Ejercicios02

4. Dé un argumento usando usando las reglas de inferencia para Todos en clase clase tiene tiene demostrar que las hipótesis   Todos una calcul calculado adora ra que grafica. grafica. Todos Todos los que tiene tiene calculado calculadora ra que grafica grafica entiende entienden n las funciones trigonométricas trigonométricas  implican la conclusión Rafael Rafael, , que está está en la clase, clase, entiende entiende las funciones trigonométrica. trigonométrica.

Carrera de Ingeniería de Sistemas Lista de ejercicios 2 de Matemática Discreta Tema: Cálculo Cálculo de de predicado predicados s Profesor Profesor:: Haydee Pascual Pas cual Verónica Onofre Onofre Tullume Mayta Mayta Ciclo: Ciclo: 2016-II 201 6-II Haydee 2017-I

5. Represen Represente te las siguient siguientes es proposicione proposicioness mediant mediantee fbf  del cálculo de predicados

Nivel I

(a) Para Para cada algoritmo algoritmo existe un orden de complecomple jidad

habla ruso” y Q (x) :“x   conoce conoce el 1. Sea P  (x  ( x) :“x   habla lenguaje lenguaje de programa programación ción C++ ”. Expr Expres esee ca cada una de las siguientes sentencias en términos de  P  (x  ( x), Q (x), cuant cuanti…c i…cado adores res y conect conectiv ivos os lóg lógico icos. s. El dominio para los cuanti…cadores consiste en todos los estudiantes de tu facultad

(b) No existe un conjunto conjunto que contenga contenga a todos los demás conjuntos (c) x  es hijo de y de  y,, pero y pero  y  no es el padre de  x.  x . (d) Algunos estudiantes estudiantes de informática informática sólo son amigos de los a…cionados a la lógica

(a) Hay un estudiant estudiantee en tu facultad facultad que habla ruso y conoce C++.

Nivel II

(b) Hay un estudiant estudiantee en tu facultad facultad que habla ruso pero no conoce C++.

1. Traduc Traducee de dos formas formas cada cada una de estas estas frases frases a expresion expresiones es lógicas lógicas utilizan utilizando do predicados predicados,, cuanti…cuanti…cadores cadores y conectiv conectivos os lògicos. En primer lugar, el dominio consistirá en los estudiantes de tu clase, y en segundo lugar, será el conjunto de todas las personas.

(c) Todos los estudiantes de tu facultad hablan hablan ruso o conocen C++. (d) Ningún estudiante de tu facultad habla ruso o conoce C++.

(a) Alguien Alguien de tu clase habla hindú. hindú. (b) Todos en tu clase clase son amig amigables ables..

2. Expres Expresee cada cada uno de los siguie siguient ntes es enunc enunciad iados os usando operaciones matemáticas y lógicas, predicados y cuanti…cadores.

(c) Hay una persona en tu clase que no nació en Santiago. (d) Un estudiant estudiantee de tu clase ha visto una p elícula. elícula.

(a) Todo Todo estudian estudiante te de ciencias ciencias computacio computacionales nales necesita un curso de matemáticas.

(e) Ningú Ningún n estudi estudian ante te de tu clase clase ha cursad cursado o una asignatura de programación lógica.

(b) Hay un estudian estudiante te en esta clase que es dueño de una computadora personal.

2. Expresa la sentencia“Si una persona es del sexo femeni menino no y tien tienee un hijo hijo,, esta esta perso persona na es la ma madr dree de alguien” como una expresión lógica que involucre predicados, cuanti…cadores y conectivos lógicos, cuyo dominio es el conjunto de todas las personas.

(c) Todo estudiante en esta clase ha tomado por lo menos un curso de matemáticas. (d) Hay un estudiante en esta clase que ha tomado al menos un curso de matemáticas.

3. Sea L Sea  L (x; y)  la sentencia “x “ x  quiere a  y ”, donde el dominio tanto para  x  como para y para  y  consiste en todas las personas del mundo. Usa cuanti…cadores para expresar cada una de las siguientes sentencias.

3. Sean las sentencias sentencias I  (x  (x) : \x  tiene conexión a internet” y C  (x;  (x; y ) : \x e y  han chateado en internet”, donde el dominio de las variables  x e  x  e y  y consiste  consiste en todos los estudiantes de tu clase. Utiliza cuanti…cadores para expresar cada una de las siguientes sentencias

(a) Todo el mundo mundo quiere a Jaime. (b) Todo el mundo mundo quiere a alguien.

(a) Jaime Jaime no tiene tiene conexión a Internet Internet..

(c) Ha Hay y alguien a quien todo el mundo mundo quiere.

(b) Raquel Raquel no ha chateado chateado en Internet Internet con Jesmy. Jesmy.

(d) Nadie Nadie quiere a todo el mundo.

(c) Jan y Sharon Sharon nunca nunca han chateado chateado en Internet. Internet.

estudiante te de 4. Dem Demue uest stre re que que las las prem premis isas as “ Un estudian

(d) Susana Susana ha chatead chateado o con todos excepto excepto con Bob.

esta esta clase clase sabe sabe cómo cómo escrib escribir ir progra programas mas en JAVA” y “Todo Todo aquel aquel que sepa sepa cómo cómo escrib escribir ir progra programas mas en JAVA JAVA puede puede conseg conseguir uir un trabaj trabajo o implican can la conclu conclusió sión n “ Alguien bien pagado pagado ” impli Alguien en esta esta clase clase puede puede conseg conseguir uir un trabaj trabajo o bien bien pagado”

(e) Alguien de tu clase no tiene conexión a Internet. Internet. (f) No todos los de tu clase tiene tiene conexón a Internet. Internet. (g) Hay un estudiante en tu clase que ha chateado con cada uno de los estudiantes de tu clase. 1

5. Demuestre que las premisas “ Un estudiante en esta clase no ha leído el libro ” y “Todos en esta clase aprobaron el primer examen ” implican la conclusión “ Alguien que aprobó el primer examen no ha leído el libro ”

(a) Todos los estudiantes tienen una cuenta de Internet. Homero no tiene una cuenta de Internet. Maggie tiene una cuenta de Internet. (b) Todo estudiante de ingeniería informática tiene un ordenador. Ralph no tiene ordenador. Ana tiene un ordenador.

Nivel III

5. Para cada uno de estos argumentos, explica qué reglas de inferencia se han usado en cada paso.

1. Para el universo de los enteros, sean las sentencias  p (x), q  (x), r (x), s (x) y  t (x) tales que

(a) Linda, una estudiante de esta clase, tiene un auto rojo. A todos los que tienen un auto rojo les han multado alguna vez por exceso de velocidad. Por tanto, a alguien en esta clase le han multado por exceso de velocidad.

 p (x) : x > 0 q  (x) : x es par r (x) : x es un cuadrado perfecto s (x) : x es (exactamente) divisible entre 4 t (x) : x es (exactamente) divisible entre 5

(b) Hay alguien en la clase que ha visitado Huánuco. Todos los que van a Huánuco visitan Kotosh. Por tanto, alguien en esta clase han visitado Kotosh.

(a) Escriba las siguientes proposiciones en forma simbólica. i) Al menos un entero es par ii) Existe al menos un entero positivo que es par iii) Si  x  es par, entonces  x  no es divisible entre 5 iv) Ningún entero par es divisible entre 5 v) Si x  es par y x  es un cuadrado perfecto, entonces x  es divisible entre 4

6. Dados los hechos en Prolog: profesor(chan,mate273). profesor(pate1,ec222). profesor(grossman,cc301).  matriculado(kevin,mate273).  matriculado(juana,ec222).  matriculado(juana,cc301).  matriculado(kiko,mate273).  matriculado(kiko,cc301).

2. Determinar el valor de verdad de cada una de estas sentencias si el dominio de todas las variables es el conjunto de todos los enteros.



n2 < m

y la regla:



(a)

8n9m

(b)

8n9m (n + m =

enseña(P; E); profesor(P; A); matriculado(E; A)

0)

¿Cuál será el resultado de las siguientes preguntas en Prolog?

  (c) 9n9m n + m = 5   (d) 9n8m n < m   2

2

2

(a) ?-profesor(chan,mate273)

n2 + m2 = 6

(e)

9n9m

(f)

8n8m9 p ( p =

(b)  ?-profesor(pate1,cc301 )

(m + n) =2)

(c)  ?-matriculado(X,cc301)

3. Traduce cada una de estas frases a expresiones lógicas utilizando predicados, cuanti…cadores y conectivos lògicos.

(d)  ?-matriculado(kiko,Y) (e)  ?-enseña(grossman,Y) (f)  ?-enseña(X,kevin)

(a) Jaime no tiene conexión a Internet.

(g)  ?-enseña(X,juana)

(b) Raquel no ha chateado en Internet con Rosa. (c) Joel y Sharon nunca han chateado en Internet. (d) Nadie de la clase ha chateado con Doris. (e) Susana ha chateado con todos excepto con Doris (f) Alguien de tu clase no tiene conexión a Internet. (g) No todos los de tu clase tienen conexión a Internet. 4. Para cada una estas premisas, ¿qué conclusión o conclusiones relevantes se pueden derivar? Explica las reglas de inferencia usadas para obtener cada conclusión. 2