Ejercicios Taller 2

Diomedes Quintero Moscoso

20. Dadas las ecuaciones de oferta y demanda para un producto, si p representa el precio por unidad en dólares y q el número de unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio para: b) Oferta: 3q - 2p + 250 = 0 ; Demanda: 65q + p - 573,5 = 0 Como la Oferta y la Demanda están en Equilibrio, entonces, el precio de la Oferta (p) es igual al precio de la Demanda (p) Despejamos p, en ambas ecuaciones y las igualamos. 3q - 2p + 250 = 0 ==> p =

3q + 250 = 1147 - 130q

Reemplazamos q =

3q + 130q = 1147 - 250

65q + p - 573,5 = 0 ==> p = 573,5 - 65q

en la Ecuación de la Oferta, para obtener p.

Oferta: p =

133q = 897 = 573,5 - 65q



3q + 250 = ( 573,5 - 65q )(2)

a un precio de US$ p =

.

=

.

p= El punto de Equilibrio de dá, cuando las unidades son q =

.

)

p=

q =

. O sea, (

,

.

)

c) Oferta: p = (q + 10)2 ; Demanda: p = 388 - 16q - q2 Como la Oferta y la Demanda están en Equilibrio, entonces, el precio de la Oferta (p) es igual al precio de la Demanda (p) (q + 10)2 = 388 - 16q - q2 q2

+ 20q + 100 = 388 - 16q -

Multiplicamos toda la ecuación por 2, y dividimos por 2,

q2

2q2

(2q + 48 )(q − 6 ) = 0 (2q + 48 ) = 0 ==> q= −24

+ 36q − 288 = 0

q2 + q2 + 20q + 16q = 388 - 100 4q2 + (2)36q − 576 = 0

(q − 6 ) = 0 ==> q = 6

2q2 + 36q = 288 Como las cantidades no pueden ser negativas, tomamos q = 6

(2q + 48 )(2q − 12 ) = 0

2q2 + 36q - 288 = 0

Reemplazamos q = 6 en la Ecuación de la Oferta, para obtener p. Oferta: p = (q + 10)2 = (6 + 10)2 = (16)2 = 256 El punto de Equilibrio de dá, cuando las unidades son q = 6 a un precio de US$ p =

. O sea, (

, 256 )

1. Ecuación de la demanda. Suponga que los clientes demandarán 40 unidades de un producto cuando el precio es de $12 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18 por cada una. Encontrar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal, y el precio por unidad cuando 30 unidades son requeridas. q1 = 40

q2 = 25

p1 = 12

p2 = 18

p - p1 =

(-15)(p - 12) = (6



-15p + 180 = 6

240

40







1



p - 12 =





40

15p + 6q - 180 - 240 = 0

El precio, cuando q = 30, es:

La Ecuación de la Demanda es:

15p + 6q - 420 = 0

15p + 6q - 420 = 0

p - 12 =





40

15p + 180 - 420 = 0 15p =240

15p + 6(30) - 420 = 0

p =

= 16

2. Ecuación de la Oferta. Suponga que un fabricante de zapatos coloca en el mercado 50 (miles de pares) cuando el precio es de $35 (dólares por par) y 35 pares cuando cuestan $30. Determinar la ecuación de oferta, suponiendo que el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente. q1 = 50

q2 = 35

p1 = 35

p2 = 30

(-15)(p - 35) = (5 -15p + 525 = 5

p - p1 =

50







1

p - 35 =

! ! !





50

p - 35 =





50

15p + 5q - 250 - 525 = 0 La Ecuación de la Oferta es:

15p + 5q - 775 =

250

3. Ecuación de costo. Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es de $40 y el de 20 unidades es $70. Si el costo c está relacionado linealmente con el producto q, determine una ecuación lineal que relacione c con q. Encuentre el costo de producir 35 unidades. C(q) = xq + y Para producir 10 unidades, el costo del producto es de $40 ==> 40 = 10q + y Ecuación 1 Para producir 20 unidades, el costo del producto es de $70 ==> 70 = 20q + y Ecuación 2 Restamos la Ecuación 2 de la Ecuación 2 40 = 10q + y Reemplazamos el valor de q=3, en la Ecuación 1 -70 = 20q - y -30 = -10q 40 = 10q + y 40 = 10(3) + y q=

!

=3

También podemos Por tanto, la Ecuación de Costo es: reemplazar el valor de q=3, C(q) = 3q + 10 en la Ecuación 2 El Costo de producir 35 unidades, es: C(q) = 3q + 10 = 3(35) + 10 70 = 20q + y

40 = 30 + y

70 = 20(3) + y

C(35) = 105 + 10

y = 40 - 30 y = 10

y = 70 - 60 y = 10

C(35) = 115

Diomedes Quintero Moscoso

También lo podemos resolver de la siguiente manera: q1 = 10

q2 = 20

p1 = 40

p - p1 =

p2 = 70

(10)(p - 40) = (30 10p - 400 = 30







p=

10

p=

300

!

!



p - 40 = 1

!



#





10

p - 40 =

!





10

C(q) = 3q + 10 = 3(35) + 10

p = 3q + 10 Por tanto, la Ecuación de Costo es:

C(35) = 105 + 10

C(q) = 3q + 10

C(35) = 115

El Costo de producir 35 unidades, es:

4. Depreciación. Suponga que el valor de una pieza de maquinaria disminuye cada año en un 10% de su valor original. Si el valor original es $8.000, encuentre una ecuación que exprese el valor v de la maquinaria después de t años de la compra, donde 0