Ejercicios Semanas Unidos1

DINAMICA

CINEMATICA PARTICULA

GRUPO N 04

DINAMICA TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA ALUMNO: GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 18/04/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 65

PROBLEMA Nº: 2.107

CLAVE:

Con los datos del problema (colocando variables) 1) Un automóvil incrementa su velocidad a una razón constante de v 0 mi/h en A, a v1 mi/h en B. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración t segundos después de que pasa por el punto A?

SOLUCION Utilizando la regla de la cadena obtenemos:

Dado que cambio de velocidad es constante, la aceleración será constante por consiguiente integramos y obtenemos:

Donde c es constante de integración: Para s = 0, v (0) = Reemplazando el valor de la velocidad en la ec (1).

De la ec (1) despejamos la aceleración:

Calculamos la distancia desde A hasta B

Y la velocidad en el punto B dada es:

Reemplazando en la ec (2) el valor de la velocidad y de la constante c, tenemos:

La velocidad en función del tiempo es:

Si integramos con respecto al tiempo la ec (3), vamos a obtener la ecuación del desplazamiento.

Ahora halamos la aceleración

Pero por teoría sabemos que:

Ahora bien: Donde ρ es el radio de curvatura. , derivando respecto al tiempo tenemos:

Reemplazando en ec (4)

[

| |

√

]

[

[

]

]

Con los datos del problema (sin variables) 2) Un automóvil incrementa su velocidad a una razón constante de 40 mi/h en A, a 60 mi/h en B. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración 2 s después de que pasa por el punto A

SOLLUCION Utilizando la regla de la cadena obtenemos:

Dado que cambio de velocidad es constante, la aceleración será constante por consiguiente integramos y obtenemos:

Donde c es constante de integración: Para s = 0, v (0) = Reemplazando el valor de la velocidad en la ec (1).

De la ec (1) despejamos la aceleración:

Calculamos la distancia desde A hasta B

Y la velocidad en el punto B dada es:

Reemplazando en la ec (2) el valor de la velocidad y de la constante c, tenemos:

La velocidad en función del tiempo es:

Si integramos con respecto al tiempo la ec (3), vamos a obtener la ecuación del desplazamiento.

Dos segundos después que pasa por el punto A, el automóvil tiene un recorrido y velocidad de:

S(2) = 132.94pies

Ahora para hallar la aceleración tangencial analizamos de la siguiente forma: La primera parte de la colina termina en.

Por lo que el coche en t=2s todavía se encuentra en la primera parte de la colina, por consiguiente el radio de curvatura ρ = 120pies.

Pero por teoría sabemos que:

Ahora bien: Donde ρ es el radio de curvatura. , derivando respecto al tiempo tenemos:

Reemplazando en ec (4)

Y

|a| = 46.63 pies/s2 COMPROBACIÓN Para comprobar reemplazamos los datos del problema anterior: V0 = 40mi/h V1 = 60mi/h T = 2s Ρ = 120pies Ө = 30º p= 120pies r= 100pies b= 80pies La aceleración será:

a= 7.8m/s2 La aceleración total: [

[

]

]

Ahora el módulo de la aceleración total es: | |

√

|α| = 46.63pies/2

DINAMICA TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA ALUMNO: GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 18/04/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 72

PROBLEMA Nº: 2.126

CLAVE:

Con los datos del problema (colocando variables): 1) Una embarcación que busca tesoros arqueológicos navega a “a” nudos y sigue la trayectoria , con en radianes (1 nudo = 1 milla náutica, o 1852m, por hora). Cuando , determine la velocidad de la embarcación (a) en coordenadas polares; (b) en coordenadas cartesianas.

Solución: a) Coordenadas polares Hallamos la velocidad ( ): ⁄ ⁄ ⁄

a

⁄

Vector posición ⃗ : ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

La velocidad en función de ⃗: ⃗ Para

̇

̇

̇ …..(1) ……. (2) . Actuando en ….. (3)

̇ pequeño:

Remplazar (3) en (2): ( ̇

) ̇

̇

….. (4)

Remplazando (4) en (1): ̇

̇

̇ ̇

Comparando: ̇ ̇

̇ ….. (5)

̇

Trabajando con

: ….. (6)

Remplazamos los valores en la Ecuación:

[

]

[ ( )]

Como

, para

→

( (

[ ( )] ……(7)

)

(

) √

Remplazamos el valor de

en (5) y(6):

√

√

√

√

b) Coordenadas cartesianas

Descomponiendo: [ [

]⃗ ]⃗

[ [

]⃗ ]⃗

)

En coordenadas cartesianas la velocidad: [ [

√

√

√

√

]⃗ ]⃗

Con los datos del problema (sin variables): 2) Una embarcación que busca tesoros arqueológicos navega a 4 nudos y sigue la trayectoria , con en radianes (1 nudo = 1 milla náutica, o 1852m, por hora). Cuando , determine la velocidad de la embarcación (a) en coordenadas polares; (b) en coordenadas cartesianas.

Solución: La velocidad a lo largo de su trayectoria es: ( (a)Su trayectoria es

⁄

)

La velocidad es: r=vector posición ⁄

La velocidad, se puede descomponer en sus dos componentes: (

(

)

)

(

(

)

)

Sabemos que

, (

Ahora sustituimos:

) (

(

)

(

)

) ⁄

√ ⁄ Hallamos

y

: ⁄

⁄

(b) Por geometría, los componentes cartesianos son:

⁄ ⁄ COMPROBACIÓN: Para: a=4 b=10 c=2 Parte (a): √

⁄

√ ⁄

√

Parte (b):

⃗

⃗

DINAMICA

NEWTON PARTICULA

GRUPO N 04

DINAMICA TEMA: NEWTON-PARTICULA ALUMNO: GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 02/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 121

PROBLEMA Nº: 3.51

EJERCICIO 01 (CON VARIABLES)

DESARROLLO

Una masa “m” gira alrededor de un poste vertical en una trayectoria horizontal de radio R. Si la magnitud de su velocidad es V. ¿Cuáles son las tensiones en las cuerdas A y B?

∑ ∑ ∑ Para las fuerzas tangenciales: ∑

Para las fuerzas normales: ∑

CLAVE:

Para las fuerzas en “b”: ∑

Resolviendo (I) - (III):

Resolviendo (II) - (IV):

EJERCICIO 02 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

Una masa m de 10 kg gira alrededor de un poste vertical en una trayectoria horizontal de radio R=1 m. Si la magnitud de su velocidad es V=3 m/s. ¿Cuáles son las tensiones en las cuerdas A y B?

∑ ∑ ∑ Para las fuerzas tangenciales: ∑

Para las fuerzas normales: ∑

Para las fuerzas en “b”: ∑

Resolviendo (I) - (II):

Reemplazando TB en (I):

COMPARACIÓN

Para: aº=35º bº=55º V=3 m/s R= 1 m m= 10 kg Hallando TA:

Hallando TB:

DINAMICA TEMA: NEWTON PARTICULA ALUMNO: GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 02/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 126

PROBLEMA Nº: 3.70

EJERCICIO 01 (CON VARIABLES)

CLAVE:

DESARROLLO

La barra lisa mostrada gira en el plano horizontal con velocidad angular constante (revoluciones por minuto). Si el collar A de m lb se suelta en pie sin velocidad radial, ¿cuál es la magnitud de su velocidad cuando llega al extremo de la barra?

La velocidad angular es: (

)(

⁄

)

Como la barra es lisa, entonces no existen fuerzas radiales; aplicamos la 2da ley de newton: ∑ Como la masa es constante, la que varia es la aceleración radial; por lo tanto la aceleración radial debe ser igual a cero:

…… (1) Usando la regla de la cadena:

….(2) Remplazamos (2) en (1):

∫

∫

∫ (

) (

(

)

)

)√

( La velocidad es igual:

)√

((

| |

√((

| |

| |

)

)√

√(

√(

(

)

)

(

)

(

(

)

))

)

⁄

EJERCICIO 01 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

La barra lisa mostrada gira en el plano horizontal con velocidad angular constante (revoluciones por minuto). Si el collar A de 2 lb se suelta en pie sin velocidad radial, ¿cuál es la magnitud de su velocidad cuando llega al extremo de la barra? La velocidad angular es: (

)(

)

⁄

Como la barra es lisa, entonces no existen fuerzas radiales; aplicamos la 2da ley de newton: ∑ Como la masa es constante, la que varia es la aceleración radial; por lo tanto la aceleración radial debe ser igual a cero:

…… (1) Usando la regla de la cadena:

….(2) Remplazamos (2) en (1):

∫

∫

∫ (

)

(√ )

La velocidad es igual:

| |

√ | |

⁄

COMPARACIÓN

Para: =60 r=1 R=2 m= 2 Hallando | | : √(

| |

| |

√( | |

⁄

)

⁄

) ⁄

√ | | | |

√

⁄ ⁄

DINAMICA

ENERGIA-PARTICULA

GRUPO N 04

DINAMICA TEMA: ENERGIA-PARTICULA ALUMNO: GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 02/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 155

PROBLEMA Nº: 4.28

EJERCIO 01 (CON VARIABLES)

CLAVE:

DESARROLLO Realizando el diagrama de cuerpo libre se obtiene:

Las masas de los tres bloques son ignore la masa de la barra que mantiene a C en reposo. La friccion es insignificante. Aplicando el PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGIA de A y B por separado, determine la magnitud de sus velocidades cuando se hayan movido s mm.

Dado que la polea es una sola se deduce que Llamemos z= s mm, que en metros es 0.s m. El principio de trabajo y energía para el peso A es: ∫

Y para el peso B seria: ∫

igualando las dos ecuaciones se obtiene:

Por lo tanto: √

EJERCIO 01 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO Realizando el diagrama de cuerpo libre se obtiene:

Las masas de los tres bloques son ignore la masa de la barra que mantiene a C en reposo. La friccion es insignificante. Aplicando el PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGIA de A y B por separado, determine la magnitud de sus velocidades cuando se hayan movido 500mm.

Dado que la polea es una sola se deduce que Llamemos b= 500mm, que en metros es 0.5m. El principio de trabajo y energía para el peso A es: ∫

Y para el peso B seria: ∫

igualando las dos ecuaciones se obtiene:

Por lo tanto: √

Reemplazando con los datos del problema: √

COMPROBACIÓN:

remplazando los valores de:

√

DINAMICA TEMA: ENERGIA-PARTICULA ALUMNO: GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 02/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 172

PROBLEMA Nº: 4.82

EJERCIO 02 (CON VARIABLES)

CLAVE:

DESARROLLO Dado que el sistema está en reposo calculamos el alongamiento inicial del resorte como sigue Si Dónde: w es el peso del anillo alongamiento inicial del resorte debido al peso del anillo

El sistema está en reposo en la posición mostrada, con el collarín A de W lb descansando sobre el resorte (k = P lb/pie), cuando una fuerza constante de T lb se aplica al cable. ¿Cuál es la velocidad del collarín cuando se ha desplazado d pies?

Cuando el collar se eleva d pies, el estiramiento es: (

)

Además la fuerza horizontal constante que actúa sobre el cable una distancia igual a: √ √ Ahora hallamos el trabajo realizado por todas las fuerzas del sistema La fuerza horizontal T lb, como esta fuerza es constante el trabajo se calcula mediante la formula (√

√

)

Fuerza en el resorte Fs, en la posición inicial el resorte esta comprimido

(por la acción del peso) y

[

(

) ]

peso W , como el peso actúa en sentido opuesto a su desplazamiento vertical, el trabajo es negativo; es decir,

Trabajo total. Es la sumatoria de todas las fuerzas cuando el bloque es desplazado d pies es entonces

∑

(√

√ [

) (

) ]

Para determinar la velocidad después de desplazarse el sistema d pies, aplicamos el principio de trabajo y energía. ∫ ∑

Si podemos determinar una función escalar de la posición V tal que ∑ Entonces también podemos evaluar la integral que define el trabajo: ∫ ∑

∫

De donde

Lo que significa que la suma de la energía y la función V (trabajo) es constante:

De la ecuación 2 podemos deducir también que:

∑ Del enunciado v1= 0, reemplazamos en ec.1 y tenemos, (√

√

√

[ (√

)

√

[

)

(

[

(

) ]

) ]

]

EJERCIO 02 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO Dado que el sistema está en reposo calculamos el alongamiento inicial del resorte como sigue Si Dónde: w es el peso del anillo alongamiento inicial del resorte debido al peso del anillo

El sistema está en reposo en la posición mostrada, con el Cuando el collar se eleva 1pie, el estiramiento es: collarín A de 12 lb descansando sobre el resorte Además la fuerza horizontal constante que actúa sobre el cable una (k = 20lb/pie), cuando una distancia igual a: fuerza constante de 30 lb se aplica al cable. ¿Cuál es la √ √ velocidad del collarín cuando se ha desplazado 1 pie? Ahora hallamos el trabajo realizado por todas las fuerzas del sistema La fuerza horizontal T = 30lb, como esta fuerza es constante el trabajo se calcula mediante la formula

Fuerza en el resorte Fs, en la posición inicial el resorte esta comprimido (por la acción del peso) y

[

]

peso W , como el peso actúa en sentido opuesto a su desplazamiento vertical, el trabajo es negativo; es decir,

Trabajo total. Es la sumatoria de todas las fuerzas cuando el bloque es desplazado 1 pie es entonces ∑ Para determinar la velocidad después de desplazarse el sistema 1pie, aplicamos el principio de trabajo y energía. ∫ ∑

Si podemos determinar una función escalar de la posición V tal que ∑ Entonces también podemos evaluar la integral que define el trabajo: ∫ ∑

∫

De donde

Lo que significa que la suma de la energía y la función V (trabajo) es constante:

De la ecuación 2 podemos deducir también que:

∑

Del enunciado v1= 0, reemplazamos en ec.1 y tenemos,

√

COMPROBACIÓN

Reemplazamos los valores de

P

√

√

[

[ (√

√

)

[

(√

√

)

[

√

(

) ]

(

]

) ]

]

DINAMICA

CANTIDAD DE MOVIMIENTO- PARTICULA

GRUPO N 04

DINAMICA TEMA: ENERGIA-PARTICULA ALUMNO: GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:09/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:190

PROBLEMA Nº: 5.2

EJERCIO 01 (CON VARIABLES)

CLAVE:

DESARROLLO

PARTE a) Del ejercicio la masa del vehículo es La aceleración en pies/s Un vehículo de w libras acelera del reposo a p millas por hora Ahora hallamos la velocidad en t segundos. (a) ¿Qué impulso se aplica al ∫ ∫ vehículo durante el tiempo t? (b) Si se supone como primera aproximación que la fuerza Dado que parte del reposo, = 0, tangencial ejercida sobre el Reemplazando en la ec (1), vehículo es constante, ¿cuál es la magnitud de la fuerza? Usando la relación entre el impulso y la cantidad de movimiento ∫ ∑ ∫ ∑ PARTE b) El promedio respecto al tiempo de la fuerza total que actúa sobre un cuerpo entre t1 y t2 es ∑

EJERCIO 01 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

PARTE a) Del ejercicio la masa del vehículo es

La aceleración en pies/s

Un vehículo de 2000 lb acelera Ahora hallamos la velocidad del reposo a 300 mi/h en 6 s. ∫ ∫ (a) ¿Qué impulso se aplica al vehículo durante los 6 s? (b) Si se supone como primera Dado que parte del reposo, = 0, aproximación que la fuerza Reemplazando en la ec (1), tangencial ejercida sobre el vehículo es constante, ¿cuál es la magnitud de la fuerza? Por la relación entre el impulso y la cantidad de movimiento ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ PARTE b) El promedio respecto al tiempo de la fuerza total que actúa sobre un cuerpo entre t1 y t2 es ∑

COMPROBACIÓN:

𝑤 𝑝

PARTE a) ∫ ∑

∫ ∑

∫ ∑ PARTE b)

𝑡

𝑙𝑏 𝑚𝑖 𝑠

DINAMICA TEMA: CANTIDAD DE MOVIMIENTO ALUMNO: GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:09/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:191

PROBLEMA Nº: 5.4

EJERCICIO 02 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO Trazando el diagrama de cuerpo libre:

El peso combinado de la motocicleta y el conductor es de 300lb. El coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos de la motocicleta y el camino es Suponga que el conductor parte del reposo y hace patinar la rueda trasera motriz. La fuerza normal entre la rueda trasera y el camino es de 250N (a) ¿Qué impulso ejerce la fuerza de fricción sobre la rueda trasera en 5s? (b) Si se ignoran otras fuerzas horizontales. ¿Qué velocidad se ∑ alcanza en 5s? ∫

∫

∫

⁄

CLAVE:

DESARROLLO EJERCICIO 02 (SIN VARIABLES) Trazando el diagrama de cuerpo libre:

El peso combinado de la motocicleta y el conductor es de lb. El coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos de la motocicleta y el camino es Suponga que el conductor parte del reposo y hace patinar la rueda trasera motriz. La fuerza normal entre la rueda trasera y el camino es de N a) ¿Qué impulso ejerce la fuerza de fricción sobre la rueda trasera en ? b) Si se ignoran otras fuerzas horizontales. ¿Qué velocidad se alcanza en ?

∑

∫

∫

∫

⁄

COMPARACIÓN

Para:

: ∫

∫

=

∫

⁄

DINAMICA TEMA: ENERGIA-PARTICULA ALUMNO: GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 09/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:191

PROBLEMA Nº: 5.11

EJERCIO 03 (CON VARIABLES)

La caja mostrada tiene una masa de M kilogramos y los coeficientes de fricción entre ella y la superficie inclinada son; μs yμk estático y cinético respectivamente. La caja parte del reposo y el malacate ejerce una tensión T newtons. (a) ¿Qué impulso se aplica a la caja durante t segundos en movimiento? (b) ¿Cuál es la velocidad de la caja después de t segundos?

CLAVE:

DESARROLLO DCL

PARTE A Sumatoria de fuerzas en dirección del movimiento del malacate (eje “x”) ∑ Del ejercicio → Del DLC

Ahora bien ∑

𝜃

Por definición de impulso sabemos que, “el impulso de una fuerza resultante se define como el producto de esta fuerza y el intervalo de tiempo”, matemáticamente se tiene ∫ ∑

∫

∫ ∑

(

)

PARTE B De la relación entre el impulso y la cantidad de movimiento ∫ ∑ Dado que parte del reposo

, para

∫ (

)

,y

EJERCIO 03 (SIN VARIABLES)

La caja mostrada tiene una masa de 120 kg Y los coeficientes de fricción entre ella y la superficie inclinada son; μs =0.6 Y μk = 0.5. La caja parte del reposo y el malacate ejerce una tensión T = 1220 N. (a) ¿Qué impulso se aplica a la caja durante el primer segundo de movimiento? (b) ¿Cuál es la velocidad de la caja después de 1 s?

DESARROLLO DLC

PARTE a) Sumatoria de fuerzas en dirección del movimiento del malacate (eje “x”) ∑ Del ejercicio T = 1120N, m=120kg → Del DLC

Ahora bien ∑ ∑ Por definición de impulso sabemos que, “el impulso de una fuerza resultante se define como el producto de esta fuerza y el intervalo de tiempo”, matemáticamente se tiene ∫ ∑

∫

∫ ∑ PARTE b) De la relación entre el impulso y la cantidad de movimiento ∫ ∑ Dado que parte del reposo ∫

, para

,y

COMPROBACIÓN

𝑀 μ μ

θ

𝑘𝑔 𝑁

𝑠 𝑚 𝑠

PARTE a) ∫ ∑

(

)

μ

[

∫ ∑

] ∫ ∑

121.7N.s

PARTE b) ( (

μ

) )

DINAMICA TEMA: CANTIDAD DE MOVIMIENTO ALUMNO: GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:02/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:240

PROBLEMA Nº: 5.33

EJERCICIO 04 (SIN VARIABLES)

CLAVE:

DESARROLLO PARTE a) Para el primer ladrillo

Un joven que pesa “a” lb está sentado en un carro de “b” lb y quiere simular una propulsión de reacción lanzando ladrillos desde el carro. Ignore las fuerzas horizontales sobre las ruedas. Si tiene “n”ladrillos de “c”lb cada uno y los lanza con una velocidad horizontal de “d” pie/s respecto al carro, determine la velocidad alcanzada (a) si lanza uno a la vez; (b) si los lanza juntos.

[

] [

]

[

]

[

]

Para el segundo ladrillo: [

]

[ [

[

]

](

)

[

]

](

)

[

]

[

](

)

[

]

Para el tercer ladrillo: [

]

[

]

[

][

]

[

]

[

][

]

[

[

]

][

]

[

]

Para el cuarto ladrillo: [

]

[

[

]

][ ] [

[

]

][ ]

[

[

]

][ ] [

]

Para el “n” ladrillo:

[

]

∑ PARTE b) [

[

] [

]

[

]

]

DESARROLLO EJERCICIO 04 (SIN VARIABLES)

PARTE a) Para el primer ladrillo

Un joven que pesa 80 lb está sentado en un carro de 20 lb y quiere simular una propulsión de reacción lanzando ladrillos desde el carro. Ignore las fuerzas horizontales sobre las ruedas. Si tiene tres ladrillos de 10 lb cada uno y los lanza con una velocidad horizontal de 10 pie/s respecto al carro, determine la velocidad alcanzada (a) si lanza uno a la vez; (b) si los lanza juntos.

[

] [

] [

[

]

]

Para el segundo ladrillo: [

]

[

[

]

[

](

[

)

Para el tercer ladrillo: [

]

[

][

][

]

[

]

] ]

]

]

]

][

[ [

]

] [

[

[

[

[ [

] ]

]

PARTE b) [

]

[

] [

[

]

]

COMPARACIÓN

Para:

PARTE a) ∑ ∑

PARTE b)

DINAMICA

VIBRACIONES

GRUPO N 04

DINAMICA TEMA:

VIBRACIONES

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:23/05/2012

CLAVE:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:495

PROBLEMA Nº: 10.10

DESARROLLO

DCL

EJERCIO 01 (CON VARIABLES)

Determine la frecuencia natural de vibración de la masa respecto a su posición de equilibrio.

Ahora hacemos sumatoria de fuerzas en x’ igual a cero ya que el sistema esta estático en su posición de equilibrio hallamos la frecuencia natural circular. ∑

√

De esta relación también podemos despejar la elongación del resorte “x”

Ahora se puede determinar fácilmente la frecuencia natural dado que es el numero de ciclos que tiene lugar por segundo es evidente que se relaciona con la frecuencia natural circular mediante la siguiente formula

√

√

DESARROLLO EJERCIO 01 (SIN VARIABLES)

Determine la frecuencia natural de vibración de la masa respecto a su posición de equilibrio si la masa es 4kg, Ө=20º y la constante del resorte es 64N/m.

Sabemos que la frecuencia natural “w” circular es

√ Remplazando datos tenemos √

Ahora que tenemos w podemos calcular la frecuencia f

COMPROBACIÓN:

Para comprobar remplazamos los datos en la solución del problema con variables

Para

Ahora calculamos la frecuencia

√

Remplazando datos √

DINAMICA TEMA:

VIBRACIONES

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:23/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:495

PROBLEMA Nº: 10.13

EJERCIO 02 (CON VARIABLES)

CLAVE:

DESARROLLO

Para determinar los momentos de inercia de un astronauta, se une una plataforma horizontal a una barra vertical de acero. El momento de inercia de la plataforma respecto a L es de akg-m-, y la frecuencia natural de las oscilaciones torsionales de la plataforma La frecuencia natural de la plataforma de carga es: descargada es de b Hz. Con el astronauta en la plataforma, la √ frecuencia natural de las oscilaciones torsionales es de c Hz. Despejamos k: ¿Cuál es el momento de inercia del astronauta respecto a L? ( ) ⁄ La frecuencia natural de la plataforma cargada es: √ ( (

) )

El momento de inercia del astronauta es:

EJERCIO 02 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

Para determinar los momentos de inercia de un astronauta, se une una plataforma horizontal a una barra vertical de acero. El momento de inercia de la plataforma respecto a L es de 7.5 kg-m-, y la frecuencia natural de las oscilaciones torsionales de la plataforma descargada es de 1 Hz. Con el astronauta en la plataforma, la frecuencia natural de las La frecuencia natural de la plataforma de carga es: oscilaciones torsionales es de 0.520 Hz. ¿Cuál es el momento de inercia √ del astronauta respecto a L? Despejamos k: (

)

⁄ La frecuencia natural de la plataforma cargada es: √ ( (

) )

El momento de inercia del astronauta es:

COMPROBACIÓN: Para los valores de :

a=7.5 b=1 c=0.520 El momento de inercia del astronauta es:

DINAMICA TEMA: VIBRACIONES ALUMNO: GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 23/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 495

PROBLEMA Nº:

EJERCIO 03 (CON VARIABLES)

CLAVE:

10.14

DESARROLLO Podemos escribir la energía cinética de la barra y del disco

El péndulo mostrado consiste en un disco homogéneo de M en kg, unido a una barra esbelta de m en kg. ¿Cuál es la frecuencia natural de las pequeñas vibraciones del péndulo?

[(

)

(

)]

Donde: m=masa de la varilla M=masa del disco L=longitud de la barra R=radio de la esfera Ahora calculamos la energía potencial de la barra y la esfera

Ahora si sumamos la energía cinética y potencial será constante(por ley de conservación de la energía)

[(

)

]

[

]

Si derivamos la ecuación anterior respecto al tiempo tenemos

[[(

)

(

)] [

]

]

Dándole la forma de la ecuación general

[

[ [(

]

)

(

)]

Por tratarse de oscilaciones pequeñas frecuencia natural circular

√

[ [(

)

]

, así hallamos la

] (

)]

Ahora para la frecuencia aplicamos la relación entre la frecuencia natural circular (w) y la frecuencia natural f

√

[(

) [

(

)] ]

DESARROLLO

Podemos escribir la energía cinética de la barra y del disco EJERCIO 03 (SIN VARIABLES)

[(

) ]

El péndulo mostrado consiste en un disco homogéneo de 1 kg unido a una barra esbelta de 0.2 kg. ¿Cuál es la frecuencia natural de las pequeñas vibraciones del péndulo?

Ahora calculamos la energía potencial de la barra y la esfera

Si derivamos la ecuación anterior respecto al tiempo tenemos [(

√

)

]

COMPROBACIÓN:

Donde: m=0.2kg M=1kg L=0.06m R=0.05m g=9.81m/s2

√

√

[(

)

(

[

[(

) [

)] ]

(

)] ]

DINAMICA TEMA: VIBRACIONES ALUMNO: GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 23/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 496

PROBLEMA Nº: 10.16

DESARROLLO EJERCIO 04 (CON VARIABLES)

El radio del disco mostrado es y su momento de inercia es . Y . El cable no se desliza respecto al disco. La coordenada x mide el desplazamiento de la masa respecto a la posición en que el resorte no está estirado. ¿cuales son el periodo y la frecuencia natural de las vibraciones verticales de la masa respecto a su posición de equilibrio?

√

√

√

√

CLAVE:

EJERCIO 04 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

El radio del disco mostrado es y su momento de inercia es . Y . El cable no se desliza respecto al disco. La coordenada x mide el desplazamiento de la masa respecto a la posición en que el resorte no está estirado. ¿Cuales son el periodo y la frecuencia natural de las vibraciones verticales de la masa respecto a su posición de equilibrio?

√

√

COMPROBACIÓN:

N/m REEMPLAZAMOS:

√

√

√

√

√

√

√

DINAMICA TEMA: VIBRACIONES ALUMNO: GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 23/05/2012

CLAVE:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 496

PROBLEMA Nº: 10.17

DESARROLLO EJERCIO 05 (CON VARIABLES)

La energía cinética es la suma de la energía cinética de la plataforma P y de los cilindros homogéneos. (

La plataforma P de kg mostrada descansa sobre cuatro rodillos. Éstos se pueden representar como cilindros homogéneos de kg con r mm de radio; k=bN/m. ¿Cuál es la frecuencia natural de las vibraciones horizontales de la plataforma respecto a su posición de equilibrio?

)

(

)

(

)

La energía potencial es la energía almacenada en el resorte:

Sabemos que: y Dado que es sistema es conservativo, T+V=const. Sustituimos en la relación de la energía cinética y se reduce: ( )(

)(

)

( )

)(

)

Derivamos con respecto al tiempo: ( ) [(

)

{(

( )(

) [(

(

)(

) [(

)(

}] )

]

)

]

Hay dos posibles soluciones: (

)

(

)(

(

)(

Dividimos entre (

):

( (

) )

Pero R=r mm=0.001(r)m (

)

)

(

)

)

La primera puede ser ignorada, a partir de la cual la ecuación del movimiento es:

√

√ Para un cilindro homogéneo:

Entonces: √

√ Simplificamos

y

:

√ ⁄

√ La frecuencia es: √

EJERCIO 05 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

La energía cinética es la suma de la energía cinética de la plataforma P y de los cilindros homogéneos. Llamaremos por La plataforma P de 22kg mostrada referencia a la plataforma con el subíndice P y a los rodillos con el descansa sobre cuatro rodillos. subíndice B: Éstos se pueden representar como ( ) ( ) ( ) cilindros homogéneos de 1 kg con 30 mm de radio; k=900N/m. ¿Cuál La energía potencial es la energía almacenada en el resorte: es la frecuencia natural de las vibraciones horizontales de la plataforma respecto a su posición Sabemos que: de equilibrio? y Dado que es sistema es conservativo, T+V=const. Sustituimos en la relación de la energía cinética y se reduce: ( )(

)(

)

( )

)(

)

Derivamos con respecto al tiempo: ( ) [(

)

{(

( )(

) [(

(

)(

) [(

}] )

)(

]

)

]

Hay dos posibles soluciones: (

)

( (

)( )(

Dividimos entre (

):

(

)

(

)

Pero R=0.03m (

) (

)

)

(

)

)

La primera puede ser ignorada, a partir de la cual la ecuación del movimiento es:

√ Para un cilindro homogéneo:

Entonces: √

√ La frecuencia es:

⁄

COMPROBACIÓN: Para los valores de : =22 =1 b=900 La frecuencia es: √

√

√

DINAMICA TEMA:

VIBRACIONES

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

FECHA: 23/05/2012 498

CLAVE:

PROBLEMA Nº: 10.27

DESARROLLO El sistema es conservador, denotemos las velocidades de rotacion ̀ respectivamente. La energía cinetica de los engranajes por ̀ es: EJERCIO 06 (CON VARIABLES)

̀

̀

Y la energia potencial de torsion es: Pero:

Los momentos de inercia de los engranes A y B mostrados son lA elB El engrane Aestá conectado a Entonces: un resorte torsional con k constante. ¿Cuál es la frecuencia natural de las pequeñas vibraciones angulares de los engranes? Sabemos que:

̀

(

(

) ̀

(

)

)

̀

̀

Y tomamos la derivada con respecto a tiempo: (

)(

(

)

)

(

)(

(

)

)

Ignorando la posible solución

Entonces:

Donde: √

√

(

(

)

)

La frecuencia es:

(

)

√

(

(

)

)

DESARROLLO

EJERCIO 06 (SIN VARIABLES)

El sistema es conservador, denotemos las velocidades de rotacion ̀ respectivamente. La energía cinetica de los engranajes por ̀ es: ̀

̀

Y la energia potencial de torsion es: Los momentos de inercia de los engranes A y B mostrados son lA= 0.025 kg.m2, lB= 0.100 kg-m2, El Pero: engrane A está conectado a un resorte torsional con k = 10N-m/rad constante. ¿Cuál es la frecuencia natural de las pequeñas vibraciones Entonces: angulares de los engranes?

̀

( (

(

) ̀

(

)

(

) )

)

Sabemos que: ̀

̀

Y tomamos la derivada con respecto a tiempo: (

)(

(

Ignorando la posible solución

Entonces:

Donde: √ La frecuencia es:

)

)

COMPROBACIÓN:

Para los valores de

(

(

(

)

)

√

√

)

√

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

)

)

DINAMICA TEMA:

VIBRACIONES

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 23/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 498

PROBLEMA Nº:

EJERCIO 07 (CON VARIABLES)

Los momentos de inercia de engranes A y B mostrados e engrane A esta conectado a resorte torsional con

CLAVE:

10.28

DESARROLLO

(

los son el un

(

)

√

En , el resorte torsional no esta estirado y el engrane B tiene velocidad angular antihoraria de Determine la posicion angular antihoraria del engrane B respecto a su posicion de equilibrio en funcion del tiempo.

)

(

(

( )

( )

(

)

)

)

( ) ( )

√

(

( )

)

( ) √ √

(

( )

)

(

(

( )

) )

EJERCIO 07 (SIN VARIABLES) Los momentos de inercia de los engranes A y B mostrados son e el engrane A esta conectado a un resorte torsional con En , el resorte torsional no esta estirado y el engrane B tiene velocidad angular antihoraria de Determine la posicion angular antihoraria del engrane B respecto a su posicion de equilibrio en funcion del tiempo.

DESARROLLO

(

)

√

(

)

COMPROBACIÓN:

(

√

(

( )

(

)

)

(

( )

)

√

)

( ) √ √

(

( )

)

(

(

( )

) )

DINAMICA TEMA:

VIBRACIONES

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 23/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 506

PROBLEMA Nº:

EJERCIO 08 (CON VARIABLES)

La constante de amortiguamiento del oscilador mostrado es eN-s/ m. ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia natural del sistema? Compárelos con el periodo y la frecuencia natural del sistema no amortiguado. Donde la constante del resorte es kN/m,

k

CLAVE:

10.38

DESARROLLO Nos piden su frecuencia natural, dado que tiene un amortiguador hallaremos primero las frecuencias naturales circulares del resorte y amortiguador, para luego hallar obviamente la frecuencia natural. DLC

Frecuencia natural circular del resorte y frecuencia de amortiguamiento ∑

Donde

√

Hallamos la frecuencia natural circular

√

De manera similar para el amortiguador o frecuencia amortiguada

Como podemos ver , por lo que el movimiento es subcritico o sobre amortiguado

√

√

Ahora

el

periodo √

Si comparamos con el sistema sin amortiguador tenemos La frecuencia en el sistema sin amortiguador seria

√

Y el periodo

√

DESARROLLO

EJERCIO 08 (SIN VARIABLES)

Nos piden su frecuencia natural, dado que tiene un amortiguador hallaremos primero las frecuencias naturales circulares del resorte y amortiguador, para luego hallar obviamente la frecuencia natural. DLC

La constante de amortiguamiento del oscilador mostrado es e = 20 Ns/ m. ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia natural del sistema? Compárelos con el periodo y la frecuencia natural del sistema no amortiguado. Frecuencia natural amortiguamiento

circular del

resorte

y frecuencia de

∑

√

Donde

Hallamos la frecuencia natural circular

√

√

De manera similar para el amortiguador o frecuencia amortiguada

Como podemos ver o sobre amortiguado

, por lo que el movimiento es subcritico √

√

√

√

Ahora calculamos el periodo

Si comparamos con el sistema sin amortiguador tenemos La frecuencia en el sistema sin amortiguador seria

Y el periodo

COMPROBACIÓN: Para:

𝑒 𝑘

𝑁 𝑚

𝑀

𝑘𝑔

Las frecuencias con amortiguador

√ √

La frecuencia en el sistema sin amortiguador seria

√

Ahora

√

el

periodo

√

√

Si comparamos con el sistema sin amortiguador tenemos

Y el periodo sin amortiguador

√

√

con

amortiguador

DINAMICA TEMA:

VIBRACIONES

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 23/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 506

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

10.42

DESARROLLO EJERCIO 09 (CON VARIABLES)

En la Fig. la barra esbelta homogénea tiene L pies de longitud y pesa w lb. La resistencia aerodinámica y la fricción en el soporte ejercen un momento resistente sobre la barra de magnitudy( ) pie-lb, donde ( es la velocidad angular de la barra en s. (a)¿Cuáles son el periodo y la frecuencia natural de las pequeñas vibraciones de la barra? (b)¿Cuánto tiempo pasa antes de que la amplitud de la vibración disminuya a la mitad de su valor inicial?

PARTE a)

∑

.

De la ecuación movimiento es

anterior

la

ecuación (lineal

izada) de

Esto es de la forma de la ecuación de un sistema con amortiguamiento donde

√ Y la frecuencia del amortiguamiento es

Suponemos que , por lo que el movimiento es subcritico o sobre amortiguado √

√

Ahora la frecuencia y el periodo

√

√

PARTE b) Nos piden la amplitud en la mitad de su valor inicial, dado que la amplitud es proporcional a hacemos

DESARROLLO

EJERCIO 09 (SIN VARIABLES)

En la Fig. 10.42 la barra esbelta homogénea tiene 4 pies de longitud y pesa 10 lb. La resistencia aerodinámica y la fricción en el soporte ejercen un momento resistente sobre la barra de magnitud 0.5 ( ) pie-lb, donde ( es la velocidad angular de la barra en s. (a)¿Cuáles son el periodo y la frecuencia natural de las pequeñas vibraciones de la barra? (b)¿Cuánto tiempo pasa antes de que la amplitud de la vibración disminuya a la mitad de su valor inicial?

PARTE a) ∑

.

La ecuación (lineal izada) de movimiento es

Esto es de la forma de la ecuación de un sistema con amortiguamiento donde

√

√

Y la frecuencia del amortiguamiento es

Como podemos ver o sobre amortiguado

, por lo que el movimiento es subcritico √

√

Con los datos anteriormente obtenidos ya podemos hallar fácilmente la frecuencia natural y el periodo tal como nos piden en el ejercicio

PARTE b) La amplitud en la mitad de su valor inicial, dado que Como la amplitud es proporcional a

COMPROBACIÓN:

PARTE a) Para la frecuencia natural

√

√

(

)

Para el periodo

√

√

(

)

PARTE b) El tiempo que pasa antes de que la amplitud de la vibración disminuya a la mitad de su valor inicial

DINAMICA TEMA:

VIBRACIONES

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 23/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 507

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

10.47

DESARROLLO

EJERCIO 10 (CON VARIABLES)

Elegimos un sistema de coordenadas con el origen en el centro del disco. es el ángulo de rotación. Las fuerzas horizontales que actúan en el disco son

El disco homogéneo mostrado pesa ∑ “P” lb y su radio es R pie. Rueda sobre la superficie plana. k = “a” ∑ lb/pie y c = “h” lb-s/pie. Determine la frecuencia natural de las Por la segunda ley de newton: pequeñas vibraciones del disco respecto a su posición de equilibrio. ∑ El momento alrededor del centro de masa del disco es: ∑ Por la ecuación del movimiento angular:

Donde el momento de inercia es:

Entonces:

Pero: A partir de la ecuación del movimiento: ( La ecuación general es:

)

Comparando:

(

)

(

)

La amortiguación es sub-critica, por lo tanto la frecuencia es: √ √(

)

(

)

DESARROLLO

Elegimos un sistema de coordenadas con el origen en el centro del disco. es el ángulo de rotación. Las fuerzas horizontales que actúan en el disco son EJERCIO 10 (SIN VARIABLES)

∑ ∑

El disco homogéneo mostrado pesa Por la segunda ley de newton: 100 lb y su radio es R = 1 pie. ) ∑ Rueda sobre la superficie plana. k = ( 100 lb/pie y c = 3 lb-s/pie. Determine la frecuencia natural de las pequeñas vibraciones del disco respecto a su posición de equilibrio. El momento alrededor del centro de masa del disco es: ∑ Por la ecuación del movimiento angular:

Donde el momento de inercia es: ⁄ Pero: Entonces:

A partir de la ecuación del movimiento:

La ecuación general es:

Comparando:

La amortiguación es sub-critica, por lo tanto la frecuencia es: √

COMPROBACIÓN:

P=100 lb R=1 pie a=100 lb/pie h=3 lb.s/pie g=32.2 pie/s2 √(

)

(

)

DINAMICA TEMA:

VIBRACIONES

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 23/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 507

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

10.48

DESARROLLO DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

EJERCIO 11 (CON VARIABLES)

El disco homogéneo mostrado pesa y su radio es . Rueda obre la superficie plana y . El resorte no está estirado en t=0 y el disco tiene una velocidad angular horaria de ¿cuál es la velocidad angular del disco cuando t=ms?

Donde

El sistema es un amortiguamiento subcritico: Donde: √

̇ ⁄ ̇

̇ ⁄ ̇

̇

(

̇

) ̇

̇

̇ . ̇

DESARROLLO DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

EJERCIO 11 (SIN VARIABLES)

El disco homogéneo mostrado pesa y su radio es . Rueda obre la superficie plana y . Donde El resorte no está estirado en t=0 y el disco tiene una velocidad angular horaria de ¿cuál es la El sistema es un amortiguamiento subcritico: velocidad angular del disco cuando t=3s? Donde: √ ̇ ⁄ ̇

̇ ⁄ ̇

̇

(

̇

) ̇

̇

̇ . ̇

COMPROBACIÓN:

. . t=ms= 3s

Donde

Donde: √ ̇ ⁄ ̇

̇ ⁄ ̇

̇

(

̇

) ̇

̇

̇

. ̇

DINAMICA TEMA:

VIBRACIONES

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 23/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 10.57

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

518

DESARROLLO Escribiendo la segunda ley de Newton para la masa, la ecuación del movimiento es: EJERCIO 12 (CON VARIABLES) En la figura, el oscilador resorte- Que podemos escribir como: masa amortiguado está inicialmente ….. (1) en reposo con el resorte no estirado. a) Buscamos una solución particular de la forma En t=0 se aplica una fuerza constante. Lo sustituimos en la ecuación (1): constante de P N a la masa. a) ¿Cuál es la solución (particular) de estado permanente? b) Determine la posición de la masa en función del tiempo

, que es

b) Comparamos la ecuación (1) con la ecuación del movimiento

Obtenemos: 

⁄



⁄

√

El sistema estáAmortiguado subcrítico yla homogéneaestá dada porla ecuación: ….. (2) Para resolver, hallamos con la siguiente ecuación: √(√ )

√ √

(

)

solución

√

⁄

La solución general es: (

√

√

)

Derivamos en función del tiempo: (

√

√

(

√

) √

√

√

)

⁄

Para t=0, x=0, y

√

√

√ La solución general es: (

√ √

√

)

DESARROLLO Escribiendo la segunda ley de Newton para la masa, la ecuación del movimiento es:

EJERCIO 12 (SIN VARIABLES)

Que podemos escribir como:

….. (1) a) Buscamos una solución particular de la forma , que es En la figura, el oscilador resortemasa amortiguado está inicialmente constante. Lo sustituimos en la ecuación (1): en reposo con el resorte no estirado. En t=0 se aplica una fuerza constante de 1.2 N a la masa. a) ¿Cuál es la solución (particular) de estado permanente? b) Comparamos la ecuación (1) con la ecuación del movimiento b) Determine la posición de la masa en función del tiempo Obtenemos:  

⁄ √

⁄

El sistema está Amortiguado subcrítico y la solución homogénea está dada por la ecuación: ….. (2) Para resolver, hallamos con la siguiente ecuación: √ √ ⁄ La solución general es:

Derivamos en función del tiempo:

Para t=0, x=0, y ⁄ → 0=B+1, y 0=-B + 1.73A. Entonces los valores son: A=-0.57735 y B=-0.5. La solución general es:

COMPROBACIÓN: Para los valores de:

P=12 a=12 b=6 m=3 a) ¿Cuál es la solución (particular) de estado permanente?

b) Determine la posición de la masa en función del tiempo

( (

(

√

√

√

√

)

√

)

√ √

√

√ (

√ √

√

)

)

DINAMICA TEMA:

VIBRACIONES

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 23/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 519

PROBLEMA Nº:

EJERCIO 13 (CON VARIABLES)

CLAVE:

10.62

DESARROLLO

En intervalo de tiempo entre la aparición de los vórtices es: Un cilindro de “m” kg está montado sobre una barra en un túnel de viento con su eje transversal a la dirección del flujo. Sin flujo, una fuerza vertical de “b” N aplicada al cilindro lo deflexiona El periodo sinusoidal seria 2t “x”mm. Con flujo de aire en el túnel, los vórtices someten al ( ) cilindro a fuerzas laterales alternantes. La velocidad del aire es Frecuencia: de “V” m/s, la distancia entre vórtices es de “a” mm y la magnitud de las fuerzas laterales es de “c” N. Si las fuerzas laterales se modelan con la función oscilatoria F(t) = “c”senwotN, ¿cuál es la La frecuencia circular es: amplitud del movimiento lateral de estado permanente del cilindro? (

)

La constante del resorte es:

La frecuencia natural del cilindro es:

√

√

De lo cual:

(

√

√

)

De la ecuación:

De la ecuación, la amplitud es:

(√

)

(

)

DESARROLLO EJERCIO 13 (SIN VARIABLES) Un cilindro de 1.5 kg está montado sobre una barra en un túnel de viento con su eje transversal a la dirección delflujo. Sin flujo, una fuerza vertical de 10N aplicada al cilindro lo deflexiona 0.15 mm.Con flujo de aire en el túnel, los vórtices someten al cilindro a fuerzas laterales alternantes. La velocidad del aire es de 5 mis, la distancia entre vórtices es de 80 mm y la magnitud de las fuerzas laterales es de 1 N. Si las fuerzas laterales se modelan con la función oscilatoria F(t) = (1.0) senwotN, ¿cuál es la amplitud del movimiento lateral de estado permanente del cilindro?

En intervalo de tiempo entre la aparición de los vórtices es:

El periodo sinusoidal seria 2t

Frecuencia:

La frecuencia circular es:

La constante del resorte es:

La frecuencia natural del cilindro es: √ De lo cual:

De la ecuación:

De la ecuación, la amplitud es:

√

COMPROBACIÓN:

[

]

DINAMICA TEMA:

VIBRACIONES

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 23/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 519

PROBLEMA Nº:

EJERCIO 14 (CON VARIABLES)

CLAVE:

10.65

DESARROLLO El desplazamiento es igual:

La masa de la Figura es de m kg. k = k N/m y c= c N-s/m. La base está sometida a un desplazamiento ⁄ por lo oscilatorio de frecuencia circular La aceleración de la masa respecto a la base es = rad/s. La amplitud de estado que su aceleración respecto al marco de referencia inercial es ⁄ ⁄ .La segunda ley de Newton para la masa permanente del desplazamiento de la masa respecto a la base se mide y es: se obtiene el valor de amm. ¿Cuál ( ) es la amplitud del desplazamiento de la base?

Podemos escribir la ecuación como:

Donde:  

El desplazamiento de la masa respecto a la base es:

√

√(

√(( )

√

)

( )

)

(

)

√

√ √

EJERCIO 14 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO El desplazamiento es igual:

La masa de la Figura es de 100 kg. k = 4 N/m y c= 24 N-s/m. La base La aceleración de la masa respecto a la base es ⁄ por lo está sometida a un desplazamiento que su aceleración respecto al marco de referencia inercial es oscilatorio de frecuencia circular ⁄ ⁄ .La segunda ley de Newton para la masa =0.2 rad/s. La amplitud de estado permanente del desplazamiento de es: la masa respecto a la base se mide y ( ) se obtiene el valor de 200 mm. ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento de la base? Podemos escribir la ecuación como:

Donde: 

⁄ ⁄



El desplazamiento de la masa respecto a la base es:

√

√

√

COMPROBACIÓN:

c=24 k=4 m=100 =0.2 a=200 √ √ √ √

DINAMICA TEMA:

VIBRACIONES

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 23/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 520

PROBLEMA Nº:

10.66

DESARROLLO

EJERCIO 15 (CON VARIABLES) La coordenada del sismógrafo mostrado mide el movimiento local horizontal del suelo. La coordenada Ximide la posición de la masa respecto al marco del sismógrafo. El resorte no está estirado cuando x=0. La masa “m” kg, la constante del resorte es “k” N/m y c=pN.s/m. Suponga que el sismógrafo está inicialmente en reposo y que en t=0 se somete a un movimiento oscilatorio del terreno Xi=bsenhtmm. ¿Cuál es la amplitud de la respuesta de estado permanente de la masa? Donde:

La amplitud es: √

√(

)

(

CLAVE:

)

EJERCIO 15 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

La coordenada del sismógrafo mostrado mide el movimiento local horizontal del suelo. La coordenada Ximide la posición de la masa respecto al marco del sismógrafo. El resorte no está estirado cuando x=0. La masa 1 kg, k=10 N/m y c=2 N.s/m. Suponga que el sismógrafo está inicialmente en reposo y que en t=0 se somete a un movimiento oscilatorio del terreno Xi=10 sen2t mm. ¿Cuál es la amplitud de la respuesta de estado permanente de la masa?

Donde:

La amplitud es: √ √

COMPROBACIÓN:

√(

)

(

)

√(

)

[

]

DINAMICA TEMA:

VIBRACIONES

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

FECHA: 23/05/2012 527

PROBLEMA Nº:

DESARROLLO

EJERCIO 16 (CON VARIABLES)

La frecuencia del oscilador resortemasa mostrado es de m.00Hz. El oscialador se introduce en un barril de aceite y su frecuencia es entonces de n. ¿ cuál es el decremento logaritmico de las vibraciones de la masa en tal condicion

De la ecuación: √ Despejando d=√ Por lo tanto el decremento logarítmico será: √

CLAVE:

10.76

EJERCIO 16 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

La frecuencia del oscilador resortemasa mostrado es de 4.00Hz. El oscialador se introduce en un barril de aceite y su frecuencia es entonces de 3.80Hz. ¿ cuál es el decremento logaritmico de las vibraciones de la masa en tal condicion?

De la ecuación: √ Despejando d=7.85 rad/s Por lo tanto el decremento logarítmico será:

COMPROBACIÓN:

De la ecuación: √ Despejando d=7.85 rad/s Por lo tanto el decremento logarítmico será:

DINAMICA

CINEMATICA -SOLIDO

GRUPO N 04

DINAMICA TEMA:

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 30/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 238

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

6.2

DESARROLLO

EJERCICIO 01 (CON VARIABLES)

Parte a) El disco esta sometido a rotación respecto a un eje fijo que pasa por su centro. Por lo que el disco tiene un movimiento circular La aceleración tangencial del disco es la misma que la aceleración de la cuerda dado que está enrollada al disco y es tangente a éste. Por tanto la aceleración angular del disco es:

En la Fig. P6.2, el peso A parte del reposo en t = O y cae con una aceleración constante de am/ s2, ocasionando que el disco gire. (a) ¿Cuál es la aceleración angular del disco? (b) ¿Cuántas revoluciones ha girado el disco en t segundos?

Parte b) El objetivo es hallar el ángulo que a girado el disco desde t=0s hasta t segundos Primero hallamos la velocidad “w” angular del disco La velocidad angular del disco se determina a partir de , ya que esta ecuación relaciona α, t y w. integrando, con la condición que nos dan en el problema (parte del reposo), α=0 en t=0, obtenemos.

∫

∫

Usando este resultado, la posición angular

puede hallarse con

Ya que la ecuación relaciona , w y t. Integrando, con la condición inicial que el problema nos da de forma implícita =0 en t=0

∫

∫

Luego el número de revoluciones que a dado el disco en t segundos es

DESARROLLO Parte a) El disco esta sometido a rotación respecto a un eje fijo que pasa por su centro. Por lo que el disco tiene un movimiento circular La aceleración tangencial del disco es la misma que la aceleración de la cuerda dado que está enrollada al disco y es tangente a éste. Por tanto la aceleración angular del disco es: EJERCICIO 01 (SIN VARIABLES)

En la Fig. P6.2, el peso A parte del reposo en t = O y cae con una aceleración constante de 2 m/ s2, ocasionando que el disco gire. (a) ¿Cuál es la aceleración angular del disco? (b) ¿Cuántas revoluciones ha girado el disco en t 1 s?

Parte b) El objetivo es hallar el ángulo que a girado el disco desde t=0s hasta t=1s, para luego calcular las revoluciones en t=1s Primero hallamos la velocidad angular del disco “w” La velocidad angular del disco se determina a partir de , ya que esta ecuación relaciona α, t y w. integrando, con la condición que nos dan en el problema α=0 en t=0, obtenemos.

∫

∫

Usando este resultado, la posición angular

puede hallarse con

Ya que la ecuación relaciona , w y t. Integrando, con la condición inicial que el problema nos da de forma implícita =0 en t=0

∫

∫

Luego el numero de revoluciones que a dado el disco en t=1s es

COMPROBACIÓN:

PARA LOS VALORES DE:

PARTE A)

PARTE B)

DINAMICA TEMA:

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

EJERCICIO 02 (CON VARIABLES)

En la figura, la rueda catalina de de la bicicleta gira a . ¿cuál es la velocidad angular del engrane de Cmm?´

NOTA : FECHA: 30/05/2012 238

PROBLEMA Nº:

DESARROLLO

6.4

CLAVE:

DESARROLLO

EJERCICIO 02 (SIN VARIABLES)

En la figura, la rueda catalina de 120 de la bicicleta gira a . ¿cuál es la velocidad angular del engrane de 45mm?

COMPROBACIÓN:

DINAMICA TEMA:

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

FECHA: 30/05/2012 238

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

6.6

DESARROLLO

EJERCICIO 03 (CON VARIABLES)

El disco mostrado gira con velocidad angular constante antihoraria de w rad/s. ¿Cuál es la velocidad y aceleración del punto A con respecto al sistema coordenado que se muestra?

HALLANDO LA VELOCIDAD Hallamos la magnitud del radio vector del punto A. √

√

Su posición angular inicial es. ( ) Ahora hallamos la velocidad del punto A, usando la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial del disco dado a que la velocidad angular w rad/s (constante)

(

√ )

Convirtiendo a pies/s tenemos que la velocidad es (

√ )

Ahora que ya tenemos la magnitud de la velocidad del punto A pasamos a hallar sus componentes de ésta en los ejes x e y. Por dato sabemos que el punto A se mueve en sentido antihorario por lo que su signo lo consideraremos como negativo. (

√

√

)

HALLANDO LA ACELERACION Para calcular la aceleración usamos velocidad es constante

, dado que la

Convirtiendo a pies/s

La aceleración expresada vectorialmente en sus componentes es (

)

DESARROLLO

EJERCICIO 03 (SIN VARIABLES)

El disco mostrado gira con velocidad angular constante antihoraria de 10 rad/s. ¿Cuál es la velocidad y aceleración del punto A con respecto al sistema coordenado que se muestra?

HALLANDO LA VELOCIDAD Hallamos la magnitud del radio vector del punto A. √ Su posición angular inicial es. ( ) Ahora hallamos la velocidad del punto A, usando la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial del disco dado a que la velocidad angular w=10rad/s (constante)

Convirtiendo a pies/s tenemos que la velocidad es

Ahora que ya tenemos la magnitud de la velocidad del punto A pasamos a hallar sus componentes de ésta en los ejes x e y. Por dato sabemos que el punto A se mueve en sentido antihorario por lo que su signo lo consideraremos como negativo.

HALLANDO LA ACELERACION Para calcular la aceleración usamos velocidad es constante

, dado que la

Convirtiendo a pies/s

La aceleración expresada vectorialmente en sus componentes es

COMPROBACIÓN:

PARA LOS VALORES DE:

PARA LA VELOCIDAD √

(

√

)

Remplazamos √

(

√

)

PARA LA ACELERACIÓN (

√

√

)

Remplazando

(

√

√

)

DINAMICA TEMA:

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

FECHA: 30/05/2012 248

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

6.13

DESARROLLO

EJERCICIO 04 (CON VARIABLES) La placa rectangular mostrada oscila con brazos de igual longitud. Determine el vector de velocidad angular de (a) la placa rectangular; (b) la barra AB.

Denotamos las esquinas superiores de la placa por B y B’, y la distancia entre estos puntos (la longitud de la placa) por L. Denotamos los puntos de suspensión por A y A’, la distancia que los separa por L’. Por inspección, puesto que los brazos son de igual longitud, y puesto que L = L’, el figura AA'B´B es un paralelogramo. Por definición, los lados opuestos de un paralelogramo permanecen paralelas, y desde el lado fijo AA no gira, entonces BB no puede girar, de modo que la placa no gira y: De forma parecida, por inspección la velocidad angular de la barra AB es: ⁄ Por la regla de la mano derecha, la dirección esta en el eje z (fuera de la hoja del papel)

DESARROLLO

EJERCICIO 04 (SIN VARIABLES)

La placa rectangular mostrada oscila con brazos de igual longitud. Determine el vector de velocidad angular de (a) la placa rectangular; (b) la barra AB. Denotamos las esquinas superiores de la placa por B y B’, y la distancia entre estos puntos (la longitud de la placa) por L. Denotamos los puntos de suspensión por A y A’, la distancia que los separa por L’. Por inspección, puesto que los brazos son de igual longitud, y puesto que L = L’, el figura AA'B´B es un paralelogramo. Por definición, los lados opuestos de un paralelogramo permanecen paralelas, y desde el lado fijo AA no gira, entonces BB no puede girar, de modo que la placa no gira y: De forma parecida, por inspección la velocidad angular de la barra AB es: ⁄ Por la regla de la mano derecha, la dirección esta en el eje z (fuera de la hoja del papel)

COMPROBACIÓN:

Para los valores de:

De forma parecida, por inspección la velocidad angular de la barra AB es: ⁄ ⁄

DINAMICA TEMA:

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

NOTA : FECHA: 30/05/2012 249

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

6.19

DESARROLLO

EJERCICIO 05 (CON VARIABLES)

En la Figura el disco gira respecto al eje z a “m” rad/s en dirección horaria. Determine las velocidades La velocidad de A viene dada por: de los puntos A, B y C. ⁄

(

⃗⃗ ) (

⃗)

⃗

La velocidad de B viene dada por: ⁄

|

|

|

| ⃗

⃗

⃗

⃗

La velocidad de C viene dada por: ⁄

|

|

|

|

⃗

⃗

⃗

⃗

DESARROLLO

EJERCICIO 05 (SIN VARIABLES)

En la Figura el disco gira respecto al eje z a 50 rad/s en dirección horaria. Determine las velocidades de los puntos A, B y C. La velocidad de A viene dada por: (

⃗⃗ )

⁄

⃗

⃗

La velocidad de B viene dada por: ⁄

|

| ⃗

⃗

La velocidad de C viene dada por: ⁄

|

| ⃗

⃗

COMPROBACIÓN:

Para los valores de: R=100 mm m=50 rad/s aº=45º bº=45º La velocidad de A: ⃗ ⃗ ⃗ La velocidad de B: ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

La velocidad de C viene dada por:

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

DINAMICA TEMA:

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 30/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

DESARROLLO

EJERCICIO 06 (CON VARIABLES) El automovil de la figura se mueve Convertimos hacia la derecha a y sus neumaticos tienen de diametro Desarrollo de 1:

a

1. ¿Cuál es la velocidad angular de sus neumaticos? 2. ¿Que punto sobre el neumatico tiene la maxima velocidad respecto al camino y cual es la magnitud de esta velocidad?

Por lo tanto:

Desarrollo de 2:

El punto de máxima velocidad se encuentra en la parte superior

DESARROLLO

EJERCICIO 06 (SIN VARIABLES)

El automovil de la figura se mueve hacia la derecha a y sus neumaticos tienen de diametro

Convertimos

a

3. ¿Cuál es la velocidad angular de sus neumaticos?. 4. ¿Que punto sobre el neumatico tiene la maxima velocidad respecto al camino y cual es la magnitud de esta velocidad?

Desarrollo de 1:

Por lo tanto:

Desarrollo de 2:

El punto de máxima velocidad se encuentra en la parte superior

COMPROBACIÓN:

SI

Desarrollo de 1:

Por lo tanto:

Desarrollo de 2:

DINAMICA TEMA:

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 30/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 249

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 07 (CON VARIABLES)

CLAVE:

6.21

DESARROLLO

El disco mostrado rueda sobre la superficie plana. El punto A se mueve hacia la derecha a v pie/s. (a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular del disco? (b)Use la Ec. (6.6) para determinar las velocidades de los puntos B, C y D. Parte a) Disco circular de radio R que rueda sobre una superficie plana estacionaria con velocidad angular antihoraria (Fig. 6.21). Rodar implica que la velocidad del disco en su punto de contacto B respecto a la superficie es cero. A (el centro del disco). Respecto a B, el punto A se mueve en una trayectoria circular de radio R. En el sistema coordenado que se muestra, la velocidad de A respecto a C es Como la velocidad de B es cero, la de A es ⁄

Como dato tenemos que angular del disco es

(

el vector velocidad

)

Parte b) VELOCIDAD DE B Dado a que el disco circular de radio 2pies que rueda sobre una superficie plana estacionaria con velocidad angular antihoraria, al rodar implica que la velocidad del disco en su punto de contacto B respecto a la superficie es cero

VELOCIDAD EN C La velocidad del centro del disco está dada en función de su velocidad angular por , el vector de velocidad angular del disco es , y el vector de posición de C respecto al centro es . La velocidad de C es

(

)

VELOCIDAD EN D

Hallamos el ( ( (

)

) )

DESARROLLO

EJERCICIO 07 (SIN VARIABLES) El disco mostrado rueda sobre la superficie plana. El punto A se mueve hacia la derecha a 6 pie/s. (a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular del disco? (b)Use la Ec. (6.6) para determinar las velocidades de los puntos B, C y D.

Parte a) Disco circular de radio R que rueda sobre una superficie plana estacionaria con velocidad angular antihoraria (Fig. 6.21). Rodar implica que la velocidad del disco en su punto de contacto B respecto a la superficie es cero. A (el centro del disco). Respecto a B, el punto A se mueve en una trayectoria circular de radio R =2pies. En el sistema coordenado que se muestra, la velocidad de A respecto a C es Como la velocidad de B es cero, la de A es ⁄

Como dato tenemos que angular del disco es

el vector velocidad

Parte b) Ecuación 6.6

VELOCIDAD DE B Dado a que el disco circular de radio 2pies que rueda sobre una superficie plana estacionaria con velocidad angular antihoraria, al rodar implica que la velocidad del disco en su punto de contacto B respecto a la superficie es cero

VELOCIDAD EN C La velocidad del centro del disco está dada en función de su velocidad angular por , el vector de velocidad angular del disco es , y el vector de posición de C respecto al centro es . La velocidad de C es

VELOCIDAD EN D

Hallamos el (

)

COMPROBACIÓN:

Para los valores de:

Parte a)

Parte b) Velocidad de C ( Remplazando

)

DINAMICA TEMA:

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 30/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 251

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 08 (CON VARIABLES)

CLAVE:

6.29

DESARROLLO

La barra mostrada AB gira a ⁄ en dirección horaria. Determine las velocidades angulares de las barras BC y CD.

⁄ . El La velocidad angular de la barra Ab es radio vector de AB es ⁄ . La velocidad en el punto B es: [

⁄

(

]

) ⁄

El radio vector de BC es

. La

⁄

velocidad en el punto C es:

[

⁄

]

[

] [

] ⁄

El radio vector de DC es

. La velocidad en

⁄

el punto C es: ⁄

[

] ⁄

Igualamos las dos expresiones de la velocidad en C ( separamos sus componentes:

), y

1. …..(1) 2. …(2)

Remplazo (2) en (1):

( ( Remplazo el valor de

⁄

)

⁄ .

)

en (2):

(

)

( (

) )

⁄ ⁄ .

EJERCICIO 08 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

La barra mostrada AB gira a ⁄ en dirección horaria. Determine las velocidades angulares de las barras BC y CD.

⁄ . El . La velocidad en el

La velocidad angular de la barra Ab es radio vector de AB es ⁄ punto B es: [

⁄

(

]

) ⁄

El radio vector de BC es

⁄

. La velocidad en el punto C es:

[

⁄

]

[

] [

El radio vector de DC es

] ⁄ . La

⁄

velocidad en el punto C es: ⁄

[

]

⁄ Igualamos las dos expresiones de la velocidad en C ( separamos sus componentes: 3. …..(1) 4. …(2)

), y

Remplazo (2) en (1):

⁄ ⁄ . Remplazo el valor de

en (2):

⁄ ⁄ .

COMPROBACIÓN: Para los valores de: a=350 b=200 c=300 velocidad angular de la barra BC: (

⁄ .

)

(

⁄ .

) ⁄ .

velocidad angular de la barra CD: ( (

⁄ .

)

⁄ .

) ⁄ .

TEMA:

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 30/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 251

CLAVE:

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 09 (CON VARIABLES)

6.33

DESARROLLO

La barra AB mostrada gira a ⁄ en dirección antihoraria. Determine la velocidad del punto C.

⁄ . El . La velocidad en

La velocidad angular de la barra Ab es radio vector de AB es ⁄ el punto B es: ⁄

[

]

⁄ El radio vector de B con respecto a C es: ⁄ ⁄

La velocidad en el punto C es: [

]

⁄ El radio vector de C con respecto a D es: ⁄

La velocidad en el punto D es:

[

]

⁄ [

] ⁄

El radio vector de E con respecto a D es: ⁄

La velocidad en el punto D es: [

⁄

] ⁄

Igualamos las dos expresiones de la velocidad en D ( separamos sus componentes:

), y

 Componentes i

…..(1)  Componentes j

…..(2) Remplazo (1) en (2):

( (

)

(

)

(

) (

)

) (

)

( (

)

Remplazo (

Remplazamos

⁄

) en (1): ( (

) )

)

, en la ecuación de la velocidad de C: ⁄

(

( (

) )

)

(

(

)) (

(

(

( (

) )

) ⁄ ))

EJERCICIO 09 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

La barra AB mostrada gira a ⁄ en dirección antihoraria. Determine la velocidad del punto C.

⁄ . El radio vector La velocidad angular de la barra Ab es de AB es ⁄ . La velocidad en el punto B es: ⁄

[

]

⁄ El radio vector de B con respecto a C es: ⁄ ⁄

La velocidad en el punto C es: [

]

⁄ El radio vector de C con respecto a D es: ⁄

La velocidad en el punto D es: [

] ⁄

[

] ⁄

El radio vector de E con respecto a D es: ⁄

La velocidad en el punto D es: ⁄

[

]

⁄ Igualamos las dos expresiones de la velocidad en D ( sus componentes:

), y separamos

 Componentes i

…..(1)  Componentes j

…..(2) Remplazo (1) en (2):

⁄ Remplazo

Remplazamos

en (1):

⁄ , en la ecuación de la velocidad de C: ⁄

(

)

(

⁄

)

⁄ ⁄ ⁄

COMPROBACIÓN: Para los valores de: =4

p=600 q=300 r=200 s=400 t=500

(

( (

)

)

)

(

(

)) (

( (

)

)

)

⁄

(

(

)) (

( (

)

)

)

(

(

))

(

(

( (

)

(

)

)

))

⁄ ⁄

DINAMICA TEMA:

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 30/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 252

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

6.39

DESARROLLO

EJERCICIO 10 (CON VARIABLES) Los discos mostrados ruedan sobre la superficie plana. La velocidad La velocidad del centro del disco izquierdo es: ⁄ angular del disco izquierdo es de “w” rad/s en dirección horaria. | | ¿Cuál es la velocidad angular del disco derecho? ⃗ La velocidad del punto de fijación de la barra en el disco izquierdo es: ⁄

|

|

⃗

⃗

El vector de posición de la barra que conecta los discos es: ⃗ ⃗ ⁄ Donde: √ Entonces: √

⁄

⃗

⃗

La velocidad del punto de fijación en el disco derecho es: ⁄

⃗

⃗ ⃗

(

| √

| √

)⃗

La velocidad del punto R, también podemos expresarlo como: ⁄

|

| ⃗

Igualando las ecuaciones: √ √ √ (

√

)

DESARROLLO

EJERCICIO 10 (SIN VARIABLES)

Los discos mostrados ruedan sobre la superficie plana. La velocidad angular del disco izquierdo es de 2 rad/s en dirección horaria. ¿Cuál es la velocidad angular del disco La velocidad del centro del disco izquierdo es: derecho? ⁄ |

| ⃗

La velocidad del punto de fijación de la barra en el disco izquierdo es: ⁄

|

|

⃗

⃗

El vector de posición de la barra que conecta los discos es: ⃗ ⃗ ⁄ Donde: ( ) La velocidad del punto de fijación en el disco derecho es: ⁄

⃗

⃗ ⃗

|

| ⃗

La velocidad del punto R, también podemos expresarlo como: ⁄

|

| ⃗

Igualando las ecuaciones:

COMPROBACIÓN:

w=2 rad/s a=1 pie b=3 pies c=1 pie

(

√

√

)

DINAMICA TEMA:

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 30/05/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 252

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 11 (CON VARIABLES)

CLAVE:

6.40

DESARROLLO

El disco de la figura rueda sobre la superficie curva.la barra gira a en dirección anti horaria. Determine la velocidad del punto A

El radio vector desde el punto de unión de la izquierda de la barra hacia el centro del disco es La velocidad de el centro del disco es:

⌊

⌋

⌊

⌋

El radio vector desde el punto de contacto con el disco y la curva superficie hacia el centro del disco es ). La velocidad de el punto de contacto del disco con la superficie curva es cero, puesto que: ⌊

⌋

Comparando: ⌊ El radio A es

⌊

⌋

vector

⌋

desde el centro del disco al La velocidad del punto A es:

⌊

⌋

⌊

punto

⌋

EJERCICIO 11 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

El disco de la figura rueda sobre la superficie curva.la barra gira a 10rad/s en dirección anti horaria. Determine la velocidad del punto A

El radio vector desde el punto de unión de la izquierda de la barra hacia el centro del disco es

La velocidad de el centro del disco es:

⌊

⌋

El radio vector desde el punto de contacto con el disco y la curva superficie hacia el centro del disco es ). La velocidad de el punto de contacto del disco con la superficie curva es cero, puesto que: ⌊

⌋

Comparando:

El radio A es

vector

desde el centro del disco al La velocidad del punto A es: ⌊

⌋

punto

COMPROBACIÓN:

⌊

⌋

⌊

⌋

Comparando:

⌊

⌋

⌊

⌋

⌊

⌊

⌋

⌋

DINAMICA TEMA:

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

NOTA : FECHA: 30/05/2012 253

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

6.51

DESARROLLO

EJERCICIO 12 (CON VARIABLES)

En la Fig. la rueda dentada grande El vector distancia AB es: está fija. La barra AB tiene una ⁄ velocidad angular antihoraria de La velocidad lineal del punto B es: “wAB” rad/ s. ¿Cuáles son las velocidades angulares de las barras CD y DE? |

⃗ ⁄

| ⃗

Pero:

El vector distancia de B a C es: ⃗

⁄

La velocidad de C es: ⁄

⃗

|

⃗

⃗

El vector distancia de C a D es: ⁄

El vector distancia de D a E es: ⃗ ⁄

)|

(

⃗ ⃗

La velocidad de D es: ⁄

⃗

⃗

|

|

⃗

⃗

Pero: ⁄

|

| ⃗

⃗

Igualando las componentes: ⃗

⃗ ⃗

⃗

DESARROLLO

EJERCICIO 12 (SIN VARIABLES)

El vector distancia AB es: En la Fig. la rueda dentada grande ⃗ ⁄ está fija. La barra AB tiene una La velocidad lineal del punto B es: velocidad angular antihoraria de 2 rad/ s. ¿Cuáles son las velocidades angulares de las barras CD y DE? |

⁄

|

⃗ Pero:

El vector distancia de B a C es: ⃗

⁄

La velocidad de C es: ⁄

⃗

|

|

⃗

⃗

El vector distancia de C a D es: ⃗

⁄

El vector distancia de D a E es: ⃗

⁄

⃗

La velocidad de D es: ⁄

⃗ ⃗

⃗

|

| ⃗

Pero: ⁄

|

| ⃗

⃗

Igualando las componentes: ⃗

⃗ ⃗

⃗

COMPROBACIÓN:

wAB=2rad/s a=10 pulg b=4 pulg c=16 pulg d=10 pulg

DINAMICA

INERCIA-SOLIDO

GRUPO N 04

DINAMICA TEMA:

INERCIA-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:9.19

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 445

DESARROLLO Estrategia: Determine las componentes de un vector unitario paralelo al eje y use la Ec. (9.17). Las componentes de un vector unitario “e”, que pasa por el origen y el punto (4, -4, 7) es: √

EJERCICIO 01 (CON VARIABLES) ¿Cuál es el momento de inercia del cuerpo rígido del Prob. Nº 9.18 respecto al eje que pasa por el origen y el punto (a, -b, c) m?

√

√

√

Sea la matriz de inercia del prob. 9.18 [

]

La matriz de inercia en el problema 9.18 es [ ]

[

]

[

]

Aprovechando de la propiedad de simetría de la matriz de inercia del prob. 9.18, el nuevo momento de inercia respecto al eje que pasa por el origen y el punto (4, -4, 7) es

Ahora calculamos el vector unitario “e” en sus tres componentes como lo requiere la expresión anterior [

√

[

[

√

√

√ √

]

]

]

√ Remplazando en la ecuación de inercia tenemos [ √

] [ [

√ √ [ √

[

]

√ ][

√

][ √ ][ √

[

]

√ ] ] ]

DESARROLLO Estrategia: Determine las componentes de un vector unitario paralelo al eje y use la Ec. (9.17). Las componentes de un vector unitario “e”, que pasa por el origen y el punto (4, -4, 7) es:

√ La matriz de inercia en el problema 9.18 es EJERCICIO 01 (SIN VARIABLES) [ ] ¿Cuál es el momento de inercia del cuerpo rígido del Prob. Nº 9.18 respecto al eje que pasa por el origen y el punto (4, -4, 7) m?

[

]

[

]

Aprovechando de la propiedad de simetría de la matriz de inercia del prob. 9.18, el nuevo momento de inercia respecto al eje que pasa por el origen y el punto (4, -4, 7) es

Ahora calculamos el vector unitario “e” en sus tres componentes como lo requiere la expresión anterior

[ [

] ]

[

]

Remplazando en la ecuación anterior obtenemos

COMPROBACIÓN:

Remplazamos en la ecuación de inercia del sólido, obtenida en el problema sin variables y pasamos a remplazar para comprobar si coincide la respuesta con la del ejercicio desarrollado con datos. [ √

]

[

[

[

]

√ [

√

]

√

][ √

√

[

[

]

√ ][ √

]

√ ]

[

[

]

√ ]

[ √

[

√

][ ][ √

√

[

][

√ ][ √

]

√ ]

√ ]

]

DINAMICA TEMA:

INERCIA-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:9.21

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 02 (SIN VARIABLES)

CLAVE: 445

DESARROLLO Las componentes de un vector unitario “e”, que pasa por el origen y el punto (-a, b, c) es:

Cual es el momento de inercia del cuerpo rigido

del problema 9.20

respecto al eje que pasa por el origen

√

√

√

√

Sea la matriz de inercia del prob. 9.20

y el punto (-a,b,c) [

]

La matriz de inercia en el problema 9.20 es [ ]

[

]

[

]

el nuevo momento de inercia respecto al eje que pasa por el origen y el punto (-a, b, c) es

Ahora calculamos el vector unitario “e” en sus tres componentes como lo requiere la expresión anterior [

√

[

[

√

√

√ √

]

]

]

√ Remplazando en la ecuación de inercia tenemos [

]

√

[ [

√ √ [ √

[

]

√ ][ ][

[ √

] ]

√

√ ][ √

] ]

DESARROLLO La matriz de inercia en el problema 9.20 es

[ ]

[

]

[

]

√ EJERCICIO 02 (SIN VARIABLES)

Aprovechando de la propiedad de simetría de la matriz de inercia del prob. 9.20, el nuevo momento de inercia respecto al eje que pasa por el origen y el punto (-1, 5, 2) es

Cual es el momento de inercia del cuerpo rigido

del problema 9.20

respecto al eje que pasa por el origen y el punto (-1,5,2)

Ahora calculamos el vector unitario “e” en sus tres componentes como lo requiere la expresión anterior

[ [ [

] ] ]

Remplazando en la ecuación anterior obtenemos:

COMPARACIÓN

[

]

[

]

Remplazamos en la ecuación de inercia del solido, obtenida en el problema sin variables y pasamos a remplazar para comprobar si coincide la respuesta con la del ejercicio desarrollado con datos. [

√

] [

[

√

[

√ [

][

[ [

√ √

[

]

√ ]

√

][

√

]

[

]

√

√

][

]

√

]

√

]

√ ][ ][

[

[

]

√ ]

√ √

]

[

√

][

√

]

DINAMICA TEMA: ALUMNO:

INERCIA-SOLIDO

NOTA :

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:9.22

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

445

DESARROLLO

EJERCICIO 03 (CON VARIABLES)

(

)

En la Fig. la masa de la barra esbelta homogénea es de “m” kg. Debido a la delgadez de la barra: Determine sus momentos y productos de inercia en el sistema coordenado que se muestra. (

)

Puesto que la barra es delgada, los productos de inercia desaparecen ∫ ∫ ∫

⌈

⌉

⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈

⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ⌉

La masa del elemento horizontal es:

(

)

(

)

Puesto que la barra es delgada, los productos de inercia desaparecen

⌈

⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈

⌉

⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ⌉

Utilizamos el teorema del ejes paralelos para transferir el momento de inercia: Para el elemento vertical de las coordenadas del centro de O de comunicación son (dx, dy, dz) = (0, 0,5a, 0) m.

⌈

(

)

(

)

(

)

(

)

⌉

⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈

⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ⌉

Para el elemento horizontal (dx, dy, dz) = (0.5b, 0, 0) m. Por el teorema de los ejes paralelos: (

) (

)

(

)

(

)

⌈ ⌉ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ Sumando los dos momentos de inercia de las dos divisiones de la barra: ⌈

⌈ ⌉

⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈

⌉

⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ⌉

DESARROLLO

EJERCICIO 03 (SIN VARIABLES) Debido a la delgadez de la barra: En la Fig. la masa de la barra esbelta homogénea es de 6 kg. Determine sus momentos y productos de inercia en el sistema Puesto que la barra es delgada, los productos de inercia desaparecen coordenado que se muestra. ∫ ∫ ∫

⌈

⌉

⌈

⌉

La masa del elemento horizontal es:

Puesto que la barra es delgada, los productos de inercia desaparecen

⌈

⌉

⌈

⌉

Utilizamos el teorema del ejes paralelos para transferir el momento de inercia: Para el elemento vertical de las coordenadas del centro de O de comunicación son (dx, dy, dz) = (0, 0,5, 0) m. (

)

(

)

⌈

⌉

⌈

⌉

Para el elemento horizontal (dx, dy, dz) = (1, 0, 0) m. Por el teorema de los ejes paralelos: (

(

)

)

⌈

⌉

⌈

⌉

Sumando los dos momentos de inercia de las dos divisiones de la barra: ⌈ ⌉

⌈

⌉

COMPROBACIÓN

m=6 kg a=1 m b=2 m

⌈ ⌉

⌈ ⌉

⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈

⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ⌉

⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈

⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ⌈ ⌉

⌈

⌉

DINAMICA TEMA:

INERCIA-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

FECHA:06/06/2012 9.24

CLAVE:

PROBLEMA Nº: 445

DESARROLLO

EJERCICIO 04 (SIN VARIABLES)

La placa rectangular delgada de “m” kg de la figura está en el plano x-y. Determine sus momentos y productos de inercia en el sistema coordenado que se muestra.

(

)(

)

(

)(

)

Por lo tanto los momentos de inercia de la placa son:

(

(

)(

)(

)

)

(

)

(

)

DESARROLLO

EJERCICIO 04 (SIN VARIABLES)

La placa rectangular delgada de 4 kg de la figura está en el plano x-y. Determine sus momentos y productos de inercia en el sistema coordenado que se muestra.

Por lo tanto los momentos de inercia de la placa son:

COMPARACIÓN

a=300 mm b=600 mm m=4 kg

DINAMICA TEMA:

INERCIA-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

FECHA: 06/06/2012 9.26

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 05 (CON VARIABLES)

CLAVE: 445

DESARROLLO

La placa triangular delgada de m lb de la figura está en el plano x-y. Determinar sus momentos y productos de inercia en el sistema coordenada que se muestra.

Los momentos de inercia de la superficie de la placa son:

El área de la placa:

La masa es: ⁄ Los momentos de la placa y producto de inercia son: (

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

DESARROLLO

EJERCICIO 05 (SIN VARIABLES) La placa triangular delgada de 30 lb Los momentos de inercia de la superficie de la placa son: de la figura está en el plano x-y. Determinar sus momentos y productos de inercia en el sistema coordenada que se muestra.

El área de la placa:

La masa es: ⁄ Los momentos de la placa y producto de inercia son: (

⁄ ⁄

( (

) )

⁄

)

COMPROBACIÓN:

Para los valores de: m=30 a=6 b=4 Los momentos de la placa y producto de inercia son:

( (

)( )(

( (

)

)( )(

( (

)

) )

)( )(

) )

DINAMICA TEMA:

INERCIA-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

9.30

EJERCICIO 06 (CON VARIABLES)

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 446

DESARROLLO

Determine la matriz de inercia de la placa delgada de M slug en el sistema coordenado que se muestra.

La estrategia es determinar los momentos y productos de la placa delgada sólida de radio “a” alrededor del origen y luego restar los momentos y productos de la placa circular de radio “b” hueca. La densidad de masa es Al estar la masa expresada en slug, convertimos los radios mostrados en el gráfico de pulgadas a pies

Ahora bien podemos calcular el espesor de la placa en función con su densidad de la siguiente forma

Donde T: espesor de la placa A: área de la placa circular-área de la placa circular hueca M=masa, V=volumen [ [

] ]

[

]

Donde T es el espesor (desconocido) de la placa. Los momentos y productos de inercia de una placa delgada de radio R son:

Para un radio de a pulgadas de placa delgada sólida,la masa de la placa sera igual a la densidad de la placa multiplicada por su volumen

Por lo que la masa es

Reemplazando [

]

a) Ahora pasamos a remplazar en las expreciones descritas anteriormente para hallar los momentos y productos de inercia

[

[

[

]

[

]

Ahora las coordenadas de la placa circular de radio igual a pies son Luego la masa de la placa circular de radio será [

[

] ]

]

]

b) Los momentos y productos de inercia de la placa circular más pequeña de radio igual a pies, será

[

]

[

]

[ [ [

]

]

[

[

]

]

]

]

]

[ [ [

]

]

[

[

]

La matriz de inercia de la placa circular de radio pies es

[ ]

[ ]

[

[

pies y el recorte circular de radio

]

(

)(

[

)

]

]slug.pies2

EJERCICIO 06 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

Determine la matriz de inercia de la placa delgada de 0.6 slug en el sistema coordenado que se muestra.

La estrategia es determinar los momentos y productos de una placa delgada sólida alrededor del origen y luego restar los momentos y productos de la corte. La densidad de masa es Al estar la masa expresada en slug, convertimos los radios mostrados en el gráfico de pulgadas a pies 6pulg=0.5pies 3pulg=0.25pies 1.25pulg=0.125pies Ahora bien podemos calcular el espesor de la placa en función con su densidad de la siguiente forma

[

]

Donde T es el espesor (desconocido) de la placa. Los momentos y productos de inercia de una placa delgada de radio R son:

Para un radio de 6 pulgadas de placa delgada sólida,la masa de la placa sera igual a la densidad de la placa multiplicada porsu volumen

Por lo que la masa es

Reemplazando

Ahora pasamos a remplazar en las expreciones descritas anteriormente para momento de inercia y producto y obtenemos

Ahora las coordenadas de la placa circular de radio igual a 0.125pies son Luego la masa por la placa circular de radio

sera

Los momentos y productos de inercia de la placa circular más pequeña de radio igual a 0.125 pies, será

La matriz de inercia de la placa circular de radio 0.5pies y el recorte circular de radio 0.125pies es [ ]

[

]

[

[ ]

]

[

]slug.pies2

COMPROBACIÓN:

Para los valores de: M=0.6 a=6 b=1.5 c=3 Remplazando los datos encontrados anteriormente nos da como resultado, tal como esperábamos [ ]

[

]

[ ]

[

[

]

]slug.pies2

DINAMICA TEMA:

INERCIA-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

EJERCICIO 07 (CON VARIABLES)

En el Ej. 9.32 los momentos y productos de inercia del cuerpo compuesto formado por las barras AB y BC se determinaron en el sistema coordenada de la Fig. Determine los productos y momentos de inercia del cuerpo en un sistema coordenada x' y' paralelo con su origen en el centro de masa del cuerpo.

FECHA: 06/06/2012 9.32

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 446

DESARROLLO (EJEMPLO 9.32: El aguilón AB de la grúa de la Fig. tiene una masa de kg y el pescante BC tiene una masa de kg y es perpendicular a AB. Modelando cada uno como una barra esbelta y tratándolos como un sólo cuerpo, determine los momentos y productos de inercia del cuerpo en el sistema coordenada que se muestra)

Centro de masa de AB = ( Centro de masa de BC = (

) )

Centro de masa del sistema: (

Para el aguilón AB (respecto a su centro de masa):

)

Debido a la simetría:

⌈

⌈ ⌈ ⌈ ⌈

⌉

⌉ ⌉ ⌉ ⌉

Para el aguilón BC (respecto a su centro de masa):

Debido a la simetría:

⌈

⌈ ⌈ ⌈ ⌈

⌉

⌉ ⌉ ⌉ ⌉

Utilizamos el teorema del ejes paralelos para transferir el momento de inercia: aguilón AB las coordenadas al centro de masa son: (

(

(

)

(

)

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

[

(

]

)

⌈(

)

(

[

]

(

)(

)

(

)

(

⌈

⌉

⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈

) ⌉

[

[

)

⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ]⌉ ⌉ ⌉

]] [

Para el aguilón BC (

(

(

)

(

(

)

)

(

)

)

)

Por el teorema de los ejes paralelos: (

)

(

[

]

(

(

)

)

⌈(

{

(

)

)(

[

) ⌉}

)

(

⌈

(

)

(

⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈

)

)

⌉

]

⌈(

Sumando los dos momentos de inercia de los dos aguilones: ⌈ ⌉

)

(

⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ) ⌉⌉ ⌉

EJERCICIO 07 (SIN VARIABLES)

En el Ej. 9.32 los momentos y productos de inercia del cuerpo compuesto formado por las barras AB y BC se determinaron en el sistema coordenada de la Fig. Determine los productos y momentos de inercia del cuerpo en un sistema coordenada x' y' paralelo con su origen en el centro de masa del cuerpo.

DESARROLLO (EJEMPLO 9.32: El aguilón AB de la grúa de la Fig. tiene una masa de 4800 kg y el pescante BC tiene una masa de 1600 kg y es perpendicular a AB. Modelando cada uno como una barra esbelta y tratándolos como un sólo cuerpo, determine los momentos y productos de inercia del cuerpo en el sistema coordenada que se muestra)

Centro de masa de AB = (9,0) Centro de masa de BC = (18,-3) Centro de masa del sistema:

Para el aguilón AB (respecto a su centro de masa):

Debido a la simetría:

⌈

⌉

⌈

⌉

Para el aguilón BC (respecto a su centro de masa):

Debido a la simetría:

⌈

⌉

⌈

⌉

Utilizamos el teorema del ejes paralelos para transferir el momento de inercia: aguilón AB las coordenadas al centro de masa son (dx, dy, dz) = (2.25, -0.75, 0) m.

⌈

(

)

(

)

⌉

⌈

⌈

⌉

⌉

Para el aguilón BC (dx, dy, dz) = (-6.75, 2.25, 0) m. Por el teorema de los ejes paralelos: (

)

(

⌈

⌉

)

⌈

⌈

⌉

⌉

Sumando los dos momentos de inercia de los dos aguilones: ⌈ ⌉

⌈

⌉

COMPROBACIÓN:

Para los valores de:

Remplazamos los valores: Para AB:

[

]

[

⌈

⌉

⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈

[

]

[

⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ]⌉ ⌉ ⌉

]] [

Para el aguilón BC [

{

⌈(

]

)

(

) ⌉}

⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈ ⌈

[

⌉

]

⌈(

)

⌉ ⌉ ⌉ ⌉ ) ⌉⌉ ⌉

(

Sumando los dos momentos de inercia de los dos aguilones: ⌈ ⌉ Reemplazando datos tenemos:

⌈

⌉

⌉y

⌈

⌈

⌉

⌈

⌉

⌉

⌈

⌉

Por lo tanto:

⌈ ⌉

=⌈

⌈ ⌉

⌈

⌉

DINAMICA

CINETICA-NEWTONSOLIDO

GRUPO N 04

DINAMICA TEMA:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:13/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 331

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 7.2

DESARROLLO

DCL

EJERCICIO 01 (CON VARIABLES)

En el Probo 7.1, ¿cuál es la máxima fuerza F que se puede aplicar si el refrigerador permanece en contacto con el piso en A y B? (Suponga que es positiva.) La fuerza máxima que se le puede aplicar al refrigerador es cuando este esta apunto de voltearse, es decir cuando la reacción en A es nula. NA=0 ∑ ∑

∑ á á

Remplazamos en la ecuación anterior y obtenemos el valor máximo de la fuerza aplicada al refrigerador. á

DESARROLLO

EJERCICIO 01 (SIN VARIABLES)

DCL

En el Probo 7.1, ¿cuál es la máxima fuerza F que se puede aplicar si el refrigerador permanece en contacto con el piso en A y B? si su peso es de 980N.

La fuerza máxima que se le puede aplicar al refrigerador es cuando este esta apunto de voltearse, es decir cuando la reacción en A es nula. NA=0 ∑ ∑ Remplazamos el peso Ahora hacemos sumatoria de momentos con respecto al centro de masa, ∑

COMPROBACIÓN:

𝑚

Remplazamos datos

𝐶 𝑏 𝑁 𝑚 𝑠

𝑚 𝑚 𝑘𝑔

TEMA:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:13/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 331

PROBLEMA Nº:

DESARROLLO

EJERCICIO 02 (CON VARIABLES) En la figura 7.3 la masa combinada de la persona y la bicicleta es ; ; ¿Cuál es la aceleración máxima que se puede alcanzar sin que la rueda frontal se separe del terreno? Despreciar la fuerza horizontal ejercida en la rueda delantera sobre el terreno

∑ ∑ ∑

CLAVE: 7.4

DESARROLLO

EJERCICIO 02 (SIN VARIABLES)

En la figura 7.3 la masa combinada de la persona y la bicicleta es ; ; Cuál es la aceleración máxima que se puede alcanzar sin que la rueda frontal se separe del terreno? Despreciar la fuerza horizontal ejercida en la rueda delantera sobre el terreno

∑ ∑ ∑

COMPROBACIÓN:

𝑚 𝑏 𝑐

𝑘𝑔 𝑚𝑚 𝑚 𝑚𝑚

∑

TEMA:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:13/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 331

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 7.5

DESARROLLO DCL

EJERCICIO 03 (CON VARIABLES) En la Fig. el gancho de frenaje del avión de “W” lb ejerce la fuerza F y ocasiona que el avión desacelere a “a”. Las fuerzas horizontales ejercidas por las ruedas de aterrizaje son insignificantes. Determine F y las fuerzas normales ejercidas sobre las ruedas

∑

∑

∑

(

)

(

)

DESARROLLO

DCL EJERCICIO 03 (SIN VARIABLES)

En la Fig. el gancho de frenaje del avión de 14000lb ejerce la fuerza F y ocasiona que el avión desacelere a 6g.Las fuerzas horizontales ejercidas por las ruedas de aterrizaje son insignificantes. Determine Fy las fuerzas normales ejercidas sobre las ruedas.

∑

∑

∑

COMPROBACIÓN:

COMPROBACIÓN

W=14000 lb a=6g=193.2 pie/s2 =30º P=8 m q=1.5 m r=11 m s=6 m g=32.2 pie/s2

TEMA:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:13/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 332

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 7.7

DESARROLLO

EJERCICIO 04 (CON VARIABLES)

La grúa mostrada se mueve hacia la derecha con aceleración constante, y la carga de “m” kg se mueve sin oscilar. (a) ¿Cuál es la aceleración de la grúa y la carga? (b) ¿Cuáles son las tensiones en los cables unidos a Ay B?

∑ ∑ Sumatoria de momentos respecto al centro de masa: ∑

Entonces:

DESARROLLO

EJERCICIO 04(SIN VARIABLES)

La grúa mostrada se mueve hacia la derecha con aceleración constante, y la carga de 800 kg se mueve sin oscilar. (a) ¿Cuál es la aceleración de la grúa y la carga? (b) ¿Cuáles son las tensiones en los cables unidos a Ay B?

∑ ∑ Sumatoria de momentos respecto al centro de masa: ∑

Entonces:

COMPROBACIÓN:

Comprobación m=800 kg p=5º q=1 m r=1.5 m g= 9.81 m/s2

TEMA:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:13/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 334

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 7.23

DESARROLLO

EJERCICIO 05 (CON VARIABLES)

Modele el brazo ABC mostrado como un cuerpo rígido. Su masa es de “m” kg y el momento de inercia de masa respecto a su centro de | | masa es “I”kg-m2, Si el punto A está en reposo y la aceleración El ángulo entre la fuerza en B y la horizontal es: angular del brazo es de rad/s2antihoraria, ¿qué fuerza ejerce el cilindro hidráulico sobre el brazo en B? (Sobre el brazo actúan √ dos cilindros hidráulicos, uno a cada lado del vehículo. Se debe √ determinar la fuerza total ejercida por los dos cilindros.) La ecuación rotacional es: ∑ | √

√ | (

√ √

|

[ (

| )

)

]

DESARROLLO

EJERCICIO 05 (SIN VARIABLES)

Modele el brazo ABC mostrado como un cuerpo rígido. Su masa es de 300 kg y el momento de inercia de masa respecto a su centro de masa es I= 360 kg-m2, Si el punto A está en reposo y la aceleración angular del brazo es de 0.6 rad/s2antihoraria, ¿qué fuerza ejerce el cilindro hidráulico sobre el brazo en B? (Sobre el brazo actúan dos cilindros hidráulicos, uno a cada lado del vehículo. Se debe determinar la fuerza total ejercida El ángulo entre la fuerza en B y la horizontal es: por los dos cilindros.) ( ) La ecuación rotacional es: ∑

COMPROBACIÓN:

COMPROBACIÓN a=1.8 m b=1.4 m c=0.3 m d=0.8 m e=0.7 m I=360 kg.m2 m=300 kg =0.6 rad/s2 √

√

[ (

[

(

)

)

]

]

TEMA:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:13/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 335

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 7.25

DESARROLLO

D.C.L:

EJERCICIO 06 (CON VARIABLES) El momento respecto al punto O:

Para bajar el puente giratorio mostrado, los engranes que lo levantan se desacoplan y una fracción de segundo después otro conjunto de engranes que lo bajan, ⁄ se acoplan. En el instante en que los engranes que lo levantan se La aceleración, respecto al centro d la masa es: desacoplan, ¿cuáles son las componentes de la fuerza ejercida por el puente sobre su soporte en [ ] O? El puente giratorio pesa aklb, su momento de inercia de masa respecto a O es lo = bslug-pie2, y las coordenadas de su centro de masa en el instante en que los Por la segunda ley de Newton: engranes se desacoplan son ̅ = c Para El eje “x”: pies, ̅= d pies. ∑ (

)(

)

(

)

Para el eje “y” ∑

(

)( [

) ]

DESARROLLO

EJERCICIO 06 (SIN VARIABLES) El momento respecto al punto O:

Para bajar el puente giratorio mostrado, los engranes que lo levantan se desacoplan y una fracción de segundo después otro conjunto de engranes que lo bajan, se acoplan. En el instante en que los engranes que lo levantan se desacoplan, ¿cuáles son las componentes de la fuerza ejercida por el puente sobre su soporte en O? El puente giratorio pesa 360 klb, su momento de inercia de masa respecto a O es lo = 1.0 x 107 slugpie2, y las coordenadas de su centro de masa en el instante en que los engranes se desacoplan son ̅ = 8 pies, ̅= 16 pies.

⁄ La aceleración, respecto al centro d la masa es: [

]

Por la segunda ley de Newton: Para El eje “x”: ∑ (

)

Para el eje “y” ∑

(

)

COMPROBACIÓN:

COMPROBACIÓN: Para los valores de: a=360 b=1.0x107 c=8 d=16 Para El eje “x”: ∑ (

)(

)

(

)

Para el eje “y” ∑

(

)( [

[

) ] ]

TEMA:

:

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:13/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 335

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 7.26

DESARROLLO EJERCICIO 07 (CON VARIABLES)

El brazo BC de la figura tiene una masa de kilogramos y su momento de inercia de masa respecto a su centro de masa es de kg-m2. Si B está en reposo y el brazo BC tiene una velocidad angular antihoraria constante de en el instante mostrado, determine el par y las componentes de la fuerza ejercida sobre el brazo BC en B.

SOLUCION Como la aceleración angular del brazo BC es cero, la suma de los momentos respecto al punto fijo B debe ser cero. Vamos a ser MB el par ejercido por el soporte en B. Entonces [

Ahora calculamos el par de fuerzas en B Por la segunda ley de Newton donde , son las aceleraciones de centros de masa. Por cinemática del solido

]

,

Donde la aceleración angular es cero a partir del enunciado del problema. Sustituir en la segunda ley de Newton para obtener las reacciones en B: Remplazamos

Remplazamos

DESARROLLO Como la aceleración angular del brazo BC es cero, la suma de los momentos respecto al punto fijo B debe ser cero. Vamos a ser MB el par ejercido por el soporte en B. Entonces [

EJERCICIO 07 (SIN VARIABLES) El brazo BC de la figura tiene una masa de 12 kg Y su momento de inercia de masa respecto a su centro de masa es de 3 kg-m2. Si B está en reposo y el brazo BC tiene una velocidad angular antihoraria constante de 2 rad/ s en el instante mostrado, determine el par y las componentes de la fuerza ejercida sobre el brazo BC en B.

Antihorario Ahora calculamos el par de fuerzas en B Por la segunda ley de Newton donde , son las aceleraciones de centros de masa. Por cinemática del solido

]

,

Donde la aceleración angular es cero a partir del enunciado del problema. Sustituir en la segunda ley de Newton para obtener las reacciones en B: Remplazamos

COMPROBACION

𝑎 𝑏 𝑀 𝑣 𝐼 𝑔

MB el par ejercido por el soporte en B

Ahora calculamos el par de fuerzas en B

𝑚 𝑚 𝑘𝑔 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑘𝑔 𝑚 𝑚 𝑠

DINAMICA TEMA:

:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:13/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 335

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 7.29

DESARROLLO DESARROLLO: El momento respecto al centro de masa es: EJERCICIO 08 (CON VARIABLES)

En la Fig. P7.29, el disco escalonado pesa W lb y su momento de inercia de masa es I= I slug-pie2. Si se libera del reposo, ¿cuánto tarda el centro del disco en caer D pies? (Suponga que la cuerda permanece vertical.)

De la ecuación del movimiento angular:

Desde el diagrama de cuerpo libre y segunda ley de newton:

∑ Donde

es la aceleración desde el centro de masa

Sustituimos en la ecuación anterior: ( (

) (

)

)

( ) El tiempo requerido para caer una distancia D es: √

√

(

Para

√

)y

√

(

( (

) ( )

))

DESARROLLO El momento respecto al centro de masa es: De la ecuación del movimiento angular:

EJERCICIO 08 (SIN VARIABLES)

Desde el diagrama de cuerpo libre y segunda ley de newton:

En la Fig. P7.29, el disco escalonado pesa 40 lb y su momento de inercia de masa es I= 0.2 slug-pie2. Si se libera del reposo, ¿cuánto tarda el centro del disco en caer 3 pies? (Suponga que la cuerda permanece vertical.) ∑ Donde

es la aceleración desde el centro de masa

Sustituimos en la ecuación anterior: ( (

(

) (

)

)

) (

) ( )

⁄ El tiempo requerido para caer una distancia D es: √

√ √

⁄

COMPROBACIÓN

Para los valores de: a=4 b=8 W=40 I=0.2 D=3 El tiempo requerido para caer una distancia D es: √

√

√

√

(

(

(

( (

√

) (

) ( )

))

))

TEMA:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 13/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 336

PROBLEMA Nº:

7.30

DESARROLLO

EJERCICIO 09 (CON VARIABLES)

∑

En t=0, una esfera de masa m y radio R (i= 2/5mR2) sobre una superficie plana tiene una velocidad angular w0Ylavelocidad de su centro es cero. El coeficiente de fricción cinética entre la esfera y la superficie es uk.t ¿Cuál es la velocidad máxima que el centro de la esfera alcanzará y cuánto tarda en alcanzarla?

∑ ∑

(

)

Pero: [

( (

) ] ) (

(

)

)

CLAVE:

DESARROLLO

EJERCICIO 09 (SIN VARIABLES)

En t=0, una esfera de masa 10 kgy radio 1.5 m (I= 2/5mR2) sobre una superficie plana tiene una velocidad angular w0=40 rad/s y la velocidad de su centro es cero. El coeficiente de fricción cinética entre la esfera y la superficie es uk=0.06. ¿Cuál es la velocidad máxima que el centro de la esfera alcanzará y cuánto tarda en alcanzarla?

∑ ∑ ∑

Pero: [

]

COMPROBACIÓN PARA LOS VALORES DE: m=10 kg R=1.5 m w0=40 rad/s uk=0.06 g=9.81 m/s2

TEMA:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 13/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 336

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

7.32

DESARROLLO DCL

EJERCICIO 10(CON VARIABLES)

El disco cilíndrico de mostrado esta en reposo cuando la fuerza F se aplica a una cuerda enrollada a su alrededor. Los coeficientes estático y cinético de fricción entre el disco y la superficie es igual .Determine la aceleración angular del disco si (a) , (b)

Elegimos un sistema de coordenadas con el origen en el centro del disco en la posición de reposo, con el eje paralelo al plano x. El momento en el centro de masa es: Por lo cual:

Aplicando la segunda ley de newton: aceleración del centro de masa.

[ Para:

] y

donde

es la

Para un disco, el momento de inercia respecto al eje polar es , partir de la cual:

Para (a):

Para (b):

La fuerza de rozamiento es:

DESARROLLO

DCL

EJERCICIO 10 (SIN VARIABLES)

El disco cilíndrico de mostrado esta en reposo cuando la fuerza F se aplica a una cuerda enrollada a su alrededor. Los coeficientes estático y cinético de fricción entre el disco y la superficie es igual a 0.2. Determine la aceleración angular del disco si (a) , (b)

Elegimos un sistema de coordenadas con el origen en el centro del disco en la posición de reposo, con el eje paralelo al plano x. El momento en el centro de masa es: Por lo cual:

Aplicando la segunda ley de newton: aceleración del centro de masa.

[ Para:

] y

donde

es la

Para un disco, el momento de inercia respecto al eje polar es , partir de la cual:

Para (a):

Para (b):

La fuerza de rozamiento es:

COMPROBACIÓN PARA LOS VALORES DE:

, partir de la cual:

Para (a):

Para (b):

La fuerza de rozamiento es:

DINAMICA TEMA: ALUMNO:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

NOTA :

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 13/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 336

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

7.33

DESARROLLO El vector ubicado en el centro de masa: ( )

( )

Denotamos las fuerzas en la parte superior e inferior de la escalera por P y N:

EJERCICIO 11 (CON VARIABLES)

La escalera de m kg se libera del reposo en la posición mostrada. Modélela como una barra esbelta e ignore la fricción. En el instante que se libera, determine (a) la aceleración angular; (b) la fuerza Las ubicaciones de los vectores A y B: normal que ejerce el piso sobre la escalera. Los vectores: ( ) ( )

( ) ( )

El momento en el centro de masa es:

[ ( )

( )

[( )

]

( )

Por la ecuación del movimiento: (( )

)

…… (1)

Por la segunda ley de newton:

Donde

y

…. (2) ….. (3) son las aceleraciones del centro de masa.

]

La velocidad angular es cero (0) puesto de que se libera desde el reposo: [

] ( )

( )

( ) (

( )

( )

)

⁄

( )

( )

A partir de la cual Similarmente:

[ ( )

] ( )

( )

( )

( )

(

( )

)

⁄

A partir de la cual ( ) Sustituimos en la ecuación (1), (2) y (3) En (2): (( )

)

En (3): [ ( )

]

[( ) (

]

[( )

])

Remplazo en (1): ( ) ( )

[

[( )

(( )

]

)]

(

[( )

( )

[

] [

]

])

[ Remplazo el valor de , para calcular: Valor de P: (( ) (( )

)(

[

⁄

]

)

[

] ]

Valor de N:

(

[

]

)

)

DESARROLLO

El vector ubicado en el centro de masa:

EJERCICIO 11(SIN VARIABLES)

( )

( )

( )

( )

Denotamos las fuerzas en la parte superior e inferior de la escalera La escalera de 18 kg se libera del por P y N: reposo en la posición mostrada. Modélela como una barra esbelta e ignore la fricción. En el instante que se libera, determine (a) la aceleración angular; (b) la fuerza normal que ejerce el piso sobre la escalera.

Las ubicaciones de los vectores A y B:

Los vectores:

El momento en el centro de masa es: [

]

[

]

Por la ecuación del movimiento: …… (1) Por la segunda ley de newton:

Donde

y

…. (2) ….. (3) son las aceleraciones del centro de masa.

La velocidad angular es cero (0) puesto de que se libera desde el reposo:

[

] ⁄

A partir de la cual Similarmente: [

] ⁄

A partir de la cual Sustituimos en la ecuación (1), (2) y (3) En (2):

En (3):

Remplazo en (1): [

]

⁄ Remplazo el valor de , para calcular: Valor de P:

Valor de N:

COMPROBACIÓN PARA LOS VALORES DE: m=18 l=4 La aceleración angular: [

⁄

]

⁄ [

] ⁄

Valor de P: [

]

[

]

Valor de N: (

(

[

[

]

)

]

)

TEMA:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

NOTA : FECHA:13/06/2012 337

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

7.38

DESARROLLO

El momento respecto al centro de masa del disco es EJERCICIO 12 (CON VARIABLES)

De la ecuación de momento angular Por la segunda ley de Newton

En la Fig. P7 .381a barra esbelta de kg y el disco cilíndrico de kg se liberan del reposo con la barra horizontal. El disco rueda sobre la superficie curva. ¿Cuál es la aceleración angular de la barra en ese instante?

Puesto que el disco gira Según la cinemática de cuerpos solidos tenemos De las dos expresiones obtenemos

Para la cual El momento respecto al centro de masa es ( )

( )

A partir del cual ( )

( )

Aplicando la segunda ley de Newton Donde es la aceleración del centro de masa de la barra. La condición cinemática de la barra es ( ( ) )

( )

Para la cual ( ) De una forma similar, a partir de la cual De donde: Sustituyendo en las ecuaciones anteriores para obtener tres ecuaciones con tres incógnitas: (

)(

( ) Sumando las ecuaciones 1y 2

)

(

)(

)

( ) (

)(

)

( )

Sumando las ecuaciones (2) y (4)

( [

)( (

)

)(

( ) )

( )

De la ec. (2) despejamos [

(

)(

)

( )

]

Ahora sumamos (1), (2) y (3) (

)(

)

( ) ( Despejando

)(

)

( )

tenemos [( [(

)( )(

) )

( )] ( )]

]

DESARROLLO EJERCICIO 12 (SIN VARIABLES)

En la Fig. P7 .381a barra esbelta de 0.1 kg y el disco cilíndrico de 0.2 kg se liberan del reposo con la barra horizontal. El disco rueda sobre la superficie curva. ¿Cuál es la aceleración angular de la barra en ese instante?

El momento respecto al centro de masa del disco es De la ecuación de momento angular Donde ( )

Por la segunda ley de Newton Donde , Puesto que el disco gira Según la cinemática de cuerpos solidos tenemos Remplazando datos Remplazamos

Ahora el momento respecto al centro de masa es ( )

( )

Sustituyendo los datos dados en el ejercicio ( A partir del cual Donde ( Remplazando

)

)

(

)

Aplicando la segunda ley de Newton Donde , Es la aceleración del centro de masa de la barra. La condición cinemática de la barra es Para la cual Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior tenemos

De una forma similar, cual

a partir de la

De donde: Sustituyendo en las ecuaciones anteriores para obtener tres ecuaciones con tres incógnitas:

Finalmente al resolver

COMPROBACIÓN

Sustituir los valores numéricos conocidos:

(

)

( )

TEMA:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

NOTA : FECHA:13/06/2012 337

PROBLEMA Nº:

DESARROLLO

EJERCICIO 13(CON VARIABLES)

En la figura 7.41 la barra esbelta de y el disco de se liberan del reposo en la posición mostrada. Si el disco rueda ¿Cuál es la aceleración angular de la barra en ese instante?

∑

∑ ∑ ∑

∑

7.41

CLAVE:

DESARROLLO

EJERCICIO 13 (SIN VARIABLES)

En la figura 7.41 la barra esbelta de y el disco de se liberan del reposo en la posición mostrada. Si el disco rueda ¿Cuál es la aceleración angular de la barra en ese instante?

∑

∑ ∑ ∑

∑

COMPROBACIÓN

a = 1m b = 0.25m c = 40º x=4kg y=1kg

∑

∑ ∑ ∑

∑

DINAMICA TEMA:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

EJERCICIO 14 (CON VARIABLES)

. En la Figura la masa combinada de la motocicleta y conductor es de kg. Cada rueda de kg tiene un radio de “d” mm y un momento de inercia de masa=I kg-m2. El motor impulsa las ruedas traseras. Si la rueda trasera ejerce una fuerza horizontal de “e” N sobre el camino y no se ignora la fuerza horizontal que ejerce la rueda frontal sobre el camino, determine (a) la aceleración de la motocicleta; (b) las fuerzas normales que ejercen la rueda trasera y frontal sobre el camino. (Se muestra la posición del centro de masa de la motocicleta sin incluir las ruedas)

NOTA : FECHA:13/06/2012 339

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

7.49

DESARROLLO ESTRATEGIA: Aislamos las ruedas y dibujamos tres diagrama de cuerpo libre. El motor de la motocicleta impulsa la rueda trasera ejerciendo un par sobre ella. DESARROLLO: DCL:

En los diagramas de cuerpo libre se muestra, m rueda= kg ym =[ – ]kg. Sea “a”la aceleración de la motocicleta hacia la derecha y dejar que sea α la aceleración angular de las ruedas de las agujas del reloj. Nótese que:

Rueda delantera: ∑

∑ ∑

Ruedas traseras: ∑ ∑ ∑

Motocicleta: ∑ ∑ ∑ Recordando que

, desarrollo el sistema de ecuaciones: (

)

DESARROLLO EJERCICIO 14 (SIN VARIABLES)

ESTRATEGIA: Aislamos las ruedas y dibujamos tres diagrama de cuerpo libre. El motor de la motocicleta impulsa la rueda trasera ejerciendo un par sobre ella. DCL:

En la Figura la masa combinada de la motocicleta y conductor es de 160 kg. Cada rueda de 9 kg tiene un radio de 330 mm y un momento de inercia de masa=0.8 kg-m2. El motor impulsa las ruedas traseras. Si la rueda trasera ejerce una fuerza horizontal de 400 N sobre el camino y no se ignora la fuerza horizontal que ejerce la rueda frontal sobre el camino, determine (a) la aceleración de la motocicleta; (b) las fuerzas normales que ejercen la rueda trasera y frontal sobre el camino. (Se muestra la posición del centro de masa de la motocicleta sin En los diagramas de cuerpo libre se muestra, m rueda= = 9kg ym incluir las ruedas) =160 –9(2)= 142kg. Sea “a” la aceleración de la motocicleta hacia la derecha y dejar que sea α la aceleración angular de las ruedas de las agujas del reloj. Nótese que:

Rueda delantera: ∑

….(1) ∑ …..(2) ∑ …(3)

Ruedas traseras: ∑

….(4)

∑ …..(5) ∑ …. (6) Motocicleta: ∑ Remplazo (1) y (4)

…….. (7) ∑ ….. (8) ∑

..(9) Remplazo (7), en:

Remplazo (7) para calcular

y

Trabajo con la ecuación (9):

Realizo un sistema de ecuaciones con (8): {

Finalmente remplazo y hallo los valores de:

COMPROBACIÓN

Para los valores de:

d=300 e=400 p=723 q=649 r=1500

Rueda delantera: ∑

….(1) ∑ …..(2) ∑ …(3) Ruedas traseras: ∑

….(4)

∑ ….. (5) ∑

…. (6) Motocicleta: ∑ Remplazo (1) y (4)

…….. (7) ∑ ….. (8) ∑ ..(9) Remplazo (7), en:

Recordando que

, desarrollo el sistema de ecuaciones: (

)

DINAMICA TEMA:

CINETICA-NEWTON-SOLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

FECHA: 13/06/2012 339

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 7.54

DESARROLLO EJERCICIO 15 (SIN VARIABLES)

El engrane anular mostrado está fijo. La masa el momento de inercia de masa del engrane central son La masa y el momento de inercia de masa de cada engrane periférico son Si se aplica un par Mspielb al engrane central, ¿cuál es la aceleración angular resultante en los engranes periféricos, y cuál es la fuerza tangencial ejercida sobre el engrane central por cada engrane periférico? DCL

CONVERSIÓN DE PULGADAS A PIES PARA EL ENGRANAGE CENTRAL ∑ Donde R: radio del engranaje central, F: la fuerza tangencial que ejercen los engranajes periféricos sobre el engranaje central. PARA LOS ENGRANAGES PERIFERICOS ∑ Donde: r: radio de los engranajes periféricos G: fuerza tangencial que ejerce el engranaje anular sobre los esféricos.

: Aceleración angular resultante de los ejes periféricos ∑ Donde: es la aceleración tangencial ejercida por los engranajes periféricos respecto al centro de masa Teniendo en cuenta la cinemática del solido

Ahora tenemos cinco incógnitas y cinco ecuaciones, por consiguiente es posible hallar la solución de estas ecuaciones

Ahora despejamos las aceleraciones de los engranajes esféricos

Remplazamos en las tres primeras ecuaciones y tenemos ( (

) )

Al resolver el sistema de ecuaciones tenemos

(

(

)

(

) )

DESARROLLO

EJERCICIO 15 (SIN VARIABLES)

El engrane anular mostrado está fijo. La masa el momento de inercia de masa del engrane central son ms=22slug,Is = 4400 slug-pie2. La masa y el momento de inercia de masa de cada engrane periférico son mp = 2.7 slug, Ip = 65 slug-pie2. Si se aplica un par M = 600 pie-lb al engrane central, ¿cuál es la aceleración angular resultante en los engranes periféricos, y cuál es la fuerza tangencial ejercida sobre el engrane central por cada engrane periférico?

CONVERSIÓN DE PULGADAS A PIES 20pulg=1.667pies 7pulg=0.583pies 34pulg=2.83pies PARA EL ENGRANAGE CENTRAL ∑ Donde R: radio del engranaje central, F: la fuerza tangencial que ejercen los engranajes periféricos sobre el engranaje central. Remplazando datos

PARA LOS ENGRANAGES PERIFERICOS ∑ Donde: r: radio de los engranajes periféricos G: fuerza tangencial que ejerce el engranaje anular sobre los esféricos. : Aceleración angular resultante de los ejes periféricos

Remplazamos

∑ Donde: es la aceleración tangencial ejercida por los engranajes periféricos respecto al centro de masa

Teniendo en cuenta la cinemática del solido

Ahora tenemos tres incógnitas y tres ecuaciones, por consiguiente es posible hallar la solución de estas ecuaciones

Resolviendo tenemos

COMPROBACIÓN:

𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝𝑖𝑒 𝑚𝑃 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝐼𝑝 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝𝑖𝑒 𝑀𝑆 𝑝𝑖𝑒 𝑙𝑏 𝑅 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑟 𝑎 𝐼𝑠

𝑚𝑠

Donde

(

(

)

)

DINAMICA

CINETICA-ENERGIASOLIDO

GRUPO N 04

DINAMICA TEMA:

TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:382

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 01 (CON VARIABLES) Durante una actividad Extra vehicular, un astronauta dispara un impulsor de su unidad de maniobras, ejerciendo una fuerza constante T en Newtons. El momento de inercia de masa del astronauta y su equipo respecto al centro de masa común es de I en kg.m2. Usando el principio del trabajo y la energía, determine su razón de giro en revoluciones por segundo cuando él ha girado n revoluciones desde su orientación inicial. Donde a esta en metros

CLAVE: 8.6

DESARROLLO El momento con respecto al centro de masa generado por la fuerza T es

Ahora aplicamos el teorema del trabajo y energía

, debido a que parte de reposo

∫ Por dato tenemos que Remplazando en la ecuación anterior del trabajo tenemos Ahora para la energía

Ahora remplazando U y T2 en la ecuación 1 tenemos

Donde √ Pasando a rps tenemos que la velocidad angular w es √

DESARROLLO EJERCICIO 01 (SIN VARIABLES) Durante una actividad extravehicular, un astronauta dispara un impulsor de su unidad de maniobras, ejerciendo una fuerza constante T = 20 N. El momento de inercia de masa del astronauta y su equipo respecto al centro de masa común es de 45 kg-m2. Usando el principio del trabajo y la energía, determine su razón de giro en revoluciones por segundo cuando él ha girado 1/4 de revolución desde su orientación inicial.

El momento con respecto al centro de masa generado por la fuerza T es

Remplazando T tenemos

Ahora aplicamos el teorema del trabajo y energía

, debido a que parte de reposo

∫ Por dato tenemos que Remplazando en la ecuación anterior del trabajo tenemos Ahora para la energía

Por dato sabemos que Remplazando en la ecuación anterior tenemos

Ahora remplazando U y T2 en la ecuación 1 tenemos

( ) Donde Pasando a rps tenemos que la velocidad angular w es

COMPROBACIÓN:

Remplazamos en la ecuación obtenida en el ejercicio con variables y comparamos

√

√

DINAMICA TEMA:

TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:384

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 02 (CON VARIABLES) Los engranes giran libremente sobre sus soportes de pasador. Sus momentos de inercia son y .Los engranes están en reposo al aplicar un par constante al engrane . Ignorando la fricción, use el principio del trabajo y energía para las velocidades angulares cuando el engrane A ha girado .

CLAVE: 8.13

DESARROLLO Desde el principio del trabajo y la energía: Donde = 0 ya que el sistema parte del reposo. El trabajo realizado es ∫ El engrane B gira en una dirección positiva, el engrane A gira en dirección negativa, . El ángulo recorrido por el engrane B es: (

)

(

)

Entonces: (

)

La energía cinética es: ( ) Donde:

( )

( )

( )(

(

)

)

(

(

)

√ ( )(

( (

) )

)

)

EJERCICIO 02 (SIN VARIABLES) Los engranes giran libremente sobre sus soportes de pasador. Sus momentos de inercia son y .Los engranes están en reposo al aplicar un par constante al engrane . Ignorando la fricción, use el principio del trabajo y energía para las velocidades angulares cuando el engrane A ha girado .

DESARROLLO Desde el principio del trabajo y la energía: Donde = 0 ya que el sistema parte del reposo. El trabajo realizado es ∫ El engrane B gira en una dirección positiva, el engrane A gira en dirección negativa, . El ángulo recorrido por el engrane B es: (

)

Entonces: La energía cinética es: ( ) Donde:

( )

( ) ( )(

(

)

(

)

√

)

COMPARACIÓN

𝐼𝐴 𝐴 𝑘𝑔 𝑚 𝐼𝐵 𝐵 𝑘𝑔 𝑚 𝑀 𝐶𝑁 𝑚 𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠. 𝑅𝐴 𝑥 𝑚𝑚 𝑅𝐵 𝑦 𝑚𝑚

( √

𝐼𝐴 𝐼𝐵 𝑀

𝑘𝑔 𝑚 𝑘𝑔 𝑚 𝑁 𝑚 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠. 𝑅𝐴 𝑚𝑚 𝑅𝐵 𝑚𝑚

)

( )(

(

(

)

)

)

DINAMICA TEMA: ALUMNO:

TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS

NOTA :

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:384

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

8.14

DESARROLLO

EJERCICIO 03 (CON VARIABLES)

Al girar la rueda A en sentido antihorario, las ruedas B y C también giran en el mismo sentido y con la misma velocidad . Si tienen la misma velocidad lineal, entonces podemos relacionar las velocidades angulares de las tres ruedas, por comodidad las dejaremos en función de la velocidad angular de A, ya que es esta la que nos piden en el ejercicio.

Las poleas pueden girar libremente sobre sus soportes de pasador. Sus momentos de inercia de masa son , e . Las poleas están en reposo cuando un par constante M en N-m se aplica a A. ¿Cuál es la velocidad angular de A después de m revoluciones? los radios de los discos mostrados en el grafico están en metros.

( )

Por el principio de trabajo y energía La energía cinética inicial a girar de reposo

dado a que las poleas empiezan

La energía cinética es ( )

( )

( )

( )[

( )

(( ) ) ]

El trabajo ∫

Donde M es el par constante que empieza a girar a la polea A Por dato sabemos que Remplazando en la ecuación anterior Remplazamos los valores del trabajo y energía en la ecuación 1 y tenemos

( )[

√

[

( )

( )

(( ) ) ]

(( ) ) ]

DESARROLLO Al girar la rueda A en sentido antihorario, las ruedas B y C también giran en el mismo sentido y con la misma velocidad . Si tienen la misma velocidad lineal, entonces podemos relacionar las velocidades angulares de las tres ruedas, por comodidad las dejaremos en función de la velocidad angular de A, ya que es esta la que nos piden en el ejercicio. EJERCICIO 03 (SIN VARIABLES) Las poleas pueden girar libremente sobre sus soportes de pasador. Sus momentos de inercia de masa son , e . Las poleas están en reposo cuando un par constante M= 2 N-m se aplica a A. ¿Cuál es la velocidad angular de A después de 10revoluciones?

(

)

Por el principio de trabajo y energía

La energía cinética inicial a girar de reposo

dado a que las poleas empiezan

LA ENEGIA CINETICA ES ( ) ( )

( ) [

(

( ) )

((

) ) ]

EL TRABAJO ES ∫ Donde M=2 N-m es el par constante que empieza a girar a la polea A Por dato sabemos que Remplazando en la ecuación anterior Remplazamos los valores del trabajo y energía en la ecuación 1 y tenemos

√ Donde

COMPROBACIÓN

Remplazamos en la ecuación de la velocidad angular en A, del ejercicio con variables

√

√

[

[

( )

(

√

(( ) ) ]

)

((

) ) ]

DINAMICA TEMA:

TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

EJERCICIO 04 (CON VARIABLES)

NOTA : FECHA:06/06/2012

384

CLAVE:

PROBLEMA Nº: 8.18

DESARROLLO Para resolver este problema aplicamos el teorema del trabajo y energía POSICION 1

Modele el brazo ABC de la figura como un solo cuerpo rígido. Su masa es m kg Y el momento de inercia de masa respecto a su centro de masa es I en kg-m2. Partiendo del reposo con su centro de masa x metros arriba del suelo (posición1), los cilindros hidráulicos empujan el brazo ABC hacia arriba. Cuando está en la posición mostrada (posición 2), su velocidad angular antihoraria es de w0 rad/s. ¿Cuánto trabajo efectúan los cilindros hidráulicos sobre el brazo al moverlo de la posición 1 a la posición 2? Si las distancias dadas en la figura están en metros.

POSICION 2

La distancia de A al centro de masa √ El momento de inercia en A

PARA EL TRABAJO El trabajo efectuado por el brazo ABC de la posición 1 a la posición 2 es el trabajo realizado por los cilindros menos el trabajo realizado por el peso del brazo.

PARA LA ENERGIA CINETICA Dado a que parte del reposo. [

]

Ahora remplazamos en la ecuación 1

[ [

] ]

DESARROLLO EJERCICIO 04 (SIN VARIABLES) Modele el brazo ABC de la figura como un solo cuerpo rígido. Su masa es de 300 kg Y el momento de inercia de masa respecto a su centro de masa es I= 360 kg-m2. Partiendo del reposo con su centro de masa 2 m arriba del suelo (posición1), los cilindros hidráulicos empujan el brazo ABC hacia arriba. Cuando está en la posición mostrada (posición 2), su velocidad angular antihoraria es de l.4 rad/s. ¿Cuánto trabajo efectúan los cilindros hidráulicos sobre el brazo al moverlo de la posición 1 a la posición 2?

Para resolver este problema aplicamos el teorema del trabajo y energía PARA EL TRABAJO El trabajo efectuado por el brazo ABC de la posición 1 a la posición 2 es el trabajo realizado por los cilindros menos el trabajo realizado por el peso del brazo.

PARA LA ENERGIA CINETICA Dado a que parte del reposo.

Ahora remplazamos en la ecuación 1

POSICION 1

POSICION 2

LA DISTANCIA DE AB √

EL MOMENTO DE INERCIA EN A

Remplazando en la ecuación 2

COMPARACIÓN

Remplazamos en la ecuación obtenida para el trabajo del cilindro (en el ejercicio con variables). [

[

]

]

1661+3973.05

5634 N.m

DINAMICA TEMA:

TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 384

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 05 (CON VARIABLES)

La masa del disco cilíndrico homogéneo mostrado es m y su radio es R. El disco está en reposo cuando se le aplica un par M constante horario. Use el trabajo y la energía para determinar la velocidad angular del disco cuando éste ha rodado una distancia b.

DESARROLLO

( )

(

)

( )

√

CLAVE: 8.19

EJERCICIO 05 (SIN VARIABLES) La masa del disco cilíndrico homogéneo mostrado es 5 kg y su radio es 0.2 m. El disco está en reposo cuando se le aplica un par 10 N.m constante horario. Use el trabajo y la energía para determinar la velocidad angular del disco cuando éste ha rodado una distancia 0.4 m.

DESARROLLO

( )

(

)

(

(

)

)

COMPROBACIÓN: M=10 N.m b=0.4 m R=0.2 m m=5 kg √

√

DINAMICA TEMA: TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS ALUMNO: GRUPO Nº 04 CONTROL DE LECTURA Nº: CODIGO: AUTOR: BEDFORD FOWLER PAGINA Nº: 385

NOTA : FECHA: 06/06/2012 CLAVE: PROBLEMA Nº: 3.21

EJERCICIO 06 (CON VARIABLES) En la figura 8.21 el disco escalonado pesa y su momento de inercia es . Si se libera del reposo ¿cuál es la velocidad angular cuando el centro de masa ha caído ?

DESARROLLO El trabajo realizado por el peso del disco es: (

)(

⁄ )(

Igualamos el trabajo a la energía cinética final

Usamos la relación: ( Y resolviendo para

√

:

)

)

DESARROLLO

EJERCICIO 06 (SIN VARIABLES)

El trabajo realizado por el peso del disco es: En la figura 8.21 el disco escalonado pesa 40lb y su momento de inercia es I=0.2slug-pie2. Si se libera del reposo ¿cuál es la velocidad angular cuando el centro de masa ha caído 3 pies?

(

)(

⁄ )(

Igualamos el trabajo a la energía cinética final

Usamos la relación: ( Y resolviendo para

:

)

)

COMPROBACIÓN:

𝐼

√

√

𝐴 𝑙𝑏 𝐵𝑠𝑙𝑢𝑔 𝐶 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒 𝑝𝑖𝑒𝑠

DINAMICA TEMA:

TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

NOTA : FECHA: 06/06/2012 385

EJERCICIO 07 (CON VARIABLES)

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 8.22

DESARROLLO Por el teorema del trabajo y energía

El disco cilíndrico homogéneo de m kilogramos mostrado está en reposo cuando se aplica la fuerza F a una cuerda enrollada alrededor de él, ocasionando que el disco ruede. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad angular del disco cuando éste ha girado n revoluciones. si r esta en metros

Donde T1 = 0 puesto que el disco inicialmente está en reposo. AHORA PARA ( )

( )

Dado a que el disco tiene movimiento plano general. Donde

Y , tenemos ( )(

)

( )

Por dato sabemos que La distancia recorrida por el disco en n revoluciones es Como la cuerda se desenrolla, la fuerza F, actúa a través de una distancia

Ahora calculamos el trabajo realizado por la fuerza F ∫ ,

( )(

)

( )

√

( )

[

]

EJERCICIO 07 (SIN VARIABLES) El disco cilíndrico homogéneo de 100 kg mostrado está en reposo cuando se aplica la fuerza F = 500 N a una cuerda enrollada alrededor de él, ocasionando que el disco ruede. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad angular del disco cuando éste ha girado una revolución.

DESARROLLO Por el teorema del trabajo y energía Donde T1 = 0 puesto que el disco inicialmente está en reposo. AHORA PARA ( )

( )

Dado a que el disco tiene movimiento plano general.

Donde Y

, tenemos ( )

( )

Por dato sabemos que La distancia recorrida por el disco en una revolución es Como la cuerda se desenrolla, la fuerza F, actúa a través de una distancia

Ahora calculamos el trabajo realizado por la fuerza F ∫ ,

√

COMPROBACION

Remplazando √ √

DINAMICA TEMA:

TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:

NOTA : FECHA: 06/06/2012 385

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 08 (CON VARIABLES) En la Fig., al disco cilíndrico homogéneo de “m” slug se le imparte una velocidad angular horaria de “w” rad/s con el resorte sin estirar. La constante del resorte es “k” lb/pie. Si el disco rueda, ¿cuánto se moverá su centro hacia la derecha?

DESARROLLO

(

)

√

CLAVE: 8.23

EJERCICIO 08(SIN VARIABLES)

DESARROLLO

En la Fig., al disco cilíndrico homogéneo de 1slug se le imparte una velocidad angular horaria de 2 rad/s con el resorte sin estirar. La constante del resorte es k = 3 lb/pie. Si el disco rueda, ¿cuánto se moverá su centro hacia la derecha?

( [

) ]

COMPROBACION R=1 pie w=2 rad/s m=1 slug k=3 lb/pie √ √

DINAMICA TEMA:

TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:386

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 09 (CON VARIABLES)

DESARROLLO ( )

En el Probo 8.30, determine la magnitud de la velocidad angular de la barra cuando ésta ha alcanzado la posición vertical si la barra y el disco están conectados por un pasador liso en A.

( )

(PROBLEMA 8.30: La barra esbelta mostrada pesa “P” lb y el disco cilíndrico “p” lb. El sistema se libera del reposo con la barra horizontal. Determine la magnitud de la velocidad angular de la barra cuando esté vertical si la barra y el disco están soldados en A.)

(

( )

√

)

CLAVE: 8.31

EJERCICIO 09 (SIN VARIABLES) DESARROLLO En el Probo 8.30, determine la magnitud de la velocidad angular de la barra cuando ésta ha alcanzado la posición vertical si la barra y el disco están conectados por un pasador liso en A. (PROBLEMA 8.30: La barra esbelta mostrada pesa 30 lb y el disco cilíndrico 20 lb. El sistema se libera del reposo con la barra horizontal. Determine la magnitud de la velocidad angular de la barra cuando esté vertical si la barra y el disco están soldados en A.)

(

)

COMPROBACIÓN: P=30 lb p=20 lb a=4 pies g=32.2 pie/s2 √

√

DINAMICA TEMA:

TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:387

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 10 (CON VARIABLES)

CLAVE: 8.32

DESARROLLO

Realizamos el diagrama de cuerpo libre (DCL) En la Figura la caja de lb es jalada por el malacate hacia arriba sobre el plano inclinado. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es . El momento de inercia de masa del tambor en que está enrollado el cable, incluido éste, es , El motor ejerce un par M = b pie-lb constante sobre el tambor. Si la caja parte del reposo, use el principio del trabajo y la energía para determinar su velocidad cuando se ha desplazado d pies. Hallamos el valor de la normal: Como la caja se mueve de 2 pies, el tambor gira un ángulo:

Por lo que el trabajo realizado es: ( ) (

) (

Sabemos que la velocidad es:

)

La energía cinética final es:

(

) (

)

Igualamos el trabajo a la energía cinética final para despejar :

(

(

√

)

)

⁄

Ahora calculamos el valor de la velocidad:

⌈√ ⌈ ⌈ [

(

)⌉ ⌉ ⌉ ]

⁄

EJERCICIO 10 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO Realizamos el diagrama de cuerpo libre (DCL)

En la Figura la caja de 100lb es jalada por el malacate hacia arriba sobre el plano inclinado. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es . El Hallamos el valor de la normal: momento de inercia de masa del tambor en que está enrollado el Como la caja se mueve de 2 pies, el tambor gira un ángulo: cable, incluido éste, es , El motor ejerce un par M = 40 pie-lb constante sobre el tambor. Si la caja parte del reposo, use el principio del trabajo y la energía para determinar su velocidad cuando se ha desplazado Por lo que el trabajo realizado es: 2 pies. ( ) (

) (

)

Sabemos que la velocidad es: La energía cinética final es:

(

) (

)

Igualamos el trabajo a la energía cinética final para despejar :

√ Ahora calculamos el valor de la velocidad:

⁄

COMPROBACIÓN: Para los valores de

La velocidad es: (

⌈√ ⌈ ⌈ [ ⌈√ ⌈ ⌈ [

)⌉ ⌉ ⌉ ]

(

⁄

)⌉ ⌉ ⌉ ] ⁄

⁄

DINAMICA TEMA:

TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:387

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 11 (CON VARIABLES)

CLAVE: 8.33

DESARROLLO Hacemos el diagrama de cuerpo libre:

En la figura cada una de las barras esbeltas de pesa y la placa rectangular pesa Si el sistema se libera del reposo en la posición mostrada. ¿Cuál será la velocidad de la placa cuando las barras estén verticales?

El trabajo realizado es: Donde:

La energía cinética es: ( )(

)

[ (

)]

( )(

)

[ (

)]

Usamos:

Sustituyendo:

EJERCICIO 11 (SIN VARIABLES) DESARROLLO En la figura cada una de las barras Hacemos el diagrama de cuerpo libre: esbeltas de pesa y la placa rectangular pesa 20lb. Si el sistema se libera del reposo en la posición mostrada. ¿Cuál será la velocidad de la placa cuando las barras estén verticales?

El trabajo realizado es: Donde:

La energía cinética es: ( )( Usamos: Sustituyendo:

)

[ (

)]

COMPROBACIÓN: 𝐴 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝐵𝑙𝑏 𝑙𝑏 𝐶𝑙𝑏 𝑙𝑏 𝑋

Sustituyendo:

DINAMICA TEMA:

TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:387

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 12 (CON VARIABLES) La polea A mostrada pesa lb, y . Si el sistema parte del reposo, ¿cuál es la velocidad del peso de lb cuando ha caído x pies?

CLAVE: 8.36

DESARROLLO Realizamos el diagrama de cuerpo libre (DCL):

Cuando cae la masa C a una distancia x, el centro de la polea se eleva ½ x. la energía potencial es:

(

[

)

]

La velocidad angular de la polea B es: La velocidad angular de la polea A es: La velocidad del centro de la polea A es: La energía cinética total es: (

)

( )

(

)

(

)

(

(

)

(

)( )

)

[

]

Aplicando la conservación de la energía a las posiciones inicial y final:

[

]

[

]

[

]

[

] [

]

[

] [

√ [

]

⁄ ]

EJERCICIO 12 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO Realizamos el diagrama de cuerpo libre (DCL):

La polea A mostrada pesa 4 lb, y . Si el sistema parte del reposo, ¿cuál es la velocidad del peso de 16 lb cuando ha caído 2 pies?

Cuando cae la masa C a una distancia x, el centro de la polea se eleva ½ x. la energía potencial es:

(

La velocidad angular de la polea B es:

La velocidad angular de la polea A es:

La velocidad del centro de la polea A es:

)

La energía cinética total es: ( (

)

( )

)

( ) (

(

(

)

)( )

)

Aplicando la conservación de la energía a las posiciones inicial y final:

√ ⁄

COMPROBACIÓN: Para los valores de:

a=12 b=8

x=2

La velocidad es: [

√

]

[

]

[

√

⁄

]

[

⁄ ]

√

⁄ ⁄

DINAMICA TEMA:

TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:387

PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 13 (CON VARIABLES) La escalera de mostrada se libera del reposo con La pared y el piso son lisos. Modelando la escalera como una barra esbelta, utilice la conservación de energía para determinar la velocidad angular de la barra cuando

CLAVE: 8.33

DESARROLLO

Elegimos el punto de referencia a nivel del suelo. La energía potencial en la posición inicial es: ( ) La energía potencial en la posición final es: ( ) Las coordenadas del centro de rotación será: donde en la posición final La distancia del centro de rotación del centro de la barra de masa es La velocidad angular acerca de este centro de es ( ) donde es la velocidad del centro de masa de la escalera. La energía cinética de la escalera es: ( )

( )(

)

(

)

Donde: ( ) El principio de conservación de la energía: ; ( ) ( )

( )

(

)

EJERCICIO 13 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

Elegimos el punto de referencia a nivel del suelo. La energía potencial en la posición inicial es:

La escalera de mostrada se libera del reposo con La ( ) pared y el piso son lisos. Modelando la La energía potencial en la posición final es: escalera como una barra esbelta, utilice la conservación de energía para ( ) determinar la velocidad angular de la barra cuando Las coordenadas del centro de rotación será: donde en la posición final La distancia del centro de rotación del centro de la barra de masa es La velocidad angular acerca de este centro de es ( ) donde es la velocidad del centro de masa de la escalera.

La energía cinética de la escalera es: ( )

( )(

)

(

Donde: ( ) El principio de conservación de la energía: ;

( ) ( )

Resolviendo:

(

)

)

COMPROBACIÓN:

𝜃 𝜃

( )

( )

𝐿

𝑚

𝐴 𝐵

( )

( )

(

)

(

)

DINAMICA TEMA:

TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:06/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº:415

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 8.83

DESARROLLO EJERCICIO 14 (CON VARIABLES) El momento de inercia de masa de la polea mostrada es de kgm. El sistema se libera del reposo. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad del cilindro cuando ha caído m.

Elegimos un sistema de coordenadas con el eje “y” positivo hacia arriba; también dibujamos el DCl:

Por el principio de Trabajo y energía, ya que el sistema se libera desde el reposo. El trabajo realizado por el peso de la izquierda es:

donde

∫ El trabajo realizado por el peso del derecho es: ∫ Dado que la polea es de uno a uno,

a partir de lo cual:

La energía cinética es: Dado que la polea es de uno a uno,

.Por cinemática:

Entonces: (

) (

)

Remplazamos los valores en el principio de trabajo y energía:

√

(

)

(

)

DESARROLLO EJERCICIO 14 (SIN VARIABLES) El momento de inercia de masa de la polea mostrada es de 0.2 kg-m. El sistema se libera del reposo. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad del cilindro cuando ha caído 1 m.

Elegimos un sistema de coordenadas con el eje “y” positivo hacia arriba; también dibujamos el DCl:

Por el principio de Trabajo y energía, ya que el sistema se libera desde el reposo. El trabajo realizado por el peso de la izquierda es:

donde

∫ El trabajo realizado por el peso del derecho es: ∫ Dado que la polea es de uno a uno, partir de lo cual:

y

a

La energía cinética es:

Dado que la polea es de uno a uno, cinemática:

.Por

Entonces: (

)

Remplazamos los valores en el principio de trabajo y energía:

√

⁄

COMPROBACIÓN: Para los valores de:

a=150

La velocidad es: √

√

√ √

⁄

DINAMICA

CINÉTICA - CANTIDAD DE MOVIMIENTO - SÓLIDO

GRUPO N 04

DINAMICA TEMA:

CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:27/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 395

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 8.44

EJERCICIO 01 (CON VARIABLES) Un astronauta dispara un impulsor de su unidad de maniobras ejerciendo una fuerza Newtons, donde t está en segundos. La masa combinada del astronauta y su equipo es de m kilogramos, Y el momento de inercia de masa respecto al centro de masa común es de I en kg-m2, Modelando al astronauta y a su equipo como un cuerpo rígido, use el principio del impulso angular y el momento angular para determinar cuánto tarda su velocidad angular en alcanzar el valor de w2 rad/s.

DESARROLLO Aplicando el principio de impulso y momento angular ∫ ∑ Donde ω1 = 0, ya que el astronauta está inicialmente en reposo. La distancia normal desde la línea de empuje hacia el centro de masa es d metros, donde ∫

∫

(

)

Ordenando: Resolviendo Donde A=1, B=2, C= √

EJERCICIO 01 (SIN VARIABLES) DESARROLLO Un astronauta dispara un impulsor de su unidad de maniobras ejerciendo una fuerza T = 2(1 + t) N, donde t está en segundos. La masa combinada del astronauta y su equipo es de 122 kg, Y el momento de inercia de masa respecto al centro de masa común es de 45 kgm2, Modelando al astronauta y a su equipo como un cuerpo rígido, use el principio del impulso angular y el momento angular para determinar cuánto tarda su velocidad angular en alcanzar el valor de 0.1 rad/s.

Aplicando el principio de impulso y momento angular ∫ ∑ Donde ω1 = 0, ya que el astronauta está inicialmente en reposo. La distancia normal desde la línea de empuje hacia el centro de masa es R = 0,3 m, donde ∫

(

)

Ordenando Donde b=1, c=-15. Resolviendo √ Dado que la solución negativa no tiene sentido aquí,

COMPROBACIÓN:

𝑑

𝑚 𝑎

√

Por tratarse de tiempo, magnitud escalar, tomamos el valor positivo

DINAMICA TEMA:

CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:27/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 395

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 8.46

DESARROLLO

(a) Desde el principio del impulso momento y momento angular, ∫ ∑

EJERCICIO 02 (CON VARIABLES) Un volante unido a un motor eléctrico está en reposo. En t =0 el motor ejerce un par = a e-bt N-m sobre el volante, cuyo momento de ⁄ inercia de masa es de (a) ¿Cuál es la velocidad angular del volante en t = 10 s? (b) ¿Cuál es la máxima velocidad angular que alcanzará?

Donde

= 0, ya que el motor arranca desde el reposo. ∫ [

]

[

]

A partir de qué [

]

(b) Una inspección de la función impulso angular muestra que la velocidad angular del volante es una función monótona creciente del tiempo, de modo que el mayor valor se produce cuando . [

]

DESARROLLO

EJERCICIO 02 (SIN VARIABLES)

(a) Desde el principio del impulso momento y momento angular, ∫ ∑

Un volante unido a un motor eléctrico está en reposo. En t =0 el Donde motor ejerce un par = 200 e-0.1t N-m sobre el volante, cuyo momento de ⁄ inercia de masa es de (a) ¿Cuál es la velocidad angular del volante en t = 10 s? (b) ¿Cuál es la máxima velocidad angular que alcanzará?

= 0, ya que el motor arranca desde el reposo. ∫ [

] [

] –

–

A partir de qué

(b) Una inspección de la función impulso angular muestra que la velocidad angular del volante es una función monótona creciente del tiempo, de modo que el mayor valor se produce cuando . [

]

COMPARACIÓN

a=200 b=0.1 I=10

(a) [ [

(b)

] ]

DINAMICA TEMA:

CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:27/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 395

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 8.48

EJERCICIO 03 (CON VARIABLES) DESARROLLO Se muestra la fuerza que un bastón ejerce sobre una pelota de golf de F. La pelota tiene diámetro y se puede modelar como una esfera homogénea. El bastón toca la pelota durante t segundos, y la magnitud de la velocidad del centro de masa de la pelota después del golpe es de . ¿Qué velocidad angular adquiere la pelota?

Momento lineal: El momento angular

Donde I es el momento de inercia con respecto al centro de masa Como la esfera es homogénea, su momento de inercia es , donde r =d/2, r= radio y d= diámetro

Remplazamos

EJERCICIO 03 (SIN VARIABLES) DESARROLLO Se muestra la fuerza que un bastón ejerce sobre una pelota de golf de 1.62 onzas. La pelota tiene 1.68 Momento lineal: pulgadas de diámetro y se puede modelar como una esfera El momento angular homogénea. El bastón toca la pelota durante 0.0006 s, y la magnitud de la velocidad del centro de masa de la pelota después del golpe es de 160 pie/s. Convirtiendo las unidades dadas ¿Qué velocidad angular adquiere la pelota?

Remplazamos

Resolviendo

COMPARACIÓN

𝑚 𝑑 𝑥

𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠 𝑘𝑔 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑡 𝑣 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠

DINAMICA TEMA:

CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:27/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 396

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 8.51

DESARROLLO

EJERCICIO 04 (CON VARIABLES) En la figura P.8.51. La fuerza ejercida sobre la bola por el taco es horizontal. Determine el valor de para el cual la bola rueda sin resbalar. (Suponga Desde el principio del impulso y momento angular tenemos: que la fuerza media de fricción ejercida sobre la bola por la mesa es insignificante) ∫ Donde , porque la bola se encuentra inicialmente parada. El principio de impulso y momento lineal: ∫ Donde

, porque la bola se encuentra inicialmente parada.

La bola es una esfera homogénea

Sustituyendo:

( )

DESARROLLO

EJERCICIO 02 (SIN VARIABLES)

Desde el principio del impulso y momento angular tenemos: En la figura P.8.51. La fuerza ejercida ∫ sobre la bola por el taco es horizontal. Determine el valor de para el cual la bola rueda sin resbalar. (Suponga Donde , porque la bola se encuentra inicialmente parada. que la fuerza media de fricción El principio de impulso y momento lineal: ejercida sobre la bola por la mesa es insignificante) ∫ Donde

, porque la bola se encuentra inicialmente parada.

La bola es una esfera homogénea

Sustituyendo:

COMPARACIÓN

R=10

( ) ( )

DINAMICA TEMA:

CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:27/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 396

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 8.52

EJERCICIO 05 (CON VARIABLES) Una persona de pie sobre una plataforma en rotación sostiene un peso en cada mano. Suponga que el momento de inercia de masa de la DESARROLLO persona y la plataforma es de 2 slug-pie , que el momento de inercia de masa de cada peso de M Por la conservación del momento angular lb respecto a su propio centro de masa es de slug-pie2. Si la velocidad angular de la persona con sus brazos extendidos es w rev/ s, ¿cuál es su velocidad angular w2 cuando ella recoge los brazos? (Los patinadores usan esta maniobra para controlar su Ahora como el momento angular se conserva hacemos velocidad angular durante las rotaciones alterando las posiciones de sus brazos.)

EJERCICIO 05 (SIN VARIABLES) Una persona de pie sobre una DESARROLLO plataforma en rotación sostiene un peso en cada mano. Suponga que el momento de inercia de masa de la persona y la plataforma es de 0.3 Por la conservación del momento angular slug-pie2, que el momento de inercia de masa de cada peso de 8lb respecto a su propio centro de masa es de 0.0008 slug-pie2• [ ( ) velocidad angular de la persona con sus brazos extendidos es w=1rev/ s, ¿cuál es su velocidad angular w2 cuando ella recoge los brazos? (Los patinadores usan esta maniobra para controlar su velocidad angular durante las [ ( ) rotaciones alterando las posiciones de sus brazos.)

]

]

Ahora como el momento angular se conserva hacemos

COMPARACIÓN

𝐼𝑃 𝑚

𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠

𝑎 𝑏 𝜔 𝐼𝑀

[ [

( (

)

)

𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝𝑖𝑒

] ]

DINAMICA TEMA:

CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:27/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 397

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 8.55

DESARROLLO EJERCICIO 06 (CON VARIABLES)

De la definición del momento angular, sólo la posición radial de la corredera será necesario tomar en cuenta al aplicar el principio La barra esbelta mostrada gira de la conservación del momento angular; esto es cuando la cuando no cambia el libremente en un plano horizontal velocidad de la corredera en respecto a un eje vertical en O. La momento angular de la barra. barra pesa y su longitud es de El deslizador A pesa . Si ( ) ( ) la velocidad angular de la barra es y la componente radial de la velocidad A es cero Convirtiendo: cuando ¿cuál es la velocidad angular de la barra cuando ? El momento de inercia de masa de A respecto a su centro de masa es insignificante, es decir considere a como una partícula. Reemplazando datos: ( (

)

)

)

)

(

)

(

)

)

(

)

( )

( (

(

( ( )

(

)

( )

(

)

( )

)

EJERCICIO 06 (SIN VARIABLES)

DESARROLLO

La barra esbelta mostrada gira libremente en un plano horizontal respecto a un eje vertical en O. La barra pesa y su longitud es de El deslizador A pesa . Si la velocidad angular de la barra es y la componente radial de la velocidad A es cero cuando ¿cuál es la velocidad angular de la barra cuando ? El momento de inercia de masa de A respecto a su centro de masa es insignificante, es decir considere a como una partícula.

De la definición del momento angular, sólo la posición radial de la corredera será necesario tomar en cuenta al aplicar el principio de la conservación del momento angular; esto es cuando la velocidad de la corredera en cuando no cambia el momento angular de la barra. (

)

(

Convirtiendo:

Reemplazando datos: (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

COMPARACIÓN

𝑥 𝑦 𝑧 𝑚 𝑎 𝑏

𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑙𝑏 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑝𝑖𝑒 𝑝𝑖𝑒𝑠

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

DINAMICA TEMA: ALUMNO:

CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO

NOTA :

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:27/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 396

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 8.60

DESARROLLO ⁄ ( EJERCICIO 07 (CON VARIABLES)

)(

)

El momento angular se conserva alrededor de P

El viento ocasiona que el barco de ilustrado se mueva lentamente El coeficiente de restitución es: a y golpee el muelle fijo en P. El momento de inercia de la masa del barco respecto a su centro de masa es de y el Donde es la componente vertical de la velocidad de P coeficiente de restitución del después del impacto. La velocidad impacto es ¿Cuál es la velocidad angular del barco después del impacto? Resolviendo las ecuaciones [

⁄] ⁄

Resolviendo las ecuaciones (1) y (3) se obtiene: [

]

[

] [

]

⁄

DESARROLLO

EJERCICIO 07 (SIN VARIABLES)

El momento angular se conserva alrededor de P

El coeficiente de restitución es: El viento ocasiona que el barco de ilustrado se mueva Donde es la componente vertical de la velocidad de P lentamente a y golpee el después del impacto. La velocidad muelle fijo en P. El momento de inercia de la masa del barco respecto a su centro de masa es de y el coeficiente Resolviendo las ecuaciones de restitución del impacto es ¿Cuál es la velocidad angular del barco después del impacto? ( )

Resolviendo las ecuaciones (1) y (3) se obtiene: (

)

COMPARACIÓN

a=600 b=1 I= e=0.2 d=52 f=150

[

]

[

⁄ ]

⁄

DINAMICA TEMA: ALUMNO:

CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO

NOTA :

GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 27/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 409

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

8.61

DESARROLLO El momento angular se conserva alrededor de P EJERCICIO 08 (CON VARIABLES) El viento ocasiona que el barco de 600 ton ilustrado se mueva lateralmente a v pie/s y golpee el muelle fijo en P. El momento de inercia de masa del barco respecto a su centro de masa es de I slug-pie2, y el coeficiente de restitución del impacto es e. ¿Cuál es la velocidad angular del barco después del impacto? En el Prob 8.60, si la duración del impacto del barco con el muelle es de t s, ¿cuál es el valor medio de la fuerza ejercida por el impacto sobre el barco?

El coeficiente de fricción es

Donde v’p es la componente vertical de la velocidad de P después de que el impacto. Las velocidades v’ y v están relacionados por

[

]

Fp será la fuerza media ejercida sobre el buque por el apilamiento. Aplicamos el teorema de momento lineal y impulso.

[

[

]

]

Resolviendo, obtenemos [

[

]

]

DESARROLLO El momento angular se conserva alrededor de P Convirtiendo 600 ton=1322 774.65 lb = 41079.96 slug EJERCICIO 08 (SIN VARIABLES) El viento ocasiona que el barco de 600 ton ilustrado se mueva lateralmente a 1 pie/s y golpee el muelle fijo en P. El momento de inercia de masa del barco respecto a su centro de masa es de 3 x 108 slug-pie2, y el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.2. ¿Cuál es la velocidad angular del barco después del impacto? En el Probo 8.60, si la duración del impacto del barco con el muelle es de 10 s, ¿cuál es el valor medio de la fuerza ejercida por el impacto sobre el barco?

El coeficiente de fricción es

Donde v’p es la componente vertical de la velocidad de P después de que el impacto. Las velocidades v’ y v están relacionados por – (

)

Fp será la fuerza media ejercida sobre el buque por el apilamiento. Aplicamos el teorema de momento lineal y impulso. Resolviendo, obtenemos

COMPROBACIÓN

𝑡

𝑚 𝑣 𝑣 𝑎 𝐼

𝑠 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠 𝑝𝑖𝑒 𝑠

𝑒

𝑝𝑖𝑒𝑠

[

[

[

[

]

]

]

]

DINAMICA TEMA:

CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:27/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 410

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 8.71

DESARROLLO

EJERCICIO 09 (CON VARIABLES) Una rueda que se puede modelar como un disco cilíndrico homogéneo de a slug rueda a pie/ s sobre una superficie horizontal hacia un escalón de h pulg. Si la rueda permanece en contacto con el escalón y no resbala Aplicamos la conservación del momento angular alrededor de O mientras rueda sobre él, ¿cuál es la para analizar el impacto con el paso. velocidad de la rueda una vez que está sobre el escalón? ( ) ( ) (

)

[

(

]( )

) (

( )

)

(

(

[(

[ )

(

) ) (

( (

](

)

)

) ]

)

)

⁄

A continuación, se aplica el trabajo y la energía en el "escalón" en el paso. [

( ) ] [ [

[ [

[

( ) ] ]( ) ]

]( ) ]

[ [

]

[

]

[

] ]

[

(

[(

(

(

(

√(

)

[(

[(

]

) )

(

(

)

)

(

]

)

) (

)

]

( )

)

]

)

)

)

⁄

DESARROLLO

EJERCICIO 09 (SIN VARIABLES) Aplicamos la conservación del momento angular alrededor de O Una rueda que se puede modelar para analizar el impacto con el paso. como un disco cilíndrico homogéneo ( ) ( ) de 1 slug rueda a 10 pie/ s sobre una superficie horizontal hacia un escalón [ ]( ) [ ]( ) de 6 pulg. Si la rueda permanece en contacto con el escalón y no resbala mientras rueda sobre él, ¿cuál es la velocidad de la rueda una vez que ( ) ( ) ( ) está sobre el escalón?

⁄ A continuación, se aplica el trabajo y la energía en el "escalón" en el paso. [

( ) ] [

[

( ) ]

[

[

[ [ [

]( ) ] ]( ) ]

]

[

]

[ [

(

] ]

) √

]

⁄

COMPARACIÓN

h=6 R=18

√(

√(

[(

) (

[(

)

]

(

)

]

)

) (

(

) ⁄

)

)

⁄

⁄

DINAMICA TEMA:

CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 27/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 410

PROBLEMA Nº:

DESARROLLO

EJERCICIO 10 (CON VARIABLES) En la figura 8.74, la velocidad del centro de masa de la gimnasta de es y su velocidad angular es cero justo antes de que sujete la barra en A. En la posición mostrada, su momento de inercia de masa respecto a su centro de masa es Convirtiendo: Si se modela como un cuerpo rígido, ¿cuál es la velocidad de su centro de masa y su velocidad angular justo antes de que sujete la barra?

Calculando él

y el

|

√

|

Resolviendo la ecuación, y relacionando La velocidad

CLAVE:

8.74

DESARROLLO

EJERCICIO 10 (SIN VARIABLES)

En la figura 8.74, la velocidad del centro de masa de la gimnasta de Convirtiendo: es y su velocidad angular es cero justo antes de que sujete la barra en A. En la posición mostrada, su momento de inercia de masa respecto a su centro de masa es Si se modela como un cuerpo rígido, ¿cuál es la velocidad de su centro de masa y Calculando él su velocidad angular justo antes de que sujete la barra?

y el

|

|

Resolviendo la ecuación, y relacionando y La velocidad

.

obtenemos que

COMPROBACIÓN

𝐴𝑙𝑏 𝑚𝑖 𝑛𝑗 𝐶 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝𝑖𝑒 𝑝 𝑞 𝑝𝑢𝑙𝑔

|

Resolviendo la ecuación, y relacionando La velocidad

𝑖

𝑙𝑏

𝑠𝑙𝑢𝑔

𝑗

𝑝𝑖𝑒 𝑝𝑢𝑙𝑔

|

obtenemos que

y

.

DINAMICA TEMA:

CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA: 27/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 411

PROBLEMA Nº:

CLAVE:

8.75

DESARROLLO

EJERCICIO 11 (CON VARIABLES)

Utilizamos trabajo y energía para determinar la velocidad de la placa descendente justo antes de la cadena se ponga tensa:

La placa rectangular homogénea de mostrada libera del reposo (fig. a) y cae antes de que la cuerda unida a la Resolviendo √ √ esquina A se tense (fig. b) suponiendo que la componente El momento de inercia de la placa es: vertical de la velocidad de A es cero justo después de que la [ ] cuerda se tensa, determine la velocidad angular de la placa y la magnitud de la velocidad de la El momento angular sobre A se conserva: esquina B en ese instante.

La velocidad de A después:

|

La componente j de

|

es cero

Resolviendo la ecuación 1 y 2 La velocidad de B es: |

|

DESARROLLO

EJERCICIO 11 (SIN VARIABLES) Utilizamos trabajo y energía para determinar la velocidad de la La placa rectangular homogénea placa descendente justo antes de la cadena se ponga tensa: de mostrada libera del reposo (fig. a) y cae antes de que la cuerda unida a la esquina A se tense (fig. b) Resolviendo suponiendo que la componente vertical de la velocidad de A es El momento de inercia de la placa es: cero justo después de que la [ ] cuerda se tensa, determine la velocidad angular de la placa y la magnitud de la velocidad de la El momento angular sobre A se conserva: esquina B en ese instante. La velocidad de A después: | La componente j de

|

es cero

Resolviendo la ecuación 1 y 2 Y La velocidad de B es: |

|

COMPROBACIÓN

𝑚 𝑘𝑔 𝑎 𝑚𝑚 𝑝 𝑚𝑚 𝑞 𝑚𝑚 𝑟 𝑚𝑚

𝑘𝑔 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚

El momento de inercia de la placa es: [

]

El momento angular sobre A se conserva:

La velocidad de A después: | La componente j de

|

es cero

Resolviendo la ecuación 1 y 2 Y La velocidad de B es: |

|

DINAMICA TEMA:

CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO

ALUMNO:

GRUPO Nº 04

NOTA :

CONTROL DE LECTURA Nº:

CODIGO:

FECHA:27/06/2012

AUTOR: BEDFORD FOWLER

PAGINA Nº: 418

PROBLEMA Nº:

CLAVE: 8.99

DESARROLLO Elegimos un sistema con el origen de coordenadas en A y el eje de las “x” paralelo a la superficie plana y el eje “y” hacia arriba. La estrategia consiste en: a) Usamos el principio del trabajo y la energía, par calcular la velocidad antes del impacto EJERCICIO 12 (CON VARIABLES) La barra esbelta de m lb mostrada cae del reposo en la posición vertical y golpea el tope liso en B. El coeficiente de restitución del impacto es e, la duración del impacto es s yb=b pie. Determine la fuerza media ejercida sobre la barra en B debido al impacto.

Pero sabemos que …(1) La distancia al centro de masa de la barra es El trabajo realizado por la barra es: ( ) La energía cinética es:

Sabemos que (

)

Remplazamos en (1) ( )

(

)

√ √

⁄

Donde el signo negativo en la raíz cuadrada es elegido para ser compatibles con la elección de las coordenadas. b) Con el coeficiente de restitución, calculamos la velocidad después del impacto.

Donde y son las velocidades de la barra a una distancia b de un impacto, antes y después. Dado que la proyección de B es inmóvil antes y después del impacto

. Entonces:

Sabemos que

y

( √

(√

)

)

⁄

c) El principio de impulso del momento angular, nos ayudará a determinar la fuerza media de impacto. ∫ ∫ Donde que:

es la fuerza ejercida sobre la barra en B, de tal

(

(

)

)

√

DESARROLLO Elegimos un sistema con el origen de coordenadas en A y el eje de las “x” paralelo a la superficie plana y el eje “y” hacia arriba. La estrategia consiste en: a) Usamos el principio del trabajo y la energía, par calcular la velocidad antes del impacto Pero sabemos que

EJERCICIO 12 (SIN VARIABLES)

…(1) La distancia al centro de masa de la barra es El trabajo realizado por la barra es: ( )

La barra esbelta de 10lb mostrada cae del reposo en la posición vertical y golpea el tope liso en B. El coeficiente de restitución del impacto es e = 0.6, la duración del impacto es 0.1 s y b = 1 pie. Determine la fuerza media ejercida sobre la barra en B debido al impacto.

La energía cinética es:

Sabemos que (

)

Remplazamos en (1) ( )

(

)

⁄ Donde el signo negativo en la raíz cuadrada es elegido para ser compatibles con la elección de las coordenadas. b) Con el coeficiente de restitución, calculamos la velocidad después del impacto.

Donde y son las velocidades de la barra a una distancia b de un impacto, antes y después. Dado que la proyección de B es inmóvil antes y después del impacto . Entonces:

Sabemos que

y

⁄ c) El principio de impulso del momento angular, nos ayudará a determinar la fuerza media de impacto. ∫ ∫

Donde que:

es la fuerza ejercida sobre la barra en B, de tal

(

)

COMPARACIÓN

L=3 e=0.6 b=1 m=10 g=32.2

(

(

)

)

√

√