El Disco a Tiene Una Masa m

1

Eldi s coA oA t i ene una mas a m=2kg y s e es t á des l i zando haci a elcentr o s obr eunasuper fici el i s acon unavel oci dad V  ( m/s ) ,cuandoc hocac on A1=5 el ci l i ndr o B, que s e es t á des l i zando haci a A con una vel oci dad V  ( m/s )pr oduci éndoseun choquecent r aldi r ect o.Sielcoefici ent ede B1=2 res ti tuci ón entr el osdosdi scosese se=0 =0. 4,d ,det er mi narl asvel oci dadesdeA yB  j ust odespuésdel acol i si ón.

e=

V  A 2−V B 2 V B 1−V  A  A  1

( V B −V  A ) e =V  A − V B 1

1

2

2

V  A 2−V B 2=0.4∗( −2 −( 5 ) ) V  A 2−V B 2=−2.8 V  A  A 2=V B 2−2.8 ( 1) m A V  A 1 + mB V B 1= m A V  A 2 + mB V B 2 2∗5 + 4∗(−2 ) =2 V  A 2 + 4 V B 2 2=2 V  A 2 + 4 V B 2 1=V  A  2 + 2 V B 2 ( 2)

 Remplazo (1 ) en ( 2) 1=V B 2−2.8 + 2 V B 2

2

V B 2= 1.27 ( m / s ) V  A 2=V  B 2−2.8 V  A 2=1.27 −2.8 V  A 2=−1.53 ( m / s )

Cadabol ati eneunamasam yelcoefici ent eder es t i t uci ón entr eel l asese. Si l as bol as s e es t án di r i gi endo hac i al a ot r a con una vel oci dad v. Det er mi nar s u vel oci dad común, c uando el l as al canzan el es t ado de máxi madef or maci ón.Nocons i der are lt amañodel asbol as .

e=

V  A 2−V B 2 V B 1−V  A 1

( V B −V  A ) e =V  A − V B 1

1

2

2

V  A 2−V B 2=e∗(−v −( v ) ) V  A 2−V B 2=−2 ev V  A 2=V  B 2−2 ev ( 1 ) m A V  A 1 + mB V B 1= m A V  A 2 + mB V B 2 m∗v + m∗(−v )= mV  A 2 + m V B 2

3

0 =m V  A 2 + m V B 2

mV B 2=−mV  A 2 V B 2=−V  A  2( 2)  Remplazo (1 ) en ( 2) V B 2=−(V B 2− 2 ev ) 2 V B 2=2 ev

V B 2= ev V  A 2=V B 2−2 ev V  A 2=−ev

Elhombr eA t i ene un pes o de 100( l b)y s al t a des de elr epos o haci al a pl at af or ma P que t i ene un pes o de W P=60( l b) . La pl at af or ma es t á mont adas obr eunr es ort equet i eneunacons t ant edek=200( l b/pi e) .Siel coe fic i ent e de r es t i t uci ón ent r e el hombre y l a pl at af or ma e=0. 6. Det er mi narl a al t ur ar equer i da dels al t o,s il a máxi ma compr ensi ón del r e s o r t ede bes e r2 ( pi e s ) .

 Ec P + Ep P = E EB+ EcB 1 2

1

1

2

2

∗m∗V  P 2+ m∗g∗h P = ∗k ∗ x 2 + ∗m∗V B 2

4

1 2

1

∗60

1

2

32.2

2

2

∗V  P + 60∗2= ∗200∗2 + 2

0.9316 V  P

2

∗60

32.2

∗02

=400 −120

V B =17.3359 ( pies / s )

e=

V  A 2−V B 2 V B 1−V  A 1

( V  P −V  A ) e =V  A −V  P 1

1

2

2

V  A 2−17.3359 =0.6∗( 0 −√ 2 gh ) V  A 2=17.3359 −0.6 √ 2 gh ( 1 ) m A V  A 1 + m P V  P 1 =m A V  A 2 + m P V  P 2 100 32.2

∗√ 2 gh +

60 32.2

∗0 =

 100 32.2

∗V  A 2 +

60 32.2

∗17.3359

24.92 √ h + 0=3.1056 V  A 2 + 32.3029 ( 2)

 Remplazo (1 ) en ( 2) 24.9222 √ h + 0=3.1056 ( 17.3359−0.6 √ 2 gh )+ 32.3029

24.92 √ h =53.8384 −14.9534 √ h + 32.3029 39.8755 √ h =86.1411

h =4.67 ( pies )

5

Lastr esbol asA,B yC  t i enenl ami s mamas am,SiA  t i eneunavel oci dad vj us t o ant es delchoque di r ect o con B,det er mi narl a vel oci dad de C despuésdel acol i s i ón.Elcoefici ent ederes t i t uci ón ent recadaunadel as bol asese.Nocons i der arelt amañodel asbol as

e=

V  A 2−V B 2 V B 1−V  A 1

( V B −V  A ) e =V  A − V B 1

1

2

2

V  A 2−V B 2=e∗ ( 0− v ) V  A 2−V B 2=−ev V  A 2=V B 2−ev ( 1)

m A V  A 1 + mB V B 1= m A V  A 2 + mB V B 2 m∗v + m∗0 =mV  A 2+ mV B 2 mv =mV  A 2+ mV B 2 mV B 2=mv −m V  A 2 V B 2= v −V  A  2 ( 2)

6

 Remplazo (1 ) en ( 2)

V B 2= v −( V B 2 −ev ) 2 V B 2= v −ev

V B 2=

e=

v ( 1 −e ) 2

V C 3−V B 3 V B 2−V C 2

( V B −V C  ) e= V C  −V B  2

1

3

3

( ( − )− )

V C 3−V B 3=e∗

V C 3−V B 3=

V C 3=V B 3+

v 1 e

0

2

ev ( 1− e ) 2

ev ( 1 −e ) 2

(1 )

mC V C 2 + m B V B 2=mC V C 3 + m B V B 3

m∗0 +

m

m∗v ( 1− e ) 2

 v ( 1 −e ) 2

m

=m V B 3 + m

 v ( 1 −e ) 2

[

=m V B 3 +

ev ( 1− e ) 2

 ev ( 1−e ) 2

=2 mV B 3 + m

7

]+

mV B 3

+ mV B 3

 ev ( 1 −e ) 2

v ( 1− e ) 2

=2 V B 3 +

ev ( 1−e ) 2 2

V B 3 =

v ( 1 −e ) 4

V C 3=V B 3+

ev (1 −e ) 2

2

V C 3=

v ( 1 −e ) ev ( 1 −e )

+

4

2 2

V C 3=

v ( 1 −e ) 4

Sedej acaerl abol adeW =1( l b)   part i endodelreposoy caeunadi s t anci a de4( pi e s )ant esde gol pearelpl ano l i s o en A.Sie=0. 8,det er mi narl a di s t anci addondegol pear adenuevoelpl anoen B. V 0= √ 2 gh V 0= √ 232.2∗ 4 V 0=16.05 ( pies / s )

e=

V 02−V B 2 V B 1−V 01

( V B −V  ) e =V  − V B 1

01

02

V 02−0 =0.8∗ (16.05 ) 8

2

V 02=12.84 ( pies / s )  x =V 02 cosα ∗t 

1 2

1

2

 y =V 02 senα ∗t − g t  2

1

 y =V 02

 y =tgα ∗ x −

2

(

−3 4

∗32.2∗ x 2

senα ∗ x 2 − V 02 cosα  ( V 02 cosα )2 1

∗32.2∗ x 2

12.84∗3 5

4

2

)

2

 x =  x −0.27  x 3

0.27  x

2

−1.33  x −0.75  x =0

0.27  x

2

−2.08  x =0

 x ( 0.27 x − 2.08 )=0  x =0 x =10.49 ( pies )

 y =−7.86 ( pies ) d = √  x +  y 2

2

d = √ 10.49 +(−7.86 ) 2

2

 y =V 02 senα ∗t − g t 

2

d =13.8 ( pies )

9

Labol ademA=2kg,s el anzacont r aunbl oques us pendi doB demB=20kg, conunavel oci dadV  ( m/s ) .   Sielt i empodedur aci ón deli mpact oent r e A=4 l abol a y elbl oqueest =0. 005(s ) ,   det er mi narl af uer zanor malpr omedi o ej er ci dasobr eelbl oquedur ant ees t et i empo.Tomee=0. 8.

e=

V  A 2−V B 2 V B 1−V  A 1

( V B −V  A ) e =V  A − V B 1

1

2

2

V  A 2−V B 2=0.8∗( 0 − 4 ) V  A 2−V B 2=−3.2 V  A 2=V  B 2−3.2 ( 1 ) m A V  A 1 + mB V B 1= m A V  A 2 + mB V B 2 2∗4 + 20∗0 =2 V  A 2 + 20 V B 2 8 =2 V  A 2 + 420 4 =V  A  2 + 10 V  B 2 ( 2)

 Remplazo (1 ) en ( 2) 4 =V B 2−3.2 + 10 V B 2

10

V B 2= 0.6545 ( m / s ) mB∗v B 1+

∑∫ F ∗dt =m ∗v B

B  2

20∗0 + F ∗t =20∗0.6545 0.005  F =13.09

 F =2618.18 ( N )

Laspl acasA yB  t i eneunamas am=4kg,cadaunay es t án res t ri ngi dosa movers eal ol argodel asguí asl i s as.Sielcoefici entederes ti tuci ón entr e l aspl acasese=0. 7.Det er mi nar :a)l a vel oci dad deambasj us t o des pués del acol i s i ón,b)l amáxi macompr es i ón delre s ort e.Lapl aca A  t i eneuna vel oci dad de V  ( m/s )  j us t o ant es de gol pear a B.La pl ac a B e s t a A=4 ori gi nal menteenreposoyelr es ort ees t aNO def ormado.

e=

V  A 2−V B 2 V B 1−V  A 1

( V B −V  A ) e =V  A − V B 1

1

2

2

V  A 2−V B 2=0.7∗( 0 −4 ) V  A 2−V B 2=−2.8 V  A 2=V B 2−2.8 ( 1) m A V  A 1 + mB V B 1= m A V  A 2 + mB V B 2 4∗4 + 4∗0 =4 V  A 2 + 4 V  B 2 16= 4 V  A 2 + 4 V B 2

11

4 =V  A  2 + V B 2 ( 2 )

 Remplazo (1 ) en ( 2) 4 =V B 2−2.8 + V B 2

V B 2= 3.4 ( m / s ) V  A 2=V  B 2−2.8 V  A 2=3.4 −2.8 V  A 2= 0.6 ( m / s )  Ec B + EpB = E EC + Ec C  1 2

1

1

2

2

∗m∗V B 22 + m∗g∗h P= ∗k ∗ x 2+ ∗m∗V C 2 1 2

1

1

2

2

∗4∗3.4 2+ 60∗0 = ∗500∗ x 2 + ∗4∗02 23.12 =250 x

2

 x =0.3041 (m )

Labol aA  depes oW  ( l b)  ess ol t adades deelr eposodes deunaal t ura A=8 deh=10( pi es )medi dos des de l a pl ac a que t i ene un pes o de W  ( l b) . P=6 Det er mi nar l a máxi ma c ompr ens i ón del r es or t e, si el i mpac t o es perf ect ament eel ást i co.

V  A = √ 2 gh

12

V  A =√ 2∗32.2∗10 V  A =25.3771 ( pies / s )

e=

V  A 2−V B 2 V B 1−V  A 1

( V B −V  A ) e =V  A − V B 1

1

2

2

V  A 2−V B 2=1∗( 0−25.3771 ) V  A 2− V B 2=−25.3771 V  A 2=V B 2−25.3771 ( 1 )

m A V  A 1 + mB V B 1= m A V  A 2 + mB V B 2 8 32.2

∗25.3771 +

6 32.2

∗0 =

8 32.2

V  A 2+

6 32.2

V B 2

6.3049= 0.2484 V  A 2 + 0.1863 V B 2 (2 )

 Remplazo (1 ) en ( 2) 6.3049= 0.2484 ( V  B 2−25.3771)+ 0.1863 V  B 2

V B 2= 28.79 ( pies / s )  Ec B + EpB = E EC + Ec C  1 2

1

1

2

2

∗m∗V B 22 + m∗g∗h P= ∗k ∗ x 2+ ∗m∗V C 2

13

1 2

1

∗6

32.2

1

2

2

2

∗28.79 + 6∗0= ∗36∗ x + 2

∗6

32.2

∗02

2

77.22 + 6 x =18 x 2

18 x

− 6 x −77.22

 x =2.2446 ( m )

La bol a de pi ngpong t i ene una mas a de m=2( g) .Siesl anzada con l a vel oci dad v=18( m/s ) ,det er mi narl aal t ur ah al canzal uego derebotare n eltabl erol i s o.Tomee=0. 8.

 x =V ox∗t 

t =

  2.25 18cos30

t =0.1443 ( s )

V =Vo +¿

V =18 sen 30 + 9.8∗0.1443 V =10.4141 ( m / s )

e=

V  A 2−V B 2 V B 1−V  A 1

( V B −V  A ) e =V  A − V B 1

1

2

14

2

V  A 2− 0=0.8∗( 0 −10.4141 ) V  A 2=−8.3313

1

2

h =V  A 2 senα ∗t − g t  2

1

h =V  A 2

∗9.8∗ x 2

senα ∗ x 2  − V  A 2 cosα  ( V  A 2 cosα )2 1

h =tg 28.12∗0.75 −

2

∗9.8∗0.752

(18cos30∗cos28.12 )2

h =0.4008 −0.0149 h =0.3862 ( m)

Sie ldi s c oA  sedesl i zaal ol argodel at angent ealdi scoB  y gol peaaB conunavel oci dadv,det ermi narl avel oci dad deB  despuésdel acol i si óny cal cul arl a perdi da de energí a ci nét i ca durant el a col i s i ón.Elcoefici ent e derest i tuci ón ese.Eldi scoB  est aori gi nal menteen r eposoy cadadi s co t i enee lmi s mot amañoyl ami s mamas am.

e=

V  A 2−V B 2 V B 1−V  A 1 15

( V B −V  A ) e =V  A − V B 1

1

2

2

V  A 2−V B 2=e∗( 0− vcos 30 ) V  A 2−V B 2=−evcos 30 V  A 2=V B 2−evcos 30 m A V  A 1 + mB V B 1= m A V  A 2 + mB V B 2 mvcos 30 + m∗( 0 )=m ( V B 2−evcos 30)+ m V B 2 mvcos 30=2 m V B 2− emvcos 30 2 V  B 2= vcos 30 + evcos 30

V B 2=

vcos 30 (1 + e ) 2

V B 2=

√ 3 ( 1 + e ) v 4

V  A 2=V B 2−evcos 30

V  A 2=

√ 3 4

V  A 2=

(1+ e ) v − evcos 30 v 4

 √ 3 e 2−6 e + 7

Unaes f er ademas am1) 5kgcuel gadeunacuer dade2met r osdel ongi t ud f ormando un angul o de60 con l avert i cal ,y als ol t ars edeest aposi ci ón, c hocacon ot r aes f er ademas am2=20kgques ehal l aenr epos o.Sie=0, 5 entr el asesf erasyUk=0, 3;hal l ar: 16

Eles paci oquerecor rel aesf er am2hast adet ener s e Quet i empoempl eoe ndet ener s e Cualeselmáxi moangul oquef ormal aes f er am1conl avert i cal Cualeselporcentaj edeener gí aper di do

h =cos60− 2

h =1 m

h1=2 −h → h1−1 m

v 1= √ 2 gh

v 1= √ 2 ( 9,8 ) .1

v 1= 4,43 m / s

e=

v ´ 2− v ´ 1

v 2=2,215 + v ´ 1

e 1 = 4,43 =v ´ 2− v ´ 1

v 1− v 2

5 ( 4,43 )= v ´ 1 + 20 ( 2,215 + v ´ 1 )

m 1 v 1=m 1 v ´ 1 + m 2 v ´ 2 22,15= 5 v 1 + 44,3 + 20 v ´ 1

∑ x= m 2 a 2

v 2=1,329 m / s

−22.15 =25 v ´ 1

−!N = m 2 a 2

−0.3.20.9.8 20

v 1=−0,886 m / s

=a 2

2

a 2=−2,94 m / s

−( 1.324 )2 =d 2 2 ( −2,94 )

v 2= v ´ 2+ 20 d 2

2

d 2= v ´ 2 t +

at  2

d 2=0.3

−2,94 2

2

t  + h 329 t −0,30 =0

v 1=√ 2 gh 2

h 2=

(−0,886 )2 2.9,8

t 1= 0,445

h 2=0,040 m

17

t 2= 0,475

h 3=2 −0,040

h 3=1,96 m

cos " =

h3

"= arccos

2

 1,96 2

"=11,478

2

 Eo=

m1 v 1 2

 Eo=

2

 E =m 1.

v 1   2

2

2

2

+ m 2.

v 2

 Eppe# = Eo− E 

Unaes f er aA de v A

5.4,43

 E =

2

 Eo = 49,06

5 ( 0,886 ) 2

¿ 49.06 −19,67

%  A

2

+

30 (1,329 ) 2

2

¿ 1,9 t + 17,66

¿ 29,44   # $ E p =

29,44 49,06

E =19,62

∗100

¿ 60

=2l bs emuevehaci al ai zqui er daconunavel oci dad

=40f t /s,cuandogol peal as uper fici edelbl oqueB de

% B

= 5l bque

s eencuentr aen r epos o.Elbl oques eaopoyaenr odami ent osyes t auni do a un r es ort e de k=12 l b/f t .Sie=0. 75 ent r el a es f er a y elbl oque,y des prec i ando el r ozami ent o det er mi nar l a maxi ma def or mac i on del r e s o r t e . v A& = 4 cos 60' =2  P0= P

18

−m A v (A cos60 ' + mB v oB=−m A&  v A&  cos60 ' + m AN  v  AN  cos60 '−mB v B

( ) =−( ) ∗

−

2

32.2

2

4

32.2

. 0 74 5 =0 . 0 5 4

v A N 

( )

2 cos60 ' +

0 . 1 5 5

vB

2

32.2

( )

cos30 ' −

v  AN 

5

32.2

vB

( 1 )

−v BN  sen 60 ' −v AN  e= - v (B−(−v (AN  )en 60 ' ) 0.65= 0.87 v B + v AN 

( 2)

2en1 0 . 7 4 5 =0 . 0 5 4 ( vB

0.65 − 0.87 v B

) -0 . 1 5 5

vB

=3 . 9f t / s

Cuer poB ( c uandoes t as i ne lcuer poA)

Cuer poB ( c uandoes t acon e l

c uer poA)

 F  * =¿ ma

FCos 60 °+ %  A )en 60 '

∑¿

% B )en 60 ' =ma 5

F= 32.2 2 32.2 ⟹

−

a

 ( 3 )

FCo s 6 0 ° +6 . 0 6 =(

5 32.2

) a ⟹

F=6 . 5 7 9l b

0 . 0 7 7 a +6 . 0 6 =0 . 2 2 a

a =4 2 . 3 7f t /s

F/ k=x x =6 . 5 7 9 / 1 2 =0 . 5 4 8f t

19

2

+

Unaes f er ade v A

m A

=1. 2kgsemuevehaci al ai zqui er dacon unavel oci dad

=2m/sgol peal as uper fic i ei ncl i nada delbl oqueB de

mB

= 4. 8kg.

Si e=² ent r el a es f er a y el bl oque y des pr ec i ando el r oz ami ent o, det er mi narl asvel oci dadesdeA yB i nmedi at ament edes puésdeli mpact o.

v A&  =2Cos60° =1  Po= P -

m A v oA + mB v oB=−m A v A&  cos60 ' + m A v AN  cos60 ' − m B v B

1 . 2( 2) =0 . 6 1 . 8 =1 . 0 4

v A& 

v AN 

+1 . 0 4

4 . 8

vB

v AN 

4 . 8

vB

( 1 )

−v BN  )en 60 '− v AN  e= - v (BN −(−v (AN  )en 60 ' ) 1.732 =0.87 v BN + v AN 

( 2 )

2en1 1 . 8 =1 . 0 4( vB ⟹

v A

1.732 −0.87 v BN  ¿

-4 . 8

vB

=0. 63 15 9m/s 1 . 8 =1 . 0 4 -

v AN 

-4 . 8 ( 0.63159 )

=1. 2m/ s

Unapel ot ade90gl anza daconunavel oci dadVogol peaunapl acade720g fij aaunapar edver t i ca launaal t ur ade90mm Seobs er vaquedes puésde r ebotargol peaelpi s o aunadi s t anci ade 480 mm del apar ed cuando l a pl ac a es t a fij ar í gi dament e a es t a figur a y a una di s t anci a de 220mm cuando ent r el a pl aca y l a par ed s e col oca un col c hón de ca uc ho fij o Det er mi nar Elcoefici ent ederes ti tuci ón“e”entr el apel otayl apl aca 20

Lavel oci dadVodel apel ota

 x =V o t 

e=

1.12

V oA

0.48 = V 0 t 

 x =V ox t  1

2

 y =V oy t + g t 

0.22 =V A t 

2

0.9= 0 +

1 2

1

∗9.8∗t 2

2

 y =V oy t + g t  2

t =0.429 s

0.9= 4.9∗ t 

  0.48

t = 0.429 s

V A =

2

0.429

V A =0.513 m / s

V A =1.12 m / s

e=

m A V oA + m B V Bo =m A V  A  + m B V B 

V B −V A V oA−V (B

e=

−0.09 V oA =0.09∗0.513 + 0.72 V B 

0−V A

−0.09 V oA =0.0461 + 0.72 V B 

V oA− 0

e=

e=

 V A V oA

e=

V B −V A V (A 21

V B −V A V oA−V (B

−1.12 V B−V A =

e =e

V  oA

V (A

−1.12 =V B−0.513 Unapel ot agol peaelpi s oenA conunavel oci daddeVo=16pi es /sconun ángul ode60.Sabi endoquee=0, 6ent r el apel ot ayelpi s oy quedes pués de r ebot arl a pel ot a al canzar a elpunto B con una vel oci dad hori zont al Det er mi nar Lasdi s t anci as“h”y“d” Lavel oci daddel apel ot acuandoal canzaB

V o=16 pies / s V ot = 8 pies / s V oN = 13.86  pies / s

e=

V   V 0

V   =0.6∗13.21 V   =8.316  pies / s

22

2

V 0 h= 2g

h=

 8.316

2

2∗32.2

h =1.023  pies 1

2

h =V o t − g t  2

1.023 =8.316 t −

1 2

∗32.2 t 2

2

16.10 t  − 8.316 t + 1.023 = 0

t 1 =0.265 s t 2 =0.753 s

1 La es f er a B de W  , 75l b cuel ga de una cuer da es t ando B=0 i ni ci al ment een r epos o cuandoesi mpact adaporl aes f er a A W  , 375l b. Cons i der ando un c hoque per f ec t ament e el ás t i co, A=0 det er mi narl amáxi maal t ur a“h”quepuedeal canzarl aes f er a B des puésdeli mpact osis es abequel avel oci dad deA ant es deli mpact oesdeVA=4, 8pi es /s

23

e=

 V B−V A V oA−V oB

( 4.8 )∗1=V B−V A V A =−4.8 + V B cos30 ' V AN =−2.18  pies / s  Po= P  m A V  A= m A V  AN + mB V B 0.375∗4.8∗cos 30 ' =0.375 ∗cos30∗( 4.8 + V B cos30 ' ) + 0.75 V B 1.55 =−1.558 + 0.281 V B + 0.75 V B 3.112=1.031 V B

V B =3.023

mB ghhh+ =

 + =

mB V  B

  3.023

2 2

32.2∗2

 + =0.1419

2