Ejercicios Resueltos Variable Compleja

EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE COMPLEJA.

1. Calcul Calcular ar la integr integral al :

Solución:

El método general para este tipo de integrales es estudiar la función de variable compleja (log z) 2/(z4 + 1)  con lo !ue tendremos "

# las ra$ces del denominador son "

En general para obtener las ra$ces de z a  con a % l/n  tenemos "

# esto nos da en nuestro caso "

&or lo !ue considerando !ue los polos son todos simples tendremos para los residuos "

El 'ltimo paso se eplica como sigue (por ejemplo para

)"

ustitu#endo cada z * en la epresión obtenida # llevando a la integral tenemos "

2. Resolver la integral :

Solución:

amos a estudiar la función

sobre el circuito adjunto con lo !ue tendremos"

# la integral es nula por no ,aber ning'n polo de f(z) en el circuito- .ontinuando resulta"

 tenemos" en 0.- z % +i-#  con 3  #  a  dz % i-d# "

 la 'ltima epresión tiende a cero cuando  tiende a infinito- 5n61ogamente resulta para la 'ltima de las integrales con lo !ue nos !ueda para la tercera " en .7- z %  + i-a   en el intervalo () "

7e ese modo finalmente "

siendo la integral una !ue aparece en el estudio de la función 8amma de Euler&or otro lado  para la función de variable real !ue estamos estudiando tenemos "

&ero el primer integrando es una función par !ue nos permite continuar la igualdad en la forma "

con lo !ue finalmente resulta "

3. Resolver las integrales de Fresnel :

Solución:

9omaremos como función a estudiar  # como circuito el representado en la figura adjunta- 5plicando el teorema de los residuos # considerando !ue no ,a# ning'n cero en el recinto tenemos"

&ara la segunda integral tenemos "

 esto resulta de !ue en 50 "

:os !ueda calcular la 'ltima de las integrales para la !ue tenemos"

En consecuencia "

donde nos aparece la integral de Euler vista en otros problemas- .ontinuando nos !ueda "

4. Sea f(z) una función analítica en un doinio !" # sea C el contorno de dic$o doinio. Si z1"% " z&  son 'olos eteriores" se deuestra ue 'odeos escri*ir:

donde el sí*olo indica ue la integral se $ace en sentido negativo. +eniendo en cuenta lo anterior 'odeos escri*ir:

# teneos : Si z , es cero de 'rier orden" entonces : Res(f" ) , -í z.f(z) (cuando z Si z , es cero de orden / " entonces : Res(f" ) , 0 Si z , es 'olo de orden n" entonces : Res(f" ) , - Res(1z2 ).f(z) " 0 Coo a'licación a estos conce'tos calclese la integral:

Solución:

&rimero calculamos la integral por medio de los residuos interiores- &ara ello "

9enemos 4 ceros simples cu#os residuos valen "

 por tanto"

i desarrollamos la integral por los residuos eteriores tendremos "

)

En este caso no ,a# ning'n polo eterior al circuito por lo !ue - 5dem6s el residuo en el infinito también es cero por ser éste un cero de orden ;- 5s$ pues tendremos !ue la 'ltima integral nos da un valor nulo como era de esperar teniendo en cuenta el resultado anterior-

5. Se deuestra en teoría ue si una función es analítica" la sua de todos sus residuos" co'rendido el del infinito" es cero. 6'licar lo dic$o al c7lculo de la integral :

Solución:

i elegimos los residuos interiores el proceso resulta dif$cil pues necesitamos obtener el residuo de un polo de orden 4 # tendr$amos !ue derivar ,asta el 4< orden- i lo ,acemos por los residuos eteriores tenemos !ue el infinito es un cero de orden = # por tanto su residuo es cero- 9endremos entonces"

# cada uno de los residuos vale "

.on lo !ue tendremos "