Ejercicios TAA - CN Universidad Nacional de Asunción (UNA)

601 EJERCICIOS Temas de examen CN-FIUNA Teórico y Práctico  Años 1979/2014

Matemática II

TAA-MATEMÁTICA TAA-MATEMÁTIC A II

Año 1979 1 ) Por un punto P exterior a un circulo se traza una recta secante PAB a su circunferencia , tal que PB mide 18,50 m y una tangente PT que mide 9 m. Determinar la longitud del segmento PA. Graficar.

     (√    √ )  )      

2 ) Deducir la fórmula de 3 ) Expresar

 en función de

.

en función del arco  únicamente:

4 ) Verificar la siguiente identidad:

5 ) Transformando previamente en producto, hallar el valor de N:

6 ) Hallar el arco del primer cuadrante que verifica la siguiente ecuación:

7 ) Una escalera apoyada contra una pared vertical forma con el piso un ángulo de 70°35’ y su pie se halla a 3,50 m de la pared. Calcular: a) La longitud de la escalera b) La altura del extremo de la escalera sobre el nivel del piso.

Año 1980 8 ) Verificar la siguiente identidad:

           

9 ) Sin empleo de máquinas y tablas, usando fórmulas trigonométricas encontrar el valor de N.

1 0 ) Resolver la siguiente ecuación para  180°

1 1 ) Se va a construir un puente a través de un rio, desde un punto A a otro punto B. Se ha determinado que la distancia de A a otro punto C es de 500,20 m y de B a C es de 722,30 m. ¿Cuál es la longitud del puente si el ángulo ABC es igual a 36°14’?

1 2 ) Verificar la siguiente identidad:

Cursil o π

       2

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA TAA-MATEMÁTIC A II

Año 1979 1 ) Por un punto P exterior a un circulo se traza una recta secante PAB a su circunferencia , tal que PB mide 18,50 m y una tangente PT que mide 9 m. Determinar la longitud del segmento PA. Graficar.

     (√    √ )  )      

2 ) Deducir la fórmula de 3 ) Expresar

 en función de

.

en función del arco  únicamente:

4 ) Verificar la siguiente identidad:

5 ) Transformando previamente en producto, hallar el valor de N:

6 ) Hallar el arco del primer cuadrante que verifica la siguiente ecuación:

7 ) Una escalera apoyada contra una pared vertical forma con el piso un ángulo de 70°35’ y su pie se halla a 3,50 m de la pared. Calcular: a) La longitud de la escalera b) La altura del extremo de la escalera sobre el nivel del piso.

Año 1980 8 ) Verificar la siguiente identidad:

           

9 ) Sin empleo de máquinas y tablas, usando fórmulas trigonométricas encontrar el valor de N.

1 0 ) Resolver la siguiente ecuación para  180°

1 1 ) Se va a construir un puente a través de un rio, desde un punto A a otro punto B. Se ha determinado que la distancia de A a otro punto C es de 500,20 m y de B a C es de 722,30 m. ¿Cuál es la longitud del puente si el ángulo ABC es igual a 36°14’?

1 2 ) Verificar la siguiente identidad:

Cursil o π

       2

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA TAA-MATEMÁTIC A II

1 3 ) Sin empleo de máquinas y tablas, usando fórmulas trigonométricas encontrar el valor de la siguiente expresión:

        

1 4 ) Resolver la siguiente ecuación para  180°

1 5 ) Se va a construir un túnel a través de una montaña, desde un punto A hasta otro punto B. El punto C es visible desde A y B se encuentra encuentra a 384,80 m de A y a 555,60 m de B. ¿Cuál es la longitud del túnel si el ángulo ABC es igual a 35°14’? . 1 6 ) Demostrar: Todas las rectas perpendiculares a una recta en un mismo punto están en un plano perpendicular a ella en ese punto. 1 7 ) Demostrar: “Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí”. 1 8 ) Demostrar: La mediatriz de un segmento de recta, es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los extremos del segmento.

Año 1981

          

1 9 ) Verificar la siguiente identidad:

2 0 ) Siendo

y

 , calcular

2 1 ) Hallar un arco del primer cuadrante que verifique la sgte. ecuación:

2 2 ) Un buque, partiendo de un punto A, debe llegar a otro punto B, situado a 590 km. Habiendo recorrido 675 km, se dan cuenta de que estaban navegando en dirección equivocada, en 36°24’40”. ¿Qué ángulo debe tomar con respecto a la dirección que traía para llegar a B, u cuanto falta recorrer?

Cursil o π

3

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

Año 1982 23) Los lados de un triángulo miden 6 m, 8 m y 2 m. Determinar, la altura correspondiente al mayor de los lados. 24) Demostrar: “Si desde un punto exterior a un círculo se trazan a su circunferencia una recta secante y una tangente, el segmento de la tangente de extremos en el punto dado y en el de tangencia, es media proporcional entre los segmentos de la secante comprendidos entre el punto dado y la circunferencia”. (Año 2000) 25) Verificar la identidad:

          

26) Verificar la siguiente identidad:

    

27) Encontrar los valores de

28) En el paralelogramo a) El lado

menores que 360°; que satisfagan la siguiente ecuación:



D

, calcular:

b) El área de la superficie , del triangulo

C

 

23°40'

.

A

S

60°20'18" B

8,40m

29) Calcular el área lateral y el volumen de un tronco de pirámide regular cuadrangular de 40 cm de altura, sabiendo que las áreas de las bases miden respectivamente 400   y 6.400 .



Cursil o π

4



Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

Año 1983 30) Calcular el área total de un tronco de cono de revolución de 4 dm de altura y cuyas circunferencias de bases miden, respectivamente, 6 dm y 10 π dm.

           √ 

31) Verificar la siguiente identidad:

32) Hallar el menor valor positivo del arco

33) Transformar en producto:

  en:

        √  

34) Verificar la siguiente identidad:

35) Hallar el menor valor positivo del arco

36) Transformar en producto:

  en:

37) Demostrar: “Si dos rectas son paralelas, todo plano que contiene a una sola de ellas es paralelo a la otra”.

38) Demostrar: “Si del vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo se traza una recta perpendicular a la hipotenusa, se verifica que: la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos determinados en la hipotenusa”. (Año 1995).

Cursil o π

5

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

39) Siendo

  y

Año 1984

        

 arcos del primer cuadrante,

40) Verificar la siguiente identidad:

y

 , hallar



.

41) Demostrar: “Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que pasa por ella también lo es”.

42) Demostrar: “Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí”.

Año 1986 43) Al aumentar en 2 dm el radio de un círculo, su área aumenta en 25 círculo.



. Hallar el radio del

44) Reducir a su forma más simple:

      

45) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la siguiente identidad:

    

46) Hallar el menor valor positivo del arco

47) Simplificar:

  en:

    

48) La base de una pirámide triangular regular se halla inscripta en una circunferencia de longitud 25,12m. La altura de la pirámide es de 8m. hallar el área total de la pirámide. 49) Calcular el área del círculo menor de una esfera de 15 cm de diámetro, situado a una distancia igual a 1/3 del diámetro de dicha esfera. 50) Demostrar que en todo triángulo, la suma de dos lados es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados es a la tangente de la semidiferencia de los mismos.(Año 1998; 2005)

Cursil o π

6

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

51) Demostrar que los segmentos determinados en dos transversales por tres o más rectas paralelas, son proporcionales.(Año 2001). 52) Demostrar: “Los segmentos determinados en dos rectas transversales por tres o más rectas paralelas son proporcionales”( Considerar cuatro rectas paralelas) . (Año 2001).

Año 1987 53) Hallar la altura de un cono de revolución cuya área lateral es de 423, 90 generatriz del mismo cinco tercios del radio de la base (Considerar π=3,14) .



, siendo la

54) Hallar el área del circulo máximo de una esfera, sabiendo que un circulo menor de la misma situado a una distancia de 10 cm del centro, tiene una circunferencia de 31,40 cm de longitud (Considerar π=3,14)

55) Un polígono regular tiene tres lados más que otro polígono regular. Sabiendo que el ángulo interno del polígono de mayor número de lados tiene 27° más que el del otro, determinar el número de lados de cada polígono. 56) Demostrar: La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los lados del ángulo. (Año 1980; 2001;2009) 57) Verificar la siguiente identidad, efectuando transformaciones en el primer miembro:

                    √    

58) Reducir a su forma más simple:

59) Simplificar

60) Hallar el menor valor positivo del arco   en:

Cursil o π

7

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

 Año 1989

61) Calcular el volumen de un cubo sabiendo que su área total es numéricamente igual al volumen. 62) La suma de la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo es 25 cm. El ángulo que forman la hipotenusa con dicho cateto es 22°37’12”. Calcular la hipotenusa.

63) Calcular el volumen de una pirámide hexagonal, sabiendo que es numéricamente igual al área total. 64) Determinar la arista de un tetraedro regular sabiendo que aumentada en 4 m, su AT aumenta en

√ 

.

65) Definir ángulo rectilíneo de un diedro.

Año 1992 66) En el cuadrilátero ABCD el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos A y B es 150°. Hallar la suma de los ángulos C y D. C D 150° B

 A

67) Calcular el área comprendida entre un triángulo equilátero de perímetro igual a 3 circulo circunscripto a dicho triangulo.

√ 

dm y el

68) Reducir a su forma más simple:

     

69) Efectuando transformaciones exclusivamente  en el primer miembro, verificar la siguiente identidad:

√ 

70) Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que la suma de sus catetos es 10,57 cm y el ángulo que forma uno de ellos con la hipotenusa es 41°18’53”.

Cursil o π

8

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

Año 1993 71) Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los extremos de una cuerda y el centro de la circunferencia. La longitud de la cuerda es de 40 dm y la longitud de la circunferencia mide 182,12 dm. Considerar .

 

                 

72) Reducir a su forma más simple:

73) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

74) Hallar los valores de

comprendidos entre 0° y 180° que satisfagan la ecuación:

75) El perímetro del triángulo rectángulo ABC es de 140,88 m y el ángulo B mide 61°10’05”. Calcular la hipotenusa. 76) El área lateral de una pirámide cuadrangular regular es 2/3 del área lateral de un prisma recto de la misma base y altura que la pirámide. Hallar esta altura siendo 4 m la longitud del lado del cuadrado de base. 77) Un cono de revolución de 30 cm de generatriz y longitud de circunferencia de base igual a 62,80cm , se corta por un plano paralelo a la base obteniéndose un cono de 6 cm de generatriz. Hallar el volumen del tronco de cono. (Considerar π=3,14) . 78) Demostrar: “Por una recta no perpendicular a un plano puede pasar un plano perpendicular al primero y solo uno” .

79) Demostrar: La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. 80) Demostrar: La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es igual a dos ángulos rectos por el número de lados del polígono menos dos. 81) Demostrar: “La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en partes proporcionales a los otros dos lados”. (Año 1999).

Cursil o π

9

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

Año 1994 82) La altura de un prisma recto mide 6 m, su base es un rectángulo cuyo lado mayor es el doble del menor. Calcular la longitud de una de las diagonales del prisma, sabiendo que su área total es 144 .



83) Por un punto exterior a un circulo se trazan una recta secante PAB y una tangente PT a su circunferencia (A, B, y T son puntos de la circunferencia). Sabiendo que y . Calcular la longitud de .

 ̅   ̅ 

̅ 

84) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17m. el cuadrado construido sobre uno de los catetos tiene área 161  más que el del cuadrado construido sobre el otro cateto. Calcular la longitud de cada cateto. 85) Demostrar: “Si dos lados de un triángulo son desiguales, se opone al mayor lado mayor ángulo” 86) Simplificar:

    

87) Efectuando transformaciones exclusivamente  en el primer miembro, verificar la siguiente identidad:

     √     ̅   ̅     ̅      ̅ 

88) Calcular el menor valor positivo del arco

 , expresado en radianes, que verifica la ecuación:

89) En el paralelogramo  se tiene: ; a) La longitud de la diagonal mayor . b) Los ángulos que la diagonal forma con AB y AD.

Cursil o π

10

;

62°10’20”. Calcular:

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

Año 1995 90) En un trapecio isósceles, el ángulo formado por la bisectrices de los ángulos agudos mide 112°30’. Hallar el valor de los ángulos del trapecio.

91) Hallar el área de un rombo de perímetro igual a 52 cm, sabiendo que las diagonales son entre como 5 es a 12. 92) Deducir la fórmula de



 en función de



.

93) Demostrar: “La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos”. 94) Reducir a su forma más simple:

    

95) Efectuando transformaciones exclusivamente  en el primer miembro verificar la siguiente identidad:

               √  

96) Calcular el menor valor positivo del arco ecuación:

Cursil o π

11

, expresado en radianes, que verifica la siguiente

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

97) En un triangulo

 

Año 1998 , los ángulos B y C miden, respectivamente, 60°30’ y 19°15’. Hallar el

valor del ángulo que forman la altura y la bisectriz trazadas del vértice A. 98) Por el punto P exterior a un circulo de centro O y radio igual a 7,50 cm, se trazan la tangente PT y la secante a su circunferencia. Calcular la distancia  , sabiendo que   mide 10cm.

̅

̅

 





99) Reducir a su forma más simple :

100) El arco

                 es del cuarto cuadrante y

trigonométricas, calcular

. Utilizando las correspondientes formulas

.

101) Efectuando transformaciones exclusivamente  en el primer miembro, verificar la siguiente identidad:

           

102) Calcular, en radianes, el menor valor positivo del arco

 que verifica la ecuación:

103) Calcular el perímetro y el área de un triángulo rectángulo, sabiendo que la diferencia de sus catetos es 72,48 m y que uno de sus ángulos agudos es de 32°56’.

104) Calcular el área del circulo circunscripto al hexágono regular de área igual a

    

105) Hallar el menor valor positivo del arco

√ 

.

que satisface la ecuación

106) Calcular el área total de una pirámide regular hexagonal de 40 dm de altura y apotema de base igual a 9 dm. 107) En una esfera, un círculo menor de área 144 Calcular el volumen de la esfera.

 

dista 5 dm del centro de la misma.

108) Hallar el área lateral de un tronco de cono de revolución de 2,50 m de altura y cuyos diámetros de bases miden 1 m y 3 m.

Cursil o π

12

Ing. Raúl Martínez



TAA-MATEMÁTICA II

109) La base de una pirámide es de 8 m. Hallar volumen de la pirámide. 110) Demostrar: Si un plano es perpendicular a otros dos que se cortan, lo es a la intersección de los mismos. 111) Demostrar: “Si del vértice del ángulo recto de un trián gulo rectángulo se traza una recta perpendicular a la hipotenusa, se verifica que cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y el segmento de esta contiguo al mismo” (Año 2002) . 112) Demostrar: “La suma de los ángulos externos de un polígono es igua l a cuatro ángulos rectos”.(Año 2000)

 Año 1999

113) Calcular el área total de la pirámide regular triangular de 12 m de perímetro de base y 5 m de arista lateral. 114) Determinar el volumen de un cono de revolución de área lateral igual a 37,68 generatriz igual al triple del radio de la base.



y

115) Demostrar: “En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.

116) Por el punto Pexterior a un circulo de centro O y radio igual a 5 cm, se traza la secante  tal que y . Hallar la distancia .

̅

̅ 

̅   ̅  

B  A O

117) Reducir a su forma más simple:

       

118) Efectuando transformaciones exclusivamente  en el primer miembro, verificar la siguiente identidad:

            

119) Hallar el menor valor positivo del arco

 que verifica la siguiente ecuación:

120) Calcular el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 100 m y 450 m, sabiendo que cada uno de los lados iguales forman con la bas e menor un ángulo de 120°12’20”.

Cursil o π

13

Ing. Raúl Martínez

P

TAA-MATEMÁTICA II

Año 2000 121) El lado de un triángulo equilátero mide 2 dm. Calcular el ángulo, en grados, minutos y segundo sexagesimales, de un sector circular de 1 dm de radio equivalente al triangulo dado. 122) En un triangulo

 

, los lados

 ̅ ̅  ̅

miden 12 dm, 16 dm y 20 dm, respectivamente.

Calcular la longitud de los segmentos que la bisectriz del ángulo B determina en el lado

 ̅ 

.

123) Reducir a su forma más simple:

     

124) Efectuando transformaciones exclusivamente  en el primer miembro, verificar la siguiente identidad:

          

125) Hallar el menor valor positivo del arco

que verifica la siguiente ecuación:

126) Calcular el área de un triángulo rectángulo ABC (a: hipotenusa; b y c: catetos), sabiendo que:  y 127) Hallar el menor valor positivo del arco

que verifica la siguiente ecuación:

128) Calcular el mayor ángulo del triángulo de lados a=20m; b= 15m y c=26m. 129) El área de un círculo máximo de una esfera es 1369 menor de la misma esfera situado a 12 cm del centro.



. Calcular el área de un círculo

130) En un vaso cuya forma es la de un tronco de cono de revolución de radios de bases iguales a 9 cm y 4 cm, se introduce un cilindro de revolución de 8 cm de diámetro de base y altura igual a la del tronco. Si la diferencia de los volúmenes de ambos cuerpos es 340 , calcular la altura del vaso.



131) Un recipiente cuya forma es la de un cono de revolución con el vértice en la parte inferior de 6 dm de radio de base y 10 dm de generatriz, está inicialmente lleno de un líquido. ¿Cuánto liquido se extrajo del recipiente si su nivel bajo 4 dm?. 132) Demostrar: “ Si por un punto interior a un diedro se trazan las perpendiculares a las caras, el ángulo que forman las dos semirrectas que cortan a las caras es suplementario del diedro”.

Cursil o π

14

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

 Año 2001

133) Un cono de revolución tiene 12 dm de altura y 15 dm de generatriz. Calcular el área lateral del tronco de cono que resulta al trazar un plano paralelo a la base, situado a 8 dm de su vértice. 134) Un cilindro y un cono, ambos de revolución, tienen sus alturas y diámetros de bases iguales al diámetro de una esfera. Demostrar que los volúmenes del cono, de la esfera y del cilindro son proporcionales a los números 1; 2 y 3, respectivamente. 135) La diagonal de un cubo es igual a la diagonal de la cara de otro cubo. Hallar la relación entre las áreas totales de los cubos. 136) La generatriz de un cono de revolución mide base a una generatriz igual a

√ 

√ 

  cm. Siendo la distancia del centro de la

 cm, calcular su volumen.

137) Una pirámide regular cuadrangular tiene la altura igual a la diagonal de la base. Si el área de base mide 1 , hallar el área lateral de la pirámide.



138) Calcular el área de una superficie esférica, sabiendo que un arco de circunferencia máxima de la misma de 36°30’ mide 3,1836 cm de longitud. (Considerar π=3,14)

139) Las bases de un trapecio isósceles miden 64 dm y 40 dm. Hallar su área, sabiendo que cada uno de sus lados iguales mide 37 dm. 140) En un triángulo rectángulo, el menor de los segmentos determinados en la hipotenusa por la altura relativa a la misma mide 9 dm. Hallar el área y el perímetro de dicho triangulo rectángulo, sabiendo que la altura relativa a la hipotenusa mide 12 dm. 141) Reducir a su forma más simple:

       

142) Efectuando transformaciones exclusivamente  en el primer miembro, verificar la siguiente identidad:

                  

143) Hallar el menor valor positivo del arco

 que verifica la siguiente ecuación:

144) Calcular los catetos de un triángulo rectángulo ABC (A, B y C: ángulos internos; a: hipotenusa; b y c: catetos), sabiendo que:  y .

Cursil o π

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Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

145) DEDUCIR la fórmula del coseno de un arco en función de la cotangente del mismo arco. 146) Reducir a su forma más simple:

                 

147) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

148) Calcular el perímetro de un triángulo rectángulo ABC ( a: hipotenusa; b y c: catetos), sabiendo que el ángulo y

  

149) En un trapecio las diagonales son perpendiculares y miden 6m y 8 m. Calcular la base menor si la mayor mide 7m. 150) Reducir a su forma más simple:

                  

151) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

152) Hallar el menor valor positivo del arco

que verifica la ecuación:

153) El ángulo interno de un polígono regular, inscripto en una circunferencia de 10 cm de diámetro, mide 172°48’. Hallar el área del polígono.

154) Siendo O el centro de la circunferencia de diámetro AB, CO valor del ángulo β C

D

 A



 

AB y α



, determinar el

β



O

B

155) En un triángulo ABC, los ángulos B y C miden 62°30’ y 21°31’, respectivamente. Hallar el ángulo que forman la altura y la bisectriz trazadas por el vértice A.

Cursil o π

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TAA-MATEMÁTICA II

156) Las bases de un trapecio isósceles son entre sí como 1 es a 4. El perímetro mide 20m y la altura 4m. Calcular el área del trapecio. 157) Se sabe que:



  y

. Con estos datos, calcular

              

158) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

159) Hallar el menor valor positivo del arco  , expresado en radicales, que verifique la ecuación:

160) Calcular el área del triángulo ABC, rectángulo en A, siendo la hipotenusa a  igual a 346 m y .



161) Demostrar: “Si dos rectas que se cortan son paralelas a un plano, el plano que determinan también lo es”.

162) Demostrar: “La recta determinada por los centros de dos circunferencias secantes es la mediatriz de la cuerda común”.(Año 2003) . 163) Demostrar: “En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre los mismos”. Consi derar sólo el caso del lado opuesto a un ángulo obtuso.(Año 2003).

Cursil o π

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Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

Año 2002 164) En el triángulo acutángulo ABC, las mediatrices de los lados AB y BC cortan al lado AC en los puntos M y N, respectivamente. Calcular el ángulo ABC sabiendo que el ángulo MBN miden 20°. B

N

M C

 A

165) En la circunferencia de centro O, la tangente DP en T es paralela a la secante AC y el ángulo BAC mide 20°. Calcular el ángulo .



166) DEDUCIR la fórmula de arco doble)



 

 



   y

 



 ( suponer conocidas las fórmulas de las funciones del

 []     

167) Reducir N a su forma más simple y luego calcular su valor numérico para

168) Transformaciones exclusivamente el primer miembro, verificar la identidad:

    √  ̅ ̅  ̅     ̅        

169) Una cuerda de 10 m de longitud dista   del centro de su circunferencia. Hallar el área limitada por la cuerda dada y el arco de menor longitud, de extremos comunes con la misma.

    ̅ ̅ 

170) En el triángulo  ;

de la figura, se tiene: ; . Calcular el perímetro del paralelogramo

;

;

;

.

 A

E F B

D

C

171) Calcular el área de un trapecio inscripto en la circunferencia de radio igual a 10 cm y centro en el interior del trapecio. Las bases del trapecio son los lados del hexágono regular y del cuadrado inscriptos en dicha circunferencia.

Cursil o π

18

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

 [ ]             

172) DEDUCIR las fórmulas de transformación en producto de:

.

173) Reducir a su forma más simple:

174) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

175) Hallar el menor valor positivo del arco

 que verifique la ecuación:

176) El triángulo de la figura, es rectángulo en A. Calcular es área del triángulo ABC.

    ̅       177) Dos polígonos regulares son tales que el número de lados del segundo es 5/8 del número de lados del primero, y un ángulo interno del primero es 27° mayor que el ángulo interno del segundo polígono. Calcular el número de lados de los dos polígonos.

178) Una pirámide triangular regular de arista lateral 15 m, lado de base 24 m y altura 12m, es cortada por un plano perpendicular a la altura y situado a 8 m de la base. Hallar el área lateral del tronco de pirámide obtenido.



179) Un cubo, una esfera y un cilindro tienen cada uno 1  de volumen. Si la altura del cilindro es igual a su diámetro, hallar las áreas totales de cada cuerpo. 180) La arista lateral de una pirámide triangular regular es el doble del lado de la base. ¿Por qué número debe multiplicarse el área de la base para obtener el área total?. 181) Un tronco de cono de revolución de 15 m de altura tiene un volumen de 957,7



. Sabiendo que la diferencia entre los radios de las bases es 1 m, calcular dichos radios(Considerar π=3,14) .

182) Demostrar: “Si dos lados de un triángulo   son respectivamente iguales a los lados de otro triángulo y los terceros lados son desiguales, a mayor lado se opone mayor ángulo”.

Cursil o π

19

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

Año 2003 183) Un cono recto y circular de 12 dm de altura es cortado por un plano paralelo a la base. El área de la sección determinada es al área de la base como 4 es a 9; la suma de los radios de la sección y de la base es igual a 15 dm. Calcular el área lateral del tronco de cono.



184) El área total de una pirámide regular cuadrangular es igual a 1800 . Sabiendo que el radio de la circunferencia inscripta en la base mide 9 cm, calcular el volumen de la pirámide. 185) La distancia de un vértice de un cubo al centro de una de las caras opuestas es igual a 2 m. Calcular el área total del cubo. 186) En una pirámide regular cuadrangular, el lado de la base y la altura miden 9 cm y 21 cm, respectivamente. A 14 cm de la base se traza un plano paralelo a la misma. Calcular el volumen de la pirámide resultante cuya base es la sección determinada por el plano en la pirámide. 187) Un cono recto y circular de 12 dm de altura es cortado por un plano paralelo a la base. El área de la sección determinada es la base como 4 es a 9; la suma de los radios de la sección y de la base es igual a 15 dm. Calcular el área lateral del tronco de cono.



188) El área total de una pirámide regular cuadrangular es igual a 1.800 . Sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita en la base mide 9 cm, calcular el volumen de la pirámide.





189) Una circunferencia de centro en  es tangente a otra circunferencia de centro en  cuyo radio mide 2m. Sabiendo que la longitud de la tangente trazada desde  a la circunferencia de centro en  mide 6m, calcular el radio de la circunferencia de centro en



 

190) El perímetro de un trapecio isósceles es igual a 65 cm. Sabiendo que las bases miden 28 cm y 20 cm, calcular el área del trapecio. 191) Demostrar: “Toda recta que pasa por el centro de una circunferencia y es perpendicular a una cuerda, divide a la misma y a los arcos subtendidos e n dos partes iguales”

                 √ 

192) DEDUCIR la fórmula de

 en función de

.

193) Reducir en su forma más simple:

194) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

Cursil o π

20

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

 √  √          

195) Hallar el menor valor positivo del arco  , que verifique la ecuación:

196) Calcular los ángulos B y C del triángulo ABC, siendo

Año 2004

           

197) Deducir las fórmulas para

 y

;

y

.



en función del arco .

198) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro; verificar la identidad:

199) Resolver la ecuación

para el menor arco positivo.

200) Demostrar: “ La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos” 201) Demostrar: “Las áreas de dos triángulos semejantes son entre sí como los cuadrados de dos lados homólogos cualesquiera” (Año 2005) 202) Definir: ángulo inscrito y ángulo seminscrito, estableciendo la medida de cada uno de ellos en función del arco comprendido entre sus lados. 203) Dos ángulos se diferencian en 5°05’05”. Hallar esos ángulos, sabiendo que la suma de sus complementos es igual a 124°04’05”.

204) Las bisectrices de dos ángulos externos B y C de un triángulo cualquiera ABC se cortan en P. Demostrar que la suma del ángulo P y la mitad del ángulo A es igual a un ángulo recto. 205) Sobre los lados de un triángulo cualquiera ABC se construyen los triángulos equiláteros BPC, CQA y ARB; donde P, Q y R son puntos exteriores al triángulo ABC. Demostrar que los segmentos   son iguales.

 ̅ ̅  ̅

206) Sean una circunferencia de centro en el punto O y un punto B exterior a su círculo. Por B se trazan dos rectas secantes BOA y BDC a la circunferencia. Si el ángulo AOC es igual a 64°, hallar el valor del ángulo ABC, sabiendo que BD=OA. 207) Los lados de un triángulo miden 7 m; 8 m y 12 m. Calcular las longitudes de los segmentos determinados en el lado opuesto por la bisectriz del ángulo interior mayor.

Cursil o π

21

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

208) En la figura dada, calcular el área del trapecio HGDE, sabiendo que en el hexágono regular ABCDEF la apotema mide 3 m y la distancia  a HG es 0,8 m.

̅ F

 A O

H

E

Q D

B C

G

209) Sean una circunferencia de centro O y un punto P exterior a su círculo. Por P se traza la secante PAB en la que quedan determinados los segmentos  y . Sabiendo que la distancia de P al centro de la circunferencia es 8 m, hallar el radio de la circunferencia.

̅    ̅    ̅ 

210) Siendo ABC un triángulo cualquiera y CD una recta que corta al lado .

 ̅  ̅ ̅ ̅

̅  

, demostrar que

 

211) En una pirámide V-ABC, y forma con la base   un ángulo de 60°. Las caras y ABC son triángulos isósceles, formando sus planos un ángulo de 30° entre sí. El lado desigual es y mide 2m. Calcular el volumen de la pirámide.

 ̅

212) Calcular la altura de un tetraedro regular cuya área total mide 62,28



.

213) Determinar el área total de un tronco de pirámide regular cuadrangular de 0,40 m de altura y perímetros de bases 0,8 m y 3,2 m. 214) Demostrar que el volumen de un prisma oblicuo triangular es igual al producto del área de una cara lateral cualquiera por la mitad de la distancia de esta cara a la arista opuesta. 215) En un cono de revolución de altura 24 m y radio de base 10 m, se inscribe una esfera, resultando de la intersección de sus superficies, una superficie cónica parcial. Hallar el área lateral de esa superficie resultante. 216) Demostrar: “Por una recta no perpendicular a un plano pasa un solo plano perpendicular al dado”.

217) La arista lateral de una pirámide triangular regular mide el doble del lado de la base ¿Por qué número debe multiplicarse el área de la base para obtener el área total?. 218) Demostrar: “Por una recta no perpendicular a un plano puede pasar un plano perpendicular al primero y solo uno”

219) Hallar la relación entre los volúmenes de un cilindro y un cono de la misma altura, ambos de revolución, siendo el radio de la base del cono igual al diámetro de la base del cilindro.

Cursil o π

22

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

220) Calcular el área de la sección resultante al cortar una esfera de volumen igual a por un plano distante 12 cm de su centro.

   

221) Definir: ángulo inscrito y ángulo seminscrito, estableciendo la medida de cada uno de ellos en función del arco comprendido entre sus lados. 222) Demostrar: “Si una recta es perpendicular a otra que contiene un radio de una circunferencia, por el extremo del mismo, la primera es tangente a la circunferenci a”.(Año 2006). 223) Demostrar: “ Si dos rectas secantes se cortan en un círculo, el producto de los dos segmentos determinados en una de las cuerdas, es igual al de los otros dos determinados en la otra” .

Año 2005 224) Definir ángulo rectilíneo de un diedro. 225) Completar el enunciado del teorema: “Si una recta es paralela a un plano, también es paralela a la intersección de …”

226) Sea el cono circular recto cuya generatriz es igual al diámetro de la base. Si la relación entre el número que representa el volumen del cono y el número que representa el área lateral es igual a 1/3, hallar el área total de dicho cono. 227) Una pirámide tiene por base un triángulo de lados 13 m, 14 m y 15 m. Las tres aristas laterales son iguales y miden 20m. calcular el volumen de la pirámide. 228) En un prisma triangular regular se inscribe un cilindro. ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de estos dos cuerpos?.



229) Sea un prisma oblicuo cuya base es un cuadrado de lado . Las aristas laterales miden forman un ángulo de 60° con el plano de la base. Hallar el volumen del prisma.



y

230) El área de la base de un cono recto y circular está en relación con el área de una sección paralela a la base como 9 es a 4. La altura del cono es 12 dm. Calcular el volumen del tronco de cono definido por la base del cono y la sección paralela, sabiendo que la diferencia de los radios respectivos es igual a 3 dm.



231) Una esfera cuya área es 676  está cortada por un plano que dista 12 cm del centro de la misma. Calcular el volumen del cono con vértice en el centro de la esfera y base determinada en el plano por la esfera. 232) El área total de una pirámide cuadrangular es igual a 576 ángulos de 60° con la base. Calcular su volumen.

Cursil o π

23



, y sus caras laterales forman

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA TAA-MATEMÁTIC A II

[  ]                          ̅ 

233) Reducir a su forma más simple:

234) Efectuar transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar:

235) Resolver la ecuación

 para valores de   tales que

.

236) En el triángulo ABC, CE es la bisectriz relativa al ángulo C y AD es perpendicular a CE. Sabiendo que A=69°; C=2B y  hallar los lados y los demás ángulos del triángulo.  hallar C

D  A

237) Deducir:



en función de

B

E

    ̅      ̅     y

.

238) Los catetos del triángulo ABC de la figura miden y . Determinar  de modo que el triángulo rectángulo CPD (DP  BC) tenga perímetro igual a 720 cm.

̅

 A

D C P

B

239) Calcular el área de un paralelogramo cuya base mide 3m y sus diagonales son iguales a 2,5 m y 4,6 m. 240) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

                                      Cursil o π 241) Resolver la ecuación que verifica a

 

, hallando todos los valores del arco

.

242) Resolver un triángulo, conociendo que que forma el lado con la bisectriz del ángulo .

  y el ángulo

243) En un triángulo rectángulo, la altura y la mediana trazadas desde el vértice del ángulo recto forman un ángulo . Hallar el valor de los ángulos agudos del triángulo. 24

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA TAA-MATEMÁTIC A II

̅     ̅

244) Sea el triángulo isósceles ABC de base  igual a 60 cm y cuyos lados iguales miden 80 cm cada uno. Determinar sobre el lado , a partir del vértice B, la posición de un punto M tal que el segmento de la paralela a la base forme un trapecio isósceles cuyo perímetro sea el triple del perímetro del triángulo parcial que se forma.

̅

 ̅ 

245) Se da la circunferencia de centro en el punto O y radio igual a 3 cm. Sobre una cuerda  de la circunferencia, se considera un punto P que dista 1 cm del centro O. Hallar el producto .

 ̅   ̅

̅ ̅       ̅ 

̅ ̅  

246) En un paralelogramo ABCD, y  son lados opuestos, P es el punto medio del lado Q el punto medio del lado . Demostrar que las rectas PD y BQ dividen a la diagonal tres segmentos iguales.

 y en

247) Demostrar que en todo cuadrilátero la suma de los cuatro lados es mayor que la suma de las diagonales. 248) En una circunferencia de centro O se traza la cuerda

 

 ̅ 

, de modo que el ángulo



es

igual a 25°32’18”. En el semiplano definido por AB y O, se considera un punto cualquiera D en la

circunferencia. Hallar el valor del ángulo

.

249) Las bases de un trapecio isósceles miden 88 cm y 24 cm. Siendo el área igual a 1.848 calcular la diagonal.



,

250) Demostrar: “El ángulo determinado por dos rectas secantes que se cortan en un círculo, tiene por medida la semisuma de los arcos comprendidos entre las rectas que contienen sus lados”.

251) Calcular el área de la corona determinada por dos circunferencias, una inscripta y la otra circunscripta a un cuadrado de 16 dm de perímetro. 252) Demostrar: “Por un punto exterior a una recta puede pasar un solo plano perpendicular a ella”.

253) Demostrar: “Si dos circunferencias son tangentes, la recta determinada por los centros pasa por el punto de tangencia”.

254) Demostrar: “En todo triángulo, el producto de dos lados cualquiera es igual al producto del diámetro de la circunferencia circunscrita al mismo por la altura relativa al terc er lado”.(Año 2006; 2007)

Cursil o π

25

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA TAA-MATEMÁTIC A II

Año 2006 255) Sean: la circunferencia de centro O y radio R; P punto cualquiera de su círculo; AB recta secante determinada por los puntos O y P y CD recta secante cualquiera que pasa por el punto P. Demostrar que .

̅  ̅



256) Calcular la longitud del radio de la circunferencia de la figura, siendo AB y CD, tangentes en A y C; ;   la recta CB divide a   en dos segmentos, siendo el menor de ellos de 5m.

 ̅    ̅ 

257) Calcular el área del triángulo isósceles ABC siendo , .

̅ ̅    ̅ 

 ̅ 

̅  ̅

, de la figura,



     

 

  

258) Reducir a su forma más simple:

              [ ]           

    

259) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

260) Hallar el menor valor positivo del arco  que verifica la siguiente ecuación:

261) En el triángulo rectángulo de la figura, el

. Calcular la longitud del lado

 ̅ 

B

D

 A 16m

C 39m

262) Sea E un punto extremo a una circunferencia de centro O; las rectas EA y ED cortan a esa circunferencia en los puntos B y A , y en los puntos C y D, respectivamente. La cuerda de la circunferencia corta al segmento  en el punto G. Si ,y , calcular el valor de

  ̅  

Cursil o π

̅ ̅ 

26

̅     ̅ ̅  ̅ ̅   Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II





263) El arco  es del tercer cuadrante y el arco  es del cuarto cuadrante. Siendo

 

, calcular



.

 

y

264) Demostrar que el triángulo determinado por los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita en un triángulo cualquiera, es acutángulo. 265) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

        √ 

266) Hallar los valores del arco  , menores que una circunferencia, que verifican la ecuación:

√ 

267) Una pirámide regular tiene por base un hexágono cuya diagonal menor mide   cm. Las caras laterales de esta pirámide forman diedros de 60° con el plano de la base. Calcular el área total de la pirámide. 268) Definir: a) Planos perpendiculares b) Ángulos de una recta y un plano c) Plano tangente a un cono d) Polos de un circulo de una esfera  A

269) Dados los triángulos ABD y CBD no situados  en un mismo plano y de lado común , demostrar que se verifica la relación .

̅  

B

βα δ  γ

D

C

270) Determinar el área lateral de un prisma oblicuo cuyas aristas laterales miden 6 m, sabiendo que una sección recta es un triángulo equilátero de 5  de área.





271) Expresar el volumen de una pirámide regular en función de la arista lateral L y del lado  del triángulo equilátero de la base. 272) El volumen de un cilindro de revolución de altura 13/2 m es igual a

 . Un cono de

revolución tiene igual base e igual generatriz que el cilindro. Hallar la relación entre el volumen del cono y el del cilindro.

273) La altura de un cono de revolución mide 22,50 dm y el radio de la base es igual a 12 dm. Calcular el área total del tronco de cono determinado al trazar un plano paralelo a la base, a 7,50 dm del vértice del cono.

Cursil o π

27

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

274) Una esfera es cortada por un plano que dista 35 cm del centro de la misma. Siendo el área de , calcular el área de la superficie esférica. la sección resultante igual a 144 π



275) Demostrar que si una recta es paralela a un plano, todo plano perpendicular a ella es también perpendicular al plano dado. 276) Demostrar: “Si dos planos son perpendiculares entre sí, toda recta perpendicular a la intersección y contenida en uno de ellos es perpendicular al otro” . 277) Demostrar: “ Si por un punto interior a un diedro se trazan las perpendiculares a las cara s, el ángulo que forman las dos semirrectas que cortan a las caras es suplementario del diedro”

Año 2007 278) Hallar el radio R de la esfera inscripta en la pirámide regular hexagonal de 5 m de altura y 2 m de lado de base. 279) En un triedro cualquiera, trazar por su vértice una semirrecta que forme ángulos iguales con las aristas. Justificar el trazado.



280) El área de una base de un paralelepípedo rectángulo es 48 ; la de la car lateral de lado , 42  y la del rectángulo determinado por las aristas laterales opuesta, 70 . Calcular el área lateral del paralelepípedo.

  



  

281) Los radios de las bases de un tronco de cono de revolución miden 6 cm y 4 cm. Calcular la altura del tronco con la condición de que el área total sea el doble del área lateral. 282) Un cilindro de revolución, un cono de revolución y una esfera tienen igual radio R, siendo 2R la altura de los dos primeros. Hallar, en función de R, la suma del área total del cilindro, del área total del cono y del área de la superficie esférica. 283) El lado de la base de una pirámide regular cuadrangular mide 12 cm. El lado de base de un prisma regular cuadrangular mide 6 cm. Sabiendo que ambos cuerpos son equivalentes, ¿Qué parte de la altura del prisma es la altura de la pirámide?.



284) El área total de un cubo es 486 . Calcular el volumen del prisma cuadrangular que resulta al cortar el cubo por un plano que pasa por un lado de la cara y forma con ésta un ángulo igual a 30°.





 

285) El volumen de un paralelepípedo rectángulo de  de largo,   de ancho y de altura se debe aumentar en , a la vez de disminuir su largo en . Determinar la altura del nuevo paralelepípedo rectángulo obtenido y las áreas de superficies antes y después de la modificación.

 

Cursil o π

28

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

286) Una de las dimensiones de un paralelepípedo rectángulo es media proporcional de las otras dos y la suma de las tres dimensiones es . Determinar dichas dimensiones si el paralelepípedo es equivalente a un cubo de de arista.

     

287) Determinar las dimensiones de un paralelepípedo rectángulo de volumen igual a dichas dimensiones son proporcionales a y .

 

 si

288) Determinar el volumen de un tronco obtenido al cortar un prisma triangular regular, cuya base es un triángulo equilátero de  de lado, con un plano que determina aristas laterales iguales a y



    

289) Determinar el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide pentagonal regular si su arista de base mide y su arista lateral .

    

290) Una pirámide hexagonal regular tiene de área lateral y Determinar las medidas de su arista lateral, su altura y su apotema.



de lado de base.

 

291) El volumen de un tronco de pirámide de de altura es y una de sus bases mide de área de superficie. Determinar el área de superficie de la otra base.



292) Determinar el volumen de un tronco de pirámide hexagonal regular de radios de bases y , respectivamente.

       

 

de altura y

293) Determinar el área lateral, el área de cada base y el volumen de un cilindro de revolución si su área total es de y la suma del radio de base con altura es . 294) Determinar la altura de un cilindro de revolución de cubo de arista igual a  .

 

 

de radio de base equivalente a un

295) Determinar el área lateral de un cono de revolución sabiendo que una sección que contiene a su eje es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide .

 

296) Determinar la relación entre los volúmenes de un cono y un cilindro que tiene bases y alturas iguales.

   

297) Un trapecio rectángulo de y de bases, gira alrededor del lado contenido en la recta perpendicular a las que contienen las bases. Si el lado opuesto al de giro, mide determinar el área engendrada por este lado y el volumen del sólido engendrado por el trapecio.

 

  

298) De un círculo de hojalata de de radio se corta un sector circular de un con. Determinar el radio de base y el volumen del cono obtenido.

Cursil o π

29



para hacer

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II



299) Un tronco de cono de revolución tiene de altura, tiene por bases círculos de diámetros iguales a y , respectivamente. Determinar la altura de un cilindro de revolución equivalente al tronco si su área de base es igual al de la sección del troco obtenida con un plano equidistante de los planos de las bases del troco.

 

300) DEMOSTRAR: Los bisectores de los diedros de un triedro tienen una recta común. 301) DEMOSTRAR: En un triedro, los planos perpendiculares a los planos de las caras que contienen la bisectriz de dicha cara, tienen una recta común. 302) DEMOSTRAR: El bisector de un diedro, comprendido entre dos caras iguales de un triedro, pertenece a un plano perpendicular al plano de la cara opuesta. 303) Determinar la suma de todos los ángulos diedros de un prisma de



  caras laterales.

304) DEMOSTRAR: En un prisma triangular el área de superficie de una cara lateral es menor que la suma de las áreas de superficie de las otras dos caras laterales. 305) DEMOSTRAR: Si dos caras laterales de un prisma triangular son equivalentes, los diedros opuestos a las mismas son iguales. 306) DEMOSTRAR: En un tetraedro, los segmentos de rectas de extremos en los vértices y los baricentros de las caras opuestas, concurren en un punto situado en la cuarta parte de cada uno de ellos a contar de la cara correspondiente. 307) DEMOSTRAR: EL plano bisector de un diedro de un tetraedro divide la arista opuesta en segmentos proporcionales a las áreas de superficie de las caras del diedro. 308) DEMOSTRAR: En un tetraedro trirrectángulo, el cuadrado del área de superficie de la cara opuesta a dicho triedro es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de las otras caras del tetraedro. 309) DEMOSTRAR: En un tetraedro trirrectángulo,



trirrectángulo y

              y

la altura relativa a la cara opuesta, entonces

son las aristas del triedro .

310) Determinar el diámetro, la altura y el área total de un cilindro de revolución de volumen, si su diámetro de base es el doble de su altura.



  

311) Explicar cuál es la distancia de un punto a un cilindro de revolución, si el punto exterior al cilindro y está situado entre los planos de las bases del mismo.

Cursil o π

30

Ing. Raúl Martínez

de

es

TAA-MATEMÁTICA II

  

   

 

312) La recta determinada por el vértice y un punto que dista del vértice y  del centro de la base de un cono de revolución de de altura y  de radio de base, corta en un punto al plano de la base del cono. Determinar la longitud del segmento de la recta tangente a la circunferencia de base por el punto , de extremos en y el punto de tangencia.



313) Un depósito, con forma de cono de revolución de eje vertical y vértice situado por debajo de la base, contiene agua en volumen equivalente a la mitad de su capacidad. Determinar la distancia de la base a la superficie libre de agua. 314) Determinar los elementos geométricos necesarios para construir un embudo de forma de tronco de cono de revolución de y de diámetros de bases y  de generatriz.

     

 

315) Suponiendo que la tierra es una esfera de 6.000 km de radio. ¿Cuál es el área de superficie que se divisa desde una altura de 100 ?. 316) En una superficie esférica, de radio , se toma un punto que es polo de una circunferencia menor si el área del casquete esférico determinado es igual al de un círculo de radio   dado.



317) Una superficie esférica es generada por la rotación de una semicircunferencia, de diámetro , alrededor de uno de sus diámetros. Determinar a que distancia de una de los extremos de dicho diámetro debe trazarse un plano perpendicular al eje de giro, que divida la superficie esférica en dos casquetes esféricos tal que la diferencia de las áreas de superficies de las mismas sea igual al área de la sección obtenida por el plano con la esfera.





318) En una esfera de radio , determinar la altura de un segmento esférico de una base si su volumen es numéricamente igual al área de superficie del casquete esférico correspondiente. 319) El volumen generado por un segmento circular del semicírculo generador de una esfera, de radio , es  veces el volumen de la esfera. Determinar la longitud de la cuerda   del segmento circular, sabiendo que uno de sus extremos pertenece al eje de giro.

 





320) Si en una superficie esférica de radio , se inscribe un cilindro de área lateral igual a la mitad de la superficie de un círculo máximo de la esfera. Determinar el volumen de dicho cilindro.

 

321) El radio de una superficie esférica es de . Haciendo centro en un punto cualquiera de dicha superficie se describe un circunferencia con una abertura del compás igual a . Hallar el área del círculo.



       

322) Por un punto , interior al diedro cuyos pies en las respectivas caras son que .

  

y

, se consideran las rectas . Por  se considera la recta

323) Si las caras de un triedro de un paralelepípedo son las caras de los otros triedros?

Cursil o π

31

y

    

y , . Demostrar

. ¿Cuáles son medidas de Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

324) Demostrar que la suma de los cuadrados de las cuatro diagonales de un paralelepípedo es igual a la suma a la suma de los cuadrados de las doce aristas. 325) La apotema de una pirámide triangular regular es igual a la altura de la base. Si el área de superficie de dicha base es

√ 

. ¿Cuál es el área total de la pirámide?



326) Demostrar que entre los círculos menores de una esfera de radio , que pasan por un punto  interior a su superficie esférica, el de área mínima pertenece el plano perpendicular a la recta determinada por y el centro  de la esfera.







327) Determinar la altura de una pirámide triangular de miden y  respectivamente.

       

 

 de volumen si los lados de la base



328) Determinar el volumen de un tronco obtenido al cortar una pirámide de y de área de base, con un plano paralelo al plano de la base situado a 329) Los radios de dos superficies esféricas concéntricas son determinada en la esfera exterior por un plano tangente.

  y

  de altura  de ella.

. Hallar el área de la sección

̅ ̅

330) Dado el paralelogramo ABCD y su diagonal   se traza una recta que pasa por el punto A y un punto E de la diagonal BD. Esta recta corta a la  en el punto F y al lado  en el punto G. demostrar que . F

̅ ̅ ̅

D

̅

G C E

 A

B

331) Dadas tres semicircunferencias como se indica en la figura, hallar el radio de la circunferencia que es tangente a las mismas, en función de R.

R/2

R/2

R/2

R/2

332) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

     

333) Hallar los ángulos del triángulo ABC, conociendo el lado , y la altura  correspondiente a ese lado.

  

Cursil o π

 

32



, el ángulo opuesto

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

334) Construir un cuadrado equivalente a un paralelogramo dado. 335) Sea la circunferencia de centro O y diámetro longitud del arco

 





 



 ̅  

. Siendo el ángulo α=45°, calcular la





336) Calcular el área del círculo cuya circunferencia se halla inscripta en un rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm. 337) Simplificar:

      





 √ 

338) Hallar el menor valor positivo del arco ecuación:

 

, expresado en radianes, que verifica  la siguiente

339) Desde una distancia x de una torre, un observador ve el punto más alto de la misma bajo un ángulo de 72° sobre la horizontal. Si se aleja 350 m del primer lugar de observación, lo ve bajo un ángulo de 31°. ¿Cuál es la altura de la torre?.

Cursil o π

33

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

Año 2008 340) Demostrar que “La suma de las distancias a los cinco lados de un pentágono regular, trazadas por un punto interior cualquiera del mismo a los lados, es igual a cinco veces la apotema”. 341) Demostrar: “Las áreas de dos triángulos que tienen un ángulo igual son entre sí como los productos de los lados que comprenden ese ángulo” (Año 2010) D

342) Calcular el área del trapecio rectángulo ABCD de la figura, sabiendo que

  ̅  ̅  

̅ ̅  ̅  

  es una semicircunferencia de centro O y radio ;

y

E

;

.

C

O

 A

343) Sea un punto P exterior a un círculo. La menor distancia de dicho punto a su circunferencia es igual a 49 m. Sabiendo que el segmento de la tangente a ella, trazada por el punto P y de extremos en dicho punto y en el punto de tangencia, mide 63 m, calcular el área del círculo. 344) Reducir a su forma más simple:

                ̅     

345) Hallar el menor valor positivo del arco

 que verifica la siguiente ecuación:

346) Calcular el perímetro del triángulo ABC de la figura, sabiendo que CE es la bisectriz del ángulo ; AD  CE;

;

y

.



  

 ̅ 

  

 

̅

347) En el triángulo ABC de la figura,  es la medida relativa al lado . Por un punto cualquiera E del lado , se traza una recta r paralela a la mediana. Demostrar que se verifica la siguiente relación:

 ̅̅  ̅ ̅  ̅

D  A E

B

Cursil o π

34

C M

r 

F

Ing. Raúl Martínez

B

TAA-MATEMÁTICA II

̅      ̅    ̅   ̅  ̅ 

348) Calcular la longitud de la tangente  en la circunferencia de centro O y radio que ; ;  y .

̅

, sabiendo

B  A F C

E O

D

            ̅ 

349) Hallar el menor valor positivo del arco

 ,que verifica la siguiente ecuación:

350) Sea la circunferencia de centro O y radio R=12 dm. Calcular el área del triángulo ABC de la figura, sabiendo que

, que los puntos C y D equidistan del punto

 

   y que

.



   



351) Dadas la circunferencia de centro O y radio R, y la circunferencia de centro O’ y radio r, tangentes exteriormente, como se indica en la figura, demostrar que la distancia   de su punto de contacto a una tangente común externa es cuarta proporcional entre la semisuma de sus radios y cada uno de los radios.

 ̅ 

T B R

T

’

r   A

O

O'

352) Dados el triángulo AMB y el paralelogramo ABCD, como se indica en la figura, siendo

̅     ̅   ̅     ̅     ̅ ,

triángulo al lado

,

y

, calcular la distancia del vértice N del

  del paralelogramo.

D

 A

Cursil o π

35

B

N C

M

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

353) Hallar el menor arco positivo que verifica la ecuación:

     

354) Calcular, en el sistema centesimal, la suma de todos  los ángulos diedros de un prisma cuadrangular oblicuo. 355) Una superficie cónica es tangente a una esfera de radio R de tal modo que su vértice dista 4 m de la superficie esférica. Hallar el volumen de la esfera, sabiendo que la cuarta parte de su superficie es igual a la superficie cónica limitada por la circunferencia de tangencia de radio r. 356) Dado un ángulo poliedro de cuatro caras, demostrar que una cara es menor que la suma de las demás. 357) Una arista lateral de una pirámide triangular regular es el doble del lado de la base. Hallar la relación entre el área total y el área de la base. 358) La diagonal del rectángulo resultante de cortar un cilindro de revolución con un plano que pasa por su eje, mide 29 dm. Siendo la generatriz del cilindro igual a 21 dm, calcular el área lateral, el área total y el volumen del cilindro. 359) Un prisma recto de 40 cm de altura tiene por base un cuadrilátero inscriptible en una circunferencia. La base se descompone, por una de sus diagonales, en un triángulo equilátero de 12 cm de lado y otro isósceles. Calcular el volumen del prisma.





360) Una bóveda cilíndrica tiene 7,4 m de largo y 0,42 m de espesor . Su arco interno pertenece a una circunferencia de 4,3 m de radio y corresponde a un ángulo central de 135°. Hallar el volumen de la bóveda.



361) La base de un cono es un círculo. El eje es bisectriz del ángulo que forman la altura y una generatriz situada en el plano determinado por el eje y la altura. Calcular el volumen de dicho cono, siendo la altura igual a 4 m y la citada generatriz igual a 5 m. 362) Calcular el área lateral de un tronco de cono de revolución de bases paralelas, sabiendo que se pueden inscribir en él dos esferas tangentes de 40 cm y 30 cm de radio, respectivamente. 363) Demostrar: “Si por un punto P interior de un ángulo diedro se trazan rectas perpendiculares a los planos que contienen a las caras del diedro, el ángulo con vértice en el punto P es suplemento del rectilíneo del diedro. 364) Considerando un segmento de recta

 ̅ 

 como cuerda, trazar el arco capaz de contener a un

ángulo obtuso α. Construcción y demostración.

Cursil o π

36

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

365) Construir un pentágono semejante a dos pentágonos semejantes dados y equivalentes a su suma (construcción y demostración).

Año 2009 366) Una pirámide tiene por base un triángulo de lados 13 m, 14 m y 15 m. Cada una de las tres aristas laterales mide 20 m. Calcular el volumen de la pirámide.

̅

 ̅   ̅ 

 ̅ 

367) En un triángulo de hipotenusa   y catetos y , las proyecciones de los catetos  y  sobre la bisectriz del ángulo recto  A, miden 758 m y 962 m, respectivamente. Calcular el ángulo  del triángulo dado.

 ̅  

368) En un prisma triangular oblicuo se verifica que el área de una cara lateral es menor que la suma de las áreas de las otras dos caras. 369) El área total de una pirámide regular hexagonal es calcular su altura.

√  . Si su apotema mide

√ 

m,

370) Las aristas laterales de una pirámide regular triangular son el doble del lado de la base. ¿Por qué número debe multiplicarse el área de la base para obtener el área total? 371) ¿A qué distancia del vértice de un cono de revolución se debe trazar un plano paralelo a la base del mismo, para que el área de la sección determinada sea igual al área lateral del tronco de cono resultante? Datos: altura del cono igual a 6m; radio de base igual a 2m. 372) Demostrar: “Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí”. 373) En un cono de revolución de altura 24 m y radio de base 10m, se inscribe una esfera. Calcular: a. La longitud de la intersección de ambas superficies. b. El volumen de la esfera. 374) El polo P de una circunferencia menor de una superficie esférica se halla a la distancia

√ 

rectilínea de   dm de cualquier punto de dicha circunferencia. Si el radio de la circunferencia mide 6dm, calcular el área de la superficie esférica. P

B o'

 A o

Cursil o π

37

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

 ̅   ̅   ̅  ̅

375) Se dan dos semicircunferencias de diámetro  y , siendo . Por el punto P de la semicircunferencia menor se traza una perpendicular a la recta AB que corta a la misma en el punto C y a la semicircunferencia mayor en el punto D. Se trazan también las rectas determinadas por los puntos A y D y por los puntos A y P. Demostrar que se verifica la relación .

 ̅  ̅

D

P B

 A O' C O

 ̅  ̅

376) Sea el triángulo isósceles ABC de lados . La base vértice C a la recta AB mide 4m. Calcular el área del triángulo.

 ̅ 

mide 5m. La distancia del

377) Determinar gráficamente el lado del decágono regular y el del pentágono regular, inscritos en una circunferencia de radio R. Justificar la construcción mediante las fórmulas conocidas de en función del radio R.

  

  . Hallar el área del segmento circular determinado por el arco del sector y la cuerda que le subtiende.

378) El área de un sector circular de 15 cm de radio es

379) Reducir a su forma más simple:

                  

380) Hallar el valor positivo del arco  que verifica la ecuación:

381) El área de un triángulo ABC es igual a 157,735 . Calcular el lado opuesto al ángulo B.



. Dos de sus ángulos son

  

y

382) Dados el ángulo agudo y el punto P exterior a dicho ángulo, trazar por el punto P una recta PL que forme con las semirrectas OA y OB, respectivamente, dos ángulos correspondientes, tales que uno sea el doble del otro. Construcción y demostración.

   



Cursil o π

38

  Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

383) Sean el triángulo acutángulo ABC, inscripto en una circunferencia, el punto H ortocentro de dicho triángulo y la recta . Demostrar que .

̅ ̅



 A D

H B

C

 A'

384) Por un punto C exterior a un círculo dado, se traza una recta tangente CD y otra secante CA a su circunferencia, quedando determinada la cuerda   m. Los extremos de la cuerda  dista de la recta tangente 6 m y 13,5 m. Calcular la distancia desde el punto de tangencia a la recta secante.

 ̅  

 ̅ 

D

O C  A

B

      

385) Hallar el menor valor positivo del arco

 ,que verifica la siguiente ecuación:

386) Demostrar: “Si dos rectas secantes se   cortan en un círculo, el producto de los segmentos determinados en una de las cuerdas, es igual al de los otros dos determinados en la otra”

387) En la circunferencia de centro O de la figura, hallar el valor del ángulo C. C

O B  A

20°

30°

388) En una circunferencia de radio R=5 m se hallan inscritos dos polígonos regulares. Uno de ellos tiene dos lados más que el otro y la diferencia entre los respectivos ángulos centrales es 6°. Calcular el número de lados de cada uno de los polígonos y el área del que tiene lado de mayor longitud.

Cursil o π

39

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

389) Sean los triángulos BAC y BED de la figura. Dados , calcular los catetos del triángulo BAC.

̅ 

̅   ̅   ,

y

D

 A F B E

C

390) Calcular el área de un rombo de lado igual a 8 m, siendo el radio de la circunferencia inscrita en él igual a 3 m. 391) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

          ̅        

392) Resolver la ecuación  que verifica a 393) Calcular el lado

, hallando todos los valores del arco

.

 del triángulo ABC con los siguientes datos: y perímetro igual a 274 m.

;

394) Demostrar: “La suma de las caras de un ángulo poliedro es mayor que cero y menor que cuatro ángulos rectos”.

Cursil o π

40

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

Año 2010 395) Demostrar: “En todo triedro, una cara es menor que la suma de las otras dos y mayor que la diferencia de las mismas”.

396) Demostrar: “Si los ángulos rectilíneos de dos diedros son iguales, los diedros también lo son”.

397) En un triedro cualquiera, demostrar que los planos determinados por una arista y la bisectriz de la cara opuesta, se cortan según una misma semirrecta. 398) Hallar gráficamente un cuadrado equivalente a un hexágono cualquiera dado. Construcción y demostración.



399) La altura de un prisma hexagonal regular es igual al perímetro de la base de lado igual a . Hallar, en función de , el volumen de un cilindro de revolución de la misma altura que el prisma y de igual área lateral.



      

400) Las áreas de las bases de un tronco de pirámide cualquiera son y . Calcular el área de la sección determinada por un plano equidistante de los planos de las bases del tronco.



401) Dados el cono de revolución de la figura y sus generatrices y , siendo los puntos A y B diametralmente opuestos y los puntos cualquiera C y D no opuestos

̅̅̅ ̅

diametralmente, demostrar que

   >

.

     

402) La diagonal de un rectángulo resultante de cortar un cilindro de revolución por un plano cualquiera que pasa por el eje, mide 3 m y es igual al doble del diámetro de la base. Calcular el área lateral del cilindro. 403) En un vaso, cuya forma es la de un tronco de cono de revolución, se introduce otro vaso de forma de un cilindro de revolución de 8 cm de diámetro y altura igual a la del tronco. Los radios de las bases del tronco son  y . La diferencia de los volúmenes de los dos recipientes es igual a . Calcular la altura de los vasos.

         

Cursil o π

41

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II



404) Hallar el área de la superficie esférica inscrita en el cono de revolución de altura 24 cm y radio de base 10 cm.

  

   



405) Hallar el volumen de la pirámide cuadrangular que resulta de cortar a un tetraedro regular, cuyas caras son cuatro triángulos equiláteros de lados iguales a 4 m, por un plano que pasa por un vértice y los puntos medios de las dos aristas correspondientes a la cara opuesta a ese vértice. 406) Calcular trigonométricamente el ángulo diedro de un tetraedro regular cuyas cuatro caras son triángulos equiláteros iguales. 407) Construir, usando exclusivamente la regla y el compás: a) Un ángulo de 135°; b) Dado un segmento , dibujar el arco capaz de contener el ángulo de 135°, en base a dicho segmento.

 ̅ 

408) DEMOSTRAR: “Las áreas de dos triángulos que tienen un ángulo igual, son entre sí como los productos de los lados que determinan ese ángulo” B

E

 A

D

C

409) Construir, usando exclusivamente la regla y el compás: b) Un ángulo de 135° c) Dado un segmento , dibujar el arco capaz de contener el ángulo de 135°, en base a dicho segmento.

 ̅ 

410) Si en un trapecio rectángulo sus diagonales son perpendiculares entre sí, demostrar que su altura es media proporcional entre sus bases. D

 A

Cursil o π

42

C

B

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

 ̅  ̅

411) Sea la circunferencia de centro O y radio R=17 cm. Sus cuerdas y  se cortan en un punto P de manera que el producto de los segmentos determinados por el punto P en cada una de ella, es igual a 145 . Calcular la distancia del centro O de la circunferencia al punto P de intersección de las cuerdas.



 A C P B

O

D

412) Deducir las fórmulas del seno, coseno y tangente del arco mitad, en función del coseno del arco. 413) Efectuando transformaciones exclusivamente  en el primer miembro, verificar la siguiente identidad.

            

414) Hallar los valores del arco

, expresados en radianes, que verifican la ecuación:

415) Hallar el lado b del triángulo ABC, sabiendo que: A=94°24’ B=64°20’

S=38972,50

Cursil o π



43

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TAA-MATEMÁTICA II

Año 2011 1er Parcial 416) Demostrar: “ Si una recta es perpendicular a otra que contiene un radio, en el extremo del mismo, la primera es tangente a la circunferencia”

417) Dividir armónicamente un segmento de recta dado en la razón rectas dados, siendo



. Construcción y demostración.



  y , son segmentos de

̅            ̅  ̅ ̅ ̅

418) Dadas la circunferencia de centro y diámetro , y la recta exterior a la circunferencia, se trazan las rectas  perpendicular a y , secante cualquiera. Demostrar que

 

 

419) El lado de un rombo mide  y su área es igual de 96 de  de diagonal menor y semejante al anterior.

 

420) Simplificar la expresión siguiente:



 

      

. Calcular el área de otro rombo

    

421) Efectuando transformaciones exclusivamente  en el primer miembro, verificar la siguiente identidad:

                            

422) Hallar los valores del arco

423) Hallar los ángulos

Cursil o π

y

, expresados en radianes, que verifican la ecuación:

del triángulo

, siendo:

44

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

2do Parcial 424) Demostrar: “Por una recta no perpendicular a un plano pasa un

plano y sólo uno

perpendicular al primero”

  

425) Demostrar que si una recta es paralela a un plano es también perpendicular al plano   dado. Gráfico.

 



 , todo plano



perpendicular a

426) Demostrar que la recta determinada por los puntos medios de dos aristas opuestas de un tetraedro regular (cuerpo de cuatro caras que son triángulos equiláteros iguales) es perpendicular a cada una de esas aristas. Gráfico.

   

427) El área de una base de un paralelepípedo rectangular es ; el de una cara lateral,  y el del rectángulo determinado por dos aristas laterales opuestas, . Calcular el área lateral del paralelepípedo. Gráfico.

 



428) La altura de un prisma regular hexagonal es igual al perímetro de la base, de lado . Hallar, , el volumen de un cilindro de revolución de la misma altura que el prisma y de igual área lateral.





 

429) La altura de un cono de revolución mide 22,5 y su volumen es igual a 1.080 . Se traza un plano paralelo a la base a 15 de distancia de ella, que lo divide en un cono parcial y un tronco de cono. Calcular la relación entre el volumen del cono dado y el volumen del cono parcial.



430) Los radios de las bases de un tronco de cono de revolución miden 6 que su área total es el doble de su área lateral, calcular su altura. Gráfico.



  y 4

. Sabiendo

431) Dada una pirámide regular hexagonal de altura 4  y de perímetro de base igual a 12 hallar el área de la superficie esférica inscrita en la pirámide. Gráfico.

Cursil o π

45

√  

Ing. Raúl Martínez

,

TAA-MATEMÁTICA II

Examen Final 432) Demostrar: “Las áreas de dos triángulos que tienen un ángulo igual, son entre sí, como los productos de los lados que determinan ese ángulo” C E

 A

D

B

433) Demostrar que el triángulo determinado por los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita en un triángulo obtusángulo, es acutángulo. Gráfico.

        

434) En un triángulo ABC cuyos lados miden y  , se forma otro triángulo al trazar la recta paralela a la que contiene al lado   , a una distancia de   del vértice opuesto a dicho lado. Hallar el área del triángulo menor. Gráfico. 435) Demostrar: “En todo triedro, una cara en menor que la suma de las otras dos y mayor que la diferencia de las mismas”

436) La altura de una pirámide regular cuadrangular es igual a la diagonal de la base. El área de la base mide . Calcular el área total. Gráfico.

 

437) Calcular el valor del ángulo diedro del octaedro regular. Gráfico. 438) Sabiendo que



           

 , hallar los valores de

 que verifican la ecuación:

439) Demostrar que el área de un triángulo rectángulo de hipotenusa agudo y la suma de los catetos y , es:



Cursil o π

46



  , conociendo el ángulo

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

Año 2012 Primer Parcial 440) Demostrar: “Dos polígonos regulares cualesquiera de un mismo número de lados son semejantes”

441) Dado un cuadrado, construir otro cuya área sea el doble de la del primero. Construcción y demostración.

 

442) En la figura, el área del círculo mayor es . El círculo menor es tangente a la primera circunferencia y a los lados del ángulo inscrito que mide 60°. Calcular el área del círculo menor.

    

     ̅    ̅   ̅  

443) Calcular el perímetro del triángulo y



de la figura, siendo

̅

 tangente a la circunferencia,



  444) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la siguiente identidad.

tsn s     os sn       ossn      snos      t   sn   s           

445) Sabiendo que

, hallar los valores de

que verifican la ecuación

446) Reducir a su forma más simple:

447) El área de un triángulo

  es igual a

Calcular el lado , opuesto al ángulo

Cursil o π

. Sabiendo que

y

.

47

Ing. Raúl Martínez

.

TAA-MATEMÁTICA II

Segundo Parcial 448) Demostrar: “Si un plano es perpendicular a otros dos que se cortan, lo es a su intersección”



449) Trazar por el vértice  de un triedro las aristas. Justificar el trazado.



, una semirrecta que forme ángulos iguales con

450) Dado un ángulo poliedro, demostrar  que una cara es menor que la suma de las demás. (Considerar un ángulo poliedro de cinco caras).

  

451) La altura de un paralelepípedo rectángulo mide , siendo uno de los lados de su base el doble del contiguo. El área total mide 144 . Calcular la longitud de una de las diagonales del paralelepípedo. 452) El área total de una pirámide regular hexagonal es el triple del área de la base. Siendo el lado de la base igual a , calcular la altura.

 



453) La sección determinada en un tronco de cono de revolución de de altura por un plano que pasa por el eje, es un trapecio de  de superficie. Siendo el radio de una de las bases igual a , calcular el área total de la superficie troncocónica.

 





 

454) Sobre el plano se apoyan un cono y una esfera de radio , como se indica en la figura. La altura del cono es igual al diámetro de la esfera, y el radio de su base es igual al radio de la esfera. ¿A qué distancia del vértice del cono habrá que trazar un plano paralelo a su base para que las secciones determinadas en los dos cuerpos sean de igual área?





  









455) En una esfera, un arco de circunferencia máxima de 12° tiene una longitud de relación entre el volumen de la esfera y el área de su superficie esférica.

Cursil o π

48

 

. Hallar la

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TAA-MATEMÁTICA II

Examen Final 456) Demostrar: “Las áreas de dos triángulos semejantes son entre sí como los cuadrados de dos homólogos cualesquiera”.

457) División de un segmento de recta dado en media y extrema razón (división áurea). Definición, construcción y demostración. Considerar el punto de división en el segmento de recta dado.



 

458) La circunferencia de centro y radio   se halla circunscrita a un triángulo rectángulo isósceles . Calcular el área del círculo cuya circunferencia es tangente a la dada y a los catetos del triángulo dado.

 

459) Demostrar: “Por una recta no perpendicular a un plano pasa un plano y sólo uno perpendicular al primero”.

 –     

 ̅    ̅  

460) La pirámide triangular tiene por lados de su base los segmentos y . La sección definida por un plano que pasa por el vértice  determina en los lados y , los puntos y que distan y , respectivamente, del vértice común . Determinar la relación entre los volúmenes de las dos pirámides en que dicha sección divide a la pirámide dada.

̅̅ 

  

461) Si relación:

y

                  

son ángulos del triángulo obtusángulo

462) Hallar los valores positivos del arco

, menores que

463) Deducir la fórmula del área del triángulo Aplicar la fórmula al siguiente caso:

Cursil o π



49

, demostrar que se cumple la

, que verifican la ecuación:

 en función del lado

y de los ángulos

  B=126° 52 12

  

Ing. Raúl Martínez

y

.

TAA-MATEMÁTICA II

Examen Recuperatorio 464) Demostrar: “El producto de dos lados de un triángulo es igual al producto del diámetro de la circunferencia circunscrita al mismo por la altura relativa al tercer lado”

    ̅ 



  ̅    ̅   ̅ 

465) La circunferencia de centro   y radio  está circunscrita al triángulo isósceles . Por el vértice   del triángulo se traza la semirrecta , como se indica en la figura. Demostrar que el segmento es media proporcional entre los segmentos y

 ̅ 

 

  

 

 

   

 

466) Las bases de un trapecio miden y , y los otros dos lados, y longitud del segmento de recta por extremos los puntos medios de las bases.

. Calcular la

467) Demostrar: “la suma de las caras de un ángulo poliedro es mayor que cero y menor que cuatro ángulos rectos” (Considerar el ángulo poliedro de cuatro caras)

    

 

468) La altura de un cono de revolución mide y el radio de la base, . Se traza un plano paralelo a la base a del vértice. Calcular el área total del tronco de cono resultante. 469) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

470) Si el arco



es tal que

                     , resolver la ecuación:

471) Hallar el valor de los tres ángulos y de los lados y del triángulo área , el lado y la altura relativa al lado ,

 

Cursil o π

50

, conociendo el  .

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

472) Demostrar: “La bisectriz del ángulo externo suplementario de un ángulo de un triángulo, divide el lado opuesto en la razón de los lados que comprenden dicho ángulo”

473) Determinar la cuarta proporcional de tres segmentos de rectas dados. Construcción y demostración.

                               

474) En el triángulo

, la recta determinada por el vértice

y el punto medio de la mediana

 

relativa al lado corta en   a la recta que contiene al lado . Si el segmento   mide , determinar la longitud de los segmentos en que queda dividido dicho segmento por la mediana relativa al lado . 475) En el triángulo isósceles

, demostrar que la suma de las distancias de un punto de la base

 a las rectas que contienen los lados

y   es constante.

476) Reducir en su forma más simple:

477) Efectuando transformaciones, exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

                √        

478) Hallar el menor valor positivo del arco

que verifica la ecuación:

479) Calcular los catetos de un triángulo rectángulo que

y



 (   hipotenusa;  y : catetos), sabiendo

.

480) Sean las siguientes afirmaciones: 1. El cuadrilátero es el único polígono en el que la suma de sus ángulos interiores es igual a la suma de sus ángulos exteriores. 2. Dos circunferencias son tangentes entre sí cuando son tangentes a una misma recta en un mismo punto. 3. Un ángulo inscrito en un arco mayor que una semicircunferencia es obtuso. 4. El área de un rombo es igual al producto de sus diagonales. Es/son correcta/s: A) Sólo 2

Cursil o π

B) Sólo 4

C) 2, 3 y 4

51

D) 1 y 2

E) 1 y 3

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

481) Indicar cuál de los siguientes axiomas pertenece a la categoría de axiomas de ordenación: 1. Dos puntos distintos determinan una recta que los contiene. 2. Si dos puntos distintos de una recta pertenecen a un plano, todos los puntos de la misma pertenecen al plano. 3. Toda recta de un plano, establece una clasificación de los puntos del plano no contenidos en ella, en dos clases o regiones, y, todo punto del plano exterior a la recta pertenece a una u otra región. 4. Un movimiento no transforma una figura en parte de la misma y viceversa. 5. Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una recta paralela a la dada. Es/son correcta/s: A) Sólo 1

B) Sólo 2

C) Sólo 3

D) Sólo 4

E) Sólo 5

482) Con relación a los cuadriláteros, se afirma que: 1. Un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos situados en rectas paralelas, es un paralelogramo. 2. Un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos iguales y situados en rectas paralelas, es un paralelogramo. 3. Un cuadrilátero que tiene respectivamente iguales sus ángulos opuestos, es un paralelogramo. 4. Si las diagonales de un cuadrilátero se dividen mutuamente en partes iguales, es un paralelogramo. Es/son correcta/s: A) Sólo 3

B) Sólo 1

C) Sólo 2 y 3

D) 1 y 2

E) 2 , 3 y 4

483) De las siguientes proposiciones, indicar cuál es falsa. 1. La diferencia de dos segmentos de rectas desiguales (minuendo) con otros dos segmentos de rectas desiguales del mismo sentido (sustraendo), dan segmentos de rectas desiguales en el mismo sentido de las desigualdades dadas. 2. La diferencia de dos segmentos de rectas desiguales (minuendo) con otros dos segmentos de rectas desiguales (sustraendo) dan segmentos de rectas desiguales del mismo sentido que la desigualdad minuendo. 3. La diferencia de dos segmentos de rectas iguales (minuendo) con otros dos segmentos de rectas desiguales (sustraendo) dan segmentos de rectas desiguales del mismo sentido al de la desigualdad minuendo. Es/son correcta/s: A) Sólo 1

Cursil o π

B) Sólo 2

C) Sólo 3

52

D) Sólo 4

E) 2 y 3

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

484) Sean las siguientes proposiciones: 1. Un ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él. 2. El punto medio de la hipotenusa de un triángulo es su incentro. 3. En una circunferencia, si dos cuerdas no equidistan del centro de mismo, es mayor la que más dista de dicho centro. 4. Si una recta divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales, es paralela a la recta que contiene al tercer lado. Es/son correcta/s: A) Sólo 3

B) 1 y 4

C) Sólo 2

D) 1 y 3

E) 2 y 4

485) Indicar cuál de las siguientes definiciones de circunferencia trigonométrica es la correcta: 1. Es la circunferencia en la cual se fija un punto como de los arcos, y su longitud como unidad de medida de longitud, y un arco se considera descrito desde el origen hasta su extremo en un sentido determinado, uno de los cuales se considera positivo. 2. Es la circunferencia en la cual se toma el radio como unidad de medida de longitud, y un arco de longitud igual a un radio como unidad de medida de los arcos. 3. Es la circunferencia en la cual se fija un punto como origen de los arcos, el radio como unidad de medida de longitud, y un arco se considera descrito desde el origen hasta su extremo en un sentido determinado, uno de los cuales se considera positivo. 4. Es la circunferencia en la cual el radio es la unidad de medida de longitud, y un arco se considera descrito desde el origen hasta su extremo en un sentido determinado, uno de los cuales se considera positivo. Es/son correcta/s: A) Sólo 1

B) Sólo 2

C) Sólo 3

D) Sólo 4

        

486) En un sistema de coordenadas cartesianas, de origen lado origen, coincide con el eje de abscisas, es . Si ordenada y el radio vector de , se afirma:



sn  t  s  ot 

E) 2 y 4



es el lado libre del ángulo   y su son respectivamente, la abscisa, la

1. 2. 3. 4.

Es/son correcta/s: A) Sólo 1

Cursil o π

B) Sólo 2

C) Sólo 3 53

D) Sólo 4

E) 2 y 4 Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

sn   ot   t   os 

487) Con relación al triángulo de hipotenusa 1. 2. 3. 4.



  y catetos

 

y , se afirma que:

Es/son correcta/s: A) Sólo 3

B) Sólo 2

C) 2 y 4

D) 1 y 3

E) 2 y 3

488) Sean las siguientes afirmaciones: 1. Las funciones trigonométricas de dos arcos que difieren en una semicircunferencia positiva son iguales en valor absoluto pero de signos contrarios, excepto el seno y la cosecante que son iguales en valor absoluto y signo. 2. Si y , se verifica que . 3.

t os sn   os  

4. Con relación al triángulo

 de área

Es/son correcta/s: A) 2 y4

B) Sólo 1

     os  , se cumple que

C) 1 y 4

D) 2 y 3

E) Sólo 3

D) Sólo 4

E) 2 y 4

489) Indicar cuáles de las implicaciones son correctas: 1.  implica 2. , implica implica

snsn   osos   t t  otot   implica

Es/son correcta/s: A) Sólo 1

Cursil o π

B) Sólo 2

C) Sólo 3

54

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

Año: 2013 490) Definir: a) Ángulo entre una recta y un plano b) Plano tangente a un cilindro c) Polos de un círculo de una esfera 491) Demostrar:Por una recta no perpendicular a un plano pasa un plano y sólo uno, perpendicular al primero. 492) Demostrar:Toda sección plana de una esfera es un círculo. 493) En un prisma triangular oblicuo se inscribe un cilindro. ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de estos dos cuerpos?

    

494) Dados los triángulos y , no situados en un mismo plano y de lado común demostrar que se verifica la relación .

 





,

   



495) Un depósito cónico (vértice hacia abajo) de  de altura está lleno de agua. Calcular el nivel de agua cuando se haya vertido la mitad del contenido.

         

496) Los radios de las bases de un tronco de cono de revolución miden y altura del tronco con la condición de que el área total sea el doble del área lateral. 497) Una pirámide tiene por base un triángulo de lados y laterales son iguales y miden . Calcular el volumen de la pirámide.



. Calcular la

. Las tres aristas

498) ¿En qué relación está el volumen de un cubo inscrito en una esfera con el volumen de un cubo circunscrito a la misma esfera?

 

499) El vértice de un cono circunscrito en una esfera dista   del centro de la esfera. Determinar el radio de la esfera, sabiendo que la cuarta parte de la superficie de la esfera es igual al área lateral del cono limitado por la circunferencia determinada por los puntos de tangencia.

Cursil o π

55

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

500) Demostrar: “Por un punto exterior a una recta pasa un plano y solo uno perpendicular a ella”



501) Graficar un tetraedro regular de arista  y deducir la fórmula que permita obtener la altura del mismo en función de .





502) Un punto dista  de cada uno de dos planos que contienen las caras de un diedro de Determinar la distancia de dicho punto a la arista del diedro (graficar)



.

√   

503) La diagonal de un paralelepípedo rectángulo mide . Sabiendo que sus dimensiones son números naturales consecutivos, calcular el volumen (graficar) 504) La medida de la diagonal de un hexaedro regular, en , es numéricamente igual al área de superficie de un triángulo de vértice en el centro de una de las caras de hexaedro y base en la diagonal de la cara opuesta, en . Determinar el área total del hexaedro (graficar)

 

 

505) Determinar el área lateral de una pirámide cuadrangular de   de altura, que tiene por base un rombo de  de lado y  de diagonal mayor, sabiendo que el vértice se encuentra en la recta perpendicular al plano de la base por el extremo de su diagonal mayor (graficar)



        

506) Una pirámide tiene por base un triángulo de lados y aristas laterales mide . Calcular el volumen de la pirámide (graficar)

 

. Cada una de las

507) Las áreas de superficies de las bases de un tronco de pirámide son de  y . Calcular el área de la sección producida con un plano equidistante de los planos de las bases del tronco (graficar) 508) El área de base de un cilindro de revolución es media proporcional de las áreas laterales en que un plano paralelo a dicha base divide al cilindro. Determinar la distancia de dicho plano al plano de la base en función de la altura y el radio del cilindro (graficar)



509) El desarrollo de la superficie lateral de un prisma triangular regular, de  de altura, es un rectángulo cuya diagonal mide . Calcular el área total del prisma (graficar).

 

510) Demostrar: “Si un cuadrilátero tiene respectivamente iguales sus lados opuestos, es un paralelogramo”

511) Inscribir un cuadrilátero en un triángulo equilátero de tal manera que la recta que contiene a uno de los lados también contenga un lado del cuadrado. Construcción y demostración. 512) Demostrar: “Si por un punto exterior a una circunferencia se consideran rectas secantes a la misma, el producto de los segmentos de cada secante, de extremos en los puntos de intersección con la circunferencia y comunes en el punto dado, es constante”

Cursil o π

56

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

      ̅ ̅            ̅     ̅ ̅  ̅      ̅   ̅   ̅  

513) En un cuadrilátero

se tiene:

 Calcular la longitud del lado

514) En el triángulo   tal que

,

.

 es un punto del lado

 tal que

. Siendo el área del triángulo

y  un punto del lado

  igual a

, calcular el área del

triángulo

515) Escribir y deducir la formula de transformación en producto de la suma de los senos de dos arcos. 516) Simplificar la expresión:

os os  os snsn snsn    ot osos osos   osos   ̅ ̅ ̅                 ̅   

517) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

518) Hallar el arco

519) En un triángulo de hipotenusa

 que verifica la ecuación:  y catetos

  sobre la bisectriz del ángulo recto

ángulo

Cursil o π

, miden

y

, las proyecciones de los catetos

y

 ̅ 

, respectivamente. Calcular el

del triángulo dado.

57

y

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

1er Parcial 520) Definir: a) Triángulos equivalentes b) Apotema de un polígono regular c) Lugar geométrico 521) Demostrar: “Las áreas de dos triángulos que tienen un ángulo igual son entre sí como los productos de los lados que comprenden ese ángulo” . 522) Construir un cuadrado equivalente a un paralelogramo dado. Construcción y demostración. 523) Calcular el área del círculo cuya circunferencia se halla inscripta en un rombo cuyas diagonales miden  y .

   

 ̅   ̅    

  ̅ ̅ 



524) Se dan dos semicircunferencias de diámetro y , siendo . Por el punto  de la semicircunferencia menor se traza una perpendicular a la recta  que corta a la misma en el punto   y a la semicircunferencia mayor en el punto . Se trazan también las rectas determinadas por los puntos  y  y por los puntos  y . Demostrar que se verifica la relación .

  ̅  ̅ 

 

 

  



525) Deducir la fórmula para transformar en producto la suma de dos cosenos. 526) Reducir a su forma más simple:

 ot    sn  os  s os  os sn sn t s   sn os    os ott  os                

527) Efectuar transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

528) Hallar el menor valor positivo del arco  que verifica la ecuación:

529) El área de un triángulo  es igual a . Calcular el lado  opuesto al ángulo .

Cursil o π

58

. Dos de sus ángulos son

 y

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

Examen Final 

530) Definir: d) Ángulos exteriores de un polígono e) Figuras equivalentes f) Ángulo rectilíneo de un diedro g) Dodecaedro regular

̅ 

     ̅ ̅ ̅̅ 

531) Dado el paralelogramo un punto  de la diagonal Demostrar que

  





 

 y su diagonal , se traza una recta que pasa por el punto  y . Esta recta corta a la  en el punto  y al lado  en el punto . .



̅

 

  ̅  ̅

532) Por el punto de contacto de dos circunferencias tangentes (centros  y ) se trazan dos rectas  y  limitadas por las circunferencias. Demostrar que las cuerdas y  son paralelas.

   

 









 

533) La diferencia entre las diagonales de un rombo vale . Calcular su área, sabiendo que la misma excede en  al triple del área de un cuadrado de diagonal igual a la diagonal menor del rombo.

 

534) En un triedro cualquiera, trazar por su vértice una semirrecta que forme ángulos iguales con las aristas. Justificar el trazado.

Cursil o π

59

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

535) Demostrar que si una recta es paralela a un plano, todo plano perpendicular a la recta, es también perpendicular al plano dado.



 

   

536) Hallar el radio de lado de base.



de la esfera inscrita en la pirámide regular hexagonal de



 de altura y



537) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

 t  ot osot  snost      

538) Resolver la ecuación verifican la relación



, hallando todos los valores del arco  que

.

539) Calcular el ángulo  del triángulo

, sabiendo que se cumplen las relaciones:

   y   .

540) Escribir y deducir la formula que permita obtener el coseno de un arco teniendo de dato la tangente del mismo arco. 541) Deducir una formula que permita determinar







, exclusivamente en función de

542) El arco  es del segundo cuadrante y , del primero. Si

      y



 ,

utilizando las correspondientes formulas trigonométricas. Calcular

543) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar que:

                

544) Hallar el menor valor positivo del arco  que verifica la ecuación:

Cursil o π

60

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

545) Calcular el área del triángulo rectángulo





(  es la hipotenusa;  y  son los catetos )

 ̂

 sabiendo que:

     y

.

546) Demostrar: “Si un cuadrilátero tiene respectivamente iguales sus ángulos opuestos, es un paralelogramo”.

547) Demostrar que en todo triángulo, la recta que contiene a una mediana equidista de los vértices de los vértices por los que no pasa. 548) Demostrar que si en triángulo rectángulo, la hipotenusa es el doble del cateto menor, entonces un ángulo es el doble del otro. 549) Los ángulos interiores de un triángulo son proporcionales a los números 2; 3 y 4. Hallar la proporcionalidad de los respectivos ángulos exteriores. 550) Hallar el número de lados de un polígono regular tal que si tuviera 6 lados menos, la medida de un ángulo externo aumentaría en 80°. 551) En el triángulo

 ̂

rectas que contienen a las alturas

Cursil o π

      

, se tienen

y

 y

. Determinar el ángulo formado por las

.

61

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

Año: 2014 552) Definir: 1.1 Ángulo rectilíneo de un diedro. 1.2 Proyecto de una figura sobre un plano. 1.3 Prisma. 553) Demostrar: Dos rectas distintas perpendiculares a un mismo plano son paralelas. 554) El desarrollo de la superficie lateral de un prisma triangular regular, de 8 m de altura, es un rectángulo cuya diagonal mide 10 m. Calcular el área total del prisma.

   

555) Un punto   dista

  ̂   

  del plano del triángulo rectángulo

 ̂

pertenece a la recta perpendicular por   a dicho plano. Si determinar el área de superficie del triángulo .

, rectángulo en

, y

y

,

556) Determinar la distancia de un plano paralelo al de la base de un cilindro de revolución de altura H, radio de base R, que determina una sección de área de superficie igual a la media proporcional entre las áreas laterales de los dos cilindros determinados. 557) Demostrar: “Las áreas de dos triángulos que tienen un ángulo igual son entre si como los productos de los lados comprenden ese ángulo ”. 558) Construir un rombo inscrito en un triangulo de tal manera que uno de los ángulos del rombo coincida con uno de los ángulos del triangulo. Análisis, construcción y demostración. 559) Demostrar: “Si en un triángulo dos de sus medianas pertenecen a rectas perpendiculares, la suma del cuadrado de sus longitudes es igual al cuadrado de la longitud de la tercera mediana”.

 

560) En un trapecio isósceles circunscrito en una circunferencia, las bases miden y . Calcular la longitud del segmento de recta de extremos en los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados oblicuos. 561) En un círculo de centro

    y de

  de radio se considera el ángulo central

   

Calcular el área del círculo cuya circunferencia es tangente a los lados del ángulo



circunferencia de centro .

  de 60°. y a la

562) Deducir la formula del teorema de senos de ángulos de un triángulo.

Cursil o π

62

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

563) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la identidad:

               ̂         √         ̂            

564) Hallar el menor valor positivo del arco  que verifica la ecuación:

565) Calcular los catetos de un triángulo rectángulo que

y  catetos), sabiendo

 .

566) Calcular los tres lados del triángulo

Cursil o π

(  hipotenusa;

 con los siguientes datos:

63

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

1er Parcial 567) Definir: a) Ángulos adyacentes. b) Polígonos semejantes. c) Radio de un polígono regular. 568) Definir: a) Rectas perpendiculares. b) Triángulo c) Apotema de un polígono regular 569) Demostrar: “Si por un punto exterior a una circunferencia se consideran una recta tangente y una secante a la misma, el segmento de la recta tangente de extremos en el punto dado y el de tangencia es media proporcional entre los segmentos de la secante, de extremos en los puntos de intersección con la circunferencia y comunes en el punto dado”.

570) Demostrar: “Si dos rectas secantes se cortan en un punto interior de una circunferencia, el producto de los segmentos determinados en una de las cuerdas, es igual al de los determinados en la otra”.

571) Trazar una recta tangente común interior a dos circunferencias dadas. Construcción y demostración. 572) Calcular el área de un trapecio sabiendo que las bases miden oblicuos  y .

     

    y

  y los lados

573) Dos vértices consecutivos de un cuadrado están en un diámetro de la circunferencia de radio igual a . Calcular el perímetro del cuadrado, sabiendo que los otros dos vértices pertenecen a la circunferencia. 574) Deducir la formula que permita determinar la tangente de la diferencia de dos arcos. 575) Efectuando transformaciones exclusivamente en el primer miembro verificar la siguiente identidad:

               

576) Resolver la ecuación:

, sabiendo que:

577) La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina en la misma dos segmentos de  y . Determinar los lados y los ángulos agudos del triángulo. 578) Hallar los tres ángulos de un triángulo, sabiendo que:

Cursil o π

64

Ing. Raúl Martínez

TAA-MATEMÁTICA II

2do Parcial 579)

a) Bisector de un diedro. b) Superficie cilíndrica.

580)

a) Planos perpendiculares. b) Cuerpo poliedro convexo.

“Los smntos son proporionls “Si por l pi d un rt prpndiulr  un plno s onsidr l rt mniond rt ulquir dl plno      

581)

determinados en dos rectas por tres o mas planos paralelos,

582)

perpendicular a una recta cualquiera del plano, toda recta determinada por la intersección de estas dos y un punto de la recta perpendicular al plano, es perpendicular a la

583) Trazar por el vértice

  de un triedro equidisten de las aristas. Justificar.

, una semirrecta

  cuyos puntos

584) Un paralelepípedo rectángulo tiene

 de largo, de ancho y  de alto. Determinar el área total del cuerpo poliedro que tiene por vértices los centros de las caras del paralelepípedo.

585) La diagonal de un paralelepípedo rectángulo mide

√  

. Sabiendo que sus dimensiones son números naturales consecutivos, calcular el volumen.

     

586) Determinar el área total de una pirámide triangular de lados de base iguales a y

 

, sabiendo que tiene inscripto en ella un cono de revolución, de

587) El radio de la base de un cono de revolución mide

 

,  de generatriz.

. Sabiendo que el área lateral es

al área total como 145 es 169, calcular el volumen del cono.

588) Una esfera de radio R esta inscrita en un cono de revolución en el que el radio de la base es la mitad de la generatriz. Determinar un número que exprese la relación entre el volumen de la esfera y el volumen de cono.

589) El volumen del cuerpo limitado por dos superficies esféricas concéntricas mide

 

590) Un punto de la superficie esférica dista



 de un plano tangente a la misma y punto de tangencia. Calcular el volumen de la esfera.

Cursil o π

   

. Calcular los radios delas esferas, siendo la diferencia de los mismos igual a

65

Ing. Raúl Martínez

.

 del