Ejercicios Resueltos - Vectores PDF

CAPÍTULO 2

EJERCICIOS PROPUESTOS VECTORES

Revisado por Felipe Aguilar. Enero del 2007.

Ejercicio 2.1.- Un vector situado en el plano XY tiene una magnitud de 25

a=(2,-1,7);

b=(9,4,2)

c=(9,4,2);

d=(2,-1,7)

e=(0,0,0);

f=(2,2,1)

unidades y forma un ángulo de 37º con la abscisa.

Determine

sus

componentes

rectangulares.

Solución:

Solución:

A X = 7;

A y = 5;

θAx = 45,0º;

A X = 20 A y = 15

B X = −7;

θAy = 59,7º;

B y = −5;

θBx = 135,0º;

Ejercicio 2.2.- La componente x de un vector que está en el plano XY es de 12 unidades, y la componente y es de 16

C X = 2;

A = 9,9 θ Az = 120,3º;

Bz = 5;

θBy = 120,3º;

C y = 2;

θCx = 48,2º;

A z = −5;

Cz = 1;

θCy = 48,2º;

B = 9,9 θBz = 59,7º,

C == 3 θCz = 70,5º

unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector?.

Ejercicio 2.4.Solución:

magnitud de 6 [cm] y forma un ángulo de

Ejercicio 2.3.- Encuentre las componentes rectangulares, las magnitudes y los ángulos G G G directores de los vectores A,B y C que van desde el punto a hasta el punto b, desde el punto c hasta el punto d y desde punto

tiene

una magnitud de 9 [cm] y está dirigido G hacia +X. Otro vector B tiene una

A = 20 θx = 53,1º

el

G Un vector A

e

hasta

el

punto

f,

45º respecto de la abscisa positiva. El G vector C tiene una magnitud de 15 [cm] y forma un ángulo de 75º respecto del eje +X. Determine el vector resultante. Solución: G R = 17,1iˆ + 18,7ˆj

respectivamente, en el espacio coordenado cartesiano:

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Ejercicio 2.5.- Dado el vector G A = 2iˆ + 4ˆj - 4kˆ , determine sus ángulos

Ejercicio 2.7.-

Hallar la resultante

de los siguientes desplazamientos: 3 [m] hacia el este; 12 [m] hacia el este 40º hacia

directores.

el norte y 7 [m] hacia el oeste 60º hacia el sur.

Solución: θx = 70,5º;

θy = 48,2º;

θz = 131,8º

Solución: G R = 8,7iˆ + 1,6ˆj

Ejercicio 2.6.- Dados los vectores: G A = 10iˆ + 5ˆj + 3kˆ ; G C = 2iˆ + 6ˆj - 4kˆ

G B = 3iˆ - 4ˆj + 2kˆ ;

Ejercicio 2.8.- Sumar dos vectores de magnitudes 8 y 5 que forman un ángulo de 60º entre sí.

G A

Y

Encontrar: G G a) A + B

X

60º

G G b) A - B

G B

G G G C c) 2A - 3B + 2

Solución: G R = 9iˆ + 6,9ˆj

G G G d) A • 3CXB G G e) Los ángulos directores de BXC

Ejercicio 2.9.- Un

barco

se

desplaza

sobre una superficie de agua tranquila a

Solución:

⎡ km ⎤ razón de 10 ⎢ ⎥ y entra en dirección O ⎣ h ⎦

G G a) A + B = 13iˆ + ˆj + 5kˆ

60º S en una corriente cuya dirección es E y que se mueve con una velocidad de

G G b) A - B = 7iˆ + 9ˆj + kˆ

G G G C c) 2A - 3B + = 12iˆ + 25ˆj − 2kˆ 2

θy = 58,7º;

¿Cuál será su velocidad

resultante?

Solución:

G G G d) A • 3CXB = -594

e) θx = 82,5º;

⎡ km ⎤ 12 ⎢ ⎥. ⎣ h ⎦

θz = 32,4º

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G ⎡ km ⎤ R = 7iˆ − 8,7ˆj ⎢ ⎥ ⎣ h ⎦

(

)

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Ejercicio 2.10.-

Un barco avanza

hacia el norte 60 [km]; luego cambia de curso y navega en alguna dirección hacia el sureste (no necesariamente S 45º E) hasta llegar a una posición a 50 [km] de distancia del punto de partida, en una dirección E 20,6º N respecto de dicho punto. Determine la longitud y el rumbo de la segunda parte

Ejercicio 2.13.Dados los vectores G G A = 3iˆ - 2ˆj y B = ˆi - 2ˆj , encontrar su producto vectorial y comprobar que ese G G vector es perpendicular a A y a B .

Solución: G G G A • AXB = 0 luego son perpendiculares G G G B • AXB = 0 luego son perpendiculares

de la travesía.

Solución: H d2 = 46,8iˆ - 42,4ˆj [km] O, lo que es igual,

(

)

navega 63,2 [km] en dirección E 42,2º S

Ejercicio 2.14.Dados los vectores G G A = -3iˆ + 2ˆj - kˆ ; B en el plano XY de módulo 10 y dirección 120º respecto de +X; G y C = -4ˆj . Determinar:

Ejercicio 2.11.Demuestre que los G G vectores A = ˆi - 3ˆj + 2kˆ y B = -4iˆ + 12ˆj - 8kˆ

G G G a) La magnitud de A + B - C

son paralelos.

G G b) El ángulo que forma AXB con el eje Z

Solución:

G G G c) Proyección de B - C en dirección de A

G G G AXB = 0 ; es cierto

Solución: Ejercicio 2.12.Encontrar un vector G B que esté en el plano XY, que sea G perpendicular al vector A = ˆi + 3ˆj

Bx=3a y By=-a, real.

b) θz = 147,9º c) 10,8

Solución:

B x + 3B y = 0

G G G a) A + B - C = 16,8

el que se satisface para con a=cualquier número

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Ejercicio 2.15.-

A

partir

de

los

Ejercicio 2.17.-

Hallar el área del

vectores que se muestran en la figura, en G G G que los módulos de A , B y C son 10, 20

triángulo formado por los G G A = 3iˆ + 2ˆj + kˆ ; B = -iˆ + 5ˆj - 4kˆ

y 30 respectivamente, determine:

diferencia.

G G G a) Proyección de A en dirección de C - B

Solución:

G G G G G b) Un vector D tal que 2D + B − 2A = 0 Y

G C

G B

60º 30º

G A

60º

X

Solución:

vectores y

su

Area = 12,03

Ejercicio 2.18.G A = -iˆ + 3ˆj + zkˆ ; G C = 2iˆ - 4ˆj + 3kˆ .

Dados los vectores: G y B = xiˆ + 6ˆj - kˆ

G G a) Si A es paralelo a B encontrar los

valores de las incógnitas x, z.

a) A E = −9.2 G b) D = −10ˆj

b) Encontrar un vector unitario paralelo a G C.

Ejercicio 2.16.-

c) Hallar un vector en el plano XY G perpendicular a C y de módulo 5.

Dados los vectores

G G A = 4iˆ + 6ˆj y B = -6iˆ - ˆj .

Encontrar:

Solución: 1 a) z = - ; 2

x = -2

a) El ángulo formado por los vectores.

b) cˆ = 0,37iˆ - 0,74ˆj + 0,56kˆ b) Un vector unitario en la dirección del G G vector A - 2B .

c) G G A = 4,48iˆ + 2,24ˆj o bien A = -4,48iˆ - 2,24ˆj

Solución: a) θ = 133,2º b) uˆ = 0,89iˆ + 0,45ˆj

Ejercicio 2.19.Dados los vectores: G G G G G G G A = P - Q y B = P + Q . Determinar P • Q si B=6 y A=4.

Solución:

G G P•Q = 5 05/04/2007 Jorge Lay Gajardo. [email protected]

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Ejercicio 2.20.-

Encontrar el área y

Ejercicio 2.24.-

Tres

vectores

los ángulos interiores de un triángulo cuyos

situados en un plano tienen 6, 5 y 4

vértices son las coordenadas:

unidades de magnitud.

(3,-1,2),

El primero y el

segundo forman un ángulo de 50º mientras

(1,-1,-3) y (4,-3,1).

que el segundo y el tercero forman un

Solución:

ángulo de 75º. Encontrar la magnitud del vector resultante y su dirección respecto

Area = 6,4

del mayor.

α == 26,284º;

β = 76,851º;

γ = 76,851º Solución:

Ejercicio 2.21.-

Hallar el valor de r G y tal que los vectores A = 2iˆ + rjˆ + kˆ G E = 4iˆ - 2ˆj - 2kˆ sean perpendiculares.

R = 9,9;

θx = 45,8º

Solución: r=3

Ejercicio 2.22.-

Hallar el área del

paralelogramo cuyas diagonales G G E = 3iˆ + ˆj - 2kˆ y T = ˆi - 3ˆj + 4kˆ

son:

Solución: Area = 8,7

G Los vectores A y Ejercicio 2.23.G B forman entre sí un ángulo de 45º y el G módulo de A vale 3. Encontrar el valor de G la magnitud de B para que la diferencia G G G A - B sea perpendicular a A .

Solución: B = 4,2

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