Ejercicios Resueltos Teoría de La Firma

TEORIA DE LA FIRMA. 1.

Suponga que Don Carlos es un pequeño agricultor dedicado a la frambuesa y que toda la producción esta en su parcela. Sabe que a medida que aumenta el número de trabajadores contratados en la producción el número de cajas de frambuesa varía de la siguiente manera:

Trabajadores(L) Producción(Q) PMgL PMeL a) b) c) d) 2.

0 0

1 10 10 10

2 30 20 15

3 60 30 20

4 80 20 20

5 95 15 19

6 7 8 9 10 108 112 112 108 100 13 4 0 -4 -8 18 16 14 12 10

Calcular el producto marginal y el producto medio del trabajo correspondiente a esta función de producción. Identificar los rangos de trabajadores en los que la función tiene rendimientos crecientes, constantes y decrecientes al factor. Grafique resultados. ¿El producto marginal puede ser negativo?.

La función de producción de COPEC viene dada por

Q  10K 0.5 L0.5

y la de su competidor SHELL por

Q  10K 0.6 L0.4 . Donde Q es la cantidad de litros de parafina producida al día, K representa las horas de uso de la maquinaria y L las horas de trabajo. Si las 2 compañías utilizan las mismas cantidades de capital y trabajo ¿Cuál produce más?. Suponga que el capital se limita a 9 horas-máquina pero la oferta de trabajo es ilimitada. ¿En qué compañía el producto marginal es mayor?. Si L = K,

QC  10 X 0.5 X 0.5  10 X QS  10 X 0.6 X 0.4  10 X , es decir, ambas producen lo mismo.

Si K = 9,

QC  10·90.5 L0.5  30L0.5 QS  10·90.6 L0.4  37.37 L0.4 , es decir, para L > 1 el PMgL

será mayor en

Copec. 3.

Las siguientes funciones de producción ¿muestran rendimientos a escala de qué tipo?. a) Q = 0.5KL b) Q = 2K + 3L.

En el primer caso Q(tK, tL) = 0.5(tK)(tL) = t20.5KL  H. G. 2  Rend. Crecientes a Escala. En el segundo caso Q(tK, tL) = 2(tK) + 3(tL) = t(2K + 3L)  H. G. 1  Rend. Constantes a Escala. 4.

Demuestre que la elasticidad parcial del trabajo es igual a 1 cuando el producto medio es igual al marginal.

 Q, L  5.

Q L 1 , luego, si PMgL = PmeL   Q , L  1  PMgL· L Q PMeL

Si el valor del producto marginal del factor trabajo es mayor que el salario pagado a este factor, ¿La firma disminuirá la contratación de trabajo en función de maximizar sus beneficios?.

VPMgL > w ó P·PMgL > w se deberá aumentar la cantidad contratada de L de manera de reducir la PMgL. 6.

Suponga que la siguiente función de producción de cervezas viene dada por Q = KL – 0.8K2 – 0.2L2 donde K es la cantidad anual de capital y L es la cantidad óptima de trabajo: a) Suponga que K es 19 ¿En qué nivel de trabajo alcanza la productividad media su punto máximo?¿Cuántas unidades de cerveza se producen en ese punto?. b) Suponiendo que K = 10, ¿En qué nivel de trabajo la productividad marginal es igual a cero?.

Para K = 19. Tenemos que

PMeL 

Q KL  0.8K 2  0.2 L2  L L

PMeL = 19 – 0.8·192/L – 0.2L. Sabemos

además que la productividad media alcanza su máximo cuando se iguala a la marginal, siendo PMgL = K – 0.4L = 19 – 0.4L. Por lo tanto 19 - 0.4L = 19 – 288.8/L – 0.2L 0.2L2 = 288.8  L = 38Q = 144.4. Si K = 10, PMgL = K – 0.4L = 10 – 0.4L. Igualando a cero se tiene 0 = 10 – 0.4L  L= 25.

8.

Una firma tiene la siguiente función de producción

f ( x, y)  10 x1/ 2 y3/ 4 . En el punto (x, y) = (20, 40)

encontrar: a) El PMgX y el PMgY. b) La pendiente de la isocuanta. c) Si los recursos tienen el mismo precio, ¿tendría la firma algún incentivo para alejarse de dicho punto? Si es así, ¿en qué dirección lo haría?.

PMgX 

f  5 X 1/ 2Y 3/ 4 , en el punto dado, PMgX  5201/ 2 403/ 4  17.78 X

PMgY 

f  7.5 X 1/ 2Y 1/ 4 , en el punto dado, PMgX  7.5·201/ 2 401/ 4  13.3 Y

Pendiente

isocuanta:

 RTS  

PMgX 5 X 1/ 2Y 3/ 4 2Y   1/ 2 1/ 4 PMgY (30 / 4) X Y 3X

.

En

el

punto

dado

2·40 4    1.3 . 3·20 3 P PMgX PMgX PX Si PX = PY  ó  1.3  1  X , por lo que la empresa no estaría en un óptimo. Como  PMgY PY PMgY PY PMgX PMgY , el rendimiento del último peso gastado en el recurso X es mayor al utilizado en Y, por lo que se  PX PY  RTS  

debe incrementar la contratación de X y reducir la de Y. 9.

Si en una empresa el último trabajador contratado aumentó el producto total es 2 cuando el precio del producto es $3 y el salario del trabajador es $4, podemos afirmar que la empresa está maximizando su beneficio. Comente.

Tenemos que PMgL = 2, P = 3 y w = 4. En una condición óptima para el factor trabajo

P·PMgL  w , en este caso

3·2  6  4 , por lo se debe contratar más trabajo. 10.

Una firma competitiva tiene una función de producción: Y = (K + L)1/2. Donde Y es la cantidad de producto final y K y L los factores productivos. El precio de K es r y el de L es w. Si r > w entonces la firma no usará el recurso K. Comente.

En este caso la

RTS 

PMgL (1/ 2)( K  L) 1/ 2 w   1 , y la RTSM   1 . Por lo tanto, en un óptimo solo 1/ 2 r PMgK (1/ 2)( K  L)

se utilizará trabajo ya que al ser ambos factores sustitutos perfectos se utiliza el más económico.

11.

Suponga que la función de producción de la firma es a) b) c)

Las funciones de demanda del trabajo y el capital. Si el precio del factor trabajo es $20 y del capital $30, ¿Cuál es el nivel óptimo de K y L para un costo total de $900?. Determine el costo marginal de la firma.

PMgL 2 / 3L1/ 3 K 1/ 3 2Kr K w   2    L  . Reemplazando en la isocostos se 2/ 3 2/ 3 w PMgK 1/ 3L K L r 2rK CT 2CT CT  wL  rK  w  rK  3rK  K *  , L*  . w 3r 3w

En el óptimo: RTS

tiene:

Q  K 1/ 3 L2/ 3 . Encuentre:



K* 

900 2·900  10 , L*   30 . 3·30 3·20 1/ 3

 CT   2CT  Tenemos que Q     3r   3w  3r1/ 3 w2/ 3 3·301/ 3202/ 3 CM    43.27 . 22/ 3 22/ 3 12.

2/3

22 / 3  1/ 3 2 / 3 CT 3r w

Suponga que la función de producción de la firma es

3r1/ 3 w2 / 3  CT  Q 22 / 3



Q  K 1/ 4 L3/ 4 . Se sabe además que en el equilibrio

el costo total mínimo es $1620, la cantidad de factores productivos empleados es de 16 unidades de trabajo y 81 de capital. Determine los precios de los factores.

PMgL 3/ 4 L1/ 4 K 1/ 4 K w wL . Reemplazando en la isocostos:  3   K  3/ 4 3/ 4 3r PMgK 1/ 4 L K L r w·16 wL 76·16 1620  w·16  r  (64 / 3) w  w  1620·3/ 64  76 . Como K = 81, r    5. 3r 3K 3·81 RTS 

13.

Se tiene la siguiente función de producción Y  K  L . Encuentre: a) El grado de homogeneidad de la función. ¿Qué tipo de rendimientos a escala presenta? b) Calcule la Relación de Sustitución Técnica (RTS)? c) Si K = 4, el precio del producto es P = 10, el salario de la mano de obra w = 2.5 y la renta del capital es 2. Determine el nivel de contratación óptima de mano de obra, cantidad ofrecida de producto y beneficios del empresario. d) Calcule la elasticidad insumo en el punto determinado en c). 1/ 2

1/ 2

tY  (tK )1/ 2  (tL)1/ 2  t1/ 2 ( K 1/ 2  L1/ 2 )  Homogénea de grado 0.5. Rend. decrecientes a escala. PMgL 1/ 2 L1/ 2  K     . PMgK 1/ 2 K 1/ 2  L  1/ 2 Nivel de contratación óptima de trabajo: P·PMgL  w  10·(1/ 2) L  2.5 1/ 2

RTS 

Luego,

 L = 4.

Y  K 1/ 2  L1/ 2  41/ 2  41/ 2  4 , y los  = 10·4 – 2.5·4 – 2·4 = 22.

Y , L 

Y L  (1/ 2)41/ 2 ·4 / 4  1/ 4 . L Y

14.

Una pequeña empresa de chocolates es precio aceptante. Sus productos los pone en el mercado a un valor de $100 por unidad. Esta empresa posee una función de costo total diaria: CT = 0.1Q2 + 10Q + 50. ¿Diariamente cuántos chocolates debe vender para maximizar beneficios?. ¿Cuántos son los beneficios diarios?. Tenemos que CM = 0.2Q + 10. En el óptimo P = CM  100 = 0.2Q + 10  Q = 450.  = 100·450 – 0.1·4502 – 10·450 – 50 = 20200. 15.

Una empresa produce según una función de producción

Q  2L1/ 2 K 1/ 2 .

A corto plazo la cantidad de

equipo de capital de la empresa es fija en 100 unidades. La tasa de alquiler del capital es 1 y el salario es 4. a) ¿Cuál es el nivel óptimo de mano de obra que contratará la empresa?. b) Obtener la función de costo total y la curva de costo medio de la empresa a corto plazo. c) ¿Cuál es la función de costo marginal de corto plazo de la empresa?. d) Cuál es el CTCP, CTMeCP, CMPC de la empresa si produce 25, 100 y 200 unidades.

En el óptimo

RTS 

PMgL L1/ 2 K 1/ 2 K 4 w     L = K/4 = 100/4 = 25. PMgK L1/ 2 K 1/ 2 L 1 r

Tenemos que CT = wL + rK = 4L + 4L = 8L  L = CT/8, K = CT/2. Reemplazando en la función de producción: 1/ 2

 CT  Q  2   8 

1/ 2

 CT     2 



2 1 CT  3/ 2 CT  0.35CT 1/ 2 4·2 2

 CT = 2.83Q  CMe = CM = 2.83.

16. Si una fotocopiadora posee una función de costo total de corto plazo CT = Q2 + 25. Si cada fotocopia se vende a $20, ¿Cuántas fotocopias se deberá realizar diariamente para maximizar beneficios?¿Cuántos serán sus beneficios?. Si P = CM  20 = 2Q  Q = 10. Beneficios = 10·20 – 102 – 25 = 75. 17.

Considere la siguiente función de producción:

f ( K , L) 

10 KL KL

a. b. c. d. e. f.

Obtenga la Tasa de Sustitución Técnica. Obtenga el producto marginal del trabajo y vea si es decreciente. ¿Qué tipo de retornos a escala muestra esta función de producción? Dibuje la trayectoria de expansión de largo plazo de la empresa. Determine la elasticidad de sustitución entre K y L. Determine la función de costo total (de largo plazo) de la empresa como función de la cantidad, Q, el precio del capital (r) y el salario (w). Determine las funciones de costo marginal y costo medio correspondientes a (f). Suponga ahora que en el corto plazo w = 1, r = 4 y K = 4. Determine la función de costo total de corto plazo como función de la cantidad, Q. Determine los costos variables y fijos (de corto plazo). Determine los costos totales, promedios y marginales de corto plazo.

g. h. i. j.

10 K 2 10 L2 ; PMK  ( K  L) 2 ( K  L) 2 10 K 2 PML ( K  L) 2 K 2 TST    2 10 L2 PMK L 2 ( K  L)

Se tiene:

PML 

. Por lo tanto:

PML 20 K 2   0 , para K > 0 y L > 0. Por lo que el PML es decreciente. L ( K  L )3 f (tK , tL) 

10tKtL 10 KL  t·  t· f ( K , L) . Por lo tanto la función presenta rendimientos constantes a tK  tL KL

escala. Dado que la función de producción tiene retornos constante a escala, sus isocuantas será amplificaciones una de la otra. Esto debido a que si (K0, L0) pertenece a la isocuanta correspondiente a Q0 unidades, entonces (tK0, tL0) pertenecerá a la isocuanta correspondiente a tQ0 unidades. Esto implica que la TST permanecerá constante a lo largo de combinaciones de razón constante entre K y L.

La elasticidad de sustitución viene dada por:

 K ,L 

d ln( K / L) d ln( K / L) 1   d ln(TST ) d ln( K / L)2 2

En el largo plazo todos los insumos de producción son flexibles:

Q

10 KL 1/ L 10 K 10 K ·   . Por lo tanto el capital es: K  L 1/ L K / L  1 (w / r )1/ 2  1

K

 Q w  Q r  1 . Los costos serán entonces: ·  1 , y el trabajo es: L  · 10  w  10  r 

C  wL  rK 

Q ·(w  r  2 wr ) 10

C 1  ·( w  r  2 wr ) Q 10 C 1 CMe   ·( w  r  2 wr ) Q 10

CM 

Q

Reemplazando w = 1, r = 4 y K = 4 se tiene:

10 KL 40 L 4Q que equivale a L  .  K L L4 40  Q

Luego, en el corto plazo, los costos son:

CCP  wL  rK  CM CP  18.

4Q 4Q , y CFT = 16.  16 , donde CVT  40  Q 40  Q

160 (40  Q)2

, y el

CMeCP 

CCP 4 16   Q 40  Q Q

De una empresa competitiva se conoce el valor del coste total, expresado en pesos, para diferentes cantidades producidas: Q CT CF CV CFMe CVMe CTMe CM 0

1000

1000

0

-

-

-

-

1

1300

1000

300

1000.0

300.0

1300.0

300.0

2

1500

1000

500

500.0

250.0

750.0

200.0

3

1600

1000

600

333.3

200.0

533.3

100.0

4

2000

1000

1000

250.0

250.0

500.0

400.0

5

3000

1000

2000

200.0

400.0

600.0

1000.0

6

4200

1000

3200

166.7

533.3

700.0

1200.0

A partir de los datos de esta tabla: a) Complete la tabla anterior calculando, para cada nivel de producción, el valor de las diferentes clases de costos. b) Si el precio de mercado fuese de $1000, ¿Cuánto estaría dispuesta a producir la empresa?¿La empresa obtendría beneficios o pérdidas? Calcúlelos(as). Para saber cuanto producir, debemos igualar el precio con el costo marginal. Al observar la tabla esto ocurre para un nivel de producción de 5 unidades. Al producir 5 unidades los ingresos totales serán de 5000 (5x1000) y los costos totales los obtenemos multiplicando el costo medio total por la cantidad, en este caso, 600x5, es decir, 3000. Luego la empresa obtiene beneficios de 2000 (5000–3000). c)

Si la empresa decide producir 4 unidades del bien, ¿Cuál es el precio más bajo que estaría dispuesta a aceptar para seguir funcionando?.

Para que la empresa esté dispuesta a producir las cuatro unidades el precio le debe permitir sus costos variables, por lo que el mínimo precio que aceptaría sería de 250, de manera que sus pérdidas serían iguales a sus costos fijos.

19.

Una empresa que actúa en un mercado de competencia perfecta se encuentra en la siguiente situación: Producción

800 unidades

Precio de mercado

$100 por unidad

Los costos medios totales están en su mínimo valor y son iguales a $75

a) b)

c)

d)

20.

¿Cuál es el costo marginal de este nivel de producción? Este es de $75 ya que se dice que el costo medio está en su nivel mínimo, y sabemos que cuando esto ocurre el costo medio se iguala al marginal. ¿Está obteniendo beneficios esta empresa? Claramente, ya que el precio es mayor al costo medio. Los ingresos totales son de $80000 y los costos totales de $60000. Sus beneficios equivalen entonces a $20000. ¿Son máximos los beneficios que obtiene? No, ya que los beneficios se maximizan cuando el precio (ingreso marginal en el caso de una empresa competitiva) se iguala al costo marginal, y en este caso el precio es mayor. ¿Deberá cambiar el nivel de producción? Sí, en este caso de seguir aumentando la producción hasta que el precio se iguale al costo marginal, el cual se supone es creciente.

Si Q= 100·K0,5 L 0,5, precio de K = $ 40 y precio de L = $ 30. (1) Determine la cantidad de trabajo y capital que debe utilizar la empresa con el fin de minimizar el costo de obtener 1444 unidades de producción. (2) ¿Cual es este costo mínimo ?. Grafique. El lagrangeano viene dado por: G: 40K + 30L +(Q - 100·K0,5 L 0,5) dG/dK:40 - 50· K-0,5 L 0,5 = 01/ = (50/40)K-0,5 L 0,5 ISOCOSTO: K = 25.0125– (3/4)L K dG/dL:30 - 50· K0,5 L-0,5 = 01/ = (50/30)K0,5 L-0,5 Igualando: (50/40)K-0,5 L 0,5 = (50/30)K0,5 L-0,5 (K/L) = 30/40 Luego, K = (¾)·L. Luego, para producir 1444 unidades se tiene: 1444 = 100·[(3/4)L]0,5L0,5 = 100·(3/4)0,5L0,5L0,5 L = 16,67 Por su parte K = 12,51.

12,51 Q = 1444

El mínimo costo de producir 1444 unidades será entonces de: CT = 40·12,51 + 30·16,67 = 1000,5

L

16,67

Sea una empresa productora de rejas de madera, cuya función de producción viene dada por Q = 8·C¾·T¼, donde C son los clavos utilizados y T las tablas requeridas por reja. Se sabe que P c = $4, Pt = $6. Si el presupuesto es de M = $280. Obtenga la “senda de expansión” de esta empresa, los niveles óptimos de C y T y el nivel de producción tal que la empresa alcance su Eficiencia Física dado su presupuesto. Grafique.

21.

T ISOCOSTO: T = 46.7 – (2/3)C 46.7

Sabemos que para minimizar el costo de alcanzar cierto nivel de producción, o maximizar la producción dado cierto presupuesto, se debe cumplir que: TMST = Pc/Pt 9T = 2C

11.6

C = 9/2T. Relación de Intercambio o Senda de Expansión. Q = 288.4

52.5 22.

 (8·T¼·3/4·C-¼)/(8·C¾·1/4·T-¾) = 4/6  6T/2C = 2/3 

70

Al agotar el Presupuesto PtT + PcC = M 6T + 4(9/2T) = 280 6T + 18T = 280 T = 280/24 T = 11,67 ; C = 52,5 Q = 8C¾T¼ Q = 8*(52,5)¾*(11,67)¼ Q = 288,4 Toneladas (Eficiencia Física).

C

Una empresa opera en un mercado competitivo y sus costos de producción de corto plazo vienen dados por

C  Q3  6Q2  20Q  50

siendo Q el nivel de producción. Obtenga la curva de oferta de la empresa a

corto plazo. ¿Cuál es el precio de cierre de la empresa? Si el precio del producto es P = 20, cuál es la producción y el beneficio de la empresa? ¿Seguirá en el negocio? Grafique.

30

Se tiene que:

CM  3Q2  12Q  20 (2

puntos),

CMe  Q2  6Q  20  50 / Q CVMe  Q2  6Q  20

20 CMe ( x) CVMe ( x) CM ( x)

Luego, sabemos que el precio de cierre equivale al costo medio variable medio mínimo, por lo que:

10

dCVMe / dQ  2Q  6  0  Para Q =

0

1

2

3

4

3, el CVMe es mínimo y el precio de cierre sería (3)2 – 6·3 + 20 = 11

5

6

la

cantidad

x x x

Si

el

precio

del

producto

es

de

20  3Q  12Q  20  0  3Q  12Q , B  20·4  (43  6·42  20·4  50)  18 2

23.

2

20, de

donde

Q

=

a 4.

producir Los

se

beneficios

obtiene serían

de B

=

igualar 20·4

-

Una industria competitiva está integrada por 100 empresas idénticas cuya función de costo total es CT(q i) = 10qi2 + 40qi + 1000. Obtenga la oferta individual, la oferta de la industria y el equilibrio de mercado considerando que la demanda de la industria es Q = 1000 – 5P. Grafique para la empresa representativa y para la industria.

P

P 250

120

120 40

40 4

Q

600

1000 Q

La curva de costo marginal de la empresa representativa viene dada por CMi = 40 + 20qi. Luego, la curva de oferta de una empresa se obtiene de igualar CMi = P  40 + 20qi = P. La curva de oferta de una empresa será entonces qis = (P – 40)/20 . Al agregar para las 100 empresas tenemos que Qs = ∑ qis  Qs = 5(P – 40) = 5P – 200. Esta sería la oferta de mercado El equilibrio del mercado lo obtenemos igualando la demanda con la oferta: 5P – 200 = 1000 – 5P  10P = 1200  P = 120, Q = 400.