Ejercicios y Respuestas No5_Revisado Octubre de 2014 (1)

MAT006: Probabilidad y Estadística

Ejercicios Nº5

(Intervalos de confianza)

Ejercicios Nº5 1. Para estimar el tiempo promedio que tarda un montaje de cierto chip de computadora, el ingeniero industrial de una compañía electrónica cronometró a 40 técnicos en el desempeño de esta tarea y obtuvo una media de 11,5 minutos con varianza de 3,92. a) ¿Cuál es el error máximo que se comete si 11,5 se emplea como estimación puntual del tiempo promedio real requerido para la tarea?. Use una confianza de 96% e interprete. b) Calcule un intervalo de confianza al 90% y al 99% para el tiempo promedio real que tarda el montaje del chip. Interprete cada intervalo. c) ¿Con qué confianza se puede afirmar que el tiempo promedio real de montaje se ubica entre 11 y 12 minutos inclusive? 2. Una funcionaria de distrito intenta usar la media de una m.a de 150 alumnos de sexto año de un distrito escolar muy grande para estimar la media de la puntuación de todos los alumnos de sexto año en el distrito obtendrían si tomaran cierta prueba de rendimiento aritmético. Si, basada en la experiencia, la funcionaria sabe que   9, 4 para tales datos ¿Qué se puede afirmar con probabilidad de 0,95 acerca del error máximo? 3. Con respecto al ejercicio anterior suponga que la funcionaria de distrito toma su m.a y obtiene que

x  61,8 . Use toda la información dada para construir un intervalo de confianza del 99% para la media de la puntuación de todos los alumnos de sexto año en el distrito. 4. Un investigador médico pretende usar la media de una m.a de tamaño n  120 para estimar la media de la presión arterial de las mujeres cincuenta años. Si, con base en su experiencia, sabe que   10,5mm de mercurio. ¿Qué puede afirmar con probabilidad de 0,99 acerca del error máximo? 5. Con respecto al ejercicio anterior, suponga que el investigador toma su m.a y obtiene que x  141,8 mm de mercurio. Construya un intervalo de confianza del 98% para la media de la presión arterial de las mujeres de cincuenta años. 6. Un estudio del crecimiento anual de ciertos cactus mostró que 64 de ellos, seleccionados aleatoriamente en una región desértica, crecieron en promedio 52,80mm con una varianza de 20,25mm. Construya un intervalo de confianza de 99% para el verdadero promedio de crecimiento anual de esa clase dada de cactus. 7. Para estimar el tiempo promedio requerido para ciertas reparaciones, un fabricante de automóviles pidió que se midiera el tiempo que tardaban 40 mecánicos, en la ejecución de esta tarea. Si tardaron un promedio de 24,5 minutos con una varianza de 7,18. ¿Qué puede afirmar el fabricante con 95% de confianza sobre el máximo error si usa x  24,5 minutos como una estimación de la media del tiempo real requerido para ejecutar las reparaciones dadas? 8. Una inspectora de alimentos, al examinar 12 frascos de cierta marca de mantequilla de maní, obtuvo los siguientes porcentajes de impurezas: 2,3, 1,9, 2,1, 2,8, 2,3, 3,6, 1,4, 1,8, 2,1, 3,2, 2,0 y 9,1. ¿Qué se puede afirmar con 95% de confianza sobre el error máximo si usa la media de esta m.a como una estimación del porcentaje promedio de impurezas en esta marca de mantequilla de maní? 9. La sección de control de calidad de una empresa realiza 50 observaciones para calcular el tiempo promedio que tardan los empleados de determinado departamento en atender una solicitud del cliente. Si en esas observaciones se obtiene una media de 11,8 minutos y una desviación estándar de 1,4 minutos, ¿qué se

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puede afirmar con una confianza del 95% acerca del error máximo si la media obtenida se usa para estimar la media verdadera de la población? 10. En el ejercicio anterior, constrúyase un intervalo de confianza del 95% para la media verdadera del tiempo de atención. 11. Para estimar el tiempo promedio que lleva ensamblar cierto componente de una computadora, se mide el tiempo que 40 técnicos tardan en ejecutar esa tarea. Si se obtiene una media de 12,73 minutos y una desviación estándar de 2,06 minutos, a) ¿qué se puede afirmar con una confianza del 99% acerca del error máximo si se utiliza la media obtenida para estimar el tiempo promedio real que se requiere para realizar esa tarea? b) Construya un intervalo de confianza del 99% para el tiempo promedio real. c) ¿Con qué confianza podemos asegurar que la media muestral no difiere de la media real por más de 30 segundos? 12. ¿Cuál es el error máximo que puede esperarse con una probabilidad de 0,9 cuando utilizamos la media de una muestra de tamaño n = 64 para estimar la media de una población con varianza 2,56? 13. En un estudio de costos del INS, una m.a de 80 costos de reparación de carrocerías para una clase particular de daños tiene una media de c 236 180 y una desviación estándar de c 31 175. Si x  236 180 se utiliza como estimador para el costo promedio real de reparación, ¿con qué confianza podemos afirmar que el error no excederá los c 5 000? 14. El director de un colegio desea usar la media de una m.a para estimar el tiempo promedio que tardan los alumnos en resolver un ejercicio de matemática; y además, asegurar con una confianza del 99% que el error cometido es a lo más de 0,25 minutos. Si por experiencia se sabe que   1, 4 minutos, ¿de qué tamaño deberá ser la muestra? 15. Se desea estimar el número medio de horas de uso continuo antes de que una computadora requiera la reparación inicial. Si podemos suponer que   60 días, ¿de qué tamaño debe ser la muestra a fin de asegurar con una confianza del 90% que la media muestral difiera a lo más por 10 días? 16. Una muestra aleatoria de 100 profesores en el área metropolitana, revela un salario promedio de c 246 909, con una desviación estándar de c 23 350. ¿Con qué nivel de confianza podemos afirmar que el salario medio de todos los profesores del área metropolitana está entre c 239304 y c 254514? 17. Un distribuidor de combustible mantiene registros minuciosos sobre algunas operaciones con sus clientes. Si una m.a de 18 de estos registros indica ventas promedio de 63.84 galones de diesel, con una desviación estándar de 2.75 galones, ¿qué podemos decir con un 99% de confianza acerca del error máximo de la estimación del promedio real? 18. Una encuesta muestral en un supermercado mostró que 204 de 300 compradores usan regularmente

cupones de descuento. Construya un intervalo con 95% de confianza para la verdadera proporción poblacional.

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19. Respecto al ejercicio anterior, ¿qué se puede decir con 99% de confianza sobre el error máximo, si

se usa la proporción muestral observada como una estimación de la proporción de todos los compradores en la población muestreada que usan cupones de descuento? 20. Entre 100 peces capturados en cierto lago, 18 no eran comestibles como resultado de la

contaminación química del ambiente. verdadera proporción poblacional.

Construya un intervalo de confianza del 99% para la

21. En una m.a de 120 animadoras, 54 habían sufrido daños de moderados a severos, en sus voces.

Con 90% de confianza, ¿qué se puede decir sobre el error máximo si se usa la proporción 54  0, 45 como una estimación de la verdadera proporción de animadoras que padecen ese daño 120 en sus voces? 22. En una m.a 300 personas que comen en la cafetería de una tienda departamental, sólo 102 pidieron

102  0,34 como una estimación de la verdadera proporción correspondiente, 300 ¿con qué confianza se puede afirmar que el error máximo sea menor que 0,05?

postre; si se usa

23. En una m.a de 200 demandas hechas contra una compañía de seguros, 84 excedieron los $1200. Construya un intervalo con un nivel de confianza del 95% para la proporción real de demandas hechas contra esa compañía que excedan los $1200. 24. En relación con el ejercicio anterior, ¿qué podemos decir con una confianza del 99% acerca del error máximo? 25. En una m.a de 400 accidentes industriales, se comprobó que 231 se debieron a condiciones de trabajo inseguras. Construya un intervalo de confianza del 99% para la proporción real correspondiente. ¿Qué podemos afirmar con una confianza del 95% acerca del error máximo si utilizamos la proporción muestral como una estimación de la proporción real correspondiente? 26. En una muestra al azar de 60 secciones de tubo de una planta química, 8 de ellos mostraron señales de corrosión seria. Construya un intervalo de confianza del 95% para la parte de los tramos de tubo con corrosión seria. 27. Una m.a de 300 clientes de una pulpería indica que regularmente 204 piden fiado. Constrúyase un intervalo de confianza del 98% para la probabilidad de que cualquier cliente de esa pulpería, elegido al azar, pida fiado. 28. ¿Cuál es el tamaño mínimo de la muestra que se requiere para estimar una proporción desconocida con un error máximo de 0,06 y con una confianza de al menos 95%? 29. En relación con el ejercicio anterior, ¿se vería afectado el tamaño muestral requerido si se supiera que la proporción que se estima al menos es 0,75? 30. Se desea estimar qué porcentaje de todos los conductores exceden el límite de velocidad en un tramo de cierta carretera. ¿De qué tamaño se necesita tomar la muestra para que, al menos con una confianza del 99% el error de nuestra estimación, resulte a lo máximo en 3,5%?

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31. Un tráfico realiza una inspección sobre la velocidad promedio de los automóviles que viajan por cierta autopista, durante horas de tránsito fluido. Una m.a de 20 autos que viajan a esas horas indicó que la velocidad promedio es de 88Km/h con varianza igual a 100. a) Calcule e interprete un intervalo de confianza al 95% para la estimación de la verdadera velocidad promedio. b) ¿De qué tamaño deber ser la muestra si se desea estimar la verdadera velocidad promedio con una confianza del 99% y se espera que el error máximo no supere 1,5km/h. 32. El propietario de una gasolinera desea estimar el número promedio de galones de combustible que vende a sus clientes. ¿Cuál sería el tamaño mínimo de la muestra, necesario para estimar lo que él desea sabiendo que la estimación no se desvía más de 0,20 galones en el 99% de las veces y que la varianza muestral es de 1,19. a) Si no se conoce el número total de clientes. b) Si se conoce que el número total de clientes es 300. 33. Una compañía fabricante de computadoras ha desarrollado un nuevo modelo de máquina portátil. Si de una m.a de 500 clientes, 305 dijeron que les gusta el nuevo modelo a) Calcule e interprete un intervalo de confianza del 94% para la estimación de la proporción de clientes que les gusta el nuevo computador. b) ¿De qué tamaño debe ser la muestra si se desea estimar la proporción de clientes que les gusta el nuevo computador con una confianza del 98% y se espera que el error máximo no difiera en más del 3%; además, el número total de clientes de la compañía se conoce, es 2 000. 34. Se realiza una encuesta a 270 consumidores, de los cuales 189 dicen estar de acuerdo con pagar más por un empaque resistente para el manejo de cierto medicamento. Calcule el tamaño mínimo de muestra necesario, si con una confianza del 99% se espera que el error máximo no supere 2%. 35. De 300 enfermeras de cierto hospital se seleccionó una m.a de 40, la cual reveló que 24 se graduaron en una escuela especial. Calcule el tamaño mínimo de muestra necesario, si con una confianza del 95% se espera que el error máximo no supere 3%. 36. Una m.a de 10 chips de computadora indica que el promedio de vida útil de los chips es de 5,7 años con varianza igual a 1,69. Si se supone que esta duración tiene distribución aproximadamente normal, calcule un intervalo de confianza del 95% para el tiempo promedio de duración de este tipo de chips. 37. Entre 100 peces pescados en un gran lago, 18 resultaron incomestibles debido a la contaminación

del ambiente. Si se usa 0,18 como estimación de la proporción real correspondiente, ¿con qué confianza se puede afirmar que el error de esta estimación es cuando mucho de 0,065? 38. En una población de 850 familias, se llevó a cabo una encuesta para estimar el consumo medio de

leche. La m.a incluyó a 42 familias seleccionadas por muestreo simple al azar, de una lista de las 850 familias de la población. El consumo mensual de leche, en litros, fué el siguiente: 45, 75, 90, 45, 68, 41, 12, 16, 52, 53, 8, 28, 35, 63, 54, 90, 47, 35, 41, 49, 38, 15, 53, 43, 39, 54, 21, 43, 38, 32, 45, 32, 47, 29, 41, 40, 40, 42, 52, 30, 44 y 45. a) Calcule e interprete un intervalo de confianza del 95% para la verdadera media del consumo de leche.

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b) Calcule un intervalo de confianza del 95% para la verdadera proporción de familias que consumen menos de 30 litros de leche mensual. c) Se tienen datos del último censo del número de personas, por familia, que residen en la

población de estudio. Este es de 4,4 obtenga la estimación puntual del consumo de leche por persona. 39. Un fabricante desea conocer la proporción de estudiantes de secundaria de una ciudad que usan las mochilas de las que él produce. Él cree que esa proporción no es mayor de 25% y desea estimarla con un error no mayor de 4 puntos y con una confianza del 95%. ¿Qué tamaño de muestra le recomendaría usted al fabricante? 40. Suponga que interesa estimar el porcentaje de conductores que exceden el límite de velocidad de 55 millas por hora en cierto tramo de un camino. ¿Cuán grande deberá ser la muestra aleatoria para estar al menos 99% seguros de que el error en la estimación será cuando mucho 3,5%?

RESPUESTAS 1. a.

R/ E  0, 64 . Con una confianza del 96% el error máximo que se puede cometer al estimar el

tiempo promedio real tomando x  11,5 es de 0,64 minutos. b. R/ IC90% = [10,99 , 12,01]. Con una confianza de 90% se estima que el tiempo promedio real que tarda el montaje del chip se encuentra entre 10,99 y 12,01 minutos.

IC99%  10, 69, 12,31

c.

R/ Con una confianza de 89,04%

2. R/ E=1,5 3. R/ IC99% = [59,81 , 63,79] 4. R/ E=2,49 5. R/ IC98% = [139,57 , 144,03] 6. R/ IC99% = [51,35 , 54,25] 7. R/ E=0,84 8. R/ E=1,3035 9. R/ E=0,39 10. R/ IC95% = [11,41 , 12,19] 11. a. R/ E=0,84 b. R/ IC99% = [11,89 , 13,57]

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c. R/ 88% 12. R/ E=0,33 13. R/ 84,73% 14. R/ n≈208 15. R/ n≈97 16. R/ 99,88% 17. R/ E=1,88 18. R/ IC95% = [0,63 , 0,73] 19. R/ E=0,069 20. R/ IC99% = [0,08 , 0,28] 21. R/ E=0,074 22. R/ 93,27% 23. R/ IC95% = [0,35 , 0,49] 24. R/ E=0,09 25. R/ IC99% = [0,54 , 0,64] ; E=0,48 26. R/ IC95% = [0,045 , 0,21] 27. R/ IC98% = [0,617 , 0,742] 28. R/ n≈267 29. R/ n≈201 30. R/ n≈1359 31.

a. R/ IC95%  83,32, 92, 68 . Con una confianza de 95% se estima que la velocidad promedio de los automóviles que transitan por esta autopista se encuentra entre 83,32lm/h y 92,68km/h. b. R/ n≈294

32. a. R/ n≈198 b. R/ n≈120 33.

a. R/ IC94%   0,57, 0, 65 . Con una confianza de 94% se estima que la proporción de clientes que les gusta el nuevo computador, está entre 57% y 65%. b. R/ n  836

34. R/ n≈3468

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35. R/ n  232 36. R/ IC95%=[4,77; 6,63] 37. R/ 90,9% 38.

a. IC95% = [37,97 , 48,23] b. IC95% = [0,0567 , 0,2767] c. 9.8 litros/persona 39. R/ n≈451 40. R/ n≈1354

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