Ejercicios Resueltos Stanley Grossman (JP)

CAPITULO 1.11 EJERCICIO Nº 4 Encuentre la matriz triangular inferior L con unos en la diagonal una matriz triangular superior U tal que A = LU.  1 4 6    2 − 1 3  3 2 5   RESOLUCION 4 6  6   1 4 6 1 1 4       ≅  0 − 9 − 9 = U  2 − 1 3  e21( −2) ≅  0 − 9 − 9   3 2 5 e  0 − 10 − 13  e  0 0 − 3   31( −3)   32( −10 / 9)   0 0 1   1 0 = L 2  3 10 / 9 1    0 0  1 4 6   1 4 6 1      1 0  0 − 9 − 9 =  2 − 1 3 = A L.U =  2  3 10 / 9 1   0 0 − 3   3 2 5       EJERCICIO Nº 11 Resuelva dado usando la factorización LU encontrada en los problemas del ejercicio anterior. Esto es resuelva Ax=Lux=b.  − 1 5 0   ; b=    6 3 5 RESOLUCION  − 1 5 −1 5     = U ≅   6 3  e21( 6 )  0 33   1 0   = L  − 6 1  1 0   − 1 5   − 1 5    =   L.U =   − 6 1   0 33   6 3  Ax=Lux=b ⇒ Ax=b ⇒ Lux=b Lux=b LZ=b

LZ=b

 1 0   z1   0      =    − 6 1   z2   5 

 z1  − 6 z1

+ z2

ux=Z

 − 1 5   x1   0      =    0 33   x 2   5 

 − x1  

+ 5x2 33 x 2

Verificación  −1 5 0   ≅  6 3 5

=0 ; =5 =0 ; =5

z1 = 0 z2 = 5 x1 = 25 / 33 x 2 = 5 / 33

0   1 0 25 / 33   1 − 5 0  1 − 5 0  1 − 5   ≅   ≅   ≅    6 3 5   0 33 5   0 1 5 / 33   0 1 5 / 33  x1 = 25 / 33 x 2 = 5 / 33

EJERCICIO Nº 13 Resuelva dado usando la factorización LU encontrada en los problemas del ejercicio anterior. Esto es resuelva Ax=Lux=b 2 1 7 6     A=  4 3 5  ; b=  1   2 1 6 1     RESOLUCION 2 1 7 2 1 7       4 3 5  e21( −2) ≅  0 1 − 9  = U  2 1 6 e     31( −1)  0 0 − 1   1 0 0    2 1 0 = L 1 0 1   Ax=Lux=b Lux=b 1  LZ=b  2 1 

ux=Z

⇒ Ax=b ⇒ Lux=b 0 0   z1   6      1 0  z2  =  1  0 1   z 3   1 

 z1  2 z1 z  1

 2 1 7   x1   6        0 1 − 9   x 2  =  − 11  0 0 −1  x   − 5     3  

2 x1   z  1

+ z2 + z3 + x2 x2

+ 7 x3 − 9 x3 − x3

=6 = −11 ; = −5 =6 = −11 ; = −5

z1 = 6 z 2 = −11 z 3 = −5 x1 = −63 / 2 x 2 = 34 x3 = 5

EJERCICIO Nº 26 1  −1 2   Demuestre que  2 − 4 − 2  tiene más de una factorización LU.  4 − 8 − 4   1  −1 2  −1 2 1      2 − 4 − 2  e21( 2 ) ≅  0 0 0  = U  4 − 8 − 4 e     31( 4 )  0 0 0   1 0 0    − 2 1 0 = L − 4 x 1   1   1 0 0  −1 2 1  −1 2      LU =  − 2 1 0   0 0 0  =  2 − 4 − 2  =A  − 4 x 1  0 0 0  4 − 8 − 4      ∀x ∈ ℜ , L no es única ∴ LU tampoco lo es. CAPITULO 2.2 EJERCICIO Nº 10 Evalúe el determinante utilizando los diferentes métodos. 2 −3 1 0 −2 0 3 7 −1 4 1 −3

2 1 4 3 −1 0 = (-2) (-1)2+2 4 − 3 2 2 1 8 4 −3

4 2 8 = (-2) [ − 16 − 36 + 32 + 16 + 12 − 32] = (-2) (-24) = 48 4 8

EJERCICIO Nº 27 a11 a 21 a31

a12 a 22 a32

a13 a 23 = 8 a33

2a11

2a12

2a13

2a11

2a12

2a13

= a31 a 21

a32

a33 = (-1) a 21 a 23 a31

a 22

a 23 = a33

Calcule el determinante suponiendo que:

2a11 − 3a 21

2a12 − 3a 22

2a13 − 3a 23

a31

a32

a33

a 21

a 22

a 23

a 22

a32

a11

a12

a13

(-1) (2) a 21 a31

a 22

a 23 = (-1) (2) 8 = 16 a33

a32

CAPITULO 2.4 EJERCICIO Nº 4  1 1 1   Determinar si la matriz  0 2 3  es invertible. Si lo es calcule la inversa.  5 5 1   1 1 1 0 2 3 = -8 ≠ 0 ⇒ ∃ la inversa de A. 5 5 1 A 1 0 5 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

I 1 2 5 1 2 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0

1 3 1 1 3 -4 1 3/2 -4 -1/2 3/2 1 0 0 1

1 0 0 1 0 -5 1 0 -5 1 0 5/4 13/8 -15/8 5/4

I

0 1 0 0 1 0 0 1/2 0 -1/2 1/2 0 -1/2 1/2 0 A-1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 -1/4 -1/8 3/8 -1/4

Verificación. A  1 1 1    0 2 3  5 5 1  

. A-1 = A-1 . A =  13 / 8 − 1 / 2 − 1 / 8   13 / 8 − 1 / 2 − 1 / 8   1 1 1   1       3 / 8  =  − 15 / 8 1 / 2 3 / 8   0 2 3 =  0  − 15 / 8 1 / 2  5/ 4 0 − 1 / 4   5 / 4 0 − 1 / 4   5 5 1   0 

EJERCICIO Nº 15 1 −1 3    6  , verifique que det A-1= 1/ det A. Para A =  4 1  2 0 − 2  

I 0 0  1 0 0 1 

1 4 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

A -1 1 0 -1 5 2 -1 1 5 0 1 0 0 1 0 0 1 0 I

I 3 6 -2 3 -6 -8 3 -4 -6 -1 -4 14 -1 -4 1 0 0 1

1 0 0 1 -4 -2 1 -1 -4 0 -1 1 0 -1 1/14 1/14 -10/14 1/14

0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1/14 1/14 4/14 1/14 A-1

1 −1 3 A= 4 1 6 = −28 2 0 −2

A

−1

1 / 14 1 / 14 9 / 28 1 = − 10 / 14 4 / 14 − 3 / 14 = − 28 1 / 14 1 / 14 − 5 / 28

−1 Como A = −28 y A =

1 1 ⇒ A −1 = . − 28 A

EJERCICIO Nº 16

α − 3   es no invertible?. ¿Para que valores de α la matriz   4 1−α  α −3 = α (1 − α ) + 12 = −α 2 + α + 12 = 0 4 1−α Aplicando Baskara se obtienen las raíces α 1 = −3 y α 2 = 4 . Por lo tanto la matriz es no invertible para α 1 = −3 ó α 2 = 4 .

0 0 1 0 0 1 0 1/2 0 1/2 1/2 -5/2 1/2 1/2 -5/28 9/28 -3/14 -5/28

EJERCICIO Nº 17  −α α −1 α −1   2 3  no tiene inversa?. ¿Para que valores de α la matriz  1 2 −α α + 3 α + 7   − α α −1 α −1 − α α −1 α −1 − α α −1 α −1 1 2 3 = 1 2 3 = 1 2 3 = − 4α − 2(α − 1) = −6α + 1 2 −α α + 3 α + 7 2 4 8 0 0 2 1 6 1 Por lo tanto la matriz es no invertible para α = − . 6

α =−