Ejercicios Resueltos y Propuestos Ingenieria Economica
January 28, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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UNI#ERSIDAD NACIONAL E$PERIMENTAL POLIT%CNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” #ICE&RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL C'TEDRA: INGENIERÍA ECONÓMICA
EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE INGENIERÍA ECONÓMICA
Integ!nte":
PROFESOR: Ing. Andrés Eloy Blanco
Briceño, Francisco Delgado, Erika López, Roberto
PUERTO ORDAZ, JULIO DE 2006
EJERCICIOS RESUELTOS 1. PAGO ÚNICO . !"# !"#nto nto dinero dinero tendr tendr# # el señor señor Rodr$ Rodr$g"e g"ezz en s" c"e c"enta nta de a%orro a%orross en & años si dep deposi osita ta %oy '(.)** a "na tasa de interés de &+ an"al.
-ol"ción F / 0 1 F20 , i , n3 F / (.)** 1F20, &+ , &3 F / (.)** 1(,456*3 F ( )*+6+6 .& 7!"#l es el 8alor pres presente ente neto de ')** dentro dentro de siete años si la ta tasa sa de interés es 4+ an"a an"al l
i / 4+
-ol"ción 0 / )** 1 02F, 4+ , 9 3 0 / )** : 21; *.439<
0 / )** 1*,((53 P ( )*-6,..( 7En c"ant c"anto o tie=po sse e d"plic d"plicaran aran '.** '.*** * s$ la tasa de in interés terés es de )+ an an"al "al
-ol"ción 0 / '.***, F / '&.*** 0 / F 1 02F , i+, n 3 .*** / &.*** 102F, )+, n3 102F, )+, n3 / *,) 102F, )+, n3 / 2 1 ; i 3n 2 1 ; *,*) 3 n / *,) 2 *,) / 1.*) 3n & / 1.*) 3n log /n n / &log & log 2 log1.*)3 .*) / >.& años
.> -i "na persona p" p"ede ede %acer %oy "na in8 in8ersión ersión co= co=ercial ercial ?"e re? re?"iere "iere "n gast gasto o de '(.*** para recibir ').*** dentro de cinco años, 7!"#l ser$a la tasa de retorno sobre la in8ersión
-ol"ción La tasa de interés p"ede encontrarse estableciendo las ec"aciones de 02F o F20 y despe@ando directa=ente el 8alor de i del actor. sare=os 02F 0 / F 1 02F, i+ , n 3 (.*** / ).*** 102F, i+, )3 *,6 / 102F 2 1 ; i3n /, i+ *,6, ) 3 2 1 ; i3) / *,6 2 *,6 *,6 / 1 ; i 3 ) 1,6632) / ; i 1,663 2) C / i / (*0, 61 .) En la co=pra de s" casa "sted se co=p co=pro=et ro=etió, ió, =edia =ediante nte "na letra letra,, a pagar '>**.** '>**.*** * dentro de 4 =eses. -$ "sted tiene lla a posibilidad de iin8ertir n8ertir en alg"nos papeles co=erciales ?"e rinden &+ =ens"al, 7c"#l ser# el 8alor tope ?"e "sted podr$a pagar por la letra %oy
-ol"ción F / '>**.***, i / &+ =ens"al 0 / F 102F, i , n3 0 / >**.*** 102F, &+, 43 0 / >**.*** 1*,4)(>53
P ( )+* +.6 2. SERIE UNIFORME &.. e propongo co=prar "na propiedad ?"e =i t$o =e %a orecido generosa=ente. El plan de pagos son c"otas de '9** dando la pri=era el seg"ndo año y las dos restantes cada tres años. 7!"#l es el 8alor presente de esta generosa oerta si la tasa de interés es del 9+ an"al
-ol"ción 0 / F 1 02F , i+ , n 3 0 / 9** :102F, 9+ ,&3 ; 102F, 9+ ,)3 ; 102F ,9+ ,43< 0 / 9** :1*,9(*)3 ; 1*,>)63 ; 1*,&4>43< P ( )*02.,.3 &.&. &.&.
-$ el se seño ñorr end endoz oza a so solilici citó tó "n pr prés ésta ta=o =o por '> '>.) .)** ** y pro= pro=et etió ió pagar pagarlo loss en * c"ot c"otas as an"ales co=enzando de interésig"ales, es de &*+ an"al dentro de "n año, 7c"#l ser# el =onto de s"s pagos si la tasa
-ol"ción A / 0 1A20 ,i,i+ + ,n3 A / >.)** 1A20 1A20,, &*+, *3 A / >.)** 1*,&(4)&3 A ( )*0+,+ &.(.. &.(
na iind"s nd"stri tria a reci recibe, be, de " "na na org organi anizaci zación ón de = =ant anteni eni=ie =iento nto,, la o oert erta a de enc encarg argarse arse d del el =anteni=iento de la =#?"ina >.(6&** d"rante los prói=os ) años, con "n costo =ens"al "nior=e de ')*.***. -i la tasa de retorno =$ni=a de la ind"stria es de &,)+ =ens"al, 7c"#l seria %oy el costo presente e?"i8alente de dic%o anteni=iento i / &,)+ *
&
(
>
A ( )-0000
P(5
-ol"ción 0 / A 102A, i+, n3 0 )*.*** 102A, &,)+, 6*3 0/ / )*.*** 1(*,5*463 P ( )*4--+0
)4
)5
6* =eses
* sea ?"e %oy "n pago de ',)>),>(* es e?"i8alente a 6* pagos de ')*.***, realizados al inal de cada "no de los 6* =eses. &.>.. &.>
Ant Ante e la pers perspect pecti8a i8a del alto alto co costo sto de lla a ed ed"ca "cació ción n "n "ni8er i8ersit sitari aria, a, "n p padre adre de a= a=ili ilia a res"el res"el8a 8a establecer "n ondo para c"brir esos costos. Al cabo de 4 años 1s"ponga=os ?"e esta es la edad pro=edio de "n pri=$paro3 el ondo debe alcanzar "n =onde ')***.***. -$ el deposito por ser a largo plazo paga (*+ an"al, 7?"é c"otas an"ales "nior=es debe depositar el padre de a=ilia para garantizar la ed"cación ed"cac ión de s" %i@o a partir del in de este año i / (*+ an"al *
&
(
>
6
9
4 años
A(5 -ol"ción !onoce=os el 8alor "t"ro 1F3 y desea=os calc"lar los pagos an"ales "nior=es 1A3 A / F 1A2F 1A2F,i,n3 ,i,n3 A / )***.*** 1A2F 1A2F,(*+,43 ,(*+,43 A / )***.*** 1*,**&653 A ( )0+-0 &.) -"ponga ?" ?"e e a "n e=pleado le prest prestan an * =illone =illoness de pesos para pagarl pagarlos os en c"otas ig"a ig"ales les de principio de =es, con "n plazo de ) años y "na tasa de interés del &+ =ens"al. 7!"#l es el 8alor de la c"ota
i
*G***.***
i/ &+ e. =ens"al 6*=eses
A
A
A
A
A
A
-ol"ción !o=o conoce=os la or="la de A en serie "nior=e de in de periodo, es s"iciente trasladar el présta=o "n periodo antes de cero y as$ calc"la=os A. 0G* / H.0. en *G de *G***.*** 0G* / *G***.*** 1.*&3 0G* / 5G4*(.5&,)65 A / 15G4*(.5&,)653 J 1A20 1A20,, &+, 6*3 A A /( 15G4*(.5&,)653 )2320+.,2*- J 1*.*&49643
3. SERIE CAPITALIZADORA (... (.
n in ingen geniero iero a a%orr %orra a '** '**.** .*** * al iinal nal d de e cada = =es es por " "n n peri periodo odo de " "n n año y le recon reconoce ocen n el + =ens"al en entidad entidad bancaria. 7!"#l es el = =onto onto al inal d de e cada =es F/ i / + =ens"al *
&
(
>
=eses
(1 0. 01)12 1 F 100.000 0.01
F ( )*42632-0,+ (.& Res"el Res"el8a 8a el e@e=pl e@e=plo o anterior s"p s"poniend oniendo o ?"e los a%orros se reali realizan zan al principio principio de =es. F/ F / i / + =ens"al *
*
-ol"ción F/ &64.&)*,( F / &64.&)*,( 1 ; *.*3
&
(
& =eses
F ( )*4230.+2,30+ 4.
AMORTIZACIÓN CONSTANTE
>... >.
-e pid pide e calc calc"la "larr los sig"ien sig"ientes tes pa par#= r#=etr etros os de "n présta présta=o =o de '.** '.***,* *,*** ** con "n "na a tasa de dell &+ e eec ecti ti8o 8o =ens =ens"a "al. l. -e pa paga gara ra en (6 c"ot c"otas as de i in n de =e =es, s, ba ba@o @o la =oda =odalilida dad d de a=ortización constante.
!alc"lar El 8alor de la pri=era c"ota. La c"ota (). El contenido de abono al capital en la c"ota (). El contenido de intereses en la c"ota (). -aldo o de"da desp"és de pagar la c"ota (). 0/.***,***
&
(
(6
* A&
A
A(
A / *.*& .***,*** ; 1.***,*** 2(63 A / &*.*** ; &9.999,99 A* ( ,
A35
A+-( 23333,333
( 35 1) 1´000.000 1 0.02 1´000.000 36 36
a / a& / a( / !+- / a(6 /.***.*** 2(6 !+- ( )2, I 35 0,02 1´000.0001
I() / &*.***
I+- ( )
S 35
35 .000 1 36 1´000
(35 1) 36
A(6
años
S+- (2,
>.&.. >.&
-e so solic licita ita " "n n pré présta sta=o =o para para 8i 8i8ie 8ienda nda p por or >* = =ill illone oness de p pesos esos ba@ ba@o o el siste siste=a =a HR, HR, la ttasa asa de interés interés es d del el + e eecti8 ecti8o o =ens" =ens"al al 1en H HR3, R3, el présta= présta=o o se paga pagar# r# en * a años ños y los pagos se realizar#n realizar#n en c"otas de a=orti a=ortización zación constante constante 1en HR3. -i en el =o=ento del présta=o la HR 8ale '&* '&* 7c"#l es el 8alor de la pri=era y "lti=a "lti=a c"ota en HR. 7!"#l es el saldo o de"da en HR desp"és de pagar la c"ota **.
Lo pri=ero ?"e se debe %acer es conocer el 8alor del présta=o en HR. Halor del présta=o en HR / 8alor del présta=o en pesos 2 8alor HR Halor del présta=o en HR / >****.*** 2 & &* * / (((.(((,((( Kene=os entonces ?"e 0 / (((.(((,((( i / + =ens"al n / &* &* =eses Malla=os A y A&* A / i 0 ; 102n3 A / *.* (((.(((,((( ; 1(((.(((,((( 2 &*3 A* ( )6***,* Ak
A120
(k 1) P n n
i P 1
( 120 1) 333.333,333 0.01 333.333, 3331 120 120
A*20( )230-,0S k
k P 1 n
S 100
100 333.333,3331 120
S*00 ( )-----,5. SERIE GRADIENT GRADIENTE E (PROGRESIÓN ARITMETICA )... ).
-e %ac %ace e "n pré présta sta=o =o por el el 8al 8alor or de =i =ill peso pesoss y se ac" ac"erda erda p paga agarr cada in in de añ año, o, in inici iciando ando "n año desp"és de %acer el présta=o de or=a ?"e cada pago di=in"ye '9) cada año, el seg"ndo pago ser# =enor ?"e el pri=ero por '9) y as$ s"cesi8a=ente. -i se desea li?"idar total=ente el présta=o en 6 años, 7c"#l ser# el pago al inal del año
0
&
6
*
(
$&-
$&*-0
6
$&+
*** / N102A, )+, 639)102O, )+,63 *** / N1).*9639)1 N1).*963 9)1.5643 .5643 $ ( ++).&.. ).&
-e p prest resta a "n din dinero ero para pagar pagar lla a =a =atri tric"l c"la a en la "ni8e "ni8ersi rsidad dad.. -" tasa tasa de int interés erés se= se=est estral ral es del )+ sobre saldos se=estrales. 7!"#l es la de"da al ter=inar "na carrera de * se=estres, sabiendo ?"e la pri=era "e de '>**.***
Encontrare=os el 8alor presente de 5 =atric"las 1%aciendo abstracción de la pri=era3 en serie gradiente. A ese 8alor le s"=a=os la pri=era =atric"la. El res"ltado lo lle8a=os al se=estre * y ese 8alor corresponde a la de"da en el =o=ento de grado. g )*.*** A& >)*.*** n 5 0P/ 8alor presente e?"i8alente a las las "lti=as 5 =atric"las. 0 / 8alor presente e?"i8alente a todas las =atric"las. F / de"da al inal del se=estre *, e?"i8alente a todas las =atric"las.
>**.*** *
&
(
0P 1A20,)+,53 1A20,)+,53 / >)*.***; )*.*** 1A2g,)+,53 0P 1*,&*5)93 / >)*.*** ; )*.*** 1(,*5&&(3 P()2433-00.,32 0 / 0P;>**.***/'&44).**5,94& ;>**.*** P ( )+423-00.,32 F / 01;i3n
/'(&4).**5,94&J1,)3 * F ( )*+423.6.6,
5
*
).(.. ).(
n @o @o8en 8en de dell ca= ca=po po rec recien iente= te=ent ente e c"= c"=pli plió ó los & a años ños y s" "t" "t"ro ro en el d depor eporte te es =" ="yy pro=etedor. -" contrato en el e?"ipo Q@a=elcos ter=ino y el =is=o ya le oreció "n n"e8o contrato d"rante seis años por la s"=a de ,6 illones de dólares pagaderos al =o=ento la ir=a. 0or otro lado, el piensa ? ?"e "e si ele8a contin"a=ente s" ni8 ni8el el de @"ego, p"ede conseg"ir contratos an"ales, el pri=ero de los c"ales seria por &)*.*** dólares y, con cada contrato s"cesi8o, pedir "na s"=a adicional d de e )*.*** dólares. Kodos los contratos pagan lo con8enido a principio de año. 7-i la tasa de interés ?"e se considera es del )+ an"al, ?"e deber# %acer el @o8en si ?"iere planear s"s prói=os seis años de carrera deporti8a
0 >)*
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años
0 / &)*.***; (**.***102A, )+, )3 ; )*.***102O,)+,)3 AST0 / &)*.***; (**.***1(,()&3 ; )*.***1).99)3 P ( )*4-+-0
!. 6... 6.
SE SERI RIE E GRA RADI DIEN ENTE TE PORC PORCE ENTUA NTUAL L n n" n"e8o e8o ca ca=ió =ión n tie tiene ne "n co costo sto iinic nicial ial d de e '4. '4.*** *** y se e espe spera ra ?"e a all in inal al de 6 añ años os tenga tenga " "n n 8alor de sal8a=ent sal8a=ento o de '.(**. -e espera ?" ?"e e el costo de opera operación ción del 8e%$ 8e%$c"lo c"lo sea de '.9** en el pri=er pri=er año y ?"e se incre=ente en el + + an"al. Deter= Deter=ine ine el costo presen presente te e?"i8alente del ca=ión si la tasa de interés es del 4+ an"al. 0K /
0E /
i / 4+ *
&
.9** 1.3
'4.*** -ol"ción
.9** 1.3U
(
'.(** >
)
6
El costo presente 10K3 es el 8alor presente de todo lo pagado por el costo de operación 10 E3 =#s el costo inicial =enos el 8alor de sal8a=ento. 0K / costo inicial ; 0E 8alor de sal8a=ento 4 P A 1 1
1 i g 1 i i i g
n
0E / 9** V:1;*, V:1;*,3211;*,*43< 3211;*,*43< W21*, W21*, *,*43 / .9** 1),5))53 / *.&),*( Halor presente del 8alor de sal8a=ento .(** 102F 102F,, 4+, 63 / 45,&6 6
0K / 4.*** ; *.&),*( 45,&6 PT ()*+0-,
EJERCICIOS GRUPO 2:
. n prést présta=o a=o de '.* '.*** ** con ) años de pla plazo zo se pago en c"ot c"otas as ig"ales. ig"ales. La tasa de iinterés nterés es de dell (*+ an"al. 7!"#l es la =agnit"d de la c"ota &. -"p -"pong onga a ?"e "n pré présta sta=o =o de 'G***.* 'G***.*** ** se pago en "na ser serie ie "ni "nior= or=e e =ens" =ens"al. al. La tasa de interés es del &+ =ens"al sobre saldos. 0ero ade=#s de la serie ordinaria %ay co=pro=iso de pagar "n re"erzo adicional de '&**.*** al inal del plazo ?"e es "n año. 7!"#l es el 8alor de c"ota ordinaria =ens"al (. -i "na pers person ona a a% a%or orra ra '4 '4** ** cada año en "n ba banc nco o ?" ?"e e pag paga a el &+ de in inte terés rés cap capitital aliz izad ado o >. ). 6. 9.
4.
an"al=ente 7c"#nto tendr# a%orrado al inal an"al=ente inalizar izar el no8eno año, l"ego de %acer n"e8e depósitos de in de año -e tien tiene e "n prés présta= ta=o o de 'G 'G*** ***.** .*** * al (+ =ens"al =ens"al sobr sobre e saldo saldos. s. -i se pag paga a en * c"ot c"otas as de a=ortización constante, 7!"#l es el 8alor de la pri=era y tercera c"ota En el e@ e@ercici ercicio o anteri anterior or 7!"#l e ess el sald saldo o "na 8ez p pagada agada la ttercera ercera c"ota c"ota -e esta pag pagand ando o "n prés présta ta=o =o a ) añ años os en c"ot c"otas as ordi ordina nari rias as =ens"a =ens"ale less de '(** '(**.* .*** ** pe pero ro adicional=ente se tienen re"erzos de ')*.*** se=estral=ente. La tasa de interés es del (+ =ens"al. 7 !"#l es la de"da desp"és de pagar la c"ota del =es )* na pers persona ona co=p co=pra ra "n a"t a"to o en '&> '&>.** .*** * y acor acordó dó pagarlo pagarlo en (6 =en =ens"a s"alid lidade adess ig"al ig"ales, es, a "na tasa de interés de + =ens"al. n plan alternati8o de pago consiste en dos an"alidades de '>&4,) al inal de pri=ero y seg"ndo años y ya no pagar las "lti=as & =ens"alidades. Deter=ine c"#l es el =e@or plan de pago (6 =ens"alidades ig"ales o &> =ens"alidades =#s dos an"alidades de '>&4,) al inal de los =eses & y &>. n banco ot otorgó orgó "n prés présta=o ta=o por ' ' .*** a "n "na a tasa de int interés erés an"a an"all del 4+ y aco acordó rdó ?"e se le pagara en * cantidades ig"ales al inal de cada año, dando inicio en el pri=ero. Desp"és de ?"e se %"bo pagado la ?"inta an"alidad el banco orece, co=o alternati8a, %acer "n solo pago de '9.*** al inalizar el sig"iente año, es decir ya no se %ar$an los ) pagos restantes sino "na sola al inal del seto año. Deter=ine ?"e opción de pago le con8iene aceptar al de"dor para li?"idar las "lti=as cinco an"alidades.
EJERCICIOS GRUPO + . -e espera ?"e "n "na a =#?"in =#?"ina a inc"rra en cos costos tos de operac operación ión de '>.* '>.***, **, el pri= pri=er er año y ?"e estos costos a"=enten a"=enten en ')** cada año posterior posterior,, d"rante los diez años de 8ida de la =#?"in =#?"ina. a. -i el dinero 8ale )+ para la e=presa, 7c"#l es el 8alor e?"i8alente an"al de los costos de operación Rta2 ')65,)5 &. Res"el Res"el8a 8a el probl proble=a e=a anter anterior ior si la cal calendariz endarización ación de los co costos stos se in8 in8ierte ierte pa para ra ?"e sea co=o el sig"iente diagra=a
*
&
4.***
5
( 9.)**
i / )+
>.)**
* >.***
4.)** Rta2 '64*4,>*& (. En el año proble=a proble =a anter anterior ior,, s"ponga s"pong ?"e eldecost costo o de ope operac ración ión del pri=er er año es de '>.** '>.*** * y ?"e cada posterior d"rante los *a años 8ida de la =#?"ina lospri= costos de operación a"=entan en "n 6+an"al. -i el dinero 8ale )+ para la e=presa, 7c"#l es el 8alor an"al e?"i8alente de los costos de operación Rtal '>5(),)6 >. -"pong -"ponga a ?"e "sted "sted a%orró a%orró d"rant d"rante e 555 '*.* '*.*** ** al inal de cada =es, pero ?"e este año esta esta a%orrando '&*.***. 7 !"#nto dinero ac"="lar# el ( de dicie=bre de &***, sabiendo ?"e el interés pagado es del &+ =ens"al sobre saldos Rta2 '>(4.((5,)& ). -e recibe pr prestado estado el d dinero inero para pa pagar gar =atr =atr$c"las $c"las en lla a "ni8ersi "ni8ersidad. dad. La tas tasa a de interé interéss se=estr se=estral al es del )+ sobre saldos se=estrales. Las =atr$c"las se incre=entan ')*.*** cada se=estre. 7!"#l es la de"da al ter=inar "na carrera de * se=estres, sabiendo ?"e la pri=era "e de '>**.*** Rta2 (P&45.656,9> 6. Res"el Res"el8a 8a el e@erc e@ercicio icio ant anterior erior si la lass c"otas se in incre=ent cre=entan an en "n *+ cada se se=estr =estre. e. Rta2 '(P()6.9**,)> 9. na pers persona ona a%o a%orra rra =ens =ens"al= "al=ent ente e "na parte de s" s"eld s"eldo o con el in de obt obtener ener "n on ondo do para casarse. !ree ?"e las c"otas cada d$a deben ser =#s altas a =edida ?"e se acerca la boda. Moy e=pezó a%orrando'&.*** y cada =es se incre=entar# la c"ota en "n )+. -" =atri=onio ser#
dentro de cinco años. 7 !"#l ser# el ondo ac"="lado, sabiendo ?"e el interés =ens"al es del (+ Rta2 '.(9.&,*& 4. Res"el Res"el8a 8a el e@ e@ercici ercicio o anteri anterior or si las c" c"otas otas se iincre=en ncre=entan tan '&** cada =es =es.. Rta2 '.*>(.)&(,69 5. -e tiene " "n n présta= présta=o o de '*** a ) añ años os para pagarlo pagarlo en ) c"o c"otas tas ?"e se 88an an incre= incre=entand entando o el &*+ an"al. -i la tasa de interés an"al es del (*+, 7c"#l es el 8alor de la pri=era y la Xlti=a c"ota Rtal
A / (*(,5 A) / 6&4,65
EJERCICIOS GRUPO . A "sted lle e orece orecen n "n 8e%$c 8e%$c"lo "lo y lo p" p"ede ede pagar inanc inanciado iado o de ccontado ontado.. En la inanciación "sted deposita el (*+ del 8alor de contado co=o c"ota inicial y el resto se paga en (* c"otas de in de =es correspondientes a "na serie 1arit=ética3 gradiente creciente con "n gradiente de '&.*** y "n Interés del &+ eecti8o =ens"al. na 8ez pagada la c"ota ), "sted decide pagar el saldo con el in de ?"edar a paz y sal8o. Este saldo enc"entra ?"e es de .>)).((> 7!"#les el precio de contado del 8e%$c"lo R2 '(.*9(.&>,(* &. n banco presta dinero pagadero en * =ens"alidades Ig"ales al inal de cada =es. El c#lc"lo de los pagos =ens"ales se %ace de la sig"iente or=a a la cantidad prestada 103 se le s"=a el &>+ del présta=o y la cantidad res"ltante, di8idida por *, es el =onto de cada c"ota =ens"al. 7!"#les el interés eecti8o =ens"al de este présta=o 7!"#l es el interés eecti8o an"al R2 6&.&+ (. n présta=o de ').***.*** se 8a a pagar en ) años a "n Interés del >&.)96+ eecti8o an"al en las sig"ientes condiciones na c"ota "nior=e al inal de cada =es y ade=#s ade=#s,, con las pri=as se=estr se=estrales, ales, se con8iene en %acer pagos de '**.*** al inal de cada "no de los (* se=estres. Malle la =agnit"d de la c"ota de in de =es. R2 ().&99.(). >. -i "sted abre "na c"enta de a%orros a%ora depositando '&**.***, ?"é tie=po le to=ar# agotar la c"enta si e=pieza a retirar dinero dentro de "n año y =edio, retirando ')*.*** el pri=er =es, '>).*** el seg"ndo =es, '>*.*** el tercer =es, y as$ s"cesi8a=ente cantidades decrecientes en ').*** por =es %asta ?"e la c"enta se agote. -"ponga ?"e la cantidad depositada gana interés a "na tasa no=inal del &+ an"al capitalizando =ens"al=ente. R2 9 ). n aparta=ento de '&*.***.*** se lo orecen en las sig"ientes condiciones 0lazo )años !"ota inicial '4.***.*** y el resto se paga en las sig"ientes condiciones 4* c"otas Ig"ales de in de =es y ade=#s de las c"otas =ens"ales, se deben pagar c"otas se=estrales en "na serie gradiente porcent"al decreciente. La pri=era de
estas c"otas se ca"sa siete se=estres desp"és del présta=o y es de "na =agnit"d de '(**.***. Las restantes dis=in"yen "n *+ con respecto a la in=ediata=ente anterior an terior.. -i la tasa de interés es del >&.)96+ eecti8o an"al, 7!"#l es la =agnit"d de las c"otas =ens"ales R2 '().66.5* 6. n aparta=ento, ?"e tiene "n 8alor de '6.***.*** se p"ede ad?"irir inanciado, en las sig"ientes condiciones 0lazo ) años Kasa de Interés (*+ no=inal an"al con capitalización se=estral !"ota inicial '&.***.*** El saldo de '>Y***.*** es pagar$a de la sig"iente or=a "na serio de c"otas =ens =e ns"a "ale less de i in n de =e =ess pe per= r=an anec ecie iend ndo o Ig Ig"a "ale less en "n =i =is= s=o o añ año, o, pe pero ro a"=entando de "n año al sig"iente en "n )+ ade=#s, cada in de se=estre se paga adicional a la c"ota =ens"al "na c"ota etra de ')*.*** Deter=ine el es?"e=a de pago. R2 1A=3 / 6.546.9) donde 1A=3k / c"ota =ens"al del año k Deter=inar el contenido de intereses y de a=ortización de la c"ota del =es (). R2 i() / 5*.444.46 a() / ).&5.)& 9. !on los proble=as de orden pol$tico ?"e s"scitan las alzas en los ser8icios pXblicos, el gobierno desea establecer lasJ tarias por kZ% para los prói=os c"atro años. La pol$tica oicial es =antener In=odiicable el precio2kZ% a los "s"arios, "na 8ez se ele8e la taria, alza ?"e 8a a ser a partir de %oy. Act"al=ente la taria est# en '(62kZ% y para los los años sig"ientes, el est"dio da co=o res"ltado las sig"ientes tarias ordinarias
*
&
(
> años
(6 >*
>> >4 )&
7!ó=o debe ser "n Incre=entado "nior=e para esos c"atro años, si se "tiliza "na tasa de Interés del )+ eecti8o an"al R2 incre=entar$a en '6.45& 4. -i=eón -i=eón K Korrente orrente est# prest presto o a inicia iniciarr Ios est"dios de "na carrera de Ingeni Ingenier$a. er$a. El es pobre pero ="y Inteligente y %onrado. Dic%o est"diante re?"iere inanciar s"s costos se=est se=estral=en ral=ente te de =atr$ =atr$c"la, c"la, los c"ales para el pri=er se=estr se=estre e son de '*.*** y crecer#n en "na serie gradiente porcent"al cada se=estre con "na tasa de creci= creci=iento iento del &*+, y los costos =ens"ales de =an"tención =an"tención ?"e ser#n Ig"ales para todos los =eses de "n =is=o año, pero dis=in" dis=in"yendo yendo de "n año al sig"iente en ')**. El pri=er año los costos de =an"tención =ens"all ser#n de '4.*** 1o sea ?"e para el año & éstos ser#n de '9.)**, =ens"a '9.)**, año ('9.***, etc3. na Instit"ción inanciera le %ar# los présta=os %aciendo los dese=bolsos para =an"tención al inal de cada =es y para =atric"la al co=ienzo de cada se=estre. El Interés ?"e cobra dic%a Instit"ción es del &6.4>4+ eecti8o an"al d"rante el periodo de est"dio y >+ eecti8o =ens"al d"rante el per$odo de pago de la de"da. -i el est"diante realiza la carrera en seis años y e=pieza a pagar la de"da en el pri=er =es de 8ida proesional, en "na serie "nior=e de in de =es d"rante tres años. 1-"ponga ?"e él ter=ina la carrera en dicie=bre y e=pieza a pagar la de"da el ( de enero3. 7!"#l es la =agnit"d de los pagos a la Instit"ción inanciera R2 59.)99.) -"ponga ?"e c"ando -i=eón K Korrente orrente inició est"dios, el ingeniero Ar=ando !asas se estaba ganando ')*.*** =ens"ales y este salario %a ido creciendo cada año en "n &*+. Al doctor -i=eón Korrente le %a ido ="y bien en s" proesión y est# ganando lo =is=o ?"e Ar=ando. 7["é porcenta@e de s" salario 1tres años desp"és de %aberse grad"ado3 estar# dedicando el doctor Korrente Korrente al pago de la de"da R2 >).>+ 5. '(Y***.***, se prestan a "na tasa del 6+ eecti8a se=estral a "n plazo de ) años añ os y con con la con condi dici ción ón de ser ser c"b c"bie iert rto o en c"o c"ota tass =e =ens" ns"al ales es ig ig"a "ale less per pero o dis=in"yendo de "n se=estre al sig"iente en la s"=a de '.*** y, ade=#s en "na serie "nior=e de c"otas se=estrales c"ya =agnit"d constante es Ig"al a la c"ota =ens =e ns"a "all "ni "nior= or=e e cor corres respon pondi dient ente e el pr pri= i=er er se=e se=est stre re de pa pago gos. s. Ma Mallllar ar el es?"e=a de pagos. R2 1A=3 / (5.(4>,9* 1A=3k / c"otas =ens"ales del se=estre k k / ,&. .... (*
*. n présta=o se 8iene pagando en "na serie gradiente creciente de in de =es y, ade=#s "na serie "nior=e de in de se=estre. La pri=era c"ota de la serie gradiente gradie nte es de ').*** y el gradiente es de '.)**. '.)**. La serie "nior=e "nior=e se=estral es de '(*.***. El présta=o es a "n plazo de 4* =eses y el interés es del &.)+ eecti8o =ens"al. Malle el =onto del présta=o. R2 (.*&(.6&4,4( !alc"le el contenido de a=ortización e intereses de la c"ota del =es 6>. R2 i6> / &)5.)** a6> / * !alc"le el contenido de a=ortización e intereses de la c"ota ?"e se paga a inales del =es del 64. R2 a64 / )6.)&>,>6 i64 / 59),)> . n présta=o de '&)*.*** al &(.94(+ no=inal an"al capitalizado diaria=ente, es pagado en ) c"otas =ens"ales Ig"ales al inal de cada =es. na 8ez pagada la déci=a c"ota se recibe "n seg"ndo présta=o de ')**.*** ?"e se s"=a al saldo no pagado del pri=er présta=o. Entre el presta=ista y el prestatario se ac"erda Intereses del &6.&>99+ eecti8o an"al sobre el total de la de"da 1saldo no pagado del pri=er présta=o =#s los ')**.*** del seg"ndo3. Ade=#s se ac"erda no %acer pago alg"no d"rante oc%o =eses 1o esa, per$odo de gracia oc%o =eses para la n"e8a de" de"da3 y enton oncces pagar en cinco c"ot ota as tri ri= =es esttral rales correspondientes a "na serie gradiente porcent"al, con tasa de creci=iento del *+, ésta n"e8a de"da. -e preg"nta 7!"#l es la =agnit"d de cada "na de las pri=eras ) c"otas =ens"ales R2 5.>9,6* 7!"#l es la =agnit"d cada "na de las cinco c"otas tri=estrales correspondientes a la de serie gradiente A / &4.5(.)* 7!"#l es el total de Intereses pagados en los dos présta=os R2 &&4.6)&,>* &. La e=presa \F], acaba de @"bilar a "no de s"s antig"os "ncionarios. 0or concepto de pensión de @"bilación debe pagarle '&)*.*** =ens"ales d"rante seis años 19& =eses3 ya ?"e el inal de tal per$odo se espera ?"e éste allezca. El gerente inanciero de la e=presa en c"estión desea saber ?"é apropiación debe %acer a%ora para c"brir estos pagos "t"ros, a "na tasa de interés no=inal del &>+, calc"lado =ens"al=ente. 7["é cantidad debe depositar en el ondo Inicial=ente
R2 5.>56.*),4* n año =#s tarde, la tasa de interés es reba@ada al 4+. 7!"#nto se debe agregar al ondo para c"=plir el co=etido Inicial R2 .)>.4>),)) Ttro año desp"és, la pensión es a"=entada a '()*.***. 7!"#nto debe agregarse a%ora al ondo R2 (.>*>.&)),(9 Final=ente, si tanto la reba@a en la tasa de interés, co=o el a"=ento en la pensión %"biesen sido conocidos en el a"=ento de la constit"ción del ondo, 7c"#l ser$a el =onto de éste R2 &.6).66*,4& (. na e=presa dispone de "n ondo de présta=os para s"s e=pleados. El regla=ento de este ondo establece lo sig"iente a. Los crédi créditos tos ser# ser#n n a & =eses ccon on pagos " "nior= nior=es es el in inal al de cad cada a =es 1c"ando %ay pago3. b. En lo loss =es =eses es (, 6 6,, 5 y & &,, no sse e %ace pag pago. o. c. Los cost costos os ina inancieros ncieros d del el prést présta=o a=o son llos os ?"e res res"lten "lten de "na corre corrección cción =onetaria del &4+ y "na tasa de interés del )+ con capitalización contin"a. -i a "n e=pleado de la e=presa le %acen "n présta=o de ')**.*** 7!"#l ser# el es?"e=a de pago 7!"#l ser# el contenido de intereses y a=ortización de la c"ota ?"e paga al inal del =es oc%o >. -e %ace "n présta=o de '.***.*** para pagarlo en cinco c"otas =ens"ales de de =es y a "ncreciente interés del =ens"al. La or=a de apago corresponde "nainserie gradiente en&.4+ la c"al cada c"ota es ig"al la anterior =#s "na )+ de la pri=era c"ota. a. Deter=ine el es?"e=a de pago R2A / 64.*99,4( b. !ontenido de interés y a=ortización de la tercera c"ota. R2 i( / 5.((5,45 a( / 55.6,&5 c. El total de intereses pagados R2 5&.)*),44 d. Elabore el c"adro de a=ortización respecti8o.
). 0 * pesos se pagan a "na i= / (+ en 4* c"otas =ens"ales gradientes porcent"al crecientes. -e sabe ?"e las pri=eras 4 c"otas podr$an ree=plazarse por 4 c"otas =ens"ales de ')9.)4*,4 c2". De no pagarse las Xlti=as 4 c"otas, tendr$a ?"e pagarse, en el p"nto 4*, "n 8alor e?"i8alente a ellas de '4.&*9.9)4,6. Deter=ine a. b. c. d.
El es?"e es?"e=a =a de pa pago goss -a -ald ldo o =# =#i i=o =o !onten !ontenidos idos de a a=ortiz =ortización ación e interes intereses es de la pri pri=era =era c"ota c"ota ?"e a= a=ortiza ortiza.. Kota otall inte interés, rés, d desde esde ccero ero %as %asta ta ene ene..
Resp"estas a. ig / &.4+ A / >6.*65,*&
A4* / 6.>)5.66,&>
0* / 6Y4**.***
b. 0 / 0>) / 4(Y*)6.959,)> c. a95 / )&4.56>,4&
i95 / ).9)>.&9*,4&
d. i / &&4Y654.()&,6( 6. 0* pesos se prestan a "na i = &.5(+, para ser pagados en 4* c"otas =ens"ales gradientes crecientes. -e sabe ?"e A / '>.*** 9( / '&>>.5)*,5> '6*).*),6 ii9( /
1contenidogenerados Intereses c"ota 9(3 1intereses in =es 9(3
-ólo a=ortizan las Xlti=as oc%o c"otas. Deter=ine a. b. c. d.
Es Es?" ?"e= e=a ad de ep pag agos os -a -ald ldo o =# =#i i=o =o !onten !ontenidos idos de a a=ortiz =ortización ación e interes intereses es de la pri pri=era =era c"ota c"ota ?"e a= a=ortiza ortiza.. Kota otall int intere ereses, ses, desd desde e cero % %ast asta a n.
Resp"estas 0* / '4.***.***
g / '6.65&,*&
b. 0 / '&6Y544.994,(4 c. a9( / '))5.59),54 d. '*&Y(&4.>(,)
i9) / '6*).*),6
9. '(Y***.***, a "na i = / &+, se pagan as$ Dentro de &* =eses se pagan (24 de intereses ac"="lados %asta &*. Dentro de )* =eses se a=ortizan (2) del capital. En los =eses 64, 9, 9> y 99 se pagan c"otas de =agnit"des ig"ales. Deter=ine a. El es?"e=a de pagos. b. i* n Resp"estas a. A&* / )>6.65*,4& b. i* n / ).(**.9*5,>
A)* / ).44>.)*5,(>
AK / >69.(99,(
4 0* pesos, a "na i= / &,)+, se pagan en 4* c"otas =ens"ales gradientes decrecientes. -e sabe ?"e las c"otas A), A)&, A)(,... A54 se pagan entre todas '>Y64).56,) Esas >4 c"otas podr$an ser ree=plazadas por c"atro c"otas an"ales de '.()(.65,&& cada "na. Deter=ine a. El es?"e=a de pagos b. Ka )* C 54 i)* 54 c. a** i** d. i*
4*
Resp"estas a. g / '** A / '*>.59>,& 0* / '>Y***.*** b. Ka )*54 / '>56.&(6,>5 i)* 54 / '>45.9&),*& c. a** / ').&&4,& i** / '95.4>6 d.i*
4* / '(.&4>.()),66
UEJERCICIOS GRUPO EJERCICIOS SENCILLOS
&(.
-e colocan en depósito .*** pesos al (+ de interés =ens"al sobre saldos. 7["é cantidad est# disponible al cabo de )& =eses =eses R2>6)*,44 pesos
-e %ace "n a%orro %oy del para&.)+ para dispon disponer er de )**.*** peso pesoss dentro de * años. &>.entidad reconoce "n interés interés =ens"al 1con ccapitalización apitalización =ens"al3. 7!"#l La es la =agnit"d del a%orro %oy R2&).4&4,5 pesos.
&).
-e le prestan a "n e=pleado &**.*** pesos para pagarlos en dos años, a "na tasa de interés interés del (+ tri=est tri=estral. ral. El présta présta=o =o se pagar# en c"otas ig ig"ales "ales de in de tri=estre. 7!"#l es la =agnit"d de la c"ota tri=est tri=estral ral R2&4.>5& pesos.
&6.
na persona ?"e gana **.*** pesos =ens"ales %oy, a%orra el *+ de s" s"eldo d"ra d"rant nte e to todo do el año año con con el ob@e ob@etiti8o 8o de %ace %acerr "n 8ia@ 8ia@e e a !a !art rtag agen ena. a. La enti entida dad d inanciera inanc iera le reconoc reconoce e "n (+ de interés =en =ens"al s"al sobre sal saldos. dos. 7!on c"#n c"#nto to dinero parte par la Meroica R2>.5&* pesos.
&9.
na persona a%orra =ens"al=ente "na parte de s" s"eldo con el in de obtener "n ondo para casarse. !ree ?"e las c"otas deben ser cada d$a =#s altas a =edida ?"e se acerca acerca la boda. Moy e=pez e=pezó ó a%orra a%orrando ndo &.*** p pesos esos y ca cada da =es inc incre=ent re=entar# ar# la c" c"ot ota a en "n )+. -" =a =atr tri= i=on onio io se ser# r# den dentr tro o de ) años años.. 7!"# 7!"#ll ser# el o ond ndo o ac"="lado, sabiendo ?"e el interés =ens"al es del (+ R2.(9.&
EJERCICIOS SENCILLOS
&4.
Desde el de enero de 55*, "sted se propone a%orrar )*.*** pesos d"rante los & =eses del año. El inter interés és reci recibido bido es d del el (+ =en =ens"al s"al co co=p"est =p"esto. o. 7!"#l e ess el ondo ac"="lado a ( de dicie=bre de 55* R29(*.444 pesos
&5.
-"ponga ?"e "sted a%orra *.*** pesos al inal de cada =es del año 5*, pero en el año 5 el a%or a%orro ro =e =ens ns"a "all es del dobl doble. e. 7! 7!"# "#nt nto o di dine nero ro ac"= ac"="l "lar ar# # el ( de dicie=bre de 55, sabiendo ?"e el interés pagado es del &+ =ens"al sobre saldos R2>(4.((5,4)
(*.
-e est# pagando pagando "n présta=o en 6* c"otas ig"al ig"ales es de &*.*** pesos. El interés cobrado es del (+ =ens"al =ens"al sobre saldos. El prestatario soli solicita cita el saldo o de"da "na 8ez paga la c"ota (4. 7!"#l es el saldo R2(4.9(4 pesos.
(. -e %acen )* depó depósitos sitos ig" ig"ales ales de **.** **.*** * pesos al ina inall del =es. !on ello se ?"i ?"iere ere %acer retiros en or=a de progresión arit=ética de or=a ?"e el pri=er retiro se %aga al inal del =es ), a"=entando en (*.*** pesos cada retiro, todo ésto d"rante (6 =eses. 7!"#l es el 8alor del retiro del ), sabi sabiendo endo ?"e el interés es del (+ =ens"al sobre saldos y el saldo inal es cero R24).)>6.>*
EJERCICIOS CON ALTA DIFICULTAD (>. -"ponga ?"e cierta entidad le presta a "sted co=o est"diante en !aracas, al principio de cada se=estre la =atr$c"la =atr$c"la ?"e para el pri=er se=estre es de *.*** bol$8ares. La =atr =a tr$c $c"l "la a se incr incre= e=en enta tar# r# .)* .)** * ca cada da se se=e =est stre re.. Ka= a=bi bién én le pres presta ta para para sosteni=iento al principio de cada se=estre (*.*** bol$8ares. -i la tasa de interés es del &+ se=estral y s"pone=os s" carrera de * se=estres, 7c"#l es la de"da en el =o=ento del grado 1inal del déci=o sse=estre3 e=estre3 R.45.949,& bol$8ares. (). n présta présta=o =o se paga en ) años, en c"ota c"otass =ens"al =ens"ales es de 4.*** pesos =#s c"otas adicionales an"ales de )*.*** pesos 1apro8ec%ando la pri=a de na8i na8idad3. dad3. La tasa de inte interé réss es del del (+ =e =ens ns"a "all co=p co=p"e "est sto. o. 7! 7!"# "#ll es la =a =agn gnitit"d "d del del pré prést sta= a=o o R2(4.5*4,65 pesos. (6. no noss pad padres res a%orr a%orran an al inal de cad cada a año )**.* )**.*** ** pes pesos, os, para tener dent dentro ro de ) años 6* =illones, =illones, par la ed"c ed"cación ación de s" %i@o. 7!"#l es la tasa de int interés erés ?"e sale reconociendo la entidad donde a%orra R2&6.*6>9+ an"al. (9. -"p -"pong onga a ?"e "ste "sted d gan ganó ó "na lote loter$a r$a el de no8 no8ie= ie=bre bre de 54 544, 4, por 8alor de >* =illones =ill ones de pes pesos. os. Este di dinero nero "e co colocad locado o en "na corpo corporació ración n ?"e le reco reconoce noce el &.6+ =ens"al =ens"al sobre sal saldos. dos. El de @"lio de 545 se e=pezar e=pezar# # a %acer && retiros ig"ales =ens"ales consec"ti8 por 8alor de )**.*** cada "no. n año desp"és del Xlti= Xlti=o o retiro, "ste "sted d consec"ti8os cancela laosc"ent c"enta. a. 7!"# 7!"#nto nto le entrega la corpo corporación ración en dic% dic%o o =o=ento R25>.95.6>,* pesos. (4. -e %a entregado "n présta= présta=o o por 8alor de (4.5 (4.5*4 *4 pesos para pagarlo en 6* c"otas =ens"ales ig"ales de in de =es. Adicional=ente se pagar#n c"otas al inal de cada año por 8alor de )*.*** pesos. pesos. 7!"#l es la =agni =agnit"d t"d de la c"ota =ens"a =ens"all si la tasa de interés es del (.*+ R24.*** pesos
EJERCICIOS DIFICILES (5. -e %ace "n prést présta=o a=o por 8alor de =illó =illón n de pesos, con plaz plazo o de >) =eses y al &+ de interés eecti8o =ens"al. El présta=o se decir pagar# eno c"otas =ens"ales ?"eética. se incre=entando =ens"a =en s"ales les,, es decir, , co= co=o "na progr progresi esión ón arit= arit=éti ca.8an-in e=ba e=bargo rgo,, en'.)** or=a adicional, se pagar#n c"otas se=estrales de '*.*** a. 7!"#l es la = =agnit"d agnit"d de la pri=era y Xlti=a c"ota b. 7!"#l e ess la de"d de"da a in=ed in=ediata iata des desp"és p"és de % %aber aber pag pagado ado la c" c"ota ota del = =es es ( >*. -"pon -"ponga ga ?"e "sted recibe "n présta=o de '.***.* '.***.*** ** al &+ eec eecti8o ti8o =ens" =ens"al al con capitaliza capit alización ción =ens" =ens"al al de intereses intereses.. El présta présta=o =o se pagar# en "n plazo de ) años as$ En los pri pri=eros =eros (6 = =eses eses se pa pagar#n gar#n c" c"otas otas ig ig"ales "ales de in in de =es =es.. L"ego se pagar#n &> c"otas =ens"ales de )*.*** pesos. a. Elabore el es?"e=a gr#ico de datos e incógnitas. b. 7!" 7!"#l #l es e ell 8al 8alor or de lla a pri pri=er =era a c"o c"ota ta c. 7!"#l es lla a de"da l"ego de pag pagar ar la c"ota del =e =ess (* (*
>. n =illó =illón n de pesos se pres prestan tan con "n plazo de * años a "na tasa de interés de dell 6+ tri=estral, pagaderos en c"otas de in de tri=estre de =agnit"d creciente segXn el gradiente arit=ético, de tal or=a ?"e i@ada la pri=era c"ota, el 8alor de cada "na de las restantes se %ace ig"al a la anterior =#s ').*** El prestatario l"ego de cobrar las c"otas correspondientes a la pri=era =itad de plazo, desesperado por la lentit"d del pago, decidió reorzar las c"otas restantes con pagos "ni "nior or=e =ess de in in de en tr tri= i=es estr tre, e, red" red"ci cien endo do de esta esta =a =ane nera ra el titie= e=po po de pago pago inicial=ente estip"lado dos años. Diseñe el es?"e=a co=pleto de pagos 1=agnit"d de las cc"otas3. "otas3. >&. -e %ace "n prés présta= ta=o o de '. '.*** ***.** .*** * con "n plazo de ) años. La tasa de int interé eréss eecti ee cti8a 8a =ens" =ens"al al es del &.)+ &.)+.. El prést présta=o a=o se pagar# en "na ser serie ie o pro progre gresió sión n arit=ética donde el gradiente 1=ens"al3 ser# ')**. a. 7!"#l es el 88alor alor de la pri=era y Xlti=a c"ota b. 7!"#l es la a= a=ortización ortización 1del principal3, contenida en la c"ot c"ota a (* >(. Ante la @"bilaci @"bilación ón de "n traba@ado traba@adorr, la e=pre e=presa sa ?"iere %acer "n ondo ?"e deposi depositar# tar# %oy en "na entidad ?"e le reconoce el &.(+ eecti8o =ens"al. El ondo estar# en capacidad de c"brir eacta y total=ente (6 pensiones de ')*.*** 1in de =es3 y l"ego 9& pensiones de '9*.*** 1in de =es3, al inal de estas pensiones el traba@ador ="rió y el ondo ?"edó en cero. 7!"#l es la =agnit"d del depósito %ec%o por la e=presa %oy >>. -"ponga=os ?"e en 544, desde enero, e=pezó a %acer depósitos depósitos =ens"ales 1de in de =es3 en "na corporación ?"e le reconoce el &.&+ eecti8o =ens"al. sted %izo en enero "n depósito de '.*** y lo incre=entar# incre=entar# "n )+ =ens"al 1co=o "na progresión geo=étrica3. -e re?"iere saber el ondo de capitalización ?"e "sted tendr# desp"és de 6* =eses.
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