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EJERCICIOS PROGRAMACIÓN DINÁMICA

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ASIGNATURA: METODOS ESTOCÁSTICOS Y SIMULACIÓN

FACULTAD DE INGENIERÍAS PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA AÑO 2013

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PROGRAMACIÓN DINÁMICA Al utilizar la programación lineal se supone que todas las utilidades o costos las ofertas y demandas y las tasas físicas de sustitución permanecen iguales durante el periodo completo en el que se enmarca el problema. A estos modelos se les llama modelos estocásticos debido a que se supone que todos los parámetros permanecen constantes. Es por esto que ahora se procede a examinar un modelo diferente denominado modelo dinámico el cual puede dar cabida a cambios en los parámetros, en el tiempo, etc. A este modelo se le denomina programación dinámica. La programación dinámica (PD) es un modelo de optimización el cual puede aplicarse a numerosos problemas. En general la PD intenta encontrar una solución de un problema de optimización en forma secuencial. A diferencia de la programación lineal la PD no es un algoritmo de solución única sino más bien un método para resolver un problema grande y único, resuelto en una secuencia de problemas más pequeños. Este método permite resolver un problema que depende del tiempo en forma de una secuencia de problemas de un solo periodo, en donde los parámetros de cada periodo dependen del periodo que se considera. De hecho es posible que no se conozcan los parámetros de cada periodo, sino hasta que este llegue. Los parámetros que intervienen en la programación dinámica pueden ser deterministas o estocásticos. Ejemplo: La fábrica de arepas “Arepas Pues” es una compañía ubicada en la ciudad de Montería en ella se fabrica diversos productos de maíz y harina de trigo para el mercado doméstico de la ciudad. Los principales productos que se elaboran son tortillas de harina y de maíz, arepas de sal y dulce, y masa para la fabricación de diversos productos. La empresa de arepas “Arepas Pues” ha firmado un contrato con una compañía de alimentos instantáneos especializada en comida mexicana. La compañía mexicana ha decidido adquirir tortillas de harinas por un total de 200 cajas de tortilla de harinas con 1000 tortillas cada una, en cada uno de los próximos 7 meses a un precio fijo. El departamento de costos de “Arepas Pues” ha calculado la utilidad para la fabricación de 200, 400, 600, y 800 cajas de tortillas, como se muestra en el siguiente cuadro…: Tamaño de Lote 200 400 600 800

Utilidad 1000 2500 3750 4750

Debido a una combinación de factores económicos y de almacenamiento se logran ahorros al fabricar lotes más grandes, pero también se puede incurrir al posible deterioro de algunas tortillas, después de algunos meses de fabricada.

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La empresa de arepas “Arepas Pues” desea obtener las mayores utilidades del contrato firmado. Para esto son necesarios los tamaños de los lotes para la fabricación de tortillas de harina. Dado lo anterior se procede a plantear matemáticamente el modelo anterior por programación dinámica.

Sea Wi: N° de Veces que se manda a hacer un lote para i meses…

Función Objetivo…: 

Maximizar F.O. = 1000W1 + 2500W2 + 3750W3 + 4750W4

Restricción…: 

1W1 + 2W2 + 3W3 + 4W4 = 7 Para todo Wi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4

Dado que PD lo que hace es tomar una serie de decisiones que conduce a la más alta utilidad, sujeta a cualquier restricción que exista en el problema, este se convierte en un caso típico de programación dinámica determinística. La forma usual para desarrollar esta clase de problemas consiste en analizar el final del periodo de planeación y trabajar hacia atrás en forma retrospectiva hasta el comienzo del periodo de planeación. En cada caso se asegura que la secuencia de decisiones sea óptima desde la primera decisión hasta la última. En este caso se comenzará en el mes 7 y se tomará una decisión respecto a cuánto debe fabricarse.

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7

200

200

1000

0

Mayor Utilidad para la demanda Restante 0

6

400

200 400

1000 2500

200 0

1000 0

2000 2500*

5

600

200 400 600

1000 2500 3750

400 200 0

2500 1000 0

3500 3500 3750*

800

200 400 600 800

1000 2500 3750 4750

600 400 200 0

3750 2500 1000 0

4750 5000* 4750 4750

1000

200 400 600 800

1000 2500 3750 4750

800 600 400 200

5000 3750 2500 1000

6000 6250* 6250* 5750

1200

200 400 600 800

1000 2500 3750 4750

1000 800 600 400

6250 5000 3750 2500

7250 7500* 7500* 7250

1400

200 400 600 800

1000 2500 3750 4750

1200 1000 800 600

7500 6250 5000 3750

8500 8750* 8750* 8500

Alternativa Mes Demanda de Producción

4

3

2

1

Utilidad Inmediata

Demanda Restante

R/ Mes 1  400 Unidades

= 2500

; Mes 1  600 Unidades

= 3750

Mes 2  400 Unidades

= 2500

; Mes 2  400 Unidades

= 2500

Mes 5  600 Unidades

= 3750

; Mes 6  400 Unidades

= 2500

Total Meses 1000 Unidades = 8750

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; Total Meses 1000 Unidades = 8750

Utilidad total en Peso 1000*

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1) La empresa de computadores DELL ha firmado un contrato con un distribuidor de Sur América, para fabricar 300 computadores mensuales durante los próximos 10 meses, a un pecio fijo. La empresa DELL ha calculado la utilidad para la fabricación de 300, 600, 700, 900 y 1200 computadores, relacionada en el siguiente cuadro.

Tamaño de lote en unidades 300 600 900 1200

Utilidad en Dólares 1000 2500 3750 4750

a. La compañía DELL desea obtener las mayores utilidades del contrato firmado, para esto, por favor determine los tamaños de lote para la fabricación de los computadores requeridos.

b. Plantee el anterior problema como un modelo de P.L.

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SOLUCIÓN EJERCICIO 1

a. Maximizando… (-_-)…:

0

Mayor utilidad para demanda restante 300

Utilidad total en peso 1000*

1000 2500

300 0

1000 0

2000 2500*

300 600 900

1000 2500 3750

600 300 0

2500 1000 0

3500 3500 3750*

1200

300 600 900 1200

1000 2500 3750 4750

900 600 300 0

3750 2500 1000 0

4750 5000* 4750 4750

1500

300 600 900 1200

1000 2500 3750 4750

1200 900 600 300

5000 3750 2500 1000

6000 6250* 6250* 5750

1800

300 600 900 1200

1000 2500 3750 4750

1500 1200 900 600

6250 5000 3750 2500

7250 7500* 7500* 7250

2100

300 600 900 1200

1000 2500 3750 4750

1800 1500 1200 900

7500 6250 5000 3750

8500 8750* 8750* 8500

2400

300 600 900 1200

1000 2500 3750 4750

2100 1800 1500 1200

8750 7500 6250 5000

9750 10000* 10000* 9750

2700

300 600 900 1200

1000 2500 3750 4750

2400 2100 1800 1500

10000 8750 7500 6250

11000 11250* 11250* 11000

3000

300 600 900 1200

1000 2500 3750 4750

2700 2400 2100 1800

11250 10000 8750 7500

12250 12500* 12500* 12250

Mes

Demanda

Alternativa de producción

Utilidad Inmediata

Demanda Restante

10

300

300

1000

9

600

300 600

8

900

7

6

5

4

3

2

1

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Opción 1:

Opción 2:

Mes 1  600 Unidades = 2500

;

Mes 1  900 Unidades = 3750

Mes 3  600 Unidades = 2500

;

Mes 4  600 Unidades = 2500

Mes 5  900 Unidades = 3750

;

Mes 6  900 Unidades = 3750

Mes 8  900 Unidades = 3750

;

Mes 9  600 Unidades = 2500

Total meses 3000 Unid = 12500

;

Total meses 3000 Unid = 12500

b. Sea Xi: N° de veces que se manda a hacer un lote para i meses…



Maximizar F.O. = 1000X1 + 2500X2 + 3750X3 + 4750X4



Restricciones: 1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 = 10 Para todo Xi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4

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2) La empresa electrónica Sony ha firmado un contrato con un distribuidor de Europa del Este para fabricar 3000 televisores de plasma mensuales, con características regionales especiales, durante los próximos 10 meses, a un precio fijo. La empresa Sony ha calculado la utilidad para la fabricación de 3000, 6000, 9000 y 12000 televisores, relacionados en la siguiente tabla.

Tamaño de lote en unidades 3000 6000 9000 12000

Utilidad en dólares 10200 13150 35000 46500

a. La compañía Sony desea obtener las mayores utilidades posibles del contrato firmado, dado que ha especificado un bajo precio con el fin de expandir su mercado a los antiguos países de la cortina de hierro. Para esto es necesario determinar los tamaños de lote para la fabricación de los televisores requeridos. Plantee al menos dos estrategias en las que se comprueben las utilidades y los tamaños de lote a fabricar.

b. Plantee el modelo matemático definiendo todas las variables que se utilizan en el modelo.

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SOLUCIÓN EJERCICIO 2

a. Maximizando (-_-)…

0

Mayor utilidad para la demanda restante 0

Utilidad total en peso 10200*

10200 13150

3000 0

10200 0

20400* 13150

9000

3000 6000 9000

10200 13150 35000

6000 3000 0

20400 10200 0

30600 23350 35000*

12000

3000 6000 9000 12000

10200 13150 35000 46500

9000 6000 3000 0

35000 20400 10200 0

45200 33550 45200 46500*

15000

3000 6000 9000 12000

10200 13150 35000 46500

12000 9000 6000 3000

46500 35000 20400 10200

56700* 48150 55400 56700*

18000

3000 6000 9000 12000

10200 13150 35000 46500

15000 12000 9000 6000

56700 46500 35000 20400

66900 59650 70000* 66900

21000

3000 6000 9000 12000

10200 13150 35000 46500

18000 15000 12000 9000

70000 56700 46500 35000

80200 69850 81500* 81500*

24000

3000 6000 9000 12000

10200 13150 35000 46500

21000 18000 15000 12000

81500 70000 56700 46500

91700 83150 91700 93000*

27000

3000 6000 9000 12000

10200 13150 35000 46500

24000 21000 18000 15000

93000 81500 70000 56700

103200 94650 105000* 103200

30000

3000 6000 9000 12000

10200 13150 35000 46500

27000 24000 21000 18000

105000 93000 81500 70000

115200 106150 116500* 116500*

Mes

Demanda

Alternativa de Producción

Utilidad inmediata

Demanda restante

10

3000

3000

10200

9

6000

3000 6000

8

7

6

5

4

3

2

1

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Opción 1:

Opción 2:

Mes 1  9000 Unidades = 35000

;

Mes 1  12000 Unidades = 46500

Mes 3  12000 Unidades = 46500

;

Mes 4  9000 Unidades = 35000

Mes 5  9000 Unidades = 35000

;

Mes 8  9000 Unidades = 35000

Total meses 30000 Unid = 116500

;

Total meses 30000 Unid = 116500

b. Sea Xi: N° de veces que se manda a hacer un lote para i meses…



Maximizar F.O. = 10200X1 + 13150X2 + 35000X3 + 46500X4



Restricciones: 1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 = 10 Para todo Xi ≥ 0; i = 1, 2, 3, 4

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3) Un jugador tienen 2 dólares. Se le permite participar 4 veces en un juego de azar y su meta es maximizar su probabilidad de terminar al menos con 6 dólares. Si el jugador apuesta 6 dólares en una jugada, entonces gana con probabilidad 0.40 y aumenta su capital en 6 dólares. Pierde con probabilidad 0.60 y disminuye su probabilidad en 6 dólares. En cualquier jugada no puede apostar más del dinero que tiene. Determine una estrategia de apuestas que maximice la probabilidad del jugador de alcanzar un capital de al menos 6 dólares al final del 4° juego. Suponga que se aceptan apuestas de 0 dólares, esto es no apostar.

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SOLUCIÓN EJERCICIO 3 Para el desarrollo de este problema se debe definir… Ft(d) = como la probabilidad de que al terminar el juego 4 el jugador tenga al menos 6 dólares. “d” los dólares que se van a apostar… Si se le proporciona una recompensa de 1 cuando su capital al final es de 6 dólares, y una recompensa de 0 si es menos de 6 dólares. Entonces será igual a la recompensa máxima esperada que puede ganar durante las jugadas t, t + 1, t + 2, t + 3, t + 4, entonces t es F0 al principio de la primera jugada. Si tiene “t” dólares dado lo anterior dado lo anterior se puede definir el tamaño de la jugada… Si el jugador participa por cuarta y última vez, su estrategia óptima deberá ser clara. Si tiene 6 dólares o más, no apostar, pero si tiene menos de 6 dólares entonces deberá apostar lo suficiente para asegurar, si es posible, tener 6 dólares si gana esta última jugada. Nótese si al inicio del 4 juego se tienen 0 dólares, 1 dólar, o 2 dólares, entonces no se tendría la oportunidad de ganar, es decir, no hay manera de alcanzar una recompensa de 1. Con este razonamiento, ahora se puede especificar…: Si F4(0)  b4(0) = 0 F4(1) = 0.0  b4(1) = 0 o 1 dólares… F4(2) = 0.0  b4(2) = 0, 1 o 2 dólares… F4(3) = 0.4  b4(3) = 3 dólares… F4(4) = 0.4  b4(4) = 2, 3 o 4 dólares… F4(5) = 0.4  b4(5) = 1, 2, 3, 4, 5 dólares… Para d ≥ 6  F4(6) = 1  b4(d) = 0, 1, 2, 3,…, (d – 6) Para t = 3, la formula recursiva Ft(d), al observar que si el jugador tiene “t” dólares y va a hacer la tn jugada y apuesta “b” dólares entonces lo que puede suceder es lo siguiente…: Si gana la jugada con probabilidad 0.4 entonces Ft+1 = d + b. Si no gana la jugada con probabilidad 0.6 entonces Ft+1 = d – b, entonces si el jugador tiene d dólares al inicio de la jugada t y apuesta b dólares, la recompensa esperada o probabilidad esperada de alcanzar 6 dólares será (0.4)Ft+1(d + b) + (0.6)Ft+1(d – b). Esto conduce a la formula recursiva 1…:

 Ft(d) = Max Valor{(0.4)Ft+1(d + b) + (0.6)Ft+1(d – b)}

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Cálculos para la etapa 3…: Maximizado (-_-)…:

( )

( )

( ( {

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Cálculos para la etapa 2…: Maximizado (-_-)…:

( )

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(

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(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

( )

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( ) )

) ( (

( ) )

) ( (

Mesa

8

5

7

) ( (

) )

( )

{ Jugada

( ) )

( )

( )

Otro 1 2 3

Jugador 4 3 2

Queda 3 2 1

Yo 3 2 1

Restan 1 1 1

9

1 2 3

8 7 6

3 2 1

3 2 1

5 5 5

6

13

1 2 3

12 11 10

3 2 1

3 2 1

9 9 9

5

17

1 2 3

16 15 14

3 2 1

3 2 1

13 13 13

4

21

1 2 3

20 19 18

3 2 1

3 2 1

17 17 17

3

25

1 2 3

24 23 22

3 2 1

2

29

1 2 3

28 27 26

3 2 1

25 25 25

1

30

0

30

1

29

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21 21 21

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4) Una empresa de componentes electrónicos tiene un contrato para entregar la siguiente cantidad de transmisores de radio durante los 3 meses siguientes, sin admitir la posibilidad de tener inventarios negativos.

Mes 1 2 3

DMD 200 300 300

Por cada radio que se produce durante los meses 1 y 2, se incurre en un costo variable de 10 Us. Por cada radio producido en el mes 3, el costo variable es de 12 Us. El costo de almacenamiento es de 1.5 Us/unidad de inventario al final de un mes. El costo de preparar la producción durante un mes es de 250 Us. Los radios que se fabrican durante un mes pueden servir para abastecer la demanda de ese mes o de alguno futuro. Suponga que la producción durante cada mes debe ser múltiplo de 100. Dado que el nivel inicial de inventario es 0, utilice programación dinámica para determinar un calendario óptimo de producción, si se desea que el inventario al final del periodo 3 sea 0 unidades.

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SOLUCIÓN EJERCICIO 4

Sea…:  Ft(i): Costo mínimo incurrido para satisfaces la demanda para los meses 1, 2 y 3

 C(X): Corresponde al costo de producir X unidades durante un periodo donde…:  Si X = 0  C(X) = 0;  Para el mes 3 C(X) = 250 + 12X; X > 0.  Para el mes 1 y 2 C(X) = 250 + 10X; X >o

 Xt(i): Nivel de producción durante el mes t que minimiza el costo total si están i unidades disponibles en el almacén al inicio del mes t.

Calculos para el mes 3…:

Dado que el inventario final del mes 3 debe ser 0 unidades entonces la empresa de componentes electrónicos solo debe producir las unidades suficientes para asegurar que se cumpla la demanda de 300 unidades para el mes 3…: Si X(0)

= 300 – 0

= 300  F3(0) = C(300) = 250 + 12(300) = 3850

Si X(100) = 300 – 100 = 200  F3(100) = C(200) = 250 + 12(200) = 2650 Si X(200) = 300 – 200 = 100  F3(200) = C(100) = 250 + 12(100) = 1450 Si X(300) = 300 – 300 = 0

 F3(300) = C(0)

=0

En el mes 2 es necesario determinar el costo del inventario al final del mes 3. Este costo se presenta a razón de 1.5 Us/Unidad, entonces lo que puede quedar en inventario al final del mes 2 es lo que había en inventario al principio del mes 2 es decir i mas lo que se produjo en el mes 2, es decir, (X - la demanda), entonces se puede valorizar esta ecuación a un costo de 1.5 Us/Unidad. A esta ecuación se le suma los costos de producción C(X) más lo que se tiene en almacén como posibilidad para el mes siguiente es decir Ft(i + x – DMD). Entonces la ecuación recurrente para el mes 2 será minimizadora y se puede representar en los siguientes términos…: F2(i) = Minimizar{1.5(i + x – DMD) + C(x) + F3(i + x - 300)}

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Para el mes 2…: Minimizando (-_-)…

i

x

(1.5)(i + x – 300)

C(x)

300

(1.5)(0 + 300 – 300) = 0

400

(1.5)(0 + 400 – 300) = 150

500

(1.5)(0 + 500 – 300) = 300

600

(1.5)(0 + 600 – 300) = 450

10(300) + 250 = 3250 10(400) + 250 = 4250 10(500) + 250 = 5250 10(600) + 250 = 6250

200

(1.5)(100 + 200 – 300) = 0

300

(1.5)(100 + 300 – 300) = 150

400

(1.5)(100 + 400 – 300) = 300

500

(1.5)(100 + 500 – 300) = 450

100

(1.5)(200 + 100 – 300) = 0

200

(1.5)(200 + 200 – 300) = 150

300

(1.5)(200 + 300 – 300) = 300

400

(1.5)(200 + 400 – 300) = 450

0

(1.5)(300 + 0 – 300) = 0

100

(1.5)(300 + 100 – 300) = 150

200

(1.5)(300 + 200 – 300) = 300

300

(1.5)(300 + 300 – 300) = 450

0

100

200

300

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10(200) + 250 = 2250 10(300) + 250 = 3250 10(400) + 250 = 4250 10(500) + 250 = 5250 10(100) + 250 = 1250 10(200) + 250 = 2250 10(300) + 250 = 3250 10(400) + 250 = 4250 0+0 =0 10(100) + 250 = 1250 10(200) + 250 = 2250 10(300) + 250 = 3250

F3(i + x – 300)

C. Total

F3(0) = 3850

7100

F3(100) = 2650

7050

F3(200) = 1450

7000

F3(300) = 0

6700*

F3(0) = 3850

6100

F3(100) = 2650

6050

F3(200) = 1450

6000

F3(300) = 0

5700*

F3(0) = 3850

5100

F3(100) = 2650

5050

F3(200) = 1450

5000

F3(300) = 0

4700*

F3(0) = 3850

3850

F3(100) = 2650

4050

F3(200) = 1450

4000

F3(300) = 0

3700*

F2(i) X2(i)

F2(0) = 6700 X2(0) = 600

F2(100) = 5700 X2(100) = 500

F2(200) = 4700 X2(200) = 400

F2(300) = 3700 X2(300) = 300

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Para el mes 1…: Minimizando (-_-)…

x

(1.5)(i + x – 200)

C(x)

200

(1.5)(0 + 200 – 200) = 0

300

(1.5)(0 + 300 – 200) = 150

400

(1.5)(0 + 400 – 200) = 300

500

(1.5)(0 + 500 – 200) = 450

10(200) + 250 = 2250 10(300) + 250 = 3250 10(400) + 250 = 4250 10(500) + 250 = 5250

100

(1.5)(100 + 100 – 200) = 0

200

(1.5)(100 + 200 – 200) = 150

300

(1.5)(100 + 300 – 200) = 300

400

(1.5)(100 + 400 – 200) = 450

0

(1.5)(200 + 0 – 200) = 0

100

(1.5)(200 + 100 – 200) = 150

200

(1.5)(200 + 200 – 200) = 300

300

(1.5)(200 + 300 – 200) = 450

i

0

100

200

10(100) + 250 = 1250 10(200) + 250 = 2250 10(300) + 250 = 3250 10(400) + 250 = 4250 0+0 =0 10(100) + 250 = 1250 10(200) + 250 = 2250 10(300) + 250 = 3250

F2(i + x – 200)

C. Total

F2(0) = 6700

8950*

F2(100) = 5700

9100

F2(200) = 4700

9250

F2(300) = 3700

9400

F2(0) = 6700

7950*

F2(100) = 5700

8100

F2(200) = 4700

8250

F2(300) = 3700

8400

F2(0) = 6700

6700*

F2(100) = 5700

7100

F2(200) = 4700

7250

F2(300) = 3700

7400

F1(i) X1(i)

F1(0) = 8950 X1(0) = 200

F1(100) = 7950 X1(100) = 100

F1(200) = 6700 X1(200) = 0

Dado que el inventario inicial es 0, el costo mínimo para los 3 meses será de F1(0) = 8950

Mes

DMD

1 2 3

200 300 300

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Producción

200 600 0 Costo total en dólares

Inventario 0 300 0

Costo de producción + Inventario 0 + 2250 = 2250 (450 + 6250) = 6700 0 8950

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5) Un vendedor de sudaderas en los juegos de futbol con igual probabilidad puede vender 200 o 400 sudaderas en cada juego. Cada vez que el vendedor hace un pedido, paga 500 Us más 5 Us por cada sudadera perdida. Cada sudadera se vende en 8 Us. Se carga un costo de almacenamiento de 2 Us/unidad que sobra al final del juego, debido al costo de oportunidad del capital ligado a las sudaderas, y a los costos de almacenamiento, el vendedor puede almacenar hasta 400 sudaderas como máximo después de cada juego. Suponiendo que el número de sudaderas pedidas por el vendedor debe ser múltiplo de 100, determine una política de pedido que maximice las ganancias netas que obtengan durante los primeros 3 juegos de la temporada, suponiendo que cualquier sobrante tiene un valor de 6 Us/sudadera, que al inicio del periodo 1 existen 200 sudaderas en la bodega y que no se aceptan inventario negativos.

SOLUCIÓN EJERCICIO 5

Para obtener la solución del problema es necesario establecer las siguientes definiciones…:  Ft(i): Corresponde a la utilidad neta esperada durante los periodos t (1, 2, 3), cuando el inventario de sudaderas al inicio del periodo t corresponde a i sudaderas…  P(X): Corresponde al precio de venta de X sudaderas durante un periodo…  Si X = 0 entonces P(0) = 0  Si X>0  P(X) = 8X  C(X): Costo de hacer el pedido. Corresponde a los 500 Us base de hacer el pedido…  C(x) = 500 + 5x  X: Unidades pedidas…  Vx(i): Corresponde al costo al almacenamiento.  (2)(i + x – 200) + (2)(i + x – 400) = (4i + 4x – 1200)  Kx(i): Corresponde a un costo de rembolso al final del periodo 3 por utilidades en el almacén.  (6)(i ´x – 200) + (6)(i + x – 400) = (12i + 12x – 3600)

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Dado lo anterior se puede plantear la ecuación recursiva para el periodo de la siguiente forma: F3(i) = Maximizar X3{P(x) – C(x) – V(x) + Kx(i)} F3(i) = Maximizar X3{8x – (500 + 5x) – (4i + 4x – 1200) + (12i + 12x – 3600)} i

x

0

400 500 600 700 800

P(X)

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C(X)

Vx(i)

Kx(i)

Utilidad Venta

F3(i) X3(i)

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6) Un inversionista petrolero tiene 4 millones de dólares para invertir en 3 campos petroleros. La utilidad que gana el campo i (1, 2, 3), depende de la cantidad invertida en el campo, como se muestra en la siguiente tabla. Cantidad invertida en millones de dólares 1 2 3 4 5

Utilidad en millones de dólares Campo 1

Campo 2

Campo 3

4 7 8 9 11

3 6 10 12 14

3 7 8 13 15

a. Defina las variables del problema, la etapa, los estados del problema y las variables de decisión. b. Determine las ecuaciones de estado para cada una de las etapas del problema. c. Si los cálculos de la etapa 3 en dólares son…

F3(0) = 3

; X3(0) = 0

F3(1) = 7

; X3(1) = 1

F3(2) = 8

; X3(2) = 2

F3(3) = 13

; X3(3) = 3

F3(4) = 15

; X3(4) = 4

Los cálculos en dólares de la etapa 2 son…: F2(0) = 6

; X2(0) = 0

F2(1) = 10

; X2(1) = 0

F2(2) = 13

; X2(2) = 1 o 2

F2(3) = 17

; X2(3) = 2

F2(4) = 19

; X2(4) = 1 o 3

Determine la forma como el inversionista debe invertir los 4 millones de dólares en los campos que dispone. Explique su respuesta basada en los resultados obtenidos.

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SOLUCIÓN EJERCICIO 6

Ft(i): Mayor utilidad esperada de i cantidad de dólares i: Cantidad de dinero para invertir t: Tiempo… Vt(x): Utilidad esperada de invertir X dinero en un tiempo t… Xt(i): Nivel de inversión que maximiza la utilidad si existe i dinero para invertir en el tiempo t… F3(0) = 3 

X3(0) = 0

F3(1) = 7 

X3(1) = 1

F3(2) = 8 

X3(2) = 2

F3(3) = 13 

X3(3) = 3

F3(4) = 15 

X3(4) = 4

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