El Circuito Matematico Financiero

Asignatura: Ciclo : Semana : Tema :

Ingeniería Económica VII II El Circuito Matematico Financiero

Econ. Yuri Vivar Miranda

LA FUNCION FINANCIERA EN LA EMPRESA • La Función financiera se ocupa de la obtención de fondos necesarios para la consecución de las metas de la empresa (objetivo: «Liquidez»), y del destino o empleo mas eficiente de esos fondos para maximizar los resultados ( objetivo «Rentabilidad»)

• El aspecto financiero (disponibilidad de fondos) y el aspecto económico (obtención de beneficios) son los dos importantes problemas que continuamente debe resolver el ejecutivo financiero de la empresa. • Con el objetivo rentabilidad, deberá programar la adecuada utilización de los fondos disponibles a efectos de maximizar la tasa de remuneración del activo (rentabilidad global de la empresa) y definir la composición de las fuentes de financiación, optimizando la estructura del capital con el objeto de maximizar la tasa de remuneración del capital propio (tasa de beneficio de los propietarios)

• Con el objetivo Liquidez, deberá planear el flujo de fondos teniendo en cuenta los principales ingresos de caja: Capital social, endeudamiento, ventas al contado, cobro de créditos, etc. y los principales egresos de caja : adquisición de bienes, gastos operativos , etc. • Quien maneja fondos debe decidir que hacer con ellos, es decir, en que tipo de activo emplearlos para lo cual tiene una infinidad de posibilidades :

• Dejarlos disponibles en caja y bancos • Inmovilizarlos en bienes de uso Si se mantienen los fondos en efectivo se favorecerá la liquidez, pero ello no favorece la rentabilidad. Si se invierten los fondos en bienes de uso, puede perjudicar la liquidez, o por lo menos ello no será fuente inmediata de liquidez. Estas situaciones se presentan en la empresa en todo momento, por lo que la «Función Financiera» esta continuamente ante este conflicto conocido como la alternativa LIQUIDEZ vs. RENTABILIDAD

MATEMATICA FINANCIERA SIMPLIFICADA EL INTERES SIMPLE El dinero tiene un costo a través del tiempo que se llama INTERES Ejemplo : Si Ud. Recibe de un prestamista 10,000.00 N.S. y le anuncia que le cobrara un 10% mensual, quiere decir que al cabo de un mes la obligación suya será pagar : ( 10,000 x 0.10) por interés Así llamamos

P : al préstamo o capital (Stock Inicial) i : a la tasa de interés I : al monto de interés por periodo

Se construye la base del edificio llamado «Matemática Financiera» I=P.i NO OLVIDE ESTO ¡¡ 1° Es necesario el trascurso del tiempo para la generación de intereses 2° El costo del deudor (i) es la ganancia del acreedor

CALCULOS SENCILLOS Respecto al Interés simple.- la relación fundamental es I= (P. i) n ; donde (i) es UN COCIENTE, para el AÑO, MES , DIA, según sea el caso, y se expresa en TANTO POR UNO. Así, supongamos que se desea calcular el interés (I) por un capital de S/. Dos Millones (2´000,000) en 5 meses a la tasa del 96% anual. 1ra, formula de calculo 2da. Formula de calculo

3ra. Formula de calculo

I = 2,000,000 x 0.08 x 5

I = 2,000,000 x 0.96/12 x 5 I = 2,000,000 x 96/1200 x 5

I = S/. 800,000

I = S/. 800,000

I = S/. 800,000

PREFERIMOS LA PRIMERA FORMA ( Tasa en tanto por uno)

EJERCICIO • Calcular el interés (I) por un capital de 1´500,000 en 46 días a la tasa de 90% anual. Recomendación : No memorice formulas para calcular (i) (n) (P). Si Ud. Sabe despejar, use la formula fundamental I= (P.i)n , y despeje

El edificio la estructura de la matemática financiera tiene su simiente, su piedra angular, su inicio en la tasa de interés;

i

i Interes Compuesto

Interes Simple

I= P (1+i)

I = P . i.n

n

-1

CAPITALIZACION

S=P+I

S = P + P. i . n

S = P ( 1 + i . n)

S=P+I

S=P+P

(1+i)

n -1

S=P(1+ i) n PRIMERA FUNCION FINANCIERA

Como se llega a la primera función financiera Periodo ( 0 )

P

Periodo ( 1 )

P

Periodo ( 2 )

(P

Periodo ( 3 ) Periodo ( 4 )

periodo ( n )

+

P

+

i + 2Pi + P

=> P ( 1 +

i )2

i ) 2 + ( 1 + i) 2 i )]

=> P ( 1 +

i)3

i )3 +[P( 1 + i ) 3 ] i = P[( 1 + i ) 3 + ( 1 + i ) 3 i )]

=> P ( 1 +

i)4

P

i ) + (P + 2

P( 1 + i ) P( 1 +

P(1+

P

i)i

= P

+[P( 1 + i ) 2 ] i

i ) n-1 +[P(1+ i ) n-1 ] i =

i2

= P[( 1 +

P [(1+

i ) n-1 +(1+ i ) n-1 i )] => P ( 1 + i )

Como se llega a determinar el interés compuesto P+I=P(1+i)

n

I=P(1+i )

n

I=P[ (1+

- P

i )n

-1 ]

n

TRATAMIENTO DE LOS INTERESES Si realiza un deposito en un banco que anuncia un interés anual de 120 % capitalizable trimestralmente , el ahorrista o depositante puede cobrar este interés al finalizar el trimestre o bien puede mantenerlo en su cuenta la misma que se vería incrementada por la capitalización ,estos interés generarían ganancias de nuevos intereses. ( Interés sobre el interés ) presentando dos alternativas :  Retirar los intereses ( no se reinvierte )  Mantener los intereses ( reinvertir o capitalizar ) Estas 02 alternativas a su vez da origen a las 02 áreas de la matemática financiera que hemos visto en la estructura inicial  El interés simple o interés no capitalizable  El interés compuesto o interés capitalizable

SOBRE EL INTERES EFECTIVO O NOMINAL. TASA NOMINAL .Se trata de un valor de referencia utilizado en las operaciones financieras que suele ser fijado por las autoridades, o por las entidades financieras, comerciales, naturales, etc. para regular los préstamos, créditos, u otros.

TASA EFECTIVA.Es la tasa que efectiva o realmente se cobra o paga y está determinada por los sistemas de capitalización. (Mensual, trimestral, semestral, etc.) OBSERVEMOS: De la primera función financiera

S = P(1+i )

n

Tomando como base la unidad monetaria P=1 S=? n=4

S = 1 ( 1 + 0.1 )

i

S = 1 ( 1.1 )

= 40 %

S = 1 ( 1.4641 ) S = 1.4641

4

4

efectivamente se obtuvo un rendimiento de 46.41% de una tasa dada de 40%

Deduciendo : 1.4641 = 1 ( 1 + 0.1 ) 1.4642 = ( 1 + 0.1 )

4

4

Entonces: 1 + iefec = ( 1 + iper )

n

1+i= (1+i’ )

n

Dónde : Efectivo

Periódico efectivo

i´ = i nominal / n periodos

Solo por especificar o diferenciar : J = nominal

i = efectiva i ’ = periodica i’= puede expresarse 1+i= (1+

)

n

definitivamente : 1+i= (1+i

’ )n

Hasta este punto hemos diversificado la tasa de interés como i, J, i’, solo para fines deterministicos-pedagogicos y de comprension, hacia adelante toda tasa de interes se expresara tan solamente como (

i ).

Veamos algunos ejemplos : S = 1000 ( 1 + 0.05 )

12

= 1795.8563

El rendimiento efectivo anual será : 𝟏𝟕𝟗𝟓.𝟖𝟓𝟔𝟑 – 𝟏𝟎𝟎𝟎

i

=

i

= 0.7958563

𝟏𝟎𝟎𝟎

Que también se obtiene de la siguiente manera : 1+i

=

𝐉 n (1+ ) 𝒏

1+i

=

(1+

1+i

=

( 1 +0.05 )

1+i

=

1.7958563

i=

𝟔𝟎 𝟏𝟐

)

0.7958563

1+i

12

12

=

n

(1+i )

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Encuentre el interés efectivo anual para una tasa de 60% anual capitalizable mensualmente, si se cuenta con los siguientes datos:

i =? ( efectivo ) n = 12 (doce meses en un año)

i=

60% (nominal (J))

Buscando la periódica:

i=

0.60 12

i=

0.05

Aplicando la formula general: n

( 1 + i )= ( 1 + i )

(1 + i)= (1 + 0.05)

i = (1 .05 )12 -1 i = 0.7958563

12

1. Considerando periodos de capitalización trimestral, con una tasa de 120% anual determina el interés efectivo anual. n

( 1 + i )= ( 1 + i )

4

( 1 + i )= ( 1 + 1.20 ) 4 4

( 1 + i )= ( 1 + 0.3 ) 4

( 1 + i )= ( 1.3 )

( 1 + i )= 2.8561

i = 2.8561 - 1 i = 1.8561 i = 185.61 %

1. Teniendo en cuenta los datos del problema anterior construya un abanico de tasas efectivas si los periodos de capitalización son semestrales, trimestrales, mensuales, diarias, etc. Dato general

Nominal 120 %

Tasa anual 120% PERIODICA

DIARIA

EFECTIVA ( % )

120 = 60% 2

156

120 = 30% 4

185.61

120 = 10% 12

156

120 = 0.33% 360

231.3498

120 = 0.01% 8940

231.98

120 = 0.0002313 518400

232.04310

120 = 0.000003858 31104000

232.11002

1. Si la tasa de interés efectivo que paga un banco al año es de 151.8179117 % y capitaliza mensualmente. Encuentre la tasa de interés nominal y periódico. i=

151.8179117 n = 12

i=

? ( nominal ) entonces : n

(1+i) = (1+i’ )

=

1 + 1.518179117

(1+i

’ ) 12

12

=

2. 518179117

(1+i) 1.08 – 1 =

1.08 i ( 1 + i )

i=

i= 8%

0.08

inominal = iperiodico i=

x(n)

8 ( 12 )

i = 96 % ( nominal )

i

1. Si la tasa de interés efectiva anual es de 213.8428377 % la periódica es de 10% , encuentre el número de periodos y/o el periodo de capitalización

i= i’

213.8428377 (efectiva ) = 10 % ( periódica )

n=? n

(1+i) = (1+i’ )

n

( 1 + 2.138428377 ) = ( 1 +0.1 ) n

3.138428377 = ( 1 .1 )

Log ( 3.138428377 ) = nLog ( 1.1.) n = Log ( 3.138428377 ) Log ( 1.1.) n = 0.4967122219 0.04139268516 n = 12 * Capitalización Mensual

número de periodos

EL CIRCUITO MATEMÁTICO FIANANCIERO El circuito matemático se construye a través de la extensión de la primera función o relación financiera S

= P(1+i )n

.

Como generalmente las deudas se pagan en cuotas fijas y vencidas se presenta el siguiente diagrama:

0

R

R

1

2

R

R

R

R

R

R n

Sobre la base de flujos vencidos se derivan seis formulas claves que interrelacionadas se denomina Circuito Financiero y que permiten dominar la matemática financiera, proporcionándonos un instrumental para analizar créditos, prestamos, inversiones en bolsa, proyectos, amortizaciones, depreciaciones, valuaciones de bonos, arrendamientos financieros, etc.

LAS FUNCIONES FINANCIERAS Las combinaciones de dinero entre stock y flujo determinan las seis funciones financieras en vista que “ El dinero se puede transformar de seis maneras financieramente equivalentes ” . P = stock inicial S = stock final R = flujo Nos dan las siguientes combinaciones: 1.- P S

4.- S R

2.- S P

5.- R P

3.- R S

6.- P R

ITEM 1

FUNCION FINANCIERA Factor Simple de Capitalización

SIGLA

F.S.C.

2

Factor simple actualización

FORMULA

(1+

4

5

6

Factor capitalización serie

de

de la

Factor de Deposito al Fondo de amortización

Factor actualización serie

FDF Δ

de de F.R.C.

de

n

S = P ( FSC )

____1 ____

F.C.S.

Factor recuperación capital

)

de F.S.Δ

3

i

USO

de la F.Δ.S

(1+i )

n

(1+i )

n

S = S (FCS )

i

____ (1+

i

i )

____ n

-1

i )n n (1+i ) - 1 i

( 1 +

(1+i )

i(

n

–1

1+i)

P = S (FSΔ )

n

R = S (FDF Δ )

R = P (FRC )

P = R ( F.Δ.S )

La matemática financiera está gobernada por estas 06 fórmulas que permiten al analista económico financiero maneja cualquier operación financiera o evaluar diversas alternativas de inversión. Cada formula tiene una función específica por lo que se recomienda que ante un problema o alternativa visualice y analice el proceso que lleve a cabo la fórmula y observar si se trata del proceso requerido. detallando :

El F.S.C.

“Sirve para transformar un stock inicial en stock final de dinero

El F.S.Δ.

“ Sirve para transformar un stock Final en stock inicial de dinero

El F.C.S.

“ Se utiliza para transformar un flujo en stock Final de dinero

El FDF Δ

“ Se utiliza para transformar un stock Final en un flujo de dinero

El F.R.C.

“ Sirve para convertir un stock inicial en flujo de dinero

El F.Δ.S.

“ Sirve para convertir un flujo en un stock inicial de dinero”

Observe y deduzca que solo son transformaciones entre stock y flujo. Para cálculos matemáticos financieros con interés capitalizable solo es necesario conocer y aprender las 06 formulas claves y su funcionamiento a través del modelo matemático financiero.

MODELO MATEMATICO FINANCIERO Sentido retrospectivo (Actualización)

R = S (FDFΔ)

S P = S (FSΔ ) R P = R (FΔS )

R

R

R

R

S = P ( FSC ) n

0

P

R

R = P (FRC )

Sentido proyectivo (Capitalización ) P = Stock inicial S = Stock final R = Flujo Constante n = Periodos

i = Tasa de interés por periodo

S = R (FCS )