Ejercicios Valor Absoluto

Si x

∈ R, y ∈ R, y = 0 entonces

√              | | || ∴

x = y

2

x y

=

x2 = y2

x2 y2

x y

∈R

=

|x| |y|

x x = y y

Propiedad 6

2

∀x, x ∈ R : |x|

= x2

Demostraci´ on on

∀x, x ∈ R : , se tiene tiene que: √  |x| = x ⇒ |x| = (√ x ) ⇒ |x| = x pues ∀a, a ∈ R (√ a ∈ R =⇒ (√ a) ∀x, x ∈ R : |x| = x 2

2

2 2

2

2

2

∴

2

= a)

2

Propiedad 7

Sea x una variable real y k un n´ umero real positivo entonces: umero

|x| = k ⇐⇒

x = k ´o x =

−k

Demostraci´ on: on:

||

Como x =

√ 

x2 , se tiene:

| x| √  ⇐⇒ x √  ⇐⇒ ( x ) ⇐⇒ x ⇐⇒ x − k ⇐⇒ (x − k)(x )(x + k) 2

2 2

2

2

∴

2

=

k

=

k

=

k2

=

k2

=

0

=

0

⇐⇒ x = k o x = −k |x| = k ⇐⇒ x = k

o

x=

−k

x2 , se tiene:

|x| √  ⇐⇒ x √  ⇐⇒ ( x ) ⇐⇒ x ⇐⇒ x − k ⇐⇒ (x − k)(x )(x + k ) 2

2 2

2

2

2

<

k

<

k

<

k2

<

k2

<

0

<

0

Resolviendo esta inecuaci´on: on:

−∞ −k k − − x−k − + x+k − (x − k)(x )(x + k ) +

∞

+ + + +

De aqu´ı se tiene: tien e:

− k)(x )(x + k) < 0 ⇐⇒ x ∈ ] − k, k [ o sea: −k < x < k |x| < k ⇐⇒ −k < x < k (x

∴

Propiedad 9

Sea x una variable real y k un n´ umero real positivo entonces: umero

|x| > k ⇐⇒

x>k

o

x<

−k

Demostraci´ on: on:

Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 9, ya demostrada, dejaremos esta demostraci´on como ejercicio para el estudiante. Propiedad 10

Sea x una variable real y k un n´ umero real positivo entonces: umero

| | ≤ k ⇐⇒ −k ≤ x ≤ k ii.) ii.) |x| ≥ k ⇐⇒ x ≥ k o x ≤ k i.) i.) x

Demostraci´ on: on:

El procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8. Dejaremos esta demostraci´ on como ejercicio para el estudiante. on Propiedad 11

∀x, x ∈ R : −|x| ≤ x ≤ |x| Demostraci´ on: on:

 −

x

si

x

≥0

∀ ∈ R : |x| = x si x < 0 Caso 1: x ≥ 0 x ≥ 0 =⇒ x = |x| x ≤ |x| (*) Adem´as as como |x| ≥ 0 enton entonces ces −|x| ≤ 0 y como como x ≥ 0 As´ı p or (∗) y (∗∗) se tiene que: −|x| ≤ x y x ≤ |x| −|x| ≤ x ≤ |x| (I )

Sabemos que x, x

∴

∴

Caso 2: x < 0

⇒ |x| = −x x =⇒ −|x| = −|x| ≤ x (∗ ∗ ∗) Adem´as as como x < 0 y |x| ≥ 0 entonces x ≤ |x| (∗∗∗∗) As´ı p or (∗ ∗ ∗) y (∗∗∗∗) se tiene que: −|x| ≤ x y x ≤ |x| −|x| ≤ x ≤ |x| (I I ) x

|1 − 3x| =

1

(1

− 3x ≥ 0 1 − 3x < 0

si

pero:

  −

1

1 3

≤ 13

− 3x

si

x

− 3x)

si

x>

Con esta informaci´on on construiremos la siguiente tabla:

1 3

S 2 =

∅

1 3

−∞ |1 − 3x| |1 − 3x| + x = −3

1 1

− 3x

−(1 − 3x) −(1 − 3x) + x = −3 −1 + 3x 3 x + x = −3 4x = −2 −1 x=

− 3x + x = −3 −2x = −4 x=2

  ∈ −∞

Como 2

,

∞

+

1 3

2

−1 ∈/ como 2

S 1 =

∴

∅

| − 3x| + x = −3 es S  ∪ S 

|

8.) 3 x + 4

∅

2

o sea S  =

x+4

si

x+4

(x + 4)

si

x+4 < 0

1

|−2=x

En este caso:

|x + 4 o sea:

 |  −  |  −

|x + 4

=

x+4

si

(x + 4)

si

=

Con esta informaci´on on construimos la siguiente tabla:

1 ,+ 3

entonces: ∴

As´ı el conj co njunt untoo solu so luci ci´´on on S  de 1

 ∞

≥0

≥ −4 x < −4 x

S 2 =

∅

−4

−∞ |x + 4| 3|x + 4| − 2 = x

−(x + 4) 3[−(x + 4)] − 2 = x 3[−x − 4] − 2 = x −3x − 12 − 2 = x −3x − 14 − x = 0 −4x = 14 −14 x= 4

x=

+

∞

x+4 3(x 3(x + 4)

−2=x 3x + 12 − 2 = x 3x − x + 10 = 0 2x = −10 x = −5

Como

−7

− 5 ∈ [−4, +∞[

entonces: S 2 =

2

∅

Como

−7/2 ∈ ] − ∞, −4] entonces: S  = ∅ 1

De aqu´ aqu´ı se tiene tie ne que el conjunto conj unto soluci´ solu ci´on on S  de 3 x

| − 4| − 2 = x es vac´ vac´ıo

9.)

  −   − 4

15)4 = 10

(2x (2x

4

(2x (2x

15)4 = 10

|2x − 15| = 10

∴

10.)

S  =

  −   − (3

2x

⇐⇒

x=

− 15 = 10

2x = 25 25 2

o

2x

− 15 = −10

o

2x = 5

o

x=

  25 5 , 2 2

x)2 = 5

(3

x)2 = 5

|3 − x| = 5

∴

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

S  =

{−2, 8}

⇐⇒ ⇐⇒ 3 − x = 5 ⇐⇒ −x = 2 ⇐⇒ x = −2

o o o

3

− x = −5 −x = −8 x=8

5 2

o sea se a S  =

∅

11.)

  −   − (3

2x)2 + x = 3

(3

2x)2 + x

|3 − 2x| + x

=

3

=

3

⇐⇒

Pero:

|3 − 2x| =

 −

3

− 2x (3 − 2x)

si si

3

− 2x ≥ 0 3 − 2x < 0 ≤ 32

Como:

3

− 2x ≥ 0 ⇐⇒ −2x ≥ −3,

o sea

x

y

3

− 2x < 0 ⇐⇒ −2x < −3,

o sea

x>

|3 − 2x| =

∴

  −

3 2

≤ 32

3

− 2x

si

x

(3

− 2x )

si

x>

3 2

Con esta informaci´on on construimos la siguiente tabla:

3/2

−∞ |3 − 2x| |3 − 2x| + x = 3

3 3

− 2x

− 2x + x = 3 −x = 3 − 3 −x = 0

+

∞

−(3 − 2x) −(3 − 2x) + x = 3 2x + x = 3 −3 + 2x 3x = 6

x=0 como 0 ∴

De aqu´ aqu´ı se tiene que el conjunto soluci´on on S  de 12.) 2

  − 4

(5

4x)4 = x + 2

x=2

∈ −∞  3 , 2

S 1 = 0

{}

  − (3

como 2 ∴

∈ ∞ 3 ,+ 2

S 2 = 2

{}

2x)2 + x = 3 es 0, 2 o sea; S  = 0, 2

{ }

{ }

25

| − 4x| = x + 2

Pero:

|5 − 4x| =

 −

5

− 4x (5 − 4x)

si

5

− 4x ≥ 0 5 − 4x < 0

si

≤ 54

Como:

5

− 4x ≥ 0 ⇐⇒ −4x ≥ −5,

o sea

x

y

5

− 4x < 0 ⇐⇒ −4x < −5,

o sea

x>

∴

|5 − 4x| =

  −

5 4

≤ 54

5

− 4x

si

x

(5

− 4x)

si

x>

5 4

Con esta informaci´on on construimos la siguiente tabla:

5/4

−∞ |5 − 4x| 2|5 − 4x| = x + 2

5

− 4x

2(5

− 4x) = x + 2 10 − 8x = x + 2 −8x − x = 2 − 10 −9x = −8 x=

+

∞

−(5 − 4x) 2[−(5 − 4x)] = x + 2 2[−5 + 4x 4 x] = x + 2 −10 + 8x 8x = x + 2 8x − x = 2 + 10

8 9

7x = 12 x=

8 como 9 ∴

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: 1.) x = 7

||

5 , 4

S 1 =

De aqu´ aqu´ı se tiene tie ne que el conjunto conj unto soluci´ solu ci´on on S  de 2

Ejercicios 2

∈ −∞     − 4

(5

8 9

∈ ∞    

12 como 7 ∴

5 ,+ 4

S 2 =

4x)4 = x + 3 es

12 7

12 7

8 12 , 9 7

, o sea S  =

  8 12 , 9 7

2.) 2x + 5 =

| | −8 3.) | − 2x + 9 | = 11 4.) −3|3 − 2x| = −12 5.) |3x + 2 | = x + 1 6.) 2|2x − 5| = x − 3 7.) 3| − 5x − 1| = −2x + 3 8.) −1 − 2|5 − 3x| = x 9.) 10.) 11.)

  −   −   −   − 6

(2x (2x + 1)6 = 3

2

7x)2 =

(1

−6

2)2 + 3x 3x = 6

(x

12.) x + 2

4

(x

6)4 = 5

13.) 2 x + x

| | | − 1| = 4 14.) |2x − 3| − 2|x| = 3 x−1 15.) =2



x+1

16.) 2 3x



  −

2

| − 1| = (x 7) 17.) 2|2 − x| + |2x − 1| = x 18.) |3 − 2x| − 3|x + 2| − x = 0 Nota: En las ecuaciones, que resolveremos a continuaci´ on, omitiremos algunos pasos al escribir la definici´ on, on on de

cada uno de los valores absolutos involucrados.

Soluci´ on on

1.) 2 x + x

| | | − 1| = 4

En este caso se tiene que:

 ||  −  | − |  − x

si

x

x

si

x 0 8.) 2|3 − x| − 10 ≥ 0 9.) |x − 3| ≤ 2x − 5 10.) |x| + 3 ≥ 2x 11.) 12.)

    6

(2x (2x + 1)6 > 3 2 x+1 5

2

−

x 0

|

|

por propiedad 1;

|5x + 2| ≥ 0, ∀x, x ∈

R

por propiedad 2;

|5x + 2| = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

5x + 2

=

0

5x

=

x

=

−2 −2 5

|5x + 2| > 0; ∀x, x ∈

∴

S  = R

∴

R,

 −52

tal que x =

  − − 2 5

| − x| − 10 ≥ 0

8.) 2 3

| − x| − 10 ≥ 0 ⇐⇒ 2|3 − x| ≥ 10 ⇐⇒ |3 − x| ≥ 5 ⇐⇒ 3 − x ≥ 5 ⇐⇒ −x ≥ 2 ⇐⇒ x ≤ −2

23

∴

S  = ]

o o o

− x ≤ −5 −x ≤ −8 x ≥ 8

3

− ∞, −2] ∪ [8, +∞[

9.) x

| − 3| ≤ 2x − 5

Nota: en este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades de valor absoluto enunciadas en p´aginas

anteriores, por lo que procedemos de la manera siguiente:

|x − 3| =

 −

x

−3 (x − 3)

si

x

si

x 3 2x > 2 ⇐⇒ x>1 ⇐⇒

S 1 = ]1, ]1, + [ y S 2 = ]

∞

∪ S 

2

o sea S  = ]

− ∞, 3]

   −    −

2x + 1 <

o

2x <

o

 

(2x (2x + 1)6 > 3 es S 1

6

x

−15

5

7 As´ As´ı debe cumplirse cumplirse

−15 7

∴

∪ S 

2

=

5 ,+ 3

Ejercicios 5

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: 1.) 2x

| − 3| < 7 2.) |3x + 5| ≤ 12 3.) (9x (9x + 8) ≤ −3 4.) |13 13x x − 15| > 0 5.) |3 + 2x 2 x| > 5 6.) | − 2x + 6| ≥ −4 7.) |2x − 7| + x ≥ 6 8.) (5 − 2x) < x − 7 9.) 2|3 − x| + 3x 3x > 3 10.) −2|7 + x| − 3x ≤ 0

 

2

 

8

8

11.)

   ≥ x 2 + 2 3

2

1

< 2

−7 x 5

 − ∞

−x

< 2+1

5

x >

2 x+1 5

< 2

−x < 2−1 −3 x < 1

−2 x − x

S  = S 1

∞



5

∴

+

2

y x < S 1 =

∅

−5 3

As´ As´ı debe cumplirs cumplirsee

−5 2

x >

∴

−5 3

S 2 =

y x

≥ −25

 − ∞ 5 ,+ 3

 

12.) 2 (2x (2x + 7)2

≤x

Ejercicios 6

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

| − 1| + |x + 1| < 4 2.) |x − 2| + 3|x| ≤ 6 3.) |4 − x| + |2x − 5| > 7 − x 4.) |x| − 2 (6 − x) ≥ x 1.) x

 

2

Soluci´ on on

| − 1| + |x + 1| < 4

1.) x

En este caso se tiene que:

|x − 1| = |x + 1 | =

 −  −

−1 (x − 1)

si

x

si

x 7 − x 4 − x + 2x 2x − 5 > 7 − x 2x − 5 > 7 − x −x + 2x −4 + x + 2x 4 − x − 2x + 5 > 7 − x 2x + x > 7 + 5 − 4 2x − 5 > 7 − x 2x > 8 x + 2x 2x + x > 7 + 5 + 4 −x − 2x + x > 7 − 5 − 4 x>

x 16

x>4

− ∞, 1[

S 2 =

x>4

∅

∞

S 3 = ]4, ]4, + [

− ∞, 1[ ∪ ]4, ]4, +∞[

≥x

≥ |x| − 2|6 − x| ≥ 2 (6

entonces entonces S  = ]

3

+

4

−2x > −2

Como S  = S 1

∞

4

x)2

x

⇐⇒

x

Adem´ as: as:

|x| = y

 −

|6 − x| = As´ı:

x x

 −

≥0

si

x

si

x6

−∞

0

6

+

∞

0

−∞ |x| −x |6 − x| 6−x |x| − 2|6 − x| ≥ x −x − 2(6 − x) ≥ x −x − 12 + 2x 2x ≥ x −x + 2x 2x − x ≥ 12 0 ≥ 12

∴

S 1 =

De aqu´ aqu´ı se tiene tie ne que: S  = 6

{}

Ejercicios 7

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: 1.) x

| − 6| + |x| < 4 2.) 4|x − 2| + 3|x| ≥ 6 3.) 3|x − 4| − |2x| ≤ x − 6 4.) (x − 3) + |4 − 5x| > 7

 

2

∅

6

+

∞

x

x

−x x − 2(6 − x) ≥ x x − 12 + 2x 2x ≥ x x + 2x 2x − x ≥ 12 2x ≥ 12 x≥6

−(6 − x) x − 2(−(6 − x)) ≥ x x + 2(6 − x) ≥ x x + 12 − 2x ≥ x x − 2x − x ≥ −12 −2x ≥ −12 x≤6 S  = ∅

6

∴

S 2 = 6

{}

∴

3