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Física I Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier De lgado Cepeda, Marcela Martha Villegas Garrido
Capítulo 1. Vectores Preguntas, ejercicios y problemas
Preguntas 1) Dos astronautas parten de Cabo Cañaveral hacia la Luna y de regreso, y acuatizan en el e l Océano Atlántico. Un almirante los despide en el Cabo y después navega en un portaaviones por el Océano Atlántico para recogerlos. En sus viajes respectivos, ¿Quién tiene mayor desplazamiento, el almirante o los astronautas? 2) ¿Pueden combinarse dos vectores de diferente magnitud para pro ducir un vector resultante igual a cero? ¿Pueden producir este resultado tres vectores? 3) ¿Puede ser cero la magnitud de un vector si alguna de sus componentes es diferente de cero? 4) ¿Tendrá algún sentido llamar vector a una cantidad si su magnitud es cero? 5) ¿Tiene unidades el vector unitario? 6) Las magnitudes de dos vectores a y b son 12 y 8 unidades respectivamente. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo posibles de la magnitud del vector resultante R a b ? 7) ¿Las componentes de un vector pueden ser mayores que la magnitud del vector? 8) Cuando una abeja regresa a su panal avisa a las otras cómo llegar a la comida. ¿Qué tipo de coordenadas, cartesianas o polares, empleará la abeja para especificar la localización de la flor? ¿Qué usaría la abe ja como su origen de coordenadas? 9) Si a b
0 ¿qué puede decirse acerca de
10) Si a b
a
y b?
0 ¿qué puede decirse acerca de
a
y b?
Ejercicios y problemas 1) Para los siguientes vectores determine su magnitud y sus ángulos directores: 1
D.R.
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Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012
Física I Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier De lgado Cepeda, Marcela Martha Villegas Garrido
2)
a)
a
2i
b)
b
2
c)
c
d)
d
e)
e
f)
f
ˆ
j 3k
ˆ
ˆ
i
3i
6
5i
3 j 3k
2i
2
ˆ
ˆ
ˆ
6i
ˆ
ˆ
2
j k ˆ
ˆ
j 6k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
jk
ˆ
3
ˆ
j 6 k ˆ
ˆ
a
Dados los vectores
2i
ˆ
j 3k , b ˆ
ˆ
i
ˆ
2jk ˆ
ˆ
y c
i
3
ˆ
5
j 2k , realice las siguientes
ˆ
ˆ
operaciones entre vectores:
a)
b)
c)
d)
a b c
a 2a b 3c
a b c
a a b c
e)
a
b c
a
f)
a
b c
b
a
c
b c
3) Tres vectores están dados por
a)
a b c
2
a
3i
ˆ
3
j 2k , b
ˆ
ˆ
i
ˆ
4
j 2k y c
ˆ
ˆ
2i
ˆ
2
j k . Encuentre:
ˆ
ˆ
D.R.
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Física I Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier De lgado Cepeda, Marcela Martha Villegas Garrido
b)
c)
d)
e)
f)
a b
c
c
b
c
a b
2a
a 2b
a
3
c
b
3c
c
a
)
b c
D.R.
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El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido
4) Para las siguientes tripletas de vectores deter mine el triple producto escalar vectorial
a b c
a)
a
b)
a
3
c)
a
d)
a
2
4i
5) Si
a
3i
ˆ
i
ˆ
2
i
ˆ
4
i
ˆ
ˆ
ˆ
j k , b
ˆ
jk , b ˆ
ˆ
2i
i
ˆ
ˆ
4
i
ˆ
j 2k y c ˆ
ˆ
j 5k y c ˆ
8j ˆ
k y c
4i
ˆ
ˆ
ˆ
a
4i
3
7) Dados los vectores
a
5i
ˆ
i
ˆ
j 2 k .
3i
ˆ
7i
ˆ
ˆ
ˆ
2
j 2k . ˆ
ˆ
3 j 5k
ˆ
ˆ
2
j
ˆ
b
y
j y b
ˆ
6i
ˆ
3i
ˆ
8
.
4 j 4k ˆ
j 4k encuentre un vector
6) Dados los vectores
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
j k y c
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
4i
j 5k , b
2
i
j 2k , b
ˆ
ˆ
3
ˆ
4
y el triple producto
.
jk , b
ˆ
a b c
ˆ
c
.
tal que a b c
0.
j encuentre la magnitud y la dirección de a b .
ˆ
j calcule sus magnitudes y el vector a b .
ˆ
8) Calcule el ángulo que forman los siguientes pares de vectores: a)
a
b)
a
c)
a
4
4
i
ˆ
3i
ˆ
6j
5
i
ˆ
y
b
y
b
ˆ
j
ˆ
2
j y b
ˆ
D.R.
3i
ˆ
10i
ˆ
2
7i
ˆ
j
ˆ
6j
ˆ
14 j
© Instituto
ˆ
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9) Dadas las parejas de vectores siguientes dete rmine el producto cruz a b y la magnitud de este producto. a)
a
5i
b)
a
i
c)
a
4i
ˆ
ˆ
ˆ
2
j y b
ˆ
ˆ
3
a
11) El vector
a
ˆ
ˆ
j
ˆ
i
2
ˆ
a
i
j k y b
ˆ
j
ˆ
j 3k y b
ˆ
10) Dados los vectores vectores
3i
i
ˆ
ˆ
k
ˆ
j 8k ˆ
ˆ
3 j 5k
ˆ
ˆ
b
y
2i
ˆ
rj k determine el valor del coeficiente ˆ
ˆ
r
para que los
y b sean perpendiculares.
tiene una componente horizontal negativa de 3 unidades de longitud y una com ponente
vertical positiva de 2 unidades de longitud. Determine: a) Una expresión para
a
en notación de vectores unitarios.
b) La magnitud y la dirección de c)
a
.
Un vector b que sumado al vector componente
y
a
produce un vector resultante con componente
x
nula y
negativa de 4 unidades.
12) Considere dos desplazamientos, uno de 3 m de magnitud y otro de 4 m. ¿Cómo pueden combinarse estos vectores para obtener un desplazamiento resultante cuya magnitud sea (a) de 7 m, (b) de 1 m y (c) de 5 m?
13) Dados los vectores
a
i
2
ˆ
3
j 4 k y b ˆ
ˆ
3i
ˆ
j 3k obtenga un vector unitario perpendicular a los ˆ
ˆ
dos vectores.
14) Dados los vectores
a
perpendicular al vector
5
D.R.
5i
ˆ
a
6.5 j
ˆ
y
b
i
3.5
ˆ
7
j calcule un vector
ˆ
c
que esté en el plano
x y
, que sea
y cuyo producto escalar con b sea 15.
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El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido
15) Dos vectores
a
y b tienen magnitudes a = 3 y b = 3. Su producto cruz es a b
2i
ˆ
k . ¿Qué ángulo
5
ˆ
forman esos dos vectores?
16) Dos vectores
a
y b tienen la misma magnitud. ¿Cuál debe ser el ángulo entre estos vectores para que la
magnitud de a b sea 100 veces mayor que la de a b ?
17) Un jugador de golf mete su pelota en un hoyo en tres golpes. El primer golpe desplaza la pelota doce metros hacia el norte, el segundo seis metros al sureste y el tercero tres metros al suroeste. ¿Qué desplazamiento sería necesario para meter la pelota e n el hoyo al primer golpe?
18) Una persona vuela de Washington a Manila. ¿Cuál es la magnitud del vector desplazamiento si la latitud y longitud de cada ciudad es 39° N, 77° W y 15° N, 121° E respectivamente?
19) Dos vectores
a
y b tienen componentes que, en unidades arbitrarias, son:
a x = 3.2, ay = 1.6, b x =0.5 y by = 4.5.
Encuentre (a) el ángulo entre
a
y b ; y (b) un vector
c
que sea perpendicular al vector
a
y que tenga 5
unidades de magnitud.
20) Un equipo de fútbol americano registra sus jugadas con de splazamientos vectoriales, siendo el origen la posición del balón al iniciar la jugada. En cierta jugada de pase el receptor parte de
i
ˆ
5 j donde las ˆ
j unidades son yardas, i es a la derecha y es hacia adelante. Los desplazamientos subsecuentes del ˆ
ˆ
receptor son
9i
ˆ
(en movimiento antes de salir de la jugada),
El mariscal de campo retrocedió
6
D.R.
© Instituto
j ,
11
ˆ
i
6
ˆ
4
j y, finalmente, 12i
ˆ
ˆ
18
j
ˆ
.
7 j . ¿Qué tan lejos y en qué dirección debe el mariscal lanzar el balón? ˆ
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El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido 21) Juanita está en la selva. Sigue una vereda de 210 m al oeste, luego 180 m 45° al este del norte, y finalmente 110 m 60° al este del sur. Tras un cuarto desplazamiento no medido vuelve al punto inicial. Determine el cuarto desplazamiento.
22) Se necesita programar un brazo robot en una línea de montaje que se mueve en el plano desplazamiento es x .
a
x y
. Su primer
, el segundo es b , de magnitud 4.8 cm y dirección 49° en sentido horario desde el eje
La resultante c a b también debe tener una magnitud de 4.8 cm pero una dirección a 22° en
sentido anti-horario desde el eje
x .
Determine el vector
a
.
23) Juanita, la exploradora, camina en la jungla 80 pasos al sureste, 40 pasos 60° al e ste del norte y 50 pasos al norte. Suponga que los pasos son iguales. Evite que Juanita se extr avíe proporcionándole el vector desplazamiento para que regrese al punto inicial
24) Un esquiador se mueve 7.4 km a 4 5° al este del sur, luego 2.8 km a 30° al norte del este y por último 5.2 km a 22° al oeste del norte. ¿A qué distancia está el e squiador del punto de partida?
25) El vector
a
tiene 3.5 cm de longitud y está dirigido hacia dentro del plano de la página. El vector b apunta
de la esquina inferior derecha a la esquina superior izquierda de esta página. Calcule las tres componentes del producto a b medidas en cm2.
26) En la molécula de metano CH4, cada átomo de hidrógeno está en la esquina de un tetraedro regular, con el átomo de carbono en el centro. Uno de los enlaces C-H está en la dirección adyacente está en la dirección
i
ˆ
i j k , otro enlace C –H ˆ
ˆ
ˆ
j k . Calcule el ángulo entre los enlaces.
ˆ
ˆ
27) En general la posición instantánea de un objeto est á especificada por su vector de posición R dirigido desde un origen fijo a la ubicación del objeto. Suponga que para un cierto objeto el vector de posición es
7
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función del tiempo, y está dado por
R (2 3t )i
ˆ
(3 2t 5t 2 ) j donde ˆ
R
está en metros y t en
dR
segundos. Calcule dt e indique qué representa esta derivada. 28) Utilice las leyes de senos y cose nos para determinar la magnitud y la dirección de la resultante R del conjunto de fuerzas mostradas en las figuras 1.24 a1.30.
Figura 1.24. Conjunto de fuerzas de 54 N y 60 N
y F1=54N
60°
F2=60N x
Figura 1.25. Conjunto de fuerzas de 90 N y 110 N
y F1=90N 5 3
F2=110N x
Figura 1.26. Conjunto de fuerzas de 170 N y 210 N
8
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y F1=170N 5 2
x 5
F2=210N 12
y F1=800N 45°
F2=750N 30° x F3=900N
Figura 1.27. Conjunto de fuerzas de 800 N, 750 N y 900 N
y
Figura 1.28. Conjunto de fuerzas de 40 kN, 50 kN y 75 kN
F1=40kN
F2=50kN
40° F3=75kN 20° x
Figura 1.29. Conjunto de fuerzas de 20 kN, 15 kN y 10 Kn y F1=20kN
9
F2=15kN 45° D.R. © Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores d e Monterrey, México 2011 20°
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Figura 1.30. Conjunto de fuerzas de 40 kN, 50 kN y 10 kN y F1=40kN 30°
F2=50kN F3=10kN 45° x
29) Determine las componentes de la fuerza e n la dirección de los ejes
u
y
v
en las figuras 1.31 y 1.32.
v 1000N
35°
45° u
Figura 1.31. Fuerza de 1000 N v
80°
750N
50° u
Figura 1.32. Fuerza de 750 N
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F F 30) Dos cables soportan un objeto como se indica en la figura 1.33. La resultante R de las fuerzas u y v
tiene una magnitud de 1500 N. Determine las magnitudes de las fuerzas
F u
y
F v
.
1 4
1 3
x
Figura 1.33. Objeto soportado for dos fuerzas con una resultante de 1 500 N
31) Se arrastra una embarcación aguas arriba en la forma indicada en la figura 1.34. La resultante R de las fuerzas de tracción de las cuerdas
F u
y
F v
tiene una magnitud de 1500 N y su dirección está dirigida
según el eje de la embarcación. Determine las magnitudes de las fuerzas
F u
y
F v
.
30° 40°
Figura 1.34. Embarcación en movimiento con una resultante de 1500 N
11
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El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido 32) Dos barras resisten una fuerza F como se indica en las figuras 1.35 y 1.36. Determine la magnitud y la dirección de las fuerzas
F u
y
F v
en la dirección de las barras AB y BC respectivamente.
Figura 1.35. Sistema de fuerza de 25 kN
A 50cm
C 25cm
75cm
B F=25kN
Figura 1.36. Sistema de fuerza de 100 kN
B 2.5m A
F=100kN 4.5m
6m
12
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C
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El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido
33) Determine (a) las componentes
x
y
y
, (b) las componentes
x '
y
y '
para la fuerza representada en las
figuras 1.37 y 1.38.
Figura 1.37. Sistema de fuerzas de 500 N y 750 N
F1=500N
y
y’
25° 45° x
30°
F2=750N
x’
Figura 1.38. Sistema de fuerzas de 800 N y 1000 N
F1=800N
y
40°
y’
30°
F2=1000N 40° x
x’
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El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido 34) Se aplica una fuerza a un ancla como se indica en la figura 1.39. Para c ada uno de estos conjuntos de datos exprese la fuerza en forma vectorial cartesiana. a) Si F
b) Si F
10kN , x
60 y
15kN , x
75 y 130
,
,
70
y y
z
z
37.3
.
43.9
.
Figura 1.39. Fuerza aplicada a un ancla
35) Se aplica una fuerza de 400 N a un ancla como se indica en las figuras 1.40 y 1.41. Determine las componentes de la fuerza y los ángulos directores. Figura 1.40. Fuerza de 400 N aplicada a un ancla
14
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El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido
Figura 1.41. Sistema de fuerza aplicada a un ancla
36) Se aplican dos fuerzas a un ancla como se indica en las figuras 1.42 y 1.43. Determine las componentes x, y, z
de las fuerzas
F 1
y
F 2
y el ángulo que forman.
z
3m 2m F 2=30kN
y
1m F 1=50kN
1m
5m
x
Figura 1.42. Sistema de dos fuerzas aplicadas a un ancla
15
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El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido Figura 1.43. Sistema de dos fuerzas aplicadas a un ancla
z
1m
1m
1.2m
F 1=4.5kN
1m
F 2=3.5kN
2m y
x
37) Utilice el método de las componentes rect angulares para determinar la magnitud de la fuerza resultante R y el ángulo θx que forma con el eje x , para cada una de los sistemas de fuerzas mostrados en las figuras 1.44 a 1.47.
Figura 1.44. Sistema de fuerzas de 300 N, 600 N y 750 N
y
F1=300N
F2=600N
60° x 33° F3=750N
16
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El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido
y
F2=2000N
F1=5000N 2 F3=1000N
1
1 2
1 2
x
Figura 1.45. Sistema de fuerzas de 5000 N, 2000 N y 1000 N
Figura 1.46. Sistema de fuerzas de 3 kN, 5 kN y 4 kN
y F2=5kN 78° F1=3kN 32° x 35° F3=4kN
Figura 1.47. Sistema de fuerzas de 5 kN, 6 kN, 8 kN and 10 kN
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El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido 38) Utilice el método de las componentes rect angulares para determinar la magnitud de la fuerza resultante R
y sus ángulos directores
x
,
y
y
z
para cada uno de los sistemas de fuerzas mostrados en las figuras
1.48 a 1.50.
Figura 1.48. Sistema de fuerzas de 35 kN, 50 kN y 20 kN F1=35kN
z F2=50kN
26° 50°
30° 33°
30°
y
36° F3=20kN
x
Figura 1.49. Sistema de fuerzas de 500 N, 800 N y 700 N
z
2m
2m
2m 2m
2m
F1=500N
y
F3=700N F2=800N
4m
x
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El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido Figura 1.50. Sistema de fuerzas de 10 kN, 12 kN y 15 kN
z
2m 4m
3m F3=15kN 4m F2=12kN y
2m
F1=10kN x
Respuestas de los ejercicios Preguntas 1. El mismo 2. (a) No, (b) Sí 3. No 4. Sí 5. No 6. 20 y 4 7. No 8. Coordenadas polares; el origen es e l panal. 9. Son perpendiculares. 10. Son paralelos o anti-paralelos.
Ejercicios
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El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido 1) a) 3.742, 57.69°, 74.50°, 36.70° b) 3.000, 131.8°, 48.19°, 70.53° c)
9.000, 70.53°, 48.19°, 48.19°
d) 6.557, 40.32°, 62.77°, 117.2° e) 3.000, 48.19°, 131.8°, 70.53° f)
9.000, 48.19°, 109.5°, 48.19°
2) a) -26 b) 46 c)
14i
d)
7
ˆ
25 j k
i
ˆ
ˆ
ˆ
16
j 9k ˆ
ˆ
e) 76 0
f) 3)
a) -3 b) -5
i 5 j 9k
c)
ˆ
ˆ
ˆ
d) 5 e)
i 11 j 18k
f)
3 3
ˆ
ˆ
ˆ
i
k -3
ˆ
ˆ
4) a) -10 ; 5i
ˆ
b) 0;
i
8
ˆ
2 j 19k
j 14k ˆ
ˆ
-63; 112i
c)
7
ˆ
d) -378; 105i
ˆ
5)
i
5
ˆ
ˆ
ˆ
j 140 k ˆ
ˆ
60
j 66 k
ˆ
ˆ
4 j 3k ˆ
ˆ
6) 11.18, 259.7°
20
D.R.
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El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido
7)
a
5.39 , b
3.16 ; (b) 2i
ˆ
3
j
ˆ
8) (a) 133.2°, (b) 90°, (c) 143.1° 9) a)
11k ;
b)
2i
c)
23 34
ˆ
ˆ
11
4 j 2k ; 4.899 ˆ
ˆ
i
ˆ
j 10k ; 42.25 ˆ
ˆ
10) 2.33 11) a) -3, b) 7, c) 7i
ˆ
5
j 3k ˆ
ˆ
12) Los desplazamientos deberán ser: (a) paralelos, (b) antiparalelos y (c) perpendiculares.
(1.00)i - (6.00 13.00) j (11.00 13) k (1.00)i - (6.00 13.00) j (11.00 13) k y 1.93 1.93 ˆ
13)
14) 8i
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
6.1 j
ˆ
15) 36.8° 16) 1.15° 17) 6 metros a 20.5° al este del norte 18) 11230 km 19) (a) 57°, (b) c x 2.2 , c y 20) dist
7
29
, dirección u ˆ
4.5 .
2
i
ˆ
29
5
j.
ˆ
29
21) 73m, 9.9° al oeste del sur 22) 5.57 cm, 76.5° 23) 92 pasos, 8° al sur del oeste 24) 5.79 km 25) 87.8i
ˆ
68.9 j cm
i
2 10t
2
ˆ
26) 109° 27) 3
m
ˆ
s
m
j , representa la velocidad del vector.
ˆ
s
28) a) 98.8 N, 28.3°; b) 100.1 N. 50.5°; c) 151.7 N, 30.5° ; d) 1361 N, 43.7° ; e) 115.3 kN, 67.2°;
f) 23.2 kN,
71.9° ; g) 99 kN, 93.4°
21
D.R.
© Instituto
Tecnológico y de Estudios Superiores d e Monterrey, México 2011
El Amplificador operacional, sus aplicaciones y analisis Rubén Darío Santiago Acosta, Francisco Javier Delgado Ce peda, Marcela Martha Villegas Garrido 29) a) Fu = 582 N y Fv = 718 N; b) Fu = 964 N y Fv = 750 N 30) Fu = 181.8 N y Fv = 214 N 31) Fu = 1026 N y Fv = 798 N 32) a) Fu = 53 kN, 45° y Fv = 39.5 kN,161.6° b) Fu = 92.9 kN, 157.4° y Fv = 107.1 kN, 36.9° 33) a) F1x = 171 N, F1y = 470 N y F2x = 650 N, F2y = - 375 N F1x´ = - 211 N, F1y´ = 453 N y F2x´ = 724 N, F2y´ = - 194.1 N b)
F1x = - 514 N, F1y = 613 N y F2x = 940 N, F2y = 342 N F1x´ = - 752 N, F1y´ = 274 N y F2x´ = 643 N, F2y´ = 766 N
34) a) Fx = 5 kN, Fy = 3.42 kN y Fz = 7.95 kN; F
b) Fx = 3.88 kN, Fy = - 9.64 kN y F z = 10.81 kN;
5i
ˆ
3.42
(b) F
j 7.95k kN ˆ
ˆ
3.88i
ˆ
9.64
j 10.81k kN
ˆ
ˆ
35) a)
x =
64.9°,
y = 45.0°
b)
x =
136.7°,
y
y
= 119° y
z
= 55.6°; Fx = 1697 N, Fy = 2830N y Fz = 2265N z
= 61°; Fx = - 36.4 kN, Fy = - 24.3 kN y Fz = 24.3 kN
36) a) Fx = - 2.87 kN, Fy = 1.433 kN y Fz = 3.15 kN; 29.5° b) Fx = 25.4 kN, Fy = - 15.21 kN y Fz = 5.07 kN;
37) a) 639 N, 10.02°;
b) 7.23 kN, 26.1°;
30.6°
c) 5.22 kN, 121°;
d) 15.77 kN, 78.8° 38) a) 52.9 kN,
x =
66.7°,
y = 62.1°
y
z =
37.7°;
b) 1640 N,
x =
49.7°,
y = 55.9°
y
z =
58.8°;
c) 32.6 kN,
22
x =
72°,
D.R.
y = 42.8°
© Instituto
y
z =
52.7°
Tecnológico y de Estudios Superiores d e Monterrey, México 2011
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