Ejercicios Resueltos Sobre Parabolas y Cir

Ejercicios resueltos sobre parabolas: 1. Usando la definición, hallar la ecuación de la parábola que tiene su foco en F(2,0) y su dirección DD es la recta de ecuación x = -2. Solución: Trácese la gráfica con los elementos dados.

De acuerdo a la definición, un punto

Pero, Luego,

Elevando ambos miembros al cuadrado, se tiene:

fig. 6.5.1. De donde y2 = 8x es la ecuación de la parábola pedida. 2. Dada la parábola que tiene por ecuación x2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica. Solución: la ecuación x2 = -6y tiene la forma de la ecuación (4) del teorema 1. Entonces, 2p = -6, de donde p= -3 < 0.

Como p < 0, la parábola se abre hacia abajo. El foco se encuentra sobre el eje y en el punto F (0, -p/2). La ecuación de la directriz es la recta

,

es decir,

Fig 6.5.2 3. Dado el punto del plano B(a, b) con a, b > 0. Demostrar que por el punto B pasa la parábola

(1).

Determine el foco y la ecuación de la directriz Solución: Como se sigue que el punto B(a, b) satisface la ecuación (1) y por lo tanto B pertenece a la parábola.

Ahora, de acuerdo a la parte ii del teorema 1.

con lo cual En consecuencia, el foco se encuentra localizado

en el punto ecuación de la directriz es la recta fig 6.5.3

y la

4. Dada la ecuación (y’)2 = 4x’, referida al sistema x’-y’ en donde el nuevo origen es el punto (2, 3). Hallar la ecuación de la gráfica en términos de x e y. Solución: La ecuación (y’)2 = 4x’ representa en el sistema x’-y’ una parábola con vértice en O’(2, 3). La parábola se abre hacia la derecha y además 2p = 4, de donde p = 2. Con lo cual = distancia del vértice al foco.

Fig. 6.5.4. Dado que O’ (2, 3) se deduce de las relaciones (1) y (2) de la sección 6.1.2. que:

de donde

Sustituyendo los valores de x’ e y’ en la ecuación inicial, se obtiene:

Esta última ecuación, representa una parábola cuyo vértice es el punto V (2, 3), abierta hacia la derecha y cuya distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz es 1. 5. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F(4, 2). Solución: Como la directriz es la recta de ecuación x = 2, paralela al eje y, se sigue que el eje focal es paralelo al eje x y como el foco es el punto F(4, 2), entonces el eje focal tiene como ecua- ción y = 2.

El vértice V de la parábola está sobre la recta y = 2 y localizado en el punto medio entre la directriz y el foco. Como QF = p = 2, se sigue que QV = VF = 1, y por lo tanto las coordenadas del vértice son V(3, 2).

fig. 6.5.5. Ahora, la ecuación de la parábola viene dada por: ó 6. Determine el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz, el eje focal y dibujar la gráfica de la parábola cuya ecuación es:

Solución: Se debe expresar la ecuación en la forma: (1) Así,

(Completación de cuadrados)

(2) (Factorizando)

Comparando (1) y (2) se deduce q ue:

Así que las coordenadas del vértice son . Como p = 4 > 0 y la variable lineal es y, se deduce entonces que la parábola se abre hacia arriba. El eje focal es la recta paralela al eje y de ecuación y el foco se encuentra localizado en el punto , esto es, fig. 6.5.6. La directriz es la recta paralela al eje x, de ecuación

; esto

es, En la figura 6.5.6. aparece la gráfica de la parábola con todos sus elementos. 7. Para la parábola

demostrar que el vértice está

en el punto acuerdo al signo de a.

y que corresponde a un máximo o un mínimo de

Solución. La ecuación: forma:

, puede escribirse en la .

Completando un cuadrado perfecto en el primer miembro de la última igualdad, se tiene:

Con lo cual,

Al comparar esta última ecuación, con la igualdad (1) del teorema 2 (sección

6.1.3.), se deduce que el punto

son las coordenadas del

vértice de la parábola y además, Ahora, si a > 0, entonces p > 0 y la parábola se abre hacia arriba. En este caso, el punto V corresponde a un punto mínimo de la parábola. Si a < 0, entonces p < 0 y la parábola se abre hacia abajo. En este caso, el punto V corres- ponde a un punto máximo de la parábola. 8. (Propiedad óptica (o focal) de la parábola) Demostrar que la normal a la parábola en un punto Q, hace ángulos iguales con la recta que pasa por Q y F y con la paralela al eje focal trazada por el punto. Solución. Considere la parábola y2 = 2px que aparece en la figura 6.5.7., la normal nn y la tangente tt a la curva en el punto Q(x1, y1). Al trazar las rectas que pasan por Q y F y la paralela al eje focal, se forman los ángulos θ y β .

fig. 6.5.7. Se debe probar que θ =β . La ecuación de la tangente tt a la curva en el punto Q(x1, y1) viene dada por:

.

De aquí se deduce que

Ahora,

Asi que

Pero,

.

.

(1).

En el triángulo QFN, se tiene,

Luego,

y por lo tanto

, de donde

.

.

.

De esta forma:

(puesto que y12=2Px1)

Es decir,

Luego,

.

y por tanto θ = β .

La propiedad demostrada anteriormente, significa que si se supone un espejo parabólico perfectamente liso, como el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, todo rayo para- lelo al eje de simetría de la parábola, se refleja pasando por el foco. Esta propiedad conocida como la propiedad óptica (o focal) de la parábola es utilizada en la construcción de reflectores y de antenas parabólicas.

Ejercicios Resueltos de la Circunferencia 1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación: x 2 + y 2 - 16 x + 2 y + 65 = 0 . Solución: Aplicando completando trinomios cuadrados perfectos obtenemos: ( x² - 16 x + 64 - 64 ) + ( y² + 2 y + 1 - 1 ) + 65 = 0 Al reducir la expresión obtenemos la ecuación de la circunferencia ( x - 8 )² + ( y + 1 )² = 0 Por tanto, el centro y el radio son: C(8,-1);a=0

2. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto P(1,0), sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación: x²+ y² - 2 x - 8 y + 13 = 0 . SOLUCIÓN Completando los trinomios cuadrados perfectos y reduciendo, tenemos: ( x² - 2 x + 1 - 1 ) + ( y² - 8 y + 16 - 16 ) + 13 = 0 ( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 4 De la expresión anterior encontramos que el centro es C(1,4), es decir h = 1 y K = 4. Como a² =4, entonces a = 2. El radio a de la circunferencia buscada se calcula como la distancia del punto P al centro C. a = P C = ( 1 - 1 )²+ ( 0 - 4 )² = 4 Por tanto, a² =16. Sustituyendo este valor y los de h y k en la fórmula (I), encontramos la ecuación de la circunferencia pedida: ( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 16

3. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia. SOLUCIÓN El centro es el punto medio del diámetro, cuyas coordenadas se obtienen aplicando las fórmulas para el punto medio de un segmento, en este caso A B: C (h ,k) k=2 h = -2 Por tanto, el centro es C(-2,2). El radio es la distancia del centro C a cualquiera de los extremos del diámetro, es decir: radio = C B ² = ( - 2 - 4 )² + ( 2 - 6 )² = 36 + 16 = 52 , por lo tanto, C B ² = 52 = radio La ecuación de la circunferencia pedida es: ( x + 2 )² + ( y - 2 )² = 52. 4. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0). Solución: Aplicando la formula de la circunferencia obtenemos: (x + 5)² + (y – 12)² = 169 x² + y² + 10x – 24y = 0 Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuación, esta se verifica. Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0). 5. Comprobar que la recta 2 y + x = 10 es tangente a la circunferencia x² + y² - 2 x - 4 y = 0 y determinar el punto de tangencia. SOLUCIÓN: Necesitamos hacer simultáneas las dos ecuaciones. Para esto, despejamos a x de la primera ecuación: x = 10 - 2 y Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, desarrollando y simplificando, se obtiene:

(10 - 2 y )² + y² - 2 ( 10 - 2 y ) - 4 y = 0 100 - 40 y + 4 y² + y² - 20 + 4 y - 4 y = 0 5 y² - 40 y + 80 = 0 y² - 8 y + 16 = 0 Resolviendo para y: Aplicamos ecuación cuadrática y obtenemos que y = 4, sustituimos este valor de y=4 en la ecuación despejada de X: x = 10 - 2 ( 4 ) = 10 - 8 = 2 De acuerdo al resultado, queda comprobado que la recta es tangente a la circunferencia, porque sólo tienen un solo punto común T(2,4), que es precisamente el de tangencia. EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA 1. Circunferencia de centro C (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el origen de coordenadas. 2. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: 9 x² + 9 y² - 12 x + 36 y - 104 = 0. Trazar la circunferencia 3. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación: 4 x²+ 4 y² + 4 x + 4 y - 2 = 0. 4. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia. 5. Encontrar los puntos de intersección representadas por las ecuaciones:

de

las

circunferencias

x² + y² - 2 x + 4 y = 0 x² + y² + 2 x + 6 y = 0 6. Probar que el punto P(4,2) pertenece a la circunferencia x² + y² - 2 x + 4y = 20 y obtener la ecuación de la tangente a la circunferencia en ese punto.