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GUÍA DIDÁCTICA DE CIV 313 Introducción a la aplicación del Método de Elementos Finitos U.A.T.F. Ingeniería Civil
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Ing. Juan Carlos Barrios C.
Resolver la siguiente estructura sometida a fuerzas axiales. Asumir EA = Constante. Ejemplo 1. – Resolver
La discretización del modelo será:
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Cálculo de las rigideces, fuerzas equivalentes y fuerzas nodales para cada elemento.
Elemento 1
−11 〈〉〉 = 0.72∗2 11 0. 7 ∗2 1 −1 〈 〉 = 2 1 2 −1 1 = (2.7) −11 −11 〈〉 = 0.72∗2.7 11 = (1.6) −11 −11 〈〉〉 = 0.72∗1.6 1 = + =1.20 + =1.50 + =1.00 =2.40 = (2 ) −11 = () 1
Elemento 2
Elemento 3
Elemento 4
Tomando en cuenta la condición de equilibrio, tenemos: Nudo 1:
Nudo 2:
Nudo 3:
Nudo 4:
Nudo 5:
= = =
=
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− = 0−.05.050000 −10..050000 −00..050000 00..000000 00..000000 12 0.1.740000 1.2 00..000000 −00..050000 −00..83770044 00.9.3975044 −00.0.60205 34 − 1.1.650505 = 1.1.50 0.000 0.000 0 −0.625 0.625 5 0.560 2.4 23 1 22.39.46200400 45 54.59.31955315
Por lo que la ecuación será:
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Por las condiciones de borde, tenemos restringido el nudo 1, es decir:
u1 =0
Esto hace que se elimine la fila y columna 1, obteniéndose un sistema reducido, el cual al resolverse obtenemos:
Estos resultados podrán permitir dibujar el estado deformado de la estructura, bajo el sistema de cargas. Las deformaciones unitarias, se calcular para cada elemento finito, con la siguiente relación: Entonces: Elemento 1
Donde:
= 1 11.21 = −1−1 1 = − 12 12 22.042 = = − 12 12 1 22.239.2.4624 = 8.61 = − 2.17 2.17 1 54.39.369554 = 5.465 = − 11..6 1.1.6 1 559.54.4.31955315315 = 2.96 = = 11. 21
Elemento 2
Elemento 3
Elemento 4
El tensor de los esfuerzos, se calcula según la expresión siguiente:
Por tanto, los resultados serán: Elemento 1
Elemento 2
= 8. 61
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= 5. 465 2.96 =
Elemento 4
Considere la barra de la figura siguiente. Determinar los desplazamientos nodales, Ejemplo 2. – Considere los esfuerzos en los elementos y las reacciones en los soportes.
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Cálculo de las matrices de rigidez de cada elemento Elemento 1
Elemento 2
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Elemento 3
Ensamblando la matriz de rigidez general, obtenemos:
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Los vectores de fuerza y desplazamiento nodal, están dados por:
1 300000 = 40
0 = 230
Las condiciones de borde, establecen que los desplazamientos en los nodos 1 y 4 son nulos, por tanto, permite eliminar las filas y columnas 1 y 4, por lo que el sistema reducido a resolver, proporciona los siguientes resultados:
81 2 = 3 = 1309 { 26 } 81 9 −2700000 11== −1000000 ∗ + 0 ∗ = 3 130 26 13 4=0∗ 130130− 81 − 8000003 ∗ 226=96 = −1200000 13
Las reacciones podrán calcularse a partir de la siguiente relación:
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Los esfuerzos nodales están dados por:
=
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 3
1 13013081801 = 1080013
= 200000 150 −−11 81 −4800 130 = 200000 = − −1 1 1 150 { 269 } 13 = 200000 300 −−11
1 262096 = −300013
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Determinar la matriz de la siguiente estructura: Ejemplo 3. – Determinar
Determinación de la geometría de la sección del elemento:
•
ℎ = + + 2ℎℎ==+ + 2ℎ = +2 + 4
La variación de la altura de la sección es: Por tanto, para:
x=0 x = L x = 2L
resolviendo el sistema, obtenemos:
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Por tanto:
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= −2ℎ = ℎ ℎ =2ℎ− 2ℎ + ℎ 1 = = ∫ −1−1 1 = ∫ 1 −1 ∗ 1 −1−1 1 ∗2∗∗ℎ ∗2∗∗ℎ = = 1 1 −1 2ℎ = ∫ 2 − 2 + == −1 1 1 −1 = −1 1 = = −11 −11
= 2ℎ
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Determinación de la rigidez. – Que esta dado por la siguiente relación.
•
Donde:
Por tanto:
Finalmente:
TALLER DE PRÁCTICA NO 1 Comprende en la resolución de un conjunto de ejercicios que deberán enviar al siguiente correo, durante UNA semana a partir de la presente fecha 17 Marzo de 2020 en forma digital (Formato PDF) al siguiente correo
[email protected] [email protected] El estudiante podrá enviar su práctica, cualquier momento hasta fecha 23 Marzo de 020
hasta Hrs 14:00 Incluir como identificador el carimbo que se encuentra en el link del presente grupo. grupo.
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Para las siguientes barrar que se muestran en las figuras P3-4 a P3-8 que se muestra, determinar, el estado de deformación, las reacciones y tensores de deformación unitaria y esfuerzos.
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Resuelva los ejercicios 3.5 y 3.11 del libro de Tirupathi R. Chandrupatla & Belegundu, Introducción Introducció n al Método de Elementos Finitos en la Ingeniería, 2da Edición.
Potosí, 17 de Marzo de 2020
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