ejercicios resultos

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TRABAJO COLABORATIVO 1 ESTADÍSTICA COMPLEJA

TUTOR ING. ALVARO JAVIER ROJAS BARACALDO

GRUPO 301014_61

PRESENTADO POR: GENISER RAMIREZ RAMIREZ código : 1088283257  ANA MARIA LOZA VALENCIA Código 63.483.672 MARIBEL CHAVERRA Código 1037947555 MARIA LOURDES HERNANDEZ ELIZABETH VALBUENA código 39.811.215

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS SOCIALES ARTES Y HUMANIDADES PROGRAMA DE PSICOLOGÍA OCTUBE 15 DE 2010

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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION OBJETIVOS

1. PROPUESTA DE EJERCIOS 1.1 ANA MARIA LOZA VALENCIA 1.2 MARIBEL CHAVERRA 1.3 MARIA LOURDES HERNANDEZ 1.4 ELIZABETH VALBUENA 1.5 GENISSER RAMIREZ

CONCLUSIONES BIBLIOGRAFIA

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INTRODUCCIÓN

La realidad casi nunca es totalmente predecible. Sin embargo materias como la estadística y probabilidad; permiten acercarnos de forma más segura y certera a esa realidad. la estadística proporciona las herramientas necesarias para hacer inferencias sobre un todo (población) en base a los datos recopilados en sólo unos cuantos elementos observados de la población (muestra) y la  probabilidad  aporta   aporta los elementos de validación de los métodos estadísticos. Cuando a un alumno le preguntamos por el término “probabilidad”, no tiene una visión clara de su definición, sin embargo, asocia este concepto a juegos de azar, lanzamientos de monedas y en algunos casos a la toma de decisiones importantes. Este curos de probabilidad nos permite más que adquirir conocimientos, ampliar nuestra forma de ver y entender lo que nos rodea; pensar de manera distinta, pero a la vez aceptar las buenas ideas; En este trabajo desarrollaremos un taller de ejercicios propuesto por el grupo; que comprendan los contenidos de los capítulos 1, 2 y 3 de la unidad 1 y que Permiten profundizar en los temas allí tratados. Y en el cual cada estudiante propone 6 ejercicios uno por cada tema previamente establecido y tomados de alguna fuente documentación relacionada con el curso

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OBJETIVOS GENERAL Estudiar y aplicar los conocimientos adquiridos en la unidad 1

1. Espacio muestral 2. eventos sucesos 3. técnicas de conteo 4. Axiomas de probabilidad 5. probabilidad condicional 6. teorema de bayes

ESPECIFICO  



Desarrollar en grupo, la guía correspondiente a la unidad 1. Proponer de manera individual un ejercicio por tema, el cual será desarrollado por cada uno de los participantes. Presentar un trabajo único que integre todas las propuestas

5

1.1 ANAMARIA LOZA VALENCIA 1.1.1 Espacio muestral. 1. Se le pidió a 110 comerciantes que dijeran que tipo de programa de televisión preferían. La tabla muestra las respuestas clasificadas a la vez según el nivel de estudios de los comerciantes y según el tipo de programa preferido.

TIPO DE PROGRAMA DEPORTES D NOTICIAS N DRAMA M COMEDIA W TOTAL

COLEGIO A 15 3 5 10 33

NIVEL DE ESTUDIOS UNIVERSIDAD POSTGRADO C B 8 7 27 10 5 15 3 2 43 34

TOTAL 30 40 25 15 110

Especifique el número de elementos en cada uno un o de los siguientes eventos y defínalos con palabras: Solución: a) D = 30 b) A  M = 33 + 25 - 5 = 53 c) W ` = 110 - 15 = 95 d) C ∩ N = 10 e)D∩ B = 8 f) ( M ∩ A) = 110 - 5 = 105 

Ejercicio 1 CAPITULO 1 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Adriana Robayo pág. 22

1.1.2 Eventos sucesos

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2. Se desea observar una familia que posee dos automóviles y para cada uno observamos si fue fabricado en Colombia, si es americano o si es Europeo. a.- Cuales son los posibles resultados de este experimento? Solución

a.- Cuales son los posibles resultados de este experimento? S= (AA, AE, AC, EA, EE, EC, CA, CE, CE, CC) b.- Defina el evento A: Los dos automóviles no son fabricados en Colombia, Liste el evento B: Un automóvil es colombiano y el otro no.  A= (AA, AE, EA, EE) B= (AC, EC, CA, CE) c.- Defina los eventos A ᴒB y BUA.  AᴒB = (EXCLUYENTES) BUA =(AA, AE, AC,EA,EC, EE, CA,CE) Ejercicio 2 CAPITULO 2 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 21

1.1.3 Técnicas de conteo

7 3.¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de la palabra PROBABILIDAD? Solución: .......12! --------------------(2!)(2!)(2!)(2!) .......12! ---------------------........16 479 001 600 -------------------........16 29 937 600 Ejercicio 3 CAPITULO 2 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág32

1.1.4 Axiomas de probabilidad 4. En una bolsa hay seis bolitas blancas y cinco amarillas. Si se sacan se una sin reposición ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca, la segundo amarilla y la tercera blanca y así sucesivamente Se dicen que dos o más sucesos son (DEPENDIENTES), si la probabilidad de presentación de alguno de ellos queda influenciada por la presencia del otro. En caso contrario se dicen que son (INDEPENDIENTES). En otras palabras si el resultado de un suceso no afecta al otro, se dice que son independientes, por lo tanto se efectuara la multiplicación de las probabilidades probab ilidades para cada suceso P = P1 x P2 x P3 ………Pn Se dice que los sucesos son dependientes o eventos compuestos, si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento en cualquier prueba afecta la probabilidad del segundo suceso depende del primer suceso, el tercero tercero de lo que haya sucedido en el primero y en el segundo y así sucesivamente Solución:

8 P = P1 x P2 x P3 ………Pn P = P1 x ( P2 | P1 )… B

A

B

A

B

A

B

A

P = 6/11 x 5/10 x 5/9 x 4/8 x 4/7 x 3/6 x 3/5 x 3/5 x 2/4 x 2/3 x 1/2 x 1/1 = 84.400/ 39.916.800

P = 1/462 = 0, 00216 = 0, 216 %

la probabilidad de que la primera sea blanca, la segundo amarilla y la tercera blanca y así sucesivamente ES DE 0, 216 % Ejercicio 4 Tomado de Ciro Martínez Bencardino. 1987. Estadística. Cuarta edición revisada y aumentada

1.1.5 Probabilidad condicional

9 5. Fabián y Pilar estudian en un mismo curso. La probabilidad de que Fabián no pierda ninguna materia es del 85% y la de Pilar es del 90%. a) Cual es la probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia. b) Cual es la probabilidad de que Fabián pierda una materia y Pilar ninguna. C) Cual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia. Solución: P(F)=0.85 ---> Prob. no pierda Fabián P(P)=0.90 ---> Prob. no pierda Pilar a) Cuál es la probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia P(F)*P(P) = 0.85*0.90 = 0.765 b) Cuál es la probabilidad de que Fabián pierda una materia y Pilar ninguna (1-P(F))*P(P) = (1-0.85)*0.90 = 0.135 c) Cual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia. (1-P(F))*(1-P(P)) = (1-0.85)*(1-0.90) = 0.015 Ejercicio 5 CAPITULO 3 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 50

1.1.6 Teorema de Bayes

10 6. A un sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es confiable en 90% cuando la persona es culpable y en 99% cuando la persona es inocente. En otras palabras el 10% de los culpables se consideran inocentes cuando se usa el suero y el 1% de los inocentes se juzgan culpables. Si el sospechoso se escogió de un grupo del cual solo 5% han cometido alguna vez un crimen y el suero indica que la persona es culpable, cual es la probabilidad de que sea inocente? Solución: Se sabe P(CC/C) = 0,9 P(CC/I) = 0.01 P(C) = 0,05 P(I) = 0,95 P(CC) = P(CC/I)·P(I) + P(CC/C)·P(C) P(CC y I) = P(CC/I)·P(I) =P(I/CC)·P(CC) Despejando P(I/CC) = P(CC/I)·P(I) / P(CC) P(I/CC) = 0,01 · 0,95 / (0,01 ·0,95 + 0,9·0,05) = 0.0095 / (0.0095 + 0.045) = 0.0095/0.0545 = 0 ,1743 Ejercicio 6 CAPITULO 3 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág.52

1.2 MARIBEL CHAVERRA 1.2.1 Espacio muestral 7. Suponga que el observatorio meteorológico clasifica cada día, según las condiciones del viento, como ventoso o en calma; según la cantidad de lluvia lluvia caída: en húmedo y seco y según la temperatura en caluroso, normal o frio ¿ qué espacio muestral es necesario para caracterizar un día?¿qué valores se pueden asignar a los puntos muéstrales?  Al resultado resu ltado de una prueba se s e llama resultado, punto muestral mues tral o suceso y el conjunto co njunto de todos los resultados posibles constituyen un espacio muestral. Solución:

11 VHC = 1/12

CHC = 1/12

VHN = 1/12

CHN = 1/12

VHF = 1/12

CHF = 1/12

VSC = 1/12

CSC =1/12

VSN = 1/12

CSN =1/12

VSF = 1/12

CSF =1/12

P= 1/2x1/2x1/3=1/12 P=1/12 = 0,0833=8.33% Ejercicio 7 Tomado de Ciro Martínez Bencardino. 1987. Estadística. Cuarta edición revisada y aumentada

1.2.2 Eventos sucesos 8. En un experimento aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir determinado producto a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letra "s" para las respuestas afirmativas y "n" para las negativas. b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso " al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto"? c) Describe el suceso contrario de "más de una persona es partidaria de consumir el producto Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos: 1. Obtener un número primo 2. Obtener un número primo 3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

A y

= par

{2, B

3, =

Solución: a) Espacio muestral E E = ( sss,ssn,sns,snn,nss, nsn, nns,nnn) b) Sea el suceso A al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto  A = (sss, ssn, sns,nss)

5} {2}

12 c) El suceso contrario del suceso B más de una persona es partidaria de consumir el producto. Es B´ como máximo una persona es partidaria de consumir el producto B = ( snn, nsn,nns, nnn)

1.2.3 Técnicas de conteo 9. Las placas de los automóviles Tiene 3 letras seguidas de 3 digitos. ¿Cuántas placas se pueden tener si: a) se repiten letras b) no se permite repetir letras Cuando un procesos involucra una sucesión de K etapas, donde n 1 sea el numero de maneras que puede ocurrir la etapa y n2 el numero de maneras que puede ocurrir la etapa dos después de la primera. Entonces el numero de maneras diferentes en que el proceso puede ocurrir es multiplicando las n formas. Solución: N1xn2……nk Tamaño del espacio muestral a) Se permite repetir letras 

El alfabeto se compone de 26 letras



Los dígitos son 10 (0-9)

26x26x26x10x10x10= 17.576.000 b) Sin repetir letras 26x25x24x10x10x10= 15.600.000 a) Se pueden tener 17.576.000 placas repitiendo letras b)Se pueden tener 15.600.000 placas sin repetir letras

1.2.4 Axiomas de probabilidad 10 La probabilidad de obtener AS o REY, sacando una sola carta en una baraja española de 40 cartas Cuando dos o más eventos son tales que solamente uno de ellos puede ocurrir en un solo ensayo, se dicen que son mutuamente excluyentes. Se denomina probabilidad

13 adictiva y será igual ala suma de las probabilidades de cada suceso. Solución: P = P1+ P2+ P3 ……Pn P1 = 4/40 = 1/10 (REY) P = P1 + P2 = 1/10+1/10 = 2/10 = 1/5 La probabilidad es de 1/5

1.2.5 Probabilidad condicional 11. Si en un salón de clases hay 10 jóvenes con camisa negra, 5 con camisa roja y 7 con camisa azul. Calcular la probabilidad que al seleccionar un joven al azar este traiga puesta una camisa roja. Solución: 5/22 = 0.23 X 100 = 23% La probabilidad que un joven traiga camisa roja es de un 23% Ejercicios Tomados de Ciro Martínez Bencardino. 1987. Estadística. Cuarta edición revisada y aumentada

1.2.6 Teorema de Bayes 12. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento aleatorio  A  dado B  en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo  A. Sea {A1,A3,...,A i ,...,A n } un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | A  ). i 

14 Solución: Entonces, la probabilidad P(A i  | B) viene dada por la expresión:

donde:  

P ( A  Ai ) son las probabilidades a priori. P (B | Ai ) es la probabilidad de B en la hipótesis  Ai .

P ( A  Ai  | B) son las probabilidades a posteriori

P (ingeniero/directivo) = 0,2. 0,75/ 0,75/ 0,2.0,75+0,2.0,5+0,6. 0,2 = 0.405 0.405 la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero es de 0.405 Rafael Díaz. Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería . Escuela de Ingeniería Eléctrica. Universidad Central de Venezuela. 2000

1.3 MARIA LOURDES HERNANDEZ 1.3.1 Espacio muestral 13. Una computadora en el hogar está conectada con un servidor a través de un módem telefónico. La primera marca repetidamente hasta establecer el contacto. Por supuesto, el proceso de marcado termina una vez logrado el contacto telefónico. Sea que c denota el hecho de que se establece contacto en un intento específico, y n, que no se establece. a) Elabore un diagrama de árbol para representar el proceso de marcado. b) Enumere los puntos muestrales que genera el árbol. ¿Acaso puede completarse

15 esta lista? Solución: S = { c, nc, nnc, nnnc,…}

Ejercicios tomados de MILTON, J. Susan, ARNOLD, Jesse C. Probabilidad y Estadística 4ªEd. Mexico: Mc Graw Hill Interamericana, 2004.

1.3.2 Eventos sucesos 14. Dos artículos se seleccionan al azar y simultáneamente de una línea de montaje y se clasifican como de calidad superior (+), promedio (0), o inferior (-). a) Enumere los elementos del espacio muestral de este experimento. b) Liste los puntos muestrales que constituyen los eventos siguientes:  A: el primer artículo seleccionado es de calidad inferior. B: la calidad de ambos artículos es la misma. C: la calidad del primer artículo es mayor que la del segundo. c) Dé una descripción verbal breve de los eventos siguientes:  A' n B

A' n B'

 A n B'

A n C' n B

Solución: S = { ++, +0, +-, 0+, 00, 0-, -+, -0, -- }  A = { -+, -0, -- } B = { ++, 00, --}

16 C = { +0, +-, 0- }

 A' n B = { ++, 00 } “son iguales pero no de de calidad inferior”  A' n B' = { +0, +-, 0+, 0- } “son diferentes y el primero no es de calidad inferior”  A n B' = { -+, -0 } “son diferentes y el primero es de calidad inferior”  A n C' n B = { -- } “son iguales y de calidad inferior” Ejercicios tomados de MILTON, J. Susan, ARNOLD, Jesse C. Probabilidad y Estadística 4ªEd. Mexico: Mc Graw Hill Interamericana, 2004.

1.3.3 Técnicas de conteo 15. Una compañía tiene 10 programadores, 8 analistas de sistemas, 4 ingenieros en sistemas y 3 estadísticos. Se elegirá un “equipo” para un nuevo proyecto de

largo plazo. El equipo consistirá en 3 programadores, 2 analistas de sistemas, 2 ingenieros en sistemas y 1 estadístico. ¿En cuántas formas puede seleccionarse el equipo?

Solución: Se trata de una serie de combinaciones consecutivas: Formas de seleccionar el equipo =

10C3

X 8C2 X 4C2 X 3C1  = 60480

4) AXIOMAS DE PROBABILIDAD: REGLA DE LA ADICIÓN, REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN 16. Cuando una computadora se bloquea, existe una probabilidad de 75% de que se deba a una sobrecarga, y de 15% de que se deba a un problema de software. La probabilidad de que se origine en una sobrecarga o un problema de software es de 85%. ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a ambos problemas? ¿Cuál es la probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga?

Solución:

17 SC: sobrecarga, PS: problema de software Datos: P(SC) = 0.75, P(PS) = 0.15, P(SC U PS) = 0.85

La probabilidad de que se deba a ambos problemas es: P(SC n PS) = P(SC) + P(PS) - P(SC U PS) = 0.75 + 0.15 - 0.85 = 0.05

La probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga es P(PS n C'), la cual se despeja de la siguiente ecuación: P(PS n SC) + P(PS n SC') = P(PS) P(PS n SC') = P(PS) - P(PS n SC) = 0.15 - 0.05 = 0.10 Ejercicios tomados de MILTON, J. Susan, ARNOLD, Jesse C. Probabilidad y Estadística 4ªEd. Mexico: Mc Graw Hill Interamericana, 2004.

1.3.4 Axiomas de probabilidad

17. Cuando una computadora se bloquea, existe una probabilidad de 75% de que se deba a una sobrecarga, y de 15% de que se deba a un problema de software. La probabilidad de que se origine en una sobrecarga o un problema de software es de 85%. ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a ambos problemas? ¿Cuál es la probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga?

Solución:

SC: sobrecarga, PS: problema de software Datos: P(SC) = 0.75, P(PS) = 0.15, P(SC U PS) = 0.85

La probabilidad de que se deba a ambos problemas es:

18 P(SC n PS) = P(SC) + P(PS) - P(SC U PS) = 0.75 + 0.15 - 0.85 = 0.05

La probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga es P(PS n C'), la cual se despeja de d e la siguiente ecuación: P(PS n SC) + P(PS n SC') = P(PS) P(PS n SC') = P(PS) - P(PS n SC) = 0.15 - 0.05 = 0.10 Ejercicios tomados de MILTON, J. Susan, ARNOLD, Jesse C. Probabilidad y Estadística 4ªEd. Mexico: Mc Graw Hill Interamericana, 2004.

1.3.5 Probabilidad condicional 18. El uso del aspecto de las plantas en la prospección de depósitos minerales se denomina prospección geobotánica. Un indicador de cobre es una pequeña planta de menta con flores de color malva. Suponga que en una región dada se tiene probabilidad de 30% de alto contenido de cobre en el suelo y de 23% de presencia de esa planta. Si el contenido de cobre es alto, existe 70% de probabilidad de que esté presente la planta. a) Calcule la probabilidad de que el contenido de cobre sea alto y la planta esté presente. b) Calcule la probabilidad de que el contenido de cobre sea alto, dada la presencia de la planta.

Solución:

 ACCu: alta concentración de cobre, PPM: presencia de la planta de menta Datos: P(ACCu) = 0.30, P(PPM) = 0.23, P(PPM | ACCu) = 0.70

a) P(ACCu n PPM) = P(ACCu) P(PPM | ACCu) = (0.30)(0.70) = 0.21

b) P(ACCu | PPM) = P(ACCu n PPM) / P(PPM) = 0.21 / 0.23 = 0.913 Ejercicios tomados de MILTON, J. Susan, ARNOLD, Jesse C. Probabilidad y Estadística 4ªEd. Mexico: Mc Graw Hill Interamericana, 2004.

19

1.3.6 Teorema de Bayes

19. Un centro de cómputo tiene 3 impresoras A, B y C, que imprimen a velocidad distinta. Los programas se envían a la primera impresora disponible. Las probabilidades de que un programa se envíe a las impresoras A, B y C son de 0.6, 0.3 y 0.1, respectivamente. En ocasiones, los impresos se atoran en la impresora y se destruyen. Las probabilidades de que se atore el papel en las impresoras A, B y C son de 0.01, 0.05 y 0.04 en el mismo orden. Un programa escrito por usted se destruye al atorarse el papel en la impresora. ¿Cuál es la probabilidad de que ello haya ocurrido en la impresora A, en la B o en la C?

Solución: Dado que el trabajo se debe imprimir en alguna de las tres impresoras, es aplicable la ley de Bayes. Z: el papel se atora. Datos: P(Z | A) = 0.01, P(Z | B) = 0.05, P(Z | C) = 0.04

P(A | Z) = P(Z | A)P(A) / { P(Z | A)P(A) + P(Z | B)P(B) + P(Z | C)P(C) } = 0.24

P(B | Z) = P(Z | B)P(B) / { P(Z | A)P(A) + P(Z | B)P(B) + P(Z | C)P(C) } = 0.6

P(C | Z) = P(Z | C)P(C) / { P(Z | A)P(A) + P(Z | B)P(B) + P(Z | C)P(C) } = 0.16

Ejercicios tomados de MILTON, J. Susan, ARNOLD, Jesse C. Probabilidad y Estadística 4ªEd. Mexico: Mc Graw Hill Interamericana, 2004.

1.4 ELIZABETH VALBUENA 1.4.1 Espacio muestral 20. jugar con el dado, si el dado cae par, juego con la moneda una vez, si cae impar juego con la moneda dos veces. Escribe los posibles resultados. Solución:

20

S= (1CC, 1CS, 1SC, 1SS, 2C, 2S, 3CC, 3CS, 3SC, 3SS, 4C, 4S 5CC, 5CS, 5SC, 5SS, 6C, 6S) a) Escribe el resultado donde se lanzó la moneda dos veces y el resultado fue el mismo  A= (1CC, 1SS, 3CC, 3SS, 5CC, 5SS) b) Sub conjunto donde el dado es un número menor a 3 B= (1CC, 1CS, 1SS, 1SC, 2C, 2S) c) Operaciones con eventos: Hallar A U B, AᴒB  AUB= (1CC, 1CS, 1SS, 1SC,2C, 2S, 3CC, 3CC, 3SS, 5CC, 5SS)  AᴒB= (1CC, 1SS)

Ejercicio 20 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 22

1.4.2 Eventos sucesos 20 .- Se estudian el ejercicio y la dieta como posibles sustitutos de la medicación para bajar la presión sanguínea. Se utilizarán tres grupos de individuos para estudiar el efecto del ejercicio. El grupo uno es sedentario, mientras que el grupo dos camina, y el grupo tres nada una hora al día. La mitad de cada uno

21 de los tres grupos de ejercicio tendrá una dieta sin sal. Un grupo adicional de individuos no hará ejercicio no restringirá su consumo de sal, pero tomará la medicación estándar. Use Z  para sedentario, W  para caminante , S  para nadador,  Y  para sal, N  para sin sal, M  para medicación y F  para sin medicación. Solución:

a) muestre todos los elementos del espacio muestral S s = (ZYM, ZYF, ZNM, ZNF WYM, WYF, WNM, WNF SYM, SYF, SNM, SNF,  AYM) b) Dado que A es el conjunto de individuos sin medicamento y B el conjunto de caminantes, liste los los elementos de A U B, y de A n B  A= (ZYF, ZNF, WYF, WNF, SYF, SNF) B= (WYM, WYF, WNM, WNF)  A U B= (ZYF, ZNF, WYF, WNF, WYM, WNM,SYF, SNF )  A n B = (WYF, WNF) Ejercicios 21 tomado de ejercicios propuestos inicialmente en el foro colaborativo.

1.4.3 Técnicas de conteo

22 22.- Suponga que una persona que vive en el municipio de Bello (Antioquia) trabaja en el centro de la ciudad de Medellín. Para llegar a su sitio de trabajo, este tiene tres rutas distintas para llegar a la Autopista y de allí puede tomar otras tres rutas para llegar al centro de la ciudad. En el centro, puede tomar cuatro rutas para llegar al parqueadero más cercano a su oficina. ¿De cuántas maneras o rutas distintas podría tomar la persona para llegar de la casa al parqueadero más próximo a su oficina?1 Solución: 3 rutas- Medellín

3rutas- centro 4 rutas para parqueadero

Principio de la multiplicación: 3x3x4= 36 36 rutas distintas podría tomar para llegar de la casa a la oficina 23. ¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con el conjunto S={a,b,c,d}? Describa cada una de las permutaciones posibles 2 Solución: S= ( ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da,db, dc) 12 permutaciones

Ejercicio 3 y 4 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 33

1.4.4 Axiomas de probabilidad 24. Una prueba de opción múltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tres alternativas, de las cuales sólo debe marcar una. ¿En cuántas formas diferentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas? 3 Solución

1

Ejercicio 22 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 33

2

Ejercicio 23 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 33

3

Ejercicio 24 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 34

23

SI SON 15 PREGUNTAS CADA UNA CON TRES OPCIONES DE RESPUESTA, ENTONCES EL NÚMERO DE MANERAS DE RESPONDER ES 3 X 3 X ... X 3 (15 VECES 3) Y ESTO ES IGUAL A 3 15 = 14'348.907 Ejercicio 5 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág.34

1.4.5 Probabilidad condicional 25. El 18% de las familias de un barrio tienen vehículo propio el 20% tiene vivienda de su propiedad y el 12% tiene vivienda y vehículo. ¿ cual es la probabilidad de tener vivienda si se tiene vehículo? Como en algunos eventos se tiene alguna información que reduce el espacio muestral original a uno de sus subconjuntos: las probabilidades asociadas a esos subconjuntos determinan la probabilidad condicional. B

B´

TOTAL

 A

0,12

0,06

0,18

 A´

0,8

0,74

0,82

O,80

1,OO

TOTAL 0,20

Solución: Su formula está dada así. P (B/A) = P (B n A)/ P (A)  A = propietario de vehículo  A ´= no propietario de vehículo B = propietario de vivienda vivienda B´ = no propietario de vivienda P (B/A) = 0,12/0,18 = 0,66

la probabilidad de tener vivienda vivienda si se tiene vehículo ES DE 0,66

Ejercicio 25 Tomado de Ciro Martínez Bencardino. 1987. Estadística. Cuarta edición revisada y aumentada

24

1.4.6 Teorema de Bayes 26. En una fabrica hay dos maquinas de helados que producen 50% y 50% del total. La A elabora 5% de helado de baja calidad. La B elabora un 6% de helado de baja calidad. calidad. Encuentre la la probabilidad de que un helado de de baja calidad calidad provenga de la maquina A. Solución: H = helado de baja calidad M = Helado normal P(H) = P(A) x P(H/A) + P(B) x P(H/B) P(H) = 0,5 x 0,05 + 0,5 x 0,06 P(H) = 0.025 + 0.03 P(H) = 0.055 TEOREMA DE BAYES P(A/H) =

.

P(A) x P(H/A)

.

P(A) x P(H/A) + P(B) x P(H/B) P(A/H) =

0.5 x 0.05 0.055

P(A/H) = 0.455 La probabilidad que se encuentre un helado de baja calidad en la maquina A es del 45.5%

1.5 Geniser Ramírez 1.5.1 Espacio muestral 27. una mujer es e s portadora de d e hemofilia clásica. Esto significa que, aunque la mujer no tenga hemofilia, puede transmitir la enfermedad a sus hijos. Ella tiene tres hijos. Describa el espacio muestral de este experimento.

25

S = [(TTT), (TTN), (TNT), (TNN), (NTT), (NTN), ( NTN), (NNT), (NNN)}

1.5.2 Eventos sucesos 28. Suponga que una contraseña está formada por 6 caracteres, siendo las dos primeras letras del alfabeto y los 4 últimos, dígitos. ¿Cuál es el número de opciones para escoger la contraseña? El número de opciones que se tienen para escoger la contraseña está dado por 26 formas de escoger cada uno de los 2 primeros caracteres y 10 formas de escoger cada uno de los últimos 4 caracteres. Solución: n n

= 26 × 26 × 10 × 10 = 67.600 = 26 × 26 × 10 × 10× 10 × 10 = 6’760.000

Tomado de LIPSCHUTZ, Seymor. Probabilidad. Mc. Graw Hill. Segunda edición.

1.5.3 Técnicas de conteo

26 29. En un pueblo lejano lejano el 50% ha estado muy enfermo enfermo alguna vez, el 50% tiene menos de 70 años y el 80% no padece ninguna enfermedad contagiosa. De estos últimos el 60% tiene menos de 70 años y el 40% ha estado casi muerto alguna vez. De los que han estado casados alguna vez, sólo el 20% tiene menos de 70 años. El 10% de la población reúne las tres condiciones. Representar la información anterior en un diagrama de Venn.

Solución Digamos que contamos con 100 personas para el ejercicio Sea C el conjunto de los que han muy enfermos alguna vez. “B“tienen - de 70 años. “E

“no padecen enfermedad contagiosa.

(C ) = 50% de la población;

(E) = 80%;

(B) =50%: (E Ç B) = 48%;

(E Ç C) = 32%;

(C Ç B) = 10%;

A

C

38 10 22 16

2 C

E

(C Ç E Ç B) = 10%

10

1.5.4 Axiomas de probabilidad 30. De una bolsa de 40 bombones extraemos dos bombones a la vez., ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea rojo?

Solución. Sea el suceso “al extraer dos bombones al menos uno es rojo”. Lo ponemos al contrario, A c  , es decir calculamos la probabilidad de que ninguno

27 sea rojo. Sucesos posibles:

, que son todos los grupos de 2 bombones que se

pueden sacar. Sucesos favorables:

pues hay 30 bombones que no son rojos.

Por la regla de Laplace tenemos: p(Ac ) =

= 0,56 Þ p(A) = 1 -

0,56 = 0,44

2) p(f) = 0 . 3) Si A I b Þ p(A) £ p(B) 4) Si A y B son sucesos compatibles p(A È B) = p(A) + p(B) - p(A Ç B)

1.5.5 Probabilidad condicional

31. En una equipo de fútbol el 45% de los jugadores suspende juega el primer tiempo, el 60% juega el segundo tiempo y el 30% juega en los dos tiempos. Se selecciona al azar un futbolista: a) Si juego el primer tiempo ¿Cuál es la probabilidad de que jugara el primer tiempo? b) Si jugo el segundo tiempo

Solución Sea  A = “jugo el primer tiempo” y B = “jugo el segundo tiempo” p (A) = 0,45; p(B) = 0,60 ; p(A Ç B) = 0,30 a)p (A/B) = 0,30/0,60 =1/2; p(B/A) = 0,30/0,45 = 2/3

28

1.5.6 Teorema de Bayes 31. Una fábrica de galletas tienen tres (3) cadenas de producción. Cada una de ellas fabrica el 30%, 45% y el 25% de la producción de un día. Se conoce que el porcentaje de galletas no aptas para su venta en cada una de las cadenas de producción es del 5%, 4% y 3%, respectivamente. De la producción total de un día se selecciona una galleta al azar. Se pide: a. Liste los respectivos sucesos b. Sabiendo que la galleta seleccionada es apta para la venta, determine la probabilidad de que haya sido fabricada por la primera cadena de producción. Solución:

a. Representaré por  A, B, y C los sucesos una galleta es producida por la cadena 1,2 y 3 respectivamente. Así mismo , D va a representar el suceso que es una galleta no apta para la venta. Conozco las siguientes probabilidades: P(A) =0,30 P(B) =0,45 P(C) =0,25 P(D/A)=0,05 P(D/B)=0,04 P(D/C)=0,03 Nota: Los sucesos A, B y C forman para mí una partición del espacio muestral y dado que conocemos las Probabilidades Condicionadas Del Suceso D sobre los sucesos de la partición, estamos en condiciones de usar y resolver la parte:

29

CONCLUSIONES 













Al terminar esta actividad podemos concluir que la estadística es un medio que es aplicable a cualquier campo, cuyo objeto es operar con un grupo de datos e interpretarlos. Se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa específica de los mismos; así como de realizar probabilidades a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones con respecto a los datos tomados . Este trabajo permitió fomentar en el estudiante la capacidad de reconocer y establecer modelos apropiados para describir fenómenos aleatorios que surgen en cada área de especialidad, y apunta a que reconozcamos reconozca mos su importancia en la cotidianeidad las probabilidades son una herramienta fundamental en el desarrollo de un individuo que van más allá de realizar experimentos aleatorios y juegos de azar, son una forma de entender el mundo, ampliar nuestra forma de pensar y acercarnos al resultado de un presunto evento para afrontarlo, de tal manera, que sea productivo para nosotros. más que saber que la probabilidad que salga cara al lanzar una moneda es , es comprender e interpretar que me dice tal cifra, que puedo hacer con ese conocimiento o como lo puedo adaptar en mi vida. Los problemas de probabilidad probabilidad proporcionan una fuente interesante interesante para que pensemos un poco más allá de nuestro sentido común, y unido a la estadística nos permite hacer la llamada inferencia estadística La estadística la vivimos vivimos en todo sentido de nuestras vidas, (profesional, personal, etc.) Entre más nos adentramos a los conocimientos aquí aplicados mas podemos ver en como la realidad que vivimos todos los días puede ser cambiada, o por lo menos vista de otra forma. La probabilidad es un numero asociado a una variable variable aleatoria, aleatoria, mediante una regla de correspondencia

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BIBLIOGRAFIA DÍAZ Rafael. Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería . Escuela de Ingeniería Eléctrica. Universidad Central de Venezuela. 2000 MARTINEZ, C Bencardino. Estadística. Cuarta edición revisada y aumentada. 1987 MILTON, J. Susan, ARNOLD, Jesse C. Probabilidad y Estadística 4ªEd. México: Mc Graw Hill Interamericana, 2004. ROBAYO, Adriana. Modulo de probabilidad. Universidad Nacional Abierta y a distancia. Bogotá. 2007