CAPÍTULO 2
EJERCICIOS PROPUESTOS VECTORES
Revisado por Felipe Aguilar. Enero del 2007.
Ejercicio 2.1.- Un vector situado en el plano XY tiene una magnitud de 25
a=(2,-1,7);
b=(9,4,2)
c=(9,4,2);
d=(2,-1,7)
e=(0,0,0);
f=(2,2,1)
unidades y forma un ángulo de 37º con la abscisa.
Determine
sus
componentes
rectangulares.
Solución:
Solución:
A X = 7;
A y = 5;
θAx = 45,0º;
A X = 20 A y = 15
B X = −7;
θAy = 59,7º;
B y = −5;
θBx = 135,0º;
Ejercicio 2.2.- La componente x de un vector que está en el plano XY es de 12 unidades, y la componente y es de 16
C X = 2;
A = 9,9 θ Az = 120,3º;
Bz = 5;
θBy = 120,3º;
C y = 2;
θCx = 48,2º;
A z = −5;
Cz = 1;
θCy = 48,2º;
B = 9,9 θBz = 59,7º,
C == 3 θCz = 70,5º
unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector?.
Ejercicio 2.4.Solución:
magnitud de 6 [cm] y forma un ángulo de
Ejercicio 2.3.- Encuentre las componentes rectangulares, las magnitudes y los ángulos G G G directores de los vectores A,B y C que van desde el punto a hasta el punto b, desde el punto c hasta el punto d y desde punto
tiene
una magnitud de 9 [cm] y está dirigido G hacia +X. Otro vector B tiene una
A = 20 θx = 53,1º
el
G Un vector A
e
hasta
el
punto
f,
45º respecto de la abscisa positiva. El G vector C tiene una magnitud de 15 [cm] y forma un ángulo de 75º respecto del eje +X. Determine el vector resultante. Solución: G R = 17,1iˆ + 18,7ˆj
respectivamente, en el espacio coordenado cartesiano:
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Ejercicio 2.5.- Dado el vector G A = 2iˆ + 4ˆj - 4kˆ , determine sus ángulos
Ejercicio 2.7.-
Hallar la resultante
de los siguientes desplazamientos: 3 [m] hacia el este; 12 [m] hacia el este 40º hacia
directores.
el norte y 7 [m] hacia el oeste 60º hacia el sur.
Solución: θx = 70,5º;
θy = 48,2º;
θz = 131,8º
Solución: G R = 8,7iˆ + 1,6ˆj
Ejercicio 2.6.- Dados los vectores: G A = 10iˆ + 5ˆj + 3kˆ ; G C = 2iˆ + 6ˆj - 4kˆ
G B = 3iˆ - 4ˆj + 2kˆ ;
Ejercicio 2.8.- Sumar dos vectores de magnitudes 8 y 5 que forman un ángulo de 60º entre sí.
G A
Y
Encontrar: G G a) A + B
X
60º
G G b) A - B
G B
G G G C c) 2A - 3B + 2
Solución: G R = 9iˆ + 6,9ˆj
G G G d) A • 3CXB G G e) Los ángulos directores de BXC
Ejercicio 2.9.- Un
barco
se
desplaza
sobre una superficie de agua tranquila a
Solución:
⎡ km ⎤ razón de 10 ⎢ ⎥ y entra en dirección O ⎣ h ⎦
G G a) A + B = 13iˆ + ˆj + 5kˆ
60º S en una corriente cuya dirección es E y que se mueve con una velocidad de
G G b) A - B = 7iˆ + 9ˆj + kˆ
G G G C c) 2A - 3B + = 12iˆ + 25ˆj − 2kˆ 2
θy = 58,7º;
¿Cuál será su velocidad
resultante?
Solución:
G G G d) A • 3CXB = -594
e) θx = 82,5º;
⎡ km ⎤ 12 ⎢ ⎥. ⎣ h ⎦
θz = 32,4º
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G ⎡ km ⎤ R = 7iˆ − 8,7ˆj ⎢ ⎥ ⎣ h ⎦
(
)
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Ejercicio 2.10.-
Un barco avanza
hacia el norte 60 [km]; luego cambia de curso y navega en alguna dirección hacia el sureste (no necesariamente S 45º E) hasta llegar a una posición a 50 [km] de distancia del punto de partida, en una dirección E 20,6º N respecto de dicho punto. Determine la longitud y el rumbo de la segunda parte
Ejercicio 2.13.Dados los vectores G G A = 3iˆ - 2ˆj y B = ˆi - 2ˆj , encontrar su producto vectorial y comprobar que ese G G vector es perpendicular a A y a B .
Solución: G G G A • AXB = 0 luego son perpendiculares G G G B • AXB = 0 luego son perpendiculares
de la travesía.
Solución: H d2 = 46,8iˆ - 42,4ˆj [km] O, lo que es igual,
(
)
navega 63,2 [km] en dirección E 42,2º S
Ejercicio 2.14.Dados los vectores G G A = -3iˆ + 2ˆj - kˆ ; B en el plano XY de módulo 10 y dirección 120º respecto de +X; G y C = -4ˆj . Determinar:
Ejercicio 2.11.Demuestre que los G G vectores A = ˆi - 3ˆj + 2kˆ y B = -4iˆ + 12ˆj - 8kˆ
G G G a) La magnitud de A + B - C
son paralelos.
G G b) El ángulo que forma AXB con el eje Z
Solución:
G G G c) Proyección de B - C en dirección de A
G G G AXB = 0 ; es cierto
Solución: Ejercicio 2.12.Encontrar un vector G B que esté en el plano XY, que sea G perpendicular al vector A = ˆi + 3ˆj
Bx=3a y By=-a, real.
b) θz = 147,9º c) 10,8
Solución:
B x + 3B y = 0
G G G a) A + B - C = 16,8
el que se satisface para con a=cualquier número
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Ejercicio 2.15.-
A
partir
de
los
Ejercicio 2.17.-
Hallar el área del
vectores que se muestran en la figura, en G G G que los módulos de A , B y C son 10, 20
triángulo formado por los G G A = 3iˆ + 2ˆj + kˆ ; B = -iˆ + 5ˆj - 4kˆ
y 30 respectivamente, determine:
diferencia.
G G G a) Proyección de A en dirección de C - B
Solución:
G G G G G b) Un vector D tal que 2D + B − 2A = 0 Y
G C
G B
60º 30º
G A
60º
X
Solución:
vectores y
su
Area = 12,03
Ejercicio 2.18.G A = -iˆ + 3ˆj + zkˆ ; G C = 2iˆ - 4ˆj + 3kˆ .
Dados los vectores: G y B = xiˆ + 6ˆj - kˆ
G G a) Si A es paralelo a B encontrar los
valores de las incógnitas x, z.
a) A E = −9.2 G b) D = −10ˆj
b) Encontrar un vector unitario paralelo a G C.
Ejercicio 2.16.-
c) Hallar un vector en el plano XY G perpendicular a C y de módulo 5.
Dados los vectores
G G A = 4iˆ + 6ˆj y B = -6iˆ - ˆj .
Encontrar:
Solución: 1 a) z = - ; 2
x = -2
a) El ángulo formado por los vectores.
b) cˆ = 0,37iˆ - 0,74ˆj + 0,56kˆ b) Un vector unitario en la dirección del G G vector A - 2B .
c) G G A = 4,48iˆ + 2,24ˆj o bien A = -4,48iˆ - 2,24ˆj
Solución: a) θ = 133,2º b) uˆ = 0,89iˆ + 0,45ˆj
Ejercicio 2.19.Dados los vectores: G G G G G G G A = P - Q y B = P + Q . Determinar P • Q si B=6 y A=4.
Solución:
G G P•Q = 5 05/04/2007 Jorge Lay Gajardo.
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Ejercicio 2.20.-
Encontrar el área y
Ejercicio 2.24.-
Tres
vectores
los ángulos interiores de un triángulo cuyos
situados en un plano tienen 6, 5 y 4
vértices son las coordenadas:
unidades de magnitud.
(3,-1,2),
El primero y el
segundo forman un ángulo de 50º mientras
(1,-1,-3) y (4,-3,1).
que el segundo y el tercero forman un
Solución:
ángulo de 75º. Encontrar la magnitud del vector resultante y su dirección respecto
Area = 6,4
del mayor.
α == 26,284º;
β = 76,851º;
γ = 76,851º Solución:
Ejercicio 2.21.-
Hallar el valor de r G y tal que los vectores A = 2iˆ + rjˆ + kˆ G E = 4iˆ - 2ˆj - 2kˆ sean perpendiculares.
R = 9,9;
θx = 45,8º
Solución: r=3
Ejercicio 2.22.-
Hallar el área del
paralelogramo cuyas diagonales G G E = 3iˆ + ˆj - 2kˆ y T = ˆi - 3ˆj + 4kˆ
son:
Solución: Area = 8,7
G Los vectores A y Ejercicio 2.23.G B forman entre sí un ángulo de 45º y el G módulo de A vale 3. Encontrar el valor de G la magnitud de B para que la diferencia G G G A - B sea perpendicular a A .
Solución: B = 4,2
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