El Diseño Cuadrado Latino 2018

 

DISENO CUADRO LATINO Dr. Francisco Lara Ascencio 2016

Introducción

El diseño cuadrado latino, llamado también de doble agrupamiento ya que organiza los tratamientos de dos diferentes maneras: hileras y columnas; donde cada hilera y columna corresponde a una repetición. Los tratamientos se arreglan en bloques de dos sentidos y cada tratamiento aparece una vez en cada hilera y columna. En esta categoría se incorporan los diseños que utilizan dos sistemas de bloques simultáneamente; aplicándose la técnica de doble bloqueo llamados diseño cuadro latino; aquellos que utilizan tres y cuatro sistemas de bloques se denominan diseños de cuadrado grecolatino y diseños de cuadrado hipergrecolatino. Un diseño de cuadro latino es un diseño con un factor experimental y dos variables de  bloqueo, donde la muestra de los sujetos se estratifica en función de dos variables de clasificación y posteriormente se aplican los distintos tratamientos dentro de cada bloque; en consecuencia, se determinan tres dimensiones de variación; la primera relacionada con los tratamientos aplicados y las otras dos, relacionadas con las filas y las columnas de una matriz de doble entrada. Este diseño se utiliza para conducir experimentos en condiciones heterogéneas donde las  propiedades cambian en dos direcciones como ocurre en la toma de muestras para análisis de laboratorio, donde las condiciones cambian entre planta y planta (una dirección) y de hoja a hoja por tamaño o posición en la misma planta (otra dirección). Es importante citar que, independientemente de la disposición que adopte el cuadrado latino, cada valor de la variable tratamiento debe aparecer una sola vez en cada fila y en cada columna del cuadrado; además de cumplir con los requisitos siguientes a fin de garantizar su correcta aplicación; estas son:

  El diseño debe ser equilibrado, caso contrario, el efecto de las variables de bloqueo



no permanece constante a lo largo de todos los tratamientos.

  Las interacciones no deben ejercer influencia significativa sobre la variable respuesta



ya que, el DCL no permite examinar las interacciones. De no cumplirse el requisito anterior, lo conveniente sería elegir un diseño factorial, el cual resultas más idóneo.

 

 

  Las variables de bloqueo deben guardar una estrecha relación con la variable



dependiente, ya que la efectividad del diseño depende del grado de relación existente entre las variables de bloqueo y la variable respuesta. Algunos argumentos para su aplicación son: Suponga que se tiene un experimento agrícola donde las unidades experimentales son parcelas, pero estas parcelas están ubicadas en diferentes tipos de suelo y además tienen diferentes valores de pH, uno podría pensar en realizar un diseño de bloques al azar usando cualquiera de estas dos características, realizando bloques de acuerdo a los diferentes valores de pH o bloques que consideren los diferentes tipos de suelo. Otra alternativa, que como ya se habrán imaginado es la más adecuada, es hacer un “doble  bloqueo”, o sea bloques en dos d os direcciones, que consideren que  consideren las dos fuentes de variación, a este tipo de diseño se le denomina Cuadrado o Cuadro Latino, donde se tiene un conjunto de “t”  tratamientos y “t2” unidades experimentales, que son agrupadas por dos factores. “t” Otro escenario podría ser cuando se quiere experimentar con cinco raciones (A, B, C, D y E)en cinco vacas y con cinco cinco pastos distintos usados como pasturas; es este caso es aconsejable que cada ración sea experimentada en cada una de las vacas y con cada uno de los pastos.

Características

  Una de las características importantes es que este diseño se utiliza cuando la



variabilidad del material experimental en dos sentidos, es decir, existen simultáneamente dos posibles fuentes de variabilidad o dos ´posibles factores de confusión.

  Las unidades experimentales se distribuyen en grupos, bajo dos criterios de



homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma.

  Se construye al distribuir los tratamientos en un arreglo de hileras y columnas.   En cada fila y en cada columna el número de unidades es igual al número de





tratamientos.

  Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada



fila y dentro de cada columna.

  Se tiene igual número de hileras y columnas.   Cada hilera y columna constituyen una repetición completa de los tratamientos, es

 

decir, un bloque completo.

 

 

  El número de filas o columnas es igual al número de tratamientos.   Un tratamiento cualquiera aparece representado una sola vez en la misma hilera o en

 

la misma columna.

  Siempre, el número total de unidades experimentales a utilizar es t 2.   La disposición de las hileras o columnas se realiza mediante un mecanismo aleatorio.





Ventajas y desventajas

Ventajas

  Controla las fuentes de variación en las dos direcciones: hileras y columnas, es decir;



extrae del error experimental, la variación debida a tratamientos, hileras y columnas.

  Reduce el error experimental   Permite controlar la heterogeneidad del material experimental en dos sentidos:

 

horizontal y vertical ya que, si se conocen dos fuentes de variabilidad de las unidades experimentales y se puede hacer un “bloqueo” en dos direcciones, se va a poder hacer una comparación más precisa de los tratamientos (se tiene más potencia) pues la variación debida a las filas y las columnas es removida del error experimental.

  Permite estudiar un número reducido de tratamientos   Permite toda vez que el experimento sea bien diseñado, controlar tres variables

 

simultáneamente.

  Es fácil de analizar, comparado con el diseño de bloques al azar, sólo se requiere de



una suma de cuadrados adicional.

  Cuando se tienen cuadrados pequeños (lo que implica pocos grados de libertad para



el error experimental) se pueden utilizar varios de estos cuadrados de poco tamaño y realizar un análisis combinado de los mismos en algo que se llama cuad cuadrados rados latinos repetidos.

Desventajas

  El número de filas, columnas y tratamientos debe ser el mismo.   Al haber muchos tratamientos el número de parcelas se incrementa por tanto es poco





 práctico su manejo.

  Requiere de mayor precisión en el manejo, comparado con el DBA   El error experimental se aumenta con el tamaño del cuadro.





 

 

  Los cuadros latinos 2*2, 3*3 y 4*4 no son sensible al análisis estadístico, ya que su



reducido número de grados de libertad no permite medir con exactitud la efectividad de los tratamientos.

  El número de tratamientos, filas y columnas debe ser igual, a veces es difícil encontrar



unidades experimentales que permitan armar los bloques homogéneos en las dos direcciones, más aún, si el número de d e tratamientos es grande.

  Los diseños pequeños tienen pocos grados de libertad para la estimación del error



experimental y a medida que el tamaño del diseño aumenta, es posible que no se tenga homogeneidad al interior de cada bloque.

   No es un diseño adecuado si existe ex iste interacción entre los efectos de fila, columna co lumna y



tratamientos.

  Se pierden grados de libertad en el error experimental, sacrificando la precisión del



diseño experimental.

  Debido a que el número de hileras y columnas debe ser igual al de tratamientos, el



número de tratamientos es limitado. 

   No es recomendable para estudiar un número elevado de tratamientos.

Condiciones para el montaje de un experimento en campo

  Dividir el área experimental en un número de unidades experimentales igual al



cuadrado del número de tratamientos.

  Formar hileras y columnas de unidades experimentales iguales al número de



repeticiones y tratamientos.

  Distribuir los tratamientos en forma tal que ninguno se repita en hileras ni en columna.



Para lograr cumplir esa restricción, se debe seguir el procedimiento establecido en la aleatorización.

Aleatorización

Se parte de un cuadrado latino reducido, es decir, aquel en el cual la primera hilera y la  primera columna están están dispuestas en orden alfabético. Al proceso anterior anterior también también se le llama Cuadrado latino estándar y es definido como aquella disposición en la que tanto la primera fila como la primera columna siguen el orden o la secuencia numérica natural.

 

 

El procedimiento para la aleatorización es el siguiente:

       



Seleccionar un cuadrado latino reducido



Permutar hileras aleatoriamente



Permutar columnas aleatoriamente



Asignar los tratamientos a las letras al azar

Suponga cuatro tratamientos (A, B, C y D), entonces, proceder a arreglar los tratamientos, haciendo permutaciones horizontales o verticales. Al realizar las permutaciones horizontales el arreglo es el siguiente: Seguido, se enumeran las hileras del cuadro anterior del 1 al 4 y sortear. Suponga que con el sorteo estas quedan de la forma siguiente: 1 A B

C

D

4 B

C

2 D A B

C

1 A B

D A C

3 C

D A B

3 C

4 B

C

2 D A B

D A

D

D A B C

Posteriormente, numerar las columnas del 1 al 4 y luego sortear. A manera de ejemplo podría quedar así: 1

2

3

4

1

4

3

2

B

C

D

A

B

A

D

C

A

B

C

D

A

D

C

B

C

D

A

B

C

B

A

D

D

A

B

C

D

C

B

A

Finalmente, se constituye en el cuadro final para la distribución de los tratamientos en campo y las unidades experimentales deben ser numeradas siguiendo un sistema que facilite su manejo.

Restricciones Un tratamiento cualquiera debe estar solamente una vez en una columna. Un tratamiento cualquiera debe estar solamente una vez en una fila.

 

 

Modelo estadístico

Supóngase que se tiene una serie de dos tablas para un diseño en cuadro latino 4*4. Estas tablas en ningún momento modifican el croquis de campo. La primera tabla corresponde cor responde a la información correspondiente a columnas e hileras respectivamente y la segunda agrupa la información relacionada con los tratamientos, sumando todas las veces que se repitió cada tratamiento, obteniéndose así el valor total de Y..k como se indica a continuación. FILAS

COLUMNAS

TOTAL DE FILAS

1

2

3

4

1

Y11K   Y12K   Y13K   Y14K   Y1..

2

Y21K   Y22K   Y23K   Y24K   Y2..

3

Y31K   Y32K   Y33K   Y34K   Y3..

4

Y41K   Y42K   Y43K   Y44K   Y4..

TOTAL DE

Y.1.

Y.2.

Y.3.

Y.4.

Y..

COLUMNAS

(Gran total) TRATAMIENTOS 1

2

3

4

1

Yij1 

Yij2 

Yij3 

Yij4 

2

Yij1 

Yij2 

Yij3 

Yij4 

3

Yij1 

Yij2 

Yij3 

Yij4 

4

Yij1 

Yij2 

Yij3 

Yij4 

TOTAL DE

Y..1 Y..2 Y..3 Y..4

TRATAMIENTOS Media de tratamientos

Y 

..1

 Med  M edia ia  _  ge gene neral ral



Y 

Y 

..2

 

 

Y 

..3

 

Y 

..4

 

Y ... 

t 2    

 

Por tanto el modelo estadístico esta dado por el modelo lineal siguiente:

Y ijk 

 m+ Hi

+ C j + Tk + Єijk

i = 1,2,3,  ..t  

 

 j = 1,2,3, 

.t

k = 1,2,3, 

.t

t=h=c

Donde:

Yijk= es el valor observado correspondiente al k-ésimo tratamiento en la i-ésima fila con la  j-ésima columna. µ= Es el efecto sobre la media general de la variable respuesta Hi= es el efecto de la i-ésima fila o hilera en la variable dependiente. Cj= El efecto de la j-ésima columna en la variable dependiente. Tk= Es el efecto del k-ésimo tratamiento en la variable dependiente. Єijk= Error experimental asociado a la variable respuesta.  respuesta.   Donde:

 y no existe interacción entre filas y tratamientos como tampoco entre

NID 0 columnas y tratamientos. εijk ~ ( , σ2 Análisis de varianza

Con base en el modelo anterior, el análisis de varianza queda estructurado según las fuentes de variación que involucran a filas o hileras, columnas y tratamientos respectivamente. Fuente de Grados variación (FV)

de libertad

Suma de cuadrados

Cuadrado

F Calculada F de tablas

(SC)

medio (CM)

(Fc)

0.05 0.01

(GL) Tratam.

t-1

t 

 k 1

Hileras

t-1

t 

 i 1

Columnas

t-1

 y..2k  t



2

 yi.. t 2



( y...) ...)2 t 2

 

( y... ...) 2 2

t 

 

 y.  j .   (  y...) ...)2  t  t 2   j 1   t 

CM trat 

SC trat 

 

CM error 

SC hilera

CM hilera

GLtrat 

GLhilera

SC columna

 

error 

 

CM error    CM columna

 

GLcolumna

GL

 F GL trat 

CM error   

 

GL

 F GL hilera error 

 

GL

 F GL columna error 

 

 

 

Error Exp.

(t-1)(t-2)

SC error 

≠ 

GLerror  t

T2-1

Total

t

 

2

t 

   yijk   2

( y...) ...)

i 1 j 1 k 1

t 2

 

Planteamiento de Hipótesis y regla de decisión

Ho= T1=t2=t3…….t   τ Ho= todos los tratamientos producen el mismo efecto

 H a

 i 

j



ti



t j

  Ha= Al menos el efecto de un tratamiento es diferente al de los demás. Ho= H1= H2= H3….Ht  H3….Ht  Ho= Todas las hileras producen el mismo efecto  H a

 i 

j



Hi



H j

  Ha= Al menos el efecto de una fila es diferente al de los demás. Ho= C1= C2= C3….Ct  C3….Ct   Ho= Todas las columnas producen el mismo efecto  H a  i  j  Ci  C j   Ha= Al menos el efecto de una columna es diferente al de los demás. Regla de decisión  FCal ,columnas  FCal , Hileras

Se rechaza rechaza la Ho si





GL

F GL columna ,  0. 0.05 05;0. ;0.0 01 error 

GL

F GL hilera ,  0.05 .05;0. ;0.01 01

 FCal ,tr aatt aam mi en en tto os

error 



GL

F GL trat  ,  0. 0.0 05;0. ;0.0 01 error 

 

 

 

 FCal ,columnas  FCal ,Hileras Se acepta la Ha si





GL

columna ,  0.0 .05 5;0. ;0.01 01 F GLerror 

GL

hilera ,  0.05 .05;0. ;0.01 01 F GLerror 

 FCa Call ,trat tratam amie ient nto os



GL

trat  F GLerror  ,  0. 0.05 05;0. ;0.0 01

 

El valor crítico de la F tabulada se ubica en la tabla de F de Fisher & Snedecor, considerando los grados de libertad de tratamientos (GLtrat.), los grados de libertad del error (GLerror) y un determinado nivel nivel de significancia (∞)(0.05, (∞)(0.05, 0.01).

Ejemplo de aplicación e interpretación

En un experimento sobre evaluación de variedades de caña de azúcar realizado en Brasil. Fueron utilizadas las variedades Co-290, Co-421, Co-419, POJ-2878 (D) y CP-3613 (E), dispuestas en cuadrado latino de tamaño 5*5. Las producciones de caña en kilogramos por  parcela son dadas en la tabla siguiente: Yi..

Y.j.

D 432

A 518

B 458

C 583

E 331

2322

C 724

E 478

A 524

B 550

D 400

2676

E 489

B 384

C 556

D 297

A 420

2146

B 494

D 500

E 313

A 486

C 501

2294

A 515

C 660

D 438

E 394

B 318

2325

2654

2540

2289

2310

1970

11763

Cuadro auxiliar para tratamientos. VARIEDAD

TOTAL DE

MEDIA

TRATAMIENTO TRATAMIENTO Y..k

Y ..k 

Co-290 (A)

2463

  492.6

Co-421 (B)

2204

440.8

Co-419 (C)

3024

604.8

POJ-2878 (D) 2067

413.4

CP-3613 (E)

2005

401.0

11763

2352.6

 

 

Calculo de las sumatorias de cuadrados. SC trat .



(2  463)

2



(22 (2204)



SC columna SC total   





(3024)

2



(2067)

2



(2 (20 005)

2 

5 2

SC  filas

2

(2 (23 322)  



2 

(26 (2676)

2 

(2146) 5

2 

(22 (2294)

(23 (2325)

5 2



((5 518)

2



((4 458)

2



...........(394)

2



((3 318)

2

2 

25

2 

137,488.2  

2 

2 (2 (26 (2540)2  (22 (2289)2  (23 (2310)2  (1970)2   654)  (25

(432)

(11763)

(11763) 25





 

(11763)2

25 2   (11763)



25

30,480.64



55,640.64  



257, 7 72 24.24  

SCerror= SCtotal-SCtrat.-SCfilas-SCcoluma SCerror=257.724-137.488-30.480-55.640= 34.116.34,114.72 Estructura del ANVA Fuente

de Grados

de Suma

de Cuadrado

F

F de tablas

variación

libertad

Cuadrados

medio

Calculada

(Ftabulada)

(FV)

(GL)

(SC)

(CM)

(Fcal)

0.05 0.01

Variedades

4

137488.24

34372.06

12.09**

3.26 5.41

Filas

4

30480.64

7620.16

2.680ns

3.26 5.41

Columnas

4

55640.64

13910.16

4.892ns

3.26 5.41

Error

12

34114.72

2842.89

Total

24

257724.24

Conclusión: de acuerdo con los resultados del análisis de varianza, se concluye que las variedades presentan efectos diferentes altamente significativos (∞= 0.01) en cuanto a la  producción de caña de azúcar, por tanto, es recomendable realizar una prueba prueba de comparación de medias. Comparación de medias Duncan Ordenar las medias de mayor a menor Variedad

MEDIA

Grupo Duncan

 

 

CO-419

604.80

A

C0-290

492.60

B

C0-421

440.80

B

POJ-2878

413.40

B

CP-3613

401.00

B

Determinar el límite límite de significancia (q), (q), el error estándar del promedio (Sx) y el límite límite mínimo significativo (Ws).

´'

W  s

 

 

2.843





23.84

5

 

S

MEDIAS COMPARADAS 2

3

4

5

q

3.08

3.23

3.33

3.36

Sx

23.84

Ws

73.42

77.00

79.39

80.10

Representar la comparación de medias CO-419

C0-290

C0-421

POJ-2878

CP-3613

604.80

492.60

440.80

413.40

401.00

CP-3613

203.80

91.6

39.8

12.4

0

401.00

80.10

79.39

77.00

73.42

POJ-2878

191.4

79.2

27.4

0

413.40

79.39

77.00

73.42

C0-421

164

51.8

0

440.80

77.00

73.42

C0-290

112.2

0

492.60

73.42

CO-419

0

604.80

 

 

Conclusión: de acuerdo al análisis de varianza se concluye que las variedades producen efectos diferenciados en cuanto a la producción de caña de azúcar; y según la comparación de medias Duncan es la variedad c0-419 la mejor, superando significativamente a las demás. En el resto de variedades no se mostraron diferencias estadísticas comparativas; por lo que  para la zona del bajo lempa y en consecuencia a los productores cañeros, cañ eros, se les recomienda la variedad C0-419, respetando el manejo agronómico que para ella se plantea. Estimación de datos u observaciones perdidas

Al igual que en el diseño de bloques completos al azar, en el diseño diseño de cuadro latino se  pueden calcular datos perdidos, para ello y según los casos, se aplican las fórmulas siguientes: Cuando se tiene una unidad experimental perdida, se utiliza la ecuación:

Y ijk 



t(H



C  T )  2G

(t  1)(t   2)

 

Donde: t = número de tratamientos H = Total de valores observados para la fila que contiene la unidad faltante. C = Total de valores observados para la columna que contiene la unidad faltante. T = total del tratamiento que contiene la unidad faltante. G = Gran total de valores observados.

Recordar que al momento de realizar el ANVA para experimentos con datos faltantes, se debe restar un (1) grado de libertad del total y del error, por cada uno de ellos Cuando faltan dos datos Se parte de obtener una estimativa inicial para uno de los datos. Luego se debe suponer que solo hay un dato faltante y se estima aplicando la ecuación, modificando lo relativo al gran total, producto del primer estimativo. Se ignora la primera estimación, se modifica el gran total y se aplica la ecuación.

 

 

Se repite el segundo paso, usando la nueva estimación. Se repite el tercer paso, hasta lograr las estimaciones definitivas.

Recordar que al momento de realizar el ANVA para experimentos con dos datos faltantes, se deben restar dos (2) grados de libertad del total y del error, por cada uno de ellos

Existe otra forma de calcular los datos faltantes, estas son: Dos datos faltantes en el mismo tratamiento, pero en hileras y columnas diferentes:

 X 1 

(t  1)Q1  Q2  

 X 2 

2

t (t  2) 

Q1= t(R+C+T)-2G

(t  1)Q2  Q1  

2

  t (t   2) Q2= t(R+C+T)-2G

 

R1 y C1: totales de la hilera y la columna donde falta X1 R2 y C2: totales de la hilera y la columna donde falta X2 T12 : total del tratamiento donde faltan X1 y X2 Dos datos faltantes en la misma hilera, pero en columna y tratamientos diferentes:

 X 1  (t   1)Q1 2Q2 t (t   2)   Q1= t(T1+C1+R12)-2G

 X 2  (t   1)Q2 2 Q1 t (t   2)   Q2= t(T2+C2+R12)-2G

T1 y C1: totales de tratamientos y las columnas donde falta X1 T2 y C2: totales de la hilera y la columna donde falta X2 R12 : total de la hilera donde faltan X1 y X2. Dos datos faltantes en la misma columna, pero en hileras y tratamientos diferentes:

 

 

(t  1)Q1  Q2

 X 1 

 

 X 2

2

t (t   2)

  Q1= t(T1+R1+C12)-2G



(t  1)Q2  Q1  

t (t   2)

2

  Q2= t(T2+R2+C12)-2G

T1, T2,R1 y R2: ya están definidas C12 : Total de la columna donde faltan X1 y X2. Dos datos faltantes en diferentes tratamiento, hilera y columna:

 X 1

  f Q1

 fQ1 Q2 





 

2

 f  

(t







4

 X 2  



 fQ2  



2

 f  

2Q1



4

 

1)(t   2)

t (T1  R1  C1 )  2G

Q2  t (T2  R2  C2 )  2G   Una vez calculado los datos, éstos se sustituyen en el cuadro de datos para proceder al desarrollo del ANVA.

 

 

DATA CL; INPUT H C T RES; CARDS; 1 1 4 2.0 1 2 1 1.2 1 3 2 1.5 1 4 3 2.2 2 1 2 1.4 2 2 3 1.9 2 3 4 1.6 2 4 1 0.9 3 1 3 2.0 3 2 4 1.5 3 3 1 1.1 3 4 2 1.7 4 1 1 1.3 4 2 2 1.7 4 3 3 2.4 4 4 4 1.7 PROC PRINT; PROC ANOVA; CLASS H C T; MODEL RES= H C T; MEANS T/TUKEY; RUN; DATA CL; INPUT H INPUT H C T RES;

CARDS; CARDS; 1 1 4 2.0 1 2 1 1.2 1 3 2 1.5 1 4 3 2.2 2 1 2 1.4 2 2 3 1.9 2 3 4 1.6 2 4 1 0.9

 

 

3 1 3 2.0 3 2 4 1.5 3 3 1 1.1 3 4 2 1.7 4 1 1 1.3 4 2 2 1.7 4 3 3 2.4 4 4 4 1.7 PROC PRINT; PROC glm;

CLASS H CLASS H C T; MODEL RES= H C T; MODEL RES= MEANS  MEANS T; contrast "supra vs resto" contrast  resto" T  T +3 -1 -1 -1; contrast  "ana vs aero" aero" T  T 0 +1 -1 0; contrast contrast "ana aero vs semiana" contrast  semiana" T  T 0 +1 +1 -2; RUN;