lentilles minces :   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l’image    . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5  Formation de l’image   2.3.6  2.3.6  Grandissement  Grandissement transversal-Formule de Newton :   . . 2.3.7  2.3.7  Relation  Relation de conjugaison  conjugaison   . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4   Miroirs sphériques dans les C.G. C.G.   . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Définitions . . . . . . .  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. de  conjugaison  conjugaison 2.4.2   Relation 2.4.3   Grandissement transversal   transversal   . . . . . . . . . l’image    . . . . . . . . . . . . 2.4.4  Formation de l’image   2.4.4.1  Miroirs concaves ou convergents  convergents   . divergents   . . 2.4.4.2  Miroirs convexes ou divergents 

IV    THERMODYNAMIQUE 

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301 .   301 .   301 .   301 .   301

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.   302 .   302 .   302 .   302 .   303 .   303 .   303 .   304 .   309 .   310 .   311

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1 MODÈLE MODÈLE DU GAZ GAZ PARF PARFAIT  AIT    1.1   Modèle microscopique du gaz parfait   parfait   . . . . . . . . . . . . 1.1.1   Définitions   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2   La pression cinétique   cinétique   . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3  Théorème d’équipartition :Température cinétique   . 1.1.4  Équation d’état :Notion de gaz réel   réel   . . . . . . . . . 1.2  L’énergie interne   interne   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1   Définition   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2   Applications   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3  Capacités calorifiques à volume constant   . . . . . .

329  . . . . . . . . .

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331 .   331 .   331 .   333 .   336 .   337 .   339 .   339 .   339 .   340

2 STAT STATIQUE IQUE DES FLU FLUIDES  IDES    343  2.1   Équation fondamentale de la statique des fluides   . . . . . . . . . . . . . . . .   343 2.2   Équilibre d’une atmosphère isotherme. Facteur Facteur de Boltzmann.   . . . . . . . .   345 de la  pression l’altitude  2.2.1 2.2.2  Variation   Généralisation . . . . . avec . . . l’altitude   . . . . . .   .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..    345 354 2.3   Poussée d’ARCHIMÈDE.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   354 3 octobre 2018

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3 SYSTÈMES SYSTÈMES THERM THERMODYNAM ODYNAMIQUES  IQUES  3.1   Définitions   . . . . . . . . . . . . . . . 3.2   Équilibre thermodynamique    . . . . . 3.3  Variables thermodynamiques   . . . . . 3.4   Transformations thermodynamiques  thermodynamiques   . 3.5   Cœfficients thermo-élastiques   . . . . 3.5.1   Définition   . . . . . . . . . . . .

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355 .   355 .   356 .   357 .   357 .   358 .   358

partielles  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   359 3.5.2  Relations aux dérivées partielles  3.5.3   Application   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   360 PREMIER PRINCIPE PRINCIPE DE DE LA THERMODYNAM THERMODYNAMIQUE  IQUE    361 4 PREMIER 4.1   Introduction   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   361 Travail il échangé par un système :travail :travail des forces de pression   . . . .   361 4.1.1   Trava 4.1.2   Applications   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   363 4.1.3   Transfert thermique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   363 d’énergie    . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   364 4.1.4  Divers formes de transfert d’énergie   4.2   Premier principe de la thermodynamique  thermodynamique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   364 4.3   Conséquences pratiques   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   365 4.4   Enthalpie d’un système   système    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   366 4.5   Capacités thermiques   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   366 4.5.1   Définitions   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   366 4.5.2  Interprétation en terme de chaleur   chaleur    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   367 4.6    Détente de Joule-Gay Joule-Gay Lussac   Lussac   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   368 4.6  4.7  4.7  Détente  Détente de Joule-Thomson   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   369 4.8    Applications au gaz parfait   parfait   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   371 4.8  4.8.1  Loi de Joule   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   371 Mayer   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   372 4.8.2  Relation de Mayer   Laplace   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   373 4.8.3  Loi de Laplace   4.8.4  Formule de Reech   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   374 4.9    Enthalpie d’une phase condensée dans le modèle incompressible et indilatable 375 375 4.9  5 Sec Second ond princ principe ipe pour pour un système système fermé  fermé 

 

377 

5.1   Énoncé du deuxième principe (ILYA (ILYA PRÉGOGINE)   . . . . . . . . . . . . 5.2  IDENTITÉS THERMODYNAMIQUES    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Différentiell entielle e de l’énerg l’énergie ie interne d’un système simple fermé   fermé   . 5.2.1   Différ 5.2.2  Pression et température thermodynamique    . . . . . . . . . . . 5.2.3   Première identité thermodynamique    . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4   Deuxième identité thermodynamique   thermodynamique   . . . . . . . . . . . . . . . TRANSFORMATIONS ATIONS DU GAZ PARFAIT  PARFAIT    . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3   TRANSFORM 5.3.1   Adiabatique réversible    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parfait    . . . . 5.3.2  Transformation quelconque : l’entropie d’un gaz parfait   5.3.3  Applications aux détentes   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gay-Lussac    . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3.1  Détente de Joule Gay-Lussac   Détente te de Joule Thomson   . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3.2   Déten

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5.4   Entropie d’une phase condensée condensée dans le modèle incompressible et indilatable  indilatable   384 5.5   Énergie libre  F  F  ,Enthalpie libre   G   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   386 5.5.1   Énergie libre  F  F   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   386 3 octobre 2018

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 G   . . . . . . . . . . . 5.5.2   Enthalpie libre  G 5.6   5.6   Troisième principe de la thermodynamique   . Facultatif   . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1   Facultatif   5.7 L’interp ’interprétat rétation ion statistique statistique de l’entropie   l’entropie    . .

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6 CHANGEMENT CHANGEMENT D’ÉT D’ÉTAT AT D’UN D’UN CORPS CORPS PUR    6.1   Notion Notionss générales sur la changement changement d’état d’un corps pur    . 6.2   Définitions   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3   Isothermes d’ANDREWS    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4   Changement d’état en diagramme (P (P,T)  ,T)    . . . . . . . . . . . . . 6.5   Transfert thermique   thermique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6  Règles des moments   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6  Règles 6.7  Formule de CLAPEYRON   6.7  Formule CLAPEYRON    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 MACHIN MACHINES ES DITH DITHERM ERMES  ES    401 7.1   Introduction   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   401 7.2   Les différentes machines dithermes   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   401 7.2.1   Moteur thermique   thermique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   401 7.2.2 Machine frigorifique  7.2.3   Pompe à chaleur   chaleur    . .  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..    402 403 7.3  MACHINES DE CARNOT   CARNOT   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   404 7.3.1   Définition   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   404 7.3.2  Représentation du cycle    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   404 7.3.2.1  En diagramme TS    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   404 7.3.2.2  En diagramme PV    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   405 7.4   Expressions des rendements   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   406 7.4.1  Machines de Carnot   Carnot   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   406 Réelle   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   407 7.4.2   Machines Réelle   7.5   Premier ppe de la thermo pour un système ouvert en écoulement écoulement permanent  permanent    408 7.5.1  Débit massique,débit convectif d’une grandeur extensive    . . . . . . .   408 massique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   408 7.5.1.1   Débit massique   extensive   . . . . . . . . . . . .   409 7.5.1.2  Débit convectif d’une grandeur extensive   7.5.2  Bilan enthalpique pour un écoulement permanent    . . . . . . . . . . .   411 8    DIFFUSION DES PARTICULES  8   PARTICULES  8.1   DÉFINITION   DÉFINITION    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2   Étude macroscopique de de la diffusion   . . . . . . . 8.2.1  Vecteur densité de courant de particules   . 8.2.2   Loi de conservation conservation de particules particules   . . . . . 8.3   LOI DE FICK . ÉQUATION ÉQUATION DE DIFFUSION   DIFFUSION   . . . . 8.3.1  Loi de FICK   . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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413  .   413 .   414 .   414 .   414 .   415 .   415

8.3.2 Equation dedediffusion   . .de. diffusion . . . . . .   .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..    416 416 l’équation 8.3.3   Résolution 8.4   MODÈLE MICROSCOPIQUE DE DE LA DIFFUSION DANS LE GAZ   . . . . . . . .   417 3 octobre 2018

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TABLE DES MATIÈRES

V    ÉLECTROMAGNÉTISME 

 

1 ÉLECTROST ÉLECTROSTAT ATIQUE IQUE DANS DANS LE VIDE  1.1  CHAMP ÉLECTROSTATIQUE   . . . . . 1.1.1   Notions générales   . . . . . . . 1.1.2  Répartition de charge   charge   . . . . . 1.1.3   Complément mathématique    .

419   

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421 .   421 .   421 .   422 .   424

1.1.4 de Coulomb    . . . . . .  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..    427  Le Champ électrostatique  428 1.1.5  Loi 1.1.5.1  Champ électrostatique crée par une charge ponctuelle   ponctuelle    . . . .   428 1.1.5.2  Champ électrostatique crée par un ensemble de charges ponctuelles430 ponctuelles 430 1.1.5.3  Champ électrostatique crée par une distribution continue de charges433 charges433 1.1.6  Lignes 1.1.6  Lignes de champ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   443 1.2  LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE   ELECTROSTATIQUE    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   444 1.2.1   Définitions   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   444 ponctuelle   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   445 1.2.2  Cas d’une charge ponctuelle   1.2.3   Relat Relation ion locale entre le potentiel potentiel et le champ    . . . . . . . . . . . . . .   446 gradient   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   446 1.2.3.1  L’opérateur gradient   1.2.3.2  L’expression du gradient    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   447 Relation ion entre le champ et le potentiel    . . . . . . . . . . . . .   448 1.2.3.3   Relat 1.2.3.4   Surfaces équipotentielles   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   448 1.2.4  Potentiel crée par une distribution de charges   . . . . . . . . . . . . . .   449 1.3   ÉNERGIE POTENTIELLE D’INTERACTION ÉLECTROSTATIQUE  ÉLECTROSTATIQUE    . . . . . . .   450 1.3.1   Énergie potentielle d’une charge placée dans un champs électrostatique 450 450 1.3.2  Énergie potentielle d’interaction entre deux charges ponctuelles   . . .   450 INVARIANCE   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   450 1.4  SYMÉTRIE ET INVARIANCE   1.4.1   Symétrie    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   450 1.4.2   Invariance    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   452 GAUSS   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   452 1.5  THÉORÈME DE GAUSS   électrostatique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   452 1.5.1  Flux du champ électrostatique   Énoncé é du théorème de Gauss  Gauss   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   453 1.5.2   Énonc 1.6  1.6    APPLICATIONS   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   453 1.6.1  Fil infini chargé uniformément    . . . . . . . . . . surface   . 1.6.2  Cylindre infini chargé uniformément en surface   volume   . 1.6.3  Cylindre infini chargé uniformément en volume   1.6.4  Sphère uniformément chargée en volume    . . . . 1.6.5  Sphère uniformément chargée en surface    . . . . 1.6.6  Plan  Plan infini uniformément chargée   chargée   . . . . . . . . . 1.6.6  1.7    Analogie électromécanique   électromécanique   . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7  1.7.1   Analogie Electrique/mécanique    . . . . . . . . . . 1.7.2   Théorè Théorème me de Gauss en mécanique  . . . . . . . . . 1.7.3   Application   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8  1.8    LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE  ÉLECTROSTATIQUE   . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1   Définition   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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.   453 .   456 .   458 .   460 .   463 .   465 .   467 .   467 .   467 .   467 .   472 .   472

1.8.2   Le potentiel électrostat électrostatique ique crée par un dipôle dans le cadre de l’appr l’approximat oximation ion di 1.8.2.1  Le potentiel électrostatique   électrostatique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   476 1.8.2.2   Surfaces équipotentielles   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   478 3 octobre 2018

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TABLE DES MATIÈRES

électrostatique e crée par un dipôle dans le cadre de l’app l’approximat roximation ion dipolai 1.8.3   Le champ électrostatiqu 1.8.3.1  L’expression du champ    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   478 champ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   480 1.8.3.2  Les lignes de champ   énergétique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   480 1.8.4   Aspect énergétique   1.8.4.1  Actions subies par un dipole électrostatique rigide    . . . . . .   480 1.8.4.2  l’énergie potentielle d’un dipole électrostatique rigide    . . . .   481 1.9  LE CONDENSATEUR    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   482 1.9  LE CONDENSATEUR   1.9.1   Définition   . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2  Le condensateur plan   . . . . . . . . 1.9.3   Application   . . . . . . . . . . . . . . 1.9.3.1  Condensateur plan   . . . . . cylindrique   . 1.9.3.2  Condensateur cylindrique  

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.   482 .   483 .   484 .   484 .   486

2 MAGNÉTOST MAGNÉTOSTAT ATIQUE  IQUE    2.1   Champ et potentiel magnétostatique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . électrique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1  Distribution de courant électrique   courant    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1.1  Vecteur densité de courant   2.1.1.2   Équa Équation tion locale de la conser conservatio vation n de la charge   charge    . . . . . . . ormulation tion locale locale de la loi d’ Ohm d’ Ohm   . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1.3   Formula magnétostatique tique : loi de Biot et Sava Savart  rt   . . . . . . . . . . . . . 2.1.2   Champ magnétosta 2.1.3   Applications   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3.1  Segment traversé par un courant    . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3.2  Champ magnétique sur l’axe d’une spire circulaire    . . . . . 2.1.3.3  Champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde    . . . . . . . magnétique    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4  Propriétés du champ magnétique   2.1.4.1  Conservation du flux du champ magnétique    . . . . . . . . . 2.1.4.2   Théorème d’Ampere   d’Ampere   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5   Autres Applications   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5.1   Champ magnétique magnétique d’un fil infini traversé traversé par un courant courant I   I   . Solénoïde ïde infini traversé traversé par un coura courant nt I   I   . . . . . . . . . . . 2.1.5.2   Soléno 2.1.5.3   Cylindr Cylindre e infini traversé traversé par un courant courant I    . . . . . . . . . . . surfacique    . . . . . . . 2.1.5.4  Ruban infini traversé par un courant surfacique   2.1.5.5  Nappe infinie traversé par un courant surfacique    . . . . . . 2.1.5.6  2.1.5.6  Bobines  Bobines de Helmholtz   Helmholtz   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6  Relation  Relation de passage   passage   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6  2.1.6.1  La composante normale   normale   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6.2  La composante tangentielle   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7  2.1.7  Potentiel  Potentiel vecteur. Forme locale du théorème d’Ampere    . . . . . . . 2.1.7.1   Définition   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7.2  Forme locale du théorème d’Ampere  . . . . . . . . . . . . . . 2.1.8  2.1.8  Équation  Équation de Poisson de la magnétostatique    . . . . . . . . . . . . . . 2.1.9  2.1.9  Applications  Applications (énoncé voir TD)    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2   Dipôle magnétique   magnétique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1  Définition. Moment magnétique   magnétique   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

491 .   491 .   491 .   491 .   494 .   495 .   497 .   498 .   498 .   499 .   501 .   502 .   502 .   503 .   504 .   504 .   504 .   506 .   507 .   508 .   509 .   512 .   512 .   513 .   514 .   514 .   517 .   518 .   520 .   522 .   522

2.2.2  L’expression du potentiel vecteur dans l’approximation dipolaire   dipolaire    . . .   525 2.2.3  Le champ magnétique dans l’approximation dipolaire    . . . . . . . . .   527 2.2.4   Action Actionss d’un champ magnétique magnétique sur un dipôle   . . . . . . . . . . . . . .   528 3 octobre 2018

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TABLE DES MATIÈRES

2.2.4.1  Résultante des forces   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   529 résultant des forces de Lapla Laplace  ce   . . . . . . . . . . .   529 2.2.4.2   Le moment résultant 2.2.4.3  Énergie potentielle d’interaction d’un dipôle rigide placé dans un champ e  2.2.4.4   Actio Actions ns subies par un dipôle magnétique magnétique dans un champ extérieur  extérieur 531 531 2.2.4.5  Comparaison entre les dipoles électrostatique et magnétique    531 2.3   Le champ magnétique terrestre   terrestre    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   532

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TABLE DES MATIÈRES

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Première partie ÉLECTRONIQUE

19

 

CHAPITRE

1

LOIS GÉNÉRALES DANS LE CADRE DE L’A.R.Q.P

LOIS GÉNÉRALES DANS LE CADRE DE L’APPROXIMATION DES RÉGIMES QUASI-  PERMANENTS 

1.1   INTRODUCTION ◮   L’éléctrocinétique   ::

Il s’agit de l’étude du transport d’information (courant électrique ) dans des réseaux  électriques. ◮  Cadre de l’étude   :: L’étude de l’éléctrocinétique se fait dans le cadre de l’Approximation des états (ou ré-  gimes) quasi-stationnaires ( quasi-permanent ) noté ARQP ou AEQS (plus de détail voir  MP). en effet : L’approximation des états quasi-stationnaires consiste à limiter l’étude des réseaux éléc-  max  et à des durées minimales  τ min  vérifiant la trocinétiques à des dimensions maximales  ℓ max  condition suivante : ℓ max  max  τmin

≪  c

o

 

c0   =  2 , 99792458 108 ms −1

co  étant la célérité de la lumière .

Remarque Dans ce cadre,on peut négliger tout phénomène de propagation dans le réseau éléctrocinét éléctr ocinétique ique ; en particulier particulier,, la modific modification ation d’une grandeur électrique en un  point du circuit a pour conséquence des modifications instantanées des gran-  deurs analogues caractérisant les autres points du réseau.

21

 

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1.2.   COURANT ÉLECTRIQUE

 

Exemples ⊲   Pour un circuit de dim dimension ension   ℓ max  max  = 3 m, on trouve   τmin

  ≫   10−

8

s ; on pourra

donc se placer dans le cadre de l’ARQP pour l’étude d’un signal de fréquence    108 Hz   =   100   MHz MH z, ce qui correspond à ce qu’on appelle électronique   f max  max  basse fréquence. ⊲   Pa Parr contre contre,, l’électroniq l’électronique ue de haut haute e fréque fréquence nce peut imposer la miniaturis miniaturisation ation des circuits, sous peine de sortir du domaine de l’ARQP; ainsi à la fréquence  MH z   donc   τmin   = de réception des signaux de téléphonie cellulaire (   f f    =   1800   MHz ℓ max  restrictif..  17 cm  17  cm , ce qui est nettement plus restrictif 5, 6.10−10 s), l’ARQP impose   ℓ  max  couran rantt ind indust ustriel riel,, à la fréquenc fréquence  e   f   = 50   Hz , donc avec   τmin   = 20  ⊲   Pour le cou ms ; la condition de l’ARQP impose donc   ℓ max    6000   km   : cette condition est  max  aisément remplie pour un réseau domestique ou une installation industrielle. Par  contre, dans un réseau d’alimentation de puissance à l’échelle continentale, il est  indispensab indisp ensable le de prendre en compte les effets de propagati propagation. on.

 ≪

 ≪

 ≪

1.2   Courant électr électrique ique 1.2.1   Définition Définition Courant électrique  Une charge électrique   dq   qui traverse une surface   S   pendant un intervalle de  temps  d   crée un courant d’intensité  i    telle que :  dt  t  crée  i  telle   dq i   = dt 

  ⇐⇒  q   =

 

  i dt 

Si  q  q((C )  et  t   t ( s)  alors  i ( A)  A). Remarque Le sens du courant est le sens du déplacement des porteurs de charges positifs.

1.2.2   Bilan de charg charges es On admet que la charge ( q) et la masse ( m) d’un système isolé sont conserva conservatives. tives.

1.2.3   Loi des nœuds Définition Loi des nœud  On appelle nœud un point de jonction entre au moins trois fils de connexion. La loi des nœuds est une conséquence de la conservation de la charge électrique dans 3 octobre 2018

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1.3.  TENSION ÉLECTRIQUE, LOI DES MAILLES

 

le cadre de l’ARQP. La charge électrique ne peut pas s’accumuler au niveau des nœuds.

   ⇐ ⇐⇒⇒   N 

i e   =

i s

εk i k k   =  0

k =0

avec  ε  ε 2 =  1 . C’est la première loi de  KIRCHHOFF .   KIRCHHOFF .

1.3   Tension électrique, loi des mailles ◮   On

appelle branc branche he un ensemb ensemble le de dipôles monté montéss en série entre deux nœuds . formant nt un contour fermé . ◮   On appelle maille un ensemble de branches forma Remarque Une maille peut être orientée arbitrairement. ◮   On

admet que la somme algéb algébrique rique des tensions (ou différ différence ence de potentiel ) dans une maille est nulle : c’est la deuxième loi de  KIRCHHOFF de  KIRCHHOFF . .  N 



εk uk   =  0

k =0

1.4   La puissance puissance électrom électromagné agnétiq tique ue reçue par un dipôle Soit un dipôle D trave traversé rsé par un courant électri électrique  que   i i (t ) , maintenant entre ces bornes une tension  u AB . i (t )

D  u(t )

La puissance électromagnétique reçue par le dipôle D est donnée par :

P   = u

 AB (t )i (t )

 − t   vaut :

Et par conséq conséquent uent l’énergie reçue pendant la durée   t t   f f 

  W 

ii  

  t  f   f 

 =

u AB (t )i (t )  dt 

t i i 

Remarque On adopte la convention thermodynamique :   L’énergie reçue par un système sera comptée positive.   L’énergie fournie par un ssystème ystème sera comptée négative.

•

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1.5.  CARACTÈRE GÉNÉRATEUR ET RÉCEPTEUR 

 

1.5   Caractèr Caractère e générateur générateur et récepteur  récepteur  i (t )

i (t )

D  u(t )

Convention générateur 

D  u(t )

Convention récepteur 

◮   En

convention générateur les flèches représentant la tension et le courant sont  dans le même sens La quantité    =   ui  représente   représente la puissance électrique cédée par le  dipôle au reste du circuit. ◮  En convention récepteur les flèches représentant la tension et le courant sont en sens inverses. La quantité    =  ui  représente  représente la puissance puissance électriq électrique ue reçue par le dipôle .

 P  P

 P  P

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CHAPITRE

2

ÉLÉMENTS DE CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME CONTINU OU QUASI-PERMANENT

2.1   Définition Soit un dipôle D traversé par un courant   i (t )  maintient entre ces bornes une tension u(t ) i (t )

D  u(t )

Le dipôle D est dit linéaire si le courant  i   i (t )  et la tension  u(  u (t )  sont reliés par une équation linéaire  Exemples   :: Le conducteur ohmique , le condensateur , la bobine , le générateur (dans le domaine de  linéarité (voir TD)) 

2.2   Modéli Modélisation sation de dipoles dipoles passifs passifs linéaires linéaires  R, C   et   L 2.2.1   Le conducteur ohmique 2.2.1.1   Modélisation i 

Résistor 

i (t )

≡

R  u(t )

u

On modélise un resistor par une résistance R tel que : u   =  Ri 

25

 

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2.2.  MODÉLISATION DE DIPOLES PASSIFS LINÉAIRES  R, C ET  L

 

On conclut que le résistor est un dipôle linéaire. Remarque 1. Pou Pourr un fil cylindriqu cylindrique e de section S  et de longueur   ℓ  ℓ  et   et de résistivité   ρρ  alors :  R   =

 ℓ    1 ℓ   1   =  ρ   = G  S  σ S 

avec :  G  la conductivité (S (siemens)) ,   ρ  la résistivité du conducteur ( Ω.m)  et  σ  σ  la conductivité du conducteur ( S  S .m−1 )  2.   ρ  représente la résistance d’un d’un fil de section 1  m 2 et de longueur 1   m ; ainsi pour  σ  σ . 3. Un condu conducteur cteur oh ohmique mique est dit pa parfait rfait s’il ne présent présente e pas de propriét propriétés és dié-  lectiques lectiq ues ( εr   =   1) et magnétiques (  µr   =   1).(Voir cours d’électromagnétismes des milieux) 

2.2.1.2   Association des conducteurs ohmiques ◮   Des rés résist istanc ances es son sontt

et on a :

mon montées tées en sé série rie s’e s’elles lles sont sont tra travers versées ées p par ar le  le même même courant 

 i = N 

 Re   =

 Ri 

i =1

résistances sont montées en parallèle s’elles sont maintenues par la  même  tension et tension  et on a : ◮   Des

1  Re

 i = N 

=

i =1

1  Ri 

 Application : Deux résistances  R 1  et  R 2  en parallèle alors :  Re   =

  R1 R2  R1   +  R2

=

  Produit  S om omme me

2.2.1.3   Effet JOULE Lorsque un courant  i    traverse une résistance   R  , on a dissipation  i  traverse R  pendant la durée  dt   d t  , de l’énerg l’énergie  ie 

 

  t  f   f 

⇒

dE  J   dW  W  J   =  u R i  R  d  dt  t   =  W  J   J   =  d  J   =

u R i  R   dt 

t i i 

En continue : W  J   =  RI 2 ∆t   =   P   J   =  RI 2

⇒

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PASSIFS LINÉAIRES R, C ET  L 2.2.   MODÉLISATION DE DIPOLES PASSIFS

 

2.2.2   Le condensateur  2.2.2.1   Modélisation Constitué par deux conducte Constitué conducteurs urs en influen influence ce totale ,séparés par un diélectrique diélectrique (pa-   pier ,mica ,plastique,.....) ;on le modélise par une capacité C en parallèle avec une resis-  tance de fuite   R R f .    e    u    q     i    r     t    c    e     l      é     i     D

 A

C 

B 

 A

≡

B   R f 

. Pour les condensateurs électrochimiques (polarisés) la valeur de C varie de quelques  mF   1 M  à quelqu quelques es  F  la résistance de fuite   R  M Ω R f   >  1 Un condensateur est dit idéal si  R  f 

 → ∞

Conven Con ventio tion n

 A 

+q

  −q

Convention Conven tion généra générateur  teur 

réc récept epteur  eur 

 A 

B 

i 

+q

  −q

B 

i 

u   dq  q   >  0 u   =   ;   i   = dt  C 

u  q u   =   ;   i   = C 

 −dq   <  0 dt 

Le condensateur se charge 

Le condensateur se décharge 

Remarque 1. Pour un condensateur plan dont les armatures ont une section   S  et séparé  S  e

 par une distance   ee  on a :C   =  ε o . 2. Si l’espace entre les armatures du condensateur est rempli par un diélec-  trique de permitivité diélectrique  ε  ε r  alors  C   =  ε r C o

2.2.2.2   Association des condensateurs condensateurs

•  Association série :

1 C e

i = N 

=

 Association parallèle :

•

  i =1

1 C ii  

i = N 

C e   =

C ii  

i =1

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2.2.  MODÉLISATION DE DIPOLES PASSIFS LINÉAIRES  R, C ET  L

 

2.2.2.3   Aspect énergétique L’énergie d’un condensateur idéal est : E   pe pe   =

∆E   pe q2 pe     =  P (t )   =   lim ∆t →0 ∆t  2C 

⇒

=

1   lim 2C  ∆t →0

2

∆q

∆t 

Remarque La tension aux bornes du condensateur ainsi sa charge sont des fonctions conti-  nues en fonction du temps. En effet : on suppose   qq c  est discontinue;c’est à dire   ∆qc     0   ∆t  <  < ε Si  qc  est discontinue alors  q 2c  est discontinue ce  qui donne :

q(t )

 ∀

P(t )   =

2 ∆q 1   lim 2C  ∆t →0 ∆t 

 → ∞

 

∆qc

impossible impossible physi- 

quement . Donc   La La charge (la tension ) du condensa  teur est conti continue  nue 

t o

t 

Remarque La valeur de de C ; la tens tension ion U max  max  ainsi la polarité sont données par le constructeur.

2.2.3   La bobi bobine ne Une bobine est un fil conducteur enroulé sur un isolant 

2.2.3.1   Modélisation On modélise une bobine par une inducta inductance  nce  L  L  en série avec une resistance   r r.

i 

L

 

r 

On convention récepteur on donc :

u   =  L

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di    + ri  dt 

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2.3.  DIVISEURS DE TENSION ET DE COURANT.

 

Remarque ◮  Pour

les bobines sans noyau de fer :   L   =   cte( .Par contre  cte(i ),L ne depend pas de   i  i .Par les bobines avec noyau de fer   L L   =  L  L((i ) Mais pour  i   i  faible   faible on peut considérer   L  cte  (un DL à l’ordre 0 au voisinage de i) 

 ≃

◮  L’énergie

1

d’une bobine parfaite ( rr   =  0 ) :  E   pm Li 2 pm   = 2 ◮  Association des bobines parfaites :

 1 ⋆   Parallèle : Le = ⋆   Série :  L e   = Li 



 1 Li 

2.2.3.2   Aspect énergétique

•   L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue 

de temps 

2.3   Divise Diviseurs urs de tension et de courant. courant. 2.3.1   Diviseu Diviseurs rs de de courant courant Soit une association parallèle des résistances  R k  : I  N  I k k 

I 

I  I 1

 1  Re

Soit   R R e  la résistance résistance équivalente équivalente;c’es ;c’estt à dire    le courant principa principall ; il en résulte que : I  le I k k   =



1 ; on a donc :U   =   Rk I kk    =  R e I  avec    avec  k =1  Rk 

k = N 

=

  Re I   Rk 

C’est le diviseu diviseurr de coura courant  nt  Cas particulier particulier important important : N   =  2 I 1   =

3 octobre 2018

 R2 I  R1   +  R2

et

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I2   =  

 R1 I   R1   + R2

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2.4.   MODÉLISATIONS LINÉAIRES D’UN DIPÔLE ACTIF

 

Remarque I 

Si   R1   =   R2   =   I 1   =   I 2   =  : méthode demi-courant utiliser pour déterminer les 2 résistances de faibles valeurs (voir TP) 

⇒

2.3.2   Diviseu Diviseurs rs de tension tension

Soit une assoc association iation série de N résistance résistancess  R k  avec   k  k   =  1  R1

 

R2

 Rk 

 

 →  N   :

R N −1

 R N 

U 

Soit   U kk   la tension aux bornes de la résistance   Rk   et   Re  la résistance équivalente c’est à dire   R Re   =

k = N 

 Rk  .On a :  I   =

k =1

  U k k   Rk 



=

  U   ; ce qui donne la loi du diviseur de tension :  Re U k k   =

 Rk   Rk  U   = U  k = N   Re  Rk 



k =1

Cas particulier particulier important important : N   =  2 U 1   =

  R1 U  R1   +  R2

et

U2   =  

  R2 I   R1   +  R2

Remarque Si   R1   =   R2   =   U 1   =   U 2   =

  U 

: méthode demi-tension utiliser pour déterminer les

⇒

2 résistances de grandes valeurs (voir TP) 

2.4   Modéli Modélisations sations linéaire linéairess d’un dipôle dipôle actif  Soit un circuit électrique linéaire ( constitué des dipoles linéaires) contenant une  source sourc e de puiss puissance ance élect électrique rique ; A et B deux points de ce circuit. I 

Circuit  linéaire 

 

   

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B U   AB AB  A

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2.4.  MODÉLISATIONS LINÉAIRES D’UN DIPÔLE ACTIF

 

2.4.1   Génér Générateur ateur de courant courant (représentation (représentation de Norton) Norton) Vue entre les points A et B de la branche AB on peut modéliser le reste du circuit par  un générateur générateur de courant réel de courant courant électromote électromoteur  ur   II N  et de résistance interne   rr N   (  générateur de courant idéal en parallèle avec une résistance) : C’est la modélisation de  NORTON . . NORTON I  I  N 

 

 

 A

R N 

U   AB AB B

 

Dans cette modélisation on a :

 − U  R

I   =  I  N   N 

  AB AB

 − G  U 

=  I  N   N 

 N 

 N   N    AB AB

Générateur ateur de tension (représenta (représentation tion de Thevenin) Thevenin) 2.4.2   Génér Vue entre les points A et B de la branche AB on peut modéliser le reste du circuit   par un générateur de tension réel de force électromotrice   Eth  et de résistance interne  rth  ( générateur de tension idéal en série avec une résistance) : C’est la modélisation de  THEVENIN . . THEVENIN r th th

I 

 

 A U   AB AB

E th th  

B

Dans cette modélisation on a :

 − r  I   =⇒  I   = E r  −  U r 

U   AB th AB   =  E th

tth h

  AB AB

tth h

tth h

th th

Équivalence alence entre entre les deux modélisa modélisations tions 2.4.3   Équiv Puisque dans les deux modèles de  THEVENIN de  THEVENIN et   et  NORTON  NORTON le  le courant   I  et   et la tension U   AB AB  sont les mêmes quelque soit le circuit linéaire alors on en déduit que : I  N   =

3 octobre 2018

E th th r th th

et

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r  N   =  r tthh

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2.5.  SOURCES LIBRES. SOURCES LIÉES

 

2.5   Sources libre libres. s. Sources Sources liées liées

•   Un générat générateur eur (de tension ou de coura courant nt ) est une source de puissance qui fournit 

de l’énerg l’énergie ie au circu circuit it extérieur .  Générateur indépendant : source de puissance électrique indépendante d’autre gran-  deur électrique du circuit.   Généra Générateur teur lié : si une des grandeu grandeurs rs physiques dépend d’une grandeu grandeurr électrique électrique du

•

•

circuit . Exemple : Le transistor : c’est un générateur de courant en régime linéaire puisque  I c   =  β I B  (géné-  rateurr de courant lié). rateu

2.6   Théorè Théorème me de Millm Millman an Le théorème de  MILLMANN n’est   MILLMANN n’est rien d’autre que la loi des nœuds exprimé en terme  de potentiel (référence commune est la masse ). V   

4

I 4  R4 I 5 I 1 V 1

 R1

 

 R3

 

 M 

 

V 3

I 3

I 6  R2 I 2  

V 2

On a :

 −

I 1   + I 2   + I 3   + I 4 I 5   + I 6   =  0   V 1 V  M   M  =  G 1 (V 1 V  M ) I 1   =  R1   V 2 V  M   M  =  G 2 (V 2 V  M ) I 2   =  R2   V 3 V  M   M  V  M ) =  G 3 (V 3 I 3   =  R3   V 4 V  M   M  I 4   = V  M  =  G 4 (V 4  M )  G 1 (V 1  R4

 −  −  −  −

On tire que :

− − − −

V  M   =

− V  ) + G  (V  − V  ) + G  (V  − V  ) + G  (V  − V  ) − I  + I    = 0  M 

2

 M 

2

5

6

1

1

2

2

3

Page -32-

3

4

 M 

3

−I    + I    + G  V    + G  V   + G  V    + G  V  G 1   + G 2   + G 3   + G 4

3 octobre 2018

3

4

=

4

4

 M 

5

6

G ii  V ii    + εI ii  



G i 

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CHAPITRE

3

TRANSITOIRE IRE RÉGIME TRANSITO

Le but est de déterminer la constante de temps   τ  caractéristique du régime transi-  toire. Poutt cela excitons un système linéaire par une tension continue à  t   =  0  . Pou   E si t  >    0 0   si t   < <  0

On appelle échelon de tension  e  e((t )  défini par :  e  e((t ) e(t ) E 

 t 

0

3.1   Cas du du circuit circuit (R(R-C) C) : Considérons le circuit suivant :

(1) 

i (t ) K 

 R

(2)  C 

E 

33

 

u

 

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3.1.  CAS DU CIRCUIT (R-C) :

 

3.1.1   Charg Charge e du condensateu condensateurr (régime (régime forcé) : Le condensateur est initialement déchargé :q(0)   =  0   =  u c (t   =  0)   =  0 à  t   =  0  on bascule K vers (1) : C se charge .

⇒

3.1.1.1   L’équation différentielle :  Appliquons la loi des mailles au circuit on obtient :

 −  −   −−  C q   = 0   =⇒

E   RI 

 

dq   q   E   +  = dt   RC   R

c’est l’équation différentielle du circuit  /τ La solution de cette équation différentielle s’écrit :   q(t )   =   Ae−t /τ +  C  CE  E ; avec   τ   =   RC   la constante du temps caractéristique du régime transitoire. Or par continuité de la charge du condensateur , on a : q(0)   =  0   =  A   = CE  t  Donc :  q (1 e− τ )  q((t )   =  C  CE  E (1 Lorsque  t   t  , q(t )  CE   C E   =  Q  f 

⇒

−  → ∞  →  →

(1 q(t )   =  CE   C E (1

t /τ /τ )

t //τ τ)   =

− e−

 −

(1 − e−  E (1 ⇒ u u((t )   = E 

L’expression du courant électrique : i (t )   =

  dq − t    =  I m e τ dt 

avec   

I m   =

  E   R

Remarque On a :  i ((00− )   =  0   ,   i (0  i (t )  est discontinu (0+ )   =  I m  on tire que  i  Représentation graphique  u(t )

 

E  I m   =  R

E 

i (t )

t

t 

3.1.1.2   Déter Déterminat mination ion expérimental expérimentale e de la constante constante de temps  τ  : 3.1.1.2.1   La pente pente à l’origi l’origine ne 3 octobre 2018

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CIRCUIT (R-C) : 3.1.   CAS DU CIRCUIT

 

u(t )

M 

E 

t   M  M 

t 

On a l’équation de la pente à l’origine (droite)   s’écrit sous la forme   yy   =  kt  avec 

D

du du((t ) dt 

k   =



t =0

=

E  τ

L’intersection des deux droites au point M en  t   M  M   =  τ Propriété L’intersection de la pente à l’origine avec le régime permanent se fait en t   =  τ   =  RC 

3.1.1.2.2   la valeur de  u  u((τ) u(t ) E 

63% E 

τ

Évaluons  u  u((τ)  avec   u( u (t )   =  E (1  E (1

t 

− exp(−t /τ /τ))

t   =  τ   =  u  u((τ)   =  E ((1 1

⇒

−  1e )   = 0, 63 63 E   E   =  63%  63%E  E 

Propriété  =

 =

63 E   63%E   E   63% E  correspond On retient que lors de la charge, la valeur   00 , 63   correspond à  t   τ

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3.1.  CAS DU CIRCUIT (R-C) :

 

3.1.1.2.3   Temps de montée   : e t  u( On définit deux instants  t 1   et  t   u (t 2 )   =  0 , 9E  u (t 1 )   =  0 , 1E   et   t 2   par   u( Et puisque   u( (1 exp( t /τ /τ)  alors  t 1   = τ ln 0, 9  et   t t 2   = τ ln 0, 1. u (t )   =  E   E (1

−

 −

 −

−

u(t ) E 

90% E 

t m   =  t 2

− t 

1

10% E  t 1

 

t 2

t 

On définit le temps de montée  t   t m  par  t m   =  t 2

 − t    = τ ln 9 ≃ 2, 2τ 1

Remarque L’influence de la constante de temps  τ  sur la durée de la charge. Pour cela traçons la charge pour différentes valeurs de  τ  τ u(t ) E 

63% E 

τ1   < τ2   < τ3

τ1

Si  τ

τ2   τ3

t 

 →  0  alors la charge est presque instantanée 

Conclusion  =

  RC  augmente   τ condensateur. La constante tempsdu   augmente avec la résistance du conducteur oh-  mique ainsi la du capacité

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CIRCUIT (R-C) : 3.1.   CAS DU CIRCUIT

 

3.1.1.3   Le portrait portrait de phase phase : 3.1.1.3.1   Définitions   :   f  f (( x )   C’est la représ représentat entation ion dans le plan ( O,   f ( f ( x ),   )  lorsque   t  t  varie.   varie. dt   On appelle point de phase un point P figuratif dont les coordonnées à un instant donné 

• •

 d f  f ((t )   ). dt    Lorsque   t   varie varie , le point P décrit une courbe, cette courbe est appelé  trajectoire   trajectoire de 

  sont (   f ( t  sont f (t ),

• •

 phase .  On appelle portrait de phase l’ensemble des trajectoires de phase lorsque les condi-  tions initiales varient. 3.1.1.3.2   Représ Représentat entation ion dans le plan de phase phase   :   d f    =  i (t ). dt  E  exp( t /τ /τ)  et  i  /τ)  alors :  i (t )   =  exp( t /τ  R

Dans notre cas   f f ((t )   =  q  q((t )  et  On a  q 1  q((t )   =  C  CE  E ((1

−

−

−

i   =

E   R

 1  −  RC  q

C’est l’équation de la trajectoire de phase :droite de pente    1  RC  Lorsque  E   E  varie alors la trajectoi trajectoire re de phase décrit des droites parallèle parallèles. s.

  −−

i (t )

q(t )

énergétique tique : 3.1.1.4   Aspect énergé On a :

 

E   =  Ri  +

q 1 2   =  Eidt   =  Ri  dt  + qdq C  C 

⇒

 q2 ) Eidt   =  Ri  dt  + d ( 2C  2

On appelle :   q2  : énergie totale emmagasinée dans le condensateur . W c   = 2C  δW g   =  Eidt  :  : énergie élémentaire fournit par le générateur . 2 δW   J J   =  Ri  dt  :  : énergie élémentaire dissipée par effet Joule dans le circuit .   t 

  t 

 q

       Ri  dt  +

Eidt   =

0

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2

0

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0

q dq C 

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3.1.  CAS DU CIRCUIT (R-C) :

 

3.1.2   Décha Décharge rge du condensateur condensateur (régime (régime libre) libre) : 3.1.2.1   Équat Équation ion différentiel différentielle le et solution solution : Quand le condensateur est chargé ( q   =   CE    =   Q f ) ,on bascule l’interrupteur vers la  position (2) :donc en prenant l’instant de basculement comme origine des temps ,les (0)  =  0 conditions initiales seront :q(0)   =  CE   C E   =  Q f ; i (0)  Ri +   1 q   =  0   =  d  dq q +   1 q   =  0 C  τ /τ en utilisant les C.I on obtient : La solution est :q(t )   =  Ae −t /τ

⇒

q(t )   =  CEe  C Ee −t //ττ

t /τ /τ

⇒  u u((t )   =  E e−

=



 

 − RE   e−

i (t )   =

t /τ /τ

u(t ) E 

90% E 

t m   =  t 1

− t 

2

10% E  t 1

 

t 2

t 

•  Lors de la décharge on a : t dd    =  t 10% 10%

 − t 

90% 90%

•   q(τ)   = 0, 37 37CE  CE  •  Le régime permanent est   qq   =  0  ( q(t ) est une fonction décroissante). trajectoire de phase : 3.1.2.2   L’équation de la trajectoire D’après ce qui précède on tire que :

i   =

 1

q

 − RC  C’est une droite affine  3 octobre 2018

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3.2.  CAS DU CIRCUIT (R-L) :

 

i (t ) q(t )

Remarque

•   Si on rempla remplace ce le généra générateur teur E et l’interrup l’interrupteur teur K par un générate générateur ur délivrant 

un signal rectangulaire rectangulaire (E,0) on obtien obtientt le signa signall suiva suivant nt :

La suite  voir TP.

du circuit circuit (R(R-L) L) : 3.2   Cas du 3.2.1   Régi Régime me forcé forcé : 3.2.1.1   L’équation différentielle et solution On remplace le conde condensate nsateur ur par une   bobine bobine idéale  dans  dans le circuit précèdent : 3 octobre 2018

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CIRCUIT (R-L) : 3.2.   CAS DU CIRCUIT

 

(1) 

i (t ) K 

L

(2) 

E 

 R

di 

L’interrupteur k est en position (1) :   E   =  Ri  + L dt  donc :

E  di   R  + i   = L dt  L

c’est l’équation différentielle du circuit  La solution de cette équation différe différentielle ntielle en posant  τ =

L   :  constante du temps  R

Et en tenant compte que le courant qui traverse une bobine est continu alors on trouve  que : i (t )   =  I m (1

t /τ /τ

− e−

)

 

avec   

I m   =

E   R

i (t ) I m

63%  I m

τ

t 

La tension aux bornes de la bobine idéale est : uL (t )   =  L

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di  −t /τ /τ   =  E e dt 

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