El Circuito Matematico - Finaciero

 

EL CIRCUITO MATEMA MATEMATICO TICO – FINACIERO

Se tiene un stock de efectivo s/. 582622230 al final de un horizonte temporal de 10 años. A la tasa de 70% anual, efectuar las 6 transformaciones financieras financieras equiv equivalentes alentes completando el circuito. Diagrama

S= 582622230

0

R=?

R

R

R

1

2

3

4

R 12 años

¿P =?

CALCULOS DE SENTIDO RETROSPECTIVO

1. Transformación Transformación de un stock final en un stock inicial Interpretación:

Este caso responde a la pregunta, cuanto depositar hoy en un banco para disponer de s/. 582 622 230 dentro de 12 años, ganando el 70% efectivo actual?  P = S * 

P=S

1 (1+) 

0.7 P= S * 12

P = 582 622 230

1 1.7 12

P = 582 622 230 (0.001716378)

P = s/. 1 000 000

 

2. Transformación de un stock final en un flujo constante. Interpretación:

Este caso puede significar significar un mé método todo de depreciaci depreciación ón de un activ activo, o, pues responde a la pregunta, cuanto deposi depositar tar a anualmente nualmente en una entidad financiera para capitalizar s/.582 622 230 230 dentro de 12 años y renovar el activo al término de su vida útil?

 R = S* 

R=S

 (1+) −1

0.7 R = S * 12

R = 582 622 230

0.7 12

(1.7) −1

R = 582 622 230 (0.0012035303) R = s/. 701 204

3. Transformación Transformación de un flujo constante en un stock inicial. Interpretación:

Este caso responde a la pregunta, a cuanto equivale ¨hoy¨ un flujo de beneficios anuales de s/. 701 204 a la tasa del 70% anual. P = R * 

P=R*

(1+) −1 (1+) 

0.7 P = R *   12

P = s/. 701 7 01 204 (1.426119459) P = s/. 1 000 000

 

CALCULOS EN SENTIDO PROYECTIVO 4. Transformación Transformación de un stock inicial en un stock final Interpretación:

Este caso puede significar en cuanto se convierte un deposito actual de s/. 1 000 000 en un banco que paga el 70% efectivo anual después de 12 años. S = P * 1 S = P (1 + ) 0.7 S = P * 12

S = 1 000 000 (1 + 0.7)12 S = 1 000 000 (582 62223)

S = s/. 582 622 30

Nota

La letra ¨S¨ de la palabra simple, debe hacerle pensar en STOCK. 5. Transformación Transformación de un stock inicial en un flujo constante. Interpretación:

Este caso puede significar un préstamo de s/. 1 000 000 a repagar en 12 armadas anuales por calcular a la tasa del 70% anual de interés. 

R = P *   

R=P

 (1+) (1+) −1

0.7 R = P *   12

R = 1 000 000 (0.70120353) R = s/. 701 204

 

6. Transformación Transformación de un flujo constante en un stock final. Interpretación:

Este caso puede significar en cuanto se convierte sucesivos depósitos anuales de s/. 701 204 en un banco que paga a una tasa de interés del 70% efectivo anual? S = R *    S=R

(1+) −1 

0.7 S = 12 12−1

S = s/. 701 204 (1.7)

0.7

S = 701 204 (830 8889) S = s/. 582 622 230

NOTA:

La letra ¨S¨ de la l a palabra serie, debe hacerle pensar en flujo. EL CIRCUITO COMPLETO R = 701 204

P = 1 000 000 P = 1 000 000

S = 582 622 230 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

S = 582 622 230

R = 701 204

 A continuación, continuación, se le proporciona m más ás ejemplos para aprender a manejar las formulas

 

CAPITALIZACION: FSC

En cuanto se convertirá conv ertirá s/. 10 millones en 15 año añoss a la tasa del 55% anual capitalizable diariamente. S =?

Diagrama: 0

5 400 días

P = 10 millones

i = 0.001527 tasa diaria

Análisis: Se trata de transformar un stock inicial de efectivo en un stock final efectivo,

se aplicará el FSC (i = 0.55/ 360). Operaciones: S = P *    S = P * (1 + )  S = 10 000 000 (1.001527)5 400 S = 10 000 00 0 000 (3 803.59) S = s/. 38 035 900 000

Otro método: por la tasa tas a equivalente (o tasa efectiva anual) S =?

Diagrama: 0

15 años

P = 10 millones

i = 0.7325252 tasa efecva anual

Operaciones: S = 10 000 000 (1.7325252) 15 S = 10 000 000 (3 803.59) S = s/. 38 035 900 000

 

RECUPERACION DE PRESTAMOS: EL FRC

Cuál es la cuota trimestral uniforme a cobrar por un préstamo de s/. 500 millones a una empresa industrial a la tasa del 56% anual convertible trimestralmente y a través de 20 trimestres. R =? trimestral

Diagrama: 0

20trimestres

P = 500 millones 0.14

i=

Análisis: Se trata de transform transformar ar un stock inicial de efectivo en stock final efectivo, se

aplicará el FSC (i = 0.55/360) Operaciones : S = P *   S = P * (1 + )  S = 10 000 000 (1.001527)5400 S = 10 000 0 00 000 (3 803.59) S = s/. 38 035 900 000

Otro método: Por tasa equivalente (o tasa efectiva anual) S =?

Diagrama: 0

15 años

P = 10 millones tasa efecva anual

Operaciones: S = 10 000 000 (1.7325252) 15 S = 10 000 000 (38 035 000 000) S = s/. 38 035 900 000

i = 0.7325252

 

RECUPERACION DE PRESTAMOS: EL FRC

Cuál es la cuota trimestral uniforme a cobrar por un préstamo de s/. 500 millones a una empresa industrial a la tasa de 56% anual convertible trimestralmente y a través de 20 trimestres. R =? trimestral

Diagrama: 0

20 trimestres

P = 500 millones 0.14

i=

Análisis: Se trata de transformar un stock inicial, de efectivo en un flujo constante, se

usará el FRC (i = 0.56%). Operaciones: R = P * R=P*

(1+) (1+) −1

0.14 R = 500 000 000 20

R = 500 000 000 0.14(1.14) 20 (1.14)20 −1

R = 500 000 000 (0.150986) R = s/. 75 493 000

CAPITALIZACION: EL FCS

En cuanto se convertirá al cabo de 10 años un ahorro mensual de 200 000 soles en un banco que paga el 55% anual capitalizable mensualme mensualmente. nte. R = 200 000 S =?

Diagrama:

0

120 meses i = 0.04583

 

Análisis: Se trata de transformar un flujo de efectivo en un stock final, se aplicará el

FCS (i = 0.55/ 12). Operaciones: S = R *  0.04483 S = 200 000 120 120 −1

S = 200 000 (1.04583)

0.04583

S = 200 000 * 4 702 249561 S = s/. 940 449 912

FONDO DE AMORTIZACION: EL FDFA

Se des capitaliza s/. 500 millones dentro de 10 años. Cuanto se tendría que depositar mensualmente (a mes vencido) en un banco que paga el 55% anual capitalizable mensualmente. R =? mensual S =500 000 000

Diagrama: 0

120 meses i = 0.04583

Análisis: Se trata de transformar un stock final de efectivo en un flujo constante, se

aplicará el FDFA. Operaciones: R = S *  R=S

 (1+) −1

0.04583 R = 500 000 000 * 120

R = 500 000 000

0.04583 (1.04583)120 −1

R = 500 000 000 (0.0002126416)

 

R = s/. 106 332

ACTUALIZCION: FSA

Se desea capitalizar s/. 500 millones dentro de 10 años. Cuanto se tendría que depositar hoy al 55% anual capitali capitalizable zable mensualmente, y cuant cuanto o si el 55% anual se capitaliza diariamente. Bajo capitalización mensual: S = 500 000 000

Diagrama: 0

120 meses

P=?

i=

Análisis: Se 0.04583 trata de transformar un stock final de efectivo en un stock inicial, se

aplicara el FSA. Operaciones: P = S *  = 500 000 000 0.04583 

P = 500 000 000

120

1 (1.04583) 120

= 500 000 000 (0.0046185158 )= s/. 2 309 258

Bajo capitalización diaria:

S = 500 000 000

Diagrama: 0

3600 días

P =?

i = 0.001527

0.001527 Operaciones: P = 500 000 000 3600

P = 500 000 000

1 (1.001527) 3600

= 500 000 000 (0.001039716) = s/. 2 051986

Observación: A mayor mayor capitalización dentro del año, menor el valor presente. Otro método: por tasa efectiva anual: i= 0.7325252

 

n= 10 años 0.7325252 P = 500 000 000 10

P = 500 000 000

1

P = 500 000 000(0.004103972) 000(0.004103972)

(1.7325252) 10

P = s/. 2 051 986

ACTUALIZACION: EL FAS

Se tiene un flujo de ingresos trimestrales de s/. 1.2 millones durante durante 5 años. Cuál es su equivalente hoy a la tasa de 55% anual convertible trimestralmente. Diagrama:

R = s/. 1.2 millones trim. 0

20 trim. i = 0.1375

P =?

 Análisis:

Operaciones:

Se trata de transformar un flujo constante de efectivo en un stock inicial. Se aplicará el FAS P = R.    P = R.

 (1+) −1

(1+) 

P = 1´200,000.

(1.1375)20 −1 0.1375(1.1375)20

P = 1´200,000 × 6.719798512 P = s/. 8´063,758

 

FLUJO DIFERIDO: FACTORES MULTIPLES

Se tiene un horizonte temporal de 18 meses y un flujo mensual de s/. 500 mil desde fin de mes 7mo. A fin de mes 18vo. Cuál es el valor presente a la tasa de 60% anual convertible mensualmente y cuál es el stock final equivalente.

S =?

Diagrama:

R = 500,000 0

6

7

R

R

17 18

P =?

Calculo de “P”  Análisis:

Se trata de transformar un flujo vencido constante diferido seis meses, en 0.05

un stock inicial equivalente. Con el  12trasform trasformamos amos el flujo en un stock TRANSITORIO al inicio del mes siete (o con fin del mes 6). Luego con el 60.05 ese stock transitorio de transformamos en un stock de efectivo en el punto 0. Operaciones: P = R.  0.05.  0.05 12

P = 500,000.

6

12 (1.05) −1

× 

0.05(1.05)12

5 6

P = 4´451,625.74 60.05 Stock transitorio P = 4´451,625.74 ×

1 (1.05) 6

P = 4´451,625.74 × 0.74621515419 P = s/. 3´321,870

 

CALCULO DE “S” 1ra. Form Forma: a: No Noss apo apoyam yamos os en nu nuest estro ro circ circui uito to m mate atemát mático ico fifinanc nancier iero: o:

Ento Entonces nces..

0.05 S = 3´306,947 18

S = 3´306,947 (1.05)18 S = s/.7´958,562 2da. Forma: Trabajamos dentro del horizonte horizonte meses 7 al 18 (desde el inicio del mes 7).  Aplicamos el rcs. 0.05 S = 500´000 12

S = 500,000

12

(1.05) −1

0.05

S = 500,000 × 15.917126 S = s/. 7´958,563

FLUJO ANTICIPADO ANTICIPADO (CAPITALIZACION)

Son un flujo anticipado trimestral trimestral de un millón de soles a través de 10 trimestres. Cuál es el stock final a la tasa del 80% anual capitalizable trimestralmente. R = s/. 1´000,000

Diagrama:

R

R

R

R

R S =?R

0

1

2

3

4

5

R 6

R

R

R

7

8

9

10 trim.

i = 0.20

 Análisis:

Un flujo anticipado fácilmente se transforma en otro vencido equivalente por AGREGACION del interés del periodo. Así resulta un flujo R (1+i) el cual se transformará transformará en un stock final efectivo.

Diagrama Equivalente

R(1+i) R(1+i) 0

1

2

R(1+i)

R(1+i) R(1+i)

3

4

5

R(1+i)

R(1+i)

R(1+i)

R(1+i)

6

7

8

9

R(1+i) 10 trim.

i = 0.20

 

Todas las formulas matemático financieras se basan en flujos vencidos. NO LO OLVIDE. Operaciones:

S = R (1+i)  = 1´000,000 (1.20)  0.20 10 −1 10 S = 1´200,000 (1.20)0.20 = 1´200,000 (25.958682 S = s/. 51´150,418

FLUJO ANTICIPADO (ACTUALIZACION)

Transformar Transform ar un sto stock ck inicial de s/. 10 millones en 4 importantes iguales trimestrales anticipados a la tasa del 60 % anual convertible trimestralmente.

Diagrama:

R

R

R

R=?

0

1

2

3

4 trimestres

i = 0.15 P = s/. 10´

 Análisis:

El fluj flujo o vencido equivalente R(1+i R(1+i)) actualizado debe estar en con P P.. Se aplicará el F FAS. AS.

Operaciones:

P = R(1+i) P = R(1+i)

−1

(1+)



(1+) 

10´000,000 = R(1.15)40.15 10´000,000 = R(1.15) R = s/. 3´045,786

(1.15)4−1 0.15(1.15) 4

ecuación

 

OTRO METODO: P – R = R . 30.15 10´000,000 – R = R . 30.15 10´000,000 – R = R .

(1.15)

3

−1

R = s/. 3´045,786

3

0.15(1.15)

 Aclaración: En el primer miembro, el resultado NETO (P-R) es un stock inicial de efectivo que se pueda considerar transformable en un flujo VENCIDO hasta FIN del trimestre 3. (La R al inicio del trimestre 4, puede considerarse a FIN del trimestre trimestre 3) Nota: Las cero horas es lo mismo mismo que las 12 horas de la noche del día anterior 

FLUJO DIFERIDO ANTICIPADO

Sea un préstamo de s/. 5 millones a devolver en 18 meses con 6 meses de gracia (sin pago de intereses durante el periodo de gracia). El repago de la deuda empieza el mes 7 con pagos anticipados hasta el mes 18. T Tasa asa de interés 60% anual convertible mensualmente. Calcular las cuotas uniformes de repago. Diagrama: 0

R

R

6

7

…….

R 18 meses

i = 0.05 P = s/. 5´

 Análisis:

Se trata de transformar un stock inicial de efectivo en un flujo uniforme diferido. Se aplicará el FSC y el FRC convenientemente. Hay que recordar cómo se transforma un flujo anticipado en otro vencido equivalente.

Operaciones:

R(1+i) = P .  0.05 .  0.05 6

12

Flujo vencido Flujo capitalizado

 

R (1+0.05) = 5´000,000.  0.05 .  0.05 6

12

R(1+0.05) = 5´000,000 (1.05)6. 0.05(1.05) 12

12

(1.05) −1

R = s/. 719,985 Ver erifific icac ació ión: n: rret etor orno no al pr pres esen ente te::

P=S S/. /. 5´0 5´000 00,0 ,000 00

a) El flujo vencido es R´= 719,925(1.05) = s/. 755,984.25 b) Este flujo vencido equivalente lo transformamos en un stock final con el FCS, ¿Para qué?, ahora vera… 0.05 S = 755,984.25 12 = s/. 12´035,096.56 c) Recordando nuestro circuito matemático, trayendo el presente ese stock final s/. 5´000,000. Veamos:

P = 12´033,096.56 0.05 18 P = 12´033,096.56 P = s/. 5´000,000

1 (1.03) 18

 

PRÁCTICA DIRIGIDA  Advertencia: Las tasas anuales se entienden nominales. Cuando son efectivas efectivas se especifica. 1. En cuanto sse e conver convertirá tirá s/ s/.. 5 mil millones lones e en n 10 años a la tas tasa a del 60% a anual nual capitalizable diariamente diariamente (año comercial). Rp. 2,007´089,750 2. Cuál es la ccuota uota tr trimes imestral tral untasa iforme me cobrar por un pré préstam stamo otrimestralmente de s/. 600 mil millone lones una empresa industrial a launifor dela60% anual, convertible trimestral mente y as través de 12 trimestres. Rp. 110´688,466 3. En cuanto sse e conver convertirá tirá al cabo de 6 años u un n ahorro men mensual sual d de e S/. 30 300 0 mi mill en un banco que paga el 60% anual capitali capitalizable zable mensualmente. R Rp. p. 195´270,804 4. Se desea capi capitali talizar zar s/. 20 m millo illones nes dentro dentro de 4 años. Cuanto se ttendr endría ía que depositar mensualmente (a mes vencido) en un banco b anco que paga el 60% anual capitalizable capitalizabl e mensualmente. Rp. 106,369 5. Se desea capi capitali talizar zar lo indicado en (4) (4).. Cuanto Cuanto se tendrí tendría a que depos depositar itar H HOY OY al 60% ANUAL capitalizable MENSUAMENTE, MENSUAMENTE, y cuanto si el 60% ANUAL es capitalizable diariamente diariamente (banco industrial del Per Perú) ú) (año comercial) Rp. 1 ´922,842; 1´817,989 Ahorro s/. 104,893 6. Se tiene un flflujo ujo de ingr ingresos esos trim trimestra estrales les de s/. 35 35 mill millones ones dur durante ante 4 años. Cuál es su equivalente HOY a la tasa del 60% anual convertible trimestralme trimestralmente. nte. Rp. 20´839,822 7. Se tiene un horizo horizonte nte tem temporal poral de 20 mese mesess y un flujo mensua mensuall de s/. 200 mi mill desde fin del mes 12avo. A fin del mes 12avo. Cuál es el valor presente a la tasa del 60% anual convertible mensualmente. Y cuál es el stock final equivalente. Rp. 831,159; 2´205,313 8. Sea un fluj flujo o antic anticipado ipado tr trime imestr stral al de un millón millón de sales a través de 20 trimes trimestres. tres. Cuál es el stock sto ck final a la tasa del 60% anual capitalizable trimestralmente. Rp. 117´810,117 9. Tr Transfo ansformar rmar un sto stock ck inici inicial al de s/. 5 mi millon llones es en 4 impor importante tantess iguales trimestrales anticipados anticipados a la tasa del 60% anual convertible trimestralmente. Rp. 1´522,893 10.Sea 10. Sea un préstamo de s/. 6 millones a devolver en 36 meses con 12 meses de gracia (sin pago de d e intereses durante el periodo de gracias). El repago de la deuda empieza el mes 13 con pagos anticipados hasta has ta el mes 36. T Tasa asa de interés 60% anual convertible mensual mensualmente. mente. Calcular las cuotas uniformes de repago. Rp. 743,699

 

PROBLEMA: EQUIVALENCIA FINANCIERA Sustituir dos deudas de $400 $4 00 y $ 800 con vencimiento en 3 y 5 años respectivamente, por dos pagos iguales con vencimiento en 2 y 4 años, suponiendo un rendimiento de 36% convertible semestralment semestralmente. e. GRAFICA: x

400

x

800 E

C

A

D

B

2 años 3 años

4 años 5 años

OPERACIONES: En el momento A: 400 . 0.18 + 800 . 0.18 =  . 0.18 +  . 0.18 6

10 8

4

400(1.18) −6 + 800(1.18)−10 =  (1.18)−4 + (1.18)−8

Respuesta:

X = $ 385.03

Otro procedimiento: En el momento C: 400 + 800 0.18 =  .  0.18 +  . 0.18 4 2 2

400 + (1.18)−4 = (1.18)2 + (1.18)−2

X = $ 385.03

PROBLEMA: LA TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) Una inversión s/.3´000,000 un flujo de beneficios netos deinterés s/. 1´200,000 durante 5 años.deCalcular la tasarinde interna de retorno (TIR). (Tasa (T asa de de ganancia)

 

DIAGRAMA: 0

1´2

1´2

1

2

1´2

1´2

1´2 ujo neto

3

4

5 años

P = 3´000,000

OPERACIONES:  = . 5 3´000,000 = 1´200,000

(1 + )5 − 1 (1 + )5

(1 + )5 2.5 =

(1. )5

−

2.5 = 1(1 − 

1 (1 + )5 1 )

(1 +  )5

No pretenda usted resolver esta ecuación ecuación de 5° grado. Tiene que tantear: Prueba para

i = 25%

2.689

Prueba para

i = 26%

2.635

Prueba para

i = 30%

2.436

Prueba para

i = 29%

2.483

Prueba para

i = 28.5%

2.507

Prueba para

i = 28.6%

2.502

Prueba para

i = 28.6%

2.4999

Solución: TIR = 28.65% Es la tasa a la cual el 2do. Miembro se iguala al 1°. COMENTARIOS: 1. Cua Cuando ndo la tasa tasa es al alta ta e ell val valor or pre presen sente te disminuye rápidamente. 2. Si su tas tasa a de tanteo e ess muy ba baja ja su resul resultado tado ser será á mucho mayo mayorr que 2.5, entonces, sube la tasa. 3. Exist Existen en cal calculad culadores ores el electr ectrónicos ónicos qu que e ráp rápidam idamente ente lle e dan la TIR. 4. Deter Determina minando ndo dos tasas cons consecuti ecutivas vas (28.8 y 29%) 29%) es acepta aceptable ble la TIR obten obtenida ida por interpolaciones.