Ejercicios resueltos sobre conversión de Tasas de interés

Unidad Central del Valle del Cauca Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables Programa de Contaduría Pública

Curso de Matemáticas Financieras Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa

Ejercicios resueltos sobre conversión de Tasas de interés. Ejemplo 1: De tasa nominal a tasa periódica. Hallar la tasa periódica correspondiente a las siguientes tasas nominales. 36% CMV (capitalizado mes vencido) 20% Semestral CTV (capitalizado trimestre vencido) 32% CBA (capitalizado bimestre vencido) Solución: a) r = 36% Periodo de referencia: Año m = 12 (hay 12 meses en un año) i= ? 36 i= = 3% 12 i = 3% mensual b) r = 20 Periodo de referencia: semestre m = 2 (hay 2 trimestres en un semestre) i =? 20 i= = 10% 2 i = 10% trimestral c) r = 32% Periodo de referencia: Año m = 6 (hay 6 bimestres en un año) i =? 32 i= = 5.33% 6

i = 5,33% bimestral

Ejemplo 2: Tasa efectiva. Una empresa presta $100 hoy, para ser cancelados dentro de un año, a una tasa de interés 36%, capitalizado mensualmente: ¿Cuánto tendrá que cancelar al término del plazo pactado? ¿Cuál será el interés anual realmente cobrado? En el ejemplo anterior se puede identificar los siguientes datos: r= P= m= n= i= F=

36% (interés nominal) 100 (valor presente) 12 (Nº de veces que se capitaliza el interés en una año) 12 meses (plazo o duración del préstamo) ? (desconocido) ? (desconocido)

Como el interés se aplica mensualmente, lo primero que se debe hacer es lograr la correspondencia entre los periodos de capitalización y el interés a aplicar (se capitaliza cada mes, luego el interés debe ser mensual) en otras palabras, hallar el interés periódico. i=

r 36 = = 3% m 12

i = 3% mensual

El valor a pagar al final del año será el que resulte de aplicar la tasa periódica del 3% al saldo acumulado, durante el tiempo que dura la operación tal como se puede apreciar en el siguiente cuadro:

.

Mes

INTERES

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 3,00 3,09 3,18 3,28 3,38 3,48 3,58 3,69 3,80 3,91 4,03 4,15

DINERO AL FINAL DEL MES 100,00 103,00 106,09 109,27 112,55 115,93 119,41 122,99 126,68 130,48 134,39 138,42 142,58

Ahora bien, si le prestan hoy 100 y debe cancelar 142.58 dentro de un año, significa que le están cobrando $42.58 de interés. En términos relativos, estos $42.58 equivalen al 42,58% del valor inicialmente prestado, es decir en realidad le han cobrado el 42,58% anual y no el 36% como se indicaba inicialmente ¿Le están engañando? No. El 36% es el interés nominal y el 42.58% es el interés efectivo anual. Para calcular la tasa efectiva sin necesidad de realizar el cálculo parcial periodo a periodo tal como se hizo en el cuadro anterior, se puede utilizar la siguiente expresión matemática: Donde: E = Interés efectivo i = Interés periódico m= Número de períodos de capitalización

E = (1 + i ) − 1 m

. En el ejemplo tenemos: r = 36% i = 3% m = 12 E=? E = (1 + 0,03)12 − 1 E = 1,4258 − 1 E = 0,4258 E = 42,58% anual

Utilizando la calculadora financiera CASIO FC-200, se puede obtener igual resultado, utilizando la función incorporada de tasa de interés efectiva “EFF”. El formato de cálculo es el siguiente: Donde: m

EFF

r

EXE

m = Numero de veces que se capitaliza el interés EFF = Función de la calculadora r = Tasa de interés nominal

Dado que en el ejemplo la tasa nominal es igual a 36% CMV, y “m” es igual a 12, la secuencia de teclas es:

12

EFF

36

EXE

42.58

Se había dicho que el interés efectivo, aplicado una sola vez, produce el mismo resultado que el nominal, aplicado “m” veces. En el ejemplo, el 3% se aplicó 12 veces y se obtuvo un valor de $142.58. Apliquemos E una sola vez:

I = 100 * 42,58% = 42.58 F = P+ I F = 100 + 42.58 = 142.58 Que es igual al obtenido inicialmente.

Ejemplo 3: Tasa efectiva. Una entidad financiera cobra intereses del 30% anual. Se desea saber: Cual es la tasa mensual equivalente Cual es la tasa trimestral equivalente Solución: a) E = 30% m = 12 (la tasa dada es anual; al año tiene 12 meses) i=? i = 12 1 + 0.3 − 1 i = 12 1.3 − 1 = 0.0221 i = 2.21% mensual b) E = 30% m = 4 (el año tiene 4 trimestres) i=? i = 4 1 + 0.3 − 1 i = 4 1.3 − 1 = 0.06779 i = 6.77% trimestral Igualmente se puede utilizar la calculadora financiera CASIO FC-200, para obtener el resultado, utilizando la función incorporada de tasa de interés nominal ”APR”, y luego dividiendo por “m” para hallar la tasa periódica El formato de cálculo es el siguiente:

m

En el primer caso: m = 12 E = 30%

APR

E

EXE

Donde: m = Numero de veces que se capitaliza el interés APR = Función de la calculadora

12

APR

30

EXE

26,525

26,525% es la tasa nominal anual, capitalizada mensualmente. Para Hallar la tasa periódica, basta dividir por 12, obteniéndose i = 2.21% mensual En el segundo caso: m=4 E = 30 4

APR

30

EXE

27.115

27,115% es la tasa nominal anual, capitalizada trimestralmente. Para Hallar la tasa periódica, basta dividir por 4, obteniéndose i = 6.77% trimestral

Ejemplo 4. Tasa anticipada. ¿Cuál será el interés efectivo anual equivalente al 30% anual capitalizable mes anticipado? Tenemos: E r m ia iv

=? = 30% CMA = 12 = ? = ?

El 30% anual capitalizable mes anticipado, es un interés nominal anticipado. Primero debemos hallar el interés periódico anticipado, posteriormente el interés periódico vencido y finalmente el efectivo anual.

ia =

ra m

30 = 2.5% Mes anticipado 12 0.025 iv = = 0.025641 1 − 0.025 iv = 2.5641% Mes vencido

ia. =

E = (1 + 0,025641)12 − 1 E = 35.5% anual El interés efectivo anual equivalente al 30% C.M.A., es el 35.50%.

Ejemplo 5.Tasas compuestas. Se adquiere un préstamo a un interés del 7% anual más la corrección monetaria lo cual se estimó en un 10% efectiva anual, cuál será el interés real cobrado? i1 = 7.0% i2 = 10% ir = (1.07 )(1.1.) − 1 ir = 17.70 El interés real es el 17.70% que es diferente a la sumatoria de los dos intereses.

Ejemplo 6.Tasa de inflación. ¿Cuál será la rentabilidad real de una inversión que genera un interés del 31% anual, si durante el año la inflación fue del 15%? td = ? tf = 31% ti = 15% Muchas personas pensaran que la rentabilidad real se obtiene restando a la tasa de rentabilidad, la tasa de inflación: r = 31 – 15 = 16%. Pero esto no es correcto. Para hallar la rentabilidad real se debe aplicar la ecuación formulada anteriormente:

td = td =

t f − ti 1 + ti 0.31 − 0.15 = 0.139130 1 + 0.15

La rentabilidad real de la inversión es del 13.91% anual.