El Espiropentagrama

El Espiropentagrama

Fernando Augusto Andreo Antón Bubok Publishing S. L.

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Índice Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Evolución de la enseñanza de la Armonía

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1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. La metodología tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Nuevos enfoques del s. XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1. A. Schoenberg, un pequeño paso adelante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4. Dos teorías cognitivas recientes de la Armónia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.1. Longuet-Higgins y su espacio armónico bidimensional . . . . . . . . . . . 19 1.4.2. Balzano con su red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5. La enseñanza de la Armonía en la actualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.1. La Armonía en el mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.2. La Armonía entre nuestros muros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2. Fundamentos de esta didáctica

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2.1. Música y formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Música y color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Música y movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4. Música y texturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5. Otras posibles vinculaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3. Los árboles armónicos

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3.0.1. Como interpretar y usar los árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.0.2. Grafías de los árboles armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.0.3. Estados de crecimiento de un árbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1. El árbol de Dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.1. El árbol de Dominante de un modo Mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2. El árbol de Dominante de un modo menor . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. El árbol de Subdominante-Tónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.1. El árbol de Subdominante-Tónica en un modo Mayor . . . . . . . . . . . 38 3.2.2. El árbol de subdominante-tónica en un modo menor . . . . . . . . . . . . 39 3.3. El árbol Tonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3

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ÍNDICE 3.3.1. El árbol Tonal en un modo Mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.2. El árbol Tonal en un modo menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4. Otro tipo de árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.1. Un árbol para la realización contrapuntística . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. El Espiropentagrama

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4.1. Las marcas de presencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.1. De orden melódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.2. De orden armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2. Manejo del Espiropentagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2.1. Un caso práctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3. Otras propuestas próximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3.1. Simple clock calculator de Larry J. Solomon . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3.1.1. Diferencias con el Espiropentagrama . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3.2. La Rueda Armónica de Luis Nuño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3.2.1. Diferencias con el Espiropentagrama . . . . . . . . . . . . . . . 55 5. Representaciones poligonales de las sonoridades

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5.1. Consideraciones preliminares de las figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.1.1. El diámetro: el tritono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.1.2. Un cuadrante: la tercera menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1.3. Los ejes de simetría: propiedades, inversión y transposición limitada . . . 60 5.1.3.1. Propiedades derivadas de la simetría . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.1.3.2. La inversión

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1.3.3. La transposición limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.1.4. El área, un índice orientativo del grado de disonancia . . . . . . . . . . . 64 5.1.5. Aplicación a nuestro sistema tonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.1.5.1. Consideraciones preliminares sobre intervalos consonantes y disonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.1.5.2. El parámetro inmensurable: la subjetividad de la tradición . . . 66 5.1.5.3. En grupos con un mismo número de sonidos . . . . . . . . . . . 67 5.1.5.4. En grupos con diferente número de sonidos

. . . . . . . . . . . 69

5.1.5.5. El coeficiente de consonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.1.5.6. Excepciones notorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.1.5.7. La propuesta de Hindemith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2. Las divisiones simétricas regulares de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.2.1. Modos de transposiciones limitadas de Messiaen . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2.1.1. Modo 1 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 75 5.2.1.2. Modo 2 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 75 5.2.1.3. Modo 3 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 75

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ÍNDICE

5.2.1.4. Modo 4 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 76 5.2.1.5. Modo 5 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 77 5.2.1.6. Modo 6 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 78 5.2.1.7. Modo 7 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 79 5.2.2. Otros casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2.2.1. El acorde de quinta aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2.2.2. El acorde de séptima disminuida . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2.2.3. La sexta aumentada francesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3. Las divisiones simétricas irregulares de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . 81 5.3.1. El heptágono diatónico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.2. Escalas sintéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.4. Divisiones tradicionales de la circunferencia en conjuntos de tres y cuatro sonidos 83 5.4.1. Acordes tríadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.4.1.1. El acorde perfecto mayor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4.1.2. El acorde perfecto menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.4.1.3. El acorde de 5ª aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.4.1.4. El acorde de 5ª disminuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.4.2. Acordes cuatríadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.4.2.1. Acordes con 7ª de 1ª especie (P. M. con 7ª menor): 7ª natural . 89 5.4.2.2. Acordes con 7ª de 2ª especie (P. m. con 7ª menor): 7ª menor . 90 5.4.2.3. Acordes con 7ª de 3ª especie (disminuido con 7ª menor): 7ª Submenor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.4.2.4. Acordes con 7ª de 4ª especie (P. M. con 7ª Mayor): 7ª Mayor . 92 5.4.2.5. Acordes con 7ª de 5ª especie (P. m. con 7ª Mayor): 7ª sobre menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.4.2.6. Acordes con 7ª de 6ª especie (aumentado con 7ª Mayor): 7ª sobre aumentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.4.2.7. Acordes con 7ª de 7ª especie: 7ª disminuida . . . . . . . . . . . 95 5.4.3. Los acordes de sexta aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.4.3.1. La sexta aumentada italiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.4.3.2. La sexta aumentada francesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.4.3.3. La sexta aumentada alemana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.4.3.4. La sexta aumentada suiza (acorde de 4ª doble aumentada) . . . 101 5.5. El color como marca funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6. Aplicaciones del Espiropentagrama

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6.1. Sistemas de afinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.2. Procesos contrapuntísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2.1. La transposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

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ÍNDICE 6.2.2. La inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.2.3. La retrogradación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.2.4. La combinación de estos procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.3. La modulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.3.0.1. Organización de las posibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.3.1. Normas elementales para la comparación de árboles . . . . . . . . . . . . 124 6.3.2. La modulación por nota común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.3.3. La modulación diatónica o por acorde común

. . . . . . . . . . . . . . . 124

6.3.3.1. Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1: D1 =D2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.3.3.2. Comparación del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de partida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1 =D2 )126 6.3.3.3. Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de partida con el de Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1 =ST2 )128 6.3.3.4. Comparación de los árboles de Subdominante-Tónica entre sí (Caso 4: st1 =ST2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.3.4. La modulación enarmónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.3.4.1. Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1: D1 ≡D2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.3.4.2. Comparación del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de partida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1 ≡D2 )135 6.3.4.3. Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de partida con el de Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1 ≡ST2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.3.4.4. Comparación de los árboles de Subdominante-Tónica entre sí (Caso 4: st1 ≡ST2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.3.5. La modulación cromática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.3.5.1. Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1: D1 ~D2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3.5.2. Comparación del árbol de subdominante-tónica de la tonalidad de partida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1 ~D2 )145 6.3.5.3. Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de partida con el de Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1 ~ST2 )147 6.3.5.4. Comparación de los árboles de Subdominante-Tónica entre sí (Caso 4: st1 ~ST2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.6. Utilización de los resultados y proceso de asimilación . . . . . . . . . . . 151 6.4. La set-theory (teoría de conjuntos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.4.1. La inversión de conjuntos de sonidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.4.2. La Forma Normal (Normal From) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

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ÍNDICE

6.4.3. La Forma Orignal (Prime Form) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.4.3.1. ¿De qué sirve la Forma Original? . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.5. Los mapas armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.5.1. Comparación de mapas armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7. Propuesta de aplicación de esta didáctica

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7.1. En la enseñanza general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.1.1. En el ámbito de Preescolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.1.2. En el ámbito de Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.1.2.1. Primer ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.1.2.2. Segundo ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.1.2.3. Tercer ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.1.3. En el ámbito de Secundaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.1.3.1. Primer ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.1.3.2. Segundo ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.2. Dentro de las enseñanzas artísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.2.1. En las Enseñanzas Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.2.1.1. Primer curso de Lenguaje Musical . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.2.1.2. Segundo curso de Lenguaje Musical . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.2.1.3. Tercer curso de Lenguaje Musical . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.2.1.4. Cuarto curso de Lenguaje Musical . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.2.2. En las Enseñanzas Profesionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.2.2.1. Lenguaje musical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.2.2.2. Armonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.2.2.3. Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.2.2.4. Fundamentos de Composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.2.3. En las Enseñanzas Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.2.3.1. Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.2.3.2. Armonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.2.3.3. Contrapunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.2.3.4. Otras asignaturas que podrían beneficiarse . . . . . . . . . . . . 185 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Bibliografía

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Introducción Este trabajo pretende ofrecer una didáctica para acercar los estudios de Armonía a etapas anteriores a las que prevé nuestro currículo actual, básicamente desde la iniciación del niño a la música. Para ello conecta las sonoridades, esencialmente, con figuras geométricas y colores -dejando abierta una también válida y posible relación con figuras tridimensionales y texturas-, en función a diversos parámetros que justifican esta vinculación. Evidentemente, el acercamiento al niño a entes musicales más complejos como puede ser cualquier acorde, expresado de manera tan primaria como formas y colores y no como elementos de categorías teóricas complejas, posibilita que esta propuesta no sólo sea coherente sino muy prometedora. Además de esto, de lo importante que puede ser el ir acercando al alumno más joven a esta dimensión musical que apenas se trata en los planteamientos didácticos de la actualidad, este método tiene una proyección mucho más amplia ya que las figuras y colores que el niño ha manejado como un juego, cuando no tenía por qué saber qué eran las funciones tonales o los acordes cuatríadas, seguirán teniendo vigencia y utilidad incluso en los estadíos más avanzados del estudio de esta disciplina. Esta propuesta didáctica pretende que esas figuras policromas que han quedado conectadas con sonoridades en la mente infantil, le faciliten la comprensión de las características no sólo del funcionamiento del sistema tonal, de acordes y estructuras, sino también del ámbito atonal, modal o incluso de cualquier sistema musical diferente. Los principios que este método emplea se fundamentan en investigaciones de la psicología de la percepción, en los principios básicos de la geometría de polígonos y en conceptos de estudios de la musicología moderna, por ello, su campo de aplicación no se restringe a una introducción lúdica en las clases de Lenguaje musical o de la enseñanza primaria, sino que sirve de analogía explicativa del sistema de afinación temperado, alcanza a colaborar determinantemente en el estudio de la modulación tonal o descubre nuevos atalayas para la práctica y la observación de la composición contemporánea. El estudio de la Armonía se inicia normalmente en las Enseñanzas Profesionales de música, si bien, cierta introducción a los acordes y las funciones ya se comienza en los últimos cursos de Lenguaje Musical de las Enseñanzas Elementales. No obstante, estas enseñanzas van a ser principalmente teóricas y apenas van a poder tener una verdadera realidad en la práctica hasta las Enseñanzas Profesionales, que en la asignatura de Fundamentos de Composición, encontrarán su realización en ejercicios escritos y en cierto acercamiento a dictados y el aprendizaje de secuencias armónicas. Esto va en perjuicio del alumnado que nunca termina de tener un verdadero dominio de la materia sonora con que trata la Armonía, y, por lo general, reduce esta asignatura a un conjunto de reglas de aplicación teórica y casi exclusivamente, a los ejercicios propuestos en clase. En cuanto a la metodología aplicada para la elaboración de este trabajo podría resumirse así: 8

INTRODUCCIÓN

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en una primera fase, tras haberse producido la idea germinal: un método pedagógico con que enseñar Armonía, se inicia una investigación a través de publicaciones de muy diversa índole y variedad, en relación a los diferentes temas que resultan afines (temas como la Didáctica de la música, la Psicología evolutiva, la Geometría, obviamente la Armonía, etc). Este estudio se llevó a cabo para establecer una base sobre la que desarrollar el método aquí propuesto, así como compararlo con otras experiencias que pudieran serle afines, para contextualizarlo y situarlo en relación a otras propuestas y otros métodos consagrados. Así pues, aún tratándose únicamente de un supuesto educativo, se ha intentado fundamentar todo cuanto se proyecta con estudios y trabajos previos, que puedan servir de aval y ofrecer cierta garantía respecto de la validez de las ideas que en las próximas páginas se exponen. en segundo término, se comenzó la elaboración escrita de estas páginas, si bien nunca dejó de aparecer nueva información que parecía relevante considerar y que ayudaron a ir perfilando, modificando y corrigiendo. Para el proceso de escritura, especialmente, en lo tocante a las ilustraciones que aquí aparecen y que son verdaderamente imprescindibles, hubo que aprender a trabajar con un software informático que posibilitara trasladar al papel los ejemplos que era pertinente incluir, a colación de lo que se explica, máxime, siendo una propuesta didáctica basada en la observación de la solidaridad existente entre sonoridades y figuras poligonales. Asimismo, se ha trabajado en la creación de aplicaciones interactivas que permitan manipular lo que aquí se describe en un mundo físico (con papeles y láminas transparentes), en un mundo virtual informático, más llamativo e interesante, sobre todo para un alumnado que ha nacido en este mundo tecnológico. por último, aunque para ser fieles a la verdad habría que confesar que, parcialmente, algo se fue poniendo a prueba mientras se estaba creando, queda la comprobación real y total de las ventajas que este método puede o no tener. No obstante, mientras se hacía acopio y se elaboraba todo el material que aquí se ofrece, hubo varias entrevistas con educadores y teóricos que ofrecieron no cortas esperanzas sobre la validez y la consistencia de esta metodología; así como también resultaron positivos y prometedores, ciertos pequeños experimentos que inevitablemente para ellos, tuvieron que sufrir algunos de mis alumnos. Así pues, la intención de este trabajo es iniciar mucho antes en el mundo armónico al alumnado; no sólo al de las instituciones de enseñanza musical especializada, sino incluso en el ámbito de la enseñanza general. El mayor problema que puede representar, a juicio nuestro, el tratar de acercar a niños de una edad más temprana a la teoría armónica es la complejidad de los términos y los conceptos que su comprensión teórica requiere. Sin embargo, al asimilar las sonoridades a elementos visuales más sencillos, como pueden ser polígonos y colores, el niño ya no trabajará con una nomenclatura complicada e inaprehensible (como acorde de séptima disminuida sobre el cuarto elevado), sino con figuras y colores que lleva manejando desde que era un bebé (como un cuadrado amarillo, que sería el equivalente al acorde nombrado en el paréntesis anterior).

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INTRODUCCIÓN

No obstante, esta propuesta no es que pretenda únicamente adelantar el inicio de los alumnos en el mundo de la Armonía, la idea es que estas figuras geométricas policrómicas con que se pretende facilitar su acceso, se vayan incorporando y asimilando dentro de su mente porque su utilidad no se restringirá a estos primeros años o a la educación general, sino que estas mismas figuras y colores, les serán de una enorme utilidad para entender y aprehender con mayor facilidad y profundidad, conceptos mucho más complejos e intrincados, como la enarmonización de acordes o los modos de transposición limitada de Oliver Messiaen, por citar algunos de los ejemplos ilustrativos que se recogen a lo largo de estas páginas. Creo que resultará convincente pensar que, si para una persona que no ha sido formada con las referencias que este proyecto educativo propone, ya puede hacerse patente la practicidad, sistematicidad y exhaustividad con que aborda la dificultosa realidad de los conjuntos sonoros -especialmente aquí tratadas las entidades armónicas tonales más tradicionales-, para alguien que, ya con cierta madurez teórica musical, haya imbrincado casi en su subconsciente por haberlo trabajado así desde temprana edad, ciertas imágenes con ciertas sonoridades (tanto a nivel mental teórico como a nivel acústico), este método le reportará una enorme ventaja sobre cualquiera de los alumnos que se enfrentan hoy día, armados únicamente de sus mayores o menores conocimientos, al mundo de la teoría compositiva en cualquiera de sus facetas: armonía, contrapunto, análisis...; sin que podamos olvidar, en ningún caso, su patente repercusión en otras disciplinas como la educación auditiva o la improvisación. Tampoco podemos dejar de aclarar que esta metodología educativa, aunque nacida y aquí esbozada dentro del ámbito de la música occidental, no tiene en modo alguno por qué verse restringida a ésta y que, de hecho, puede resultar de extrema validez para comparar sistemas de afinación de diversas culturas musicales o de diversos períodos históricos; si bien, lamentablemente, esto escapa de los introductorios objetivos con que ve la luz el modesto elenco de posibilidades que aquí sucintamente se presentan. En definitiva, la monografía que están a punto de leer, sin darse por acabada ni por inmutable, sino como un guión más o menos desarrollado de otro modo de acercar al alumnado de música, tanto en los círculos más especializados como en los menos, a la compleja dimensión de la realidad organizativa de esta disciplina; tanto en el plano de sistema musical derivado de un sistema de afinación, como en su dimensión sintáctica de sonoridades dispuestas en un discurso de tensiones y distensiones, apenas inteligible para la mayoría de legos en la materia más allá de su intuición, y que desde luego podía serlo no ya mucho más comprensible, sino más cercana, para aquellos que han sido, están siendo y serán instruidos en el maravilloso e inigualable arte de la música.

Capítulo 1 Evolución de la enseñanza de la Armonía En primer lugar, por concretar un poco de qué estamos hablando, definiremos el objeto de estudio, la Armonía. Según nos dice el “New Grove Dictionary of Music and Musicians”, el término procede del griego harmonia, y significa “la combinación de notas simultáneas, para producir acordes y, sucesivamente, para producir progresiones acórdicas. El término se usa descriptivamente para denotar notas y acordes en combinación, y prescriptivamente para denotar un sistema de principios estructurales que gobiernan su combinación.” Debemos darnos cuenta cómo esta explicación contempla la disciplina desde dos planos; a un lado en su dimensión apenas descriptiva y, en el otro -producto del anterior, en realidad-, como conjunto de normas y reglas con que organizar su puesta en práctica. Otra definición interesante la tenemos en el Harvard Dictionary of Music Apel (1969), que nos dice que se trata de “la estructura acórdica (o vertical) de una composición musical, al contrario que Contrapunto, que trata de la estructura melódica (u horizontal).” Como podemos observar, esta definición de mayor brevedad, vuelve a centrarse en el carácter estructural del término y en la dimensión vertical de simultaneidad de sonidos. Por enriquecer un poco la visión, veamos también lo que nos dice A. Schoenberg al comienzo del segundo capítulo de su Harmonielehre 1 (Schoenberg, 1979): “Armonía: el estudio de sonidos simultáneos (acordes) y de cómo pueden enlazarse teniendo en cuenta sus características arquitectónicas, melódicas y rítmicas, y su significación, o sea, el peso relativo de unos respecto a otros.” Tal vez, lo más llamativo de las palabras de Schoenberg, sea cómo pone su atención en el hecho del contexto, como medio para atribuir significación a los conjuntos de sonidos simultáneos; sin duda, es un factor esencial para entender los estudios armónicos, la asunción del carácter relativo que poseen las sonoridades según su marco, tanto a nivel general dentro de un sistema o lenguaje musical, como a nivel concreto de las sonoridades adyacentes en que se encuadra cada una. 1

Cuya primera edición en alemán es de 1911.

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CAPÍTULO 1. EVOLUCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA ARMONÍA

Llegados a este punto, parece conveniente desligar el concepto de Armonía del de acorde, al menos, de su noción ortodoxa que lo reduce a una yuxtaposición de terceras, y concebir la armonía como un estudio de los elementos sonoros simultáneos, que llegados al s. XXI, tendrán muchas muestras de simultaneidades sonoras que se apartarían notoriamente de las clasificaciones clásicas o incluso, de las progresistas, pero obviamente siempre tonales y he ahí la mayor diferencia de concepción, decimonónicas. El método didáctico que en estas páginas se propone, tiene por objetivo poder abarcar todo el corpus armónico, sea de la procedencia que sea e indistintamente al sistema musical al que se adscriba. Ahora bien, aclaremos que cuando aquí hablamos de la enseñanza de la Armonía -ya en el título de esta parte y en el del propio capítulo-, nos estamos refiriendo, como explicaba la primera definición que veíamos, a la enseñanza de los principios estructurales que gobiernan su combinación, es decir, la construcción y enlace de acordes siguiendo unas directrices de coherencia determinadas, que, normalmente, no son otras que las deducidas del análisis y el estudio de un estilo y/o un período histórico; por lo general, los del período de la práctica común o período tonal, que abarcaría de manera aproximada desde 1600 hasta 1900. De esta forma, los estudios de Armonía, como asignatura dentro del currículum de los estudios superiores de música de nuestro país -según está recogido en la legislación vigente2 -, tendría un carácter histórico y práctico muy pronunciado, y será de especial utilidad para el mejor entendimiento de otras asignaturas como Historia de la Música o Análisis, así como para la práctica de la improvisación.

1.1.

Antecedentes

La enseñanza de la Armonía, tal y como la entendemos nosotros partiendo de la última parte de la definición anterior, esto es, no entendida como especulación teórica sino como disciplina práctica, se remonta a la escuela del bajo cifrado, que se extendió a principios del s. XVIII y que se convirtió en una teoría de composición libre, que se oponía al contrapunto, la teoría de la composición estricta. En realidad, podríamos afirmar que su origen coincide grosso modo, con el establecimiento de la tonalidad, reforzado durante los ss. XIX y XX por un robusto marco institucional de conservatorios, universidades y academias que continuaron situando esta disciplina, la Armonía, en el núcleo de sus enseñanzas básicas a intérpretes, compositores e incluso, aficionados. Aún así, la frontera que divide la teoría de la práctica es difícil de situar, sobre todo en Así, hasta este curso 2009/2010 que tenía vigencia el Decreto 617/1995, de 21 de abril, nos dice que en Armonía se estudiaría: “Elementos y procedimientos armónicos relativos al sistema tonal, y evolución de la armonía en la música posterior al mismo. Realización escrita de trabajos estilísticos y libres, vocales e instrumentales. Práctica instrumental de los elementos y procedimientos estudiados.” No está de más el aclarar que este próximo curso 2010-2011, dará comienzo el nuevo plan educativo a nivel europeo implantado según los acuerdos de Bolonia, en el primer curso de las enseñanzas de música de las Enseñanzas Superiores; si bien, la legislación que atañirá a este nuevo plan aún no está definida cuando se escriben estas palabras y, por lo tanto, no podemos referirnos a ella. 2

1.1. ANTECEDENTES

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los comienzos, de forma que podemos encontrar ya una instrucción compositiva respecto de la escritura a varias voces en tomos explícitamente especulativos como la “Synopsis” de Lippius, de 1612. De igual forma, los primeros manuales de clase desarrollaron también conceptos que acabaron finalmente asumidos en la corriente de los estudios especulativos, como sería el caso de los acordes de paso en los tratados de Richter (1853) y Mayerberger (1878), que serían cruciales para el desarrollo de las teorías schenkerianas del Schichten y la Ursatz. Asimismo, la oposición que antes le concedíamos respecto del Contrapunto, al hablar de teoría de la composición estricta y de la composición libre, debe tomarse también con cautela, ya que, precisamente los primeros orígenes de la enseñanza práctica de la armonía pueden establecerse en algunas páginas de tratados de Contrapunto de principios del s. XVI que enumeran las combinaciones aceptables en la composición a cuatro voces; éste sería el caso del tratado de Baryphonus de 1615. Desde sus comienzos, la armonía práctica ha servido como ejercicio preparatorio para tres actividades: improvisación, composición y análisis, que aunque distintas en su finalidad, sus contenidos se entrecruzan con mucha frecuencia. La mayoría de los trabajos de armonía del s. XVII tenían como objetivo la instrucción de intérpretes de bajo continuo en el arte improvisatorio mediante la realización del bajo. Durante el s. XVIII, en Alemania, la realización del bajo continuo se empezó a cultivar no sólo por intérpretes del mismo, sino también como parte de la educación de los compositores, así C. P. E. Bach nos explica que los alumnos de composición de su padre “debían empezar sus estudios por la realización de puro bajo cifrado a cuatro partes. Después pasaba a los corales; primero le añadía los bajos hechos por él, y ellos debían inventar el alto y el tenor, más tarde les enseñaba a construir los bajos por sí mismos.” La tarea más avanzada de éstas requería comprender no sólo la escritura a voces, sino también la sintaxis armónica, un tema que había sido tratado en los manuales de bajo continuo de finales del s. XVII en referencia a la realización de bajos no figurados (ej. Penna, 1672). Cuando a finales del s. XVIII, el papel del bajo continuo quedó relegado, la improvisación dejó de ser el objetivo principal del entrenamiento armónico y ya no habrá continuación en la tradición de los textos sobre improvisación hasta la década de 1950, cuando los músicos de jazz empezaron a codificar sus métodos. Ahora bien, hablando con propiedad, la fundación de la escuela armónica práctica debe atribuirse de manera universal, a la teoría del bajo fundamental de Rameau, que aunque estuvo diseminada en diferentes partes de sus escritos, después de su muerte, en 1764, se convirtió en la base de la práctica pedagógica común, que fue configurándose en una forma muy similar a la manera actual, durante esa segunda mitad del s. XVIII. Aportaciones determinantes fueron las de Marpurg que desarrolló una taxonomía para las notas no reales, y John Trydell que empezó a indicar las fundamentales como grados de la escala en relación a una tónica3 , pero quizás las más importantes serían las de Kirnberger (177179) y H. C. Koch (1782-93) en sus tratados de composición, cuando empezaron a considerar el papel de la armonía como un mecanismo de articulación de las frases y los movimientos. Si bien, Trydell representaba los grados mediante números arábigos, no con números romanos que es la forma habitual hoy día, y que proviene de los escritos de Vogler. 3

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CAPÍTULO 1. EVOLUCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA ARMONÍA

Estas contribuciones tuvieron como finalidad un claro matiz analítico y compositivo, durante el siguiente siglo. El análisis armónico usando números romanos fue sustituido al final del s. XIX por Riemann, que proponía la teoría del dualismo, junto con la teoría de las funciones tonales, en una serie de escritos pedagógicos. Después de la muerte de Riemann, la teoría funcional se separó del dualismo, que había encontrado pocos defensores entre los tratadistas modernos, y dominó la pedagogía en Alemania, Escandinavia y Europa del Este, pero incluso en estos lugares no ha sustituido completamente el método de los números romanos. Podríamos decir que la influencia de Riemann en el Sur de Europa y en el mundo anglosajón ha sido mínima, de forma que si aún a día de hoy podemos hablar de dos escuelas de análisis armónico principales, existe una clara primacía del modelo que hace uso de los números romanos, a nivel mundial y también, en nuestro contexto académico español. Podríamos sintetizar pues y decir que desde finales del s. XVIII, nuestros métodos de enseñanza de la armonía han continuado básicamente igual, sirviéndose de ejemplos normalmente tomados del canon del repertorio clásico y romántico, se inferían unas reglas que servían para la realización de ejercicios armónicos que, como abstracciones especulativas teóricas, perseguían más la adquisición de técnicas que la verdadera imitación de estilos. Otra de las posibles críticas que se pueden lanzar contra esta didáctica, mayoritariamente extendida, es que parece conceder más importancia al aprendizaje de unos mecanismos gráficos y no tanto a la experiencia auditiva de los mismos; si bien, esto no tendría por qué ser así siempre, sí parece deducirse desde la propia orientación del sistema, en el que el aspecto sonoro parece hacer aparición más como complemento necesario, que como elemento central. Algunos autores como R. O. Morris (1968) iniciaron movimientos pedagógicos que trataron de tomar el teclado como punto de referencia, en las primeras décadas de la segunda mitad del s. XX, pero sus métodos aunque han tenido repercusión en otros países, sobre todo en Estados Unidos, aquí en España apenas ha tenido un eco exiguo en algunos imitadores.

1.2.

La metodología tradicional

Los métodos tradicionales de enseñanza de la armonía se centran en la armonización a cuatro partes de melodías (de tiple o de bajo) dadas; ejemplos de este tipo de metodología serían las propuestas de Rockstro (1881), Piston (1991)4 y Gauldin (2004)5 . El estudiante debe construir voces independientes horizontalmente que vayan bien con una línea melódica previa. Los ejemplos melódicos tratan de ilustrar la llamada práctica común de los compositores de los ss. XVIII y XIX. El cuadro 1.1 (que incluye cinco figuras) sirve para ilustrar el proceso de armonización homofónica usando los acordes mayores I, IV y V, como una simplificación e ilustra los principales pasos, descritos más abajo, que se les aconseja seguir a los aprendices para la armonización de melodías. 4 5

Primera edición en inglés de 1978. Primera edición de 1997.

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1.2. LA METODOLOGÍA TRADICIONAL

(a) Listado de posibles acordes

(b) Depuración de las opciones

(c) Segunda depuración de las opciones

(d) Escritura de una melodía para el bajo

(e) Escritura de las demás voces

Cuadro 1.1: Pasos de la armonización según la metodología tradicional 1. Listar todos los acordes posibles. Todos los acordes que pueden ser asociados con cada nota deben explicitarse en números romanos. La figura 1.1a muestra las 32 posibles progresiones armónicas que admite la melodía. 2. Depurar las opciones. Las piezas de música tonal casi siempre empiezan y acaban en el mismo acorde de tónica (acorde de I). Si se eliminan las posibilidades que comenzaban y terminaban por un acorde diferente, todavía quedan 8 progresiones posibles, como muestra la figura 1.1b. 3. Depurar aún más las opciones. El bagaje musical es lo que requiere ahora el alumno, para elegir una progresión acórdica que sea musicalmente significativa de entre las alternativas que se le ofrecen. La figura 1.1c muestra la progresión de acordes como sería escogida por un compositor experimentado ya que contiene el giro más ampliamente repetido (de longitud 3). 4. Escribir una melodía para el bajo. Ha de cumplir un número considerable de condiciones: progresión acórdica, ámbito, movimiento preferentemente contrario al soprano y dejar espacio para el movimiento de las voces internas y entre ellas. La figura 1.1d muestra una solución que cumple estas condiciones. 5. Escribir las demás voces. Otra vez deben satisfacerse una serie de prerrogativas: progresión armónica, ámbito, evitar el cruzamiento de voces y evitar octavas y quintas paralelas y directas. La figura 1.1e muestra una posible disposición para las voces internas. Las limitaciones pedagógicas de la manera tradicional de enseñar armonía, responde, obviamente, a ciertas dificultades observadas en los principiantes:

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CAPÍTULO 1. EVOLUCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA ARMONÍA Conocimiento teórico musical previo elevado; los ejercicios requieren que el alumno posea un considerable bagaje teórico musical de otros elementos como el ritmo, el contrapunto y la forma, lo que supone una complejidad añadida para el proceso de aprendizaje. Análisis armónico de las melodías (elección de grados); el análisis armónico es el proceso de asignar unos grados a las partes de una partitura. Si la partitura posee sólo una melodía, puede aceptar diversas alternativas de progresiones armónicas –como sucedía en la figura 1.1a- y la elección de la mejor alternativa que encaje perfectamente es el objetivo último de este proceso analítico -figura 1.1c-. Sin embargo, los principiantes suelen carecer de la experiencia necesaria para esta tarea, y no entienden qué significa “la mejor” en este contexto. Así que existe la tendencia, por parte del profesor, de imponer en los alumnos las “progresiones armónicas aceptables” que, de esta forma, se incorporan al vocabulario armónico del estudiante. Armonizar una melodía (escribiendo notas en las voces); una vez elegidos los grados que irán con las notas de la melodía, las notas deben colocarse en las voces restantes de acuerdo con el análisis armónico (véase los pasos 4 y 5 ilustrados con las figuras 1.1d y 1.1e respectivamente). Sin embargo, dependiendo del grado de adecuación del análisis armónico, puede ser difícil, o incluso imposible, colocar las notas en las voces sin quebrar alguna/s de las reglas musicales impuestas. Didáctica centrada en el profesor; en los métodos tradicionales el profesor normalmente da clases (Peters, 1982) a un grupo de alumnos, analizando armónicamente fragmentos de piezas musicales, proponiendo ejercicios y corrigiendo algunas de las soluciones aportadas por los alumnos. Ingente corpus de piezas tonales; los métodos tradicionales requieren de un gran y heterogéneo corpus de fragmentos de piezas musicales como sonatas, conciertos e incluso canciones populares, para ilustrar las prácticas armónicas académicas.

1.3.

Nuevos enfoques del s. XX

Con el siglo XX tuvieron lugar importantes cambios dentro del plano musical, no es de extrañar que no sólo los compositores, sino también teóricos e intérpretes, buscaran otras formas de entender la música y otras formas de explicarla.

1.3.1.

A. Schoenberg, un pequeño paso adelante

Algo antes de la primera guerra mundial, aunque algún eco mayor obtuvo después de la misma, en 1911, Arnold Schoenberg publicaba su Harmonielehre -que tardaría en aparecer en España más de medio siglo (Schoenberg, 1979)-. En él, Schoenberg, escapando de la presión de

1.3. NUEVOS ENFOQUES DEL S. XX

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la imitación de cánones estilísticos, consigue superar ciertas trabas que la enseñanza tradicional tenía, como serían los siguientes:

Requiere de un menor conocimiento teórico previo del alumno y trata de aislar otros elementos de la música (ritmo, contrapunto y forma) de la enseñanza de la armonía;

Guía al estudiante a la hora de escoger los grados en los ejercicios y no requiere análisis armónico;

Evita la armonización de una melodía, con la finalidad de darle al estudiante más alternativas en la distribución de notas por voces;

Se centra más en el alumno a la hora de enseñarle, con el objetivo de maximizar su creatividad;

Evita el inmenso corpus de piezas tonales.

Podríamos recordar otros métodos que siguen algunos de los principios recogidos arriba, por ejemplo, hay métodos que enfatizan el enlace correcto sin prestar mucha atención a otros elementos de la música, así sería el caso de Riemann, por ejemplo, que enfatizaba las funciones tonales, pero que obviamente obliga a determinados movimientos y se desliga de promover la creatividad del alumno. Los escritos de Schoenberg también están centrados en el enlace correcto de los acordes, sin embargo, no es lo principal, le preocupa más evitar la imposición de “progresiones aceptables” en los estudiantes y en darles una mayor libertad de elección. Schoenberg creía que los estudiantes, a través de la experimentación no sólo de “progresiones armónicas aceptables” y valorando sus preferencias por sí mismos, eran capaces de desarrollar su propio sentido armónico sin el fuerte condicionamiento del vocabulario armónico impuesto por los métodos tradicionales. El método de Schoenberg se distingue por un programa que no incluye la armonización de melodías y que incorpora una calculada estrategia evolutiva de presentación y práctica de nuevos conceptos. El cuadro 1.2 ilustra los principales pasos, descritos más abajo, seguidos por los estudiantes en los ejercicios propuestos.

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CAPÍTULO 1. EVOLUCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA ARMONÍA

(a) Paso 1

(b) Paso 2

(c) Paso 3

(d) Paso 4

(e) Paso 4

(f) Paso 4

Cuadro 1.2: Método de Schoenberg Pasos para la solución de un ejercicio: 1. Definición de la secuencia de acordes. El estudiante, siguiendo unas instrucciones, escoge los grados con que va a trabajar (así se ve en la figura 1.2a). 2. Colocación de notas para el primer acorde. El estudiante decide la posición del acorde inicial y le asigna las notas a las voces observando las condiciones constructivas del acorde (como queda ilustrado en la figura 1.2b). 3. Colocación de notas para el siguiente acorde. El estudiante coloca las notas en el acorde que sigue a la derecha del anterior, vigilando las normas de construcción propias del acorde en concreto, así como las de enlace respecto del anterior (según se aprecia en la figura 1.2c). 4. Repetimos el paso tres con el resto de acordes. Los estudiantes repiten el paso tres hasta que se han asignado todas las notas de todos los acordes de la progresión (tal y como queda reflejado en las figuras 1.2d, 1.2e y 1.2f).

1.4.

Dos teorías cognitivas recientes de la Armónia

Estas dos teorías aportan dos puntos de vista diferentes de la Armonía, que permiten acercar la disciplina a personas que, careciendo de los conocimientos teóricos o la habilidad instrumental necesaria, se verían totalmente desprovistos de una posibilidad en el entorno de aprendizaje acostumbrado. Se trata de los estudios de Longuet-Higgins (1962) y de Balzano (1980); que

1.4. DOS TEORÍAS COGNITIVAS RECIENTES DE LA ARMÓNIA

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aunque parten cada uno de puntos diferentes, ofrecen dos visiones bastante similares del funcionamiento de la Armonía. Y así lo explica muy bien Simon Holland en su artículo New Cognitive Theories of Harmony applied to direct manipulation tools for novices (1987).

1.4.1.

Longuet-Higgins y su espacio armónico bidimensional

En mi opinión, los primeros pasos de importancia, hacia una verdaderamente nueva manera de explicar Armonía deberíamos atribuírselos a Longuet-Higgins que desarrolló una nueva teoría cognitiva de la armonía (1962). El sistema se basa en la configuración de una red de notas dispuestas en columnas y filas, de forma que los miembros de cada columna son notas separadas una 5ª, mientras las filas están construidas separando las notas una tercera mayor . La teoría de Longuet-Higgins se fundamenta en que el conjunto de intervalos posible en la música tonal occidental es aquel que sucede entre notas cuyas frecuencias están en una proporción expresable como el producto de tres números: 2, 3 y 5 y ningún otro6 . Teniendo en cuenta esta premisa, se desprende el hecho de que el conjunto de tres intervalos formado por la octava, la quinta justa y la tercera mayor es el único espacio coordinado no redundante para todos los intervalos que usamos. Podemos representar este espacio gráficamente colocando las notas en capas en una red tridimensional en la que las notas van ascendiendo en octavas, terceras mayores y quintas justas, a lo largo de los tres ejes. Sin embargo, en la mayoría de representaciones se omite el eje de la dimensión de la octava dado que da lugar a planos paralelos y a la conveniencia práctica que supone centrarse en las otras dos dimensiones (fig. 1.4.1).

Longuet-Higgins fue desarrollado por Steedman, en su tesis doctoral: “The formal description of musical perception”, University of Edinburgh, 1972. 6

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CAPÍTULO 1. EVOLUCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA ARMONÍA

Figura 1.4.1: Espacio armónico (sin enarmonías) de Longuet-Higgins Como podemos ver en la figura de arriba, hemos enmarcado todas las notas de la escala diatónica con una línea en una pequeña región de dos columnas y siete casillas (dado que la escala posee siete grados). Si imaginamos que este marco, manteniendo su forma, pudiera deslizarse alrededor de la tabla de notas libremente y delimitar diferentes conjuntos de notas, descubriríamos que si lo movemos hacia arriba una fila estaríamos en la tonalidad de la Dominante, y que si lo bajamos una fila estaríamos en la de la Subdominante. Se pueden encontrar otras tonalidades trasladando el marco en otras direcciones, aunque convenga recordar que las notas no siempre mantendrán el mismo nombre en las diferentes tonalidades, sino que podrán estar enarmonizadas (sonidos homófonos). Sin embargo, en virtud de la finalidad didáctica, reducimos el espacio Longuet-Higgins a una nomenclatura de doce sonidos de un sistema tonal temperado, resultando lo que llamaremos “espacio armónico Longuet-Higgins de 12 notas bidimensional” o, simplemente, espacio armónico bidimensional, para abreviar. Consecuentemente perdemos los doble sostenidos y doble bemoles de la figura 1 y el espacio ahora se repite exactamente en todas las direcciones (véase fig. 1.4.2). Las notas con el mismo nombre son realmente la misma nota en este espacio. De hecho, bastará una pequeña reflexión para darnos cuenta de que este espacio es en realidad un toro7 que hemos desplegado y repetido como si fuera un motivo para empapelar algo. Uno de los resultados que produce esta figura es que en lugar de un único marco de tonalidad, tenemos el marco repetido. Un toro es una superficie o una figura geométrica tridimensional formada por la rotación de una curva cerrada, especialmente un círculo, alrededor de una línea que se haya en el mismo plano pero que no intersecciona con ella (ej. un anillo con forma de donut). 7

1.4. DOS TEORÍAS COGNITIVAS RECIENTES DE LA ARMÓNIA

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Figura 1.4.2: Espacio armónico Longuet-Higgins de 12 notas bidimensional

Fijémonos ahora en la representación de los tríadas y los centros tonales. En el espacio armónico bidimensional, los acordes mayores tienen forma de L (cf. fig. 1.4.3). Vemos también como los acordes de Dominante y Subdominante, tríadas mayores, están extremadamente próximos a la tríada de tónica. Al mismo tiempo, podemos observar que los tres tríadas fundamentales contienen todas las notas de la escala diatónica y cómo también este diagrama sirve de metáfora del lugar central que ocupa la tónica (y así sucedería en cualquier tonalidad). Igualmente podemos distinguir cómo los tríadas menores corresponden con una L invertida, y cómo también forman la escala menor y disponen su tónica (la tríada menor de La) en una posición central. Para completar la escala, quedaría marcar el tríada disminuido, que se configura marcando una línea oblicua. Algunos estilos armónicos perfectamente asumidos en el repertorio de estudio, hacen uso de los acordes cuatríadas y quintíadas, que también tienen formas fácilmente reconocibles dentro del espacio armónico bidimensional (véase fig. 1.4.4 para la representación de las séptimas diatónicas propias de la escala natural).

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CAPÍTULO 1. EVOLUCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA ARMONÍA

Figura 1.4.3: Acordes tríadas en el espacio armónico bidimensional Longuet-Higgins

Figura 1.4.4: Acordes cuatríadas en el espacio armónico bidimensional Longuet-Higgins Hagamos ahora, tras la descripción del sistema, un ejercicio de abstracción para imaginar una manipulación virtual directa de este entorno, utilizando un programa informático. Supongamos que podemos utilizar el ratón para elegir un modelo geométrico que represente un tipo

1.4. DOS TEORÍAS COGNITIVAS RECIENTES DE LA ARMÓNIA

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de sonoridad y, hecho esto, pudiéramos hacer sonar las notas que elige, cada vez que su botón esté pulsado (como si estuviésemos seleccionando cosas, en cualquier entorno de Windows); ésta sería la propuesta del Dr. Simon Holland para, aplicando las explicaciones de Longuet-Higgins, acercar a un alumnado novel al manejo de las sonoridades, de la Armonía en definitiva, de forma intuitiva.

1.4.2.

Balzano con su red

Balzano en su artículo The Group-theoretic description of 12-fold and microtonal pitch systems (1980) describía dos posibles modos de trasladar, todo considerado desde el punto de vista matemático8 , a un espacio bidimensional circular nuestro sistema musical de doce sonidos, en realidad nada nuevo aunque fundamentado mediante expresiones matemáticas: el círculo de quintas y el círculo cromático9 (adjuntamos la figura 1.4.5 a modo de ilustración). Resultan llamativas las observaciones de cómo, sobre el círculo de quintas, los sonidos diatónicos quedan representados ocupando justamente la mitad del círculo y cómo, según qué vamos moviendo esta mitad, rotándolo dentro del cículo vamos obteniendo los sonidos propios de las escalas o los modos, con alteraciones en menos o con alteraciones en más, según el sentido sea, respectivamente, el contrario o el mismo de las agujas del reloj.

Figura 1.4.5: Modelos del sistema musical dodecafónico en un espacio bidimensional Sin embargo, no fue ninguna de estas dos proyecciones la que S. Holland (1987) adoptó como base para su elaboración didáctica, sino la que Balzano consideraba más válida para la observación de los aspectos armónicos, una tercera traslación a un espacio bidimensional que tendría la forma de una red (que podemos observar abajo, en la fig. 1.4.6). Fuera de las eviPara ello, los doce sonidos son tomados como los doce primeros números enteros (y así puede observarse en las ilustraciones que de sus propuestas se adjuntan en este apartado); esto es: do = 1, do# = 2, re = 3, mib = 4, mi = 5, fa = 6, fa# = 7, sol = 8, lab = 9, la = 10, sib = 11 y si = 12. 9 Esta proyección bidimensional, estudiada como ya decimos por este autor (Balzano, 1980), servirá de base para su adaptación a un sistema de lectura ya no lingüístico-textual, sino puramente musical, y así nacerá el Espiropentagrama -núcleo del corpus gráfico de la propuesta de estas páginas y que está explicado con detenimiento en el capítulo 4 en la página 43. 8

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CAPÍTULO 1. EVOLUCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA ARMONÍA

dentes aportaciones visuales (con formaciones geométricas diversas) que esta red aportaba a la observación de los diferentes conjuntos de sonidos; Balzano en este trabajo también demostraba la adaptabilidad y la permanencia de diversas propiedades de los conjuntos sonoros, cuando se trabaja con sistemas diferentes de dividir la octava a la nuestra (que lo hace en doce partes), incluyendo como ejemplo en este artículo, una red que reflejase la división de la octava en veinte partes, o sea, utilizando intervalos microtonales.

Figura 1.4.6: La red de Balzano señalando los sonidos de la escala diatónica dentro del cuadrante de los doce

Pues bien, esta red, como decíamos, es la otra base que va a servir para los propósitos pedagógicos que el Dr. Holland desarrollaba en 1987 y que tanto nos han servido de inspiración para el desarrollo de este trabajo. La aplicación en esta red tendría un desarrollo análogo al que describíamos al final del punto anterior; esto es, su incorporación en un software informático que permitiera a gente no iniciada dentro de los complejos conocimientos musicales que requiere la Armonía, acercarse e incluso ejercitarse dentro del mundo de la pluralidad sonora armónica.

1.5. LA ENSEÑANZA DE LA ARMONÍA EN LA ACTUALIDAD

1.5.

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La enseñanza de la Armonía en la actualidad

En la actualidad, hay una notable diferencia en cuanto a la enseñanza de la Armonía según en qué ámbito geográfico nos situemos e incluso, precisando más, en qué institución de qué lugar. Por ello, en este apartado vamos a hablar, por un lado, de forma generalizada de cómo tenemos noticia que se desarrolla esta enseñanza en el conjunto de nuestro mundo occidental, y de otro, de cómo se desarrolla en nuestro país, tomando como especial foco de observación nuestra región y las instituciones que en ella existen destinadas a la formación musical.

1.5.1.

La Armonía en el mundo

Parece incuestionable que nuestro mundo occidental tiene una nación que ejerce el claro papel de cabeza del conjunto, me refiero claro está, a Estados Unidos. Como en cualquier período de la historia, los estudios más avanzados de las artes y las humanidades, como cualquier otra disciplina, encuentran pronto su lugar, partiendo de su tradición y evolucionando a partir de ésta, en las paredes de la casa más poderosa. De este modo, no es de extrañar que parta de esta nación la mayor parte de las directrices de cambio, respecto de la metodología tradicional (que desarrollábamos en este mismo capítulo, en la sección 1.2 en la página 14). Así pues, conjuntamente con una encomiable asimilación de las aportaciones que la evolución de la música popular de cierta entidad, ha aportado a la música académica; los métodos norteamericanos desde hace varias décadas tienden a una mayor practicidad de sus enseñanzas, a una mayor ejercitación sonora de las mismas -por lo general sobre el teclado- y a una reflexión teórica considerablemente menor.

1.5.2.

La Armonía entre nuestros muros

Nuestro país, con sus ventajas y sus inconvenientes, no ha ido mal que le pese, nunca a la cabeza en general, de la investigación, y en particular, en lo tocante a la investigación musical, menos aún si cabe. Para hacernos una idea, haré un somero repaso de las publicaciones que aún a día de hoy fundamentan la bibliografía básica de nuestros centros educativos, cuánto hace que llegaron y cuando lo hicieron, con cuánto retraso llegaban desde que habían visto la luz en otros idiomas. Quizá el libro que ocupaba hasta la fecha las principales referencias en las aulas de Armonía de nuestra región, fuera el de Armonía de W. Piston, este libro fue publicado por primera vez por la Norton, en 1941, sin embargo, la primera edición en España, por la editorial Labor, no llegó hasta medio siglo después, y éste, un libro que cuenta a día de hoy con casi 70 años de antigüedad, es el libro probablemente más utilizado en nuestro país. Otros libros que también tienen y han tenido una enorme repercusión no han corrido, por desgracia, mejor suerte; éste sería el caso, por ejemplo del tratado de Armonía y de Funciones estructurales de la Armonía de A. Schoenberg que nacieron respectivamente, en 1922 y 1954 y sin embargo no se pudieron ver en nuestras librerías hasta 1974 y 1990. Y hablamos, obviamente de libros

26

CAPÍTULO 1. EVOLUCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA ARMONÍA

capitales dentro de lo que se considera la disciplina Armónica a día de hoy, no hablaremos de los que ni siquiera han llegado a ser traducidos o, depués de haberlo sido, no han encontrado manera de publicarse. Bien es cierto, en cualquier caso, que también ha habido teóricos en nuestro territorio que han sido de notable prestigio (dentro del mismo) y que han contribuido enormemente a la difusión de principios de otros grandes autores del resto de Europa o América, pero incluso éstos, que otrora fueran verdaderos adalides de una información innovadora e ilustrativa, después de pasar más de tres, cuatro o cinco décadas, creo que podemos afirmar que se hayan quedado algo anticuados. Hablamos, por ejemplo, de Zamacois que publicara en 1945 su primera edición de su revelador Tratado de Armonía. De esta forma, podemos resumir que la situación es algo desalentadora, que aunque no faltan diversos focos individuales (como los casos de Martínez-Oña (1991) y de Sánchez Navarro (n.d.), que se recogen en nuestra bibliografía en la página ??) que tratan de renovar y modernizar la didáctica armónica en nuestras aulas, tienen un eco ínfimo y un marco de actuación que, con frecuencia, apenas alcanza más allá de sus propias clases. Existe muy poco interés por parte de instituciones que podrían patrocinar su actualización, probablemente por su orientación hacia un público tan minoritario. Un público que además, acostumbrado a esta situación, la ha tratado de solventar con su propia iniciativa y sus propios recursos, aunque siempre haya quedado en esfuerzos y resultados de poca mayor extensión que aislados casos individuales.

Capítulo 2 Fundamentos de esta didáctica Esta didáctica tiene por finalidad, la incorporación a la teorética armónica de un corpus de analogías -especialmente de carácter visual- que sirva para construir un método didáctico que responda mejor a las directrices de la pedagogía y de la psicología evolutiva. Para ello, fundamenta sus principios en los elementos visuales más elementales (como figuras geométricas sencillas y colores), al tiempo que se apoya en otras conexiones como el movimiento, algo que en conjunto, contribuirá a favorecer el acercamiento, el manejo y la comprensión de realidades musicales armónicas, y de esta forma ayudará a incorporarlas a la vida del niño desde una edad temprana. De este modo, se persigue el que esta propuesta de significantes quede aceptada y asimilada en la mente infantil, para partiendo de este punto, poder ir creciendo con él a lo largo de su educación musical, abriéndole un camino mucho más amplio y prometedor que el que la actual propuesta educativa le ofrece.

2.1.

Música y formas

Es interesante el trabajo llevado a cabo en la Universidad de Illinois (Urbana Champaign) por tres profesores de la misma, Bergstrom (2007); en este artículo, utilizando una red Tonnetz1 , se propone una visualización de la estructura de la música, de su armonía. Este trabajo no es más que uno entre los muchos que podríamos encontrar que muestran las conexiones que pueden señalarse entre la música y entidades visuales derivadas, más que de ningún otro campo, de las Matemáticas. Existen, como ya apuntábamos, numerosos estudios que buscan analizar desde el punto de vista matemático, la realidad musical y que aportan incluso, posibles construcciones bidimensionales (Longuet-Higgins, 1962, Balzano, 1980, Holland, 1987, Clough, 1998, Rappaport, 2007) y tridimensionales (Bancroft, 1993, Gollin, 1998, Bergstrom, 2007) que sirvieran para explicar mejor la manera de existir y funcionar de la música. Sin embargo, y he aquí quizá, la verdadera Un Tonnetz es un modelo geométrico espacial, bien en dos o bien en tres dimensiones, que representa las propiedades de un conjunto de sonidos. 1

27

28

CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE ESTA DIDÁCTICA

innovación de estas páginas, ninguna de ellas buscaba más que expresar estas similitudes de forma descriptivo; observar su funcionamiento y hacerlo aún más patente mediante la muestra de un conjunto de representaciones acordes. Este trabajo se propone ir más allá, se propone utilizar y desarrollar algunas de estas investigaciones para proponer un método que sea agradable y ofrezca un avance progresivo a los estudiantes de música, permitiéndoles acceder a realidades teóricas de elevada complejidad mediante esta especie de adaptaciones visuales geométricas, nada deleznables.

2.2.

Música y color

La primera referencia importante que podemos señalar en relación a la conexión entre música y color, que se hace en el ámbito de nuestra cultura, corresponde a Isaac Newton2 que en su tratado Opticks 3 (Newton, 1704) señaló la posible correlación entre estas dos realidades del mundo físico, en base a sus propiedades científicas. De este modo, conectó, en función de su frecuencia, los sonidos de la escala Mayor, con los colores que aparecían en la naturaleza de forma natural, los colores del Arcoiris, en función de las longitudes de onda de sus espectros (así podemos observarlo en la figura 2.2.1 anexa que, aunque no en color, aparecía de tal cual en la publicación de Newton).

Figura 2.2.1: Disco de la música y color de I. Newton La fundamentación de Newton, de índole puramente física, es incontestable aunque no por ello deja de ser algo arbitraria. No obstante, la que vamos a tomar aquí, como base para elaborar las correlaciones entre combinaciones de sonidos y colores, no se va a fundamentar en los principios de Newton, sino en principios del campo de la psicología de la percepción. De Los diversos estudios de I. Newton quedan explicados con notable claridad, en inglés, en la url: http://home.vicnet.net.au/~colmusic/opticks1.htm 3 Este tratado puede ser consultado en internet e incluso descargado en formato pdf en la sección de books de Google. 2

2.3. MÚSICA Y MOVIMIENTO

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esta forma, y no siendo los primeros que utilizamos el color como elemento para coadyuvar a la comprensión de la música (destaca el memorable caso del compositor A. Scriabin -cuya propuesta está sintetizada en el círculo recogido en la figura 2.2.2 de abajo- o el más reciente O. Messiaen) e incluso su uso con fines educativos sobre todo los estudios de Galeyev (1975) y Vanechkina (1994) que hemos citado en la Bibliografía.

Figura 2.2.2: Círculo de quintas en colores de A. Scriabin Nuestro trabajo, siguiendo en parte la estela de estos ilustres predecesores, busca conectar las emociones suscitadas por los colores (siguiendo los trabajos de Warner Schaie (1961) y D’Andrade (1974)) con las propiedades que, en nuestro caso, dentro del sistema tonal, se le atribuyen a diversos grados y funciones. De este modo, se busca la confección de una didáctica más asequible y coherente a la mente humana infantil.

2.3.

Música y movimiento

Desde Schopenhauer hasta infinidad de autores de la teorética musical -quizá deberíamos destacar a Dalcroze (1965)- han subrayado la sobresaliente cualidad motora de la música; muchos llegan a afirmar que “la música es movimiento”. De este modo está más que refutado que el uso de esta vinculación puede ser más que fructífera para la enseñanza de la música y no va a ser aquí donde repasemos todas las enormes aportaciones que esta unión posibilita; entre otros motivos, porque la conexión que en esta propuesta didáctica se va a exponer va a tomar apenas los más elementales parámetros y sólo con la finalidad de colaborar con los elementos que sí se desarrollan, de índole visual. Así pues, en el último capítulo, en el que se realiza una propuesta de aplicación de este método didáctico, sí se aportan algunos ejemplos de cómo podría trabajarse y fomentarse el empleo de coreografías y de determinados movimientos expresivos, sobre todo con un alumnado de corta edad, para estimular su atención y favorecer la asimilación de las analogías que en el transcurso de estas páginas van a proponerse.

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2.4.

CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE ESTA DIDÁCTICA

Música y texturas

Analizamos ahora la conexión de la música con las texturas, más que por su influencia en el método didáctico que vamos a exponer en este trabajo, por redondear el círculo sinestésico de elementos con que hemos relacionado la música y también, por abrir una puerta a la posibilidad de realizar maquetas y utilizar texturas en conjunción a los colores para representar lo mismo que aquellos y así insistir a través de otro elemento más (aunque hoy día mucho menos fácil de aplicar y extender), en las propiedades que queramos observar en determinadas sonoridades. Además, no podemos dejar pasar el importante papel que podría desarrollar esta relación, para apoyar el aprendizaje de la disciplina armónica en personas con algún tipo de discapacidad visual. Investigando en este tema, ha sido sorprendente cómo apenas existen publicaciones que hayan desarrollado esta relación. Como precedentes señalables, de relativa fecha reciente, podríamos mencionar la conexión con la arquitectura que repasaba un artículo de la revista “Leonardo” en 1993 (Bancroft, 1993) y la general revisión respecto a la música en Braile que podemos ver en el “Musical Educators Journal” en 1998 (Smaligo, 1998). De esta manera, parece que la propuesta que en este apartado apenas vamos a esbozar, podría ser de una importante trascendencia dentro de este campo de la pedagogía, como consecuencia de la escasa aportación de recursos que existe. La idea sería tomar las representaciones tridimensionales que se han creado tomando las 12 alturas de nuestro sistema temperado, o sea un Tonnetz tridimensional, como el que proponía Gollin en su artículo Some Aspects of three-dimensional Tonnetze (1998), dedicado a explicar espacialmente, sobre todo, las propiedades de los cuatríadas.

2.5. OTRAS POSIBLES VINCULACIONES

31

Figura 2.4.1: Tonnetz tridimensional propuesto por E. Gollin

2.5.

Otras posibles vinculaciones

Siguiendo la línea que plantea este capítulo, esta línea de construcción de relaciones sinestésicas entre elementos sonoros y elementos de percepción que pertenezcan a otros sentidos diferentes a la audición, no podemos dejar de al menos enunciar la posibilidad de conectar también las realidades sonoras a sabores y a olores, siguiendo exactamente los mismos procedimientos de coherencia y justificación para la elaboración de vínculos que hemos seguido en estas páginas. De hecho, aunque extremadamente atrevido y con escasa o ninguna referencia que pueda ofrecer una base de comparación para la sugerencia que se aporta en este apartado, es indudable que cualquier colaboración de contenidos abstractos con símiles va a facilitar su captación, máxime, si estos símiles no son también de tipo abstracto y lingüístico, sino que son entes perceptibles sensorialmente. Además, al igual que sucedía con el apartado anterior, esta vía que aquí apenas se esboza, sería con seguridad, de una enorme relevancia en enseñanzas de carácter especial, con un alumnado que tuviera algún tipo de deficiencias sensoriales o motrices, y no pudiera ver o palpar las analogías de caracter visual o espacial.

32

CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE ESTA DIDÁCTICA

Capítulo 3 Los árboles armónicos Un árbol1 armónico va a servir como un esquema para sintetizar las cualidades de cada sonido dentro de un conjunto cualquiera, creado en función de sean cual sean los parámetros a que se quiera atender para su configuración. Del mismo modo, este tipo de abstracción será también muy práctica cuando se quiera comparar varios conjuntos de sonidos (y las cualidades de los mismos). Evidentemente, es fácil deducir que dentro del ámbito de la tonalidad tiene una aplicación aún más obvia, si tenemos en cuenta por ejemplo, las consideraciones funcionales de la práctica común. De hecho, las explicaciones más extensas y en el campo que más hemos trabajado con estos “árboles”, ha sido en el de la tonalidad; ahora bien, cabe la posibilidad que el lector encuentre algunos puntos en los que quizá, difiera con mayor o menor determinación, sobre algunas consideraciones que aquí se hacen, no creo que huelgue decir que en este trabajo no se trata de argumentar la funcionalidad de un grado concreto (que según su contexto es probable que varíe, obviamente), sino de un modo de esquematizarlo y representarlo como todo o parte de un conjunto; esta es nuestra intención y ante las leves disensiones que puedan existir, apelamos al oportuno criterio del lector para adaptar los símbolos y los conjuntos aquí propuestos, hasta adecuarlos más a su planteamiento teórico y, entonces, si los cree útiles, hacer uso de esta propuesta de botánica armónica. Las cualidades se van a representar dentro de los árboles armónicos, haciendo uso de diferentes tipos de grafemas para escribir la cabeza del sonido. Así, por ejemplo, se puede indicar si una nota tiene tendencia descendente con una grafía que colaborara en este sentido (verbigracia ).

3

De esta forma, concebida la tonalidad como dos ejes, un eje tendencial (asimilable a la función de Dominante) y uno no tendencial (vinculado con las tradicionalmente llamadas funciones de subdominante y tónica), podríamos decir que el eje tendencial comprendería todos los sonidos que pueden participar dentro de sonoridades tendenciales en el ámbito de una úniLa razón para adoptar este nombre para este tipo de representaciones gráficas esquemáticas no es casual, ya que además de que la forma de algunos de estos esquemas recuerdan por su modo de ramificarse a ciertas manifestaciones vegetales, también la matemática asume este término para nombrar -en la corriente de la Graph Theory- cierto tipo de gráfico. Un gráfico acíclico se denomina un “árbol” y cuando éste aparece conectado con otro u otros, se le llama “bosque” (véase la página 13 y siguientes del libro Graph Theory (Diestel, 2005)). 1

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34

CAPÍTULO 3. LOS ÁRBOLES ARMÓNICOS

ca tonalidad, es decir, todas las posibles variantes de la función de dominante que pudieran contemplarse; mientras el eje no tendencial contaría con el resto de sonoridades, o lo que es lo mismo, las posibles variantes de las tradicionalmente expresadas como funciones de subdominante y de tónica. Por consiguiente, los respectivos esquemas de cada eje se denominan árbol de Dominante y árbol de Subdominante-Tónica, y en conjunto, representan todas las posibilidades sonoras de una tonalidad concreta, bien circunscritas a unas condiciones (por ejemplo, estilísticas o cronológicas) o bien de forma genérica. A la yuxtaposición de los dos árboles, la denominaremos árbol tonal, y será la síntesis de la tonalidad, en cuanto a sus posibilidades, su discurso y sus características.

3.0.1.

Como interpretar y usar los árboles

Los árboles, al contemplar todas las posibilidades de manifestación de una sonoridad, manejan algunas que se niegan entre sí. Por ejemplo, no podremos usar, al mismo tiempo, una nota alterada y esta misma nota en su estado normal, esto queda reflejado en los árboles mediante la bifurcación de sus ramas. De esta forma, cuando desde una nota más grave procedemos de forma ascendente hacia las siguientes posibilidades, sólo podremos optar a las notas que estén aledañas a la que partimos; o sea, yendo hacia arriba y o bien, simplemente encima o bien en la línea vertical contigua a la derecha o a la izquierda (ej. tener que elegir entre la novena mayor o la novena menor en un acorde de Dominante de un tono mayor -véase la fig. 3.1.1 en la página 37 que representa un árbol de Dominante-). No podremos “saltar”, por decirlo de algún modo, a una nota que se halle más allá de las verticales contiguas a la que está la nota desde la que estamos. De un modo similar, en un nivel horizontal, se podrán tomar varias notas si no están adyacentes y tienen separándolas, al menos una, que no se podrá elegir; siempre que se proviniera desde el centro del árbol, que permite optar a ambos lados de una trifurcación (ej. tomar la quinta en más y en menos, pero no la quinta natural -Cf. esquema del árbol de Dominante representado en la fig. 3.1.1 en la página 37-).

3.0.2.

Grafías de los árboles armónicos

Según se aprecia en la figura 3.0.1, en los símbolos habría dos clases principales: los rellenados o negros y los huecos o blancos. Los blancos son aquellos que son propios del modo Mayor (que tomamos como base) o son notas alteradas. Los negros son sonidos tomados de escalas diferentes al modo Mayor, casi siempre provendrán del modo menor, pero también encontraremos entre ellas la sensible de la dominante, por ejemplo. Un caso especial, de este segundo tipo es el segundo grado rebajado (que será la fundamental del acorde de sexta napolitana) que por su tradicional disposición en primera inversión, se indicará en los árboles mostrando la nota (con una cabeza triangular rellena que marque su tendencia descendente) entre paréntesis.

35 Otra peculiaridad de la simbología escogida es que usa cabezas con líneas (una o dos) verticales a los lados, para destacar los sonidos que constituyen los grados tonales: I, IV y V. Tónica

Dominante

Subdominante

Sensible

Supertónica

Superdominante

Sensible de la dominante

Subtónica (nota del área de la subdominante)

Superdominante del modo menor

Mediante

Mediante del modo menor

Nota alterada con tendencia ascendente

Nota con tendencia descendente

Nota con tendencia descendente de otro modo

Nota alterada con tendencia descendente

Figura 3.0.1: Grafías de los árboles armónicos

3.0.3.

Estados de crecimiento de un árbol

Podemos reconocer esencialmente, tres fases o niveles de expresión de estos esquemas que llamamos árboles, que corresponderían hasta cierto punto con la evolución cronológica histórica de la tonalidad, pero más bien, con la organización y distribución progresiva de contenidos que se utiliza en la enseñanza y práctica académica de la disciplina armónica. Por lo tanto, en un comienzo los árboles, como esquema de posibilidades conocidas, son apenas un testimonio de lo más elemental y van creciendo conforme va aumentando el conocimiento en la materia, del alumnado. De este modo, el primer nivel contendría la base o tronco de los dos tipos de árboles que aquí vamos a estudiar; es fácil de deducir, se contaría básicamente con las notas propias de las escalas de cada modo; la escala mayor natural, en el modo Mayor, y las escalas menor melódica y armónica, en el modo menor, que participan de cada una de los dos tipos de sonoridades: tendencial o de Dominante, y no tendencial o de Subdominante. Así pues, en el cuadro 3.1 vemos la versión de los primeros árboles con que los alumnos nóveles habrían de enfrentarse. Tipo de árbol Árboles de SubdominanteTónica

Modo Mayor

Árboles de Dominante Cuadro 3.1: El tronco de los árboles armónicos

Modo menor

36

CAPÍTULO 3. LOS ÁRBOLES ARMÓNICOS

En un segundo estadío, se añadiría las notas tomadas de otros modos, así como la posibilidad de la novena (mayor y menor) para el acorde de dominante y, consecuentemente, también para la formación del séptima disminuida y del séptima de sensible; el segundo grado rebajado para construir el acorde napolitano y la sensible de la Dominante con que elaborar los acordes de Dominante de la Dominante. Éste podríamos decir que sería el estado de madurez de los árboles, cuyo resultado queda reflejado en el cuadro 3.2 de abajo. Tipos de árboles Árboles de SubdominanteTónica

Modo Mayor

Modo menor

Árboles de Dominante Cuadro 3.2: Árboles armónicos en estado de madurez Por último, contaríamos con la adicción de la subtónica -que se interpretaría más como una referencia al área de la subdominante, que como una nota verdaderamente propia de esta tonalidad- y de las notas alteradas en más y en menos. Con esto tendríamos los árboles armónicos completos que será con los que vamos a trabajar en las próximas páginas, describiendo específicamente sus características y su configuración en los apartados 3.1 y 3.2.

3.1.

El árbol de Dominante

El árbol de dominante recoge todas las posibilidades sonoras armónicas que pueden existir dentro de un tono, que tendrían función de Dominante; es decir, sonoridades que colaboran a reafirmar el papel de tónica del primer grado. Como podemos observar en la figuras 3.1.1 y 3.1.2 de más abajo, en un árbol de Dominante de una tonalidad mayor o menor, casi todas las notas que aparecen en la sonoridad de dominante son tendenciales, por este motivo tienen la grafía triangular que apunta, según es conveniente, ascendente o descendentemente. De hecho, sólo unas pocas de las notas que aparecen en este tipo de árboles no tienen obligatoriedad a la hora de resolver. Por otra parte, el sonido que está representado por un rombo relleno, que correspondería con el VII rebajado (el grado natural en el menor), implicaría un área de subdominante, ya que la negación de la sensible es, innegablemente, un indicativo de flexión armónica. Sin embargo, dado que tanto la Dominante como esta supuesta área de subdominante (aunque de muy diferente forma, eso está claro) tienen tendencia hacia el eje Subdominante-Tónica, por eso ha sido incluida esta nota, en este árbol. No obstante, conviene recordar que estos árboles son ejemplificaciones de cómo se podría trabajar y que lo importante es la manera nueva de

3.1. EL ÁRBOL DE DOMINANTE

37

esquematizar, más que uno u otro autor puedan o no coincidir con el resultado que aquí se ofrece; puesto que en definitiva, bastaría adaptar el esquema a las condiciones que se crea más satisfactorias. Si nos fijamos, podremos deducir que hay dos sonidos que específicamente, nunca podrían estar dentro de este árbol, se trata, a un lado, de la nota tónica a la que estas sonoridades van a apuntar, y a otro lado, la sensible de la dominante, que apunta hacia la fundamental del acorde y por tanto, tampoco podría jamás tener sitio aquí. Es llamativo que estas dos notas estén, precisamente, a distancia de tritono2

3.1.1.

El árbol de Dominante de un modo Mayor

Cuenta con once notas, si bien, como se puede apreciar en el ejemplo ilustrativo en la tonalidad de Do Mayor, en realidad sólo son diez sonidos3 dado que dos son enarmónicas (en este caso el sib y la# ); se trata de el III’ del menor y la 5ª alterada ascendentemente. Fuera de este detalle, vemos que el tronco estaría constituido por el acorde de séptima de Dominante y que tendría ramificaciones a la derecha y a la izquierda; hacia la derecha estarían las posibilidades propias del mayor y sus notas alteradas ascendentes, y hacia la izquierda las tomadas, normalmente, del menor, así como las notas alteradas descendentes.

Figura 3.1.1: El árbol de Dominante de Do Mayor

3.1.2.

El árbol de Dominante de un modo menor

Los árboles del modo menor surgen partiendo del modelo del modo Mayor, por eso, mantiene con grafemas rellenos las notas propias del modo menor (como la novena menor o el III de este modo). Básicamente, como se muestra en la figura 3.1.2, los árboles de Dominante de una Este detalle, el que estén a distancia de tritono los dos sonidos imposibles para una sonoridad de dominante, será un elemento de apoyo a la hora de visualizar este tipo de esquemas en el Espiropentagrama, ya que, como veremos más adelante, estos dos sonidos están representados en puntos diametralmente opuestos de la circunferencia, con lo que formarán una especie de diámetro hueco que dividirá como en dos mitades, los puntos de representación de los sonidos participantes: cinco y cinco en la representación del árbol de Dominante del modo Mayor (exactamente la misma forma que el modo 7 de transposiciones limitadas de Messiaen, como podemos ver en el apartado 5.2.1.7 en la página 79) y cuatro y cuatro en el del modo menor (véase la fig. 6.3.2 en la página 119, para una mayor comprensión de estas palabras). 3 Las únicas dos notas que no quedan asumidas en este corpus son: la sensible de la dominante y la propia tónica de la tonalidad en la que esta sonoridad tendrá una función tendencial. 2

38

CAPÍTULO 3. LOS ÁRBOLES ARMÓNICOS

tonalidad Mayor y menor cuentan con un mismo tronco (el acorde de Dominante con séptima) y las ramificaciones de la parte izquierda, careciendo el menor de las de la derecha (que incluyen las notas alteradas ascendentes o las notas propias como la novena mayor o el III propio del modo Mayor).

Figura 3.1.2: El árbol de Dominante de La menor

3.2.

El árbol de Subdominante-Tónica

Este árbol va a servir para esquematizar las posibilidades de combinaciones de sonidos que va a tener una tonalidad, formando sonoridades que van a desempeñar los papeles de Subdominante y de Tónica dentro del discurso armónico; o sea, no van a tener tendencia a ninguna tónica, ni van a colaborar a su confirmación, como sucedía con las sonoridades con función de Dominante. Sólo hay un sonido imposible para este árbol, que es la sensible, la nota propia de la sonoridad de Dominante. Asimismo, este árbol contaría con dos sonidos exclusivos (aunque no imprescindibles, como sucediera con la sensible, el sonido exclusivo de la sonoridad de Dominante): la tónica y la sensible de la Dominante.

3.2.1.

El árbol de Subdominante-Tónica en un modo Mayor

Este árbol en el tono Mayor, como podemos ver en la figura 3.2.1 -en la representación más completa de su árbol-, posee once de los doce sonidos (recordemos que además de los propios de su escala, toma sonidos de la escala homónima menor) e incluso tres de ellos los posee en varias de sus lecturas o enarmonías; en el caso de Do Mayor que vemos en la figura de abajo, son do# o reb , re# o mib y fa# o solb .

Figura 3.2.1: El árbol de Subdominante-Tónica de Do Mayor

3.3. EL ÁRBOL TONAL

3.2.2.

39

El árbol de subdominante-tónica en un modo menor

Tiene dos diferencias principales, sin tener en cuenta los sonidos alterados, con el árbol de Subdominante-Tónica del modo Mayor, que carece del III propio del modo Mayor y que su VI< posee una tendencia ascendente, propia de las escalas dórica y melódica en las que se justifica, que no se manifestaba en aquella versión. No obstante, vemos que también tiene once sonidos -en esta representación completa que cuenta con sonidos alterados- y que carece únicamente de la sensible entre sus posibilidades. Tal y como pasaba en el árbol propio del modo Mayor, también aparecen tres enarmonías en este árbol; en la menor, que el árbol que se muestra en la figura que ilustra este apartado, serían do# o reb , re# o mib y la# o sib .

Figura 3.2.2: El árbol de subdominante-tónica de La menor

3.3.

El árbol Tonal

Como síntesis de los dos, tenemos esta construcción que muestra en dos pentagramas ambos árboles: el de Subdominante-Tónica encima, y el de Dominante debajo. Pretende ser un esquema visual de las posibilidades que ofrece en conjunto, una tonalidad, mostrando con qué sonidos cuenta (que son todos) y cómo se comportan.

3.3.1.

El árbol Tonal en un modo Mayor

Ésta sería la síntesis de posibilidades armónicas de un modo Mayor, tanto en sus variantes con función de Dominante, como en las de Subdominante o en las de Tónica. En la figura siguiente se muestra el árbol Tonal de Do Mayor.

40

CAPÍTULO 3. LOS ÁRBOLES ARMÓNICOS

Figura 3.3.1: El árbol Tonal de Do Mayor

3.3.2.

El árbol Tonal en un modo menor

Con este tipo de árbol representamos las posibilidades de combinación sonora que tienen todos los sonidos que son posibles en un modo menor, en cualquiera de las tres funciones: Dominante, subdominante o tónica. Para ilustrarlo, en la figura de abajo se presenta el árbol Tonal de la menor.

Figura 3.3.2: El árbol Tonal de La menor

3.4.

Otro tipo de árboles

Los árboles son simplemente una manera de organizar, una concreción simbólica de una taxonomía. De esta forma, el que aquí se haya expuesto y se vaya a trabajar con ellos (especialmente en el apartado dedicado a la modulación en la página 117), no quiere decir que no exista

3.4. OTRO TIPO DE ÁRBOLES

41

la posibilidad de aplicar la noción de atribuir unas cabezas de notas y distribuir espacialmente en el pentagrama un complejo de sonidos con el fin de indicar su idiosincrasia. Así pues, a modo de ejemplo, vamos a mostrar otro esquema de trabajo.

3.4.1.

Un árbol para la realización contrapuntística

Figura 3.4.1: Un árbol para la realización contrapuntística El árbol que vamos a ofrecer a continuación, analiza todas las posibilidades que pueden ofrecerse, siguiendo los principios del contrapunto renacentista del s. XVI, para construir dos contra-melodías, o sea, dos líneas de contrapunto, para una nota dada cualesquiera (la nota dada -que pertenecería a un Cantus Firmus completo-, en la ilustración 3.4.1 de arriba, sería la representada en el centro como ). De hecho, teniendo en cuenta que los acordes que se pueden utilizar en esta etapa histórica son únicamente los tríadas, podríamos decir que resume las posibilidades del contrapunto de este período. Para ello utiliza dos tipos de cabezas: las rectangulares y las elipses y dos tipos de relleno: blanco y negro. La base de inteligibilidad de este árbol descansaría en la oposición de estos dos rangos diferenciales, y su aplicación respondería a las siguientes normas: 1. Sólo se puede escoger una figura negra: el rectángulo o la elipse; pero sí dos figuras blancas. 2. Sólo se puede escoger una figura geométrica: una elipse y un rectángulo. 3. Las figuras negras producen faltas, vigilaremos su llegada desde y salida a una figura de otra especie (puesto que no pueden repetirse estas figuras negras para dos notas consecutivas dadas). 4. El rectángulo negro entre paréntesis no se puede utilizar como bajo. 5. La elipse negra entre paréntesis no se puede utilizar si la nota dada está en el bajo. 6. La elipse blanca con el cierre del paréntesis no puede ser bajo en simultáneidad con el rectángulo blanco. 7. El cuadrado negro con la apertura de paréntesis no puede utilizarse de estar a una 5ª disminuida de la nota dada cuando dicha nota actúe como bajo.

42

CAPÍTULO 3. LOS ÁRBOLES ARMÓNICOS 8. Se puede utilizar la nota dada una 8ª por encima o por debajo, pero es preferible evitar hacer esto y se tratará tal y como una nota negra. 9. Para empezar y terminar se utilizará únicamente la nota dada en unísono o a la 8ª superior o inferior.

Capítulo 4 El Espiropentagrama

Figura 4.0.1: Espiropentagrama mudo Basándose en la ordenación del conjunto de sonidos musicales en una disposición circular, que nos daba un círculo cromático de sonidos, se elabora este dispositivo que permite leer sobre un pentagrama construido describiendo una espiral irregular, los sonidos de la escala 43

44

CAPÍTULO 4. EL ESPIROPENTAGRAMA

cromática. Es obvio que sería una versión musicalizada de los diagramas de reloj con que entre otros ya han trabajado, como Solomon (1997) y Rappaport (2007). En la figura 4.0.1 en la página anterior podemos ver una versión muda del mismo, en el que no aparecen las alteraciones que podrían servir de guía, para permitir su utilización con cualquier clave musical. Se añaden dos circunferencias marcadas en líneas discontinuas, que pueden ayudar a observar el funcionamiento de la herramienta en su futura disposición sobre una base circular1 .

Figura 4.0.2: Espiropentagrama en clave de sol Como podemos ver en la figura 4.0.2, la apariencia del Espiropentagrama cuando se le añaden las alteraciones -lo que obligaría a una lectura en clave de sol en 2ª línea, en este casopara servir de guía en su manejo. La idea central de este instrumento es servir a la transposición de sonidos, ya que a cada giro de 30o , una nota cualesquiera dispuesta sobre él, comporta una El tamaño del Espiropentagrama viene a ser de las medidas de un disco CD o DVD estándar (aproximadamente 12 cm de diámetro), de esta forma, para hacer más operativo el instrumento, asentaríamos el Espiropentagrama como fondo inferior en una caja vacía de cedés (de las llamadas tarrinas), como base sobre la que iríamos añadiendo las transparencias que servirían para operar en él, aprovechando tanto el eje central, como, en general, la forma del contenedor de plástico para maniobrar y almacenar mejor las construcciones que elaboremos. 1

45 relectura de la misma con un cambio de un semitono. Si el giro se realiza en sentido de las agujas del reloj, se producirá en sentido ascendente y si es al contrario, en sentido descendente. Al mismo tiempo, vemos que las alteraciones describen dos posibilidades de lectura, a una distancia de séptima aumentada; esto servirá para poder atender a las posibilidades de enarmonía más frecuentes, de un mismo sonido.

Figura 4.0.3: Plantilla de un sonido

De esta forma, teniendo una plantilla de un sonido cualesquiera -y su enarmonía- (véase la figura 4.0.3 de arriba), al colocarlo sobre el Espiropentagrama daría lugar a las figuras 4.0.4 y 4.0.5 que muestran cómo funcionaría el Espiropentagrama, sometiendo a una nota y a su enarmonía a todos los giros posibles, comenzando desde do / si# .

46

CAPÍTULO 4. EL ESPIROPENTAGRAMA

Figura 4.0.4: Las notas en el Espiropentagrama (a)

47

Figura 4.0.5: Las notas en el Espiropentagrama (b)

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CAPÍTULO 4. EL ESPIROPENTAGRAMA

Según podemos observar en las ilustraciones, cada sonido (así como su enarmonía) está distribuido en una de las dos circunferencias concéntricas, que no son visibles, que van cruzando la espiral irregular en la que se inscribe el pentagrama, de forma que da lugar a los diferentes sonidos según se van produciendo los giros. Para servir de guía, sobre todo cuando se comparan conjuntos de varios sonidos, se añade una tercera circunferencia concéntrica más pequeña, también invisible, en la que se marca la presencia de un sonido en el esquema. Esto permitirá una mejor observación de las coincidencias entre sonidos –indistintamente a que sean un sonido enarmónico o el mismo-, cuando se comparen varios conjuntos, superponiendo plantillas. En la figura 4.0.6 que vemos a continuación, se muestran estas tres circunferencias, que normalmente no veríamos, en el Espiropentagrama con un acorde y estas marcas de apoyo.

Figura 4.0.6: Las tres circunferencias del Espiropentagrama Esta última línea también será de gran ayuda para poder observar las figuras geométricas (véase apartado 5 en la página 57) a que dan lugar los acordes al representarse sobre el círculo cromático. En las páginas siguientes, cuando tratemos cada uno de los acordes tríadas y cuatríadas, veremos cómo en el ejemplo se marca, con líneas discontinuas, el polígono inscrito

4.1. LAS MARCAS DE PRESENCIA

49

determinado, en dicha circunferencia interior sobreentendida, por las marcas de presencia.

4.1.

Las marcas de presencia

Las marcas de presencia son unos elementos de apoyo que aparecen en la circunferencia invisible interior del Espiropentagrama (véase la figura 4.0.6 en la página anterior).

4.1.1.

De orden melódico

Cuando la finalidad de un gráfico es trabajar con un motivo melódico, entonces lo ideal sería utilizar números que marquen su secuencia de aparición. Pongamos por caso un motivo melódico como el siguiente:

Este motivo tendría la siguiente conversión al Espiropentagrama:

Figura 4.1.1: Marcas de orden melódico

50

CAPÍTULO 4. EL ESPIROPENTAGRAMA

Como podemos imaginar, este modo de trabajo será muy útil para desarrollar imitaciones y otras manipulaciones de orden melódico; siendo de especial utilidad en métodos compositivos que sean eminentemente horizontales como el dodecafonismo. Así podemos verlo en el capítulo 7, Aplicaciones del Espiropentagrama, en el apartado de Procesos contrapuntísticos en la página 107.

4.1.2.

De orden armónico

Para trabajar dentro del campo armónico, nuestra propuesta trabaja con los llamados árboles armónicos y es, especialmente dentro de este ámbito donde la aplicación de las marcas de presencia cobra mayor importancia. En este sentido, son símbolos geométricos de seis tipos diferentes según el tipo de árbol en el que aparecen y el papel que desempeñan en él. Atendiendo a la figura 4.1.2 veríamos que son ocho categorías: a) notas del árbol Subdominante-Tónica de la tonalidad de partida, b) notas del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de llegada, c) notas del árbol de Dominante de la tonalidad de partida, d) notas del árbol de dominante de la tonalidad de llegada, e) sensible de la tonalidad de partida, f) sensible de la tonalidad de llegada, g) subtónica de la tonalidad de partida y h) subtónica de la tonalidad de llegada.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Figura 4.1.2: Marcas de presencia en los árboles armónicos Las diferentes formas de cada una de ellas tienen como finalidad el hacer más sencilla la comparación; aparecen huecas las figuras que remiten a los árboles de partida y rellenas aquellas que pertenecen a los árboles de llegada. Los hexágonos pertenecen a los árboles de Subdominante-Tónica y los círculos y cuadrados a los árboles de Dominante. Estas marcas van a tener dos funciones: servir de vértices para los polígonos, representaciones de los acordes posibles en cualquier caso, que los conjuntos de sonidos podrán contener. marcar los sonidos (del grupo de doce posibles) que aparecen en el conjunto y ayudar a su comparación con otros conjuntos.

4.2. MANEJO DEL ESPIROPENTAGRAMA

4.2.

51

Manejo del Espiropentagrama

Para manejar el Espiropentagrama, lo que habría de hacerse sería construir, a partir de láminas transparentes, plantillas circulares que sirvan para el propósito concreto de estudio. Dado que de manera intencionada el Espiropentagrama tiene las mismas dimensiones que un disco compacto, se puede utilizar uno cualquiera para utilizarlo como modelo -o incluso, directamente y sin tener que preparar nada, usar alguno de los separadores de plástico transparente que algunas cajas llevan-. Sobre esta lámina escribiríamos con rotuladores indelebles o permanentes aquello que queramos utilizar en varias ocasiones y, con rotuladores no permanentes, observaciones sobre casos particulares que podremos borrar tan pronto hayamos acabado de estudiar dicho caso.

4.2.1.

Un caso práctico

Más adelante, en el capítulo 6 (página 105) dedicado a las aplicaciones del Espiropentagrama, se explica con una especial atención su beneficio para el estudio de la modulación (apartado 6.3 en la página 117). Así pues, se utilizan los árboles armónicos (de los que hablábamos en el capítulo 3 en la página 33) proyectados sobre el Espiropentagrama; para hacerlo, situaremos una lámina transparente circular de las mismas dimensiones que el Espiropentagrama sobre el mismo, e iremos escribiendo con un utensilio de escritura resistente al roce los sonidos que aparecen (empleando las cabezas de nota que se proponía para los árboles armónicos, evidentemente). Así, lograremos tener las plantillas de los diferentes árboles armónicos de las tonalidades de partida y de llegada. Una vez hecho esto, cuando estemos utilizándolos y comparándolos, es posible que queramos señalar algunos sonidos en concreto que queramos que participen o que hayamos escogido, o las figuras que representen los acordes que pueden participar en el proceso. En ese momento utilizaremos rotuladores normales, que no se queden fijados sobre la lámina transparente para que, de esta forma, podamos no perder las reflexiones que hemos realizado para este ejercicio y además, cuando hayamos acabado, poder borrar todas estas marcas accesorias y variables según el caso particular, utilizando simple y comodamente, un pañuelo de papel.

4.3.

Otras propuestas próximas

En esta sección, comentaremos dos utensilios de aspecto similar al Espiropentagrama y que también ofrecen interesantes aportaciones dentro de la teorética y la práctica musical armónica, analítica e incluso interpretativa.

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CAPÍTULO 4. EL ESPIROPENTAGRAMA

4.3.1.

Simple clock calculator de Larry J. Solomon

Figura 4.3.1: Simple Clock Calculator para el análisis teórico de Conjuntos de sonidos El Clock Calcutator2 se trata de una circunferencia dividida en doce partes que, como en el Espiropentagrama, representarán los doce sonidos del sistema temperado y ordenados también de la misma forma, cromáticamente (así queda reflejado en la figura 4.3.1 que veíamos arriba). Este utensilio, verdaderamente próximo al que en estas páginas se ha explicado, se ha pensado con una finalidad expresa, facilitar el análisis de música serial, sirviendo como ayuda para obtener la Prime Form de Forte y su set name, determinar los subconjuntos de un conjunto de sonidos, analizar series, calcular vectores interválicos y una forma de catalogar los sonidos de una sonoridad que el autor denomina la Solomon prime. 4.3.1.1.

Diferencias con el Espiropentagrama

Existen dos diferencias principales entre el Clock Calculator y el Espiropentagrana: la manera de anotar las alturas de los sonidos y su finalidad. Mientras el dispositivo ideado por Solomon expresa las alturas mediante los nombres de las notas (concretamente siguiendo la nomenclatura inglesa), como bien hemos comprobado, el Espiropentagrama lo hace utilizando un pentagrama en Espiral que permite su lectura como sonidos en una partitura. Por otra parte, la finalidad, el Espiropentagrama está pensado como una herramienta abierta en la que se pueden estudiar y comparar las propiedades de cualquier conjunto de sonidos, Los datos aquí explicados sobre el Clock Calculator se han extraído de la páginas web Solomon’s Music Resourcesrealizada por el autor, que tiene por URL http://solomonsmusic.net. 2

4.3. OTRAS PROPUESTAS PRÓXIMAS

53

elegido en base a cualquier criterio. El Clock Calculator, por su parte, tiene como objetivo la música serial (aunque pueda servir, ciertamente, para otras cuestiones), algo que también es posible observar en el Espiropentagrama; de hecho, siguiendo el modelo propuesto por Solomon, ha sido explicada esta aplicación de la herramienta propuesta en estas páginas, en el apartado 6.4 en la página 154. Aparte de estas dos diferencias capitales, también hemos de tener en cuenta que el Espiropentagrama, más que servir como guía indicativa de un conjunto de sonidos, atiende a las figuras poligonales que surgen al situarse los sonidos sobre él, de forma que es en función de estos polígonos de donde se extrae toda una concepción didáctica que pretende formar al alumno e integrarlo en este lenguaje simbólico, con la finalidad de facilitarle su comprensión, desde su fase de iniciación en los estudios musicales hasta las más evolucionadas. Además, el Espiropentagrama tiene en sí mismo una forma dinámica -no estática o predeterminada- que le va a permitir evolucionar con el alumno en función de sus conocimientos y sus necesidades, y no aportar, únicamente, ayuda a un asunto concreto e invariable, propio exclusivamente de un estadío avanzado de instrucción musical.

4.3.2.

La Rueda Armónica de Luis Nuño

Se trata de un dispositivo principalmente orientado a su aplicación en el campo de la improvisación3 especialmente en la música de Jazz; no obstante, tal y como afirma su autor, puede utilizarse en música occidental de diversos estilos, con bastante provecho. Se basa en el uso de unas plantillas preestablecidas que al girar, aportan al usuario posibilidades de escalas, acordes, arpegios que aplicar según le pueda interesar, bien sobre un determinado acorde o tonalidad, o bien para enlazar entre dos diferentes. La construcción de esta “Rueda Armónica” se fundamenta en cinco círculos de quintas concéntricos, expresados en un mismo plano, sobre el que se dispone una lámina transparente que, utilizando algunas líneas, colores y números, indican los acordes, escalas, etc.

Aunque la Rueda Armónica ya muestra sus posibilidades orientadas a la improvisación, es más bien otro aparato de similares caracterísiticas, llamado Improchart, también ideado por este autor, el que va a estar más destinado a estos menesteres. 3

54

CAPÍTULO 4. EL ESPIROPENTAGRAMA

Figura 4.3.2: La rueda armónica Las aplicaciones de la Rueda Armónica, según nos explica en las instrucciones que acompañan a la misma, su autor, serían las siguientes: 1. Identificación de notas enarmónicas; 2. Notas consonantes con respecto a una nota concreta y acordes Mayores y menores, aumentados y de séptima disminuida que la contienen; 3. Notas constituyentes de acordes tríadas Mayores, menores, aumentados y de séptima disminuida; 4. Tonalidad mayor y menor que se corresponden a una armadura con un número determinado de alteraciones; 5. Notas propias de una escala Mayor o menor; 6. Acordes propios tríadas y cuatríadas de los grados de una escala Mayor o menor; 7. Acordes propios de una escala que contienen una nota;

4.3. OTRAS PROPUESTAS PRÓXIMAS

55

8. Acordes cercanos (con más notas dentro de la escala) y lejanos (con ninguna nota dentro de la escala) respecto de una tonalidad; 9. Transporte de secuencias de acordes a otra tonalidad del mismo modo, o adaptación a su modo opuesto. 4.3.2.1.

Diferencias con el Espiropentagrama

Como primera cuestión que podemos resaltar tras comparar estos dos dispositivos, tendríamos el hecho de que la Rueda Armónica, según se anuncia en sus propias instrucciones adjuntas, no requiere de conocimientos musicales ya que todo queda escrito con los nombres de las notas. Sin embargo, el Espiropentagrama da los nombres de los sonidos representándolos tal y como se hace en las partituras, esto es, utilizando cabezas de notas que coloca sobre un pentagrama. Otra diferencia que también se percibe a primera vista al echarle un vistazo a estas dos herramientas, es que mientras la Rueda Armónica se basa en el círculo de quintas, el Espiropentagrama lo hace en el círculo cromático. Asimismo, el Espiropentagrama sólo dispone los sonidos en una única línea circular, mientras la Rueda Armónica hace uso de cinco circunferencias concéntricas que disponen las notas sobre doce radios (esto sí sucede igual en ambos casos), estando las notas del mismo radio distantes una tercera menor descendente conforme la circunferencia es más externa. Esto lo hace así para aprovechar la relación de las notas que estarían de forma diagonal en la circunferencia adyacente externa, en el siguiente radio a la derecha (notas a un intervalo de tercera mayor ascendente conforme nos separamos del centro de las cinco circunferencias), y así construir los acordes mayores, por ejemplo. Por otra parte, una vez señaladas las divergencias más notables en la forma de construirse, sería el momento de señalar las diferencias en cuanto a finalidades. Mientras la Rueda Armónica pretende ser una herramienta que aporta unos resultados en el momento y no tiene finalidades pedagógicas, ni colabora a la mayor comprensión de las sonoridades ilustrando sus propiedades o sus relaciones. El Espiropentagrama busca conectar figuras geométricas y colores con el aspecto sonoro de determinados conjuntos de sonidos, sin embargo, la Rueda Armónica no tiene en cuenta ningún tipo de elemento geométrico ni las posibilidades de la policromía, dentro de sus resultados o sus acciones. Otra importante cuestión a señalar es cómo mientras la invención de Luis Nuño aporta todos sus resultados desde la misma plantilla única, sin atender a una posible evolución del usuario respecto del dispositivo, o adaptarse a la necesidad que tenga el usuario en cada momento. Este hecho de usar una única plantilla es más cómodo pero al mismo tiempo resulta en una mayor complejidad y perjudica un tanto su manejo. El Espiropentagrama, por el contrario, está contemplado como una base sobre la que cada uno pueda confeccionar las plantillas que necesite en función de sus conocimientos y de sus intereses. Incluso, en definitiva, podríamos decir que el Espiropentagrama tiene como objetivo abandonar el plano físico y quedar asimilado en el nivel intelectual del sujeto, para que así pueda ser utilizado subliminalmente, sin requerir

56 tener el objeto en sí.

CAPÍTULO 4. EL ESPIROPENTAGRAMA

Capítulo 5 Representaciones poligonales de las sonoridades El uso de las representaciones poligonales de conjuntos de sonidos, como los acordes, nos va a aportar un acercamiento y comprensión mucho más profundos de sus propiedades y características, dado que los polígonos a que vamos a adscribir cada acorde no sólo comparten la mayoría de ellas, sino que van a hacerlas aún más patentes con su morfología. Asimismo, será más sencillo entender aspectos complejos de los conjuntos sonoros con que habitualmente trabaja la música occidental, al asimilarlos a la problemática de la geometría más básica con la que todos, desde niños, estamos más familiarizados. El aspecto básico elemental que fundamenta esta representación geométrica de los acordes, es la proporcionalidad que existe entre las distancias que se dan a nivel acústico y las que se pueden observar al proyectarlas como cuerdas1 -que serán los futuros lados de los polígonosde una circunferencia en un espacio bidimensional. Para ejemplificar este hecho, analicemos el ejemplo del acorde perfecto menor sobre el Espiropentagrama (podemos ver claramente como el segmento que correspondería con el intervalo No sería injusto atribuir gran mérito de la popularidad que este tipo de representaciones tienen en la actualidad a los trabajos de David Rappaport (Rappaport, July 31 - August 3 2005)

5.1.

Consideraciones preliminares de las figuras

En este apartado queremos reflexionar hacia ciertos elementos que van a ayudar a entender mejor qué hace que las figuras sirvan como medio icónico para una observación más rápida de las posibilidades de un conjunto de sonidos (escala, acorde, etc.) cualesquiera. Entiéndase la acepción propia del campo de la Geometría que recoge el Diccionario de la RAE de esta manera: Segmento de recta entre dos puntos de un arco. 1

57

58

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

5.1.1.

El diámetro: el tritono

Figura 5.1.1: El tritono representado como un diámetro Cuando un conjunto de sonidos presenta dos o más pares de notas en el lado opuesto de la circunferencia2 , o lo que es lo mismo, uno o más pares de puntos que permiten trazar diámetros, podremos deducir que un conjunto cualesquiera de sonidos, representados en el Espiropentagrama, tiene tantos tritonos como diámetros posibles pueden trazarse en la circunferencia imaginaria en la que están representados. De esto también se puede deducir, aplicando conocimientos básicos de geometría, que a cada vez que observemos la aparición de uno o varios ángulos cuya suma o valor, sea de 180º, estaremos ante la existencia de un tritono. En tanto en cuanto, el tritono es una de las marcas principales que definen la tonalidad, desempeñando un papel especial dentro de los acordes con Para hallar un diámetro podría usarse cualquiera de las tres descritas en el apartado 4 en la página 43, pero se observará mejor en la interior, que tiene las marcas de referencia y representa en la misma circunferencia los sonidos, sin atender a las diferencias enarmónicas, que sí contemplan las otras dos y que podrían llevar a confusión. 2

5.1. CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE LAS FIGURAS

59

función de dominante, cuando aparece un tritono podríamos deducir, algo osadamente quizá, pero cierto, que cualquier acorde que cuente con un tritono puede tener función de dominante y por tanto, servir para determinar una tonalidad. Si además atendemos a las posibilidades enarmónicas, entonces podríamos añadir que, dado que cualquiera de los sonidos que se haya a la derecha (en sentido de las agujas del reloj) de los extremos del diámetro, puede ser la tónica de una nueva tonalidad, con lo que al mismo tiempo hablaríamos de dos y hasta cuatro tonalidades posibles, cada vez que aparece un tritono o, lo que es lo mismo, su representación como diámetro en el Espiropentagrama.

5.1.2.

Un cuadrante: la tercera menor

Figura 5.1.2: La tercera menor como un lado del cuadrado Este intervalo puede reconocerse también muy fácilmente en el Espiropentagrama porque tiene la forma de una cuerda, geométricamente hablando, que se corta en dos puntos de la circunferencia con una separación de un ángulo de 90º, o sea, tal y como si fuera un lado

60

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

de un cuadrado que quedara inscrito dentro de una circunferencia. De esta manera, es fácil entender que un acorde disminuido contará con dos lados del cuadrado y un acorde de séptima disminuida no será otra cosa que un cuadrado exacto (véase fig. 5.4.13 en la página 95).

5.1.3.

Los ejes de simetría: propiedades, inversión y transposición limitada

En primer lugar hemos de distinguir que, según su situación respecto de un polígono cualquiera, hay tres tipos posibles de ejes de simetría: a) el que no pasa por ninguno de los vértices de la figura; b) el que pasa por uno de los vértices de la figura; y c) el que pasa por dos de los vértices de la figura. Si reflexionamos un poco sobre estas tres posibilidades de los ejes de simetría, podemos concluir que los tipos a) y c) sólo pueden aparecer en los polígonos con un número de lados y vértices par, mientras el tipo b) sólo puede aparecer en polígonos con un número de vértices y lados impar. Las dos cuestiones que se van a tratar en este apartado son de pleno interés para la observación de las propiedades que se infieren -también con ayuda de sus representaciones poligonalesdel estudio de los modos de transposición limitada de Olivier Messiaen, estudiados en el apartado 5.2.1 en la página 74. 5.1.3.1.

Propiedades derivadas de la simetría

El identificar los ejes de simetría de una figura poligonal, representante de un grupo de sonidos cualquiera, va a ser de extrema utilidad dado que nos va a proporcionar dos datos con respecto a dicha agrupación: el número de maneras diferentes que puede ordenarse ese grupo, que llamaremos ’subgrupos’ (ejemplo: con las siete notas diatónicas: do, re, mi, fa, sol, la y si, se dan siete maneras diferentes -los siete modos- de ordenarse el grupo); y el número de veces que una determinada manera de ordenarse -de dicho grupo- va a aparecer -partiendo de diferentes sonidos-, que llamaremos ’versiones’ de esos subgrupos (ejemplo: un acorde de séptima disminuida tiene una única manera de ordenarse que, partiendo cada vez de uno de sus sonidos, va a aparecer cuatro veces). Estos datos los vamos a obtener en función de estas dos relaciones con el número de ejes de simetría, respectivamente: sonidos ejesdesimetr´ıa

= nº subgrupos diferentes

5.1. CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE LAS FIGURAS

61

nº ejes de simetría = versiones de cada subgrupo Para que quede más claro este apartado, llevaremos a la práctica estas dos afirmaciones trabajando con un grupo de cuatro sonidos con unas peculiares manifestaciones de simetría, el acorde de Dominante con séptima con la quinta rebajada, que en segunda inversión llamaríamos sexta aumentada Francesa (acorde estudiado en el apartado 5.4.3.2 en la página 98), cuya representación responde a la forma de un rectángulo. Si buscamos los ejes de simetría de este polígono, veremos que son dos (cf. fig. 5.1.3)

Figura 5.1.3: Representación del acorde de sexta aumentada Francesa con sus ejes de simetría Así pues, nuestros resultados observando este acorde serían: Dividiendo sus cuatro sonidos entre sus dos ejes de simetría, obtenemos que habría dos maneras de ordenar diferentes (lógicamente, una empezando desde un lado pequeño y otra desde un lado grande) que corresponderían con dos maneras de interpretar este grupo de sonidos: como un acorde de Séptima de Dominante con la quinta rebajada o como un acorde de séptima de sensible con la tercera elevada. Dado que tiene dos ejes de simetría, cada uno de estas dos posibles maneras de ordenar los sonidos, aparecerá dos veces; esto es, hay dos acordes de Dominante con séptima con la quinta rebajada y dos de séptima de sensible con la tercera elevada, de cuatro tonalidades diferentes. Creo que es innecesario señalar lo ventajoso que resulta el poder deducir con tanta rapidez, las propiedades enarmónicas de un grupo de sonidos, especialmente con fines modulatorios, y cómo, una vez aprendido este sencillo método, se pueden obtener resultados con mucha mayor brevedad que si lo hubiésemos intentado simplemente atendiendo a las notas constitutivas del acorde. Comparativamente, por otra parte, el conocer el número de ejes de simetría es una pista importante para comparar superficies de polígonos dado que podemos afirmar sin dudarlo que, con dos conjuntos con igual número de sonidos, tendrá mayor área el que posea mayor número de ejes de simetría. El valorar el área de una representación poligonal tendrá cierta consecuencia en su grado de consonancia que trataremos con detenimiento más adelante, en el apartado 5.1.4 en la página 64.

62

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

5.1.3.2.

La inversión

Todo eje de simetría que aparezca en una figura poligonal cualesquiera, como resultado de la representación de un conjunto de sonidos en el Espiropentagrama, va a implicar la posibilidad de invertir el sentido de lectura (como las agujas del reloj o a la inversa) de los sonidos implicados -lo cual a nivel musical respondería a la posibilidad de leer del mismo modo de forma ascendente que descendente-, siempre que se lea desde cualquiera de los dos puntos de intersección de cualquier eje de simetría con la figura poligonal que habíamos obtenido hasta dar una vuelta completa llegando otra vez al punto de intersección de partida. Es decir, desde un punto de intersección de un eje de simetría con la figura, hasta este mismo punto, podemos leer hacia la derecha o hacia la izquierda, que encontraremos el mismo orden de intervalos, o sea, igual secuencia en sentido ascendente que en el descendente, y consecuentemente, sin que cambie ninguno de los sonidos que participan del mismo. Sería una especie de conjunto de sonidos con palíndromo.

Para ilustrar nuestras palabras vamos a tomar una figura importante de nuestra cultura musical: las siete notas diatónicas. Este conjunto está tratado, en lo que respecta a su representación y cualidades, en el apartado 5.3.1 en la página 81. Si observamos la fig. 5.1.4 de abajo, podemos comprobar cómo el heptágono que representa la escala diatónica posee un único eje de simetría. Sin embargo, esto le va a posibilitar ser invertible en un orden ascendente o descendente desde dos puntos: el sonido re, y entre el sonido sol y la -ya que está entre los dos-. Esto no es otra cosa que la igualdad de intervalos en un sentido que en otro desde estos puntos, o sea: re-mi-fa-sol-la-si-do-re tiene los mismos intervalos (2ª Mayor, 2ª menor, 2ª Mayor, 2ª Mayor, 2ª Mayor, 2ª menor, 2ª Mayor) pero en sentido ascendente en lugar de descendente que re-do-si-la-sol-fa-mi-re; del mismo modo que sucede con la-si-do-re-mi-fa-sol3 (2ª Mayor, 2ª menor, 2ª Mayor, 2ª Mayor, 2ª menor, 2ª Mayor) y sol-fa-mi-re-do-si-la.

No alcanza la octava, como en el caso anterior de re, porque el punto de intersección del heptágono con el eje de simetría está entre el sol y el la, por eso, tomará una de estas notas como punto de partida pero no podrá llegar hasta esta nota de partida. 3

5.1. CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE LAS FIGURAS

63

Figura 5.1.4: Heptágono diatónico con eje de simetría 5.1.3.3.

La transposición limitada

Igualmente, se puede conocer cuántas veces se puede disponer un conjunto de sonidos sobre las doce alturas del sistema temperado, sin que éste se repita4 . Para ello, basta con dividir el número de alturas posibles del sistema temperado, o sea, doce, entre el número de ejes de simetría que posea el conjunto de sonidos con el que se está trabajando. Es decir, el número de ocasiones que un conjunto de sonidos puede transportarse sin que se repitan sus sonidos integrantes, responde a esta igualdad: 12 ejes de simetria

= transposiciones posibles

Veámoslo con un ejemplo, si tomamos el acorde tríada aumentado5 (cf. figura 5.1.5 adjunta) podemos observar con facilidad que tiene tres ejes de simetría; de este modo, aplicando la En este sentido, son especialmente notables los conocidos modos de transposición limitada de Messiaen, modos que pueden transportarse -sin repetir los sonidos que en ellos participan-, sólo un número contado de ocasiones. Se tratará con detenimiento de ellos en el apartado 5.2.1 en la página 74. 5 Que se analiza con mayor exhaustividad en el apartado 5.4.1.3 en la página 86. 4

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CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

fórmula con que sintetizábamos la explicación anterior, procederíamos de la siguiente forma: 12 = 4, ergo este acorde puede transportarse sólo cuatro veces, sin que sus sonidos se repitan6 . 3

Figura 5.1.5: Tríada aumentado con sus ejes de simetría De nuevo, destaca la manera tan sencilla de conocer este dato respecto de los conjuntos de sonidos, que de una manera habitual (que podríamos asimilar con “la cuenta de la vieja”) nos llevaría una considerable mayor cantidad de tiempo. Quedan invitados a probarlo tomando como objeto cualquiera de los modos de Messiaen que se explican y se representan, en sus respectivos subapartados, desde la página 74.

5.1.4.

El área, un índice orientativo del grado de disonancia

Antes que nada, parece conveniente definir qué entendemos por disonancia; para hacerlo hemos de conectar directamente con el concepto antónimo, el de ’consonancia’. Si tomamos la definición de este último término aportada en el New Grove Dictionary, podemos leer que “Acústicamente, se trata de la vibración simpática de ondas sonoras de diferentes frecuencias relacionadas según la proporción de pequeños números enteros; psicológicamente, es una sonoridad armoniosa de un conjunto de dos o más notas, es decir, ’ausente de asperezas’, ’reposo de una tensión tonal’ o el gusto”. En consecuencia, según se desarrolla en esta misma fuente, ’disonancia’ “es por lo tanto, el antónimo de consonancia, con correspondencia a los criterios de ’aspereza’ y de ’tensión tonal’, y la dimensión consonancia-disonancia admite una gradación relativa basada en cualquiera de estos criterios. El criterio de ’aspereza’, sin embargo, implica un juicio psicoacústico, mientras la noción de ’reposo de una tensión tonal’ depende de la conexión con el ’lenguaje’ de la armonía tonal occidental. Hay un uso psicológico más amplio Concretamente las cuatro transposiciones posibles del acorde tríada aumentado corresponderían con estos cuatro grupos de sonidos: do-mi-sol# , reb -fa-la, re-fa# -la# y mib -sol-sib . Como podemos apreciar, ningún sonido se repite entre las cuatro posibilidades y, si intentamos partir de cualquier nota posterior al mib , el resultado sería un acorde enarmónico de los cuatro ya citados. 6

5.1. CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE LAS FIGURAS

65

del término para referirse a preferencias estéticas, este criterio generalmente se aplica en función de lo placentero de una sonoridad”. Por otra parte, podríamos leer qué nos dice Zamacois (1997) en su primer tomo del libro de Armonía, recogiendo las explicaciones de Pedrell: “La consonancia es una combinación de reposo que podemos llamar estática, y la disonancia, una combinación de movimiento o dinámica. La disonancia es una voz mantenida como con violencia fuera de la armonía. El oído desea que la disonancia se resuelva, esto es, que se mueva, para que vuelva a su centro, que es la armonía”; una explicación, como podemos ver, basada en criterios centrados en el ámbito psicológico. Una vez observado el concepto, podemos deducir que se trata de algo subjetivo, que ha ido variando a lo largo de la historia, así como entre las diferentes culturas musicales. Si añadimos el hecho de que no sólo los criterios para la catalogación de las sonoridades han variado, sino que también han cambiado los propios sistemas de afinación que los sustentaban, comprenderemos que es muy difícil aportar unas coordenadas estables e indiscutibles, con que describir los intervalos y su gradación de consonancia, siquiera restringiéndose a un único período de la historia y en una sola tradición cultural musical. No obstante, tras un estudio detallado, se podría deducir qué características y gradación puede atribuírsele a un determinado corpus musical; con estas conclusiones, podría elaborarse las premisas que aplicar al Espiropentagrama para utilizarlo como herramienta de ayuda con este fin. En cualquier caso, como referencia fundamental para las ideas aquí expresadas, conectando el valor del área de figuras poligonales que representen conjuntos de sonidos, con un análisis de sus cualidades, es imprescindible citar los trabajos de D. Rappaport7 , que han sido de notable influencia y han servido de punto de partida para esta parte del capítulo que nos ocupa.

5.1.5.

Aplicación a nuestro sistema tonal

5.1.5.1.

Consideraciones preliminares sobre intervalos consonantes y disonantes

En el caso que nos ocupa, la música tonal de lo que Piston llamaría “la práctica común”, y tomando las palabras de S. Seguí (1987) en su tomo I de su Teoría Musical (pp. 89-90): En la época actual es comunmente aceptada la siguiente clasificación de los intervalos armónicos en: a) consonancias perfectas o invariales (los intervalos de cuarta, quinta y octava justas); b) consonancias imperfectas o invariables (las terceras y sextas, mayores y menores); c) disonancias absolutas o diatónicas (las segundas y séptimas, mayores y menores); Es conveniente señalar que Rappaport, principalmente en un artículo de 2007) ya hizo un trabajo haciendo ver cómo las escalas diatónicas, la escala hexátona y la escala octatónica o disminuida, representadas como polígonos proyectados sobre un diagrama de reloj, tienen el mayor área posible que los grupos de 6, 7 u 8 sonidos (de entre 12), respectivamente, pueden tener. 7

66

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

d) disonancias condicionales o cromáticas, también denominadas aparentes o artificiales (las que enarmonizando alguno de los sonidos que las forman quedan convertidas en una consonancia); e) intervalos armónicos neutros, también denominados semiconsonantes o mixtos y asimismo conocidos como disonancias atractivas (la cuarta aumentada y la quinta disminuida, cuyas características no hacen aconsejable su inclusión ni entre las consonancias ni entre las disonancias8 ). Por no restringirnos a un solo autor, aunque sea bastante representativo, veamos cómo Zamacois (1997, pág. 21) lo resuelve de otro modo, si bien bastante próximo: a) Consonancias perfectas: la 8ª justa (o su reducción, el unísono), la 4ª justa (o perfecta o menor) y la 5ª justa (o perfecta o mayor); b) Consonancias imperfectas: la 3ª y la 6ª mayores y menores; c) Semiconsonancias: la 4ª aumentada (o tritono o mayor) y la 5ª disminuida (o falsa o menor); d) Disonancias absolutas: la 2ª y la 7ª mayores y menores y todos sus enarmónicos; e) Disonancias condicionales: los intervalos aumentados y disminuidos que resultan enarmónicos de un intervalo consonante. Una vez repasadas estas dos catalogaciones, evidentemente próximas, de los intervalos en consonancias y disonancias, tan vigentes al menos, dentro del canon académico de nuestro país, debemos señalar cómo, en ambos casos, el tritono queda un poco en suspenso y en una situación intermedia entre las consonancias y las disonancias; este hecho será de especial importancia en líneas posteriores. 5.1.5.2.

El parámetro inmensurable: la subjetividad de la tradición

Es difícil establecer un principio que responda a principios objetivos medibles, cuando se trata de un asunto que implica tanta subjetividad. Baste citar un caso sencillo, para hacernos reflexionar, ¿qué acorde es más disonante: el séptima de sensible o el séptima de Dominante? Es probable que la mayoría respondiera que el primero de estos dos, es más disonante; tanto es así, que las normas de la Armonía nos enseñan que se debe manejar con mucho más recelo este acorde construido sobre el séptimo grado que ese otro que se construye sobre el quinto. Sin embargo, si observamos los intervalos que los componen: Continuando las palabras de S. Seguí: Sin embargo, dado su carácter de inestabilidad, que parece exigir una resolución obligada, ha llevado a la común aceptación de considerarlos como disonancias atractivas. 8

5.1. CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE LAS FIGURAS Séptima de sensible 3ª Mayor 3ª menor 3ª menor 3ª menor

67

Séptima de Dominante 3ª menor 3ª menor 3ª menor 3ª Mayor

nos daremos cuenta de que se trata de los mismos intervalos, podríamos decir que son acordes equivalentes en cuanto a su grado de disonancia -de hecho, esto se puede apreciar con celeridad viendo las figuras 5.4.9 (en la página 91) y 5.4.7 (en la página 89) que los representan y permiten observar que no son más que un reflejo el uno del otro-. Empero, la realidad acústica es que en ningún caso se considera equivalente su nivel de disonancia, esto se debe a que el peso de la tradición y el uso que han tenido estos dos acordes a lo largo de la misma, ejerce un papel determinante en el juicio sobre los usos, las sugestiones y las normas, que estos dos acordes poseen.

5.1.5.3.

En grupos con un mismo número de sonidos

Después de haberse señalado la drástica influencia de la tradición cultural, con el ejemplo del apartado anterior, sobre dos acordes con el mismo número de sonidos, parece difícil argumentar cómo va a racionalizarse o enunciarse cualquier tipo de norma que pueda ser válida. No obstante, nos fijaremos en un hecho sencillo y éste es que, en su proyección sobre el Espiropentagrama, los sonidos que forman intervalos disonantes (las segundas serían iguales que las séptimas9 ) se encuentran muy próximos entre sí, por lo tanto, se representan con las cuerdas de menor longitud que pueden aparecer, de forma que, obviamente, darán lugar a polígonos de menor superficie. De este modo, podríamos afirmar que, siendo la representación de dos acordes distintos, dos polígonos cualesquiera, tendrá mayor grado de disonancia, aquel que menor superficie de los dos posea. Finalmente, aclararemos que, aunque los resultados no sean siempre acordes con las consideraciones estéticas establecidas, la apreciación de qué superficie (entre dos acordes representados por dos polígonos) es mayor10 , es bastante más sencilla e intuitiva de aplicar que lo que pueda parecer desde el papel. Pongamos por ejemplo estos dos conjuntos a) y b) de tres sonidos, sonidos que vemos en la figura 5.1.6 de a continuación. Anotemos el hecho de que en el Espiropentagrama no existe un intervalo más grande que la 4ª aumentada, ya que los intervalos mayores a este son idénticos en distancia a los resultantes de su inversión, o sea, una 5ª Justa es igual que una 4ª Justa. 10 Ofrecíamos una ayuda a este respecto, que parece conveniente recordar aquí, en el apartado sobre las propiedades derivadas de la simetría, en la página 60; ésta era que, a igualdad de número de sonidos, tendrá mayor superficie el polígono que tenga mayor número de ejes de simetría. 9

68

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

a)

b) Figura 5.1.6: Comparación de superficies

No parece difícil afirmar que el conjunto a) que vemos a la izquierda, es más pequeño y, por tanto, según lo dicho, más disonante que el b) que vemos a la derecha. De hecho, observando los lados de estos dos triángulos con detenimiento, podríamos incluso distinguir cómo dos de ellos son iguales (concretamente el que les sirve de base y el que aparece a la derecha) y que sólo difieren en el lado de la izquierda, que en el caso de a) debe representar un intervalo claramente menor. Bien, todas estas observaciones son correctas ya que en el caso de a), los intervalos constituyentes eran: 2ª Mayor, 3ª menor y 4ª justa (por ejemplo los sonidos do, re y fa), mientras b) tenía los siguientes: 3ª menor, 3ª Mayor y 4ª Justa (en sonidos sería un acorde Mayor, por ejemplo sib , re y fa). Hacemos ver pues, que no se trata de un complicado proceso matemático en el que haya realizar medicción alguna o aplicar, lápiz en mano, las diversas fórmulas para el cálculo de área correspondientes al polígono concreto con que se esté trabajando. No obstante, para aquellos que busquen un mayor grado de precisión en casos complicados de valorar a simple vista, se puede utilizar el coeficiente de consonancia, según queda explicado más adelante, en el punto 5.1.5.5. Para aclarar aún más la forma de aplicar esta orientativa inferencia que posibilita el Espiropentagrama, veámoslo con otro ejemplo con acordes cuatríadas, tomemos los dos acordes de novena de dominante, el de novena Mayor y el de novena menor, en su representación sobre el Espiropentagrama con la forma de dos pentágonos, como vemos en la figura 5.1.7.

Figura 5.1.7: Novenas de Dominante Mayor y menor

5.1. CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE LAS FIGURAS

69

A simple vista parece evidente que la novena de Dominante Mayor, tiene mayor superficie que la novena menor; si no, fijémonos en la parte del polígono que da lugar a la diferencia, el b triángulo descrito por un lado por las notas: sol-la-si, y por el otro: sol-la -si. La idea y utilidad de la observación que hacemos en este apartado esta, que es fácil -en la inmensa mayoría de casos y a pesar de lo que podría suponerse- distinguir qué figura tiene mayor área. Así pues, la conclusión sería que el acorde más disonante, según las premisas que hemos enunciado, es el de novena de Dominante menor. 5.1.5.4.

En grupos con diferente número de sonidos

Es fácil inferir que, por lo general, un polígono que posea mayor número de lados será consecuentemente más grande; sin embargo, no parece coherente deducir en consecuencia que, a mayor número de notas exista mayor grado de consonancia. De hecho, sería precisamente lo contrario, lo que adoptaríamos como norma básica, esto es, ante dos acordes con diferente número de sonidos, aquel que posea mayor número de sonidos será el que se considerará más disonante. Esto, obviamente, no atiende a infinidad de casos particulares y trata simplemente de resolver la cuestión en concordancia a la lógica de la inmensa mayoría de comparaciones posibles. Si se busca un resultado más objetivo y cuantificable se puede hallar el coeficiente de consonancia -a través del método que se explica en el próximo apartado- de las dos figuras y, entonces sí, extraer consecuencias de su comparación. 5.1.5.5.

El coeficiente de consonancia

El coeficiente de consonancia sería un índice numérico que aportaría una cierta objetividad a la hora de comparar acordes. Para hallarlo el proceso será sencillo, una vez calculada la superficie11 de las figuras estudiadas, se divide el resultado obtenido para cada una de ellas por el producto del cuadrado del número de lados que posee y el área del círculo en el que se inscribe dicha figura. Es decir, el cálculo del coeficiente de disonancia respondería a la siguiente fórmula: coeficiente de consonancia =

superf icie f igura superf icie c´ırculo (nº lados)2

Así pues, si por ejemplo tenemos un acorde tríada perfecto Mayor (exactamente igual en cuanto a superficie que el perfecto menor) con un área determinada - en este ejemplo de 18234-, dividiríamos esta cantidad entre el cuadrado de sus lados -o sea nueve- multiplicado por el área del círculo -51806 en este caso-, y obtendríamos como resultado 0,039107439. Si quisiéramos Para calcular la superficie de polígonos, además de los métodos de cálculo tradicionales ofrecidos por la geometría, existe a día de hoy, diversos programas de software -normalmente pluggins de programas de edición de imagen o de diseño- que permiten su cálculo con exactitud. Para los cálculos ofrecidos en este apartado hemos utilizado una de estas herramientas informáticas, de forma que los números que aparecen se refieren al número de píxeles que contenía cada figura. 11

70

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

saber si este acorde es, proporcionalmente, más o menos disonante que el de séptima de dominante, por ejemplo, haríamos la misma operación con la figura de dicho acorde y obtendríamos un resultado de 0,036273549. De este modo, dado que el coeficiente de consonancia del tríada perfecto mayor es una cantidad más grande, podemos concluir que se trata de un acorde más consonante, teniendo en cuenta la proporcionalidad de que se trata de sonoridades (polígonos) con diferente cantidad de sonidos (vértices o lados). En el cuadro 5.1 podemos ver una tabla ordenada en función a su coeficiente de consonancia (arriba los más consonantes, abajo los más disonantes), de los acordes tríadas y cuatríadas más habituales en la música tonal de nuestra cultura occidental. Acorde

Figura Coeficiente de consonancia

Tríada aumentado

0,044130453

Séptima disminuida

0,039413871

Perfecto Mayor

0,039107439

Perfecto menor

0,039107439

Perfecto menor con 7ª menor

0,036516041

Perfecto Mayor con 7ª menor

0,036273549

Disminuido con 7ª menor

0,036273549

Tríada disminuido

0,033921425

Perfecto menor con 7ª Mayor

0,031172789

Aumentado con 7ª Mayor

0,031172789

Perfecto Mayor con 7ª Mayor

0,030883247

Cuadro 5.1: Coeficiente de consonancia de tríadas y cuatríadas

5.1.5.6.

Excepciones notorias

Dentro de las sonoridades habituales de las piezas tonales, encontramos dos casos que, siendo casos muy particulares, se oponen, como consecuencia estética de nuestra tradición, a la norma básica dada en este apartado (a mayor área, mayor consonancia)12 . Se trataría de los dos acordes de mayor superficie de entre los de tres y cuatro sonidos y que, además, según el cuadro comparativo de coeficientes de consonancia recogido en el apartado anterior, serían los más consonantes de todos. Hablamos, evidentemente, del acorde tríada de quinta aumentada En cualquier caso, creo que sus circunstancias resultan igualmente particulares dentro del ámbito de la normativa tradicional, puesto que, estrictamente hablando, aunque ambos se traten como acordes disonantes, las únicas disonancias que en ellos aparecen son, en terminología de Zamacois, disonancias condicionales, es decir, que son equivalentes a intervalos consonantes. 12

5.1. CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE LAS FIGURAS

71

y el acorde de séptima disminuida. Ambos se tratan específicamente en los apartados 5.4.1.3 (página 86) y 5.4.2.7 (página 95), respectivamente. Como argumentación en defensa de la clasificación que el coeficiente de consonancia les atribuye, aparte del cómodo argumento de que su condición de disonantes deriva del peso de la tradición, tenemos el hecho de que ninguno de los dos acordes, en realidad, posee ningún intervalo disonante, todos sus intervalos constituyentes son consonantes o semiconsonantes. En el séptima disminuida tenemos tres terceras menores, obviamente consonantes, dos quintas disminuidas (que según la taxonomía ofrecida en el punto 5.1.5.1 en la página 65, no serían más que intervalos semiconsonantes, pero nunca disonantes) y una séptima disminuida, completamente enarmónica de una sexta mayor (equivalente a otra tercera menor), también consonante; por otro lado, en el tríada de quinta aumentada tenemos dos terceras mayores, consideradas consonancias, y una quinta aumentada que una enarmonía incuestionable de una sexta menor (equivalente a otra tercera mayor), consecuentemente también consonante. De esta forma, su regularidad, su simetría y su ausencia de disonancias, pueden considerarse un punto a favor para respetar su posición en el ranking de consonancia; al igual que esperamos pueda respetarse, aunque no deje de ser discutible, la observación que aquí se propone como índice orientativo: que el área de las representaciones poligonales -y en consecuencia lo que hemos denominado el coeficiente de consonancia- puede servir para valorar su grado de consonancia como conjunto de sonidos y servir para compararlo con otros. 5.1.5.7.

La propuesta de Hindemith

Tratando, como lo hemos hecho en este apartado, sobre una manera de clasificar los acordes en función de su grado de consonancia y de disonancia, parece que sería un lamentable olvido no recoger, y de alguna forma comparar, en estas líneas, la interesante aportación que hiciera a este respecto, el compositor Paul Hindemith13 en su volumen I de Unterweisung im Tonsatz (1937-70). En cualquier caso, parece conveniente recordar que las consideraciones que realizó este destacado compositor alemán, fueron utilizando una afinación derivada de la serie armónica y no del sistema de temperamento igual, como hacemos en nuestro caso. Su clasificación de los acordes dependía directamente de su catalogación de los intervalos -que situaba el tritono en una categoría aparte, ni consonante ni disonante-, de forma que los dividía en dos tipos principales: las combinaciones sin tritono y las combinaciones con tritono. Cada una de estas clases se subdividía a su vez en tres categorías: acordes sin segundas ni séptimas, acordes con segundas y séptimas, y acordes indeterminados14 . 13 14

Para esta subsección, ha sido de especial interés el artículo, citado en la bibliografía, de Ortmann (1940). Este último grupo incluye entre otros los tríadas normalmente llamados aumentado y disminuido.

72

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

Básicamente, según nos dice este autor, la energía armónica existe en función del desplazamiento del peso armónico y de las relaciones entre las clases de acordes que acabamos de enunciar. Así pues, los acordes con segundas, séptimas y tritonos, tienen una mayor tendencia hacia la progresión armónica que aquéllos también con segundas y séptimas, pero sin tritonos. Estos últimos, por su parte, tienen una mayor energía armónica que aquellos sin segundas ni séptimas. Como podemos apreciar fácilmente, esta clasificación difiere de la forma acostumbrada en tres aspectos principales: los acordes no se construyen obligatoriamente por terceras, la idea usual de inversión como factor trascendente no resulta suficientemente convincente y el significado múltiple (cambio de notación, simplemente) de una misma combinación de sonidos no se contempla. No creo que sea necesario comentar que, así como hace Hindemith, sucede también en la propuesta que se ofrecía por nuestra parte, en los apartados anteriores.

5.2.

Las divisiones simétricas regulares de la circunferencia

Si tenemos en cuenta que nuestro sistema de afinación temperado divide la octava en doce sectores iguales, comprenderíamos que las posibles divisiones regulares, en definitiva, de la octava, son las mismas que los divisores posibles del número 12; o sea: 1, 2, 3, 4, 6 y el propio 12. Cada uno de estos factores va a dar lugar a una escala o acorde típico, así la división de cada sonido da lugar a la escala dodecafónica de 12 sonidos (podemos verla representada en la figura 5.2.2 en la página 74), cada 2 da lugar a las dos escalas hexátonas o de tonos enteros 15 (así se ve en la figura 5.2.1 en la página siguiente), cada 3 da lugar a la escala trifónica 16 o a los tres acordes disminuidos conocidos (véase figura 5.4.13 en la página 95), cada 4 obtendríamos la escala tetrafónica o los cuatro acordes aumentados posibles (podemos verlos en la figura 5.4.4 en la página 86), cada 6 tendríamos grupos de dos notas que forman la escala bifónica o el tritono (como se ve en la figura 5.1.1 en la página 58) y, por último, podríamos considerar de cada doce sonidos, cada sonido aislado, o sea, sólo una nota, como veíamos en las figuras 4.0.4 (pág. 46) y 4.0.5 (pág. 47) que mostraban los 12 sonidos de nuestro sistema temperado (incluyendo sus enarmonías más frecuentes).

Que se correspondería con el modo 1 de transposiciones limitadas de Messiaen. La nomenclatura de estas escalas ha sido extraída de la página 9 de la publicación de M. A. Mateu (2006), citada en la bibliografía. 15 16

5.2. LAS DIVISIONES SIMÉTRICAS REGULARES DE LA CIRCUNFERENCIA

Figura 5.2.1: La escala hexátona

73

74

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

Figura 5.2.2: La escala dodecafónica

Y ahora pasamos a estudiar, como caso especialmente notable, de divisiones simétricas de la circunferencia, los modos de transposiciones limitadas de Messiaen.

5.2.1.

Modos de transposiciones limitadas de Messiaen

Se trata de siete modos que se caracterizan por tener un número determinado de transposiciones posibles, esto es, que se pueden transportar sólo un número limitado de veces17 , puesto que tras ese número de veces se produce una repetición del mismo conjunto de sonidos, aunque tomando otra nota de comienzo. Para estudiar con detenimiento estos modos se recomienda tener presente lo que se comentó sobre los ejes de simetría en las representaciones poligonales del Espiropentagrama, en el apartado 5.1.3 en la página 60, puesto que su pertinencia y utilidad para el estudio de estas escalas sintéticas diseñadas por Messiaen son irrebatibles. 17

Ya lo veíamos en el subapartado 5.1.3.3 en la página 63 dedicado específicamente a esta cuestión.

5.2. LAS DIVISIONES SIMÉTRICAS REGULARES DE LA CIRCUNFERENCIA 5.2.1.1.

75

Modo 1 de transposición limitada de Messiaen

Coincide con la escala hexátona, que veíamos en la figura 5.2.1 en la página 73 y tiene, por lo tanto, una división regular de los sonidos y sólo dos posibles transposiciones. 5.2.1.2.

Modo 2 de transposición limitada de Messiaen

Esta escala correspondería con un conjunto de ocho sonidos que, alternadamente, se van separando uno y dos semitonos. Aparece ya en Sadko de Rimsky-Korsakov, si bien, Scriabin lo usa de forma más consciente y también aparece de forma pasajera en Ravel y Stravinsky. Tiene únicamente tres transposiciones -al igual que el acorde de séptima disminuida-.

Figura 5.2.3: Modo 2 de Messiaen 5.2.1.3.

Modo 3 de transposición limitada de Messiaen

De forma similar a como se organizaba la escala anterior, dividida en segmentos alternantes de intervalos fijos, ésta se divide con la secuencia: un tono, un semitono, un semitono, y así selecciona los nueve sonidos que la componen. Es un modo que tiene cuatro transposiciones

76

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

-como sucede con el acorde aumentado-.

Figura 5.2.4: Escala 2-1-1 de Messiaen

5.2.1.4.

Modo 4 de transposición limitada de Messiaen

También con ocho sonidos, este modo parece tener dos tetracordos claramente diferenciados, equidistantes a una tercera menor respectivamente y constituidos, cada uno, por cuatro sonidos a distancia de semitono. Tiene en total seis transposiciones.

5.2. LAS DIVISIONES SIMÉTRICAS REGULARES DE LA CIRCUNFERENCIA

77

Figura 5.2.5: Modo 4 de Messiaen

5.2.1.5.

Modo 5 de transposición limitada de Messiaen

Como si se tratara del hermano menor del modo 4, tiene la misma forma, sólo que únicamente con seis sonidos en total, pero igualmente separado en dos tricordos (con tres sonidos separados por un semitono cada uno) distantes entre sí una tercera mayor. Al igual que ocurría en el modo 4 también tiene seis transposiciones.

78

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

Figura 5.2.6: Modo 5 de Messiaen

5.2.1.6.

Modo 6 de transposición limitada de Messiaen

Este modo, también con seis transposiciones, está constituido por ocho sonidos y está muy emparentado con el modo anterior. Los dos sonidos que diferencian el modo 5 y el 6 están colocados acortando la distancia de tercera mayor que separaban los sonidos en el modo cinco, de forma que son como dos puntos intermedios entre estos dos grupos de tres sonidos -entre sí a medio tono cada uno- en el punto intermedio de la tercera mayor, o sea, a una segunda mayor de cada uno de los dos grupos.

5.2. LAS DIVISIONES SIMÉTRICAS REGULARES DE LA CIRCUNFERENCIA

79

Figura 5.2.7: Modo 6 de Messiaen

5.2.1.7.

Modo 7 de transposición limitada de Messiaen

El último de los modos de Messiaen tiene diez sonidos y viéndolo en su proyección sobre el Espiropentagrama, podemos apreciar cómo está totalmente emparentado con los modos 4 y 5, de los que parece simplemente, una ampliación en dos sonidos. Tal y como aquéllos con los que lo relacionamos, tiene únicamente seis transposiciones.

80

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

Figura 5.2.8: Modo 7 de Messiaen

5.2.2.

Otros casos

5.2.2.1.

El acorde de quinta aumentada

Se tratará más adelante, dentro del apartado de los acordes tríadas en el subpunto 5.4.1.3 en la página 86.

5.2.2.2.

El acorde de séptima disminuida

Podemos encontrarlo, en la página 95, en el subapartado 5.4.2.7.

5.2.2.3.

La sexta aumentada francesa.

Véase el subapartado 5.4.3.2 en la página 98.

5.3. LAS DIVISIONES SIMÉTRICAS IRREGULARES DE LA CIRCUNFERENCIA

5.3.

81

Las divisiones simétricas irregulares de la circunferencia

Aquí incluiríamos otros grupos de sonidos que manifiestan simetría a la hora de dividir la octava musical, pero no entre cada uno de sus elementos. Una parte importante de estas manifestaciones sonoras son construcciones derivadas de la especulación del siglo XX, aunque también podemos encontrar casos que existen con carta de naturaleza, dentro de la tonalidad, desde mucho antes.

5.3.1.

El heptágono diatónico

Como caso principal de divisiones regulares no periódicas tendríamos los diferentes tipos de escalas diatónicas18 , entre las que se cuentan las escalas mayor y menor, así como todas las escalas de los modos medievales; todas ellas formadas en base a diferentes rotaciones de una formación cuya representación correspondería con un heptágono irregular, pero que cuenta sin embargo, con un eje de simetría, como podemos ver más abajo, en la figura 5.3.1.

Figura 5.3.1: El heptágono diatónico

Si estudiamos esta figura nos daremos cuenta de que, sólo con observarla ya podemos deducir muchas de las características que van compartir los diferentes modos y escalas diatónicas; todas poseen sólo dos semitonos (dos puntos contiguos en el Espiropentagrama), un único tritono (sólo podemos trazar un diámetro con los vértices que forman este heptágono), cinco sonidos separados a distancia de un tono (los lados grandes del heptágono), cuatro terceras menores (los lados que se formatían con estos vértices de un posible cuadrado imaginario inscrito en la circunferencia del Espiropentagrama), etc. (véase el cuadro 5.2 en la página siguiente). Recordemos que, según nos dice el New Grove Dictionary en su voz “Scale”, son escalas diatónicas aquellas que contienen un conjunto de sonidos dentro de una octava, con la siguiente determinación de intervalos: cinco tonos y dos semitonos. 18

82

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

Modo Dórico

Escala Mayor o modo Jónico

Modo Frigio

Modo Lidio

Modo Mixolidio

Escala menor o modo Eólico

Modo Locrio

Cuadro 5.2: Los siete modos diatónicos

5.4. DIVISIONES TRADICIONALES DE LA CIRCUNFERENCIA EN CONJUNTOS DE TRES Y C

5.3.2.

Escalas sintéticas

Son las escalas que no proceden de ninguna tradición, ni folklórica ni académica, sino que aparecen como producto de la creación de escuelas o de compositores concretos, especialmente, del s. XX. Es incuestionable que también para la observación y estudio de cualquier escala inventada, a la que normalmente no estaremos acostumbrados, será de una gran utilidad el Espiropentagrama, dado que su proyección servirá para percibir con mayor claridad sus propiedades y características19 .

5.4.

Divisiones tradicionales de la circunferencia en conjuntos de tres y cuatro sonidos

En este punto estudiaremos los conjuntos de tres y cuatro sonidos; con esto nos referimos principalmente a su uso simultáneo, es decir, a los acordes tríadas y cuatríadas.

5.4.1.

Acordes tríadas

Dentro de los acordes tríadas vamos a tratar los cuatro más importantes: a) el perfecto mayor, b) el perfecto menor, c) el de 5ª aumentada y d) el de 5ª disminuida (puede verse la respectiva representación de cada uno en la figura 5.4.1).

a)

b)

c)

d)

Figura 5.4.1: Principales acordes tríadas

De hecho, además de utilizar una proyección de la escala en el Espiropentagrama, sería altamente recomendable utilizar la simbología de las cabezas de nota que aplicábamos en los árboles ya que esto permitirá sintetizar además sus jerarquías y tendencias melódicas 19

84 5.4.1.1.

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES El acorde perfecto mayor

Figura 5.4.2: El acorde Perfecto Mayor

El acorde perfecto mayor se representa sobre el círculo cromático (o el Espiropentagrama) como un triángulo acutángulo20 escaleno21 ; sus lados tienen una proporción equivalente a los semitonos que componen sus intervalos, es decir, 4:3:5 (así podemos verlo en la figura 5.4.2 de arriba).

Según la configuración de sus ángulos, el Diccionario de la RAE nos dice que un triángulo acutángulo es el que tiene los tres ángulos agudos. 21 Según nos define el Diccionario de la RAE, un triángulo escaleno es el que tiene los tres lados desiguales. 20

5.4. DIVISIONES TRADICIONALES DE LA CIRCUNFERENCIA EN CONJUNTOS DE TRES Y C 5.4.1.2.

El acorde perfecto menor

Figura 5.4.3: El acorde perfecto menor

El acorde perfecto menor responde a una representación más que muy similar, idéntica, al triángulo que servía para estos fines en el apartado anterior, del acorde perfecto mayor. La diferencia estribaría en que se trata de una reflexión del polígono, o sea, que estamos ante un ejemplo de axisimetría o simetría axial22 . De este modo podemos afirmar que las propiedades de ambos polígonos son las mismas, lo cual sobreentiende la proporción que guardan sus lados, derivada de sus intervalos -musicalmente hablando- constituyentes. Llegados a este punto, a colación de la aximetría observada entre los acordes perfecto mayor y perfecto menor, parece muy conveniente recordar las teorías existentes desde Zarlino (Zarlino, 1558) (vol. III, cap. 31), que justificaban la consonancia del acorde menor a través de la división armónica, y entendían que este acorde nacía de los armónicos negativos. La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar como referencia una línea que se conoce con el nombre de eje de simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómeno que en una imagen reflejada en el espejo (Girbau Badó, 1993). 22

86 5.4.1.3.

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES El acorde de 5ª aumentada

Figura 5.4.4: El acorde de 5ª aumentada El acorde de 5ª aumentada está formado por dos terceras mayores, lo que resulta una 5ª aumentada (que enarmónicamente sería igual a una 6ª menor y, por tanto, al invertirla resultaría ser otra tercera mayor), así que sus proporciones son 4:4:4 y tiene como representación poligonal una de las figuras más destacadas: el triángulo equilátero. Su absoluta simetría y la igualdad de sus lados le conceden un importante e inigualable valor entre los acordes tríadas y lo emparentan, por sus propiedades, con un cuatríada: el acorde de séptima disminuida (véase el apartado 5.4.2.7 en la página 95). Sólo posee cuatro versiones posibles23 y va a ser de extrema utilidad dentro del campo de la modulación. Este acorde tiene su manifestación más clásica en el III< de las escalas menores melódica o armónica, si bien también puede aparecer como resultado de la alteración en más de la 5ª de un acorde mayor (como el I+5 o el IV+5 de un modo Mayor). Como veíamos al tomarlo como ejemplo en el subapartado 5.1.3.3 en la página 63 sobre la transposición limitada, observada a partir de los ejes de simetría de las figuras. 23

5.4. DIVISIONES TRADICIONALES DE LA CIRCUNFERENCIA EN CONJUNTOS DE TRES Y C 5.4.1.4.

El acorde de 5ª disminuida

Figura 5.4.5: El acorde de 5ª disminuida

Se trata de un acorde formado por dos terceras menores, de lo que resulta la 5ª que da nombre al acorde, la 5ª disminuida (enarmónicamente igual a una 4ª aumentada o sea, un tritono), así que sus proporciones son 3:3:6 y tiene también una representación poligonal muy particular: un triángulo rectángulo24 isósceles25 . Normalmente este tríada tendrá función de D, sólo pudiendo entenderse como el VII del modo Mayor o el VII< de las escalas menores melódica o armónica. Otra posibilidad, aunque menos habitual, es que se tratara de un II del modo menor.

En palabras de la Real Academia “el que tiene recto uno de sus ángulos”. Sobre el triángulo isósceles nuestro diccionario nos dice, diferenciándolo del equilátero, que es “el que tiene iguales solamente dos ángulos y dos lados.” 24 25

88

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

5.4.2.

a)

Acordes cuatríadas

b)

c)

f)

d)

e)

g)

Figura 5.4.6: Las siete especies de cuatríadas diatónicos Respecto a los acordes diatónicos de cuatro sonidos, sabemos que podemos agruparlos en siete grupos o especies (así lo hacen autores como Chailley y Challan (1964) o Martínez-Oña (1991)) que responderían al siguiente esquema: a) 1ª especie: 3ª mayor, 3ª menor, 3ª menor, o sea, un acorde perfecto mayor con séptima menor; b) 2ª especie: 3ª menor, 3ª mayor, 3ª menor, o lo que es lo mismo, un acorde perfecto menor con séptima menor; c) 3ª especie: 3ª menor, 3ª menor, 3ª mayor, es decir, un acorde tríada disminuido con séptima menor; d) 4ª especie: 3ª mayor, 3ª menor, 3ª mayor, esto es un acorde perfecto mayor con séptima mayor; e) 5ª especie: 3ª menor, 3ª mayor, 3ª mayor, o sea, un acorde perfecto menor con séptima mayor; f) 6ª especie: 3ª mayor, 3ª mayor, 3ª menor, es decir, un acorde tríada aumentado con séptima mayor; g) 7ª especie: 3ª menor, 3ª menor, 3ª menor, o el acorde conocido también como acorde de 7ª disminuida. Como es obvio los acordes cuatríadas o tetradas, tendrán como representaciones cuadriláteros de diversos tipos, que iremos estudiando en sus respectivos subapartados, pero simplemente atendiendo a la figura 5.4.6, podemos observar cómo poseen notables muestras de simetría, bien en sí mismos -casos b), d) y g)- o bien por comparación entre sí, por ser axisimétricos (véase nota al pie 22 en la página 85) -casos a) y c), y e) y g), respectivamente-.

5.4. DIVISIONES TRADICIONALES DE LA CIRCUNFERENCIA EN CONJUNTOS DE TRES Y C 5.4.2.1.

Acordes con 7ª de 1ª especie (P. M. con 7ª menor): 7ª natural

Figura 5.4.7: El acorde Dominante con séptima

Éste es el acorde con séptima por antonomasia, el más habitual y el que más presencia tiene en la tradición armónica occidental; hablamos, evidentemente, del acorde que sonará a Dominante con séptima y por tanto, será una piedra angular de la tonalidad y su práctica común. La forma de representación de este acorde es un trapezoide irregular.

90 5.4.2.2.

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES Acordes con 7ª de 2ª especie (P. m. con 7ª menor): 7ª menor

Figura 5.4.8: El acode Perfecto menor con 7ª menor

Se trata del acorde más frecuente dentro de los diatónicos con séptima, es el que aparece sobre los grados II, III y VI de cualquier tonalidad Mayor (sus correlatos en el modo menor serían el I, IV, y V -dominante menor-).

5.4. DIVISIONES TRADICIONALES DE LA CIRCUNFERENCIA EN CONJUNTOS DE TRES Y C 5.4.2.3.

Acordes con 7ª de 3ª especie (disminuido con 7ª menor): 7ª Submenor

Figura 5.4.9: El acorde de Séptima de Sensible

Este acorde, también llamado semidisminuido -por poseer sólo una quinta disminuida, a diferencia del de séptima disminuida que posee dos-, aparece de forma más habitual, en el modo Mayor al construirse diatónicamente sobre su VII, con una clara función de Dominante. No obstante, también tiene la posibilidad de aparecer como II de un modo menor, especialmente en primera inversión.

92 5.4.2.4.

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES Acordes con 7ª de 4ª especie (P. M. con 7ª Mayor): 7ª Mayor

Figura 5.4.10: El acorde Perfecto Mayor con 7ª Mayor

De forma diatónica, este acorde sólo aparece en el I y IV del modo Mayor (III y VI del modo menor26 ) y, en la mayoría de los casos en que aparece se entenderá como un acorde con una apoyatura inferior de la octava de la fundamental, más que como una séptima propiamente.

Aunque teóricamente posible, será bastante improbable que encontremos VII natural de una escala menor dórica (que sólo elevara el sexto grado) que mostrara al mismo tiempo sobre sí, un sexto elevado; carece de la lógica que la elevación del VI y VII grados melódicos poseen dentro de la estética tonal. 26

5.4. DIVISIONES TRADICIONALES DE LA CIRCUNFERENCIA EN CONJUNTOS DE TRES Y C 5.4.2.5.

Acordes con 7ª de 5ª especie (P. m. con 7ª Mayor): 7ª sobre menor

Figura 5.4.11: El acorde perfecto menor con 7ª Mayor

Su único exponente sería el I de un modo menor melódico o armónico. De forma similar a como comentábamos en el caso anterior, la 4ª especie, en la mayoría de ocasiones se entendería la séptima mas como una apoyatura inferior de la octava de la fundamental, que como una séptima en sí.

94 5.4.2.6.

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES Acordes con 7ª de 6ª especie (aumentado con 7ª Mayor): 7ª sobre aumentado

Figura 5.4.12: El acorde aumentado con 7ª Mayor

Se elabora sobre el III del modo menor melódico o armónico y al igual que en los dos casos anteriores, relativos a acordes con séptima Mayor, repetiríamos que será más probablemente entendida como una apoyatura inferior que como una disonancia de séptima propia del acorde.

5.4. DIVISIONES TRADICIONALES DE LA CIRCUNFERENCIA EN CONJUNTOS DE TRES Y C 5.4.2.7.

Acordes con 7ª de 7ª especie: 7ª disminuida

Figura 5.4.13: El acorde de séptima disminuida Es el acorde más especial de los acordes de séptima ya que está constituido por intervalos iguales de 3ª menor entre sus notas y demuestra unas condiciones de simetría que ningún otro acorde podría tener (recordemos lo que veíamos en sobre las propiedades derivadas de la simetría que veíamos en el apartado 5.1.3.1 en la página 60). Estas posibilidades de enarmonización, valoradas y empleadas con numerosos ejemplos, desde los comienzos de la tonalidad, permiten que este acorde sea el instrumento más sencillo y habitual, para la modulación enarmónica entre tonalidades, incluso tonalidades muy lejanas. Si lo estudiamos con detenimiento observaremos que incluye dos diámetros completos de la circunferencia en que está inscrito (lo que supone dos intervalos de tritono o de 5ª disminuida), de forma que cualquiera de sus notas puede ejercer el papel de sensible y, por lo tanto, esto le permitirá ser interpretado como otra versión de sí mismo, para cuatro Tónicas diferentes, que corresponderían con la nota adyacente a cualquiera de sus vértices. Añadiremos además el hecho de que estas cuatro tónicas pueden ser tanto de un modo Mayor como de un modo

96

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

menor, con lo que sirve para modular entre ocho tonalidades diferentes, conservando siempre su identidad y sin que resulte abrupto, en modo alguno, su uso.

5.4.3.

Los acordes de sexta aumentada

a)

b)

c)

d)

Figura 5.4.14: Los acordes de sexta aumentada

Los acordes de sexta aumentada son acordes alterados27 , que normalmente aparecen sobre el VI prestado en el modo mayor y el natural en el modo menor, y que tiene función de Dominante de la Dominante (lo que sería una variante de función de subdominante, por eso las marcas de presencia que aparecen en el Espiropentagrama son de ese tipo). Su intervalo característico, la sexta aumentada, que les da nombre, aparece como consecuencia de tener alterada en menos la nota que aparece en el bajo; así, con respecto a la sensible de la dominante se produce el citado intervalo aumentado. Cuatro son los más utilizados (cuyas representaciones poligonales coincidirán con las mostradas en la fig. 5.4.14) y son los siguientes: a) la sexta aumentada italiana; b) la sexta aumentada francesa; c) la sexta aumentada alemana; y d) la sexta aumentada suiza (o de 4ª doble aumentada). Pasamos a continuación, a describir sus características y propiedades individualmente, en las siguientes secciones. Tomando las palabras de Artaza Fano (2002), diríamos que: “Un acorde alterado es cualquier acorde afectado por una alteración, lo que significa que una de sus notas no corresponde a su forma original establecida por la armadura. Existen tres posibles razones para que estas alteraciones se produzcan: - Deficiencia del sistema de armadura, que no permite la intercambiabilidad de modos. Por eso no se consideran alterados los acordes que alteren de forma modal el III, VI ó VII grados. - El papel de las dominantes secundarias. Que no se consideran alterados por pertenecer, en realidad, a otro tono (de ahí el nombre de Acordes de préstamo) y que son las más habituales. [Y el 6ª Napolitana] - Las alteraciones que aparecen cuando la presencia de la nota o notas cromáticas da lugar a que se constituya un acorde distinto de todos aquellos que pueden formarse con las notas de las escalas básicas. Que sí son verdaderamente alterados. Podemos pues definir a los acordes alterados como aquellos que contienen una o más notas cromáticas.” 27

5.4. DIVISIONES TRADICIONALES DE LA CIRCUNFERENCIA EN CONJUNTOS DE TRES Y C 5.4.3.1.

La sexta aumentada italiana

Figura 5.4.15: El acorde de sexta aumentada italiana (DDi de Sol M/m)

Se trata del único acorde tríada de los cuatro, con lo que es el menos disonante de ellos. Su forma, tomada de manera sintética, correspondería a lo que sería un acorde disminuido sobre la sensible de la Dominante, con la tercera rebajada y en primera inversión. Su resolución habitual es sobre el acorde de Dominante o la tónica en sexta y cuarta cadencial. En cuanto a su disposición, dado que sólo tiene tres notas, aún siendo todas tendenciales, lo normal sería duplicar la quinta (en pro de no duplicar la sensible o la nota alterada).

98 5.4.3.2.

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES La sexta aumentada francesa

Figura 5.4.16: El acorde de sexta aumentada francesa (DDf de Sol M/m) Es un acorde cuatríada muy especial; se trata de una Dominante de la Dominante con séptima y con la quinta rebajada en el bajo, o sea, en segunda inversión. Su resolución habitual es sobre el acorde de Dominante en estado fundamental, aunque también puede -como la italiana y la alemana- resolver sobre el acorde de tónica en sexta y cuarta, es decir, el sexta y cuarta cadencial. Es un acorde muy especial porque (si observamos la figura geométrica que lo representa en la fig. 5.4.16 de arriba, esto nos puede servir de ayuda) posee unas propiedades de simetría únicas28 , muy próximas a las del séptima disminuida (fig. 5.4.13 en la página 95). Es enarmónico de otro igual a él que tendría su fundamental en el vértice opuesto de la figura, así como de otra variedad de acorde, la séptima de sensible con la tercera alterada ascendentemente, que aparecería en dos veces también, partiendo respectivamente de cada uno de los otros dos vértices Se puede entender con mayor facilidad si se tiene presente la explicación que se daba en el apartado 5.1.3.1 en la página 60, que trataba sobre la transposición limitada de conjuntos de sonidos, ya que se ilustraba haciendo uso, precisamente, de esta misma sonoridad. 28

5.4. DIVISIONES TRADICIONALES DE LA CIRCUNFERENCIA EN CONJUNTOS DE TRES Y C restantes; o sea, que posee cuatro interpretaciones diferentes: dos sextas francesas (o Dominantes con séptima con la quinta rebajada) y dos séptimas de sensible con la tercera elevada.

5.4.3.3.

La sexta aumentada alemana

La sexta aumentada alemana es quizá el acorde de sexta aumentada más utilizado, la razón más probable es que se trata del que tiene una sonoridad ya conocida29 , puesto que es enarmónico del acorde de séptima de Dominante (la forma de su trapezoide lo hace fácilmente perceptible). De hecho, esta propiedad enarmónica le otorgará un papel notable en las modulaciones de este tipo. En el caso que mostramos en el ejemplo de la figura 5.4.17, una DDa de Sol Mayor, la enarmonía que lo convertiría en una D7 la encontraríamos si transformáramos el do# en reb , entonces leeríamos el acorde como una simple Dominante con séptima de Lab Mayor o menor.

Si bien, no podemos olvidar que es enarmónico de la sexta aumentada suiza, que por tanto también tendría la sonoridad de un acorde de séptima de dominante, y estaría de la misma forma, ya incluido en el ámbito de las sonoridades más aceptables para los acordes de sexta aumentada; sin embargo, la suiza tiene unas propiedades derivadas de su lectura que hacen mucho más compleja su comprensión dentro del discurso y por tanto, su utilización. 29

100

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

Figura 5.4.17: El acorde de sexta aumentada alemana (DDa de Sol M/m)

5.4. DIVISIONES TRADICIONALES DE LA CIRCUNFERENCIA EN CONJUNTOS DE TRES Y C 5.4.3.4.

La sexta aumentada suiza (acorde de 4ª doble aumentada30 )

Figura 5.4.18: El acorde de sexta aumentada suiza (DDs de Sol M/m) Como podemos apreciar en la ilustración de la figura 5.4.18, el polígono que representa este acorde (y ya se veía con claridad comparando los apartados c) y d) de la figura 5.4.14 en la página 96) tiene una forma exactamente igual que la de la sexta aumentada alemana (fig. 5.4.17). Es evidente que se trata de dos acordes enarmónicos en los que, según una de sus notas (en este caso la# , que en la 6ª aumentada alemana aparecía como sib ) se interprete como una cuarta doble aumentada respecto del bajo (caso de este acorde, la 6ª aumentada suiza), o como una quinta justa (en el caso de la 6ª aumentada alemana), se entenderá y se comportará de una u otra forma. Además, hemos de añadir para que no pase desapercibido, que tal y como sucedía con el acorde de sexta aumentada alemana -siendo éste un acorde enarmónico, es lógico, este acorde es también enarmónico de un acorde de séptima de dominante (compárese con el apartado a) de la figura 5.4.6 en la página 88); siendo entonces dos las notas enarmonizadas El hecho de aparecer esta cuarta doble aumentada obliga a resolver sobre un acorde de tónica en sexta y cuarta, o sea, el sexta y cuarta cadencial. 30

102

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

(en este caso la# por sib y do# por reb ).

5.5.

El color como marca funcional

A la hora de escoger la correlación de colores que aplicar a las diferentes sonoridades tipo, hemos atendido a los vínculos con las emociones que los colores suscitan, según diversos estudios consultados. No obstante, hemos de anotar antes que nada, que también la psicología ha demostrado que la fuerza con que estas correlaciones se dan, más que ser inherente y universal, depende de la herencia y el contexto cultural en que el individuo esté sumergido31 . Teniendo en cuenta este hecho, hemos actuado en consonancia con los patrones de la cultura occidental a la que principalmente va dirigido este trabajo; de esta forma, hemos seguido las conclusiones expuestas en el artículo Scaling the Association between Colors and Mood-tones de Warner Schaie (1961).

Siguiendo la correlación que en dicho estudio (Warner Schaie, 1961, pág. 271) se recoge, traducimos sus resultados y obtenemos el siguiente cuadro:

A este respecto es muy ilustrativo observar el estudio comparativo entre las asociaciones del color con las emociones que hacía un grupo de estadounidenses y un grupo de indígenas mejicano, en el artículo de D’Andrade (1974) citado en la bibliografía. 31

103

5.5. EL COLOR COMO MARCA FUNCIONAL Color

Asociación fuerte

ROJO

protector, defensor; poderoso, fuerte, señorial; (excitante, estimulante)* excitante, estimulante

NARANJA AMARILLO

excitante, estimulante; divertido, jovial, alegre; placentero

VERDE

AZUL

MORADO MARRÓN

placentero; seguro, cómodo; tierno, tranquilizador; (calmado, pacífico, sereno; excitante, estimulante) solemne, estable; (abatido, desanimado, melancólico, triste) (seguro, cómodo)

BLANCO

tierno, tranquilizador; (calmado, pacífico, sereno)

GRIS

abatido, desanimado, melancólico, triste; (calmado, pacífico, sereno)

NEGRO

angustiado, molesto, enfadado; desafiante, obstinado, hostil; abatido, desanimado, melancólico, triste; solemne, estable; poderoso, fuerte, señorial

Asociación débil o ausencia de ella Calmado, pacífico, sereno; tierno, tranquilizador calmado, pacífico, sereno; tierno, tranquilizador; solemne, estable solemne, estable; abatido, desanimado, melancólico, triste; protector, defensor; poderoso, fuerte, señorial solemne, estable; protector, defensor; poderoso, fuerte, señorial; abatido, desanimado, melancólico, triste angustiado, molesto, enfadado; abatido, desanimado, melancólico, triste; desafiante, obstinado, hostil excitante, estimulante; divertido, jovial, alegre divertido, jovial, alegre; desafiante, obstinado, hostil; excitante, estimulante; poderoso, fuerte, señorial; placentero excitante, estimulante; abatido, desanimado, melancólico, triste; desafiante, obstinado, hostil; angustiado, molesto, enfadado; poderoso, fuerte, señorial excitante, estimulante; desafiante, obstinado, hostil; poderoso, fuerte, señorial; divertido, jovial, alegre excitante, estimulante; seguro, cómodo; tierno, tranquilizador; divertido, jovial, alegre; calmado, pacífico, sereno; placentero

Cuadro 5.3: Colores y emociones Aplicando este estudio a las nociones que la tonalidad32 tiene asentadas sobre los diferentes Escogemos el ámbito tonal porque es el que más claro puede servir -tanto por el grado de conocimiento que puede tener el lector, como por la amplitud del corpus que supone- para ejemplificar la aplicación de este método de conexión de una sonoridad con una variedad crómica; si bien, es perfectamente aplicable a cualquier otro sistema de organización musical, especialmente aquellos en los que haya una jerarquía y unas polarizaciones 32

104

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

acordes, tendríamos como resultado el cuadro 5.4, en el que representamos el acorde propio de cada grado de un tono mayor, con su figura poligonal y color correspondiente: Grado de la Escala

Figura poligonal y color

Tónica (I)

Triángulo escaleno creciente azul

Supertónica (II)

Triángulo escaleno decreciente amarillo

Mediante (III)

Triángulo escaleno decreciente marrón

Subdominante (IV)

Triángulo escaleno creciente verde

Dominante (V)

Triángulo escaleno creciente rojo

Submediante33 (VI)

Triángulo escaleno decreciente morado

Sensible (VII)

Triángulo rectángulo isósceles naranja

Representación gráfica

Cuadro 5.4: Acordes de la escala Mayor en polígonos y colores

establecidas.

Capítulo 6 Aplicaciones del Espiropentagrama Las aplicaciones del Espiropentagrama son múltiples, probablemente infinitas, como las de cualquier herramienta que sirve para analizar y mostrar las propiedades de otros elementos. Además, se trata de una herramienta que apenas acaba de nacer, con lo que no es de extrañar que nos dejemos fuera de este capítulo muchas utilidades que ustedes los lectores descubran y pongan en práctica con extraordinario provecho. En cualquier caso, en estas páginas vamos a tratar aplicaciones que van a colaborar no sólo con la enseñanza de la Armonía, sino también con la práctica de disciplinas como la Acústica y el Análisis, siempre buscando servir de catalizador, de acelerador del proceso de aprendizaje, de forma que el alumno alcance una mayor comprensión y un mayor dominio para su práctica musical, de los contenidos tratados.

6.1.

Sistemas de afinación

Como es fácil de deducir, el Espiropentagrama, tanto por el trazado de la espiral irregular en la que se basa, como por la colocación que preve de los sonidos sobre dicha espiral, se basa en la subdivisión de una circunferencia en doce partes iguales, consecuencia del sistema de afinación de temperamento igual que se usa en la actualidad. Sin embargo, por lo general, las diferentes tradiciones musicales, e incluso la nuestra, occidental, si nos remontamos un poco en el tiempo, poseen diferentes sistemas de afinación. De este modo, siendo este instrumento una herramienta de patente utilidad para la comparación de conjuntos, podríamos usarlo para hacer más visibles las características de un sistema de afinación en particular, al tiempo que las diferencias que pudieran existir entre varios distintos. Si por ejemplo, observamos un sistema de afinación como el Pitagórico, y lo comparamos con el de temperamento igual, podríamos apreciar sus diferencias con mayor claridad, al observarlas sobre el Espiropentagrama. Pongamos por caso que proyectamos sobre este instrumento, la escala de Do Mayor en los dos sistemas de afinación -véase la fig. 6.1.1 adjunta- y comprobemos qué ventajas pueden obtenerse. 105

106

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA

Figura 6.1.1: Comparación de la Escala Mayor en el sistema temperado (en negro) y en el pitagórico (en rojo)

Lo primero que salta a la vista al ver esta superposición de escalas de Do Mayor, en los dos sistemas de afinación, es observar cómo las notas re y la, y más aún, mi y si, poseen una entonación bastante diferenciada; ya que aparecen en el sistema Pitagórico, perceptiblemente más agudas. Además, prestando algo más de atención, podemos apreciar cómo los semitonos del sistema Pitagórico son más pequeños que en el sistema temperado, así como sus tonos son más grandes1 . Huelga decir que esta manifiesta asimetría del sistema Pitagórico, redunda en un claro perjuicio a sus posibilidades de transposición y de enarmonía. Nótese, de todas formas, el hecho de cómo ambos heptágonos (cf. fig. 6.1.2) poseen un único eje de simetría que, pasando por su centro, atravesaría por sus respectivas notas re (esto lo comentábamos ya, precisamente analizando el heptágono diatónico en el apartado 5.1.3 en la página 60, en que tratábamos la utilidad de los ejes de simetría de los polígonos para deducir propiedades de los conjuntos de Tomando como fuente el somero estudio de Bartlett (1998), como fuente, hemos elaborado esta comparación tomando los tonos del sistema Pitagórico con una separación de 204 cents y sus semitonos a una distancia de 90 cents. El sistema de temperamento igual presenta siempre una distancia de 200 cents entre sus tonos y de 100 entre sus semitonos. 1

107

6.2. PROCESOS CONTRAPUNTÍSTICOS sonidos que representan).

Temperamento igual

Sistema Pitagórico

Figura 6.1.2: Escala de Do M en los dos sistemas de afinación

6.2.

Procesos contrapuntísticos

Quizá el factor más importante dentro del campo del contrapunto o de la polifonía contrapuntística, sea su carácter imitativo. Así, las imitaciones de un motivo pueden hacerse aplicando principalmente tres procesos individuales o la combinación de varios o de los tres. Estos procesos serían: la transposición2 , la inversión3 y la retrogradación4 . Además, no hemos de obviar el hecho de que estos procesos no son excluyentes entre sí y permiten por lo tanto la aplicación de dos o incluso de los tres, sobre un mismo motivo. Para ejemplificar estos tres procesos, vamos a tomar un motivo de cinco sonidos (como puede verse a continuación, en la figura 6.2.1) que trasladaremos al Espiropentagrama (véase fig. 6.2.3) mediante la confección de una plantilla (sobre una lámina transparente) en la que recogeremos estos cinco sonidos y su secuencia de aparición colocando unos números como marcas de presencia (Cf. fig. 6.2.2). Una vez realizada esta plantilla, la obtención de resultados será muy sencilla, como ahora detallaremos en los siguientes apartados, puesto que únicamente requerirá de aplicar movimientos en la misma de carácter puramente intuitivo.

Figura 6.2.1: Motivo sobre el pentagrama La voz “transposition” del New Grove Dictionary define el proceso como: “La escritura o interpretación de un motivo en un tono diferente del que fue concebido o anotado, ascendiendo o descendiendo todas las notas del mismo, a un intervalo dado”. Éste será el proceso imprescindible para la imitación directa de cualquier motivo. 3 Sería alterar la dirección de los intervalos de la secuencia de sonidos del motivo, esto es, los intervalos que eran ascendentes se convierten en descendentes y viceversa. 4 La retrogradación consiste en tomar la secuencia de sonidos en sentido cronológico inverso, de forma que se empieza por el que aparecía último y se acaba en el que daba comienzo al motivo. 2

108

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA

Figura 6.2.2: Plantilla de motivo para la transposición

6.2. PROCESOS CONTRAPUNTÍSTICOS

109

Figura 6.2.3: Motivo para los procesos Aquí lo hemos realizado con un motivo únicamente de cinco sonidos, pero podríamos imaginar que la aplicación de estos procedimientos sobre un motivo dodecafónico (de doce sonidos) sería exactamente igual de sencillo y cómodo.

6.2.1.

La transposición

El Espiropentagrama es, inequívocamente, un instrumento para la transposición de sonidos, bien tomados individualmente o bien tomados en conjuntos, que dará lo mismo que estén creados en base a su dimensión melódica o armónica. No obstante, no parece baladí recordar, aunque no fuera exactamente del mismo modo, cómo especialmente John Clough en un artículo (Clough, 1998), ya analizó con bastante profundidad y rigor científico de índole matemática, la manera en que una proyección del sistema musical de doce sonidos, sobre una circunferencia, ofrecía inmensas posibilidades como medio de transposición. Podríamos decir que la idea estaba ya en muchos autores teóricos desde las primeras reflexiones sobre el círculo de quintas, si bien ninguno lo había hecho hasta esta propuesta aquí expresada, utilizando un pentagrama dispuesto con la forma de una espiral irregular.

110

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA

Como ejemplo más elemental de cómo puede funcionar el Espiropentagrama en este sentido, debería bastar las figuras 4.0.4 (pág. 46) y 4.0.5 (pág. 47) en las que observábamos las 12 posiciones de un sonido cualquiera (y su enarmonía) al someterlo a la rotación que las 2 circunferencias externas ocultas (véase el apartado 4.0.6 en la página 48, que trata de esto) permiten, tomando su centro como eje. De hecho, el colocar cada sonido a la altura de lo que sería una hora en este reloj imaginario que sería el Espiropentagrama, parece una imagen que, de asimilarse bien, puede colaborar para facilitar la tarea al alumnado como método didáctico, el observar cuántos semitonos (horas), están separados -en este reloj imaginario- dos sonidos, cuando se están aprendiendo los intervalos.

Ahora bien, utilizando el motivo de cinco sonidos que veíamos en el apartado anterior (fig. 6.2.1 en la página 107), vamos a proceder a transportarlo una segunda mayor ascendente, o sea, dos semitonos hacia el grave.

Figura 6.2.4: Motivo original y su versión transportada una 2ª mayor descendente

Para ello, lo único que habrá que hacer es mover la plantilla del motivo dos doceavas partes de la circunferencia (siguiendo la analogía de antes, dos horas) a la izquierda y así obtendríamos el siguiente resultado, recogido en la figura 6.2.5:

6.2. PROCESOS CONTRAPUNTÍSTICOS

111

Figura 6.2.5: Motivo transportado una segunda mayor descendente

Si lo que quisiéramos fuera hacer una transposición ascendente, por ejemplo, una tercera menor ascendente.

Figura 6.2.6: Motivo original y su versión transportada una 3ª menor ascendente

En este caso, lo que haríamos sería mover la plantilla hacia la derecha; así, una tercera menor ascendente, que equivaldría a tres simitonos hacia el agudo, supondría un movimiento de un cuarto de circunferencia hacia la derecha (o sea, tres horas). Podemos verlo en la siguiente figura 6.2.7:

112

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA

Figura 6.2.7: Motivo transportado una tercera menor ascendente

6.2.2.

La inversión

Este proceso lo que hace es tomar la secuencia de sonidos y alterar la dirección de los intervalos que la componía, tomándolos en sentido inverso. Así pues, los intervalos que eran ascendentes pasan a ser descendentes y, por el contrario, los que eran descendentes se convierten en ascendentes.

Figura 6.2.8: Motivo original y su versión invertida En el Espiropentagrama, la manera de aplicar la inversión es muy sencillo, dado que trabajamos con una lámina transparente, sólo tendremos que darle la vuelta de manera vertical y verla al revés (como si le aplicáramos un espejo al eje vertical). Podemos observar el resultado5 5

El resultado en la práctica, como podemos deducir, tendría los números también invertidos respecto a su eje

6.2. PROCESOS CONTRAPUNTÍSTICOS

113

en la figura 6.2.9.

Figura 6.2.9: Motivo invertido sobre el Espiropentagrama

6.2.3.

La retrogradación

La retrogradación de un motivo es un procedimiento muy sencillo, consiste en tomar los sonidos en sentido inverso a la sucesión en como aparecían, de esta forma el último es el primero, el penúltimo es el segundo, etc.

Figura 6.2.10: Motivo original y su versión retrogradada Así, trabajando con el Espiropentagrama y este motivo de cinco sonidos, lo único que vertical, como reflejados. Aquí en la figura ilustrativa 6.2.9, para facilitar la lectura hemos corregido esta ligera dificultad. No obstante, una versión más fidedigna de cómo resultaría esta aplicación invertida de la lámina transparente del motivo, podemos observarla en la fig. 6.1b en la página 116, en la que también se ha aplicado el proceso de inversión a este motivo.

114

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA

habría que hacer sería tomar el 5 primero, luegro el 4, etc. De esta forma, podemos observar que el único cambio respecto de la versión original del motivo sobre el Espiropentagrama que presentábamos en la fig. 6.2.3 en la página 109, es el sentido inverso de la dirección de las flechas que colocábamos para seguir mejor la secuenciación de sonidos indicada mediante los números (véase fig. 6.2.11).

Figura 6.2.11: Motivo retrogradado

6.2.4.

La combinación de estos procesos

Como ya se indicaba al comienzo de esta sección, estos procesos no son excluyentes, de forma que pueden requerirse y aplicarse de manera simultánea. Para ejemplificar este hecho, vamos a utilizar el motivo y aplicarle las tres acciones a la vez: retrogradación, inversión y transposición, en concreto, a una cuarta justa descendente -como vemos en la fig. 6.2.12, la versión transformada empieza en do en lugar de en fa, que siendo una retrogradación, debería ser su nota de comienzo-.

6.2. PROCESOS CONTRAPUNTÍSTICOS

115

Figura 6.2.12: Modelo original y su versión invertido-retrogradada transportada una 4ª justa descendente

Para su obtención mediante el Espiropentagrama deberíamos aplicar los tres procesos, tal y como se describía en cada uno de los apartados correspondientes, siendo indistinto el orden en que los hagamos; este proceso está ilustrado en el cuadro 6.1 en la página siguiente. Por mantener la misma disposición con que hemos ido explicándolos, aquí haremos primero la transposición a la 4ª justa descendente, o sea, cinco semitonos (fig. 6.1a). Así, esto supondría girar la plantilla en sentido contrario a las agujas del reloj, cinco doceavas partes de la circunferencia (cinco horas, en la analogía que usábamos en el apartado de la transposición).

Después realizaríamos la inversión del motivo obtenido tras la transposición, eso supondría darle la vuelta a la plantilla del motivo en sentido vertical (fig. 6.1b).

Finalmente invertiríamos el sentido de la lectura de los números, partiendo desde el sonido 5 hasta llegar al 1 (fig. 6.1c).

116

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA

(a) Transposición del motivo una cuarta justa descendente

(b) Inversión del motivo una vez transportado una cuarta justa descendente

(c) Retrogradación del motivo previamente invertido y transportado

Cuadro 6.1: Combinación de los tres procesos: transposición, inversión y retrogradación

6.3. LA MODULACIÓN

6.3.

117

La modulación

Sin lugar a dudas, ser un soporte para la modulación6 es la aplicación más importante de este instrumento, ya que permite de modo sencillo y rápido, la comparación de dos o más conjuntos cualesquiera de sonidos, atendiendo a sus diversas propiedades, y resolver de este modo con facilidad, un medio de modulación mediante un método exhaustivo -puesto que contempla todas las posibilidades-, sistemático -dado que permite la aplicación de criterios para organización y clasificación del todo- e integral -en tanto que posibilita la observación de elementos desde todos sus ámbitos-. La idea básica sería hacer una clasificación de los elementos que tienen en común los dos tonos que van a conectarse. De esta forma, elaborado todo el catálogo de opciones quedará a discreción del músico escoger una u otra, según el contexto musical en que se inserte el proceso modulatorio. Para organizar el conjunto de opciones, nos apoyaremos, obviamente en el concepto de árbol armónico que vimos en el capítulo 3 en la página 33. De esta forma, comparando sucesivamente los árboles que representan los dos aspectos más importantes de la tonalidad, su tensión hacia una tónica (árbol de Dominante) y su confirmación de la misma mediante su simple enunciación o mediante el respaldo de dicha tensión (árbol de SubdominanteTónica), podremos ordenar las posibilidades de una manera más sistemática. Siguiendo lo expresado en la voz Modulation del diccionario New Grove observamos que se nos habla de seis tipos o categorías para este proceso musical: por acorde o acordes pivote -que es lo que habitualmente se reconoce en castellano como la modulación por acorde común-, a través de una nota común, la modulación directa o de frase, la modulación cromática, la modulación por secuencias y la modulación por enarmonía7 . De estos modos de modulación citados, podríamos observar cómo la modulación directa o la modulación por secuencias, no requieren de ningún plan armónico que exija conexión entre los tonos implicados, sino que se 6 Nos referimos a la modulación entre dos tonalidades cualesquiera, según los métodos estudiados por la Armonía Tonal tradicional, utilizando el sistema de afinación con temperamento igual. 7 Extracto del término ’Modulation’ -realizado por Janna Saslaw- del New Grove Dictionary of Music and Musicians: “Techniques of modulation often involve pivot chords, that is, chords common to the original key and the new key which can provide a transition between the two. Some authors have warned against the use of the dominant of either key as a pivot chord: the dominant of the original key, on the one hand, is a strong function and not readily reinterpreted; the dominant of the new key, on the other hand, may be ineffective, since a simple dominant–tonic progression may be too abrupt to establish the new tonal centre with sufficient force. The choice of a pivot chord or chords depends on the range of pitches and chords held in common between the original key and the new key. The possibility of modulation by pivot chord therefore depends on the relationship between the two keys. The closer two keys are on the Circle of fifths, the more pitches they have in common, and the larger the repertoire of available pivot chords. In the case of modulation to a more distant key, when the two keys have fewer pitches in common, it becomes more difficult to find a pivot chord. Other techniques of modulation are therefore used in these circumstances, including the use of a single pitch as a ‘pivot note’; ‘direct’ or ‘phrase’ modulation, in which there is a change of key between phrases without the use of any pivot; ‘chromatic’ modulation, using chromatic alteration in the middle of a phrase; ‘sequential’ modulation, or straightforward restatement of a phrase in a different key; and enharmonic reinterpretation, often involving the German augmented 6th chord (which may be respelled as a dominant 7th), or the diminished 7th chord (which has special qualities of symmetry).”

118

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA

basa más bien en una conexión establecida en base a una relación puramente formal de los fragmentos; así que ninguno de estos dos medios implicaría comparación entre los conjuntos de sonidos. Por lo tanto, los métodos para los que el Espiropentagrama sería útil serían los otros cuatro: la modulación a través de una nota común y por acorde común (que por su similitud podríamos considerarlas como variantes de una misma práctica, sometidas a las limitaciones de la construcción de acordes en el segundo caso), la modulación cromática y la modulación enarmónica. 6.3.0.1.

Organización de las posibilidades

Con la finalidad de organizar el proceso de comparación entre dos tonalidades (compuestas cada una por su árbol de Dominante y su árbol de Subdominante-Tónica, sintetizables en lo que llamamos el Árbol Tonal), estipulamos cuatro casos8 de comparación de los árboles en función de la relativa rápidez y suavidad, con que se produce el cambio de tónica. Para ejemplificar el método tomaremos como tonalidad de partida lab menor y como tonalidad de llegada, Sol Mayor (véase sus árboles tonales en la fig. 6.3.1).

Figura 6.3.1: Árboles tonales de Lab menor y de Sol Mayor Así pues los cuatro casos en que organizaremos el análisis sistemático de posibilidades serían los siguientes: 1. Comparar el Árbol de Dominante del tono de partida con el de llegada. Si bien, todo dependería del contexto y el pasaje concreto, podríamos afirmar que éste sería el proceso más rápido y de mayor dramatismo; un acorde con función tendencial en la tonalidad de partida se convierte o es en sí mismo (dependiendo del método de modulación que estemos aplicando) un acorde tendencial para otro tono, el de llegada. Cabría la posibilidad de que se entendiera simplemente como una resolución irregular de la Dominante de la tonalidad de partida así que, muy probablemente, requerirá de una reafirmación de la nueva tónica (cf. fig. 6.3.2 en la página siguiente). Aclararemos que, para algunos autores, tal y como ya se recogía en el pie de página anterior, la modulación que conecta directamente con un acorde de dominante de la tonalidad de llegada -esto sería lo que aquí hemos contemplado como los casos 1 y 2-, sería excesivamente abrupto e insuficiente para establecer la tonalidad; estamos de acuerdo en que en la mayoría de casos requeriría de un proceso posterior de reafirmación del tono de 8

6.3. LA MODULACIÓN

119

Figura 6.3.2: Ejemplo de comparación del primer caso, D de la tonalidad de partida con D de la de llegada

120

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA

2. Comparar el Árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de partida con el Árbol de Dominante de la de llegada; éste sería el segundo caso y aunque igualmente veloz para realizar el ingreso, supondría partir de un acorde no tendencial, con lo que resultará llamativo el cambio de función y será algo más apreciable el cambio de tónica (como ilustración, váyase a la fig. 6.3.3 en la página siguiente). 3. Comparar el Árbol de Dominante del tono de partida con el Árbol de SubdominanteTónica del tono de llegada. Este proceso modulatorio (ilustrado en la fig. 6.3.4 en la página 122)será más progresivo que los dos anteriores, al necesitar de una posterior aparición de un acorde con función de Dominante para el asentamiento del nuevo tono. Al igual que en el caso 1 se corre el riesgo de que la resolución de la Dominante de partida se entienda más que ella misma como un acorde pivote, que el siguiente acorde -suponemos que se trata de una Dominante del nuevo tono- es una resolución excepcional. 4. Comparar el Árbol de Subdominante-Tónica del tono de partida con el de la tonalidad de llegada. Sería el proceso más pausado y más fácil de entender; además, es el que más posibilidades ofrece, dada mayor amplitud de este tipo de árboles y su menor número de restricciones, principalmente, destaca el hecho de que no exige la presencia de ninguna nota en concreto, como sucede con la sensible en los Árboles de Dominante (véase la fig. 6.3.5 en la página 123). Según hemos ilustrado en las figuras y ejemplificaremos en las páginas siguientes, hemos utilizado los árboles armónicos contando también con sus posibilidades de notas alteradas y con la subtónica, es decir en su estado más completo9 ; sin embargo, en la práctica va a ser muy improbable que utilicemos estas notas alteradas o la subtónica, dado que pertenecen a posibilidades que ofrece el sistema tonal dentro del discurso de una tonalidad, pero que como acordes de inflexión pueden no ser claros o determinantes. Así pues, lo más recomendable sería usar para su comparación el estado intermedio de evolución de los árboles y no éste más completo; aquí, empero, empleamos los árboles completos tanto por razones pedagógicas como por ofrecer de forma más patente el grado de exhaustividad que se puede alcanzar con el proceso. En cualquier caso, en los subapartados de más adelante en los que analizaremos detalladamente cada paso en cada tipo de modulación, del proceso de comparación de árboles armónicos, a la hora de aceptar el uso de los sonidos alterados, sólo tomaremos aquellos acordes que los utilicen como quinta, que sería el modo de alteración más básico y descartaremos el resto de acordes posibles que hayamos podido obtener alterando otros sonidos. llegada, pero sería igualmente desestimable el obviar como método del proceso modulatorio, este uso, además, tan habitual. 9 Explicábamos los diferentes estados o posibilidades de crecimiento de los árboles armónicos, de forma específica, en el apartado 3.0.3 en la página 35.

6.3. LA MODULACIÓN

121

Figura 6.3.3: Ejemplo de la comparación del segundo caso, árbol subdominante-tónica de la tonalidad de partida y de Dominante de la de llegada.

122

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA

Figura 6.3.4: Ejemplo de comparación del tercer caso, árbol de Dominante de la tonalidad de partida y árbol de Subdominante-Tónica de la de llegada.

6.3. LA MODULACIÓN

123

Figura 6.3.5: Ejemplo de comparación del cuarto caso, entre árboles de Subdominante-Tónica de las dos tonalidades

124

6.3.1.

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA

Normas elementales para la comparación de árboles

La primera norma que debemos dar y que tal vez sea la más importante, se trata de que cuando en la comparación participa (bien por parte de la tonalidad de llegada como de la de partida) un árbol de Dominante, éste tendrá una sensible -simbolizada por un triángulo hacia arriba sin rellenar, y teniendo como marca de referencia un cuadrado-, y siempre lo primero habrá de ser comprobar que esta nota está presente (como nota común o como enarmonía10 ) o si se puede obtener por cromatismo11 , ya que si no fuera así, la comparación del resto de notas sería ociosa, puesto que la característica imprescindible para poder considerar un acorde con función de Dominante es que posea la sensible, si esta no aparece, ningún acorde de Dominante podrá entenderse como tal. Así sucede, por ejemplo, en el caso del apartado 6.3.3.1 en la página siguiente y así podemos verlo en la figura (6.3.6) que lo acompaña. A la hora de tomar notas y construir acordes, hemos de llevar cuidado y no tomar aquellas notas que se encuentran a distancia de medio tono (salvo excepciones como los acordes con 9ª menor o 7ª Mayor), es decir, hemos de entender su funcionamiento de la misma forma que lo hacíamos al verlas representadas sobre los pentagramas, dentro de la forma esquemática normal de los árboles, tal y como se explicaba en las diferentes secciones del apartado 3 en la página 33.

6.3.2.

La modulación por nota común

Para ello, bastaría comparar las notas que consideramos propias o atribuíbles a una tonalidad, con las de la otra. Para ello utilizaríamos simplemente las notas constituyentes del árbol Tonal (Cf. apartado 3.3 en la página 39) de cada tonalidad, atribuyéndoles grafías mixtas cuando era conveniente, y compararlas sencillamente superponiendo ambas abstracciones esquemáticas sobre el Espiropentagrama. Como resultado de la comparación obtendríamos todo el conjunto de sonidos comunes, tanto los que tienen el mismo nombre, luego pueden considerarse nota común, como los que se obtienen por enarmonización o interpretación de un mismo sonido, con un nombre diferente.

6.3.3.

La modulación diatónica o por acorde común

Este tipo de modulación se basa en que un mismo acorde (con los mismos sonidos y nombres de las notas, o sea, sonidos homónimos), que pertenece a dos tonalidades diferentes, sirve para enlazar dos pasajes que tienen diferente tónica, o lo que es lo mismo, sirve como punto En caso de que apareciera como nota enarmónica sólo podría modularse haciendo uso de este tipo de modulación, y por tanto, hacer uso, únicamente, de las notas comunes y enarmónicas que aparecieran como resultado de la comparación entre los dos árboles. 11 Siguiendo las pautas descritas en el apartado 6.3.5 en la página 142, ahora bien, sabiendo que sólo podrá optarse por este tipo de modulación ya que al igual que explicábamos en la nota anterior, con relación a obtener la sensible como enarmonía, se trata de un factor condicionante que singulariza drásticamente las posibilidades modulatorias, en tanto en cuanto no se pueden mezclar, por ejemplo, notas obtenidas por cromatismo con notas enarmónicas; recordemos pues que sólo las notas comunes estarán presentes y serán utilizables en todos los tipos de modulación. 10

125

6.3. LA MODULACIÓN

de inflexión. Veámos, en un caso concreto, que fuésemos desde Lab menor a Sol Mayor, qué posibilidades de acordes comunes tendríamos; para ello compararemos de forma sucesiva los árboles de Dominante y de Subdominante-Tónica de ambos tonos, proyectando estos esquemas funcionales, llamados árboles, sobre el Espiropentagrama. 6.3.3.1.

Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1: D1 =D2 )

La manera de obtener el resultado ofrecido en el Espiropentagrama, mediante la intersección sobre el mismo de los árboles de Dominante correspondientes a cada tono, se explicaba en la página 119

Sonidos comunes en el árbol de partida eliminando los no homónimos.

Sonidos comunes en el árbol de llegada eliminando los no homónimos.

Figura 6.3.6: Superposición de Árboles de Dominante y extracción de resultados 1. Ahora, atendiendo a la superposición de los dos árboles ofrecida en la figura 6.3.6 comprobamos si las dos sensibles (representadas por los dos triángulos: si y fa# ) están también,

126

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA cada una, en el otro de los árboles. Basta con que una sola de ellas no esté en el otro árbol, para que no se pueda realizar la modulación que identifique dos dominantes, ya que la sensible es la nota imprescindible de esta función. En este ejemplo podemos comprobar que ninguna de las dos está en el otro; es cierto que podría parecer, atendiendo a las marcas de referencia, que la sensible (la nota fa# ) del tono de llegada, Sol Mayor, sí está en el árbol del tono de partida, Lab menor, pero sin embargo, no es así, ya que en entre las posibles Dominantes de esta última tonalidad no aparece este sonido sino un enarmónico, solb12 y esta forma de obtención del sonido no nos sirve para la modulación por acorde común.

6.3.3.2.

Comparación del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de partida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1 =D2 )

Para obtener la figura resultado de la intersección de los dos árboles que ofrecemos en la siguiente figura, hemos seguido el proceso que llevábamos a cabo en la figura 6.3.3 en la página 121.

Además, en el caso de que se pudiera utilizar el sonido, como podemos ver atendiendo a su grafía, es una subtónica, con lo que implica que tendríamos que entrar en el tono a través de su región subdominante, luego no sería una verdadera Dominante y podría resultar complicada la afirmación tonal de la nueva tónica habiendo hecho uso de su subtónica en el pasaje modulatorio. 12

6.3. LA MODULACIÓN

Sonidos comunes en el árbol de partida eliminando los no homónimos.

127

Sonidos comunes en el árbol de llegada eliminando los no homónimos.

Figura 6.3.7: Superposición de Árboles de subdominante-tónica de la tonalidad de partida y de Dominante de la de llegada y extracción de resultados 1. De forma similar a como sucedía en el caso descrito en el punto anterior, vemos en la figura 6.3.7 con la que trabajaremos ahora, si la sensible de la tonalidad de llegada (que es la que usa Dominante en este caso de comparación) aparece como nota común. Según podemos observar sí lo hace, el fa# en Lab menor puede actuar como nota alterada ascendente (según leemos en la grafía). Además, si analizamos bien, nos daremos cuenta de que esta nota alterada sólo puede escribirse y leerse como tal, dentro de las sonoridades de Dominante de la Dominante, o sea, que para poder aparecer, únicamente podrá hacerlo en solidaridad con la nota sensible de la Dominante, que es re. 2. Vemos qué acordes se pueden formar con el resto de sonidos que sean comunes y que tengan el mismo nombre (o sea, no sean sonidos enarmónicos). La lista de sonidos sería

128

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA la siguiente: sib , re, fa, fa# , lab , la, do y mib ; porque el resto, que serían sibb , rebb , fab , dob y mibb en Lab menor, no se interpretarían así en Sol Mayor, sino que serían enarmónicos y se leerían la, do, mi, si y re, respectivamente, en la tonalidad de llegada.

3. Es el momento de confeccionar una lista de acordes posibles, construidos con los sonidos homónimos comunes que hemos encontrado entre los dos tonos, si bien, siempre habrán de contener la sensible del nuevo tono (fa# , o en su defecto y de forma cuestionable, la subtónica -explicable en el área de la subdominante-, el fa natural)13 . Sonidos que aparecen sib , re, fa# re, fa# , lab sib , re, fa re, fa, lab fa, lab , do re, fa# , lab , do fa, lab , do, mib

Lab m DD+5 VIIV +3 DD VIIV VI< +5 T DD7+3 VI< 7 +5

Sol M D’v (= III’+5 ) D−5 III’ SSII 0 IV SS’ D7−5 SS’7

Cuadro 6.2: Acordes comunes de la intersección del Árbol de subdominante-tónica de partida y el de Dominante de llegada 4. Ahora tomamos de entre los acordes que hemos encontrado, aquellos que puedan no ser del todo inteligibles en alguna de las dos tonalidades. De esta forma, el primer acorde que deberíamos desestimar sería la Dominante de la Dominante tríada que sería equiparable al III prestado del menor en Sol Mayor; éste, quizá siendo en apariencia la igualdad más sencilla, introduce la nueva tonalidad a través de un acorde que aunque pueda ser identificable, más que conducir el oído hacia ella, cuando tiene lugar en el discurso, lo que suele producir es lo contrario, apuntar hacia otras tónicas. Del mismo modo, resultará difícil de entender y obligará a hacerlo a través del área de la subdominante, en general cualquiera de los tres acordes que leíamos como Subdominante de la Subdominante prestada, en Sol Mayor; pero especialmente complejo de entre ellos, es el que identifica el acorde del sexto grado elevado con una subdominante de la subdominante representada por un segundo prestado del modo menor, así que sería conveniente prescindir también de su utilización en un sentido más realista y menos teórico. 6.3.3.3.

Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de partida con el de Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1 =ST2 )

Disponemos de la imagen que nos ofrece la intersección de, respectivamente, el árbol de Dominante de la tonalidad de particda, Lab menor, con el de Subdominante-Tónica de la de llegada, Sol Mayor, siguiendo el proceso que ya veíamos en la figura 6.3.4 en la página 122. Dado lo que observábamos en el punto 1, sobre que la aparición del sonido fa# en Lab menor, implicaba que apareciera también la nota re, debiéramos buscar acordes que tengan estas dos notas. 13

6.3. LA MODULACIÓN

Sonidos comunes en el árbol de partida eliminando los no homónimos.

129

Sonidos comunes en el árbol de llegada eliminando los no homónimos.

Figura 6.3.8: Superposición de Árboles de Dominante de tonalidad de partida y de Subdominante-Tónica de llegada y extracción de resultados 1. Atendiendo ahora a la figura 6.3.8 de arriba, podemos observar cómo sí es sonido común la sensible de la tonalidad de partida, Lab menor, con los sonidos posibles de las sonoridades de Subdominante y Tónica del tono de llegada, Sol Mayor. Además, comprobamos que no sólo es que el sonido esté presente en ambos árboles, sino que tiene el mismo nombre14 , y por fin, podemos continuar el proceso. 2. Comprobamos todos los sonidos comunes posibles tomando sólo aquellos que son la misma nota (tienen igual nombre), y resulta la siguiente lista: reb , mib , sol y sib . Los sonidos Este detalle será un factor determinante, ya que si tuviera diferente nombre y por tanto, fuese común sólo por enarmonía, sólo podría llevarse a cabo este tipo de modulación (descrito en el apartado 6.3.4 en la página 132) y no cabría pensar en la modulación por acorde común. 14

130

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA que en Lab menor leemos como sibb , dob y fab resultan no tener el mismo nombre en Sol Mayor, sino que se llaman la, si y mi, respectivamente. Por otra parte, en el árbol de Subdominante-Tónica de Sol Mayor, encontramos también las notas la# y do# , que igualmente no podemos considerar porque aún siendo sonidos comunes, en realidad son enarmonías de notas que sí tomaremos, pero con otro nombre: sib y reb .

3. fab , sibb y dob no podrían utilizarse porque, aunque podrían confundirse con sonidos comunes, se leen con otro nombre en la tonalidad de partida (reb -que sí emplearemos como tal, ya que también aparece con esta nomenclatura-, mi natural, la natural y si natural, respectivamente) y por tanto, requieren del proceso de la enarmonía para su identificación. 4. Elaboramos la lista de acordes posibles con los sonidos antes descubiertos, teniendo en cuenta que el sonido sol (sensible de la tonalidad de partida) es imprescindible; teniendo en cuenta esta premisa, la relación de acordes posibles quedaría en: Sonidos que aparecen mib , sol, sib sol, sib , reb mib , sol, sib , reb

Lab m V VIIº V7

Sol M VI’ I’-5 VI’-7

Cuadro 6.3: Acordes comunes de la intersección del Árbol de Dominante de partida y el Subdominante-Tónica de llegada

5. Seleccionamos de los acordes obtenidos, dado que no todos van a ser válidos, aquéllos que son realmente susceptibles de entenderse en el discurso tonal de ambos tonos, de forma que de los tres que hemos obtenido sería inevitable prescindir del V7 de la tonalidad de partida, dado que en la tonalidad de llegada daría como resultado un acorde con la 7ª alterada y eso no es posible, dentro de las normas de los sonidos alterados. Algo menos grave sería tomar el I’-5 que resulta de utilizar el VIIº en la tonalidad de partida, aunque, eso sí, algo difícil de entender (dependería mucho del contexto armónico en el que se enmarcara el uso del acorde), pero aún así, sería conveniente eliminarlo de las posibilidades, de forma que nos quedaría únicamente la primera opción: V = VI’.

6.3.3.4.

Comparación de los árboles de Subdominante-Tónica entre sí (Caso 4: st1 =ST2 )

La imagen que a continuación se ofrece, como resultado de la superposición de los dos árboles de Subdominante-Tónica de las dos tonalidades implicadas, Lab menor y Sol Mayor, se obtiene siguiendo el proceso que ya veíamos en la página 123, en la figura 123.

6.3. LA MODULACIÓN

Sonidos comunes en el árbol de partida eliminando los no homónimos.

131

Sonidos comunes en el árbol de llegada eliminando los no homónimos.

Figura 6.3.9: Superposición de Árboles de Subdominante-Tónica y extracción de resultados 1. En este caso ya no tenemos que buscar la sensible de ningún árbol, dado que es el único en que no participa ninguno de Dominante, con lo que haríamos directamente lo que hacíamos en apartado en segundo término, esto es, comprobar y elaborar una lista con los sonidos comunes con el mismo nombre de nota. Así, atendiendo a la figura 6.3.9 que ilustra este caso, veríamos que serían notas comunes entre el tono de partida, Lab menor, y Sol M, el tono de llegada, son: do, reb , re, mib , lab , la15 y sib . Asimismo, otras notas aparentemente comunes (rebb -que tomaremos, pero como do-, reb -luego como do# -, mibb , El la aparece en la tonalidad de partida como una nota alterada ascendente, por este hecho, su utilización ya sería harto complicada, pero al acontecer al mismo tiempo que no existe como nota común el fa, se hace imposible considerarla como 5ª en más -que sería la manera más fácil de aceptarla y utilizarla- y sólo podría usarse como fundamental en más del I, algo excesivamente lejano como para considerarse verdaderamente como opción. Por eso, en el punto 3, se comprobará que no se ha utilizado en ningún acorde, aún siendo como es, nota común. 15

132

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA fab , fa, sibb y dob , según se entienden en Lab menor) aparecen en Sol M, pero sólo tras un proceso de enarmonía y no son, por lo tanto, válidas en este tipo de modulación.

2. No sería ocioso observar también, qué papel juegan las diferentes notas comunes que pueden participar, ya que por ejemplo, el reb en Sol M sólo podrá justificarse como una nota alterada en menos y, por lo tanto, no podrá ocupar cualquier puesto en la sucesión de terceras del acorde. Algo similar sucede también con el sonido lab que en Sol M sólo podrá entenderse -dentro de las sonoridades de Subdominante-Tónica- como parte del acorde Napolitano, de forma que exigirá darse en solidaridad de otras (do y mib ) y muy preferiblemente, con una disposición concreta: en primera inversión (por eso aparece en el esquema entre paréntesis, porque no suele ser el bajo del acorde). 3. Ahora sería el momento de confeccionar una relación de acordes posibles utilizando las notas comunes que hemos hallado en el punto anterior; como resultado obtendríamos los siguientes: Sonidos que aparecen lab , do, mib sib , re, (fa) do, mib , (sol)

Lab m Ds DDx5 IIIx5

Sol M Sn III’x5 S’x5

Cuadro 6.4: Acordes comunes de la intersección de los Árboles de Subdominante de ambos tonos

4. Es el momento de elegir entre los acordes obtenidos, si bien, como ya tuvimos en cuenta en el punto 2 de este apartado, la correcta elección y disposición de las notas posibles, la lista obtenida en el punto 3 es válida en su totalidad. Sin embargo, dado que nos resultan dos acordes que habrían de aparecer sin quinta (simbolizado con el subíndice x5 ) con los problemas de duplicaciones y de movimiento, así como con el empobrecimiento sonoro que eso supondría, el preferido sería el primero de los que recogíamos, esto es, que la Ds de lab menor es en Sol M su Sn (recordemos que, por lo tanto, deberá estar en primera inversión y duplicando su tercera).

6.3.4.

La modulación enarmónica

La modulación enarmónica tiene mucho en común con la que acabamos de tratar, la modulación diatónica; en sí, el proceso es el mismo16 , se busca una sonoridad que, inteligible tanto en el tono de partida como en el de llegada, sirva de nexo entre ellos; sólo hay una diferencia y ésta es la diferente interpretación de alguno, varios o todos los sonidos que participan en dicha Dada la semejanza del proceso, hemos decidido explicarlo después de la Modulación Diatónica, si bien, normalmente, en las programaciones didácticas -quizá siguiendo un criterio de proximidad tonal- se suele explicar después de la modulación cromática. 16

133

6.3. LA MODULACIÓN

sonoridad, mediante la enarmonización de este, estos o de todos sonidos los sonidos participantes. Así, si bien en la modulación diatónica que explicábamos hasta aquí, debíamos evitar tomar los sonidos que no eran homónimos, en este proceso modulatorio nos veremos obligados a tomar al menos uno de esos sonidos que tenían diferente nombre según se interpretaran desde el punto de vista de la tonalidad de partida (en nuestro caso, recordemos que era Lab menor, como origen, y Sol Mayor, como destino). 6.3.4.1.

Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1: D1 ≡D2 )

La forma de obtención de la intersección sobre el Espiropentagrama que aquí se ofrece, siguió el proceso que se veía en la página 119.

Sonidos comunes en el árbol de partida, recuadrando los sonidos enarmónicos.

Sonidos comunes en el árbol de llegada, recuadrando los sonidos enarmónicos.

Figura 6.3.10: Superposición de Árboles de Dominante y extracción de resultados 1. Tal y como hacíamos en el primer caso de la modulación diatónica, lo primero que haremos

134

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA será buscar que las sensibles de cada uno de los dos tonos implicados en la comparación, aparezcan (ahora ya no nos importa que tengan diferente nombre) en el árbol de la otra tonalidad. Como podemos observar, la sensible de Sol Mayor, tonalidad de llegada, sí aparece en el árbol de Dominante de la de partida, pero como enarmonía (fa# = solb ). Sin embargo, el sonido sol, no está entre las notas comunes o enarmonizables. Es más, el hecho de tener que utilizar el fa# que venía siendo solb en la tonalidad de partida, impediría poder utilizar el sol, en el caso de que apareciese. Cuando, como sucede aquí, la sensible no es común y sin embargo, sí lo es la subtónica, se elaboraría como opción -y ya quedaría a criterio del alumno utilizarlos o no- la lista de acordes que utilizando este sonido de subtónica (y por tanto, con una interpretación de subdominante de la subdominante) pueden encontrarse. Eso es lo que haremos, teniendo en cuenta esta circunstancia de que ya no es exactamente D≡D, sino más bien, ss≡D.

2. Los sonidos comunes con el mismo nombre que encontramos son únicamente dos, el mib y el sib . El resto de sonidos se obtienen por enarmonía y son, respectivamente, los siguientes: fab -luego leído mi-, solb -imprescindible por ser la sensible de la tonalidad de llegada, o sea, fa# -, sibb -que será la- y dob -leido en Sol Mayor como si natural-. Los sonidos sib y si -obtenido por enarmonía del dob -, aunque aparentemente a disposición para la construcción de acordes, como no está presente la nota re como sonido común, no sería fácil usarlos, ya que sólo servirían para crear acordes en las que funcionarían, uno u otro, como apoyaturas no resueltas hacia el la y estos acordes habría que manejarlos con especial cuidado y tendrían una poco concluyente definición de la tonalidad de llegada. 3. Una vez hecha esta relación de sonidos, podemos elaborar la lista de posibles acordes que podemos utilizar. Sonidos que aparecen (leídos en Sol M) mib , *fa# , *la, (do) *fa# , *la, (do), *mi mib , *fa# , *la# , (do) *fa# , *la# , (do), *mi *fa# , *si, (do), *mi mib , *fa# , sib , (do)

Lab m ssii0IV ss’7x5 ssiiIV ss7x5 ss7x54 ssiiIV

Sol M s Dvx5 S D7x5 s Dvx5+3 S D7x5+3 S D7x54 s Dvx54

Cuadro 6.5: Acordes comunes obtenidos con uso de *enarmonías, consecuencia de la superposición de los dos árboles de Dominante Llama la atención, al estudiar este cuadro, cómo en varias ocasiones, una misma agrupación de sonidos idénticos, puede interpretarse, con diferentes lecturas, como acordes diferentes. 4. Sería pertinente ahora, escoger cuáles de estos acordes pueden ser más comprensibles en ambas tonalidades, y cuáles son más una elucubración teórica que una posibilidad real. De

6.3. LA MODULACIÓN

135

esta forma, parece conveniente -aunque tal vez el contexto concreto del discurso armónico, habiéndolo presentado ya, lo hiciera comprensible- eliminar los acordes de subdominante de la subdominante que además vienen representados por un II de esta tonalidad, ya que parece algo extremadamente lejano. Consecuentemente nos quedaríamos con los tres subdominantes de la subdominante que parten de su cuarto grado (séptimo subtónica de la tonalidad principal).

6.3.4.2.

Comparación del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de partida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1 ≡D2 )

El medio de alcanzar la imagen que aquí se ofrece, producto de la intersección del correspondiente árbol de subdominante-tónica de la tonalidad de partida con el de Dominante de la tonalidad de llegada, sigue el proceso que ya llevábamos a cabo en la figura 6.3.3 en la página 121.

136

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA

Sonidos comunes en el árbol de partida, recuadrando los enarmónicos.

Sonidos comunes en el árbol de llegada, recuadrando los enarmónicos.

Figura 6.3.11: Superposición de Árboles de subdominante-tónica y de Dominante y extracción de resultados 1. En primer lugar, hay que comprobar que la sensible de la tonalidad de llegada, aparezca en el árbol de subdominante-tónica de la tonalidad de partida, bien con el mismo nombre, como nota común, o bien enarmonizado. En este caso, aparece como nota alterada -que como ya decíamos en el análogo segundo caso, en la modulación diatónica- que únicamente usaremos en las sonoridades de Dominante de la Dominante de Lab menor; eso implica que esté simultáneamente a este fa# , la sensible de la Dominante de Lab menor, o sea, la nota re. Como todas las demás veces, también es admisible aunque no sea exactamente comparable el resultado, el tomar en lugar de la sensible del tono de llegada, la subtónica y entrar en esta tonalidad a través del área de Subdominante; esto, obviamente, requeriría de una posterior reafirmación de la tonalidad haciendo uso de una Dominante propia que sí determinara su nuevo papel de tónica.

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6.3. LA MODULACIÓN

2. Los sonidos comunes son, en esta ocasión, numerosos. Las notas comunes serían: sib , re, fa, fa# , lab , la, do y mib . Añadiéndose a estos sonidos, aparecen tres más producto de enarmonías y, recordemos que en este tipo de modulación que nos ocupa, debemos utilizar al menos uno de estos sonidos: sibb17 (que en Sol Mayor será la, que también teníamos como nota común), rebb (entendido como do en Sol Mayor, que también aparecía como nota alterada ascendente), fab18 (único mi posible para la nueva tonalidad), dob (si enarmonizado en la nueva tonalidad) y mibb (re en la tonalidad de llegada, que también era nota común). Por otra parte, también tenemos un sonido que -como ya hemos visto que pasaba con el la, con el do y con el re- es común y que también se puede obtener por enarmonía, se trata del sib que es enarmonizable también por la quinta elevada de la Dominante de Sol Mayor, o sea, la# . 3. Confeccionamos ahora la lista de acordes posibles que usen sonidos comunes, siendo al menos uno de ellos, enarmónico. Sonidos que aparecen (leídos en Sol M) *la# , re, fa# *la#, re, fa# , lab re, fa# , (lab ), *dob fa, lab , *rebb re, fa, lab , *si fa, lab , *si, *re#

Lab m DD+5 DD+57 t DDvx5+3 s< −f t DDv svi