Ejercicios Transformada de Laplace

 

Resolver problemas y ejercicios por medio de series de potencia y Transformada de Laplace TIPO DE EJERCICIOS 1 – 1  – MÉTODO  MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES  El método de series de potencias para resolver ecuaciones ecuaciones diferenciales es simple y natural, se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas soluciones ya se conocen, conocen, con el fin de ver ver lo que está ocurriendo. ocurriendo. Para una ecuación dada:

     

,   ,    0 

    y  

se representa primero y  por series de potencias en potencias de  (o de   si se desea obtener soluciones de potencias de muchas ocasiones ocasiones son  . En muchas polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.

 

∞

  ∑           ⋯  =

Y esta serie y la obtenida al derivar termin ó a t érmino:

,  = ∑∞  −    2 3  ⋯ 

∞ ,   ∑   1  −  2 3 ∗2 ∗2  4 ∗ 3  ⋯  =



Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de  y la suma de los coeficientes de cada potencia de  que se presente se iguala a cero, empezando con los términos constantes, los términos que incluyen a , los términos que incluyen a   etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los coeficientes desconocidos en .









De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:  b.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA 

,  2  RAZÓN O EXPLICACIÓN 

 

              ⋯  ´    2  3  4  ⋯ 

 

Suponemos que la solución de la ECD se  puede expresar como

∞

  = ∑ ∑−  ∞ ´  ∑ ∑− 

Derivando

=

Aquí Reemplazamos

∞

∞

∑  −  22 ∑  

= ∞

∞

=

   −  + ∑     ∑ ∑2 2   = =

∞

Operando

Operando

∞

∑  −  ∑2 ∑ 2+ 

= ∞

∞

=

=

=

∑   ∑ ∑    

Pasando a restar

Aplicando la propiedad

∞

−  1−  ∑2 ∑ 2+  = ∞   ∑   2++  ∑  0  = = ∞   ∑ ∑   2+  2+  0  = ∞

  0

  2+  2  0  +    22 

Operando

Operando

Comparando

 

 

  0 ,      ⟹        1 , 3  231  ⟹ 3       2 , 4  242  ⟹ 4  122     3 , 5    2  253  ⟹ 5  0  Si

Si n es impar , Cn=0

   22 1, 1,  0 

+  0    1      , ,  2∙3…  2

    1     !     12    3!1 6  ⋯  ∞  1   ∑ !   

Primera solución

=

      TIPO DE EJERCICIOS EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 

Solución elemental

 



En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa  sujeta a un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

                     Es una función que representa una fuerza externa   o un voltaje   en ecuaciones diferenciales se resuelve este problema para funciones   continuas. Sin embargo, no es raro r aro encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso pero la transformada tr ansformada de laplace es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo La transformada de Laplace es muy m uy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de ecuaciones diferenciales diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.



 ≥ 0 y la integral impropia converge para  > .   >  y está dada por: ∞ − ℒ  ∫   

Suponga que la función   está definida definida para Entonces la transformada de Laplace   existe

2. Con respecto a lo anterior calcule calcule la transformada de de Laplace de: de:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:  b.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 

ℒ  RAZÓN O EXPLICACIÓN 

 

 

∞ ∫ −  

Sustituciones

       

∞    ∫      ∞        ∫             1   ∫  

  1   1     ∞ − −       ∫  

ℒ   1 

Reemplazando

Integración por partes

Sustituir u=-st

Evaluando limites

3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA TRANSFORMADA DE LAPLACE  Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.

3    }  {,  3 0  1 Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial

ℒ,  3  ℒ  ℒ,  3ℒ 3ℒ    1 2    0  3 3    1 2 

 

  13 13    1 2       2133   1   2        2    3

    ℒ− (  1 2)2ℒ− (  1 3)  ℒ−      

Ahora se aplica transformada de Laplace L aplace para hallar:

3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes siguientes ecuaciones dife diferenciales: renciales:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:  b.

  2   − ; 0  0  

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 

´          −  −                        

RAZÓN O EXPLICACIÓN 

Sacando La place Solucionando Sacando factor común

Despejando

 

        − [  12]  − 

   2   

La place inversa

Operando