Ejercicios ResueltosEstadistica 39,49 y 41
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Ejercicios resueltos estadistica...
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39. Se efectuó un estudio donde se relacionan los puntajes de aptitud con la productividad en
un establecimiento establecimiento industrial, después después de de tres meses de de entrenamiento entrenamiento del personal. Sus postulantes elegidos al azar obtuvieron los seis pares de puntajes de aptitud y productividad que se indica en la tabla que se anexa: Productividad(Y)
Puntaje de aptitud(X)
9
23
12
30
15
33
17
35
20
40
23
45
Se pide: a) Haga el diagrama de dispersión y analice la linealidad de las variables.
Diagrama de dispersión 25 20 d a d i 15 v i t c u d 10 o r P
5 0 0
10
20
30
40
50
Puntaje de aptitud
n
n r
r
n
n
x y x y i
i 1
i
1
i
i 1
i 1
n n n n 2 2 2 2 ( ) ( ) n x x n y y i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 10(10801 10(10801)) (270)(230)
10(12658 12658)) 7290 72900 0 10(9 10(925 250) 0) 52900 52900 10(
r 0.9957 Como vemos r se acerca demasiado a 1, entonces es alto el grado de linealidad entre las variables. b) Estime el modelo de regresión estimado.
n
n
n
i 1
i 1 n
i 1
n xi yi xi y1 1 ˆ
n
n xi2 ( xi ) 2 i 1
6(3492) (206)(96) 6(7368) (42436)
0.6636
i 1
Sabemos : 0 y 1 x ˆ
ˆ
0 16 0.6636(34.33) ˆ
0 6.781 ˆ
Línea de regresión: y 0 1 x ˆ
ˆ
ˆ
y 6.781 0.6636 x ˆ
c) Interprete ̂1 . “ Si
el puntaje de aptitud aumenta en una unidad la productividad se incrementa en
0.6636 unidades”
d) Pruebe si el coeficiente de regresión poblacional es diferente de cero (β1≠0) con un nivel de significancia de 5%.
1) Formulación de hipótesis: H 0 : 1
0
H 1 : 1
0
2) Nivel de significancia: 0.05 3) Estadística de prueba: 1 1 ˆ
t
S ˆ
1
t
(1 ,n 2) 2
4) Criterios de decisión. R. A.: Si t k 2.776,2.776 ,se acepta H 0. R.R. :Si t k 2.776 o t k 2.776,se rechaza H 0. 5) Cálculos: t k
0.6636 0
16.4665 0.0403 donde : SC x 295.33,SC y
Sc
0.6934, S ˆ
132,SC xy
196,SCE 1.923, CME
0.4808,
0.0403
1
6) Decisión: tk
16.4665 RR,por lo tanto se rechaza H 0, lo que quiere decir 1
0.
e) Calcule el coeficiente de determinación r 2 e interprete. 2
r2
2 1
ˆ
S x
, de los datos: S x2
2 y
S
59.667, S y2
26.4
Reemplazando : r 2
2 1
ˆ
S x2
2
S y
(0.6636)
59.667 26.4
0.9852
Interpretación: “Quiere decir que el 98.52% de las variaciones de la productividad promedio esta explicado por el puntaje en la aptitud ” .
f)
Grafique la línea de regresión estimada sobre el diagrama de dispersión.
Tenemos y 6.781 0.6636x ˆ
Para x=0: y 6.781 0.6636(0) ˆ
y 6.781 ˆ
P 1 (0, 6.781)
Para y=0: 0 6.781 0.6636( x ) x 10.2185
P 2
(10.2185,0)
Linea de regresión 25 y = 0.6637x - 6.7856 R² = 0.9854 20
d a 15 d i v i t c u d o r 10 P
5
0 0
10
20
30
Puntaje de aptitud
40
50
g) Determine la productividad esperada para un trabajador cuyo puntaje de aptitud es de 50.
Reemplazadon en y 6.781 0.6636 x : ˆ
y 6.781 0.6636(50) ˆ
y 26.399 ˆ
Rpta : "La productividad para un puntaje de aptitud de 50 es 26.399%".
40. Una teoría financiera popular sostiene que existe una relación directa entre el riesgo de
una inversión y el rendimiento que promete. El riesgo de una inversión se mide por medio del valor de α. A continuación se presentan los rendimientos y valores α par a 10 acciones ficticias
sugeridas por la empresa de inversiones CPI ¿Estos datos parecen confirmar esta teoría financiera de una relación directa? Acción
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Rendimiento %
5,4 8,9 2,3 1,5 3,7 8,2 5,3 0,5 1,3 5,9
Valor α
1,5 1,9 1
0,5 1,5 1,8 1,3 0,5 0,5 1,8
Se pide: a) Hacer el diagrama de dispersión para analizar la correlación positiva.
Diagrama de dispersión 10 9 8 7 % o t n i e m i d n e R
6 5 Series1
4 3 2 1 0
-1
-0.5
0
0.5
1 Valor α
1.5
2
2.5
b) Hallar el coeficiente de correlación para confirmar la pregunta dada. n
n r
n
n
x y x y i
i
i 1
1
i
i 1
i 1
n n n n 2 2 2 2 n x x n y y i ( i ) i ( i ) i 1 i 1 i 1 i 1 10(66.28) (11.3)(43)
r
10(18.03) 127.6910(261.68) 1849
r 0.88017621 c) Probar si el coeficiente de correlación poblacional ρ es diferente de cero (ρ≠0) con α=0.05.
1) Formulación de hipótesis: H 0
: 0
H 1 :
0
2) Nivel de significancia: 0.05 3) Estadística de prueba: t
r
t
S r
(1 ,n 2) 2
4) Criterios de decisión. R. A.: Si t k R.R.:Si t k
2.306,2.306 ,se acepta H 0. 2.306 o
t k
2.306,se rechaza H0 .
5) Cálculos: r
tk
t k
S r
,donde
0.88 0
0.168 6) Decisión: tk
S r
1 r 2 n2
1 0.88 2 8
0.168
5.238
5.138 RR, por lo tanto se rechaza H 0 , lo que quiere decir 0.
41. Como analista de “”Coca-Cola”, su trabajo es utilizar los datos proporcionados aquí
para saber si los cambios en los precios son efectivos para promover las ventas. Estos datos se tomaron en los mercados de prueba seleccionados en toda la región para el precio de cada botella y las respectivas ventas realizadas. Las ventas están dadas en miles de soles.
Precio en soles (X) Ventas de Coca-Cola en miles (Y)
2,10 3,52 2,10 2,55 3,50
2,00 3,50 2,99 2,99
2,25
35
31
19
25
21
19
23
24
31
20
a) Graficar el diagrama de dispersión.
Diagrama de dispersión 40 s 35 e l i m30 n e a 25 l o c a 20 c o c e 15 d s a t 10 n e V 5
0 0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
Precio en soles
b) ¿Existe correlación? Explique. n
n r
r
n
n
x y x y i
i 1
i
1
i
i 1
i 1
n n n n 2 2 2 2 ( ) ( ) n x x n y y i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 10(675.79) (27.5)(248)
10(79.1556) 756.2510(6440) 61504
r 0.1942 Rpta: Como r se acerca más a 0 que a 1 entonces la relación entre las variables X e Y es casi nula. Además se puede observar en el diagrama de dispersión que no existe correlación entre las variables. c) ¿La correlación es positiva o negativa? “No existe correlación entre X e Y”.
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