Ejercicios resueltos

Prueba de hipótesis para una media poblacional ( ) Caso1:

  

2

conocida y estadístico de prueba:

Z

 x  − =

  /

 0 n

Ejemplo: El gerente de ventas de la empresa J&C afirma que el promedio de sus ventas diarias es $400. Para comprobar la hipótesis se escogió una muestra aleatoria de las ventas de 100 días encontrándose una media de $395.Se sabe además que las ventas siguen una distribución normal cuya desviación estándar es $20. Si usted aplica una prueba bilateral, ¿estará en lo cierto el gerente? Use un nivel de significación de 0,05.

Sea X: ventas diarias($) X N(400,202) 1. Planteo de la hipótesis hipótesis

 H 0 :   = 400   H 1 :    400 2. Nivel de significación  

=

0.05

3. Estadístico de prueba Z

 x

−

=

 0

  /

n

4. Supuestos ✓ Población normal ✓ Muestra aleatoria 5. Regiones críticas. críticas. Criterios Criterios de decisión La hipótesis alterna define la región las zonas de rechazo Criterios

0.025 0.025

Si -1.96

0.95

  Zc 

1.96

No se rechaza H0

Si Zc < -1.96 o Zc > 1.96 Se rechaza H0 -1.96

1.96

6. Cálculos  Z c

395

400

−

=

2.5  región

= −

20 /

100

de rechazo

7. Conclusiones Con un nivel de significancia del 5% los datos de la muestra proporcionan evidencia suficiente  para que el promedio de las ventas diarias sea diferente a $400.

Caso2:

  

2

 desconocida

y estadístico de prueba:

T 

 x =

−

s/

 0

;

n

T

t ( n −1)

Ejemplo: Supóngase que, en cierto proceso para producir alambre, la resistencia a la ruptura del alambre es una variable aleatoria normal con media 90.80 kg. Para reducir los costos de  producción, se prueba otro proceso. Una muestra aleatoria de 10 valores obtenidos bajo el nuevo  proceso dio una media de 85.352 kg. y una desviación estándar de 2.724 kg. ¿El nuevo proceso tiene un efecto negativo sobre el alambre? Use   0.05 . =

Sea X: resistencia a la ruptura(kg) X N(90.80,   2 ) 1. Planteo de la hipótesis hipótesis

 H 0 :   = 90.80   H 1 :    90.80 2. Nivel de significación  

=

0.05

3. Estadístico de prueba T 

 x =

−

s/

 0

n

4. Supuestos ✓ Población normal ✓ Muestra aleatoria 5. Regiones críticas. críticas. Criterios Criterios de decisión La hipótesis alterna define la región las zonas de rechazo Criterios

0.05 0.95

-1.833

Si -1.833   Tc

No se rechaza H0

Si Tc < -1.833

Se rechaza H0

6. Cálculos T c

85.35 85.352 2

−

90.80 90.80

=

6.324  región

= −

2.7 2.724 /

10

de rechazo

7. Conclusiones Con un nivel de significancia del 5% los datos de la muestra proporcionan evidencia suficiente  para que el nuevo proceso tenga un efecto negativo sobre el alambre.

Prueba de hipótesis para la varianza poblacional ( 2

Usar estadístico de prueba:

χ 

(n 1) s 2 −

=

2

;

  

χ

2

2

)

2

χ 

( n −1)

Ejemplo: Suponga que al operar un equipo electrónico con energía de baterías, es menos costoso reemplazar todas las baterías a intervalos fijos que reemplazar cada batería individualmente cuando se ha gastado, siempre y cuando la desviación estándar del tiempo de vida sea menos que cierto límite, digamos, menor de 5 horas. Suponiendo normalidad y usando una muestra aleatoria de 28 valores de tiempo de vida con desviación estándar de 3.5 horas, probar la hipótesis 2 2    25 contra la alternativa     25 . =

Sea X: tiempo de vida(horas) X N(µ,5  N(µ ,52) 1. Planteo de la hipótesis hipótesis

 H 0 :   2 = 25  2  H 1 :    25 2. Nivel de significación

 

=

0.05

3. Estadístico de prueba 2

χ 

(n 1) s 2 −

=

2

  

4. Supuestos ✓ Población normal

Muestra aleatoria

5. Regiones críticas. críticas. Criterios Criterios de decisión La hipótesis alterna define la región las zonas de rechazo Criterios

2

χ 

Si

0.95

Si 0.05 0.95

0.95

16.1514

2

16.1514  χ 

χ 2c

c

 16.1514

No se rechaza H0 Se rechaza H0

6. Cálculos χ

(28 1)3.5 )3.52 −

2

=

c

=

25

13.23

 región

de rechazo

7. Conclusiones Con un nivel de significancia del 5% los datos de la muestra proporcionan evidencia suficiente  para que sea menos caro reemplazar todas las baterías simultáneamente.

Prueba de hipótesis para la proporción poblacional ( P ) Usar estadístico de prueba:

 Z 

 p ˆ

−

=

 p0 (1

p0 −

p0 )

n

Ejemplo: Un ingeniero de transporte afirma que el 30% de los vehículos demoran más de 5 minutos para pasar por una garita de control. Con el fin de evaluar esta afirmación se escogió una muestra aleatoria de 400 vehículos y se encontró que 100 de ellos demoran más de 5 minutos en  pasar la garita. Al nivel de significación del 1%, 1 %, ¿presenta esta muestra suficiente evidencia que indique que el porcentaje de vehículos que demoran más de 5 minutos en pasar tal garita es diferente de 0,30?

1. Planteo de la hipótesis hipótesis

 H 0 : p = 0.30   H1 : p  0.30 2. Nivel de significación

 

=

0.01

3. Estadístico de prueba  Z 

 p ˆ

−

=

 p0 (1

p0 −

p0 )

n

4. Supuestos ✓ Población normal

Muestra aleatoria

5. Regiones críticas. críticas. Criterios Criterios de decisión Criterios

0.005 0.005

Si -2.575

0.99

  Zc 

2.575

No se rechaza H0

Si Zc < -2.575 ó Zc > 2.575 Se rechaza H0 -2.575

2.575

6. Cálculos 100  p

 Z c

=

400

=

0.25

0.25 0.25 0.30 0.30 −

=

2.18

= −

0.30( 0.30(1 0.30) 0.30)

 región

de rechazo

−

400

7. Conclusiones Con un nivel de significancia del 1% los datos de la muestra no proporcionan evidencia suficiente  para rechazar el hecho de que la proporción de vehículos que demoran más de 5 minutos sea igual a 0.30.