El Criterio de Rotura de Hoek

ÍNDICE INTRODUCCION ................................................................................................. 2 1. CRITERIO DE ROTURA DE HOEK BROWN 2002 – SOLUCIÓN MANUAL 1.1. Datos de entrada para los cálculos .......................................................... 4 1.2. Cálculos con las ecuaciones del criterio de Hoek Brown-2002 ................ 4

1.2.1 Hallando 𝒎𝒃 con la ecuación 3 del criterio de Hoek Brown 2002 ............................................................................................ 4 1.2.2 Hallando 𝒔 con la ecuación 4 del criterio de Hoek Brown 2002 ............................................................................................ 4 1.2.3 Hallando 𝒂 con la ecuación 5 del criterio de Hoek Brown 2002 ............................................................................................ 5 1.2.4 Hallando 𝛔𝟏 con la ecuación 5 del criterio de Hoek Brown 2002 ............................................................................................ 5 1.2.5 Hallando la resistencia a la compresión uniaxial con la

ecuación 6 del criterio de Hoek Brown 2002 .............................. 6 1.2.6 Hallando la resistencia a la tracción con la ecuación 7 del criterio de Hoek Brown 2002 ....................................................... 6 1.2.7 Hallando

𝛛𝛔𝟏 con la ecuación 10 del criterio de Hoek Brown 𝛛𝛔𝟑

2002 ............................................................................................ 7 1.2.8 Hallando el esfuerzo normal 𝝈𝒏 con la ecuación 8 del criterio de Hoek Brown 2002 ....................................................... 7 1.2.9 Hallando el esfuerzo tangencial 𝜏 con la ecuación 9 del criterio de Hoek Brown 2002 ....................................................... 8 1.2.10 Hallando el módulo de deformación con las ecuaciones 11 y 12 del criterio de Hoek Brown 2002 ............................................ 9 1.2.11 Hallando ∅ con la ecuación 13 del criterio de Hoek Brown 2002 ............................................................................................ 9

1

1.2.12 Hallando 𝒄 con la ecuación 14 del criterio de Hoek Brown 2002 ............................................................................................ 10 1.2.13 Hallando 𝝈𝒄𝒎 con la ecuación 18 del criterio de Hoek Brown 2002 ............................................................................................ 10 1.2.14 Determinación de 𝝈𝟑𝒎𝒂𝒙 con las ecuaciones 19 y 20 del criterio de Hoek Brown 2002 ....................................................... 11 1.3 Hallando 𝒓............................................................................................ 12

2

CRITERIO DE ROTURA DE HOEK BROWN 2002 – SOLUCIÓN MEDIANTE EXCEL ...................................................................................... 13

3

CRITERIO DE ROTURA DE HOEK BROWN 2002 – SOLUCIÓN MEDIANTE EL SOFTWARE ROCDATA ...................................................... 15

4

CRITERIO DE ROTURA DE HOEK BROWN 2002 – SOLUCIÓN GRÁFICA ..................................................................................................... 16

5

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES................................................ 17

2

INTRODUCCIÓN

Desde su introducción en 1980, el criterio de falla de Hoek-Brown ha evolucionado para satisfacer las necesidades de los usuarios, quienes lo han aplicado a condiciones que no se visualizaron cuando fue originalmente desarrollado. En particular, el creciente número de aplicaciones a macizos rocosos de muy mala calidad, ha provocado la necesidad de introducir algunos cambios significativos. Las ecuaciones principales afectadas por cada uno de estos sucesivos cambios están resumidas en el siguiente trabajo.

Los criterios de rotura son expresiones matemáticas que representan modelos que permiten estimar la resistencia del material en base a los esfuerzos aplicados y a sus propiedades resistentes, y predecir cuando ocurre la rotura. Los criterios de rotura constituyen la base de los métodos empíricos y permiten evaluar la resistencia de los macizos a partir de los esfuerzos actuantes y de las propiedades resistentes del material rocoso. El criterio de rotura de Hoek Brown fue originalmente propuesto en 1980, fue desarrollado para estimar la resistencia triaxial de los macizos rocosos competentes, para el diseño de excavaciones subterráneas. Posteriormente fue aplicado para el cálculo de las propiedades de un macizo rocoso diaclasado. Hoek-Brown sugirieron relacionar este criterio empírico con uno de los sistemas de clasificación de macizos rocosos, y eligieron para este propósito el RMR de Bieniawski.

Este trabajo da explicación de la secuencia de cálculos propuesta para analizar el criterio de rotura de Hoek-Brown, así como a la obtención de los parámetros resistentes del criterio de Mohr-Coulomb a partir de la envolvente de rotura del criterio de Hoek-Brown.

Asimismo se analizara los resultados obtenidos con el software ROCDATA y con un programa de EXCEL para después comprobar y corroborar los resultados obtenidos.

3

CRITERIO DE ROTURA DE HOEK-BROWN – EDICIÓN 2002

I. CRITERIO DE ROTURA DE HOEK-BROWN 2002 SOLUCIÓN MANUAL 1.1 DATOS DE ENTRADA PARA LOS CÁLCULOS    

GSI: 65 𝜎 Ci : 120 mi : 25 (Andesita) D : 0.8



𝛾 = 0.026 𝑚3

𝑀𝑁

1.2 CÁLCULOS CON LAS ECUACIONES DEL CRITERIO DE HOEK BROWN-2002

SOLUCIÓN

𝒎𝒃 CON LA ECUACIÓN 3 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN

1.2.1 HALLANDO 2002

𝐺𝑆𝐼−100

𝑚𝑏 = 𝑚𝑖 𝑒𝑥𝑝 (

28−14𝐷

𝑚𝑏 = 25 ∗ 𝑒𝑥𝑝 (

)

65−100

................................................. Ecuación 3

) →

28−14∗0.8

𝒔 CON LA ECUACIÓN 4 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN

1.2.2 HALLANDO 2002

𝐺𝑆𝐼−100

𝑠 = 𝑒𝑥𝑝 (

9−3𝐷

𝑚𝑏 = 3.113

)

......................................................... Ecuación 4

4

𝑠 = 𝑒𝑥𝑝 (

65−100

9−3∗0.8

1.2.3 HALLANDO 2002

1

1

2

6

𝑎 = + ∗ (𝑒

1

1

2

6

𝑎 = + ∗ (𝑒

) → 𝑠 = 0.005

𝒂 CON LA ECUACIÓN 5 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN

−𝐺𝑆𝐼⁄ 15

−65⁄ 15

−𝑒

−𝑒

−20⁄ 3)

−20⁄ 3)

........................................ Ecuación 5

→ 𝑎 = 0.502

1.2.4 HALLANDO 𝛔𝟏 CON LA ECUACIÓN 2 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

𝜎1 = 𝜎3 + 𝜎𝑐𝑖 ∗ (𝑚𝑏 ∗

𝜎3 𝜎𝑐𝑖

+ 𝑠)

1.- 𝜎1 = 0.1 + 120 ∗ (3.113 ∗ 2.- 𝜎1 = 0.2 + 120 ∗ (3.113 ∗

𝑎

0.1 120 0.2 120

........................................ Ecuación 2

+ 0.005) + 0.005)

3.- 𝜎1 = 0.33 + 120 ∗ (3.113 ∗

0.33

4.- 𝜎1 = 0.81 + 120 ∗ (3.113 ∗

0.81

5.- 𝜎1 = 1.61 + 120 ∗ (3.113 ∗

1.61

120

120

120

0.502

0.502

+ 0.005) + 0.005) + 0.005)

5

0.502

0.502

0.502

𝜎1 = 10.456 𝜎1 = 12.202 𝜎1 = 14.184 𝜎1 = 20.023 𝜎1 = 27.402

6.- 𝜎1 = 3.17 + 120 ∗ (3.113 ∗

3.17

7.- 𝜎1 = 7.01 + 120 ∗ (3.113 ∗

7.01

120

120

+ 0.005) + 0.005)

0.502

0.502

𝜎1 = 38.440 𝜎1 = 58.708

1.2.5 HALLANDO LA RESISTENCIA A LA COMPRESIÓN UNIAXIAL CON LA ECUACIÓN 6 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑖 ∗ 𝑠 𝑎 ........................................................... Ecuación 6

𝜎𝑐 = 120 ∗ 0.0050.502 → 𝜎𝑐 = 8.377

1.2.6 HALLANDO LA RESISTENCIA A LA TRACCIÓN CON LA ECUACIÓN 7 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

𝜎𝑡 = −

𝜎𝑡 = −

𝑠∗𝜎𝑐𝑖 𝑚𝑏

.......................................................... Ecuación 7

0.005 ∗ 120 → 𝜎𝑡 = −0.192 3.113

6

1.2.7 HALLANDO

𝛛𝛔𝟏

CON LA ECUACIÓN

𝛛𝛔𝟑

10 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN

2002 𝜕𝜎1 𝜕𝜎3

1.2.3.4.5.6.7.-

= 1 + 𝑎 ∗ 𝑚𝑏 ∗ (𝑚𝑏 𝜎3 ⁄𝜎𝑐𝑖 + 𝑠)𝑎−1

𝜕𝜎1 𝜕𝜎3 𝜕𝜎1 𝜕𝜎3 𝜕𝜎1 𝜕𝜎3 𝜕𝜎1 𝜕𝜎3 𝜕𝜎1 𝜕𝜎3 𝜕𝜎1 𝜕𝜎3 𝜕𝜎1 𝜕𝜎3

= 1 + 0.502 ∗ 3.113 ∗ (3.113 ∗ 0.1⁄120 + 0.005)0.502−1 = 18.758 = 1 + 0.502 ∗ 3.113 ∗ (3.113 ∗ 0.2⁄120 + 0.005)0.502−1 = 16.341 = 1 + 0.502 ∗ 3.113 ∗ (3.113 ∗ 0.33⁄120 + 0.005)0.502−1 = 14.305 = 1 + 0.502 ∗ 3.113 ∗ (3.113 ∗ 0.81⁄120 + 0.005)0.502−1 = 10.619 = 1 + 0.502 ∗ 3.113 ∗ (3.113 ∗ 1.61⁄120 + 0.005)0.502−1 = 8.182 = 1 + 0.502 ∗ 3.113 ∗ (3.113 ∗ 3.17⁄120 + 0.005)0.502−1 = 6.265 = 1 + 0.502 ∗ 3.113 ∗ (3.113 ∗ 7.01⁄120 + 0.005)0.502−1 = 4.603

1.2.8 HALLANDO EL ESFUERZO NORMAL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

𝜎𝑛 =

Ecuación 10

𝜎1 +𝜎3 2

1.- 𝜎𝑛 = 2.- 𝜎𝑛 =

−

𝜎1 −𝜎3 2

10.456+0.1 2 12.202+0.2 2

∗

𝜕𝜎1 ⁄𝜕𝜎3 −1 𝜕𝜎1 ⁄𝜕𝜎3 +1

− −

10.456−0.1 2 12.202−0.2 2

𝝈𝒏 CON LA ECUACIÓN 8 DEL

.......................................... Ecuación 8

∗ ∗

18.758−1 18.758+1 16.341−1 16.341+1

7

= 0.624 = 0.892

3.- 𝜎𝑛 = 4.- 𝜎𝑛 = 5.- 𝜎𝑛 = 6.- 𝜎𝑛 = 7.- 𝜎𝑛 =

14.184+0.33 2 20.023+0.81 2 27.402+1.61 2 38.440+3.17 2 58.708+7.01 2

− − − − −

14.184−0.33 2 20.023−0.81 2 27.402−1.61 2 38.440−3.17 2 58.708−7.01 2

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

14.305−1 14.305+1 10.619−1 10.619+1 8.182−1 8.182+1 6.265−1 6.265+1 4.603−1 4.603+1

√𝜕𝜎1 ⁄𝜕𝜎3

= 8.025 = 16.237

2- 𝜏 = (12.202 − 0.2)

CON LA ECUACIÓN 9 DEL

................................................. Ecuación 9

𝜕𝜎1 ⁄𝜕𝜎3 +1

1- 𝜏 = (10.456 − 0.1)

= 2.464

= 4.419

1.2.9 HALLANDO EL ESFUERZO TANGENCIAL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

𝜏 = (𝜎1 − 𝜎3 )

= 1.235

√18.758 18.758+1 √16.341 16.341+1

3- 𝜏 = (14.184 − 0.33) 4- 𝜏 = (20.023 − 0.81) 5- 𝜏 = (27.402 − 1.61)

= 2.270 = 2.798

√14.305 14.305+1 √10.619 10.619+1 √8.182 8.182+1

= 3.424 = 5.389

= 8.035

8

6- 𝜏 = (38.440 − 3.17) 7- 𝜏 = (58.708 − 7.01)

√6.265 6.265+1 √4.603 4.603+1

= 12.152 = 19.796

1.2.10 HALLANDO MÓDULO DE DEFORMACIÓN CON LAS ECUACIONES 11 Y 12 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

𝐷

𝜎

𝐸𝑚 [𝐺𝑃𝑎] = (1 − ) √ 𝑐𝑖 10 2 100

𝐷

𝐸𝑚 [𝐺𝑃𝑎] = (1 − ) 10 2

𝐺𝑆𝐼−10 40

𝐺𝑆𝐼−10 40

Si 𝜎𝑐𝑖 ≤ 100𝑀𝑃𝑎 ….Ecuación 11

Si 𝜎𝑐𝑖 > 100𝑀𝑃𝑎 ……….Ecuación 12

Como: Si 𝜎𝑐𝑖 > 100𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑚 [𝐺𝑃𝑎] = (1 −

65−10 0.8 ) 10 40 = 14.228 𝐺𝑃𝑎 = 14228.24 𝑀𝑃𝑎 2

1.2.11 HALLANDO ∅ CON LA ECUACIÓN 13 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

∅ = sin−1 [

6𝑎𝑚𝑏 (𝑠+𝑚𝑏 𝜎3𝑛 )𝑎−1 ] 2(1+𝑎)(2+𝑎)+6𝑎𝑚𝑏 (𝑠+𝑚𝑏 𝜎3𝑛 )𝑎−1

9

……………..Ecuación 13

22.581 → ∅ = sin−1 [ ] = 48.61𝑑𝑒𝑔. 7.516 + 22.581

1.2.12 HALLANDO 𝒄 CON LA ECUACIÓN 14 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

𝑐=

𝜎𝑐𝑖 [(1+2𝑎)𝑠+(1−𝑎)𝑚𝑏 𝜎3𝑛 ](𝑠+𝑚𝑏 𝜎3𝑛 )𝑎−1 (1+𝑎)(2+𝑎)√1+

→𝑐=

6𝑎𝑚𝑏 (𝑠+𝑚𝑏 𝜎3𝑛 ) (1+𝑎)(2+𝑎)

𝑎−1

................ Ecuación 14

26.816 = 2.695 9.949

𝜎3𝑛 = 𝜎3𝑚𝑎𝑥 ⁄𝜎𝑐𝑖

𝜎3𝑛 = 6.407⁄120 = 0.053

1.2.13 HALLANDO 𝝈𝒄𝒎 CON LA ECUACIÓN 18 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

𝜎𝑐𝑚 = 𝜎𝑐𝑖

[𝑚𝑏 +4𝑠−𝑎(𝑚𝑏 −8𝑠)](𝑚𝑏 ⁄4+𝑠)𝑎−1 2(1+𝑎)(2+𝑎)

10

……….. Ecuación 18

𝜎𝑐𝑚 = 𝜎𝑐𝑖

[3.113 + 4 ∗ 0.005 − 0.502 ∗ (3.113 − 8 ∗ 0.005)](3.113⁄4 + 0.005)0.502−1 2(1 + 0.502)(2 + 0.502)

𝜎𝑐𝑚 = 28.675

1.2.14 DETRMINACIÓN DE 𝝈𝟑𝒎𝒂𝒙 CON LA ECUACIÓN 19 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

Para túneles 𝜎3𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑐𝑚

= 0.47 (

𝜎𝑐𝑚 −0.94 𝛾𝐻

)

..................................................... Ecuación 19

−0.94 𝜎3𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑐𝑚 −0.94 𝜎3𝑚𝑎𝑥 28.676 = 0.47 ( → = 0.47 ( ) ) 𝜎𝑐𝑚 𝛾𝐻 28.676 0.026 ∗ 500

𝜎3𝑚𝑎𝑥 = 6.4070

Para taludes 𝜎3𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑐𝑚

𝜎𝑐𝑚 −0.91

= 0.72 (

𝛾𝐻

)

..................................................... Ecuación 20

11

𝝈𝟑

𝝈𝟏

𝝈𝟏 /𝝈𝟑

𝝈𝒏

𝝉

𝝈𝒏 ∗ 𝝉

𝝈𝒏 𝟐

0.10 0.20 0.33 0.81 1.61 3.17 7.01

10.456 12.202 14.184 20.023 27.402 38.44 58.708 Sumatoria

18.758 16.341 14.305 10.619 8.182 6.265 4.603

0.624 0.892 1.235 2.464 4.419 8.025 16.237 33.896

2.27 2.798 3.424 5.389 8.035 12.152 19.796 53.864

1.416 2.496 4.229 13.278 35.507 97.52 311.428 465.874

0.389 0.796 1.525 6.071 19.528 64.401 263.64 356.35

∑X

∑Y

∑XY

∑X2

1.3 HALLANDO 𝒓

Ecuación de la recta: 𝑎 + 𝑏𝑥

∑ 𝑦 = 𝑎𝑛 + 𝑏 ∑ 𝑥

𝑎 = 2.275

∑ 𝑥𝑦 = 𝑎 ∑ 𝑥 + 𝑏 ∑ 𝑥 2

𝑏 = 1.119

𝑦 = 2.667 + 1.069𝑥

𝑠 2 𝑦𝑥 = 𝑠2𝑦 =

∑ 𝑦 2 −𝑎 ∑ 𝑦−𝑏 ∑ 𝑥𝑦 𝑛

∑ 𝑦2 𝑛

𝑟 = √1 −

= 2.235

∑𝑦 2

−(

𝑛

) = 34.769

𝑠 2 𝑦𝑥 = 0.97 𝑠2𝑦

12

13

14

3. CRITERIO DE ROTURA DE HOEK BROWN-2002 SOLUCIÓN MEDIANTE EL SOFTWARE ROCDATA

DATOS GENERALES PARA EL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

ECUACION 3 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002 ECUACION 4 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002 ECUACION 5 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

ECUACION 19 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002 DATOS PARA EL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

ECUACION 14 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002 ECUACION 13 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

ECUACION 7 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002 ECUACION 6 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002 ECUACION 18 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002 ECUACION 12 DEL CRITERIO DE HOEK BROWN 2002

15

16

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES



Los resultados obtenidos de forma manual con las ecuaciones del criterio de Hoek Brown edición 2002, concuerdan con los resultados obtenidos con el software ROCDATA y también con el programa realizado en el EXCEL.



. Los parámetros geomecánicos que caracterizan la resistencia de un macizo rocoso en el criterio de Hoek Brown edición 2002; c y φ, varían en función de mb, s, y a.



A vista de que los resultados obtenidos con las ecuaciones del criterio de Hoek Brown edición 2002, concuerdan con los resultados obtenidos con el software ROCDATA y también con el programa realizado en el EXCEL; se recomienda que para un próximo análisis se realice sólo los cálculos con el software, ya que los resultados serán los mismos y además se ahorrará mucho tiempo.

17