Ejercicios Resueltos Sobre La Probabilidad Condicional

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA PROBABILIDAD CONDICIONAL 1.- Se seleccionan dos canicas aleatoriamente, una por una, de una pequeña caja que contiene 10 canicas rojas y 5 transparentes. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) La primera canica sea roja? b)La segunda canica sea transparente dado que la primera fue roja?

SOLUCIÓN a) La probabilidad de que la primera canica sea roja es 10/15, puesto que hay 10 canicas rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: P(R₁)=10/5. b) La probabilidad de que la segunda canica sea transparente se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera canica sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por P(T₂|R₁), y se lee: la probabilidad de T2 dado R1. Esta probabilidad P(T₂|R₁)=5/14, puesto que todavía hay 5 canicas transparentes en un total de 14 restantes.

2.-Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?

SOLUCIÓN

El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss} El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es: A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa} El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa} Por lo tanto, AB ={aaa} y P(AB)=1/8 y P(A)=7/8 De donde:

3.-Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

SOLUCIÓN Para calcular la probabilidad se supone que el primero ya ha elegido un número, entonces se calcula la probabilidad de que el segundo no escoja el mismo número: P=10/100=1/10=0.1; por lo tanto la probabilidad de que no piensen en el mismo número será 1(1/10)=9/10=0.9

4.-En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas?

SOLUCIÓN Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra el siguiente suceso:A = "el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas" Para calcularla, utilizaremos el complementario. Si sabe 35 temas, hay 85 - 35 = 50 temas que no sabe; Entonces: P(A)=1-P(A´)=1P(“no sabe ninguno de los tres”) P=1-(50/85)(49/84)(48/83)=0.802, por lo tanto la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de 0.802.

5.-Se tiene para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si se meten al azar cada carta en uno de los sobres, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresponde?

SOLUCIÓN Se hace un diagrama que refleje la situación. Se nombran a los sobres A, B y C; y a las cartas correspondientes a, b y c, y es así como se tiene las siguientes posibilidades:

Se observa que hay seis posibles ordenaciones y que en cuatro de ellas hay al menos una coincidencia. Por tanto, la probabilidad pedida será: P=4/6=2/3=0.67

6.-Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

SOLUCIÓN De igual manera que el ejercicio 3 se debe suponer que ya el primero ya ha elegido un número entonces se determina la probabilidad de que el segundo elija el mismo número entonces la probabilidad será: P=1/5=0.2

7.- Se extraen dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcular la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.

SOLUCIÓN a) P=(10/40)(9/39)=3/52=0.058 b) P=2(10/40)(10/39)=5/39=0.128 c) P=1-P(ninguna de oros)=1-(30/40)(29/30)=23/52=0.442 d) P=(10/40)(10/39)=5/78=0.064

8.- Si se considera que en el lanzamiento de 10 dados al menos aparece un uno ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan dos o más unos?

SOLUCIÓN Definimos los eventos: (a) A es el evento en el que aparece al menos un uno. (b) B es el evento en el que aparecen al menos dos unos La respuesta es p(B|A), que indica la probabilidad de que salgan al menos dos unos si sale al menos un uno. De la definición de la probabilidad condicional se tiene:

9.-En un pueblo hay 100 jóvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de chicas en el pueblo es de 45. Si se elege un joven de esa localidad al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico? b) Si se sabe que juega al tenis, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis?

SOLUCIÓN Se debe hacer una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:

y es así como se obtienen los siguientes resultados:

10.-En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Se escoge a uno de los viajeros al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

SOLUCIÓN De igual manera se debe hacer una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:

y es así como se obtienen los siguientes resultados:

11.-El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si se elege al azar un individuo de esa población: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad? b) Si se sabe que ha dado positiva, ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad?

SOLUCIÓN Para obtener los resultados se elabora un diagrama de árbol:

De esta manera se concluye los siguientes resultados

12.-Una urna, A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Si se lanza una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, se extrae una bola de la urna A y, si sale cruz, se extrae de B. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? b) Sabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?

SOLUCIÓN Para obtener los resultados se elabora un diagrama de árbol:

De esta manera se concluye los siguientes resultados:

13.-Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? b) Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la primera urna?

SOLUCIÓN Para obtener los resultados se elabora un diagrama de árbol:

De esta manera se concluye los siguientes resultados:

14.-En una empresa hay 75 empleados, de los cuales, 40 son encargados de sección, y 35 son administrativos. Algunos de ellos utilizan ordenador para sus tareas, y otros no. Calcular la probabilidad de que al elegir una persona de la empresa sea un encargado, sabiendo que no tiene ordenador.

SOLUCIÓN Lo primero que se debe hacer es indicar cuál es la probabilidad pedida, y cuál es la condición. Suceso A: la persona sea un encargado (suceso pedido) Suceso B: no tiene ordenador (suceso que condiciona)

15.-Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres? Sean los sucesos A = "la suma de los puntos es siete" y B = "en alguno de los dados ha salido un tres"

SOLUCIÓN El suceso A|B es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3) . Por lo tanto, P(B|A)=2/6=1/3

16.- Una pareja tiene dos hijo, al menos uno es hombre. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres?

SOLUCIÓN

17.- Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

SOLUCIÓN

P(al menos un tema)=1-P(ningún tema)=1(10/25)(9/24)=0.85

18.-Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

b) ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

SOLUCIÓN a) P(chico o francés)=15/20=0.75 b) P(chica y no frances)=5/20=0.25

19.-Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

SOLUCIÓN

20.-En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide: a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? b)¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra? c)Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?

SOLUCIÓN Se elabora un diagrama de árbol

a)

b)

c)